Luận văn Hàm lồi và các tính chất

Các hàm tuyến tính và afin là những hàm đơn giản và được dùng phổ biến nhất. Hàm lồi thuộc lớp hàm phi tuyến hay được dùng trong lý thuyết và ứng dụng thực tế, vì hàm lồi cùng với các biến dạng của nó (lồi chặt, lồi mạnh, tựa lồi : : :) có nhiều tính chất đẹp rất đáng được chú ý. Luận văn này chủ yếu tập trung vào tìm hiểu các hàm lồi một biến và nhiều biến, cùng các tính chất cơ bản của chúng, đăc biệt là tính liên tục, tính khả vi và các tính chất cực trị. Chương 1 đề cập tới các hàm lồi một biến, nhận giá trị hữu hạn hay vô cực. Hàm lồi một biến xác định trên khoảng I  R là Lipschits trên [a; b]  int(I ), liên tục trên int(I ) và khả vi hầu khắp nơi trên I: Nếu hàm f hai lần khả vi trên khoảng mở I thì hàm f lồi khi và chỉ khi f 00 (x)  0 với mọi x 2 I: Chương 2 giới thiệu về hàm lồi nhiều biến và các tính chất cơ bản như: f là hàm lồi khi và chỉ khi tập trên đồ thị của nó là lồi, hàm f lồi thì các tập mức dưới của nó là tập lồi, cách nhận biêt hàm khả vi là hàm lồi, các phép toán bảo toàn tính lồi của hàm, giới thiệu khái niệm dưới vi phân của hàm lồi và mối quan hệ giữa dưói vi phân với đạo hàm theo hướng và với hàm liên hợp. Chương 3 trình bày các tính chất cực trị của hàm lồi, hàm lồi chặt và hàm lồi mạnh, các điều kiện tối ưu cần và đủ đối với các hàm lồi khả vi và một số kết quả chính về cực tiểu (cực đại) của hàm lồi. Đáng chú ý là cực tiểu địa phương của một hàm lồi luôn là cực tiểu toàn cục, điểm cực tiểu của hàm lồi chặt nếu có là duy nhất và hàm lồi mạnh luôn đạt cực tiểu trên tập đóng khác rỗng, cực tiểu đó là duy nhất nếu tập là lồi đóng khác rỗng. Cực đại của hàm lồi nếu có sẽ đạt tại điểm cực biên (nói riêng, tại đỉnh) của tập lồi được xét.