Luận văn Độ đo và tích phân trên trường số P-Adic

ng chƣơng này, trƣớc tiên chúng tôi trình bày khái niệm độ đo, từ đó chúng tôi định nghĩa tổng Riemann và định nghĩa tích phân p-adic cho hàm liên tục ứng với độ đo bất kỳ. Trên cơ sở đó, chúng tôi mở rộng tích phân cho một lớp các phân phối rộng hơn độ đo. Vì thời gian có hạn, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lƣợng thứ. 3 CHƢƠNG 1: XÂY DỰNG TRƢỜNG SỐ P - ADIC Trong phần này chúng tôi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic và một số tính chất tô pô của nó. Cách xây dựng trƣờng số p-adic đã đƣợc nhiều tác giả trình bày bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau. Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng trƣờng số p-adic Qp bằng phƣơng pháp giải tích của N.KOBLITZ. Vì theo chúng tôi đây là cách xây dựng Qp một cách "tự nhiên" nhất. Sau khi xây dựng trƣờng Qp chúng tôi đƣa ra một số tính chất tô pô cơ bản nhất của Qp. Các kết quả trình bày trong phần này hầu hết không chứng minh, ở đây chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả cơ bản, quan trọng có liên quan đến chƣơng chính của luận văn đó là chƣơng 2 và 3. 1.1. Các khái niệm cơ bản. 1.1.1. Định nghĩa. Cho K là một trường. Giá trị tuyệt đối trên K là một ánh xạ (kí hiệu là | | ) từ tập K vào tập các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện sau: Từ định nghĩa ta thấy |1| = |-1| = 1. 1.1.2. Ví dụ về giá trị tuyệt đối trên trƣờng. Ví dụ 1. Trƣờng các số hữu tỷ Q với giá trị tuyệt đối thông thƣờng thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa. Ví dụ 2. Cho K là một trƣờng tùy ý. Anh xạ là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K và đƣợc gọi là giá trị tuyệt đối tầm thƣờng. 1.1.3. Chú ý. Giả sử | | là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K. Ta có thể chứng minh hàm d từ K x K vào tập các số thực không âm xác định bởi d(x,y) = |x - y| là một mêtric trên trƣờng K và đƣợc gọi là mêtric tƣơng ứng với giá trị tuyệt đối | |. Tô pô sinh bởi mêtric tƣơng ứng đƣợc gọi là tô pô tƣơng ứng của giá trị tuyệt đối. 4 1.1.4. Định nghĩa. Hai giá trị tuyệt đối | |1 và | |2 trên trƣờng K đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu tô pô tƣơng ứng của chúng là nhƣ nhau. Kí hiệu | |1 ~ | |2 . 1.1.5. Định lý. Giả sử | |1, | |2 là hai giá trị tuyệt đối trên trƣờng K, các mệnh đề sau là tƣơng đƣơng: với mọi với mọi x K với mọi với mọi x K. 3. Tồn tại hằng số dƣơng C > 0 sao cho |x|1 = | | với mọi x K. 4. (xn) là dãy Cauchy đối với | |1 ⟺ (xn) là dãy Cauchy đối với | |2 5. | |1 ~ | |2 Chứng minh. 1) ⇒ 2) Với mọi x K, giả sử |x|1 ≤ 1 ta cần chứng minh |x|2 ≤ 1. Giả sử ngƣợc lại, tức là |x|2 > 1. Ta có suy ra Điều này vô lý vì |x|1 ≤ 1 .Vậy |x|2 ≤ 1. 2) ⇒ 1) Chứng minh tƣơng tự nhƣ trên. 1) ⇒3) • Nếu chuẩn | |1 tầm thƣờng thì chuẩn | |2 cũng tầm thƣờng. Thật vậy, với mọi x K, x ≠ 0 ta giả sử |x|1 = 1. Nếu |x|2 ≠ 1 thì ta xét hai trƣờng hợp sau |x|2 < 1 ⇒ |x|1 < 1 (vô lý) |x|2 > 1⇒ | 1 x |2 < 1⇒ | 1 x |1 <1 (vô lý) Do đó |x|2 = 1 hay chuẩn | |2 là tầm thƣờng. Vậy | |1 ≡ | |2 5 • Nếu chuẩn | |1 không tầm thƣờng thì tồn tại x0 K sao cho |x0|1 > 1, do đó |x0|1 > 1. Đặt |x0|1 = a và |x0|2 = b. Khi đó, với mọi x K ta viết |x|1=a α , a = logα |x|1. Ta chứng minh |x|2 = b α . Thật vậy, xét m n > α ta có do đó suy ra |x|2 < . Khi m n → α ta có |x|2 ≤ b α . Tƣơng tự nếu lấy α > m n . Ta có |x|2 ≥ b α . Vậy |x|2 = b α. Do đó 3) ⇒ 4) Giả sử {xn} là dãy Cauchy đối với chuẩn | |1 , nghĩa là |xn - xm |1 → 0 khi m,n → ∞ hay Do đó |xn - xm |2 → 0 khi m,n → ∞ Vậy {xn} là dãy Cauchy đối với chuẩn | |2. 4) ⇒1) Giả sử |x|1 < 1 ta cần chứng minh |x|2 < 1. Từ giả thiết |x|1 < 1 suy ra x n → 0 đối với chuẩn | |1. Do đó {x n } là dãy Cauchy đối với | |1 hay là dãy Cauchy đối với | |2. Điều này có nghĩa là x n+1 - x n → 0 đối với chuẩn | |2 hay x n (x - 1) → 0 đối với chuẩn | |2. Do đó |xn|2 |1-x|2 → 0. Mà |1 - x|2 ≠ 0 suy ra |x n |2 → 0 hay |x|2 <1 3) ⇒ 5) Giả sử A , với mọi x A thì tồn tại Bx (x,r) ⊂ A. Lấy 6 Điều này có nghĩa là tồn tại 5) ⇒ 1) Giả sử |x|1 < 1 suy ra |x n |1 → 0. Do | |1 ~ | |2 nên |x n |2 → 0. Vậy |x|2 < 1. □ 1.1.6. Định nghĩa. Nếu giá trị tuyệt đối | | trên trường K thỏa mãn điều kiện mạnh hơn GT3 là GT3: |x + y| ≤ max {|x|, |y|} thì nó được gọi là giá trị tuyệt đối phi Archimede. 1.1.7. Ví dụ về giá trị tuyệt đối phi Archimede. Ví dụ 1. Giá trị tuyệt đối tầm thƣờng trên trƣờng K là phi Archimede. Ví dụ 2. Nếu K là trƣờng hữu hạn thì mọi giá trị tuyệt đối trên K đều tầm thƣờng, vì vậy nó là giá trị tuyệt đối phi Archimede. 1.1.8. Mệnh đề ( nguyên lý tam giác cân ). Cho | | là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K. Nếu |x| ≠ |y| thì |x + y| = max {|x|,|y|} 1.1.9. Mệnh đề. Cho | |là giá trị tuyệt đối phi Archimede trên trường K. Nếu dãy {xn}→ x ≠ 0 thì tồn tại n0 N : ∀ n > n0 ⇒ |xn| = |x|. Một dãy hội tụ thì dãy các giá trị tuyệt đối tương ứng là dãy dừng. 1.1.10. Định lý. Cho | | là một giá trị tuyệt đối trên trƣờng K, các mệnh đề sau là tƣơng đƣơng: 1. | | là giá trị tuyệt đối phi Archimede. 2. |2| ≤ 1. 3. |n| ≤ 1, ∀ n N. 1.2. Xây dựng trƣờng số p-adic. 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử p là một số nguyên tố nào đó. Với mỗi a Z, a ≠ 0 ta gọi ordpa là số mũ của p trong sự phân tích a thành các thừa số nguyên tố. 7 Nếu a = 0 thì ta quy ước ordpa = ∞. 1.2.2. Định nghĩa. Giả sử p là một số nguyên tố nào đó. Với mỗi x Q, ta giả sử x = a b trong đó a, b Z, (a, b) = 1. Ta định nghĩa ordpx = ordpa - ordpb. 1.2.3. Mệnh đề. Trên trường Q nếu ta định nghĩa ánh xạ | |P như sau thì | |P là một giá trị tuyệt đối phi Archimede. 1.2.4. Định lý (Oxtropxki). Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường || || trên trường Q đều tương đương với | |P với p là một số nguyên tố nào đó hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên Q. Chứng minh. 1. Nếu ||2|| > 1 thì || || là chuẩn Archimede. Lấy n N, giả sử n = a0 +aa2 + ... +as2 s, trong đó Ta có ≤ 2sα.C ( Vì tổng trong dấu ngoặc hội tụ) ≤ nα. C Suy ra Cho k → ∞ ta đƣợc ||n|| ≤ nα. Mặt khác, do 2S ≤ n < 2S+1 nên ta có Suy sa hay 8 Suy ra Cho k → ∞ ta đƣợc ||n|| ≥ nα . Vậy ||n|| = nα với mọi n Do đó ||x|| = |x|α với mọi x Q. 2. Nếu ||2|| ≤ 1 thì || || là chuẩn phi Archimede. Từ giả thiết ||2|| ≤ 1 ta có ||n|| ≤ 1 với mọi n N. Do || || là chuẩn không tầm thƣờng nên tồn tại n N sao cho ||n|| < 1. Gọi p là số tự nhiên bé nhất thỏa ||p|| < 1. Khi đó p là số nguyên tố. Gọi q là số nguyên tố khác p. Ta chứng minh ||p|| = 1. Giả sử ||p|| < 1 vì (qk,pk) = 1 nên tồn tại m,n Z sao cho mpk + nqk = 1. Ta có Cho k → ∞ ta đƣợc 1≤ 0 , điều này vô lý. Vậy ||q|| = 1. Lấy n N, giả sử x = pα p1 α1 ...pk αk . Ta có 1.2.5. Xây dựng trƣờng số số p-adic Qp. Từ định lý Oxtropxki ta thấy giá trị tuyệt đối không tầm thƣờng trên Q là giá trị tuyệt đối thông thƣờng | |, hoặc là giá trị tuyệt đối phi Archimede | |p. Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ Q theo | | ta đƣợc trƣờng số thực R. Vậy làm đầy đủ Q theo | |p ta sẽ đƣợc trƣờng mới mà ta gọi là trƣờng các số p-adic Qp . Cụ thể cách xây dựng nhƣ sau: Kí hiệu S là tập tất cả các dãy Cauchy hữu tỷ theo | | . Trên S ta xác định một quan hệ tƣơng đƣơng nhƣ sau Ta gọi Qp là tập hợp tất cả các lớp tƣơng đƣơng theo quan hệ trên và ta trang bị cho Qp hai phép toán cộng và nhân nhƣ sau: Phép cộng: { ̅̅ ̅} { ̅̅ ̅} { ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ } 9 Phép nhân: { ̅̅ ̅} { ̅̅ ̅} { ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ } Khi đó, ta có thể chứng minh (Qp, + ,.) là một trƣờng, trƣờng này gọi là trƣờng số p- adic Qp. Trƣờng Q có thể xem là trƣờng con của Qp nhờ ánh xạ i : Q → Qp , a { ̅} Giá trị tuyệt đối trên Qp xác định nhƣ sau 1.2.6. Định nghĩa đổng dƣ trong Q . Với a, b Qp ta nói a = b (mod p N ) nếu |a-b|p < p -N . Từ định nghĩa ta có nhận xét: Nếu a, b Z thì định nghĩa đồng dƣ trong Qp sẽ trùng với định nghĩa đồng dƣ thông thƣờng trên tập hợp số nguyên Z. 1.2.7. Vành các số nguyên p-adic. Tập hợp Zp = {a Qp / |a|p ≤ 1} cùng với phép toán cộng và nhân trong Qp lập thành một vành. Vành này được gọi là vành các số nguyên p-adic. Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành Zp là 1.3. Biểu diễn p-adic của số α trong Qp. Ta biết rằng nếu α Qp thì ta có thể viết α = { ̅} với {ai} là dãy Cauchy nào đó trong Q. Tuy nhiên nếu| α |p ≤ 1 thì ta có thể chọn {ai} thỏa mãn định lý sau đây. 1.3.1. Định lý. Với mỗi dãy α Qp mà | α |p ≤ 1 có duy nhất một đại diện là dãy Cauchy các số tự nhiên {ai} thỏa mãn: 1. 0 ≤ ai < p i , ∀i=1,2,... 2. ai ≡ ai+1 (mod p i ). 1.3.2. Bổ đề. Nếu α = { ̅} Qp thì = α 10 Chứng minh. Ta có do đó Do {ai} là dãy Cauchy trong Q nên với mọi > 0 tốn tại N sao cho với moi i, i'> N ta có |ai - ai'| < ε. Suy ra Chọn n > N, khi đó với mọi i > N sao cho |ai- an|p < ε Do đó (khi i đủ lớn) Vậy 1.3.3. Biểu diễn p-adic của số a trong Qp . i) Với các {ai} thỏa mãn các điều kiện trong định lý 1.3.1, ta có thể viết ai=b0+b1p + ... + bi- 1 p i-1 đó 0 ≤ bi ≤ p - 1 với i=1,2,3,... Khi đó với mỗi α Zp ta có Theo bổ đề 1.3.2 ta có thể viết a dƣới dạng Công thức này đƣợc gọi là biểu diễn p-adic của a trong Zp. ii) Nếu α Qp không thỏa mãn điều kiện thì |α|p ≤ 1 thì ta sẽ nhân α với một số p m thích hợp sao cho số α’ = α pm thỏa mãn | α’| ≤ 1. Sau đó theo định lý 1.3.1 chúng ta chọn đƣợc một dãy {bi} sao cho Bằng cách đánh lại chỉ số cho thích hợp ta có biểu diễn của α có dạng 11 Công thức này gọi là công thức biểu diễn p-adic của α trong Qp. 1.4. Bổ đề Hensel. Nhƣ chúng ta đã biết các phép toán số học nhƣ: cộng, trừ, nhân và chia trong Qp đƣợc thực hiện một cách khá dễ (xem [6]). Tuy nhiên, việc khai căn của một số nguyên và việc tìm nghiệm của một phƣơng trình nào đó trong Qp nói chung là vấn đề không phải lúc nào chúng ta cũng thực hiện đƣợc. Bổ đề Hensel và bổ đề Hensel mở rộng đƣợc trình bày dƣới đây sẽ giúp chúng ta giải quyết một phần nào về vấn đề trên. 1.4.1.Bổ đề Hensel. Cho F(x) = c0 +C1x + ... + cnx n Zp có đạo hàm F'(x) = c1+2c2x + ... + ncnx n-1 ] Zp. Giả sử a0 Zp thỏa F(a0) = 0(mod p) và F'(a0) (mod p). Khi đó, tồn tại duy nhất a Zp sao cho F(a) = 0 và a ≡ a0 (mod p). 1.4.2. Bổ đề. Nếu x Q và |x|p ≤ 1 thì với mọi i N, tồn tại α Z sao cho |α - x|p ≤ p -i . Hơn nữa, số α có thể chọn trong tập {0, 1, 2,..., pi - 1}. Chứng minh. Giả sử x = a b Q, (a,b) =1. Do |x|p ≤ 1 nên (b,p) =1 từ đó ta thấy b và p i là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó tồn tai m,n Z sao cho mb +npi =1 Đặt α = am Z, khi đó: Hơn nữa, số a có thể chọn trong tập {0, 1, 2,..., pi - 1}. Thật vậy, ta viết α dƣới dạng α = p iq + r trong đó 0 ≤ 1 ≤ pi -1. Do đó Vậy ta có thể tìm đƣợc r {0,1,2,..., pi-1} sao cho | α - x|p ≤ p i 1.4.3. Bổ đề Hensel mở rộng. Cho F(x) là đa thức với hệ số trong ZP, nếu có a0 trong ZP thỏa 12 thì tồn tại duy nhất một số nguyên p-adic a sao cho F(a) = 0 và Chứng minh. Trƣớc hết ta cần xây dựng dãy số nguyên a1, a2,..., an thỏa Ta xây dựng bằng quy nạp theo n. • Với n = 1 Ta chọn ̃ {0,1,..., p m+1 -1 } sao cho ̃ ≡ a0 (mod p m+1 ) khi đó ̃ thỏa (1),(2) và (3), tức là : Đặt a1 = ̃ +b1p m+1, trong đó b1 {0,1,..., p-1}. Khi đó: * a1 thỏa (1) Do đó a1 ≡ a0 (mod p m+1 ) * a1 thỏa (2) Hiển nhiên a1 ≥ 0 và a1 < p m+2 vì nếu a1 ≥ p m+2 thì ̃ +b1p m+1 ≥ pm+2 hay ̃ ≥ p m+2 - (p - 1) p m+1 = p m+1 > p m+1 - 1 Điều này trái với giả thiết về cách trọn ̃ * a1 thỏa (3) Ta có 13 Từ giả thiết suy ra theo bổ đề 1.4.2 thì tồn tại α {0,1 ,...,p-1} sao cho do đó Mặt khác, từ giả thiết bằng cách lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có suy ra Vậy Ta chọn sao cho Từ giả thiết suy ra do đó 14 theo bổ đề 1.4.2 thì tồn tại duy nhất b1 {0, 1,..., p-1} sao cho từ đó ta có đồng dƣ thức sau Vậy • Giả sử ta đã chọn đƣợc a1 a2,..., an-1 thỏa các điều kiện (1), (2) và (3). Ta cần tìm an thỏa các điều kiện trên. Đặt an = an-1 + bnp m+n , với cách đặt nhƣ vậy ta thấy an thỏa (1) và (2) ta cần chứng minh an thỏa (3). Tức là F(an) ≡ 0 (mod p 2m+n+1 ). Từ cách đặt an, ta có Ta có an-1 ≡ a0 (mod p m+1 ) nên Mặt khác, vì ,suy ra Theo giả thiết quy nạp, ta có Bằng cách lý luận tƣơng tự nhƣ phần chứng minh trong trƣờng hợp n = 1. thì tồn tại duy nhất α’ {0,1..., p-1} sao cho 15 Mặt khác, từ Áp dụng bổ đề 1 .4.2, tồn tại duy nhất β {0,1,..., p-1}sao cho hay Từ giả thiết suy ra Áp dụng bổ đề 1.4.2 thì tồn tại duy nhất bn {0, 1,..., p-1} thỏa hay Vậy Từ đó bằng cách chọn Khi đó, a là duy nhất vì ̃ và bi ,i =1,2... đƣợc chọn là duy nhất và , với mọi n suy ra ,với mọi n do đó Vậy F (an) = 0. Từ cách chọn a ta có a ≡ ̃ ≡ a0 (mod p m+1 ). Ta thấy rằng với m = 0 thì cách chứng minh bổ đề Hensel mở rộng trùng với cách chứng minh bổ đề Hensel. 16 1.4.4. Ứng dụng của bổ đề Hensel. Áp dụng bổ đề Hensel mở rộng ta có thể tìm √ trong Q2 . Xét đa thức F(x) = x2+7, F'(x) = 2x và p = 2. Chọn a0 =1 Z2 và m =1. Ta có Chọn ̃ {0,1,..., 2 2 -1 } sao cho ̃ ≡ 1 (mod 2 2 ). Ta thấy ̃ =1 Đặt a1 = ̃ + b1p m+1 = 1 + b12 2 . Ta có b1 {0,1} sao cho hay từ đó ta tìm đƣợc b1 = 1 thỏa điều kiện trên. Đặt a2 = a1 + b2 2 3 . Chọn b2 {0,1} sao cho F(a2) ≡ 0 (mod 2 5 ), từ đó ta tìm đƣợc b2 = 0 thỏa mãn điều kiện trên. Đặt a3 = a2 +b32 4 . Chọn b3 {0,1} sao cho F (a3) ≡ 0 (mod 2 6). Phƣơng trình có nghiệm b3 =1. Quá trình cứ tiếp tục nhƣ vậy ta tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình F(x) = 0 là a = l + 1.2 2 +0.2 3 +1.2 4 + ... Vậy giá trị của √ trong Q2 chính là a. Nghĩa là, √ = l + 1.22+0.23+1.24+ ... 1.5. Tính chất tô pô của Qp. Vì tô pô trong Qp là tô pô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimede nên nó có nhiều tính chất khác lạ so với tô pô thông thƣờng. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất tô pô cơ bản của Qp nhằm mục đích phục vụ cho chƣơng 2 và chƣơng 3. Các mệnh đề, bổ đề cơ bản đƣợc chứng minh chi tiết để thấy đƣợc các tính chất khác lạ nhƣ: mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm, mọi hình cầu đều có vô số bán kính... 17 1.5.1. Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong Qp . • Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp • Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp • Mặt cầu tâm a bán kính r là tập hợp Từ định nghĩa ta thấy Zp là hình cầu mở tâm 0 bán kính bằng 1 và Z * p là mặt cầu tâm 0 bán kính bằng 1. 1.5.2. Mệnh đề. 1. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều là những tập vừa mở, vừa đóng. 2. Hai hình cầu bất kỳ trong Qp hoặc lồng nhau hoặc rời nhau. 3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số bán kính. 4. Qp chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu. Chứng minh. 1. Giả sử a Qp , r R + xét hình cầu mở: Hiển nhiên B(a,r) là tập mở. Ta cần chứng minh B(a,r) là tập đóng nghĩa là B(a,r)\Qp là tập mở. Thật vậy, lấy bất kỳ b B (a,r) \ Qp điều này có nghĩa là |b - a|p ≥ r . Khi đó, luôn tồn tại hình cầu mở S (b,r) nằm hoàn toàn trong B(a,r)\Qp vì với mọi y S(b,r) suy ra |y - b|p < b. Mặt khác Theo nguyên lý tam giác cân, ta phải có do đó suy ra Vậy B(a,r)\Qp là tập mở. 18 Tƣơng tự, ta cũng có là những tập vừa mở vừa đóng. 2. Xét hai hình cầu mở B1 (a,r) và B2 (b,s). Giả sử ta chứng minh chúng phải lồng nhau. Thật vậy, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử r < s. Sau đây chúng ta sẽ chứng minh Từ giả thiết suy ra tồn tại hay Bây giờ với mọi Do đó suy ra y B2 (b,s). Vậy B1 (a,r) ⊂ B2(b,s). Ngƣợc lại, nếu s ≤ r thì bằng cách chứng minh tƣơng tự nhƣ trên, ta cũng có B1 (a,r) ⊂ B2(b,s). Đối với hình cầu đóng, chứng minh hoàn toàn tƣơng tự. 3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số bán kính. • Chứng minh mọi hình cầu, mặt cầu đều có vô số Tâm. Bây giờ với a Qp, r R + ta xét một điểm b bất kỳ b ≠ a trong hình cầu mở 19 Ta có |b - a|p < r (do cách chọn b). Hơn thế nữa, ta còn có B(a,r) = B(b,r) vì Nếu x B (a,r) thì |x - a|p < r. Khi đó, Do đó Ngƣợc lại, chứng minh tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có Vậy với mọi b B (a,r). Nói cách khác B(b,r) có vô số tâm. Bằng cách chứng minh tƣơng tự ta cũng có B[a,r] và D(a,r) có vô số tâm. • Chứng minh mọi hình cầu đều có vô số bán kính. Trƣớc hết, ta xét hình cầu mở B(a,r). Nhƣ ta đã biết hàm chuẩn | |p chỉ nhận các giá trị trong tập {pn /n Z} ∪{0} nên tồn tại n Z sao cho p n < r ≤ pm+1. Ta chứng minh B(a,s) = B( a,p n+1 ) với mọi s thỏa pn < s ≤ pn+1 Thật vậy, với mọi x B (a,r) ta có |x - a|p < s ≤ p n+1 do đó x B(a, pn+1). Ngƣợc lại, với mọi suy ra hay Vậy 20 Nhƣ vậy, với bất kỳ hình cầu B(a,r) với r thỏa pn < r ≤ pn+1 ta đều có Do đó B(a,r) = B( a,s) với mọi s thỏa pn < s ≤ pn+1. Điều này có nghĩa là mọi hình cầu mở B(a,r) có vô số bán kính. Đối với hình cầu đóng B[a,r] luôn tồn tại n sao cho pn ≤ r < pn+1. Ta sẽ chứng minh B[a,s] =B [a,p n ] với mọi s thỏa pn ≤ s < pn+1. Thật vậy, với mọi x B [a,s] ta có |x - a|p ≤ s mà p n ≤ s < pn+1. nên |x - a|p ≤ p n Vậy x B [a,pn] Ngƣợc lại, với mọi suy ra y B [a,s]. Do đó B[a,s] = B[a,p n ]. Với pn ≤ r < pn+1, ta có B[a,r] = B[a,p n ], nên với mọi s thỏa pn ≤ s < pn+1 thì B[a,r] = B[a,s]. Vậy hình cầu đóng B[a,r] có vô số bán kính. 4. Ta chứng minh Qp chỉ có một số đếm đƣợc các hình cầu và mặt cầu. Theo (3) ta có mọi điểm trong hình cầu, mặt cầu đều là tâm của nó. Dùng tính chất này ta sẽ chứng minh Qp chỉ có một số đếm đƣợc các hình cầu và mặt cầu. Thật vậy, lấy bất kỳ a Qp, r R + . Theo (3) tồn tại n Z sao cho B(a,r) = B(a,p n ) Vậy 21 là tập đêm đƣợc. Mặt khác, mọi hình cầu trong Q đều có thể chọn tâm là một số hữu tỷ. Chẳng hạn, đối với hình cầu mở B(a, pn). Do a Qp nên ta giả sử khai triển p-adic của a có dạng a = amp m + am+1p m+1 +...+ anp n +...(n < m, m Z). Đặt suy ra nên b B (a,pn) do đó B (a,p n ) = B (b,p n ). Vậy mọi hình cầu trong Qp đều có dạng B(b,p n) trong đó b Q và n Z, do đó số hình cầu trong Qp là tập đếm đƣợc. Tƣơng tự, ta cũng chứng minh đƣợc mọi hình cầu đóng, mặt cầu trong Qp đều là những tập đếm đƣợc. Ta đã biết vành số nguyên p-adic Zp chính là hình cầu mở B (0,1) nên Zp là tập mở. Hơn thế nữa, B (0,1) còn là tập compact. Đó là nội dung của mệnh đề 1.5.3 sau đây. 1.5.3. Mệnh đề. Hình cầu mở B(0, 1) là tập compact. Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề ta chỉ cần chứng minh Zp là tập compact. Giả sử {xn} là một dãy tùy ý trong Zp và trong đó 0 ≤ ain ≤ p -1, với mọi i = 0,1,2,... Xét các phần tử a0n (n = 1, 2, 3,..., p-1), ta thấy các phần tử này nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0, 1, 2,..., p-1}. 22 Vậy phải tồn tại b0 {0,1,2,..., p-1} đƣợc nhận giá trị vô hạn lần. Lấy dãy con {x0n} của dãy {xn} sao cho số hạng đầu tiên trong khai triển p-adic của mỗi phần tử đều bằng b0. Trong dãy {x0n} các số hạng thứ 2: a1n (n = 0, 1, 2,...,p-1) nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0, 1, 2,..., p-1). Vậy phải tồn tại b1 {0,1,2,..., p-1} đƣợc nhận giá trị vô hạn lần, từ đó ta lấy dãy con {x1n} của dãy {x0n} sao cho số hạng thứ hai của mỗi phần tử trong dãy con bằng b1 . Nhƣ vậy với mỗi m N tồn tại dãy con {xm,n} của dãy {xm-1,n} sao cho số hạng thứ m của mỗi phần tử bằng bm {0,1,2,..., p-1}. Đặt b = b0+b1p+b2p 2 +...+ bmp m +bm+1 p m+1 +... Xét dãy các đƣờng chéo {xmn} với phần tử x0m có khai triển p-adic mà số hạng thứ nhất là b0 , số hạng thứ hai là b1,... Phần tử xmn có số hạng thứ nhất là b0,số hạng thứ hai là b1,..., số hạng thứ m + 1 là bm .Ta có Do đó {xmn} là một dãy con lấy ra từ dãy {xn) mà {xmn) hội tụ về b. Vậy Zp là tập compact. Nhận xét. Chúng ta đã chứng minh đƣợc B(0,1) là tập compact điều này có nghĩa là Zp là tập compact. Do đó với mọi a Qp thì a +Zp là lân cận compact của a trong Qp vậy Qp là tập compact địa phƣơng. 1.5.4. Khoảng trong Qp Khoảng trong Qp là hình cầu đóng tâm a bán kính 1 p N với N Z Kí hiệu: Từ mệnh đề 1.5.2 ta thấy khoảng là tập vừa mở vừa đóng, hai khoảng bất kỳ hoặc lồng nhau hoặc rời nhau và không gian mêtric Qp có một cơ sở gồm các tập mở có dạng khoảng. Một khoảng bất kỳ luôn đƣợc phân tích thành hợp hữu hạn của các khoảng con và mọi tập mỡ compact trong Zp luôn phân tích đƣợc thành hợp rời nhau của các khoảng. Điều này đƣợc thể hiện trong mệnh đề 1.5.5 sau đây. 1.5.5. Mệnh đề. Cho a + (p N ) là khoảng bất kỳ trong Qp. Khi đó, 23 2. Mọi tập mở trong Zp là compact nếu và chỉ nếu nó đƣợc viết dƣới dạng hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng trong Qp . Chứng minh. 1. Giả sử a + (pN ) là khoảng bất kỳ trong Qp . Với mọi x a+ (pN), x có thể đƣợc viết dƣới dạng x = a + pNq Ta viết q = pq1 + b trong đó 0 ≤ b ≤ p -1 suy ra Ngƣợc lại, với mọi thì tồn tại sao cho Khi đó, X đƣợc viết dƣới dạng x = a +bp N +qp N+1 hay x = a + (b +qp) p N a +(pN). 2. Với mọi tập mở U trong Zp , giả sử U là tập compact. Do U là tập mở trong Zp nên U là hợp của các khoảng Ii:U = ∪ Ii . Mặt khác, hai khoảng bất kỳ trong Qp hoặc lồng nhau hoặc rời nhau nên ta có thể giả sử U = ∪ Ii, trong đó Ii ∩ Ij = ∅ nếu i ≠ j. Do U là tập compact nên tồn tại J hữu hạn sao cho U = Ngƣợc lại, giả sử U = trong đó I là tập hữu hạn và Ii ∩ Ij = ∅ nếu i ≠ j. Do ZP là tập compact và Ii là tập đóng nên Ii là tập compact. Vậy U là tập compact. 24 Tổng quát: Tập mở U trong Qp là compact nếu và chỉ nếu nó đƣợc viết dƣới dạng hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii. Thật vậy, chiều thuận là hiển nhiên. Ngƣợc lại, giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii và Ii = a + (p N ). Do Zp là tập compact nên Ii là lân cận compact của a trong Qp. Vậy U = ∪ Ii là tập compact trong Qp. Đặc biệt: , với mọi số tự nhiên n. 25 CHƢƠNG 2: PHÂN PHỐI P-ADIC Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản nhƣ: khái niệm hàm hằng địa phƣơng, phân phối p-adic, số Bernoulli và đa thức Bernoulli. Từ đó chúng tôi chứng minh đƣợc một số kết quả quan trọng làm cơ sở cho chƣơng 3. 2.1. Hàm hằng địa phƣơng. Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm hằng địa phƣơng trên không gian tô pô bất kỳ. Khái niệm hàm hằng địa phƣơng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết độ đo và tích phân trên trƣờng số p-adic. 2.1.1. Định nghĩa. Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f: X → Y được gọi là hàm hằng địa phương nếu với mỗi x X thì tồn tại một lân cận U của x sao cho f(U) là một một điểm của Y. Từ định nghĩa hàm hằng địa phƣơng chúng ta rút ra đƣợc nhận xét sau. 2.1.2. Nhận xét. 1. Nếu f là hàm hằng địa phƣơng thì f là hàm số liên tục. Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa hàm hằng địa phƣơng. 2. Nếu Y là T1 không gian và f: R → Y là hàm hằng địa phƣơng thì f là hàm hằng trên R. Thật vậy, lấy a f(R). Ta chứng minh f-1(a) là tập mở trong R. Lấy x f-1 (a) suy ra f(x) = a. Do f là hàm hằng địa phƣơng nên tồn tại lân cận Ux của x sao cho f(Ux) = {a}, do đó Ux ⊂ f -1 (a). Vậy f-1(a) là tập mở. Mặt khác, do Y là T1 không gian và f là hàm số liên tục nên f-1 (a) là tập đóng. Ta có ∅ =f-1 (a) ⊂ R suy ra f-1 (a) = R. Vậy f là hàm hằng trên R. Từ nhận xét 2.1.2 ta thấy trên R không có hàm hằng địa phƣơng, nếu có thì nó là hàm hằng nhƣ chúng ta đã biết. Tuy nhiên trên trƣờng số P-adic Qp thì có rất nhiều thí dụ về hàm hằng địa phƣơng. Sau đây là một thí dụ. 2 1.3 Ví dụ. Cho U là tập mở compact của Zp và f : Zp → Qp là hàm đặc trưng được định nghĩa bởi 26 khi đó f là hàm hằng địa phương. Chứng minh. Lấy x X nếu f(x) = 1 thì x U. Ta chọn Ux = U, khi đó f(Ux) ={1}. Nếu f(x) = thì x X\U. Đặt Ux = X \U. Ta thấy Ux là một lân cận mở của x và f -1 (Ux) = {0}. Vậy f là hằng địa phƣơng. Từ ví dụ 2.1.3 ta thấy hàm đặc trƣng của tập mở compact U ⊂ Zp là hàm hằng địa phƣong. Dựa vào các hàm đặc trƣng này, ta có thể mô tả tất cả các hàm hằng địa phƣơng trên Zp. Cụ thể ta có mệnh đề sau. 2.1.4. Mệnh đề. Giả sử X là một tập mở compact của Qp. Khi đó f : X → Qp là hàm hằng địa phương nếu và chỉ nếu f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở compact trong X. Chứng minh. • Chiều thuận, giả sử f là hàm hằng địa phƣơng. Khi đó, với mọi x X ta chọn Ux là một lân cận của x sao cho f(Ux) là tập chỉ gồm một điểm. Ta thấy X = ⋃ .Mặt khác, do X là tập compact nên ta có thể viết X dƣới dạng hợp hữu hạn của các Ux . Do đó f(X) là tập hữu hạn. Giả sử f(X) = {a1, a2,..., an), trong đó ai Qp và ai ≠ aj nếu i ≠ j. Đặt Ui = f -1 (ai) với mọi i = ̅̅ ̅̅̅. Do f là hàm số liên tục nên Ui là tập mở compact với mọi i = ̅̅ ̅̅̅ và Ui ∩ Uj = ∅ nếu i ≠ j. Ta cần chứng minh Thật vậy, với mọi x X thì tồn tại duy nhất k {1,2,...,n} sao cho x Uk và x ∉ Ui với mọi i ≠ k. Khi đó, Vậy với mọi x X  Ngƣợc lại, giả sử f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng của các tập mở compact trong X , 27 Với mọi x X, nếu x ∉ Ui, với mọi i {1, 2,..., n} thì Chọn lân cận của x là , khi đó f(Ux) = {0}. Nếu tồn tại i sao cho x Ui thì không mất tính tổng quát ta giả sử {1,2,..,n} = I ∩ J sao cho x Ui với i I và x ∉ Ui với i J. Do đó x ∉ ⋂ . Đặt U’ = X \ ⋂ , khi đó U’ là tập mở. Chọn lân cận của x là Ux = U’ ∩ Ui với i I. Ta thấy Vậy f là hàm hằng địa phƣơng. 2.2. Phân phối p-adic. Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của phân phối p- adic. 2.2.1. Định nghĩa. Một phân phối p-adic trên X là ánh xạ cộng tính từ tập tất cả các tập mở compact trong X vào Qp. Nghĩa là, nếu U ⊂ X và U = ⋃ là hợp của các tập mở compact rời nhau: U1, U2,..., Un thì μ(U) = ∑ . 2.2.2. Mệnh đề. Cho μ là một phân phối p-adic trên X và với mọi tập mở compact U trong X. Nếu ta đặt μ ( = μ (U) thì μ là một Qp - phiếm hàm tuyến tính từ Qp- không gian véctơ của các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp . Ngƣợc lại, cho μ là một Qp -phiếm hàm tuyến tính từ Qp -không gian véctơ của các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp và với mọi tập mở compact U trong X, nếu đặt μ (U) = μ( thì μ là một phân phối p-adic trên X. Chứng minh. • Giả sử μ là một phân phối p-adic trên X. Ta cần chứng minh: trong đó f, g là các hàm hằng địa phƣơng trên X và a Qp. 28 Trƣớc tiên, chúng ta chứng minh: Nếu A1, A2 và B là các tập con mở compact trong X, A1 ∩ A2 = ∅ và với mọi α Qp thì Thật vậy, ta đã biết μ ( ) = μ (A1) và μ ( ) = μ (A2) do đó Chứng minh tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có: μ( ) = αμ( ). Tổng quát: Nếu A1, A2, A3,..., Ak là các tập mở compact đôi một không giao nhau trong X thì Do f và g là các hàm hằng địa phƣơng trên X nên ta có thể viết f, g dƣới dạng: trong đó A1, A2,...,Am và B1, B2,...,Bn là các tập con mở compact trong X đôi một rời nhau và Khi đó với α QP, ta có Tiếp theo ta chứng minh μ (f + g) = μ(f) + μ(g). Ta có do đó Mặt khác, do 29 và do tính chất cộng tính của μ, ta có Lý luận tƣơng tự, ta cũng có Vậy • Ngƣợc lại, giả sử μ là một Qp -phiếm hàm tuyến tính từ Qp -không gian véctơ của các hàm hằng địa phƣơng trên X đến Qp và với mọi tập mở compact U trong X. Ta chứng minh μ là một phân phối trên X. Tức là, giả sử U ⊂ X và trong đó Ui là các tập con mở compact không giao nhau trong X. Ta cần chứng minh Hiển nhiên ta có do đó Theo định nghĩa phân phối, để cho phân phối μ trên tập compact X ⊂ Zp ta cần phải cho giá trị μ (U) với mọi tập mở compact U ⊂ X. Tuy nhiên, thực tế ta chỉ cần biết giá trị μ( a+(p N)) là đủ. Cụ thể, ta có mệnh đề sau. 2.2.3. Mệnh đề. Mọi ánh xạ μ từ tập các khoảng a +(pN) ⊂ X đến Qp thỏa có thể thác triển một cách duy nhất đến một phân phối p-adic trên X. Chứng minh. 30 Ta biết rằng mọi tập mở compact U ⊂ X đều đƣợc viết dƣới dạng hợp hữu hạn rời nhau các khoảng Ii, U = ∪ Ii. Ta định nghĩa . Với định nghĩa này ta có thể kiểm tra μ (U) không phụ thuộc vào việc phân chia U thành các khoảng. Thật vậy, giả sử U = ∪ Ii và U = ∪ . Khi đó, Lý luận tƣơng tự nhƣ trên, ta cũng có Nếu Ii = a + (p N ) thì Iij =a’ +(p N ) , trong đó N' là một số tự nhiên cố định N'> N và a’ ≡ a(mod pN). Vì vậy, bằng việc áp dụng nhiều lần đẳng thức đƣợc cho trong mệnh đề, ta đƣợc do đó Mặt khác, suy ra Vậy Để kết thúc chứng minh, ta cần phải chứng minh μ có tính chất cộng tính. Giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ui, chúng ta viết Ui là hợp rời nhau của các khoảng con Iij, nghĩa là và 31 2.3. Một số phân phối p-adic thƣờng dùng. Trong mục này, chúng tôi trình bày một số phân phối p-adic thƣờng dùng nhƣ: Phân phối Haar, phân phối Dirac và phân phối Mazur. 2.3.1. Phân phối Haar μHaar. Cho (a + (p N )) là một khoảng bất kỳ trong Zp. Ta định nghĩa ánh xạ μHaar nhƣ sau: μHaar = (a + (p N )) = 1 p N . Khi đó, μHaar đƣợc thác triển tới một phân phối trên ZP vì Ánh xạ μHaar đƣợc gọi là phân phối Haar. 2.3.2. Phân phối Dirac μα . Với a Zp cố định, ta định nghĩa ánh xạ μα trên tập mở compact U ⊂ Zp nhƣ sau: Ta thấy μα có tính chất cộng tính, do đó μα là một phân phối và đƣợc gọi là phân phối Dirac. 2.3.3. Phân phối Mazur μMazur. Cho (a + (p N )) là một khoảng bất kỳ trong Zp. Ta định nghĩa ánh xạ μMazur nhƣ sau: Khi đó μMazur có tính chất cộng tính trong mệnh đề 2.2.3 vì Vậy μMazur là một phân phối và dƣợc gọi là phân phối μMazur . Sau đây chúng ta sẽ dùng mệnh đề 2.2.3 để khẳng định ánh xạ μ trong mệnh đề 2.3.4 dƣới đây lầ một phân phối trên Zp. 2.3.4. Mệnh đề. Với a Zp, giả sử khai triển p-adic của a có dạng 32 a = a0 + a1p + a2p 2 +... + akp k +... nghĩa hàm μ trên khoảng a + (pN) như sau trong các trường hợp còn lại. Khi đó, μ là một phân phối p-adic trên Zp. Chứng minh. Để chứng minh μ thác triển tới một phân phối p-adic trên Zp, theo mệnh đề 2.2.3 ta cần chỉ ra: Xét hai khả năng sau: Khả năng 1. Tồn tại ak ≠ 0 trong [N/2] hệ số đầu tiên trong khai triển p-adic của a ứng với p mũ lẻ. Theo dịnh nghĩa μ, ta có do đó, Khả năng 2. Trong khai triển p-adic của a các hệ số Ta xét hai trƣờng hợp sau. • Trƣờng hợp 1. Xét N là số chẩn, giả sử N = 2M . Khi đó, khai triển p-adic của a có dạng: Từ giả thiết của mệnh đề ta có: và Do [ N+1 2 ] = M và ta thấy trong khai triển p-adic của a + bpN có M hệ số đầu tiên ứng với p mũ lẻ triệt tiêu, vì vậy theo định nghĩa μ ta có 33 do đó, Vậy • Trƣờng hợp 2. Xét N là số lẻ, giả sử N = 2M + 1. Khi đó, khai triển p-adic của a có dạng: trong đó có M số ak đầu tiên triệt tiêu với k-lẻ. Do đó: Ta tiếp tục tính Ta có và * Nếu a2M+l = 0 thì Vậy * Nếu a2M+1 Với 0 ≤ b < p - a2M+l ta luôn có 0 < a2M+1 ≤ a2M+1 +b < p.Do đó, 34 Với b = p- a2M+l, suy ra a2M+l + b = p. Do đó, hệ số của p 2M+1 trong khai triển p-adic của a + bpN bằng 0. Vậy Với p- a2M+1 p. Giả sử a2M+1 + b= pq +r, trong đó 0 ≤ r < p. Nếu r = 0 thì a2M+1 + b chia hết cho p, suy ra a2M+1 + b =0 hoặc a2M+1 + b =p. Điều này vô lý , vì a2M+1 + b >p. Vậy hệ số của p 2M+1 trong khai triển p-adic của a +bpN là r ≠ 0 với mọi b thỏa p -a2M+1 < b ≤ p-1. Do đó Vậy 2.4. Phân phối Bernoulli. Trong phần này, trƣớc tiên chúng tôi trình bày định nghĩa số Bernoulli Bk và đa thức Bernoulli Bk (x). Trên cơ sở đó chúng ta thấy đƣợc mối quan hệ giữa đa thức Bernoulli và số Bernoulli. Sau đó chúng tôi định nghĩa phân phối Bernoulli μB,k, từ đó tính đƣợc μB,k(Zp) và μB,k (Z * p) để làm cơ sở cho chƣơng sau. 2.4.1. Định nghĩa số Bernoulli. Số Bernoulli thứ k, kí hiệu là Bk được định nghĩa bằng k! lần hệ số thứ k trong khai triển Taylor của hàm một biến Một vài số Bernoulli Bk đầu tiên là: B0=1, B1 = -1/2, B2=1/6, B3=0, B4= -1/30, B5=0, B6=1/4,... 2.4.2. Định nghĩa đa thức Bernoulli. Đa thức Bernoulli Bk(x) bằng kỉ lần hệ số của t k trong khai triển Taylor của hàm hai biến 35 Một vài đa thức Bernoulli đầu tiên là Mối quan hệ giữa số Bernoulli Bk và đa thức Bernoulli Bk (x) đƣợc thể hiện trong mệnh đề dƣới đây. 2.4.3. Mệnh đề. Cho Bk (x) là đa thức Bernoulli. Khi đó, Chứng minh. hệ số của tk trong biểu thức trên ở vế phải là trong đó 0 ≤ i, j ≤ k Do đó Theo kết quả trên, hiển nhiên ta có Bk (0) = Bk 36 Ta có suy ra So sánh hệ số của tk ở hai vế của đẳng thức trên ta đƣợc Ta có đồng nhất thức suy ra Lấy vi phân hai vế biểu thức trên ta đƣợc hay do đó So sánh hệ số của tk-1 ở hai vế của biểu thức trên ta đƣợc Vậy 37 Cố định một số nguyên dƣơng k. Ta định nghĩa ánh xạ μ B,K trên khoảng a + (p N) nhƣ sau Khi đó, μ B,K đƣợc thác triển tới một phân phối trên Zp. Đó là nội dung của mệnh đề 2.4.4 dƣới đây. 2.4.4. Mệnh đề. Ánh xạ μ B,K trên khoảng a + (p N ) ⊂ Zp được thác triển tới một phân phối trên Zp . Chứng minh. Theo mệnh đề 2.2.3, ta chỉ cần chứng minh Điều này tƣơng đƣơng với việc chứng minh Nhân hai vế của đẳng thức cần chứng minh với p-N(k-1) và đặt bất đẳng α = a p N+1 ,thức cần chứng minh tƣơng đƣơng với Ta có vế phải của đẳng thức trên bằng k! lần hệ số của tk trong biểu thức 38 Do đó k! lần hệ số của tk trong biểu thức trên là Đây là điều cần chứng minh. 2.4.5. Định nghĩa. Phân phối μB,k trong mệnh đề 2.4.4 được gọi là phân phối Bernoulli thứ k. Sau đây chúng tôi đƣa ra một vài phân phối Bernoulli μB,k đầu tiên cho chúng ta các phân phối đã biết: 2.4.6. Áp dụng tính μB,k (Zp) và μB,k (Z * p). Ta đã biết với mọi khoảng a + (pN) ⊂ Zp Mặt khác, ta có do đó, và Để tính μB,k (Z * p) ta lƣu ý rằng Zp = pZp ∪ Z * p, trong đó pZp ∪ Z * p = ∅. Từ tính chất cộng tính của μ B,k, ta có suy ra 39 CHƢƠNG 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo p-adic, từ đó chúng tôi định nghĩa tích phân cho hàm liên tục nhƣ là giới hạn của tổng Riemann p-adic. Nhƣ là một áp dụng chúng tôi tính các tích phân của các hàm cụ thể ứng với các độ đo cụ thể. Sau đó chúng tôi mở rộng khái niệm tích phân cho một số lớp các phân phối rộng hơn độ đo. Cuối cùng, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo Bernoulli hiệu chỉnh hay gọi tắt là độ đo Bernoulli, từ đó chúng tôi xét một số tích phân ứng với độ đo này. Trong chƣơng này, chúng tôi giả sử X là tập mở compact trong Qp nhƣ là Zp hoặc ZP * , một cách đơn giản giả sử X ⊂ Zp. 3.1. Khái niệm về độ đo và tích phân trong Qp. 3.1.1. Định nghĩa. Một phân phối μ trên X là một độ đo nếu giá trị của nó trên tập mở compact U ⊂ X bị chặn bởi hằng số B R nào đó. Nghĩa là | μ(U)|p ≤ Bvới mọi tập mở compact U. Ta nhận thấy: Tổng hai độ đo là một độ đo và nhân một số khác 0 trong Qp với một độ đo là một độ đo. Từ nhận xét này ta thây rằng tập tất cả các độ đo trên X cùng với hai phép toán cộng và nhân ở trên là một không gian véc tơ trên Qp . Hơn thế nữa, nếu μ là một độ đo thì ta có thể tìm đƣợc a Zp, a ≠ 0 sao cho aμ lấy giá trị trong Zp. Đó là nội dung của mệnh đề sau. 3.1.2. Mệnh đề. Một phân phối p-adic μ là độ đo nếu và chỉ nếu tồn tại a Zp, a ≠ 0 sao cho aμ lấy giá trị trong Zp. Chứng minh. Giả sử n là một độ đo trên X và U là một tập mở compact bất kỳ trong X. Do μ là một độ đo nên tồn tại B R sao cho | μ (U)|p ≤ B. Khi đó, 40 Nếu chọn a Zp, a ≠ 0 sao cho |a|p ≤ 1 B thì ta nhận đƣợc |(aμ)(U)|p ≤1. Vậy (aμ)(U) Zp Ngƣợc lại, giả sử U là tập mở compact bất kỳ trong X và aμ lấy giá trị trong Zp. Khi đó, Vậy μ là một độ đo trên X. Ta đã biết, để định nghĩa tích phân trong trƣờng số thực R ta dùng giới hạn của tổng Riemann. Trong trƣờng số p-adic Qp tích phân cũng đƣợc xây dựng theo ý tƣởng đó. 3.1.3. Định nghĩa tổng Riemann Cho hàm f và μ là một phân phối trên Zp. Với mọi N chúng ta chia Zp thành giả sử xa,N là một điểm tùy ý thuộc khoảng a + (pN), chúng ta định nghĩa tổng Riemann thứ N của hàm f tƣơng ứng với {xa,N} là Sau đây chúng ta lấy một thí dụ về hàm liên tục và xét tổng Riemann của nó bằng cách chọn điểm xa, N theo hai cách khác nhau. Giả sử μ = μHaar và lấy hàm đơn giản f: Zp → Zp đƣợc cho bởi f(x) = x. Trong thí dụ này ta có tổng Riemann * Nếu chúng ta chọn điểm xa,N = a a+(p N ) thì chúng ta thu đƣợc tổng này có giới hạn bằng - 1 2 trong Qp khi N → ∞. * Nhƣng nếu chúng ta chọn điểm xa,N =a +a0p N a+(pN) trong đó a0 Zp cố định thì chúng ta thu đƣợc 41 tổng này có giới hạn bằng a0 - 1 2 khi N → ∞. Ta thấy trong trƣờng hợp này tổng Riemann không có một giới hạn duy nhất mà nó phụ thuộc vào việc chọn điểm xa,N thuộc khoảng a + (p N ). Vấn đề đặt ra là khi nào tổng Riemann có duy nhất một giới hạn mà nó không phụ thuộc vào cách chọn điểm xa,N thuộc khoảng a + (pN). Định lý sau sẽ cho ta một tiêu chuẩn để nhận biết tổng Riemann có duy nhất một giới hạn. 3.1.4. Định lý. Giả sử n là một độ đo p-adic trên X và f : X → Qp là một hàm liên tục. Khi đó, tổng Riemann hội tụ đến một giới hạn trong Qp khi N → ∞ mà nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm xa.N thuộc khoảng a+(pN). Chứng mình. Do μ là độ đo nên với mọi tập mở compact U ⊂ X ta luôn có | μ(U)|p ≤ B, với B . Trƣớc tiên, với mọi M > N chúng ta ƣớc lƣợng Ta viết X là hợp hữu hạn của các khoảng, chúng ta chọn N đủ lớn để mỗi khoảng a + (p N ) hoặc là tập con của X hoặc là rời với X. Dùng tính cộng tính của μ chúng ta viết lại tổng Riemann SN,{a,N}(f) nhƣ sau trong đó ̅ ≡ a (mod pN) , 0 ≤ ̅ < pN . Hơn thế nữa, với mọi x,y X, x ≡ y (mod pN) và với mọi ɛ > 0 bé tùy ý ta có thể chọn N đủ lớn để vì X là không gian compact nên từ tính liên tục của f kéo theo tính liên tục đều của f. 42 Khi đó, vì ̅ ≡ xa,M (mod p N ), ɛ > 0 bé tùy ý và B là hằng số cố định. Vậy tổng Riemann có duy nhất một giới hạn, giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn {xa,N} vì lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta có Sự tồn tại của tổng Riemann và giới hạn của tổng Riemann là duy nhất đƣợc chứng minh trong định lý 3.1.4 sẽ làm cơ sở cho cho tính hợp lý của định nghĩa dƣới đây. 3.1.5. Định nghĩa. Nếu f: X → Qp là một hàm liên tục và μ là một độ đo trên X thì theo định lý 3.1.4 tổng Riemann SN{xa,N} (f) có duy nhất một giới hạn trong Qp. Chúng ta định nghĩa tích phân p-adic của hàm f ứng với độ đo μ là giới hạn của tổng Riemann, ký hiệu ∫ . Từ định nghĩa ta có nhận xét 3.1.6 sau. 3.1.6. Nhận xét. 1. Ta đã biết, với mọi tập mở compact U trong X thì hàm đặc trƣng χU là hàm liên tục. Khi đó, với mọi phân phối p-adic μ ta thấy giới hạn của tổng Riemann của χU bằng μ(U). Vậy ∫ . 2. Nếu f là hàm hằng địa phƣơng trên X thì theo mệnh đề 2.1.4 ta có thể viết f dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng của các tập mở compact trong X. Giả sử , trong đó Ui là các tập mở compact trong 43 X. Khi đó, với mọi phân phối p-adic μ ta thấy giới hạn của tổng Riemann của hàm f bằng Nhận xét 3.1.6 sẽ giúp cho chúng ta tính đƣợc tích phân của hàm hằng địa phƣơng ứng với phân phối p-adic bất kỳ. Sau đây là một ví dụ minh họa. 3.1.7.Ví dụ. Cho f: ZP → QP xác định bởi f(x) = i với i là hệ số đầu tiên trong khai triển p-adic của x, x Zp. Khi đó, Chứng minh. Giả sử khai triển p-adic của x có dạng: x = i +a1p +a2p 2 + ... trong đó i {0,1,..., p-1} và x ≡ i (mod p) hay x i +(p). Khi đó, ta có thể viết f dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng của các tập mở compact Ai trong ZP nhƣ sau: , trong đó Ai =i + (p). Theo nhận xét 3.1.6, ta có Vậy 1. Nếu μ = μα thì 2. Nếu μ = μHaar thì 44 3. Nếu μ = μMazur thì Đây là điều cần chứng minh. 3.1.8. Ví dụ. Cho p là một số nguyên tố lẻ và với mọi a {0,1,..., pN - 1}. Ký hiệu Sa là tổng tất cả các hệ số trong khai triển p-adic của a. Ta định nghĩa ánh xạ μ trên khoảng a + (pN) như sau μ(a + (pN)) = . Khi đó, 1. μ là một độ đo trên Zp. 2. là hàm chẵn liên tục. Chứng minh. 1. Trƣớc tiên, chúng tôi chứng minh μ là một độ đo trên Zp, tức là Thật vậy, với mọi a {0,1,..., pN -1} ta có thể giả sử khai triển p-adic của a có dạng do đó Theo giả thiết của mệnh đề ta rút ra đƣợc Vậy (do p là số nguyen tố lẻ) 45 Cuối cùng, ta chỉ ra μ là một độ đo trên Zp. Giả sử U là tập mở compact bất kỳ trong Zp, ta có thể giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii, tức là U = ∪ Ii . Do nên Vậy μ là một độ đo trên Zp. 2. Chứng minh Xét tổng Riemann hay Nếu chúng ta chọn thì tổng Riemann đƣợc viết lại nhƣ sau 46 nhƣng do đó hay Từ định nghĩa tích phân ta có kết quả sau. 3.1.9. Mệnh đề. Cho f : X → Qp là hàm liên tục và | f(x)|p ≤ A với mọi x X. Nếu với mọi tập mở compact U ⊂ X thỏa |μ(U)|p ≤ B thì |∫ |p ≤ A.B. Chứng minh. Theo định nghĩa tích phân, ta có trong đó suy ra do đó Hệ quả sau đƣợc suy ra trực tiếp từ từ mệnh đề 3. 1 .9. 3.1.10. Hệ quả. Nếu f,g: X → Qp là hàm liên tục thỏa |f(x) - g(x)|p ≤ ɛ với mọi x X và|μ(U)|p ≤ B với mọi tập mở compact U ⊂ X thì 47 Chứng minh. Đặt Ta có Theo mệnh đề 3.1.9, ta đƣợc . hay Sau đây, chúng tôi xây dựng một số mở rộng tích phân cho một lớp các phân phối rộng hơn độ đo. 3.2. Mở rộng khái niệm tích phân. 3.2.1. Định nghĩa. Một phân phối μ trên X được gọi là "boundedly increasing" nếu 3.2.2. Mệnh đề. Giả sử μ là một phân phối "boundedly increasing" trên X và f là hàm từ X đến Qp thỏa điều kiện Lipshitz, tức là với mọi x,y X thì tồn tại A R sao cho Khí đó, tổng Riemann hội tụ đến một giới hạn trong Qp khi N → ∞ mà nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm xa,N thuộc khoảng a+(pN). Chứng minh. Với mọi M >N chúng ta ƣớc lƣợng Ta viết tổng Riemann SN,{xa,N} (f ) nhƣ sau 48 trong đó ̅ ≡ a(mod pN ) và 0 ≤ ̅ < pN . Ta có Do f thỏa điều kiện Lipshitz nên tồn tại A R sao cho Mặt khác, nên Vậy Điều này có nghĩa là tổng Riemann có duy nhất một giới hạn. Hơn thế nữa, giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn {xa,N}. Thật vậy, lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có Sau đây là một ví dụ về phân phối "boudedly increasing" và tích phân ứng với phân phối này. 3.2.3. Ví dụ. Giả sử μ là phần phối trong mệnh đề 2.3.4. Khi đó, μ là phân phối "boudedly increasing" và nếu hàm f :Zp → Zp được cho bởi f(x) = x với mọi x Zp thì 49 Chứng minh. • Giả sử khai triển p-adic của a có dạng a = a0 + a1p +... + akp k +... Để chứng minh ta chỉ cần xét trƣờng hợp trong khai triển p-adic của a có [N/2] hệ số đầu tiên ứng với p mũ lẻ triệt tiêu. Khi đó, với N = 2M hoặc N = 2M +1 ta luôn có nghĩa là, Vậy μ là phân phối "boudedly increasing". • Ta chỉ cần xét trƣờng hợp N chẩn, N = 2M và khai triển p-adic của a mà trong [N/2] hệ số đầu tiên ứng với p mũ lẻ có ít nhất một số khác 0. Theo định nghĩa tích phân, ta có 3.2.4. Định nghĩa hàm kiểu r. Cho r là một số thực dương. Hàm f :Zp → Qp được gọi là kiểu r nếu tồn 50 tại A R sao cho với mọi x, y Zp thì 3.2.5. Nhận xét. Nếu f là hàm kiểu r thì f là hàm liên tục đều và nếu r ≥ 1 thì f thỏa điều kiện Lipshitz. Thật vậy, với mọi ɛ > 0 và mọi x,y Zp . Do f là hàm kiểu r nên tồn tại A R sao cho Nếu chúng ta chọn thì với mọi x,y Zp :|x -y|p < δ ta luôn có Vậy f là hàm liên tục đều. Bây giờ, ta chứng minh nếu r ≥ 1 thì f thỏa điều kiện Lipshitz. Do f là hàm kiểu r nên Mặt khác, vì x,y Zp suy ra | x -y|p ≤ 1 do đó với r ≥ 1 ta luôn có Vậy f thỏa điều kiện Lipshitz. 3.2.6. Mệnh đề. Giả sử μ là một phân phối trên Zp thỏa với s là số thực dƣơng thì và f là hàm kiểu r (r ≥ s) Khi đó, tổng Riemann hội tụ đến một giới hạn trong Qp khi N → ∞ mà nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm xa,N thuộc khoảng a + (pN). Chứng minh. • Ta viết Zp là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng a + ( p N ), tức là: 51 Khi đó, với mọi M > N, dùng tính chất cộng tính của μ ta viết lại tổng Riemann { }(f) nhƣ sau: trong đó Do đó, ta có Mặt khác, do f là hàm kiểu r nên tồn tại A R sao cho nhƣng vì hay Do đó Vậy với mọi số thực dƣơng s < r, ta luôn có Từ đó, ta đƣợc Vậy tổng Riemann có duy nhất một giới hạn. Hơn thế nữa, giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn {xa,N}. Thật vậy, bằng cách lý luận tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có 52 3.3. Độ đo và tích phân Bernoulli. Ta đã biết phân phối Bernoulli μB,0 chính là phân phối Haar μHaar. Nhƣng phân phối μHaar không phải là một độ đo trên Zp. Vì thế không phải mọi phân phối Bernoulli nào cũng là độ đo. Có một phƣơng pháp chuẩn, gọi là sự chính quy hóa (regularizations) để đƣa phân phối Bernoulli trở thành độ đo. Chúng ta đƣa ra một số kí hiệu đƣợc dùng trong mục này: Với α Zp ta kí hiệu { α }N là số nguyên thỏa 3.3.1. Định nghĩa. Giải sử α ≠ 1 là một số nguyên bất kỳ không chia hết cho p. Ta định nghĩa ánh xạ μB,k,a (viết tắt là μk,a) nhƣ sau 3.3.2. Nhận xét. Ta đã biết μBk là một phân phối trên Zp nên μk,a cũng là một phân phối trên Zp. Hơn thế nữa, ta sẽ chứng minh μk,a là một độ đo. Trƣớc tiên ta xét một vài trƣờng hợp cụ thể. • Với k=0 ta có • Với k=1 ta có Từ đó, ta có thể chứng minh trực tiếp μ1, α là một độ đo trên Zp. 3.3.3. Mệnh đề. với mọi tập mở compact U ⊂ Zp . Chứng minh. 53 Theo nhận xét 3.3.2, ta có trong đó do đó Mặt khác, với mọi tập mở compact U ⊂ Zp đều là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii, U = ∪ Ii .Từ đó suy ra Từ mệnh đề 3.3.3 ta thấy μ1, α là một độ đo trên Zp. Độ đo μ1, α đóng vai trò nhƣ "dx" trong tích phân trên trƣờng số thực. Tiếp theo chúng ta đƣa ra mối quan hệ giữa μ1, α và μk, α đƣợc thể hiện trong định lý 3.3.4 sau đây. Để dễ hình dung cách chứng minh định lý chúng ta xét một thí dụ cụ thể, giả sử chúng ta cần tính tích phân ∫ ( √ ) trong trƣờng số thực R. Phƣơng pháp đơn giản là đổi biến số x ⟼ xk để thu đƣợc tích phân đơn giản hơn ∫ , trong đó Thực ra, chúng ta có thể hiểu d(xk) nhƣ là "độ đo" μk trên đƣờng thẳng thực đƣợc định nghĩa bởi μk ([a,b]) = b k - a k . Khi đó, μ1 là khái niệm độ dài thông thƣờng. 54 Tỷ số có nghĩa là Vì vậy, trong tổng Riemann trong giới hạn khi tất cả các Ii trở nên nhỏ chúng ta có thể thay μk(Ii) bởi kx k-1μ1( Ii)và ta nhận đƣợc Thực sƣ, việc chứng minh là dùng khai triển nhị thức (a + h)k trong đó h=b-a cụ thể là (a + h) k =a k +kha k-1 +... tƣơng tự trƣờng hợp số p-adic, khi chúng ta chỉ ra rằng μk,α(I) ~ ka k-1 , nếu I là một khoảng nhỏ chứa a, chúng ta cũng dùng khai triển nhị thức. Vì vậy, định lý 3.3.4 đƣợc hiểu tƣơng tự với định lý mà (d/ dx) (xk) = kxk-1 từ tính toán trên trƣờng số thực. cần lƣu ý rằng khi chia dk hai vế của đồng dƣ thức trong định lý 3.3.4 chúng ta phải thay thế pN bởi , trong đó ordpd k là một hằng số mà không có ý nghĩa khi N đủ lớn. 3.3.4. Định lý. Giả sử dk là mẫu số chung nhỏ nhất của các hệ số của đa thức Bernoulli Bk(x). Khi đó, (mod p N ) trong đó hai vế của đồng dư thức nằm trong Zp. Chứng minh. Theo mệnh đề 2.4.3, ta có do đó 55 Lƣu ý rằng: αa ≡ { αa }( mod pN) và {αa }N p N = αa p N - [ ] nên ta có đồng nhất thức sau Mệnh đề sau là một hệ quả trực tiếp của định lý. Mệnh đề khẳng định μk,a là độ đo trên Zp. 3.3.5. Mệnh đề. Phân phối μk,a là một độ đo với k {1,2,3,...} và α Z, α ≠ 1, α ∉ pZ. Chứng minh. 56 Ta chỉ cần chứng minh μk,α (a + (p N )) bị chặn. Thật vậy, theo định lý 3.3.4 ta có phƣơng trình đồng dƣ sau Điều này có nghĩa là do đó hay Vì và dk cố định nên bị chặn. Sau đây là một ví dụ cụ thể về tích phân ứng với độ đo Bernoulli. 3.3.6.Ví dụ. 1. Nếu p > 2,f(x) = 1 x và α = 1 + p thì (mod p). 2. Nếu p = 2, a = 5 và f(x) = 1 x thì (mod 4). Chứng minh. Theo nhận xét 3.3.2, ta có 1. Nếu p > 2, α = 1 + p thì Với mọi x Z*p giả sử khai triển p -adic của x có dạng x = a0 + a1p +... + aNp N + ... Do x Z*p nên a0 ≠ 0. Khi đó, đặt g(x) = 1 a0 , ta có 57 suy ra Ta đã biết với mọi tập mở compact U trong Zp * , ta luôn có do đó điều này có nghĩa là Mặt khác, ta viết Zp * dƣới dạng và nếu x Zp * thì tồn tại a {1,2,..., p-1} sao cho x a +(p) hay x ≡ a (mod p), do đó g(x) = 1 a . Vậy ta có thể viết hàm g dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng Từ đó ta tính đƣợc tích phân cụ thể là 2. Nếu p = 2, α = 5 thì 58 và với mọi x Z2 * ta giả sử khai triển p-adic của x có dạng: x = a0 + a12 + a22 2 + ... Đặt do suy ra Tƣơng tự nhƣ trong (1), ta cũng có Ta viết Z*2 dƣới dạng: và với x Z*2 , ta luôn có x ≡ a (mod 22) suy ra Khi đó, ta có 3.3.7. Mệnh đề. Giả sử f: Zp → Zp là hàm số xác định bởi f(x) = x k-1, trong đó k là một số nguyên dương cố định và giả sử X là tập mở compact của Zp. Khi đó, 59 Chứng minh. Từ định lý 3.3.4, ta có do đó suy ra Do đó, theo định nghĩa tích phân ta nhận đƣợc Nếu ta chọn / là hàm xk'-1 thỏa (mod (p -1)pN) thì ta có (mod p N ) Theo hệ quả 3.1.10, ta đƣợc Từ đó, ta có thể kết luận rằng: bất kỳ s0 cố định,s0 {0,1,2,.., p-2} và nếu ta đặt thì ta có thể mở rộng hàm của k đƣợc cho bởi tới một hàm liên tục của số nguyên p-adic Vậy trong đó tích phân ở vế phải đƣợc tính nhƣ sau 60 Nếu thay vào biểu thức thì ta có mối quan hệ giữa tích phân . Tứ đó ta có công thức sau từ công thức này ta có thể tính đƣợc tích phân cụ thể là 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1]. Đặng Đình Áng (1997), Lý thuyết tích phân, NXBGD. [2]. Nguyễn Xuân Liêm (1994), Độ đo và tích phân, NXBGD. Tiếng Anh [3]. A. J. Baker (2003), An Introduction to p-adic Numbers andp - adỉc Analysis. [4]. Z. I. Borevich and I. R. Shafarevich (1966), Number Theory, Academic Press. [5]. Neal Koblitz (1984), p - adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta - Functions, Springer. [6]. Neaỉ Koblitz (1980), p-adic Anaỉỵsis: a Short Course on Recent Work, Cambridge University Press. [7]. Walter Rudin (1976), Frinciples of Mathematical Analysis, Me Graw - Hill Company. [8]. Manin Yu.I. (1973), Periods of cusp forms and p-adic 92 (1973) 349 - 401, In Russian.