Luận văn Dạy học phân hoá qua tổ chức ôn tập một số chủ đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ trung học phổ thông

65 thoả mãn (4) Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 3 ; x = 56 65  Nguyên nhân sai lầm: Nghiệm x = 56 65 là nghiệm ngoại lai. Lời giải sai ở chỗ xét a + b - 1 = 0 Chú ý 2(2 1) 3b x   để loại trường hợp a + b = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 3  HĐ: GV bình luận: Qua các ví dụ trên chắc chắn các bạn đã thấy sự linh hoạt, đa dạng và hữu hiệu của việc sử dụng ẩn phụ vào giải phương trình vô tỉ. Tuy mỗi với mỗi bài toán khác nhau có các hướng giải khác nhau, song nếu khéo léo sử Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 72 dụng ẩn phụ đưa về các dạng cơ bản trên thì việc giải phương trình vô tỉ sẽ ngắn gọn và đơn giản. Bài tập tương tự. a. 217 xx  + 917 2  xx b. 54057 44  xx c. 1123  xx d. 211 22  xxxx e. 3)2)(7()7()2( 33 23 2  xxxx f. 2 4 1 2 1  xxx g. 3 22 2x x x x x x x     h. 2 23 2 1 4 3x x x x x       2.2.3. Chủ đề 3: Lượng giác hoá phương trình và bất phương trình vô tỉ HĐ 1: GV nêu vấn đề Trong phương trình, bất phương trình vô tỉ nếu: - Nếu bài toán có chứa 2 2a x tức là ẩn x  [-a, a] thì ta có thể đặt: x = acost (0  t  ) hay x= asint ) 22 (   t - Nếu bài toán có chứa 2 2x a thì có thể đặt x = | | sin a t với  ; \ 0 2 2 t        hoặc x = | | ost a c với t  [0 ;  ] \ { 2  } - Nếu bài toán có chứa 2 2x a (ẩn x bất kì) ta có thể đặt x = tgt ) 22 (   t Nhờ sử dụng các công thức lượng giác mà việc khử các dấu căn thức đã trở nên rất thuận lợi. HĐ 2: Ra bài tập phân hoá Ví dụ 1. Giải phương trình, bất phương trình sau. a. )121(11 22 xxx  b. 1)1( 525  xx Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 73 c. x + 2 2 2 1 x x   d. 2 2 2 2 2 1 ( 1) 1 2 2 (1 ) x x x x x x       Tóm tắt lời giải: a. HĐ 1: HS nhóm 1 đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Điều kiện: -1 1x  HĐ 2: HS nhóm 2 nêu cách giải dựa trên cơ sở lí thuyết Đặt x =sint với t [- ; 2 2   ]. Khi đó phương trình có dạng: 1 ostc = sint(1 + 2cost) 2 2 t cos = sint + sin2t (*) HĐ 3: HS nhóm 3 thực hiện lời giải và kết luận nghiệm (*) 2 2 t cos =2sin 3 2 2 t t cos 2 2 t cos (1- 2sin 3 2 t ) = 0 0 2 3 sin 0 2 t cos t        1 6 2 1 2 t x xt           Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1 2 hoặc x =1 b. Điều kiện: x [0; 1] Đặt x = cost với t  [ 0; 2  ] ta có: sin 5 t + cos 52 t 1 Do sin 5 t  sin2t và cos 52 t  cos2t nên sin5t + cos 52 t  sin2t + cos2t = 1 với mọi t  [ 0; 2  ] Nên bất phương trình có nghiệm mọi x [0; 1] c. Điều kiện 2 1 0 1 0 x x x       Đặt x = 1 , (0; ) 2 t cost   . Khi đó phương trình có dạng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 74 1 1 2 2 sincost t    sint + cost = 2 2 sint.cost Đặt sint +cost = u, điều kiện u [0;1]. Từ đó giải được t = 2 4 x    . Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2 . d. Điều kiện: x 1;0  Đặt x = tgt, t ( ; ) \ ;0 2 2 4           Khi đó: 2 11x cost   ; sin2t = 2 2 1 x x ; cost = 2 2 1 1 x x    sin4t = 2sin2t.cost2t = 2 2 2 4 (1 ) ( 1) x x x   2 2 2 2 ( 1) sin 4 2 (1 ) x t x x     Phương trình có dạng: 1 1 2 sin 2 sin 4cost t t    2sint.cos2t + cos2t =1 Từ đó giải được: sint = 1 1 2 6 3 t x      Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 3 Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình theo tham số a. xaaxa  (1) Tóm tắt lời giải: (1)  axaxa   điều kiện:      0a axa * Khi a = 0: (2)  0 xx  x = 0. * Khi a > 0  (3)  11  a x đặt: x = acos với   [0 ; ] (4). Khi đó (2)  aaa  )cos1()cos1(   2 ) 42 cos( a   (3) (2) (5) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 75 Vì   [0 ; ]  1) 42 cos( 2 2   Nên (5) có nghiệm khi 1 22 2  a  42  a . Khi đó, nghiệm của (1) được xác định từ (4) và (5) như sau: cos sin( ) 2 x a a      )4( 2 ) 42 (cos1) 42 cos(2) 42 cos() 42 sin(2 2 aa a aa   Kết luận: * Nếu a = 0 thì (1) có nghiệm x = 0 * Nếu 42  a thì (1) có nghiệm )4( 2 aa a x  * Nếu a < 0 thì (1) vô nghiệm. Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình theo tham số m. )(2 xmxxmxmxm  (1) Tóm tắt lời giải: Điều kiện:         0)( 0 0 xmx xm xm       0;0 mx mxm  mx 0 (2) * Khi m = 0: (1)  22 x x x x      x = 0. * Khi m > 0: (2)  10  m x đặt osx mc  ,        2 ;0   (3) Khi đó: (1)  )cos1(cos)cos1()cos1()cos1(2 2   mmmm  )cos1(coscos1cos1cos12    )cos1(cos)cos1)(cos1(4)cos1(4   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 76   cos)cos1cos1(4    2cos132cos32   0cos64cos1025 2    0 64 1025 cos cos        Lúc đó (3) cho nghiệm x = 0 hoặc 1025 64m x  Kết luận: * Nếu m  0 thì (1) có nghiệm x = 0 hoặc 1025 64m x  * Nếu m < 0 thì (1) vô nghiệm Ví dụ 4: Xác định tham số a để bất phương trình sau có nghiệm. 2 xaxa Tóm tắt lời giải: Ta chỉ cần xét a  0 * Khi a = 0  2 xx  x = 0. * Khi a > 0 điều kiện:      ax x 0  0 0 / 1 x x a     đặt              2 ;0 cos   ax Khi đó: (1)  2)cos1()cos1(   aa  a 1 ) 42 cos(   Với 2 0     1) 42 cos( 2 1   Vậy (2) có nghiệm  2 11  a  20  a Kết luận: Bất phương trình (1) có nghiệm:  20  a Bài tập phân hoá tƣơng tự. Giải các phương trình sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 77 a. x3 + 2 3 2(1 ) 2(1 )x x x   b. 2 21 2 1 2 1 0x x x x      2.2.4. Chủ đề 4: Sử dụng hàm số giải phương trình và bất phương trình vô tỉ HĐ: GV đặt vấn đề. * Giả sử hàm số f(x) đơn điệu trên (a; b) thì trên (a; b) phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm. * Khi gặp phương trình vô tỉ có tham số m, ta cố gắng biến đổi phương trình ấy về dạng: f(x) = m (*). Chúng ta thực hiện các bước sau: Số nghiệm của (*) bằng số giao điểm của đường thẳng (d) y = m với đồ thị (C) của hàm số y = f(x). + Xét hàm số: y = f(x) Tìm miền xác định D Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình y’ = 0 Lập bảng biến thiên + Kết luận - Phương trình (*) có nghiệm trên D  m thuộc miền giá trị của hàm số f(x).  Min f(x)  m  Maxf(x) trên D - Để phương trình (*) có k nghiệm phân biệt  d cắt (C) tại k điểm phân biệt. - Để phương trình vô nghiệm  d (C)=  * Khi gặp bất phương trình vô tỉ có tham số m, ta cố gắng biến đổi bất phương trình ấy về dạng: f(x) m) (**). - Bất phương trình (**) có nghiệm x thuộc (;)  m > Min f(x) (m < Max f(x)) trên khoảng (;). - Bất phương trình (**) có nghiệm đúng với mọi x thuộc (; )  m > Max f(x) trên khoảng (;) ; m < Min f(x) trên (; ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 78  Lưu ý: Với phương trình, bất phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ. - Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ đối với các phương trình, bất phương trình vô tỉ, ta có thể lựa chọn một trong số các phương pháp sau: + Sử dụng tam thức bậc hai, thí dụ: t = 2 24 5 ( 2) 1 1x x x      + Sử dụng đạo hàm. + Sử dụng các bất đẳng thức. HĐ 2: Ra bài tập phân hoá Ví dụ 1: Giải các phương trình và bất phương trình. a. 5 7 16 14x x x x       b. 9325  xx HĐ 3: GV phân tích giúp học sinh xây dựng lời giải a. Điều kiện: 5x Xét hàm số f(x) = 5 7 16 14x x x x       với 5; )x  f ’ (x) = 0 162 1 72 1 52 1 2 1        xxxx với );5( x Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên  5; (1) Mặt khác f(9) = 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 9. b. Điều kiện: 2 3 x Ta xét hàm số: f(x) = 09325  xx với 2 3 x f ’ (x) = 0 32 1 52 1     xx với 3 2 x   Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên ); 2 3 (  Nhận thấy f(11) = 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 79 Vậy bất phương trình đã cho tương đương với       )11()( 2 3 fxf x        11 2 3 x x Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là [- 3 2 ;11) Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm thực. a. mxxxx  )6)(3(63 b. 22422 1112)211( xxxxxm  c. 4 2 12113  xxmx Tóm tắt lời giải: a.HĐ 1: HS đặt điều kiện: 63  x HĐ 2: HS nhắc lại cách giải của phương trình đã học, từ đó: Đặt: 063  xxt với x  [-3 ; 6] Ta có: xx t     62 1 32 1, ; 0, t ; 2 3 x Bảng biến thiên: Vậy t [3;3 2 ] Ta có: )6)(3(2632 xxxxt   2 9 )6)(3( 2   t xx Phương trình đã cho trở thành: mt t  2 9 2 2 Xét hàm số: 2 9 2 2  t t y với t [3;3 2 ] Ta có: y , = - t + 1 ; y , = 0  t = 1. t t, x -3 3 3 23 0 6 3 2 - + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 80 Bảng biến thiên: Tóm lại: Phương trình đã cho có nghiệm  m[3 2 - 9 2 ; 3] b. Điều kiện: 1 1x   đặt: 22 11 xxt  Ta có 22 11 xx   t  0. 2122 42  xt  2t . Do đó t[0; 2 ] Phương trình đã cho trở thành: 2 2 2 t t m t      (*) Xét f(t) = 2 2 2 t t t     với t[0; 2 ] f ’ (t) = 0 )2( 4 2 2    t tt với mọi t[0; 2 ]. Bảng biến thiên: Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì: m[ 2 -1; 1] c. Điều kiện: x  1 - Khi x = 1 thì m = 0. Vậy khi m = 0 thì phương trình có nghiệm x = 1 - Khi x > 1 phương trình tương đương: 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x       Đặt: t = 4 1 1 x x   Ta có: với x > 1 thì t > 1 t y, 3 3 23 y + - 9 3 2 2  t f’(t) f(t) 0 1 2 2 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 81 Khi đó phương trình trở thành: 2 32 tt m  Xét hàm số 2 32 )( tt tf  với t > 1. 3 , 62)( t t tf   f ’ (t) = 0 ;  t = 3 Bảng biến thiên: Tóm lại: Để phương trình đã cho có nghiệm thì 3 1 1  m Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x [-4 ; 6] mxxxx  2)6)(4( 2 Tóm tắt lời giải: Nhận thấy rằng: 242)6)(4( 2  xxxx Đặt: txx  )6)(4( với ( t  0) Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 5 2 64 )6)(4(    xx xx  t  [0; 5] Suy ra: 22 242 txx   22 242 txx  Phương trình đã cho trở thành: mtt  242 với t  [0, 5]. Xét hàm số; f(t) = t2 + t – 24 với t  [0, 5] f '(t) = 2t + 1 > 0 với mọi t  [0, 5] Bảng biến thiên: t 0 f’(t) f(t) -24 6 5 0 3 1 + -1 1 3 0 t f’(t) f(t) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 82 Vậy để bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với  x  [-4 ; 6] thì m  6. Ví dụ 4: Cho bất phương trình. axx  72 2 1. Giải bất phương trình khi 2 1 a 2. Tìm a để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x Tóm tắt lời giải: 1. Khi 2 1 a ta có bất phương trình: 1272 2  xx       22 )12(72 012 xx x         062 2 1 2 xx x  x > 1. Kết quả x > 1. 2. Ta có: axxa  72 2  xxa  )172( 2  172 2   x x a vì xx  ;172 2 Đặt 172 )( 2   x x xf bài toán trở thành tìm a để f(x) > a ; x  R * 2 ' 2 2 2 7 2 7 ( ) ( 2 7 1) . 2 7 x f x x x       * '( ) 0 21f x x    * limf(x) = - 2 1 ; limf(x) = 2 1 . Bảng biến thiên: x- x+ x f,(x) - 21 21 0 0 6 21  2 1  f(x) 6 21 2 1 + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 83 Vậy f(x) > 4 với mọi x  a < minf(x)  a < - 21 6 Bài tập phân hoá tương tự 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau: a. 5429  xx b. 11414 2  xx c. x5 + x3 - 1 3x + 4 = 0 d. 2 215 3 2 8x x x     2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a. 29 9x x x x m      b. x2- 4x- 2(m + 1) 2 4 5x x  = m-10 c. 2 2 2 2 4( 2 2 5) 2 2 2 4m x x x x x          d. x 12 ( 5 4 )x x m x x      3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x [- 1 2 ; 3] (1 2 )(3 )x x   m + 2x 2 - 5x + 3 2.2.5. Chủ đề 5: Những phương trình và bất phương trình vô tỉ không mẫu mực GV đặt vấn đề: Nhiều phương trình, bất phương trình bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên: * Tam thức bậc hai. * Các bất đẳng thức cơ bản, như Cosi, Bunhiacôpxki... * Tính chất trị tuyệt đối ..... Ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của nó Nếu gặp phương trình dạng: f(x) = g(x), mà chứng tỏ được ( ) ( ) f x a g x a    thì phương trình tương đương với ( ) ( ) f x a g x a    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 84 Ra bài tập phân hoá: Ví dụ: Giải các phương trình, bất phương trình sau; a. 11642 2  xxxx b. 43)1(32153 2222  xxxxxxx c. 131223618322122 222  xxxxxx d. 2 37 11 25 12x x x   = x2 + 6x - 1 e. 2 21 1 2x x x x      Phân tích và hướng dẫn học sinh tìm lời giải: a. 11642 2  xxxx (1) Điều kiện: 42  x * Theo bất đẳng thức B.C.S ta có: 1. 2 1. 4x x    2 2(1 1 )( 2 4 )x x    = 4  2 4x x    2 Dấu = xảy ra  xx  42  x = 3 * Mặt khác ta có: 22)3(116 22  xxx với  x  2;4 Dấu = xảy ra  x = 3 Do đó (1)  2 2 4 2 3 6 11 0 x x x x x           Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 b. 43)1(32153 2222  xxxxxxx Điều kiện: 2 2 2 2 3 5 1 0 2 0 1 0 3 4 0 x x x x x x x                (1) Phương trình đã cho tương đương với. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 85 432)1(3153 2222  xxxxxxx  432 63 )1(3153 42 2222      xxx x xxxx x (2) Nhận thấy các mẫu số của (2) đều dương x = 2 là nghiệm của (2) x > 2 Vế trái (2) < 0 < vế phải (2) x 0 > vế phải (2) Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất. c. 131223618322122 222  xxxxxx Phương trình đã cho tương đương với 2 2 22( 3) 4 3( 3) 9 5 2( 3)x x x        (*) Ta có: Vế trái (*)  2 + 3 = 5 dấu bằng xảy ra  x = 3 ; Vế phải  5 PT  2 3 2 VT x VP     Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 3 d. 2 37 11 25 12x x x   = x 2 + 6x - 1  2 2(7 4)( 3)x x x   = x 2 + 6x -1 Điều kiện: 7x - 4  0  x  7 4 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái, ta được: 2 2(7 4)( 3)x x x    (7x - 4) + x2 - x + 3= x2 + 6x -1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 7x - 4 = x2 - x + 3  x = 1 hoặc x = 7 Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1 hoặc x= 7 e. 2 21 1 2x x x x      Điều kiện: 2 2 2 1 0 1 0 1 1 0 x x x x x x              Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 86 Theo bất đẳng thức Côsi ta có: VT = 2 21 1x x x x     2 22 1 1 2x x x x     Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi VT = 2  2 21 1x x x x      x = 1 Vậy, nghiệm của bất phương trình là x = 1. +) Nhận xét: Ta thấy đường lối để giải bài tập theo phương pháp đánh giá rất phong phú và đa dạng, không theo một quy trình nào, phải tùy vào đặc điểm của từng bài mà có sự đánh giá cho phù hợp. Bài tập phân hoá tương tự. Giải các phương trình – bất phương trình sau. a. 2 2 1 1 2 2 4 ( )x x x x       b. 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x          c. 221682 22  xxxx d. 222 2414105763 xxxxxx  e. 21 2 10 16 3x x x x      f. 2 xy3 1xy21yx  2.2.6. Phương trình, bất phương trình vô tỉ có chứa các biểu thức lượng giác, hàm mũ, logarit - Phương pháp chung để giải các phương trình loại này là khử các phép toán lượng giác, mũ và logarit để đưa về phương trình, bất phương trình vô tỉ thông thường. - Các phương pháp thông dụng: Đặt ẩn phụ, nâng lên luỹ thừa.. Ví dụ 1. Giải phương trình sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 87 1 s inx 1 osx 1c    (1) Tóm tắt lời giải: Phương trình có nghĩa với mọi x HĐ 1: Hướng dẫn học sinh biến đổi phương trình về phương trình vô tỉ cơ bản bằng phương pháp bình phương hai vế. (1)  1 - (sinx + cosx) + 2 1 ( cos )sinx x sinxcosx   = 0 (2) HĐ 2: Yêu cầu học sinh nhắc lại cách giải phương trình: A(sinx  cosx) + B.sinxcosx + C = 0 HĐ 3: Giải phương trình (2) Đặt sinx + cosx = t, điều kiện 2t   Sinx + cosx = 2 1 2 t  (2) 1 - t + 2 1t  = 0  2 1t  = t - 1 suy ra t - 1  0  2 (t - 1) = t - 1 t =1 = sinx + cosx = 2 ( ) 4 cos x    2 ( ) 4 2 cos x    4 4 x       + 2k  x = 2k  hoặc x = 2  + 2k  , k  Z Ví dụ 2: Giải phương trình: cosx + 2 22 2 3cos x cosx cos x    Tóm tắt lời giải: Phương trình có nghĩa với mọi x HĐ 1: Phân tích và hướng dẫn học sinh dựa vào chủ đề 2 để tìm lời giải bằng cách đặt: t = cosx + 22 cos x ; điều kiện 0 2t  HĐ 2: Tính cosx 22 cos x = ?, bằng cách bình phương hai vế tìm được: cosx 22 cos x = 2 2 2 t  Phương trình trở thành: t2 + 2t - 8 = 0  t = 2 (thoả mãn) hoặc t = - 4 (loại) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 88  cosx + 22 cos x =2  22 cos x = 2 - cosx  2- cos 2 x = (2 - cosx) 2  cosx =1  x = 2k, k Z Ví dụ 3: Giải phương trình: 22 3 2 2sinx cos x sinx cos x     (3) Tóm tắt lời giải: (3)  2 22 1 3 2 2sinx cos x sinx cos x      Điều kiện: sinx + cos2x 0 Đặt 2 2 2 1 0 sin 2 3 0 u sinx cos x v x cos x            v 2 - u 2 = 4 Ta có hệ phương trình: 2 2 2 4 u v v u      từ đó giải được v = 2 và u = 0. 2 2 2 1 0 2 3 0 cos x sinx cos x sinx           2cos2x + sinx - 1= 0 (thoả mãn điều kiện)  sin 1 1 2 x sinx       2 2 2 ( ) 6 7 2 6 x k x k k Z x k                      Ví dụ 4: Giải phương trình: 1 c 1 1 sin 2 otg tgx x     (4) Tóm tắt lời giải: Điều kiện 1 1 sin 2 0 cotgx tgx x      Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 89 Theo bất đẳng thức Côsi ta có 1 cot 1 1(cot 1) 2 2 1 1 1( 1) 2 2 gx cotgx gx tgx tgx tgx             1 1 1 ( ) 2 cotgx tgx cotgx tgx      = 1 sin 2x Dấu = xảy ra 1 1 2 1 1 2 cotgx cotgx tgx tgx             hệ vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 5: Giải phương trình: 22x - 2 6 6x   Tóm tắt lời giải: Đặt u = 2x > 0 Phương trình trở thành: u2 - 6 6u   Đặt v = 6u  , điều kiện v 6 . Ta có hệ phương trình: 2 2 6 6 u v v u       Từ đó tìm được u =3 hoặc u = 1 21 2    2 2 log 32 3 1 21 1 21 2 log 2 2 x x x x           Ví dụ 6: Giải các phương trình, bất phương trình sau: a. 3 33 log log 3 1 0x x   b. 2 2 2 2 1 4 2 log log 3 5(log 3)x x x    HĐ 1: Gọi học sinh nhắc lại một số công thức về hàm số logarit và các tính chất của hàm logarit HĐ 2: Phân tích và tìm lời giải a. Điều kiện: 3 0 1 log 0 x x x     Vì log33x = 1 + log3x nên phương trình tương đương: 3 3log x  (1 + log3x) -1 = 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 90 Đặt 3log 0x t  , ta có phương trình: t2 - 3t + 2 = 0  t = 1 hoặc t = 2 (thoả mãn), từ đó tìm được: x = 3 hoặc x = 81. 2 2 3 5( 3)t t t    1 1 0 2 3 4 8 16 t x t x            Ví dụ 7: Cho bất phương trình: 222 2.2.2.2 xxaaxxxxx xx  1. Giải bất phương trình với a = - 1 2. Tìm a để bất phương trình có ít nhất một nghiệm x > 1 Tóm tắt lời giải: 1. Khi a = -1 bất phương trình trở thành: 2 2 22 .2 2 2x xx x x x x x x     < 0  )2()2(2 2 xx xxxxx   2( )( 2 )xx x x x  <0 Để căn thức có nghĩa thì 02 2  xx  20  x Với điều kiện đó thì: 02  xx Nên bất phương trình  02 2  xxx  02  xx  0 1 x x    Kết hợp với điều kiện 20  x ta có nghiệm của bất phương trình là: 1< x  2. 2.Ta dùng phương pháp phản chứng. Yêu cầu bài toán không được thoả mãn:  222 2.2.2.2 xxaaxxxxx xx  với x (1; 2]  )2.()2.(2 2 xx axxaxxx  với x (1; 2]  0)2.)(2( 2  xaxxxx (*) với x (1; 2] Vì: 1)1(12 22  xxx ; x (1; 2]  02 2  xxx ; x (1; 2] nên (*)  02.  xax với x (1; 2]  a x x 2  với x (1; 2] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 91 Xét hàm số x x xf 2 )(  , ta có f(x) liên tục trên (1; 2] và 2 2 .2 .ln 2 '( ) (2 ) x x x x f x   = 1 ln 2 2x x ' ( ) 0f x   xln2 = 1  2 1 log ln 2 x e  Ta có f(1) = f(2) = 1 2 ; f(log 2 e ) = 1 e log 2 e Vậy a  f(x) với x (1; 2]  e e a 2log 1  Do đó, để bất phương trình có ít nhất nghiệm x > 1 thì e e a 2log 1  Ví dụ 8: Giải và biện luận phương trình theo tham số m. 2 2x xm m   = m (1). Tóm tắt lời giải: * Nếu m 0  phương trình vô nghiệm. * Xét m > 0, đặt t = 2x > 0, (1) trở thành: m t m t   = m  2m + 2 2 2m t = m 2  2 2 2m t = m 2 - 2m  2 2 2 2 2 4( ) ( 2 ) (2) m m t m m      (2)  4t 2 = 4m 3 - m 4. Để có nghiệm thì: 4m3 - m4 > 0  m< 4 Tóm lại: Nếu 2  m < 4 thì (1) có nghiệm t = 3 41 4 2 m m = 2 x 1 2 x  log2 (4m 3 - m 4 ) -1 - Nếu m < 2 hoặc m  4 thì (1) vô nghiệm. Bài tập phân hoá tƣơng tự: 1. Giải các phương trình, bất phương trình sau: a. sinx + 2 22 sin 2 sin 1x sinx x    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 92 b. cos 2 x + 2 2cosx  c. sinx cosx + 2sinx cosx  d. 4 2sin 4x cos x = sin 2 x - 2sinx + 2 e. 2 2x - 2 6 6x   f. 3log3(1 + 3x x ) = 2log2 x g. 2 9log (3 4 2)x x  + 1 > log3(3x- 4x + 2) h. 18 2 4x x   2 1+x > 5 2. Tìm m để mọi x thuộc khoảng (0; 2) đều thoả mãn bất phương trình: log2 2 2 42 4 log ( 2 ) 5x x m x x m      3. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: 2 2log logx a x  4.Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 ] 2 2 3 3log log 1 2 1 0x x m     2.2.7. Sử dụng điều kiện cần và đủ giải phương trình, bất phương trình vô tỉ HĐ 1: GV đặt vấn đề: - Ta thường sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ đối với lớp dạng bài toán tìm điều kiện của tham số để: + Hai phương trình, bất phương trình tương đương + Phương trình, hệ phương trình có nghiệm duy nhất. + Phương trình, hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của một tham số. + Phương trình, bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x  D - Khi đó ta thực hiện các bước: + Đặt điều kiện để các biểu thức của hệ phương trình có nghĩa. + Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 93 + Kiểm tra điều kiện đủ. - Lưu ý: Hai phương trình tương đương khi và chỉ khi mỗi nghiệm của phương trình này đều là nghiệm của phương trình kia và ngược lại. Nói cách khác là hai tập nghiệm của hai phương trình là bằng nhau. - Để xác định điều kiện hai phương trình tương đương, trước tiên ta phải tìm các nghiệm của phương trình đơn giản hơn rồi thay các nghiệm này vào phương trình còn lại để tìm điều kiện thoả mãn đề bài. HĐ 2: Ra bài tập phân hoá: Ví dụ 1: Cho phương trình: 34 )1(2)1(21 mxxxxmxx  1. Giải phương trình với m = -1. 2. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tóm tắt lời giải: 1. Với m = -1 phương trình trở thành: 1)1(2)1(21 4  xxxxxx  0)1(21)1(21 4  xxxxxxxx  4 4 2 24 4 1 0 ( 1 ) ( 1 ) 0 1 0 x x x x x x x x                 xx 1  2 1 x Vậy với m = -1 thì phương trình có nghiệm duy nhất 2 1 x 2. Nhận thấy nếu x0 là một nghiệm thì x = 1 - x0 cùng là một nghiệm. do đó, nếu x = x0 là một nghiệm duy nhất thì phải có: x0 = 1 - x0  0 1 2 x  . * Điều kiện cần: Với 2 1 x thì phương trình trở thành: m = m3  m = 0 ; m =  1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 94 * Điều kiện đủ: a. m = 0 thì phương trình: 0)1(21 4  xxxx  24 4( 1 ) 0x x    2 1 x  với m = -1 thì phương trình có nghiệm duy nhất 2 1 x (thoả mãn). b. m = - 1 theo câu 1, phương trình có nghiệm duy nhất 2 1 x c. m = 1 phương trình trở thành: 1)1(2)1(21 4  xxxxxx Có ít nhất hai nghiệm x = 0; x = 1 (không thoả mãn). Tóm lại: m = 0 ; m = -1. Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:       myx myx 1 1 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. Tóm tắt lời giải: Nhận thấy nếu (x0 ;y0) là một nghiệm thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất thì phải có: x0 = y0. * Điều kiện cần: Thay x = y, hệ trở thành mxx  1 (1) Ở (1) nếu x0 là một nghiệm thì 1 – x0 cũng là một nghiệm của (1). Để (1) có nghiệm duy nhất thì 2 1 0 x thay vào (1)  2m * Điều kiện đủ: Với 2m thì hệ trở thành:       21 21 yx yx        22)1()1( 21 yyxx yx (2) Theo bất đẳng thức. B.C.S ta có:       21 21 yy xx Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 95 Suy ra: 1 1 2 2x x y y      Dấu bằng xảy ra:        yy xx 1 1  2 1  yx Tóm lại: 2m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Ví dụ 3: Xác định các giá trị của a sao cho hệ sau đây có nghiệm với mọi b. 2 22 1 ( 1) 1 1 0 x b a by x ax by            (I) Tóm tắt lời giải: Điều kiện cần: Hệ có nghiệm với b = 0, khi đó: (I)  2 1 1 1 0 x x ax         1 1 0 x ax      1 1 x a    Vậy a = 1 là điều kiện cần để hệ có nghiệm với mọi b. Điều kiện đủ: Với a = 1, hệ (I) có dạng: 2 22 1 1 1 0 x b x x by           2 2 2 1 0 2 1 ( 1) 1 0 x x b x x by              2 1 1 0 x b x by         2 2 1 0 x b b by        ít nhất một nghiệm là 2 1x b y b       Vậy hệ phương trình có nghiệm với mọi b khi a = 1 Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x  [-2, 4] (2 )(4 )x x   x2 -2x + m Tóm tắt lời giải: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x [-2, 4]  x = 1 là nghiệm của (1), khi đó: 3  m - 1  m  4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 96 Đó là điều kiện cần để bất phương trình nghiệm đúng x [-2, 4]. Điều kiện đủ: Giả sử m  4, khi đó: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái, ta được: VT = (2 ) (4 ) (2 )(4 ) 3 2 x x x x        Biến đổi vế phải về dạng: VP = x 2 -2x +m = (x - 1) 2 + m - 1  3 Suy ra: (2 )(4 )x x   x 2 -2x + m Vậy với m  4 bất phương trình nghiệm đúng với x [-2, 4]. Ví dụ 5: Cho hai phương trình: (x + 1)(x - 5) + 2 + 3m 2 4 6x x m   = 0 (1) 3 1x  - 33 3 2x   (2) Tìm m để hai phương trình tương đương. Tóm tắt lời giải: Giải (2): Đặt 3 3 1 3 x u x v       Ta được hệ phương trình: 3 3 3 2 2 u v u v       3 3 2 ( ) 3 ( ) 2 u v u v uv u v           (u; v) = ( 3 2 ; 0),(0 ; 3 2 ) * Từ đó ta giải được x =1 hoặc x = 3. Điều kiện cần: Giả sử (1) và (2) tương đương thì x =1 phải là nghiệm của (1). Khi đó (1) tương đương với: m 3m  = 2 2 0 1 ( 3) 4 m m m m       Điều kiện đủ: Với m =1, khi đó (1) có dạng: x 2 - 4x - 3 + 3 2 4 7 0x x   (3) Để giải (3) ta đặt 2 4 7x x   t (t  0), khi đó (3) có dạng: t 2 + 3t - 10 = 0  t = 2 (thoả mãn) hoặc t = -5 (loại). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 97 Với t = 2 thì 2 4 7x x   2  x 2 - 4x +3 = 0  x =1 hoặc x = 3. Tức là (1) và (2) tương đương. Tóm lại: với m =1 thì hai phương trình đã cho tương đương với nhau. Ví dụ 6: Cho phương trình và bất phương trình: 4 25 3 5x x    (1) 1 2 2x m x   1 2 2x m x   = 2 (2) Tìm m để phương trình và bất phương trình tương đương. Tóm tắt lời giải: Giải (1): điều kiện 4 0 4 25 3 0 x x x       Xét hàm số: f(x) = 4 25 3x x   với x  4 Ta có: f ' (x) = 1 3 0 2 4 2 25 3x x      với mọi x < 4. Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (- ; 4) Mặt khác: f(3) = 5. Vậy bất phương trình: f(x)  5 4 3 x x     3x  Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là: (- ; 3]. Điều kiện cần: Giả sử (1) và (2) tương đương với nhau thì x = 3 là nghiệm của (2), khi đó (2) tương đương với: 22 2 2 2 2 4 4 0m m m      1m  . Vậy 1m   là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương. Điều kiện đủ:  Với m= -1, khi đó (2) có dạng: 1 2 2x x    1 2 2x x   = 2  2 1 2 1x x     =2  2 1 1 2x x     = ( 2 1) (1 2)x x     Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 98  ( 2 1)(1 2) 0x x      x  3. Tức là (1) và (2) tương đương.  Với m = - 1, giải tương tự. Vậy với m =  1 thì (1) và (2) tương đương. Bài tập phân hoá tƣơng tự 1. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: a. 6 6 x y m y x m         b. 2 2 2 3 5 5 x y m y x x          2. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc [-2, 4] -4 (2 )(4 )x x   x 2 - 2x + m - 18 3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất. a. 32 21 2 1x x m    b. 4 4 2 2x x x x m      2.2.8. Chủ đề 6: Hệ phương trình vô tỉ HĐ 1: GV đặt vấn đề:  Lược đồ để giải hệ phương trình vô tỉ có thể được minh hoạ theo các bước: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa Bước 2: Lựa chọn các phương pháp thực hiện: - Biến đổi tương đương. - Sử dụng ẩn phụ. - Sử dụng hàm số - Dùng tam thức bậc hai - Dùng điều kiện cần và đủ - Dùng phép thế Lưu ý: Trong trường hợp sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, chúng ta có thể bỏ qua bước 1 để giảm thiểu độ phức tạp. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 99 - Nếu lựa trọn phương pháp đặt ẩn phụ thì: + Với hệ phương trình không có tham số có thể chỉ cần thiết lập điều kiện hẹp cho ẩn phụ + Với hệ phương trình có tham số phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.  Khi gặp hệ phương trình dạng ( ) ( ) (1) ( , ) 0 (2) f x f y g x y    ta có thể tìm lời giải theo một trong hai hướng sau: + Hướng 1: Phương trình (1)  f(x) - f(y) = 0 (3) Tìm cách đưa (3) về một phương trình tích. + Hướng 2: Xét hàm số y = f(t). Ta thường gặp hàm số liên tục trong tập xác định của nó. Nếu hàm số y = f(t) đơn điệu, thì từ (1) suy ra x = y. Khi đó bài toán đưa về giải và biện luận phương trình (2) theo ẩn x. Nếu hàm số y = f(t) có một cực trị tại t = a thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi qua a. Từ (1) suy ra x = y hoặc x, y nằm về hai phía của a. HĐ 2: Ra bài tập phân hoá: Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau: a.       4 28222 yx xyyx b.       411 3 yx xyyx c. 6 5 6 2 9 x x y x y x x y xy          d. 7 2 7 x y y x xy x xy y xy        e.       752 725 xx yx Phân tích và tìm lời giải: (1) (2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 100 a. 2 2 2 8 2 4 x y xy x y        Điều kiện: x > 0 ; y > 0 (1)  8022822  xyxyyx Hệ        162 2822)( 2 xyyx xyxyyx  2(16 2 ) 2 8 2xy xy   (3) Đặt txy  với 0 < t < 8. (3)  2822)216( 22  ttt  t = 4 Ta được:       4 4 yx xy  (x, y) = ( 4; 4) Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( 4; 4) b.       411 3 yx xyyx Từ (1) có xy  0. Nếu x hoặc y âm thì vế trái của (1) có giá trị âm, phương trình không thoản mãn. Đặt: x + y = S ; xy = P (S, P  0 ; S2 - 4P  0) Từ (1)  3 PS (3) Từ (2) bình phương hai vế, ta được 1412  SPS (4) Từ (3) và (4) tìm được S = 6; P =9 Ta được nghiệm duy nhất của hệ ( x; y) = (3 ;3) c. Ta nhận thấy: 1 6 . 6    x yx yx x (2) (1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 101           9 2 5 6 6 xyyx x yx yx x Đặt: 0 6   t yx x (1)  0252 2  tt  t = 1 2 hoặc t = 2 Với t = 2  xy 2 1  thế vào (2) ta được: 01832  xx vô nghiệm. Với 2 1 t  y = 11x thế vào (2) ta được 091211 2  xx vô nghiệm. Tóm lại hệ đã cho vô nghiệm. d. 7 2 7 x y y x xy x xy y xy        Từ (1) có xy > 0. Nếu x hoặc y âm thì vế trái của (2) âm. Phương trình không thoả mãn. Đặt: 0 xa ; 0 yb Hệ trở thành:         7)( 2 7 22 22 baab ab ab ba            7 2 7 . 2 722 ab ab ab ab ab ba         2 2 15 ab ba ( a, b> 0)  a,b là nghiệm của phương trình: 02 2 152  tt phương trình này vô nghiệm. Tóm lại: Hệ đã cho vô nghiệm. e. Điều kiện:      2 2 y x Bình phương hai vế hệ tương đương:       49)5)(2(252 49)2)(5(25 yxyx yxyx        )5)(2()2)(5( 46)2)(5(2 yxyx yxyx (1) (2) (1) (2) (1) (2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 102 Từ (2)  x = y ; (1)  xxx  23)2)(5(  2 23 0 ( 5)( 2) (23 ) x x x x         x = 11 Tóm lại: hệ có duy nhất ( x,y) = (11, 11) Ví dụ 2: Tìm m để các hệ sau có nghiệm. a.       myyxx yx 31 1 b.       mxy myx 21 21 c. 1 3 1 3 x y m y x m           d.       2)1(2 2 myxyx yx Tóm tắt lời giải: a. Điều kiện: x  0 ; y  0. Đặt: u x v y     với u  0 ; v  0 hệ đã cho trở thành.      mvu vu 31 1 33       muv vu 1 (1)  u,v là hai nghiệm của phương trình. t2 – t + m = 0 (2) Hệ đã cho có nghiệm (x, y)  hệ (1) có nghiệm u  0, v  0.  Phương trình (2) có nghiệm t không âm.  1 4 0 1 0 0 m S P m            4 1 0  m b.       mxy myx 21 21 Điều kiện; x  2 ; y  2 ; m > 0 Hệ tương đương với;       mxyxy myxyx )2)(1(221 )2)(1(221 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 103  ( 1)( 2) ( 1)( 2)x y y x      x = y Hệ trở thành: mxx  21 với x  2 Xét hàm số: 21)(  xxxf với x  2 0 22 1 12 1 )(,      xx xf với mọi x > 2 Bảng biến thiên: Vậy hệ đã cho có nghiệm  3m  m  3 c. 1 3 (1) 1 3 (2) x y m y x m           Điều kiện: -1  x, y  3 Trừ hai vế của (1) cho (2) và chuyển vế, ta được: 1 3 1 3x x y y       (3) Dễ thấy hàm số f(t) = 1 3t t   đồng biến trên (-1 ; 3) nên từ (3) suy ra x = y. Khi đó từ (1) có g(x) = 1 3x x   liên tục trên [-1 ; 3] và: g’(x) = 1 1 2 1 2 3x x    , g’(x) = 0  x =1. Ta có: g(-1) = 2, g(1) = 2 2 , g(3) = 2. Từ đó  2 g(x)  2 2 Vậy hệ có nghiệm khi 2 m  2 2 d. 2 2 ( 1) 2 x y x y x y m         Ta có: (1)  2 ( 1) 2 ( )x y m x y     2 3 + + x f’(x) f(x) (1) (2) (3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 104       1)2()1( 2 22 myx yx * Nếu m + 1  0 thì (3) vô nghiệm  hệ vô nghiệm. * Nếu m > -1 thì các điểm M (x, y) thoả mãn (3) nằm trên đường tròn (C) tâm I(1, 2) bán kính R= 1m Mặt khác điểm M(x, y) thoả mãn (2) thì nằm trên nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng (d ): x + y- 2 = 0 Điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm là (C) có điểm với nửa mặt phẳng xác định bởi: x + y  2.  d(I, d)  R  1 2 1  m  2 1 m Ví dụ 3: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm phân biệt       myx myx 3 21 Tóm tắt lời giải: Điều kiện: x  -1, y  -2 và m  0. Đặt: 01  xu ; 02  yv Hệ trở thành:      3322 mvu mvu       03322)( 22 mmmuuuf umv Từ (1)  m- u  0  0  u  m Để hệ đã cho có đúng hai nghiệm thì (2) có hai nghiệm: 0  u  m; Nếu m = 0 thì 2 3 u  v = 3 2 u   hệ vô nghiệm, nên chỉ xét 0 < u  m. Yêu cầu của bài toán được thoả mãn  (2) có nghiệm sao cho: 0 < u1 < u2  m. (1) (2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 105  ' 0 (0) 0 ( ) 0 0 2 f f m m m             2 2 6 6 0 3 3 0 m m m m          3 21 3 15 2 m     Tóm lại: Giá trị m cần tìm: 3 21 3 15 2 m     Ví dụ 4: Giải và biện luận hệ:       myx myx 12 21 Tóm tắt lời giải: Điều kiện:      21 21 y x Hệ  1 2 1 1 2 2 x y m x y x y              Nếu x = y = -1 hoặc x = y = 2 thì (2) thoả mãn. Nên (2)  0 2211       yx yx yx yx  2 1 ( )( ) 0 1 1 2 2 x y x y x y           x = y Hệ trở thành: mxx  21 (3) Nếu m  0 thì (3) vô nghiệm, nên hệ đã cho vô nghiệm. Nếu m > 0 thì (3)        yx mxx 3)2)(1(2 2  2 2 2 3 1 2 ( 3) 0 4 m x y x x m              Phương trình (4) có  = 6m2 – m4 Nếu   0  63  m thì (4) có hai nghiệm. x = y = 2 41 (1 6 ) 2 m m  hoặc x = y = 2 41 (1 6 ) 2 m m  (2) (1) (4) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 106 Nếu m < 3 hoặc m > 6 thì (4) vô nghiệm. Tóm lại: + Nếu m < 3 hoặc m > 6 thì hệ vô nghiệm. + Nếu 63  m thì hệ có hai nghiệm. x = y = 2 41 (1 6 ) 2 m m  hoặc x = y = 2 41 (1 6 ) 2 m m  Ví dụ 5: Cho hệ phương trình. 2 24 3 1(1) (2) x xy y x x y m         Tìm m để hệ có hai nghiệm thực phân biệt. Tóm tắt lời giải: Từ (2)  y = x – m thế vào (1) ta được: 1322 22  xmmxx  2 2 1 0 ( ) 2( 1) 3 1 0 (3) x f x x m x m          Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt  (3) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: 211 xx  ; từ đó tìm được: 3 17 3 71    a . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 107 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 Việc nghiên cứu áp dụng lí luận dạy học phân hoá trong dạy học một số chủ đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ THPT như đã trình bày góp phần đổi mới phương pháp dạy học, tác động tốt đến mọi đối tượng học sinh trong lớp, học sinh yếu kém đã biết cùng tham gia xây dựng bài học, học sinh trung bình hiểu vấn đề một cách sâu sắc hơn, học sinh có năng lực học tập bộ môn toán được phát huy hết khả năng của mình, qua đó trí tuệ của các em được phát triển. Như vậy, chúng ta đã thực hiện tốt mục đích dạy học là đào tạo ra những học sinh đáp ứng được nhu cầu của xã hội phát triển. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 108 CHƢƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đích, nội dung, tổ chức thực nghiệm sƣ phạm * Bước đầu kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của phương án dạy học phân hoá qua tổ chức ôn tập một số chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trình vô tỉ trung học phổ thông. * Tổ chức thực nghiệm + Chọn lớp thử nghiệm - Vì đối tượng thực nghiệm là học sinh trung học phổ thông nên chúng tôi chọn hai lớp: 12A6 và 12A7 năm học 2007- 2008 của trường PTTH Lương Ngọc Quyến - Thái Nguyên. - Lớp 12A6 là lớp thử nghiệm; lớp 12A7 là lớp đối chứng. Mặt bằng chung về trình độ nhận thức của đối tượng học sinh trong 2 lớp là như nhau. + Tiến trình thử nghiệm - Số tiết dạy thử nghiệm là 6 tiết. - Quá trình thử nghiệm được xếp vào một số tiết ôn tập, mỗi tuần 2 tiết vào tháng 8 năm học 2007 - 2008. + Nội dung thử nghiệm - Các tiết dạy thử nghiệm là một số tiết ôn tập về phương trình vô tỉ ở THPT. Sử dụng các bài tập trong hệ thống bài tập đã xây dựng ở chương 2. - Chúng tôi đã tiến hành dạy học theo quy trình phân hoá và nội dung bài học như trong luận văn đã trình bày đối với lớp thực nghiệm và không áp dụng đối với lớp đối chứng. + Phương pháp dạy học Chúng tôi đã vận dụng nhiều phương pháp dạy học: dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề; dạy học phân hóa; dạy học chương trình hoá; đàm thoại Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 109 gợi mở... và một số hình thức dạy học phát huy tối ưu và tối đa hoạt động của học sinh như: dạy học theo nhóm đối tượng học sinh, dạy học phân nhóm theo khu vực học tập, dạy học cá thể hoá... Qua đó phát huy tốt vai trò của người thầy, là người tổ chức và điều khiển hoạt động nhận thức của học sinh. 3.2. Kết quả thử nghiệm 3.2.1. Về khả năng lĩnh hội kiến thức của học sinh Giáo viên đã tổ chức được hoạt động cho học sinh trong giờ học, sử dụng các phương pháp hợp lí. Học sinh có khả năng tiếp nhận và nắm được cách giải các chủ đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ THPT, có thể tự giải được một số bài trong các chủ đề trên. Một số bài học sinh chưa giải được, nhưng sau khi có gợi ý của giáo viên thì một số em đã giải được, thậm chí là rất xuất sắc. Sau đợt thử nghiệm, học sinh đã nắm bắt được các hoạt động trí tuệ cơ bản trong toán học như phân tích, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự... Hạn chế được những khó khăn, sai lầm khi học và giải bài tập toán trong phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ THPT, phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học thời đại hiện nay. 3.2.2. Về kết quả kiểm tra Đề kiểm tra Câu 1. (4 điểm): Giải phương trình a. 3 2 1x x    b. 2 3 2 3 2 x x x    = 1 - x Câu 2. (2 điểm): Giải bất phương trình 2. 43 2 2 3 (3 2).( 2)x x x x      Câu 3. (2 điểm): Giải hệ phương trình 1 1 2 2 2 x y x y y          Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 110 Câu 4.(2 điểm): Tìm m để phương trình sau có nghiệm -x 2 + 2x + 4. ( 1)(3 )x x  = m - 3 Ý định sư phạm đề kiểm tra Câu 1: Thuộc chủ đề phương trình vô tỉ bằng phương pháp biến đổi tương đương. a. Đáp số x = 1 b. Đáp số x = 1 Câu 2: Thuộc chủ đề sử dụng ẩn phụ đưa bất phương trình vô tỉ về bất phương trình bậc hai. Điều kiện: x 2 3  Chia cả hai vế cho 2x  ta được: 2. 4 3 2 3 2 1 3. 2 2 x x x x       (*) Đặt t = 4 3 2 2 x x   (t  0) (*)  2t2 - 3t + 1  0 Từ đó tìm được x  2 hoặc 2 34 3 47 x  Câu 3: Thuộc chủ đề giải hệ phương trình bằng phép biến đổi tương đương và phép thế. Đáp số: (x, y) = ( 1 3 ; 2 2 ) Câu 4: Thuộc chủ đề sử dụng phương pháp khảo sát chiều biến thiên của hàm số. Đặt t = ( 1)(3 )x x  từ đó tìm được điều kiện của t là: 0  t  2 Đáp số: 0  m  12 Kết quả kiểm tra Điểm Lớp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số bài 12A6 (lớp thử nghiệm) 0 0 2 1 6 4 13 7 5 2 40 12A7 (lớp đối chứng) 2 7 1 4 10 3 6 6 1 0 40 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 111 3.3. Kết luận sơ bộ - Lớp 12A6 (lớp thử nghiệm): Trên trung bình: 92,5%. Trong đó: Khá giỏi: 67,5%; Trung bình: 25%; Yếu kém: 7,5% - Lớp 12A7 (lớp đối chứng): Trên trung bình: 65%. Trong đó: Khá giỏi: 32,5%; Trung bình: 32,5%; Yếu kém: 35% Qua đó ta thấy học sinh ở lớp thử nghiệm nắm vững kiến thức cơ bản, học sinh yếu kém bước đầu có dự tiến bộ đã hình thành một số kĩ năng cơ bản, học sinh khá giỏi được bồi dưỡng nâng cao trên cơ sở nắm vững kiến thức cơ bản, các em có khả năng phát huy được hoạt động trí tuệ và vận dụng kiến thức linh hoạt. Kết luận chung về thực nghiệm Qua quá trình dạy thực nghiệm và từ kết quả của bài kiểm tra của học sinh cho thấy: Sử dụng các phương pháp dạy học các chủ đề đã nêu trong đề tài nhằm rèn luyện hoạt động trí tuệ để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ là có thể thực hiện được Nếu thường xuyên áp dụng dạy học theo định hướng trên thì có tác dụng rất tốt trong việc gây hứng thú trong học tập cho học sinh, lôi cuốn học sinh vào các hoạt động học tập tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo, giúp học sinh rèn luyện các hoạt động trí tuệ trong khi giải toán. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 112 KẾT LUẬN Luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây: - Trình bày tổng quan về dạy học phân hoá nói chung, dạy học phân hoá trong môn toán nói riêng ở trường THPT. - Phân tích thực trạng áp dụng dạy học phân hoá trong giờ dạy học môn toán hiện nay ở trường THPT và đề ra được một số định hướng về tổ chức và hoạt động, và các bước tiến hành trong dạy học phân hoá của người giáo viên. - Xây dựng được nội dung các chủ đề để dạy học phân hoá phương trình,bất phương trình và hệ phương trình vô tỉ ở trường THPT, có chú ý đến việc khắc phục những khó khăn và sai lầm của học sinh trong mỗi chủ đề. - Tổ chức thực nghiệm ở hai lớp 12 của trường THPT Lương Ngọc Quyến Thái Nguyên. Kết quả thực nghiệm phần nào kiểm nghiệm được tính khả thi và kết quả của đề tài. - Luận văn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên toán và sinh viên toán các trường Đại học - Cao đẳng Sư phạm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 113 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Hoàng Chúng (1990), Rèn luyện khả năng sáng tạo toán ở trường phổ thông, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 2. Phan Đức Chính, Phan Tuấn Dương, Lê Đình Thịnh, Lê Thống Nhất (1997), Các bài giảng luyện thi đại học môn Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 3. Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1997), Các bài giảng luyện thi đại học môn Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 4. Trần Tuấn Diệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường (2006), Giới thiệu đề tuyển sinh vào Đại học- Cao đẳng toàn quốc, môn Toán, từ năm học 2002 - 2003 đến 2005 - 2006, Nxb Hà Nội. 5. Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc (2004), Phương pháp giải toán Đại số - Phương trình - Bất phương trình và hệ phương trình vô tỉ, Nxb Đại học Sư phạm, năm 2004. 6. Lê Hồng Đức (2005), Phương pháp giải toán đạo hàm và ứng dụng, Nxb Hà Nội. 7. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Nguyễn Đạo Phương, Lê Tất Tôn, Đặng Quan Viễn (2000), Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông Đại số, Nxb Hà Nội, năm 2004. 8. Phan Huy Khải (1999), Hướng dẫn làm bài tập và làm bài thi môn Toán, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội. 9. Phan Huy Khải (2001), Giới thiệu các dạng toán luyện thi đại học, Tập 1, Nxb Hà Nội. 10. Nguyễn Ngọc Khoa (2007), Thử sức qua 500 bài toán luyện thi đại học, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 114 11. Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Trần (1998), Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ cho học sinh qua môn Toán ở trường THCS, Nxb Giáo dục. 12. Nguyễn Bá Kim (2002), Những xu hướng dạy học không truyền thống, tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Hà Nội. 13. Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm. 14. Ngô Thúc Lanh, Đoàn Quyên, Nguyễn Đình Chi (2000), Từ điển toán học thông dụng, Nxb Giáo dục. 15. Hoàng Lê Minh (2004), "Phân bậc hoạt động trong dạy học môn toán", Tạp chí Giáo dục, số 86, tháng 5. 16. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, Nxb Hà Nội. 17. Trần Phương (2007), Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn Toán, Nxb Hà Nội. 18. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông (2007), Đại số 10- Nâng cao, Nxb Giáo dục. 19. Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà (1998), Các dạng toán về bất đẳng thức giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất trong đại số, Nxb Đà Nẵng. 20. Nguyễn Văn Quí, Phan Văn Đức, Dương Quốc Đạt, Nguyễn Tiến Dũng (2007), Luyện thi đại học môn toán, Nxb Đại học Quốc gia, Thành phố Hồ chí Minh. 21. Tạp chí toán học và tuổi trẻ (2007), số 355, Nxb Giáo dục - Bộ Giáo dục và đào tạo. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 115 22. Huỳnh Công Thái, Lê Mậu Thảo (2005), Phân loại và hướng dẫn giải toán phương trình mở - Logarít và các dạng hệ phương trình đại số, Nxb Hà Nội. 23. Nguyễn Cảnh Toàn (1998), Tập cho học sinh giỏi làm quen dần với nghiên cứu toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 24. Trần Thúc Trình (2003), Rèn luyện tư duy trong dạy học môn Toán, Viện khoa học Giáo dục. 25. Nguyễn Thị Hương Trang (2001), "Vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hòa trong dạy học giải toán", Tạp chí Giáo dục, số 7, tháng 6. 26. Bùi Quang Trường (2006), Những dạng toán điển hình trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng, Nxb Hà Nội. 27. Tuyển chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ (2005), Quyển 1, Nxb Giáo dục. 28. Trần Vinh (2007), Thiết kế bài giảng - Đại số 10 nâng cao, tập 2, Nxb Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 116 In chuan 3.10.2007 ChuÈn nhÊt nhÊt nhÊt