Luận văn Họ S - Chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính hyperbolic của các không gian phức

ếu X, Y là các không gian phức thì với mọi 1 2 1 2, ; ,x x X y y Y ta có 1 2 1 2 1 1 2 2max ( , ), ( , ) (( , ),( , ))X Y X Yk x x k y y k x y x y . 1.1.6. Định nghĩa Ta gọi g là Aut( ) bất biến khi và chỉ khi với mọi Aut( )f thì *f g g . (Metric Poincaré là Aut( ) - bất biến). 1.2. KHÔNG GIAN PHỨC HYPERBOLIC 1.2.1. Định nghĩa Không gian phức X đƣợc gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng cách Kobayashi Xk là khoảng cách trên X, nghĩa là ( , ) 0Xk p q p q . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 1.2.2. Tính chất i) Nếu X, Y là không gian phức, thì X Y là không gian hyperbolic khi và chỉ khi cả X và Y đều là các không gian hyperbolic. ii) Nếu X là không gian con phức của không gian hyperbolic Y thì X cũng là hyperbolic. iii) Định lý Barth Giả sử X là không gian phức liên thông. Nếu X là hyperbolic thì Xk sinh ra tô pô tự nhiên của X. 1.2.3. Ví dụ +) Đĩa và đa đĩa m r là hyperbolic. +)  n không là hyperbolic. Thật vậy, giả sử nk là giả khoảng cách Kobayashi trên  n , ta sẽ chỉ ra rằng 0nk và do đó nk không là khoảng cách trên  n . Với ,  nx y và ( 0)p p , xét ánh xạ : : . nf y x z x z p   Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình, (0)f x và ( )f p y . Do đó f là giảm khoảng cách đối với k và nk nên ta có: (0; ) ( (0); ( ))nk p k f f p . Suy ra ( , ) (0; )nk x y p . Cho p dần tới 0 ta có ( , ) 0 ,n nk x y x y   . Vậy  n không là hyperbolic. 1.2.4. Bổ đề Giả sử X, Y là các không gian phức, ' Yk là hàm khoảng cách trên Y, liên tục với tô pô của Y . Giả sử : X Y là ánh xạ chỉnh hình có tính chất giảm khoảng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 cách từ Xk tới 'Yk và B(y,s) là hình cầu mở ứng với khoảng cách 'Yk với , ( )x X y x . Khi đó tồn tại hằng số ( ) 0c s chỉ phụ thuộc vào s thoả mãn ( , ') min , ( ) ( , ' )X Vk x x s c s k x x với mọi 1' ( ( ,2 ))x V B y s . Chứng minh Giả sử : , 1,.....,if X i m với 1 1( ) (0)i i if q f là một dây chuyền chỉnh hình trong X nối x với x’. Ta xét hai trƣờng hợp sau: i) Tồn tại một chỉ số j sao cho ( ) ( , )j jf q B y s . Khi đó ta có 1 1 (0, ) ( (0), ( )) m m i X i i i i i k q k f f q 1 ' ( (0), ( )) m Y i i i i k f f q ' ( , ( ))Y j jd y f q s . Từ đó ( , ')Xk x x s . ii) ( ) ( , )j jf q B y s với mọi chỉ số j. Trƣớc hết ta có nhận xét: Giả sử :f Y là ánh xạ chỉnh hình, r và q là hai số thực thoả mãn 0 1, 0< q <1r . Khi đó tồn tại một phép chia [0 = t0, t1, …,tn = q] của đoạn [0, q] trong , có các số rk (k=1,…,N) thoả mãn 0 2 k r r và có các tự đẳng cấu : , 1,...,kg k N sao cho gk ánh xạ [0,rk ] lên [tk-1, tk]. Nếu ta thay f bởi 1,..., Nf g f go o thì ta nhận đƣợc từ f một dây chuyền chỉnh hình nối các điểm f (0) với f (q), nói cách khác ta có phép chia đoạn [0, q] thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 0 2 k r r mà dây chuyền chỉnh hình vẫn có cùng độ dài Kobayashi. Ta áp dụng nhận xét trên cho mỗi hàm fi (i = 1, .. ., m) của dây chuyền chỉnh hình đã cho. Chọn r ( 0 1r ) thoả mãn (0, )k z s với rz . Khi đó r chỉ là một hàm đối với s. Theo nhận xét trên, không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng dây chuyền chỉnh hình đƣợc lấy thoả mãn 2 i r q với mọi i. Nếu dây chuyền chỉnh hình mới này thoả mãn điều kiện của i) thì ta có điều phải chứng minh. Trong trƣờng hợp còn lại ta có 1(0) B( , )if y s . Vì ' ( (0), ( ))Y i i rk f f s , ta nhận đƣợc 1( ) B( ,2 ) ,i rf y s V với mọi i. Tồn tại số 0c sao cho (0, ) r k z ck với /2rz . Khi đó tổng Kobayashi thoả mãn bất đẳng thức 1 1 1 (0, ) (0, ) c (0, / ) ( , '). r m m i i i i m i i V k q c k q k q r ck x x Thật vậy, ( )i rf V với mọi i. Vì vậy nếu ta ký hiệu bởi mr là phép nhân với r, thì 1{ ,...., }r m rf m f mo o là một dây chuyền chỉnh hình trong V. Vì vậy ta cũng có ( , ') ( , ')X Vk x x ck x x . Từ cả hai trƣờng hợp trên có ra điều phải chứng minh. Sau đây là một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic của các không gian Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 phức thông qua các ánh xạ chỉnh hình. 1.2.5. Mệnh đề (Bổ đề Eastwood) Giả sử : X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức. Giả sử Y là hyperbolic (đầy) và với mỗi điểm y Y có lân cận U của y sao cho 1( )U là hyperbolic (đầy) thì X là hyperbolic (đầy). Mệnh đề trên là trƣờng hợp riêng của mệnh đề sau 1.2.6. Mệnh đề Giả sử X,Y là các không gian phức và ' Yk là hàm khoảng cách trên Y mà xác định tô pô của Y. Giả sử : X Y là ánh xạ chỉnh hình và i) là giảm khoảng cách từ Xk tới ' Yk . ii) Với mỗi điểm y Y có một lân cận mở U sao cho 1( )U là hyperbolic. Khi đó X là hyperbolic. Chứng minh Lấy , ' , 'x x X x x + Nếu ( ) ( ')x x thì từ giả thiết là giảm khoảng cách ta có ( , ') 0Xk x x , do đó X là hyperbolic. + Nếu ( ) ( ')x x y : theo giả thiết có một lân cận mở U của y mà 1( )U là hyperbolic. Từ đó tồn tại s > 0 sao cho ' Yk - cầu ( ,2 )B y s U . Mặt khác 1 ( ,2 )B y s là hyperbolic vì nó là không gian con của không gian hyperbolic 1( )U . Suy ra ( , ') 0Xk x x . Vậy X là hyperbolic. 1.3. KHÔNG GIAN PHỨC HYPERBOLIC BRODY 1.3.1. Định nghĩa Giả sử X là không gian phức. Ta nói X là hyperbolic Brody nếu với mỗi ánh xạ chỉnh hình :f X đều là ánh xạ hằng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Các kết quả sau đƣợc trình bày trong [1] 1.3.2. Mệnh đề Nếu X là không gian phức hyperbolic, thì mọi ánh xạ chỉnh hình :f X đều là ánh xạ hằng. 1.3.3. Định lý Brody Giả sử X là không gian phức compact . Nếu X không là hyperbolic thì tồn tại một ánh xạ chỉnh hình khác hằng : .f X£ 1.3.4. Định lý Giả sử X là không gian phức compact. Khi đó X là hyperbolic Brody khi và chỉ khi X là hyperbolic Kobayashi. 1.4. KHÔNG GIAN PHỨC HYPERBOLIC ĐẦY 1.4.1. Định nghĩa Không gian phức X đƣợc gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và mọi dãy Cô si đối với khoảng cách Xk đều hội tụ. Ví dụ : Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy. 1.4.2. Mệnh đề Giả sử X là không gian hyperbolic liên thông. Khi đó X là hyperbolic đầy nếu và chỉ nếu với mọi x X và 0r mọi hình cầu đóng ( , )B x r là compact. Để chứng minh mệnh đề trên ta cần chứng minh các bổ đề sau: Giả sử X là không gian phức và Y là tập con tuỳ ý, 0r . Đặt ( , ) , ( , ) .XU Y r x X y Y k x y r Nói cách khác ( , )U Y r là tập các điểm trong X thoả mãn khoảng cách tới một điểm nào đó của Y nhỏ hơn r. 1.4.3. Bổ đề Giả sử X là không gian phức, a X và , ' 0r r . Khi đó ( , ), ' ( , ')U U a r r U a r r . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Chứng minh Trƣớc hết ta chứng minh ( , ), ' ( , ')U U a r r U a r r . Lấy ( , ), 'x U U a r r , theo định nghĩa tập U, có điểm ( , )y U a r sao cho ( , ) ( , ) ( , ) ' .X X Xk x a k x y k y a r r Do đó ( , ').x U a r r Ngƣợc lại, với bất kỳ ( , ')x U a r r , lấy 0 sao cho ( , ) ' 3 .Xk a x r r Tồn tại dây chuyền chỉnh hình trong X nối a với x, gọi đƣờng nối 1 2, ,..., m là ảnh của dây chuyền đó trong X, thỏa mãn ( , ) tæng Kobayashi ( , ) .X Xk a x k a x Gọi j là số lớn nhất sao cho độ dài của đƣờng nối 1 1,..., .jL r Chia cung j thành hai cung 'j và "j bởi điểm jx trên j sao cho 1 1,..., , ' .j jL r Khi đó, ( , )X jk a x r , tức là ( , )jx U a r . Xét đƣờng nối 1,..., ' , " ,...,j j m ta có ( , ) ( , ) ( ) ' 3 2 ' .X j Xk x x k a x r r r r r Vậy tồn tại ( , )jx U a r sao cho ( , ) '.X jk x x r Từ đó ( , ), 'x U U a r r . Bổ đề đƣợc chứng minh. 1.4.4. Bổ đề Giả sử X là không gian con phức compact địa phương với hàm khoảng cách d thỏa mãn đẳng thức ( , ), ' ( , ')U U a r r U a r r Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 với mọi a X và , ' 0r r . Khi đó với a X và 0r , nếu tồn tại 0s sao cho ( , )U x s là compact với mỗi ( , )x U a r thì ( , )U a r là compact . Chứng minh Vì X là compact địa phƣơng nên có t > 0 sao cho t < r và ( , )U a t là compact. Ta chỉ cần chứng minh ( , ( / 2))U a t s là compact. Lấy nx là một dãy trong ( , ( / 2))U a t s . Ta chứng minh nx có dãy con hội tụ. Theo giả thiết, với mỗi n tồn tại điểm ( , )ny U a t sao cho 3 ( , ) . 4 n nd x y s Vì ( , )U a t là compact, bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết ny hội tụ với ( , ).y U a t Khi đó ( , )U y s chứa xn với n đủ lớn. Vì ( , )U y s là compact theo giả thiết, nên dãy ( , )nx x U y s . Rõ ràng ( , ( / 2))x U a t s . Bổ đề đƣợc chứng minh. 1.4.5. Bổ đề Giả sử X là không gian con phức compact địa phương với hàm khoảng cách d thỏa mãn đẳng thức ( , ), ' ( , ')U U a r r U a r r với mọi a X và , ' 0.r r Khi đó X là đầy đối với hàm khoảng cách d nếu và chỉ nếu bao đóng ( , )U x r là compact với mọi x X và với mọi số dương r. Chứng minh Nếu mọi hình cầu đóng ( , )U a r là compact với mọi ,a X thì hiển nhiên X là đầy. Thật vậy, giả sử nx là dãy Côsi trong X, khi đó nx bị chặn, do đó tồn tại r > 0, x X sao cho ( , )nx U x r . Theo giả thiết ( , )U x r là compact, nên tồn tại dãy con Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 , ( , ) k kn n n x x x y U x r . Mà nx là dãy cơ bản nên nx y X . Vậy X là đầy. Ngƣợc lại, giả sử X là đầy. Theo bổ đề 1.4.4, ta chỉ cần chứng minh tồn tại số s > 0 sao cho với mọi dãy x X hình cầu đóng ( , )U s x là compact. Giả sử ngƣợc lại, khi đó tồn tại 1x X sao cho 1( ,1/ 2)U x không là compact. Theo bổ dề 1.4.4, tồn tại 2 1( ,1/ 2)x U x sao cho 2 1( ,1/ 2 )U x không là compact. Lập luận tƣơng tự, tồn tại 1 1( ,1/ 2 ) n n nx U x sao cho ( ,1/ 2 )nnU x không là compact. (*) Theo giả thiết, dãy Côsi nx hội tụ tới điểm x. Vì X là compact địa phƣơng, tồn tại hình cầu đóng ( , )U x t với t > 0 nào đó thỏa mãn ( ,1/ 2 )nnU x nằm trong ( , )U x t với n đủ lớn, và do đó ( ,1/ 2 )nnU x phải là compact. Điều này mâu thuẫn với (*). Chứng minh mệnh đề 1.4.2 Suy ra từ các bổ đề 1.4.3 và 1.4.5. 1.4.6. Định lý Giả sử X là không gian con phức compact tương đối của không gian phức Y. Nếu X là hyperbolic Brody trong Y, thì tồn tại một lân cận mở của X trong Y mà là hyperbolic. Chứng minh (Xem định lý 4.2.1 trong [1]) Định lý sau là một ứng dụng của định lý Brody trong việc xét tính hyperbolic qua các ánh xạ chỉnh hình riêng. 1.4.7. Định lý Giả sử : X Y là ánh xạ chỉnh hình riêng giữa các không gian phức. Khi đó i) Nếu Y là hyperbolic và mỗi thớ 1( )y là hyperbolic với mọi y Y thì X là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 hyperbolic . ii) Nếu có điểm 0y Y sao cho 1 0( )y là hyperbolic, thì tồn tại một lân cận U của y0 trong Y sao cho 1( )y là hyperbolic với mọi y U . Chứng minh i) Theo bổ đề Eastwood ta chỉ cần chứng minh rằng với y Y cho trƣớc, tồn tại một lân cận mở U của y sao cho 1( )U là hyperbolic. Lấy U là lân cận mở của y sao cho U là compact. Khi đó 1( )U là mở và bao đóng của nó nằm trong 1( )U và do đó là compact (vì là ánh xạ riêng và U là compact). Theo định lý Brody nếu 1( )U không là hyperbolic thì tồn tại một ánh xạ chỉnh hình khác hằng 1: ( )f U (*). Với mọi , 'x x  ta có 1( ) ( ( ( )), ( ( '))) ( ( ), ( ')) ( , ') 0Y U k f x f x k f x f x k x x . Suy ra ( ( ( )), ( ( '))) 0,Yk f x f x mà Y là hyperbolic nên ( ( )) ( ( ')).f x f x Vậy f là ánh xạ hằng hay 0( ( )) f x y x  . Do đó 1 0( ) ( ).f y Theo giả thiết 1 0( )y là hyperbolic nên theo mệnh đề 1.3.2 ta có 1: ( )f U cũng là ánh xạ hằng. Điều này mâu thuẫn với (*). Tránh mâu thuẫn này thì 1( )U là hyperbolic. Vậy X là hyperbolic. ii) Vì là ánh xạ riêng 0y là tập compact nên 1 0( )y là compact, theo định lý 1.4.6 có lân cận V của 1 0( )y , V là hyperbolic, do đó tồn tại lân cận U của 0y sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 1( )U V (**). Suy ra với mọi y U có 1 1( ) ( ) ,y U V V là hyperbolic. Vậy 1( )y là hyperbolic với mọi .y U Chứng minh (**): Giả sử (**) không xảy ra suy ra tồn tại dãy \nx X V sao cho 0( )n nx y y . Gọi K là lân cận compact của y0 trong Y, do là ánh xạ riêng suy ra 1( )K là compact trong X. Vì 0ny y nên tồn tại n0 để 0n n thì .ny K Do đó tồn tại dãy kn n x x sao cho 0k k nx x , mà liên tục nên 0 0( ) lim ( ) limk kn nk k x x y y . Suy ra 1 0 0( )x y V . Vậy 0k k nx x V nên tồn tại 0 k  sao cho 0 k k thì . kn x V Điều này mâu thuẫn với giả thiết \ .nx X V Do vậy 1 1( ) ( ) ,y U V V là hyperbolic nên 1( )y là hyperbolic .y U Định lý đƣợc chứng minh. 1.4.8. Mệnh đề Giả sử X là không gian hyperbolic đầy và f là một hàm chỉnh hình bị chặn. Khi đó tập mở ( ) 0fX x X f x là hyperbolic đầy. Chứng minh Do :f X £ là hàm bị chặn nên nếu nhân f với số 0c đủ nhỏ ta có thể giả thiết :f X . Giả sử nx là dãy fX k - Côsi, do fX X nên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 fX X k k suy ra nx là dãy Xk - Côsi, X đầy nên nx hội tụ đến x X . Ta chứng minh fx X .Ta có *( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( , ) 0.fn m n m X n mk f x f x k f x f x k x x Suy ra ( )nf x là dãy *k -Côsi mà * là hyperbolic đầy nên mà *k k nên ( )nf x hội tụ theo k đến y. Lại do f liên tục và Xk n n x x , ( ) 0, n nf x y suy ra ( ) 0y f x do đó fx X fX đầy. Rõ ràng ,fX X X là hyperbolic nên fX hyperbolic. Vậy fX là hyperbolic đầy (đpcm). 1.5. KHÔNG GIAN PHỨC NHÚNG HYPERBOLIC 1.5.1. Định nghĩa Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi đó ta nói X là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi ,x y X Y , tồn tại các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho ( , ) 0.Xk X U X V 1.5.2. Nhận xét i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng hyperbolic trong chính nó. ii) Nếu X1 là nhúng hyperbolic trong Y1 và X2 là nhúng hyperbolic trong Y2 thì 1 2X X là nhúng hyperbolic trong 1 2Y Y . iii) Nếu có hàm khoảng cách trên X thỏa mãn ( , ) ( , ), , ,Xk x y x y x y X thì X là nhúng hyperbolic trong Y. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 1.5.3. Định lý Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y. HI2. X là hyperbolic và nếu ,n nx y là các dãy trong X thỏa mãn , , ( , ) 0n n X n nx x X y y X k x y thì x = y. HI3. Giả sử ,n nx y là các dãy trong X thỏa mãn , .n nx x X y y X Khi đó nếu ( , ) 0X n nk x y khi n thì x = y. HI4. Giả sử H là hàm độ dài trên Y. Khi đó tồn tại các hàm liên tục dương trên Y sao cho: *( ) , Hol( , )f H H f X trong đó H là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị . HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi Hol( , )f X ta có *f H H . 1.5.4. Định lý (Kiernan) Giả sử X là không gian con phức, compact tương đối trong không gian phức Y. Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu Hol( , )X là compact tương đối trong Hol( , ).Y Chứng minh Giả sử Hol( , )X là compact tƣơng đối trong Hol( , )Y nhƣng X không là nhúng hypebolic trong Y. Theo định lý 1.5.3, HI5, thì với mỗi hàm độ dài trên Y và với mỗi số nguyên dƣơng n, tồn tại một ánh xạ chỉnh hình :nf X và nz sao cho ( )n ndf z nv v với mọi nz Tv (*). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Do tính thuần nhất của đối với nhóm Aut( ) ta có thể giả sử 0nz . Vì X compact tƣơng đối trong Y và ( )n nf z X Y nên tồn tại y X thỏa mãn (0)nf y . Theo giả thiết Hol( , )X là compact tƣơng đối trong Hol( , ),Y sau khi lấy dãy con ta có thể giả thiết rằng nf hội tụ đều tới f trên một lân cận của 0. Do đó ' (0) '(0)nf f , điều này mâu thuẫn với (*). Vậy X là nhúng hypebolic trong Y. Ngƣợc lại, giả sử X nhúng hypebolic trong Y. Theo Ascoli, vì X là compact tƣơng đối trong Y nên ( ) Hol(Δ, )f x f X compact tƣơng đối trong Y. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh Hol( , )X là đồng liên tục đối với một hàm khoảng cách Hd sinh bởi một hàm độ dài H trên Y. Nhƣng theo định lý 1.5.3, HI5 do X nhúng hyperbolic trong Y nên tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho *f H H với mọi Hol( , )f X . Suy ra ( ( ), ( )) ( , ) ( , ).Hd f x f y k x y x y Mà liên tục nên tập các ánh xạ chỉnh hình Hol( , )X là đồng liên tục. Vậy Hol( , )X là compact tƣơng đối trong Hol( , )Y . Định lý đƣợc chứng minh. 1.6. METRIC VI PHÂN ROYDEN-KOBAYASHI 1.6.1. Định nghĩa Giả sử M là một đa tạp phức và TM là phân thớ tiếp xúc của M. Một ánh xạ :F TM  đƣợc gọi là metric vi phân trên M nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau : i) (0 ) 0xF trong đó 0x là vectơ không của xT M . ii) Với mọi x xT M và a C thì ( ) ( )x xF a a F . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 1.6.2. Định nghĩa Cho X là không gian phức. Giả sử x là điểm trong X. Nón tiếp xúc  xT X gồm các vectơ có dạng * ( )f u trong đó u T và Hol( , )f X . Khi đó : xXK T X  đƣợc định nghĩa bởi :  * ( ) inf , , ( ) xXK u u T f u T Xv v v . Trong đó u là độ dài của vectơ tiếp xúc u đƣợc đo bởi metric Poincaré ds2 của đĩa đơn vị và infimum lấy theo mọi Hol( , )f X và u T sao cho * ( )f u v. Nếu x là điểm chính quy, thì mỗi xT Xv luôn tồn tại vectơ u T sao cho * ( )f u v, do đó ( ) .XK v Nếu x là điểm kỳ dị và nếu không tồn tại u nhƣ trên thì ta đặt ( ) .XK v Ta gọi XK là metric vi phân Royden – Kobayashi trên không gian phức X. 1.6.3. Một số tính chất của metric vi phân Royden – Kobayashi a) Nếu X và Y là hai không gian phức, thì * ( ( )) ( )Y XK f Kv v với Hol( , ), .f X Y T Xv Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi f là song ánh chỉnh hình. b) + Trong đĩa đơn vị , K đồng nhất với metric Bergman – Poincaré, tức là 2 2.D sK d + 0mK c) Trong không gian phức X ta có * ( ( )) , Hol( , ), .XK f u u f X u T Hơn nữa, nếu E là một hàm tựa chuẩn xác định trên T X thỏa mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 * ( ) , Hol( , ), .E f u u f X u T thì ( ) ( ),XE K T Xv v v . d) Giả sử X,Y là các không gian phức, ta có ( , ) max ( ), ( )X Y X YK u K u Kv v với  , .u TX TYv e) Giả sử X là không gian phức và : X X là không gian phủ chỉnh hình của X. Khi đó  * XX K K . f) Nếu X là đa tạp phức, thì XK là hàm nửa liên tục trên trên TX. Nếu X là không gian phức hypebolic đầy thì XK liên tục. g) Gọi E là hàm độ dài nào đó của X sao cho XE K , thế thì * * ( ) ( ) , , Hol( , )XE f u K f u u u T f X . Vậy nếu gọi là khoảng cách trên X sinh bởi E thì mọi ánh xạ chỉnh hình : ( , ) ( , )f X là giảm khoảng cách . Ta có ,Xk từ đó X là hypebolic. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 CHƢƠNG 2: HỌ S- CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ TÍNH HYPERBOLIC CỦA KHÔNG GIAN PHỨC Nội dung chính của chƣơng này là trình bày một số kết quả của họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đồng thời trình bày một số ứng dụng của họ s-chuẩn tắc trong việc nghiên cứu tính hyperbolic hay tính nhúng hyperbolic của các không gian phức. Ta biết rằng các metric hyperbolic đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết các hàm chuẩn tắc [5]. Ở đây chúng tôi muốn nhấn mạnh mối liên hệ sâu sắc giữa lý thuyết các hàm chuẩn tắc với giải tích hyperbolic. Cụ thể, các ánh xạ chuẩn tắc vào các không gian phức tùy ý đều có những tính chất quan trọng nhất của các ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức hyperbolic compact (hoặc nhúng hyperbolic). Chẳng hạn chúng thỏa mãn định lý tƣơng tự nhƣ định lý Kiernan về tính nhúng hyperbolic hay tiêu chuẩn Eastwood về tính hyperbolic. Cuối chƣơng là một tiêu chuẩn về tính s – chuẩn tắc dƣới dạng không tồn tại các đƣờng cong nguyên. Kết quả này là một mở rộng tiêu chuẩn Brody cho tính hyperbolic [2] và tiêu chuẩn về tính chuẩn tắc của Hahn [4]. 2.1. HỌ S-CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ TIÊU CHUẨN METRIC CHO TÍNH S- CHUẨN TẮC Cho X và 'Y là các không gian phức. Y là tập con compact tƣơng đối trong 'Y . 2.1.1. Định nghĩa Họ Hol ,X Yf đƣợc gọi là s-chuẩn tắc nếu họ các ánh xạ hợp thành Hol , { , Hol( , ) }X f f X f f là không gian con compact tƣơng đối trong Hol , 'Y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Rõ ràng nếu họ F là s-chuẩn tắc thì họ con của họ F cũng là s-chuẩn tắc (vì tập con của tập compact tƣơng đối cũng là tập compact tƣơng đối). 2.1.2. Định nghĩa Ánh xạ f :X Y gọi là chuẩn tắc nếu họ F = f là s-chuẩn tắc. 2.1.3. Chú ý + Nếu Z là không gian con của không gian phức X và :f X Y là ánh xạ chuẩn tắc thì ánh xạ hạn chế Z| :f Z Y là ánh xạ chuẩn tắc. + Nếu : Z X là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức và ánh xạ :f X Y là chuẩn tắc thì :f Z Y là ánh xạ chuẩn tắc. + Cho fi : Xi Yi ( i 1,2 ) là các ánh xạ chuẩn tắc thì tích trực tiếp f1 f2 : X1 X2 Y1 Y2 là ánh xạ chuẩn tắc. Chứng minh + Vì :f X Y là ánh xạ chuẩn tắc suy ra Hol( , )f X là compact tƣơng đối trong Hol( , ')Y (1). Mà Z| Hol( , ) Hol( , )f X f X  nên Z| Hol( , )f X cũng là tập compact tƣơng đối của Hol( , ')Y . Do đó Z|f là chuẩn tắc. + Xét dãy 1 Hol( , )n n f f Z    với ( , ).n Hol Z Vì , n chỉnh hình nên n chỉnh hình. Do đó ( ) ( ) Hol( , )n nf f f X     . Mà f chuẩn tắc nên tồn tại dãy con { ( )} kn f   của dãy 1n n f   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 hội tụ trong Hol( , ')Y . Suy ra Hol( , )f Z  là compact tƣơng đối trong Hol( , ')Y . Vậy f  là chuẩn tắc. + Xét dãy 1 2 1 2 1 21 Hol ,n n n f f f f X X y . Ta có 1 2 1 2n n n nf f f f  y y . Vì f1 chuẩn tắc nên với dãy 1 1 11 Hol( , )n nf f X  tồn tại dãy con 1 kn f  hội tụ đến 1 1 Hol( , ')f Y . Tƣơng tự vì f2 chuẩn tắc nên tồn tại dãy 2 kn f  y là dãy con của 2 1{ }n nf  y hội tụ đến ' 2 2Hol( , )f Y y . Nên tồn tại dãy 1 2 1 2k kn n n n f f f f y y hội tụ đến 1 2( ) ( )f f  y thuộc ' ' 1 2Hol( , )Y Y . Vậy 1 2 1 2Hol ,f f X X compact tƣơng đối trong ' ' 1 2Hol( , )Y Y , do đó f1 f2 là chuẩn tắc. Tổng quát hơn ta có mệnh đề 2.1.4. Mệnh đề + Nếu Z là không gian con của X và F là họ s- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 hình từ X vào Y thì họ : Z Z f ff f là họ s- chuẩn tắc. + Nếu : Z X là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức và F là họ s- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y thì họ f fo of f là họ s- chuẩn tắc. + Nếu if là các họ s- chuẩn tắc từ Xi vào Yi với i = 1,2 thì 1 2 1 2 1 1 2 2,f f f ff f f f là họ s- chuẩn tắc. Việc chứng minh hoàn toàn tƣơng tự nhƣ trong 2.1.3. 2.1.5. Một số ký hiệu Cho kX là giả khoảng cách Kobayashi trên X. Nếu X là đa tạp phức và KX là giả metric vi phân Royden – Kobayashi trên TX. Với metric tuỳ ý trên Y ta ký hiệu Holc (X,Y, ) là họ tất cả các ánh xạ f Hol(X,Y) thoả mãn bất đẳng thức: * Xf ck . Nếu X và Y là trơn và đƣợc sinh bởi metric vi phân nửa liên tục trên trên TY thì bất đẳng thức trên tƣơng đƣơng với bất đẳng thức * Xf cK . 2.1.6. Bổ đề Cho là metric Hermit trên Y’ và là metric trên Y. Nếu Y thì Hol ( , , )c X Y là họ s - chuẩn tắc với bất kì số 0c . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 Chứng minh Ta phải chứng minh họ ( , , ) ( , )c X Y XHol Holf là compact tƣơng đối trong Hol , 'Y . + x ta có ( )x f x f Yf f mà Y compact tƣơng đối trong 'Y nên xf compact tƣơng đối trong '.Y (1) + h f ta có h f  với Hol , X và ( , , )cf X YHol . Vì f * ckX nên z,z ’ ta có ( ( ( )), ( ( '))) ( ( ), ( '))Xd f z f z ck z z . Lại do Y nên ( ( ( )), ( ( '))) ( ( ), ( ')),Xd f z f z ck z z mà kX liên tục nên họ f đồng liên tục. (2) Từ (1), (2) và theo định lý Ascoli ta có đpcm. Để chứng minh tiêu chuẩn metric của tính s - chuẩn tắc trong định lý 2.1.9 ta cần đƣa ra khái niệm KRG -metric. Và từ đây ta giả thiết rằng 'X Y vµ là nhẵn. 2.1.7. Định nghĩa Giả sử {Ui}i= 1,n là một phủ hữu hạn của bao đóng Y của Y trong 'Y . Đặt Ui * =Ui Y (với i = 1,n ). Xét * 1, min{ } iUi n H K trong đó * iU K là các giả metric vi phân Royden – Kobayashi trên Ui * . Đặt : max , . Y G H Metric G và hàm khoảng cách g tƣơng ứng đƣợc gọi là metric Kobayashi- Royden-Green và ký hiệu là KRG - metric. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 2.1.8. Chú ý Rõ ràng KRG-metric phụ thuộc vào sự lựa chọn phủ {Ui}i= 1,n . Với một phủ đủ nhỏ thì các metric G và H trong 2.1.7 là tƣơng đƣơng. G là metric đầy với một phủ thích hợp khi và chỉ khi Y là đa tạp con hyperbolic đầy địa phƣơng của '.Y 2.1.9. Định lý Cho G là KRG-metric trên Y. Họ Hol ,X Yf là s-chuẩn tắc khi và chỉ khi ( , , )Holc X Y Gf với một hằng số 0c nào đó. Chứng minh + Nếu ( , , )Holc X Y Gf với 0c thì f là s-chuẩn tắc. Thật vậy từ định nghĩa của KRG – metric ta có Y G với mọi metric trên Y’. Theo bổ đề 2.1.6 ta có Holc (X,Y,G) là họ s-chuẩn tắc, mà họ con của họ s-chuẩn tắc cũng là họ s-chuẩn tắc, do đó f là s-chuẩn tắc. + Ngƣợc lại nếu Hol ,X Yf là s-chuẩn tắc ta chứng minh ( , , )Holc X Y Gf với 0c . Giả sử ( , , )Holc X Y Gf , với mọi 0c . Khi đó tồn tại các dãy nf f ,{ nv } TX để 1 ( )X nK n v và ( ) 1n n Gdf v với mỗi n  . Theo định nghĩa của KX, tồn tại các dãy { } Hol( , )n X và { }n ou T thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 1 nu n và ( )n n nd u v , với n ¥ . Đặt 1 n nr u , n n nz u zy Hol( , ) nr X với : nr n z z r . Xét hai dãy các đĩa chỉnh hình Hol( , )n n nΦ f Y và nn n n r Ψ f Y Hol( , )y . Vì họ f là s-chuẩn tắc nên tồn tại các dãy con của nΦ và nΨ hội tụ. Có thể giả thiết rằng n nΦ Φ n nΨ Ψ , với Hol( , ')Φ Y , Hol( , ').Ψ Y Ta chứng minh Ψ = const. Cố định một điểm 0z tuỳ ý, đặt p0 := Ψ (0) và q0:=Ψ (z0) (p0 ,q0 Cl(Y)). Xét các dãy 0n nz u z , 0 n nz , n n nq Φ z Y , 0 .n np Φ Y Ta có 0( )( ) ( ( )) ( ( )) n n n n n n n n n n n nq Φ z f z f z f u z 0 0 0 0( )( ) ( ) ( )n n nf z Ψ z Ψ z qy . Đồng thời (0) ( )(0) ( (0)) ( ( 0)) ( (0))n n n n n n n n n n np Φ f f f u f y 0( )(0) (0) (0) n n n nf Ψ Ψ p y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Vì n nΦ Φ nên 0, 0 sao cho z thì ( ( ), (0))nΦ z Φ với n đủ lớn. Đặc biệt, ta có 0( , )nq p với n đủ lớn (vì z nên z đủ nhỏ và 0 n nz , 0(0) n n n nΦ p Φ Φ, ), hay 0 n nq p . Mặt khác 0 n nq q nên p0 = q0 . Tức là 0( ) (0)Ψ z Ψ với z0 tuỳ ý thuộc 0 'Ψ const Ψ p Y ( ) . Lấy g là KRG-metric ứng với phủ 1 n i i U của .Y Lấy p0 Ui. Do 0 n nΨ Ψ p và tính liên tục của nΨ , Ψ nên ta có với n đủ lớn thì * 2( ) .n i iΨ U U Y Với những giá trị đó của n thì * 0 1 2i nU d K dΨ dz æ öæ ö÷÷ç ç <ç ç ÷÷ç çè øè ø . Từ 0 ( )n n n d dΨ df dz v æ ö ÷ç =ç ÷çè ø , ta có 1 ( ) 2 n n H df v < . Nhƣng ( ) 1n n Gdf v = và do đó ( ) 1n ndf v =r . Từ đó suy ra 0 0 lim 1. ρ ρ n n d d dΨ dΨ dz dz Điều này mâu thuẫn với Ψ const . Tránh mâu thuẫn này thì ( , , ).c X Y Gf Hol Định lý đƣợc chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 Định lý sau là một tiêu chuẩn metric đối với họ s - chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. 2.1.10. Định lý Họ Hol ,X Yf là s - chuẩn tắc nếu và chỉ nếu ( , , )c YX YHolf với hằng số 0c nào đó và là metric Hermit trên 'Y . Chứng minh + Nếu ( , , )Holc YX Yf thì vì ( , , )c YX YHol là họ s-chuẩn tắc nên f là s-chuẩn tắc. + Nếu f là s-chuẩn tắc chứng minh ( , , )Holc YX Yf . Thật vậy do Hol ,X Yf là họ s - chuẩn tắc nên theo định lý 2.1.9, ta có ( , , ).c X Y GHolf Mà Y G , suy ra với mọi f f thì * * .X f f G ck Do đó ( , , ).c Yf X YHol Vậy ( , , )Holc YX Yf . Định lý đƣợc chứng minh. 2.1.11. Hệ quả Cho là metric Hermit trên 'Y và G là KRG-metric trên Y. Giả sử Hol ,X YF là họ thoả mãn ( ) ( )Xρdf cK fv v F , TXv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 với hằng số 0c nào đó. Khi đó tồn tại hằng số 1 1( , , ) 0c c G ρ c thoả mãn 1( ) ( ) XGdf c K fv v F , TXv . Chứng minh Vì F thoả mãn ( ) ( )Xρdf cK fv v F , TXv với số 0c nào đó nên với mọi f F có * X Y f ρ cK suy ra Hol ( , , )c Yf X Y ρ . Vậy theo 2.1.10 ta có F là họ s- chuẩn tắc . Do đó theo 2.1.9 thì 1 Hol ( , , )c X Y GF với 1 0c nào đó. Nghĩa là tồn tại hằng số 1 0c để * 1 .Xf G c K f F Hay TXv có 1( ) ( )XGdf c Kv v với mọi f F . 2.1.12. Ví dụ Cho 1 1'Y P P là không gian xạ ảnh và 1 \Y P {(1:0)}, là metric cầu xác định trên 1P . Cho G là KRG-metric trên Y đƣợc xác định nhƣ sau: log( )G u u z z zu T  và max(e, z )z . Theo hệ quả 2.1.11 ta có bất kỳ hàm chỉnh hình f trên không gian phức X thoả mãn bất đẳng thức: 2 ( ) ( ) 1 ( ) X df cK f x v v ( , )x TXv , đều thoả mãn bất đẳng thức mạnh hơn v v v v 1 ( ) ( ) ( ) log X df c K f ( , )x TXv , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 với hằng số 1 1( ) 0c c c . 2.1.13. Hệ quả Ký hiệu N(X,Y) là tập tất cả các ánh xạ chuẩn tắc từ X đến Y thì c c 0 0 ( , ) Hol ( , , ) Hol ( , , ) c c N X Y X Y G X Y ρ  . Chứng minh Ta có f là ánh xạ chuẩn tắc { }fF là họ s – chuẩn tắc (theo định nghĩa 2.1.2). c c Hol ( , , ) 0 Hol ( , , ) 0 (theo 2.1.10) X Y G c X Y c víi (theo 2.1.9) víi f f c 0 c 0 Hol ( , , ) Hol ( , , ) c c f X Y G f X Y   . Suy ra điều phải chứng minh. Chú ý rằng nói chung họ N(X,Y) không là họ s-chuẩn tắc. Thật vậy ta xét ví dụ sau: Ví dụ: Xét họ 1 Hol( , ( ))P F với : 1,2,3,...nf nF và 1( ) ( 1) nf z n nz . Khi đó mỗi ánh xạ nf là ánh xạ chuẩn tắc nhƣng họ F không phải là họ s – chuẩn tắc. Chứng minh Ta có 1 1 1 ( ) 1 ( 1) ( 1) nf z z n nz n n z n n . Với mỗi số n ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 Hol( , ) Hol( , )n nf f h ho o trong đó 1 1: ( ) \ (0, ) ( 1) nf h P B n n o £ . Do 1 1( ) \ (0, ) ( 1) P B n n £ là hyperbolic, compact nên ta có Hol( , )nf h ho là compact, do đó tập một phần tử nf là họ s – chuẩn tắc. Vậy ánh xạ nf là chuẩn tắc. Mặt khác với ( )n Aut xác định bởi 3 2 2 3 1 ( ) , (1 ) n n z n z n z n ta có 2 3 1 ( (0)) ( ) 0n n n n f f n n ½ và 3 1 1 1 ( ( )) (0) 0.n n nf f n nn Suy ra Aut( )F không compact tƣơng đối trong 1Hol( , ( ))P £ nên Hol( , )F không compact tƣơng đối trong 1Hol( , ( ))P £ (do Aut( ) Hol( , ) ). Vậy F không là s- chuẩn tắc. 2.1.14. Hệ quả Cho Z là đa tạp phức và Hol ,X YF là họ s – chuẩn tắc. Xét họ { : , Hol( , )Z f f Z XF F }. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Khi đó ta có Hol( , )Z Z YF là họ s – chuẩn tắc. Hơn nữa ZF là không gian con compact tương đối trong Hol( , ')Z Y . Chứng minh Vì F là họ s – chuẩn tắc nên theo định lý 2.1.10 ta có Hol ( , , )c YX Y ρF với số 0c ( là metric Hermit trênY’ ). Do đó với mọi f F ta có * XY f ρ ck . Ánh xạ chỉnh hình :φ Z X có tính chất giảm từ Zk đến Xk nên với mọi Zf  F ta có ( ( ), ( ')) ( ( ), ( ')) , ' , ' . (1)X Zd f a f a ck a a ck a a a a Z Nên Hol ( , , )c YZ Y ρf  do đó Hol ( , , )Z c YZ Y ρF . Vậy ZF là họ s – chuẩn tắc. Ta có ( ) { ( ( )) } , Hol( , )Z x f φ x f YZ Xf f , mà Y compact tƣơng đối trong Y’ nên ( )Z xF compact tƣơng đối trong Y’. Hơn nữa ZF đồng liên tục (suy ra từ (1) và do Zk là hàm liên tục). Áp dụng định lý Ascoli ta suy ra điều phải chứng minh. 2.1.15. Hệ quả Nếu X là đa tạp thì một họ s–chuẩn tắc Hol , z X YF là chuẩn tắc theo nghĩa Montel. Chứng minh Áp dụng hệ quả trên khi X là đa tạp ta có Hol( , )X X YF F là compact tƣơng đối trong Hol(X,Y’), do đó z F là chuẩn tắc theo nghĩa Montel. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 2.2. TÍNH CHUẨN TẮC VÀ TÍNH HYPEBOLIC Định lý sau đây là sự diễn đạt lại tiêu chuẩn nhúng hyperbolic của Kiernan (định lý 1.5.4 chƣơng 1). 2.2.1. Định lý Cho Y là không gian con phức compact tương đối trong không gian phức Y’. Các điều kiện sau là tương đương : i) Họ = Hol ( , )YF là họ s – chuẩn tắc. ii) Ánh xạ Yid là ánh xạ chuẩn tắc. iii) Hol ( , )Y là không gian con compact tương đối trong Hol( , ').Y iv) Y là không gian con nhúng hyperbolic trong không gian Y’. Chứng minh +i ii: Có Hol( , )Yid Y = Hol ( , )Y mà từ giả thiết i) suy ra Hol( , ) Hol( , )YF là compact tƣơng đối trong Hol( , ')Y . Vậy Yid là ánh xạ chuẩn tắc. +ii iii: Yf id là ánh xạ chuẩn tắc nên Hol( , ) Hol( , )f Y Y compact tƣơng đối trong Hol( , ')Y . +iii i: Có Hol( , ) Hol( , )YF là compact tƣơng đối trong Hol( , ')Y (theo iii). Vậy F là họ s – chuẩn tắc. + Vi iii: Suy ra từ định lý Kiernan 1.5.4 . Định lý dƣợc chứng minh. 2.2.2. Hệ quả Cho , 'X Y là các không gian phức, Y là không gian con compact tương đối trong Y’. Khi đó họ ánh xạ chỉnh hình = Hol ( , )X YF là họ s-chuẩn tắc nếu và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 chỉ nếu Y nhúng hyperbolic trong Y’. Chứng minh + Theo định lý 2.2.1 ta có Y nhúng hyperbolic trong Y’ khi và chỉ khi Hol ( , )Y compact tƣơng đối trong Hol( , ')Y . Mà Hol( , ) Hol( , )X YF nên Hol( , )XF compact tƣơng đối trong Hol( , ')Y . Vậy F là họ s-chuẩn tắc. + Ngƣợc lại nếu F = Hol(X,Y) là họ s-chuẩn tắc với X là không gian phức bất kỳ thì Hol( , )Y cũng là họ s-chuẩn tắc. Do đó theo định lý 2.2.1 ta có Y nhúng hyperbolic trong Y’. 2.2.3. Chú ý Theo định lý Kiernan 1.5.4 ta có iii) và iv) là tƣơng đƣơng với ii’) Y Y cK ρ . Hơn nữa ii) tƣơng đƣơng với ii’) đƣợc suy ra từ định lý 2.1.10. Thật vậy: Ánh xạ Yid là ánh xạ chuẩn tắc khi và chỉ khi Hol ( , , )Y c Yid X Y ρ với số 0c nào đó hay * Y YY id ρ cK với 0c . Điều này tƣơng đƣơng với YY ρ cK với 0c . 2.2.4. Một số ký hiệu Cho (X, ρ ) là không gian metric và Q X . Ta ký hiệu ( ),r ρQ là r – lân cận của Q nghĩa là ( , ) ( , )r ρ ρ x Q Q B x r với ( , )ρ x rB là các - cầu tâm x Q bán kính r. Với mỗi không gian phức X, lân cận ( ), Xr kQ tƣơng ứng với giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 khoảng cách Kobayashi đƣợc ký hiệu đơn giản là ( )rQ . 2.2.5. Bổ đề Cho , 'X Y là các không gian phức, Y là không gian con phức compact tương đối trong Y’, ρ là metric Hermit trên Y’ và G là KRG – metric trên Y. Giả sử Hol ,X YF là họ s-chuẩn tắc. Khi đó tồn tại các hằng số 10, 0c c sao cho với bất kỳ f F, 0r và Q X ta có các bao hàm thức: ( , )( )( ) ( ) cr ρrf Q f Q và 1( , )( )( ) ( ) c r grf Q f Q . Chứng minh Vì Hol ,X YF là họ s-chuẩn tắc nên theo 2.1.10 ta có c Hol ( , , )YX Y ρF với 0c và theo 2.1.9 thì 1c Hol ( , , )X Y GF với 1 0c . + Vì c Hol ( , , )YX Y ρF với số 0c nên f F ta có * Xf ρ ck (1) ( )rx Q , theo 2.2.4 ta có tồn tại 1x Q để x thuộc Xk - cầu B(x1,r) do đó từ (1) suy ra 1 1( , ) ( ( ), ( ))Xcr ck x x dρ f x f x , hay 1( ( ), ( ))dρ f x f x cr . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Do đó ( )f x thuộc ρ - cầu B(f (x1),cr) mà 1x Q nên 1( ) ( )f x f Q . Suy ra ( , ) ( ) ( ) cr ρ f x f Q . Vậy ( , )( ) ( ) cr ρrf Q f Q . + Vì 1c Hol ( , , )X Y GF với 1 0c nên f F ta có * 1 Xf G c k (2) , ( )rx Q . Tƣơng tự nhƣ trên ta có 1 1 1 1( , ) ( ( ), ( ))Xc r c k x x g f x f x hay 1 1( ( ), ( ))g f x f x c r . Suy ra ( )f x thuộc g – cầu B(f (x1),c1r). Do đó 1( , )( ) ( ) c r g f x f Q . Vậy 1( , )( ) ( ) c r grf Q f Q . 2.2.6. Chú ý Các khái niệm và kết quả sau đƣợc trình bày trong [3]. + Tập Q X gọi là r – trù mật trong X nếu và chỉ nếu ( )rQ X và Q X gọi là r – trù mật, chỉnh hình trong X nếu và chỉ nếu bao đóng của ( )rQ tƣơng ứng với đại số ( )XH các hàm chỉnh hình trên X trùng với X. + Một hàm f chuẩn tắc trên X và bị chặn trên một tập r–trù mật chỉnh hình Q X thì bị chặn trên X (Nhận xét này đƣợc rút ra từ bổ đề 2.2.5 và nguyên lý mô đun cực đại). + Một đƣờng cong thực r-trù mật chỉnh hình trong đĩa đơn vị đƣợc gọi là đƣờng xoắn ốc r - trù mật nghĩa là ( )rγ chứa những hình khuyên 1 1K z z với 0 . + Một hàm chuẩn tắc trên đĩa đơn vị mà bị chặn trên đƣờng xoắn ốc trù mật Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 hữu hạn thì bị chặn trên . + Cho :f £ là hàm chuẩn tắc và bị chặn trên đƣờng xoắn ốc trù mật hữu hạn khi đó tập ( ) 0f x f x là hyperbolic đầy. Chứng minh Vì f là hàm chuẩn tắc và bị chặn trên đƣờng xoắn ốc trù mật hữu hạn nên theo chú ý trên ta có f bị chặn trên đĩa đơn vị . Do là hyperbolic đầy và theo mệnh đề 1.4.8 ta suy ra f là hyperbolic đầy. 2.2.7. Bổ đề Cho đa tạp phức X và Q X . Khi đó với bất kì 0r ta có các bất đẳng thức: ( ) ( )(tanh( )). r rX QQ QQ Q r K K K . Chứng minh + Chứng minh ( )rX Q Q Q K K : Vì ( )rQ X và ánh xạ nhúng ( ) ( ): rQ rid Q X là ánh xạ chỉnh hình nên ta có ( )rX Q Q Q K K . + Chứng minh ( )(tanh( )). r X QQ Q r K K : Cố định x Q và xT Xv tuỳ ý. Theo định nghĩa của KX ta có với mọi 0 tồn tại Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 1 ( )Xs K v và Hol( , )sφ X sao cho 0 ( ) d dφ dz v . Ký hiệu rW là đĩa hyperbolic bán kính r tâm tại gốc O trong s . Bởi tính chất giảm của metric Kobayashi ta có ( ) r( ) rf W Q . Do đó ( ) 1( )rQ K tv với t=t(s,r) là bán kính Euclid của rW = t , trong đó arctanh t r s hay .tanht s (r) . Nên ( ) 1 ( ) ( ( ) ) tanh( ) r XQ K K r v v . Hay ( )tanh( ) ( ) ( )r XQ r K Kv v , 0. Tức là ( )tanh( ) ( ) ( ) , , .r X xQ r K K T X x Qv v v Vậy ( )tanh( ) r X QQ Q r K K . Bổ đề đƣợc chứng minh. Định lý sau là sự mở rộng của định lý Eastwood 1.2.5 tới các ánh xạ chuẩn tắc vào các không gian phức không là hyperbolic. 2.2.8. Định lý Cho :f X Y là ánh xạ chuẩn tắc giữa hai không gian phức. Nếu với phủ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 I U của Y mà mọi tạo ảnh 1( )f U là hyperbolic thì X là hyperbolic. Nếu 1( )f U là hyperbolic đầy I và Y là hyperbolic đầy địa phương trong Y’ thì X là hyperbolic đầy. Chứng minh + Với một điểm y tuỳ ý trong Y lấy - cầu : ( , )B B y r sao cho tạo ảnh 1( )P f B là hyperbolic. Đặt 1: ( ( , )) 2 r Q f B y . Vì f là ánh xạ chuẩn tắc nên theo định lý 2.1.10 ta có Hol ( , , )cf X Y với hằng số 0c . Từ bổ đề 2.2.5 ta có ( ) 2( ) ( , ) , r cf Q B y r B hay ( )2 r cQ P (do 1( )P f B ). Do tính hyperbolic của P ta có PK không suy biến. Theo bổ đề 2.2.7 ta có (tanh( )) 2 X PQ Q r K K c . Do đó giả metric vi phân KX cũng không suy biến. Vậy X là hyperbolic. + Vì 1( )f U là hyperbolic I nên theo chứng minh trên ta có X là hyperbolic. Để chứng minh X đầy ta chứng minh x X , 0R thì Xk - cầu đóng ( , )B x R trong X là compact. Vì f là ánh xạ chuẩn tắc nên Hol ( , , )cf X Y G với 0c (theo định lý 2.1.9). Gọi g là hàm khoảng cách tƣơng ứng với metric đầy G (vì theo chú ý 2.1.8 thì do Y là hyperbolic đầy địa phƣơng nên tồn tại KRG– metric đầy G với một phủ hợp lý) ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 ( ( , )) ( , )gf B x R B y cR với ( )y f x (Theo 2.2.5 với { ( )}Q f x ). Vì G là metric đầy nên Cl( ( , ))gK B y cR là compact trong Y do đó ( ( , ))f B x R chứa trong tập compact K Y . Do K compact nên 1 i n i K U (với một họ con hữu hạn nào đó của I U ). Cho r > 0 là độ đo Lơbe của phủ hữu hạn của K tƣơng ứng với metric đầy G. Đặt 1 i ( )i W f U và 1 n i i W W suy ra 1( , ) ( )B x R f K W . Đặt : min iW H K ( iW K là các metric đầy đủ ) là metric vi phân đầy trên W . Phủ y y K w của tập compact K gồm các g – cầu : ( , ) 2 y g r w B y cảm sinh phủ yQ của 1 1 y( ) , ( : ( )yf K Q f w là các tập mở). Đặt 1: ( ( , ))y gP f B y r . Vì Hol ( , , )cf X Y G với 0c nên r ( ) , 22 2( ) , 2 rr g c y y g r f Q f Q B y (theo 2.2.5). Suy ra 2( ) , r c y gf Q B y r . Do đó 12 ( ( , )) r c y g yQ f B y r P . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 Vì vậy theo bổ đề 2.2.7 ta có i 2 Wtanh . tanh 2 2y yy yy y r c X Q PQ QQ Q r r K K K K c c , với iW thoả mãn iyP W và tanh 2 r c . Mà yQ là phủ của 1( )f K do đó 1 1( ) ( )X f K f K K H (vì i min W ) . Hơn nữa 1( , ) ( ) Xk B x R f K nên 1 1( , ) ( ) ( )kX X XB x R f K f K K K H suy ra ( , ) , Xk h r B x R B x . Lại do H là metric đầy nên ,h r B x là tập compact do đó ( , )XkB x R là tập compact. Vậy X đầy.Định lý đƣợc chứng minh. 2.2.9. Định lý Cho :f X Y là ánh xạ chuẩn tắc riêng giữa các không gian phức. Khi đó: i) Nếu mỗi thớ 1: ( )yX f y , với ,y Y là hyperbolic thì X là hyperbolic. ii) Nếu Y là hyperbolic đầy địa phương và y Y có 1( )f y là hyperbolic thì X là hyperbolic đầy. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 iii) Nếu có -1 0 0 ( )y Y sao cho f y là hyperbolic thì có lân cận U của y0 trong Y để -1 ( )f y là hyperbolic với mọi y U . Chứng minh i) Theo mệnh đề 4.6 trong [6] thì với bất kỳ y Y có lân cận yW Y để 1( )yf W là hyperbolic. Vậy X là hyperbolic (theo định lý 2.2.8). ii) Theo i) ta có X là hyperbolic. Để chứng minh tính đầy của X ta chứng minh x X và 0r thì Xk - cầu đóng ( , )B x r X là tập compact. Vì f là ánh xạ chuẩn tắc nên theo 2.1.9 ta có Hol ( , , )cf X Y G với 0,c trong đó G là KRG – metric đầy. Từ đó theo 2.2.5 ta có ( , )( )( ) ( ) cr grf Q f Q với .Q x Suy ra ( ( , )) ( , )gf B x r B y cr với ( )y f x . Do G là metric đầy nên ( , )gK B y cr là tập compact trong Y. Do đó ( ( , ))f B x r chứa trong tập compact .K Y Mà f là ánh xạ riêng nên 1( )f K là tập compact. Vậy ( , )B x r là tập con đóng của tập compact 1( ).f K Vì vậy ( , )B x r là compact với mọi , r > 0x X hay X là hyperbolic đầy. iii) Ta có 0y là tập compact và f là ánh xạ riêng nên 1 0( )f y là compact. Từ 1.3.3 và 1.4.3 suy ra có lân cận V của 1 0( )f y mà V là hyperbolic. Vậy tồn tại lân cận U của 0y sao cho 1( )f U V (*). Thật vậy, giả sử (*) không xảy ra. Khi đó tồn tại dãy \nx X V Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 sao cho 0( )n nf x y y . Gọi K là một lân cận compact của 0y trong Y, K U . Do f là ánh xạ riêng nên 1( )f K compact trong X. Vì 0ny y K nên với n đủ lớn thì ny K . Lại do 1( )f K compact suy ra tồn tại dãy kn n x x sao cho 0kn x x . Vì f liên tục nên 0 0( ) lim ( ) lim .k kn nn n f x f x y y Tức là 1 0 0( )x f y V . Vậy 0kn x x V nghĩa là với kn đủ lớn ta có , kn x V trái với giả thiết \nkx X V . Vậy 1 1( ) ( )f y f U V với mỗi y .U Từ đó 1( )f y là hyperbolic với mọi y U . Định lý đƣợc chứng minh. Sau đây là một tiêu chuẩn về tính chuẩn tắc tƣơng tự với tiêu chuẩn hyperbolic của Brody (Định lý 2.2.13). Trƣớc hết ta xét các khái niệm sau: 2.2.10. Định nghĩa Một đƣờng cong nguyên trong không gian phức 'Y là một ánh xạ khác hằng : 'φ Y . Nếu Y là không gian con của 'Y và φ đƣợc xấp xỉ bởi các ánh xạ chỉnh hình :n nφ Y thì φ đƣợc gọi là đƣờng cong nguyên Y – giới hạn. Nếu cho trƣớc họ ( , )X Yf Hol thì φ gọi là đƣờng cong nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 F - giới hạn trong 'Y nếu và chỉ nếu nó đƣợc xấp xỉ bởi những đƣờng cong chỉnh hình :n n nf φ Y với Hol( , )n nφ X và nf f . Trong [6] ta có nếu Y là hyperbolic đầy địa phƣơng trong 'Y thì mọi đƣờng cong chỉnh hình Y- giới hạn trong 'Y cũng nằm trong Y hoặc trong Y . 2.2.11. Định lý [6] Một không gian con compact tương đối Y của đa tạp phức 'Y gọi là nhúng hyperbolic trong 'Y khi và chỉ khi 'Y không chứa đường cong nguyên Y – giới hạn nào. 2.2.12. Định lý [4] Họ ( , )Yf Hol là compact tương đối trong Hol( , ')Y khi và chỉ khi không tồn tại dãy nb , nr giảm đến 0, n f để n n nr z b hội tụ đến một đường cong nguyên f - giới hạn 'Y£ . 2.2.13. Định lý Họ ( , )X Yf Hol là s- chuẩn tắc khi và chỉ khi không tồn tại đường cong nguyên f -giới hạn : 'φ Y . Chứng minh + Cho f là s- chuẩn tắc, theo 2.1.10 ta suy ra cHol ( , , )X Yf với 0c . Giả sử dãy n n nΦ f φ hội tụ đến : 'Φ Y , trong đó nf F và Hol( , ).n nφ X Khi đó với hai điểm ,u v bất kỳ ta có ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( , ) 0. n n n n X n nΦ u Φ ck u ck uv v v Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 (Vì Hol( , )n n X có tính chất giảm với khoảng cách Kobayashi ). Do đó ( ( ), ( )) 0 n n nΦ u Φ v , Mà n nΦ Φ nên ( ( ), ( )) 0.Φ u Φ v Suy ra ( ) ( )Φ u Φ v hay Φ const . Vậy không tồn tại đƣờng cong nguyên f - giới hạn : 'Φ Y . + Ngƣợc lại, nếu không tồn tại đƣờng cong nguyên f - giới hạn : 'Φ Y , ta phải chứng minh f là s- chuẩn tắc. Giả sử f không là s- chuẩn tắc, theo định nghĩa 2.1.1 ta có ( , )Hol Xf f không là không gian con compact tƣơng đối trong không gian ( , ')YHol . Áp dụng định lý 2.2.12 cho họ ( , )Yf Hol ta suy ra tồn tại đƣờng cong nguyên f -giới hạn : 'Φ Y . Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy f là họ s- chuẩn tắc. Định lý đƣợc chứng minh. 2.2.14. Hệ quả Ánh xạ ( , )Holf X Y là chuẩn tắc khi và chỉ khi các ánh xạ {f}-giới hạn : 'g Y là các ánh xạ hằng. Chứng minh Ta có ( , )Holf X Y là ánh xạ chuẩn tắc ff là họ s-chuẩn tắc không tồn tại đƣờng cong nguyên f -giới hạn Y (theo 2.2.13) Nếu :g Y là đƣờng cong nguyên f -giới hạn thì g là ánh xạ hằng. Ta có điều phải chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày các kết quả cơ bản về họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Cụ thể là các kết quả sau: Trình bày khái niệm về họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến. Đồng thời trình bày chi tiết một số tiêu chuẩn metric để xét tính s-chuẩn tắc của họ các ánh xạ trên các không gian phức, chỉ ra mối liên hệ giữa tính s-chuẩn tắc với tính chuẩn tắc theo nghĩa của Montel (Hệ quả 2.1.15). Để chứng minh tiêu chuẩn metric của tính s-chuẩn tắc chúng tôi trình bày khái niệm KRG-metric trên không gian ảnh. Chúng tôi cũng trình bày một số tính chất đặc trƣng của họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình xác định trên không gian phức và sử dụng các tính chất đó để xét một số tính chất về tính hyperbolic và tính nhúng hyperbolic của các không gian phức. Cụ thể là tiêu chuẩn nhúng hyperbolic của Kiernan đƣợc diễn đạt lại theo ngôn ngữ của họ s-chuẩn tắc (định lý 2.2.1). Định lý Eastwood đƣợc mở rộng tới các ánh xạ của họ s-chuẩn tắc vào các không gian không hyperbolic (định lý 2.2.8). Tính hyperbolic của không gian tạo ảnh đƣợc xét thông qua các ánh xạ của họ s-chuẩn tắc (định lý 2.2.8, định lý 2.2.9). Việc chứng minh các định lý đƣợc dựa trên các bao hàm thức và bất đẳng thức đã đƣợc chứng minh chi tiết (bổ đề 2.2.5, bổ đề 2.2.7). Cuối cùng chúng tôi trình bày một tiêu chuẩn về tính s - chuẩn tắc tƣơng tự với tiêu chuẩn hyperbolic của Brody (định lý 2.2.13). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu về lý thuyết các không gian phức hyperbolic NXB ĐHSP. Tiếng Anh [2] Brody, R (1978), Compact manifolds and hyperbolicity. Trans. Amer. Math. Soc., 235, 213-219. [3] Gavrilov, V.L (1964), Limits on continuous curves and sequences of points of meromorphic and generalized meromorphic functions in the unit disc, (in Russian). I. Vest. Mosk. Univ..30-36. [4] Hahn, K. T (1984), Asymptotic behavior of normal mappings of several complex variables, Can. J. Math., 36, 718-746. [5] Lehto, O., Virtanen, K. I (1957), Boundary behavior and normal meromorphic functions, Acta. Math., 97, 47-65. [6] Zaidenberg, M. G (1983), Picard theorem and hyperbolicity, Sib.Math. J. 24, 858-867. [7] Zaidenberg, M. G (1991), Schottky-Landau growth estimates for s-normal families of holomorphic mappings, Math. Ann. 293, 123-141.