Luận văn Lời giải chỉnh hóa của phương trình tích phân loại một
Trang nhan đề
Mục lục
Phần mở đầu
Chương0: Công cụ.
Chương1: Đại cương về phương trình tích phân.
Chương2: Tính không chỉnh của phương trình tích phân loại một.
Chương3: Nghiệm chỉnh hóa của phương trình tích phân loại một .
Kết luận
Tài liệu tham khảo
9 trang |
Chia sẻ: maiphuongtl | Lượt xem: 1997 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Luận văn Lời giải chỉnh hóa của phương trình tích phân loại một, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CHUCiNGIII
-:? AI' "- ? ,? "-
DIEM BAT DQNG CUA TOAN TV T- DON DIEU
§1.Toan td ddndi~uva diim ba'tdQng
TrangchuangniiytavftnxetX Iii khonggianBancahthlJCvoiquanh~thutVsinh
Mi nonK.
SOA E R duQcgQiIii di€m chinhquycuaroantutuy6ntint A : X -+X n6uAI -
A Ii songant,(jdayI Iii roantUd6ngnha'trangX.
Ky hi~up (A) Iii t~pmQidi€m chinhquycua, vii () (A) =R \ P (A) duQcgQiIa
ph6cuaJoantuA.
ToantuA duQcgQiIii compacty6un6uA bi6nthanhmQt~pcompact
y6u.
A gQiIii lienWcy6un61,lA bi6rim6i dayhQiW y6uthanhdayhQitvy6utrong
X.
Kyhi~uL (X,X) Iiikhonggiancacroantutuy6ntinttrongX roantu Te-L (~,X)
gQiIiiduongn6uT (K)c K voiK IiinontrongX.
GiiisaDc X, roantuA :DcX -+X duQcgQiIii T- dondi~un6uA (x)- A (y)~
?
- T (x- y), \;jx ~y. d dayTEL (X,X).
Nhuv~yn6uT ==0 thlkhaini~mT dondi~utrathiinhkhain i~mdondi~uthong
thuongetabi6t. '
~? ~
BODE 3.1.1.
N6uTEL (X,X) vii -A ~cr(T}thl
1 .
(AI +T) - (AA +T) (x)=x ~ A (x)=x.
Chungmint:DoAI +T 1ftsongantnen
A(x) =x ~ (AI +T)-I (AA+T)x =(A,X+T (x» -I (AX+T (x»
=(A +Trl (A +T) (x) =I (x)=x 0
.
20
A? ~
EO DE 3.1.2.
Gia slYliO,vo EK valiO-+X IaroantlYT- dondi~uvdiuo:::;
Auo,Avo:::;vo.HonmlagiasaT thoadi~uki~n
(HI) T duong
(H2) :3A E (0,1)saocho:-.A ~cr(T) vaT (x);;::;..Ax
suyrax E K
KpidoS=(AI+T) -1 ('AA+T) ladondi~utrenvauo:::;S (uo);S (vo):::;
YO.
Chungminh:
Do giathi€t (H2)tacoanhx:;t(AI+T) -1Iii duong.
Neux ;;::y tac6A (Ax - Ay) ;;::- AT (x- y) ;;::- T (x - y)
~ AAx +T x;;::AAy +Ty.
Tacd~nganhx:;t(AI +T) -1Tenhaiv€ cuaba'td~ngthuctren,taco Sx;;::Sy Ia
roantudondi~u.
B€ chungrninhuo :::;S (uo); S (vo) :::;vo tachi dn tac dQng(A I +T) -1Ien cacba't
d~ngthuc .
A uo +T uo :::;A Auo, AAvo +Tvo :::;AVO+T vo.
Vab6d~duQchungrninh0
Dinh Ir : 3.1.1.
Gia slYKIa nonchinhquy,A : -+X 1aroantlYT-dondi~uvdiuo:::;Auo,
Avo:::;va.HonmlaT thoacaedi~uki~n(HI), (H2)trongb6d~3.1.2.
Khi doA coit nha'trnQtdi€rn ba'tdQngtren
Chungminh
S': (AI +T) -1(AA +T)vdi- A ~cr(T).
21
Do b6d~3.1.1.tachic~nchungminhS coit J;1hatmQtdi€m batdQngtren<uo,
vo>
-. ,
Nhob6d~3.2.1.,S :~1adondi~u.;\p dl,mgh~qua2.1.2,S co
di€mbatdQngtrenvadinh19duQcchungminh0
Dink if 3.1.2.
Gia sii'K 1anonchuc1n.A ~ X 1aloantii'T dondi~u,couo::;A (uo),A
(vo)::;vo,T th?acacdi€u ki~n(HI) (H2)trongb6d~3.1.2.Ne'uX 1akh6nggianphanX<;l
thlAcolt nha~mQtdi€m batdQngtien.
Chungminh
. Ta d€ bill, dodinh191.2.1,khi.K 1anonchuc1nthlt~p1at~p16idongva
bich~n.VI X 1aphanX1acompactye"u.Theob6 d~3.1.2thl loantii'S =
(AI+T) -1(AA +T) bie'nvaova dondi~u.Ap d\;mgh~qua2.1.3.ta
tha'yS co di€m batdQnglIen ,theob6 d~3.1.1.A co di€m batdQnglIen <uo,
vO>.D
~
22
§ 2.NguyenIy anhx~co tren 16'pcacphftntii'so
sanhduQc
Chox lakhonggianBanachthvcdu'Qcs~pboinonK.A laroantatrenX. Xet
phuongtrinhroanta
Ax=x . (1)
Nghi~in(1)thu'ongdu'Qctimdu'oid,;mgioih:;mtuadayl?p : .
)(n =A (~II-I) (2)(n~1)voigiatIi band§uxotuy9.Ke'tquadabie'ttronggiai
tichhamdolanguyen19anhx~co.
Du'oidayla chungmQtke'tquatu'dngtvnguyen19anhx~co,songsvdanhgia
chidvatrencacph§ntU'sosanhdu'Qc.
Dinh 1'£3.2.1.
Giasa:
1. K Ianonsinh,chuffn
2. A 12.roantatrongX thaadi~uki~n
Ne'ux ~y thi : - B (x- y)~A (x)- A (y)~B (x- y) (3)
(j dayB laroantatuye'ntinhdu'dngvoibankinhph6r (B)<1.
Khi doA cotrangX di€m ba'tdQngduynha't,voikhoid§uxotuy9trongX. .
Chungminh: Ta dabie'tvoim6iloantatuye'ntinhB trongX coth€ xetmQt
chu~ntu'ongdu'dngvoichuffnbandftusaGchoII B II var (B)saikhacnhaudunha.V~y
tugiathie'tr (B<1tacoth€ xemla II B II <1 .
K lanonsinhnenvoim6ix E X, coth€ bi~udi<§ndu'oid~ngx=u(x)- vex)voi
. u(x);vex)E K.
Nghla.lavoi x E.K coungvoimQty E K saGcho- y ~x ~y (ch~ngh~ntacoth€
la'yy =u(x) +vex)tUkhai tri€n tIeD).
TrenX tadinhnghlachuffnmojo
23
,1/xllo=imllyll ,.(4)
.' . 1~~~~ '"
(Vi~cki€m ITa II . 11~lachu§ndvatrentinhcha'tII " II vadinhnghlainfimum).
VI K la nonsinhnenvoix E X ~oth€ chQnu.v E K saocho II u II, II v II II ~
a II x II, ,0daya lamQth~ngso'khongph1,1thuQcvao:x(dinhly 1.2.5).V~yV x EX:
"x II 0 =II u- v II o. ~ II u II 0 +11v II 0 ~ II u II + II v II ~2a II x II.
M~tkhacK lanonchu§nnencoh~ngs6chuinN saochotU
0~x ~y =>II x II ~N II y II. Dov~ytaco
II x II ~(2N +1) II x II o' V~yII . II~ II . II o'
T~xetx,ytuyYEX. Giasii'-u~x-y~u voiUEK ",
R6rangtudaytacox~'!2(x+y-u) ,
y~ Yz (x+y-u)
Tugiathie't(3)suyra : ,
-B(~ -y +u)~A(x)-A(x -Y +u)~B{x-Y +u)
2, 2' 2
-B(Y -x +u) ~A(y)-A(x +Y- Uf:-B(Y-x +u)
2 2 2
Truve'voi ve'ba'td~ngthuGtrenchoba'td~ngthuGduoi taduQc:
-B(ll) ~A(x) - A(y) ~B(u)
V?y II A(x)- A(y) II 0 ~ II B(u) II ~qJ!ullvoiq<l
(dogiathie'tvanh~nxetliB11<1).
=> IIA(x)-A(y) II o~qinf II u II =:=qII x-y II 0
-u~x-y~u
V?yAla anhX<;l'COtheochuinII -I/o. VIX IakhongianBanachnenA co'di€m
ba'tdQngduynha't.
Chu yr~ngdinh ly 3.2.1v~ndungne'u(3) duQcthayboi di~uki~n-Bl(x-y) ~
A(x)-A(y)~B2(x-y);x ~y,V'x,yEX(3'),0dayB1,132lacactoantii'tuye'ntinhlienWc
du'ongvoir(B1+B2)<1.
§ 3.Phuongtrinh v8i toan til nguQcduong
3.1XetphuongtrlnhF(x)=z (1)
Voi F la toantii't.ll'khonggianBanachXl duQCs~pboi nonKl V8.0khonggian
Banach,X2duQcs~pboinon K2" z la'ph~ntii'co'dinhtrongX2.- , ,
24
Gia sttF thoadi~uki~n.:
BI(x-y) ::;F(x) -F(y) ::;B2(x-y) (2)
ddayBI,B2la caetoanttt.tuye'ntinhtuXl VaGX2.
Ta codinh19sari:
Binhly 3.3.1
Giastt1)Xlla nonsinh,chu§'n
2)ToantttF:XI -+X2thoadi~uki~n(2)
BI vaBI +B2cocactoantttnguQcduong..
Khi dophuongtrlnh(1)cotrongXI nghi~mduongduynha'tvoim6i ZEX2.
Chungmin~
Ta d~tD =Y2 (~I+B2)khido(1)cotheduav6d<;lngy=AytrongX voito<lnttt
Ay =Y -FDOly + Z (3)
Nghienx*cua(1)duQcxacdinhquanghieny* cua(3)bdih~thUGx* =DOI(y*).
. .
Tlr gia thie'tdoi voi BI,B2suyfa 151latoan ttttuye'ntinhduong,VI v~yvoi u,V
EX2vau ~v tacoDOI(u)~Dol(v).Va tugiathie't(2)tacodanhgia:
BI D-I (u-v)::;F Dol(u)- F D-I(v)::;B2Dol(u-v)
Buav~danhgiacochuaA, vatudinhnghlaD taduQc
- (I-BIDOl)(u-v)::;A (u)- A (v)::;(I-BID-I)(u-v) (4)
',. X . >VOl U,V E 2,u- V.
Ba'td&ngthUG(4)cothexemnhu(3)trong2 doivoi toan
tttB=I-BI Dol. Theodinh193.2.1dehoanthanhphepchungminhta
chic$nchirar( I-BI Dol)<1 tS)
(5)Tu (4) taclingconh~nxet : I-B] Do] la toantli'tuye'ntinh
duongtu X2 VaGX2.VI the'I-B ]Dol lien t\lC( VI toanttttuye'ntinh
duongtunonsinhVaGnonchu§'nthllien We). SongkhidoB] Do]toan
tttnguQccuanoD BI -Ila lien t\lc.Bieu thUG(5)seduQcchungmiJih
ne'utacoduQcdanhgia:
ltU').< It(G\)-
~-tlt(P)'
25
(6)
d day P =I-BI D-I; Q ~DB1-1- I (7)
Cacroantii' P,Qtrang(7)la duongvachunglienh~nhaubC'Jih~thuc:
Q =pel-F) -1=per-F) -1-1=(I-P) -lp (8)
Gis.sii'£>0var(8Q))<I. Khi dOI-'£QcOroantii'nguQclient\lC
(I -£Q)"1=I +£Q+ +£nQn+....
Honn~atli tint duongcuaQ suyratint duong'cua(I - 8Q) -1.Tli dangnhuc1-
(I +£)P =(I - P) (I - £ Q) suyraroantii'1- (1+£)P cOroantii'nguQclien t\lCvavdim6i
n ~1cO:
n
,L (1 +8)j =[I - I (1.+8)P j -1 [P (1 +8)n+ 1P n+2
1-0
= [I - 8Q) -1(I - P) -1P [ 1- (1 +8)n+I P n+I
=(I - 8 Q) -I Q [ I - (1+8)n+1 P n+I]
VI v~yroantii'duongP thoadi€u ki~n
(1 +£) n P n+1(u) :$(I - £ Q) - 1Q (u) (u E K2,n ~ I ) (9)
Giasax ladiemtuy trongX2.VI K2la nOnsinhnenx =u- v, u, V E K2.Tli cac
ba'td~ngthuc
-v<x<uva(9)suyra
~(I- EQ)-I Q (v):$(1 +Et P n- I (x) :$(1 - EQ) -I Q (u)
VIK2lanOnchu£nnendays6 11(1+E)npn-I (x) IlIa bich~n.VakhidOds.y
(1+E)n II pn-I II bi ch~n,VI the', (1 + e) r (P):$ 1.
. 1 - I( Q) 0
V~y: r(P):$ mf 1+8-l+r(Q)
Ta cOnh~nxet : Trangcacdi€u ki~ncliadint 193.3.1nghi~mx (z) cua
phuongtrinh(1)ph\lthuQcdondi~uVaGz.Ne'u1 :$~thlx (Zl):$x (Z2)'
26
3.2.BaygiGtax6tphuongtrlnh
Tx =Gx (10) (10)
T, G la{oantlYtacdQngtuXI vaoX2;T la roantlYtuye'ntint, G la roantlYphi
tuye'nthoadieuki~n:
-B(x- y)~G ex)- G (y)~B (x- y) (11)
(\ix, Y E X1.~~~y)
?
() dayB la roantiYtuye'ntinh.TuongtVdinhly 3.3.1tachungminhke'tquasail.
Dink 1£3.3.2.
Gia slY1)K21anonsinh,chuffn:
. 2) Cac roantiYT,G thoadi~uki~n(11)themnlYacacroantlYT, T - B co
roan tlYnguQc duong.
Khi dophuongtrlnh(10)congqi~mduynha't
Chungminh:
Phuongtrlnh(10)tuongduongvoi T(x) -G(x) =8
D~tF(x)=T(x)- G(x),taco
(T-B) (x-y)~F(x) - F(y)~(T+B)(x-y)
V~yF thoadieuki~ndinhly 3.3.1voiBI =T-BvaB2=T+B, nenphuongtrinh
T(x) -'-G(x)=8.conghi~mduynha't0 '
3.3 Trangph~nnaytav~nxetphucmgtrinh(10).Ne'ugiathie'tT coroantlY
nguQcthlphuongtrlnh(10)tuongduongvoiphuongtrlnhsailtrongX2
y~ Grl y (12)
Eli di 3.3.1Giii slY
1)~ ~i.~Bi~-ti~I ZoE K2 va HI :Xj -7X2tuye'ntint duong.
2)T, T- BI coroantlYnguQcduong.
27
. Khi dophftntU'Uo=T(T-Blyl ZOthuQcK2vatoantii'arl bie'n°vao
chinhno . .
Chungmillh
Tir d6ngnha'tthucT( T-Blyl =I+Bl( T-B1yl tatha'yUoE K2.Do tinhdu'ongcua
toantii'rl ta c6 V y E
8 $ Ty-l $ rl (uo)
=>8 $ arl y$ BI rly +Zo$ BlTluo +Zo
Nhu'ngBlTl(uo) +Zo=Bl(T-Blylzo +Zo=uo'
Nentacodi€u dn chungminh0
Billh If 3.3.3
aia sii'cactoantii'T.a thoacacdi€u ki~n1)2)cuab6d€ 3.3.1.vacacdi€u ki~n
sail.
(i) K2 la nonchinhqui arl( ) 13t~pcompactu'ongd6i.
(ii) X2lakh6nggianphanx~.
Khido phu'ongtrinh(10)conghi~mtren.
Chungminh
VI ddondi~u,Tl tuye'ntinh,du'ongnenaTl clingdondi~uvabie'nVaG
.Ap dt,lngcach~qua2.1.1,2.1.2,2.1.3,tatha'yaTl codi~mba'tdQngtr~~<8,
Uo>hay(10)c6nghi~mtren
.0
5\J
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- 6.pdf
- 0.pdf