Luận văn Định lí điểm cân bằng Blum-Oettli và một số mở rộng

Mở Đầu Bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bất đẳng thức Ky Fan có nhiều điểm gần nhau. Bất đẳng thức biến phân đơn điệu với nhiều ứng dụng đã được nghiên cứu từ những năm sáu mươi của thế kỉ trước. Bất đẳng thức Ky Fan ngay sau khi được công bố (1972) đã thu hút sự chú ý của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích phi tuyến bởi sự gần gũi với bất đẳng thức biến phân đơn điệu và khả năng ứng dụng sâu rộng của nó. Vì vậy người ta tìm cách kết nối hai kết quả này với nhau trong một kết quả chung. Kết quả đầu tiên của sự kết nối này là của Brezis-Nirenberg-Stampacchia(1972). Năm 1993, Blum-Oettli công bố một kết quả tiếp theo về sự kết nối này. Đây là kết quả hợp nhất hai hướng nghiên cứu cơ bản của bài toán cân bằng, đó là bài toán cân bằng có giả thiết đơn điệu và bài toán cân bằng không có giả thiết đơn điệu. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương: Chương 1 trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng ở hai hướng nghiên cứu có giả thiết đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu, với điều kiện bức cổ điển và nơi giảm. Chúng tôi trình bày các kết quả này với mục đích để thấy rõ hơn sự kết nối của hai hướng nghiên cứu này trong kết quả của Blum-Oettli[3], kết nối ở kết quả và kết nối ở ý tưởng chứng minh các kết quả. Các kết quả nghiên cứu được trình bày ở đây chủ yếu được tập hợp từ các bài báo Mosco[11], Allen[1], Chong[6]. Chương 2 trình bày kết quả trung tâm của luận văn. Đó là kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng được thiết lập bởi Blum-Oettli [3]. Kết quả này cùng ý tưởng chứng minh của nó là sự hợp nhất các kết quả cùng ý tưởng chứng minh của chúng được trình bày ở chương 1. Trong chương này chúng tôi cũng trình bày một kết quả có liên quan và được công bố trước kết quả của Blum-Oettli [3], đó là công trình của Brezis-Nirenberg-Stampacchia [4], đồng thời trình bày một kết quả là mở rộng vô hướng đối với kết quả của Blum-Oettli [3], đó là công trình của Chadli-Chbani-Riahi [7]. Chương 3 đề cập đến sự mở rộng kết quả của Blum-Oettli[3] ra bài toán cân bằng cho hàm vectơ, đơn trị và đa trị. Các kết quả ở đây được tập hợp từ các tài liệu Bianchi-Hadjisavvass-schaible[2],Tấn-Tĩnh[13],Tấn-Minh[14]. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học sư phạm-Đại Học Thái Nguyên. Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Văn Chóng, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo trong Trường ĐHSP-Thái Nguyên, Viện toán học Việt Nam, Trường ĐHSP Hà Nội đã giảng dạy giúp tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang, Trường THPT Lý Thường Kiệt và Trường THPT Việt Yên số 1 Bắc Giang, gia đình và bạn bè đã luôn tạo điều kiện, động viên, giúp tôi suốt trong quá trình học tập và nghiên cứu. Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1 Bài toán cân bằng đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Bài toán cân bằng đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Bài toán cân bằng không có giả thiết đơn điệu . . . . . . . . 17 Chương 2 định lí điểm cân bằng Blum-Oettli và mở rộng vô hướng . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Định lí Brezis-Nirenberg-Stampacchia . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Định lí điểm cân bằng Blum-Oettli . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Mở rộng vô hướng Định lí Blum-Oettli . . . . . . . . . . . . 36 Chương 3 mở rộng vectơ định lí điểm cân bằng Blum-Oettli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1. Nón và quan hệ thứ tự theo nón trong không gian vectơ tôpô 42 3.2. Định lí điểm cân bằng Blum-Oettli cho hàm véc tơ đơn trị . 45 3.3. Định lí điểm cân bằng Blum-Oettli cho hàm véc tơ đa trị . . 58 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64