MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
MỤC LỤC
Mở đầu
3
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Ánh xạ chỉnh hình 6
1.2. Khoảng cách 7
1.3. Không gian Hyperbolic 12
1.4. Đa tạp phức 13
1.5. Miền giả lồi - giả lồi mạnh 14
1.6. Miền taut 17
Chương 2
MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP
CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
2.1. Mặt cực hạn 21
2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi 25
2.3. Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. 31
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo 49
49 trang |
Chia sẻ: maiphuongtl | Lượt xem: 1842 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Mặt cực hạn và dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
xạ chỉnh hình
1 2 kf ,f ,...,f
trong Hol(
,X) thoả mãn
i i i 1 i i if a p ,f b p
.
Cho f là một ánh xạ chỉnh hình của X vào
. Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
k k
i i i i i i
i 1 i 1
1 1 k k
a ,b f f a ,f f b
f f a ,f f b
f p ,f q ,
Trong đó bất đẳng thức thứ nhất được suy ra từ bổ đề Schwarz và bất đẳng
thức thứ hai là hệ quả của tiên đề tam giác. Do đó ,
k
X i i X
i=1
d p,q inf a ,b sup f p ,f q C p,q .
* Mệnh đề 2:
Nếu X và Y là không gian phức thì
Y xC f p ,f q C p,q f Hol X,Y ;p,q X
thì
f : X Y
có tính giảm khoảng cách.
*Mệnh đề 3:
Cho
là một đĩa mở trong
,
C
.
Chứng minh:
Sử dụng bổ đề Schwarz đối với ánh xạ chỉnh hình
f :
ta thu
được
p,q C p,q , p,q .
Từ định nghĩa của
C
, xét phép biến đổi đồng nhất của
, ta thu được bất
đẳng thức
p,q C p,q , p,q .
* Mệnh đề 4: Cho X là không gian phức
a) Nếu
X
là một giả khoảng cách như sau
Xf p ,f q p,q f Hol X, ;p,q X
thì
X XC p,q p,q ; p,q X
b) Nếu
X
là một giả khoảng cách thoả mãn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
X f a ,f b a,b ; f Hol X, ;a,b
thì
X Xp,q d p,q
.
1.2.4.3. Bổ đề Schwarz [10]
Cho f là hàm chỉnh hình biến hình tròn đơn vị
(0,r) thành chính nó
thoả mãn f(0)=0. Khi đó :
i)
f z z ; z D
ii) Nếu
0 0f z z
với điểm
0z 0
nào đó trong
thì
f z z
trong đó
1
.
Chứng minh:
Với r tuỳ ý , 0<r<1 theo công thức tích phân Cauchy ta có
D 0,r
f1
f z d
2 i z
,
đặc biệt
D 0,r
f1
0 f 0 d
2 i
.
Vì vậy
D 0,r D 0,r
f1 1 1 z
f z f d d
2 i z 2 i z
tức là hàm
D 0,r
f z f1
z d
z 2 i z
chỉnh hình trên hình tròn
. Vì r<1 tuỳ ý nên
chỉnh hình trên
. Khi
z r 1
thì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
f z 1
z
z r
nên theo nguyên lý môđun cực đại
1
z
r
với
z r
.
Cho
r 1
ta nhận được
f z
z 1, z
z
hay
f z z , z
Nếu
0
0 0 0
0
f z
z 1, z ,0 z
z
thì theo nguyên lí môđun cực đại f z
const
z
.
Tức là
f z z; 1
1.3. Không gian Hyperbolic [1]
1.3.1. Định nghĩa
Không gian phức X được gọi là không gian phức hyperbolic nếu giả
khoảng cách Kobayashi
xd
là khoảng cách trên X, kí hiệu là
xk
, tức là :
xk p,q 0 p q, p,q X
1.3.2. Một số tính chất
+ Nếu X, Y là các không gian phức, thì
X Y
là không gian phức
hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian phức hyperbolic.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
+ Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y, nếu Y là
hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác không gian con
phức của một không gian phức hyperbolic là hyperbolic.
1.3.3. Ví dụ
+ Đĩa
r
D
và đa đĩa
m
r
D
là hyperbolic.
+ Một miền bị chặn trong m là hyperbolic, vì nó là tập con mở của
tích các đa đĩa.
+ m không là hyperbolic, vì
md 0
.
1.4. Đa tạp phức [1]
1.4.1. Định nghĩa
Giả sử X là một không gian tôpô Hausdorff.
+ Cặp
U,
được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là
tập mở trong X và
n: U
là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thoả
mãn:
i)
U
là tập mở trong n .
ii)
: U U
là một đồng phôi.
+ Họ
i i i IA U ,
các bản đồ địa phương của X được gọi là một
tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thoả mãn:
i)
i i IU
là một phủ mở của X.
ii) Với mọi
i jU ,U
mà
i jU U
, ánh xạ
1j i i i j j i j. : U U U U
là ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlas trên X. Hai atlas A và B được gọi là tương đương
nếu hợp A
B là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các
atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và X
cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
1.4.2. Ví dụ
Giả sử D là miền trong n . Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với
bản đồ địa phương
DD,Id
.
1.5. Miền giả lồi - giả lồi mạnh
1.5.1. Miền giả lồi [12]
Miền lồi là các miền mà cùng với các điểm x’,x” tuỳ ý, chúng chứa mọi
điểm x=tx’+(1-t)x”, trong đó
t 0,1
.
Có định nghĩa tương đương: miền nD được gọi là lồi, nếu hàm
lnd x, D
trong đó
d x, D
là khoảng cách Ơclit từ điểm x đến biên của
miền, là hàm lồi trong D.
Định nghĩa: Miền nD được gọi là giả lồi, nếu hàm
z lnd z, D ,
trong đó
d z, D
là khoảng cách Ơclit của điểm z đến biên
D
,đa điều hòa
dưới trong D.
Ví dụ: trên mặt phẳng
miền tuỳ ý là giả lồi.
1.5.2. Miền giả lồi mạnh [10]
1.5.2.1. Định nghĩa
Cho X là một miền bị chặn trong n với
nz
1 2 n iz z ,z ,...,z ,z
,
X là miền giả lồi mạnh với biên 2C nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới
xác định trong một lân cận U của biên
X
sao cho:
i)
X U x X; (x) 0
;
ii)
d 0
trong U.
Dạng Levi của
tại
0x X
là một dạng Hermitan cho như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
0
2
,x 0 i j 1 2 n
i j
L x , , ,...,
z z
.
Khi X là miền giả lồi mạnh biên 2C vì dạng
0,x
L
là xác định dương,
X
compact, tồn tại hai số dương
1 2c ,c
sao cho
0
2 2
1 ,x 2c L c
.
1.5.2.2. Một số tính chất
Bổ đề
Cho
rB
là cầu Euclid bán kính r tâm O. Khi đó với mọi
rz B
logr- logd , 0, 0, log2 log ,
r rr B B r
z B C z d z r d z B
.
Định lí 1
Cho nX là miền giả lồi mạnh bị chặn với biên 2C . Khi đó tồn
tại một lân cận X’ của X và một hàm liên tục
: ' X X
sao cho mỗi
điểm cố định
0x X
,
0x , .
là chỉnh hình trong X’ và
0x , .
chuẩn hoá nên
0 0 0 0, 1, , 1, \ x x x z z X x
.
Định lí 2
Cho nX là miền bị chặn với biên 2C và K là một tập con
compact của X. Khi đó tồn tại một hằng số
1
c
chỉ phụ thuộc vào X và K
sao cho
0 1 0, log , , , Xd z z c d z X z X z K
.
Định lí 3
Cho nX là miền giả lồi mạnh với biên 2C và K là tập con
compact của X. Khi đó tồn tại một hằng số
2
c
chỉ phụ thuộc vào X và
K sao cho
2 0 0log , , , , Xc d z X C z z z X z K
.
Chứng minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Cho X’ là một lân cận nhỏ của X , và : X X' , sao cho mỗi
điểm cố định
0x X
,
0x , .
là chỉnh hình trong X’ và nó chuẩn hoá vì
thế
0 0 0 0x ,x 1, x ,z 1, z X \ x
, và định nghĩa
0 0
0
0 0
: X X X D
1 x,z x,z
x,z , .
1 x,z 1 x,z
.
Khi đó có
0
r
,
00 r 1
, sao cho
0 0 0x,z r 1, x X,z K
,
0x,z ,
được định nghĩa trong
01/ r
X K D
. Thì ánh xạ
00 x,z 0
x,z ,z z x,z , x,z
là xác định và liên tục trên
X K K'
nếu X’ là một lân cận đủ nhỏ của
X , và mỗi
0x,z
là một hàm chỉnh hình yếu trên X tại
x D
thoả mãn
0x,z 0
z 0
.
Cho
P x,
là đa đĩa bán kính
tâm x. Cho
0x X,z K
và
z P x,
.
0
0 0 0
x,z
x,z x,z x,z
P x,
2 X K P x,
1 z x z z x
z
c
z x M z x ,
trong hằng số M là độc lập với z và x. Đặt
2c min logM,log
.
Chú ý rằng
B x, P x,
, đặt
x XU B x,
, với mỗi
>0
sao cho
U
là compact tương đối trong X.
Xét 2 trường hợp:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
+)
z X U
. Chọn
x X
sao cho
d z, X z x
. Khi đó
0 0x,z x,z 0
X D, z 0
, ta có
0 0
0
X 0 x,z 0 x,z
x,z
1
C z ,z z , z log
1 z
.
Vì
0 0x,z x,z
1 z 1 z M z x Md z, X
.
Nên
X 0 2C z ,z logM logd z, X c logd z, X
.
+)
z X U
. Vì
d z, X
. Do đó,
X 0 2C z ,z 0 log logd z, X c logd z, X
Miền giả lồi mạnh và miền taut có mối liên hệ khá chặt chẽ với nhau.
1.6. Miền taut [4]
1.6.1. Định nghĩa
Giả sử M là một không gian phức:
a. Dãy
k k 1f Hol( ,M)
được gọi là phân kì compact nếu với mỗi
tập compact
K
và với mỗi tập compact
L M
tồn tại số
0j j K,L
sao cho
j 0f K L , j j
(
là đĩa đơn vị).
b. M được gọi là taut nếu mọi dãy
k k 1f Hol( ,M)
chứa một dãy
con hoặc hội tụ hoặc phân kì compact.
1.6.2. Định lí Kiernan
Mỗi không gian phức taut M là hyperbolic.
Mỗi không gian phức hypebolic đầy M cũng là taut.
Các khẳng định ngược lại đều không đúng.
Để chứng minh định lí ta đưa vào một số khái niệm sau :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của không gian phức M.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p=0 và
2 21 2 n 1 nB w ,w ,...,w ;| w | ... | w | 1
là một lân cận của p trong M sao
cho
q B
.
2 2 2s 1 2 n 1 nB w ,w ,...,w ;| w | ... | w | s 1
.
sV p' M; p,p ' s
.
2z ; z 1
.
1.6.2.1. Định nghĩa : Một cặp có thứ tự
r,
các số dương được gọi là có
tính chất A nếu với mỗi ánh xạ chỉnh hình
f : M
với
rf 0 B
ta có
f B
.
1.6.2.2. Bổ đề : Nếu tồn tại cặp
r,
có tính chất A thì
, 0Md p q
.
Chứng minh bổ đề
Chọn hằng số c > 0 sao cho
d 0,a cd 0,a
với mọi
/ 2
.
Giả sử
0 1 m 1 m 1 mL p p ,p ,...,p q;a ,...,a ;f ,...,f
là một dây chuyền
Kobayashi nối p và q. Theo giả thiết, không mất tính tổng quát ta có thể giả
sử
1 k / 2 0 1 k 1 r k ra ,...,a ,p ,p ,...,p B ,p B
.
Khi đó :
k k
i i
i 1 i 1
k
B i 1 i B k
i 1
| L | d 0,a c d 0,a
c d p ,p cd 0,p c '.
trong đó c’ là hằng số lớn hơn 0.
Do đó
Md p,q c' 0
.
Chứng minh định lý Kiernan:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
i) Giả sử M là không gian hyperbolic. Khi đó tồn tại hai điểm phân
biệt p và q sao cho
Md p,q 0
Theo bổ đề trên, cặp
1/2;1/n
không thoả mãn tính chất A với bất
kì n>0. Do đó tồn tại ánh xạ chỉnh hình
nf : M
mà
n 1/ 2f 0 B
và
n 1/ nf B
. Dãy
if
không có dãy con hội tụ đều trên tập compact hoặc
phân kì compact. Do đó M không là taut.
ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên
Hol ,M
là đồng liên tục. Mặt khác M là hyperbolic đầy nên mỗi tập con
bị chặn trong M là compact tương đối. Vì vậy
Hol ,M
là chuẩn tắc, do
đó M là taut.
1.6.2.3. Nhận xét
Mọi miền giả lồi mạnh và bị chặn X với biên 2C là hyperbolic đầy.
Theo định lý Kiernan không gian hyperbolic đầy cũng là miền taut. Suy ra
miền giả lồi mạnh cũng là miền taut.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chương 2
MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP
CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
Denjoy và Wolff đã chứng minh được định lí sau:“ Cho
:f
là
một hàm chỉnh hình của đĩa đơn vị
trong
lên chính nó. Khi đó dãy lặp
nf
không hội tụ nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu của
có đúng một điểm cố
định. Hơn thế nữa, giới hạn của
nf
, khi nó tồn tại, là hằng số
x
”
+ Nếu f có một điểm cố định
0
z
(và
f id )
, xét
0f ' z
: nếu
0f ' z 1
, theo bổ đề Schwarz f là phép quay (tức là đẳng cấu của
với
đúng một điểm cố định) và dãy lặp không hội tụ. Mặt khác, nếu
0f ' z 1
thì
f là ánh xạ co của
, vì vậy
n
0
f z
.
+ Nếu f không có điểm cố định thì mỗi giới hạn điểm của dãy
nf
phải
là hằng số và thuộc vào biên của
. Vì thế chúng ta không thể ứng dụng bổ
đề Schwarz để chứng minh được, mà ta cần một công cụ mới để thay thế. Khi
đó Wolff đã sử dụng mặt cực hạn để thay thế cho bổ đề Schwarz, cụ thể bổ đề
Wolff mang tên ông đã được sử dụng để chứng minh cho định lí trong trường
hợp này : “Cho
x
; một đường cực hạn tại x là tập có dạng
2
2
1
, | ,
1
zx
E x R z R
z
mọi R>0. Về mặt hình học, E(x,R) là hình tròn tiếp xúc trong với biên
tại
x”.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Trong trường hợp
f : D D
mà nD=B , hình cầu đơn vị của n , định
nghĩa mặt cực hạn [5] là : “Cho nx B và R>0, mặt cực hạn tâm x và bán
kính R là tập
2
2
1 ,
, |
1
n
z x
E x R z B R
z
,
trong đó (. , .) là tích Hermit của n ”.
Về mặt hình học, E(x, R) là ellipxôit tiếp xúc trong với biên nB tại x.
Trong thực tế, MacCluer đã trình bày lại bổ đề Wolff trong nB và đã
chứng minh định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp này.
Để mở rộng định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp tổng quát hơn thì
ta cần một cách tiếp cận khác. Vào năm 1978, Yang [13] đã khám phá ra một
đặc trưng thú vị của mặt cực hạn trong nB .
n nn B B
1
E x,R z B | lim k z,w k 0,w logR ,
2
(2.1)
trong đó
nB
k
là khoảng cách Kobayashi trong nB .
Khi khoảng cách Kobayashi được định nghĩa trong miền bất kỳ, ta cũng
đã cố gắng sử dụng (2.1) như một định nghĩa về mặt cực hạn trong một miền
tuỳ ý. Nhưng đáng tiếc thay, trong trường hợp tổng quát thì giới hạn trong
(2.1) không phải lúc nào cũng tồn tại. Vì vậy, để định nghĩa mặt cực hạn được
tổng quát hơn trên một miền bất kì Marco Abate đưa ra định nghĩa sau đây.
2.1. Mặt cực hạn [5]
2.1.1. Định nghĩa
Cho D là một miền bị chặn của n , chọn
0z D,x D
và R>0. Khi
đó mặt cực hạn nhỏ
0z
E x,R
và mặt cực hạn lớn
0z
F x,R
tâm x, cực
0z
và bán kính R được định nghĩa như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
0
0
z D D 0
w x
z D D 0
w x
1
E x,R z D | limsup k z,w k z ,w log R ,
2
1
F x,R z D | liminf k z,w k z ,w log R .
2
(2.2)
Dk
khoảng cách Kobayashi trên D.
Trong (2.2), limsup và liminf luôn là hữu hạn. Thực vậy, nếu
0z ,z,w D
thì hiển nhiên theo tính chất bất đẳng thức ta luôn có
D D 0 D 0| k z,w k z ,w | k z ,z
;
do đó với mọi
x D
ta có
D 0 D D 0
w x
D D 0 D 0.
w x
k z ,z liminf k z,w k z ,w
limsup k z,w k z ,w k z ,z .
Mệnh đề dưới đây trả lời cho câu hỏi tại sao định nghĩa mặt cực hạn
trong nB lại giống định nghĩa mặt cực hạn cổ điển.
2.1.2. Mệnh đề 2.1
Cho nB là cầu đơn vị của n . Cho bất kì nz B , kí hiệu
z
là tự
đẳng cấu Mobius của nB sao cho
0 z z
thì ta có mệnh đề sau:
Cho
n
x B
và nz B thì
2
2
w x
1 ,1
lim ,w 0,w log
2 1
n nB B
z x
k z k
z
.
Chứng minh:
Vì khoảng cách Kobayashi có tính giảm qua ánh xạ chỉnh hình và
dấu bằng xảy ra khi ánh xạ
là song chỉnh hình, do vậy ta có
n n n n
2
z
zB B B B
z
1 w 1 w1
k z,w k 0,w k 0, w k 0,w log . .
2 1
Mặt khác ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
2 2
2
2
1 z 1 w
1 w
1 z,w
.
Vì vậy
n n
2 2
z
2B B
1 w 1 z,w1
k z,w k 0,w log .
2 1 w 1 z
.
Vì
z w 1 khi w x
.Suy ra điều phải chứng minh.
2.1.3. Một số tính chất
2.1.3.1. Bổ đề
Cho D là miền bị chặn của n ,
0z D,x D
. Thì :
i) Với mọi R>0 ta có
0 0
, ,z zE x R F x R
;
ii) Với mọi
1 20 R R
ta có
0 01 2
, ,z zE x R E x R
và
0 01 2
, ,z zF x R F x R
;
iii) Với mọi R>1 ta có
00
1
, logR ,
2
k zB z E x R
;
iv) Với mọi R<1 ta có
0 0
1
, , logR
2
z kF x R B z
;
v)
0 00 0
, ,
z z
R R
E x R F x R D
và
00
,
z
R
E F x R
;
vi) Nếu
0( ) ( ) Aut D C D
, thì với mọi R>0
0 0, , z zE x R E x R
và
0, , zF x R F x R
;
vii) Nếu
1z D
,đặt
1 0
w x
1
log limsup ,w ,w
2
D DL k z k z
thì với mọi R >0 ta có
1 0
, ,z zE x R E x LR
và
1 0
, ,z zF x R F x LR
.
Chứng minh
Từ i) đến vi) là hiển nhiên đúng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
vii) Ta có
D D 0 D D 1 D 1 D 0
D D 1 D D 0 D 0 D 1
k z,w k z ,w k z,w k z ,w k z ,w k z ,w ,
k z, k z , k z, k z , k z , k z , .
lần lượt lấy limsup và liminf khi
w x
, ta được
D D 0 D D 1
w x w x
D D 1 D D 0
w x w x
1
limsup k z,w k z ,w limsup k z,w k z ,w logL,
2
1
liminf k z,w k z ,w liminf k z,w k z ,w logL,
2
Mặt khác
1z
z E x,R
ta có
D D 0
w x
1
limsup k z,w k z ,w logR
2
.
Nên
D D 0 D D 1
w x w x
1
limsup k z,w k z ,w limsup k z,w k z ,w logL
2
1 1 1
logR+ logL logRL.
2 2 2
Từ đó suy ra
0z
z E x,LR
, do đó
1 0z z
E x,R E x,LR
.
Chứng minh tương tự ta có
1 0z z
F x,R F x,LR
.
2.1.3.2. Hệ quả
i) Với mọi
0,x B z B
và R>0 ta có
0 0
, ,z zE x R F x R
;
ii) Với mọi
x B
và R>0 mặt cực hạn
0
,zE x R
là một ellipxôit;
0
2 2
2
, 1 ,
, | 1
n
z
z x r z z x x
E x R z
r r
(2.3)
Trong đó
0 1
1
R
r
R
.
Chứng minh:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
i) Hiển nhiên
ii) Lấy nz thì ta có
2 2 2
2 2 2 22 2 2
z,x 1 r r z z,x x r
z,x 2 1 r z,x 1 r r z 2 z,x z,x x r .
Vì 2x B x 1
22 22 2
22 2
22 2
22 2
22
22
2 2
2
z,x 2 1 r z,x 1 2r r r z r z,x r
z,x 2 1 r z,x 1 r r r z r z,x 0
z,x 2 1 r z,x 1 r r 1 z r z,x 0
z,x 2 1 r z,x 1 r r z,x r 1 z
z,x 1 r 2 1 r z,x 1 r r 1 z
1 r z,x 2 z,x 1 r 1 z
1 r 1 z,x r 1 z
1 z,x
1
2
2
B B2
w x
r
R
1 rz
1 z,x1 1 1
log log R lim k z,w k 0,w log R.
2 2 21 z
Suy ra
0z E x,R
.
2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi
2.2.1. Định lí [5]
Cho D là một miền giả lồi mạnh với biên 2C , compact tương đối
trong n , và
0z D
. Khi đó tồn tại hai hằng số
1 2c ,c
chỉ phụ thuộc
vào D và
0z
sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
26
2 0 D 0 1
1 1
, log , , , log , .
2 2
Dz D c d z D C z z k z z c d z D
2.2.2. Định lí [5]
Cho D là một miền giả lồi mạnh với biên 2C , compact tương đối trong
n . Khi đó tồn tại một lân cận D’ của D và một ánh xạ liên tục
: ' \ , , | , ' D D D x x z x D z D
sao cho :
i) Với
x,y D; x y
, ánh xạ
x,y x,y
là ánh xạ chỉnh hình
và
x,y D
;
ii) Với
x,y D; x y
, ta có
, 1 x y x
và
, 1 x y y
.
Từ kết quả của hai định lí trên ta có thể chứng minh định lí sau:
2.2.3. Định lí [5]
Cho D là một miền giả lồi mạnh với biên 2C , compact tương đối
trong n : chọn hai điểm
1 2x x D
. Khi đó tồn tại
1 2, 0 x x
và
1 2K K x ,x
sao cho với mỗi
1 2z ,z D
mà
1,2 j jz x j
ta
có
1 2 1 2 1 2
1 1
, , log , log , .
2 2
D Dk z z C z z d z D d z D K
Chứng minh :
Cho lân cận D’ của D và một ánh xạ liên tục
: D D D' \ x,x,z | x D,z D'
như định lí 2.2.2.
Vì
1 2 1 1 2 2x ,x ,x 1; x ,x ,x 1
, ta chọn
0
sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
27
1 2 1 2
1 2 1 2
y ,y 1 y ,y 2 j j j j 1
y ,y 1 y ,y 2 j j j j 2
inf z z | y P x ,2 ,z P y , , j 1,2 0,
inf 1 z z | y P x ,2 ,z P y , , j 1,2 0.
(2.4)
Hơn nữa, ta có thể lấy
đủ nhỏ để
jP x ,4
là compact tương đối trong D’ (j=1,2) và
1 2P x ,4 P x ,4
.
Đặt
1 2U P x ,4 D P x ,4 D
. Chọn
1 1y P x ,2
và
2 2y P x ,2
.
Nếu cố định một j=1 hoặc j=2, ta lấy
j jz,w P y ,2 P x ,4
, ta
có
1 2
1 2 1 2 1 2
j
j
j
y ,y
y ,y y ,y y ,y
P x ,4
P y ,2
U P x ,4
z w z w c z w
z
c z w M z w ,
(2.5)
trong đó M không phụ thuộc
1 2y ,y ,z,w
hay j
Bây giờ, cho j=1,2, cố định
j jz B x , D
và chọn
jy D
sao
cho
j j jd z , D || z y ||
. Vì
jx D
, ta có
j j j jz y ; y P x ,2
.
Đặt
1 2y ,y
f
; theo (2.5)
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 f z f y f z M y z Md z , D ,
1 f z f y f z M y z Md z , D ,
(2.6)
với M độc lập với
1 2 1 2z ,z ,y ,y
hơn nữa, vì
f D
,
D 1 2 D 1 2 1 2k z ,z C z ,z f z ,f z
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
28
Bây giờ, ta thử lại như sau:
2
2 2
11
, ,
1 1 1
.
Vì vậy, theo (2.4) ta có
2
2 1 2 1
1 2 2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
1 f z f z f z f z1
f z ,f z log
2 1 f z 1 f z
1
log log 1 f z 1 f z ,
2
từ (2.6) suy ra
2
1 1 1
2
2 2 2
1 f z 2 1 f z 2Md z , D ,
1 f z 2 1 f z 2Md z , D .
Do đó
1 21 2 1 2
1 1
f z ,f z log logd z , D logd z , D
2M 2 2
.
Định lí sau sẽ trình bày một tính chất khá đẹp tương tự như tính chất
của mặt cực hạn cổ điển, đó là mặt cực hạn tiếp xúc với biên của miền giả
lồi mạnh tại tâm x.
2.2.4. Định lí [5]
Cho D là một miền giả lồi mạnh biên 2C compact tương đối trong
n . Khi đó với mọi
0 , , 0 z D x D R
:
0
, zF x R D x
.
Chứng minh
Trước tiên chứng minh x thuộc bao đóng của
0z
F x, R
.
Với mọi
0
, n trong biên D định nghĩa
z x n
và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
29
nB z | z z
.
Vì D là 2C miền, có 0 sao cho với mỗi cầu
B x
được
chứa trong D và tiếp xúc với
D
tại x. Khi đó theo định lí 2.2.1, cho
D
1 1 1 1
k z ,z logc logd z , D logc log
2 2 2 2
,
trong đó c là dương và độc lập với
. Do đó
xD B
1 - 1 2 1 2
k z ,z k z ,z log 0, log log .
2 c 2 c 2 c
Cho
E B x
là mặt cực hạn (trong
B x
) cực
0z
, tâm x bán kính
cR / 2
. Thì
B x B x0
1 cR
z E lim k z,z k z ,z log
2 2
.
Do đó với
z E
x x
D D D D
w x 0
B B
0
liminf k z,w k z ,w liminf k z,z k z ,z
1 2
liminf k z,z k z ,z log
2 c
1
logR,
2
và
zE F x,R
; đặc biệt
zx F x,R
.
Tồn tại L > 0 sao cho
D D 0
w x
1
limsup k z ,w k z ,w logL
2
Theo bổ đề 2.1.3.1(vii)
0z z
F x,R / L F x,R
,
và
0z
x F x,R
.
Để kết thúc chứng minh, ta cần chứng minh chỉ có duy nhất x là một
điểm biên thuộc vào tập đóng của
0z
F x,R
. Giả sử ngược lại, tồn tại
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
30
0z
y D F x,R ; y x
;
thì chúng ta có thể tìm thấy một dãy
0z
z F x,R
với
z y
.
Theo định lí (2.2.3), với
0; K
liên kết thành một cặp (x, y);
ta có thể giả sử
z y
mọi
. Vì
0z
z F x,R
, ta có
D D 0
w x
1
, lim k z ,w k z ,w log R
2
:
vì thế mỗi
ta có thể tìm được một dãy
w D
sao cho
limw x
và
D D 0
1
lim k z ,w k z ,w log R
2
.
Hơn nữa, ta có thể giả sử
w x
và
D D 0
1
k z ,w k z ,w log R
2
với mọi
,
.
Theo định lí 2.2.3 ta có
D D 0
D 0
1
, , logR k z ,w k z ,w
2
1 1
logd z , D logd w , D k z ,w K.
2 2
Mặt khác, ước lượng biên (theo định lí 2.2.1) cho ta
1c 0
(độc lập với
w
) sao cho
D 0 1
1
, , k z ,w c logd w , D .
2
Vì vậy
1,
1 1
, logR logd z , D K c
2 2
,
và, cho
thì ta thấy mâu thuẫn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
31
2.3. Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình.
2.3.1. Định lí Cartan - Carathéodory (tr 268, [10])
Cho X là không gian phức hyperbolic,
0
x
là một điểm không kì dị
của X. Cho
:f X X
là một ánh xạ chỉnh hình sao cho f(
0
x
) =
0
x
, và
0 0 0
: x x xdf T X T X
là vi phân của f tại
0
x
. Khi đó :
1) Giá trị riêng của
0x
df
có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn bằng 1.
2) Nếu
0x
df
là một phép biến đổi đồng nhất của
0x
T X
, thì f là một
phép biến đổi đồng nhất của X;
3) Nếu
0
det 1xdf
, thì f là ánh xạ song chỉnh hình.
Chứng minh
Ta lấy r > 0 sao cho hình cầu mở
0 X 0U x ,r x X;d x ,x r
có
tập compact đóng
0B U x ,r
. Gọi
là tập các ánh xạ có tính giảm
khoảng cách từ B lên chính nó với
X Bd |
.
là tập compact ( theo định lí
Arzela - Ascoli: “ Cho X là không gian compact địa phương và tách được,
Y là không gian metric compact địa phương với hàm khoảng cách
yd
. Khi
đó họ
F C X,Y
là compact tương đối trong C(X,Y) (tức là, mọi dãy các
ánh xạ
f C X,Y
và hội tụ đều trên tập compact của X) nếu và chỉ nếu
a. F là liên tục tại mọi điểm
x X
.
b.
x X
tập
f x ,f F
là tập compact tương đối trong Y.”
1) Cho
f Hol X,X
với f(
0
x
) =
0
x
, cho
là giá trị riêng của
0x
df
.
Với mỗi số nguyên dương k, ánh xạ lặp kf hạn chế trên B, thuộc và vi
phân của nó
0
k
xdf
có giá trị riêng k . Vì là compact nên ta có
1
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
32
2) Kí hiệu
0
m
xd f
là toàn bộ đạo hàm riêng cấp m tại
0
x
của f. Ta cần
chỉ ra rằng nếu
0x
df
là phép biến đổi đồng nhất của
0x
T X
, thì
0
m
xd f 0; m 2
. Cho m là số nguyên dương bé nhất
2
sao cho
0
m
xd f 0
. Khi đó
0
0
m k m
xx
d f k.d f
với mọi số nguyên dương k. Khi k tiến ra vô cùng,
0
0
m k m
xx
d f k.d f
cũng
tiến ra vô cùng, vì vậy mâu thuẫn với tính compact của
.
3) Giả sử rằng
0x
det df 1
. Theo 1) giá trị riêng của
0x
df
có giá trị
tuyệt đối bằng 1. Đặt
0x
df
trong dạng chuẩn tắc Jordan, ta cần chỉ ra rằng
0x
df
có dạng ma trận chéo, nếu không nó phải có dạng khối chéo
1 0 . 0
0 1 . 0
. . . . .
. . . . .
0 . 0 0
.
Với
1
ma trận đường chéo tương ứng của
0
k
xdf
là
k k 1
k k 1
k
k * . *
0 k . .
. . . . .
. . . . .
0 . 0 0
.
Đây là điều mâu thuẫn với tính compact của
khi k tiến ra vô cùng thì
k 1k
tiến ra vô cùng .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
33
Chúng ta chứng minh rằng một dãy con
ikf
của dãy
kf
hội tụ
đến phép biến đổi đồng nhất của X. Vì
0x
df
có dạng ma trận chéo thì các số
trên đường chéo có giá trị tuyệt đối bằng 1, tồn tại một dãy con
i
0
k
x
df
của dãy
0
k
xdf
hội tụ đến ma trận đồng nhất. Vì
là tập compact, lấy
một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả sử rằng
ikf
hội tụ đến một ánh xạ
0U x ,r
h
đi từ
0U x ,r
lên chính nó. Vi phân của
0U x ,r
h
tại
0x
, bằng
i
0
k
x
limd f
, là phép biến đổi đồng nhất của
0x
T X
. Theo 2)
0U x ,r
h
phải là
phép biến đổi đồng nhất của
0U x ,r
.
Gọi W là tập con mở lớn nhất của X có tính chất mọi dãy con của
ikf
hội tụ đến phép biến đổi đồng nhất của W. (Để có được tập W như
vậy, xét hợp
jW= W
của tất cả tập con mở
jW
trong X có tính chất mỗi
jW
mọi dãy con
jkf
hội tụ đến phép biến đổi đồng nhất. Một số đếm
được của
j'sW
đã phủ W. Ta xét đến dãy con đếm được tương ứng của
ikf
và trích ra một dãy con theo tiêu chuẩn. Không mất tính tổng quát, ta
có thể giả sử rằng
ikf
hội tụ đến một phép biến đổi đồng nhất trên W. Vì
0U x ,r W
, W khác rỗng. Nếu
W X
, lấy
x W
và chọn s đủ nhỏ
sao cho
XU x,s y X;d x,y s
và compact đóng. Vì iklimf x và f
là giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình, có một lân cận
xU
của x sao
cho
ik xf U U x,s
. Cho
0i i
. Cho F là tập toàn bộ các ánh xạ có tính
giảm khoảng cách từ
xU
đến
U x,s
. Dễ thấy F là tập compact. Ta trích ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
34
một dãy con từ
ikf
hội tụ trên
xU
.Vì nó hội tụ đến một phép biến đổi
đồng nhất trên
xW U
, nó phải hội tụ đến một phép biến đổi đồng nhất
trên
xU
. Đó chính là mâu thuẫn lớn nhất của W, ta phải có W=X, thì mới
chứng minh được khẳng định của ta. Ta có thể giả sử rằng
ikf
hội tụ đến
Xid
.
Bây giờ ta xét dãy
ik 1f
và chỉ ra rằng có một dãy con hội tụ đến
ánh xạ nghịch đảo của f. Cùng lý luận như trên, lấy một dãy con nếu cần
thiết ta có thể giả sử rằng
ik 1f
hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình
0U x ,r
g
của U(
0
x
,r) lên chính nó.
Cho V là tập con mở lớn nhất của X có tính chất vài dãy con của
ik 1f
hội tụ đến một phép biến đổi chỉnh hình
Vg
của V. Sự tồn tại của
V được chứng minh giống như sự tồn tại của W ở trên. Từ tính lớn nhất của
V ta thu được V=X cũng tương tự như cách lý luận trên. Lấy một dãy con
ta có thể giả sử rằng
ik 1f
hội tụ đến một phép biến đổi chỉnh hình g của
X lên chính nó. Thì
i ik 1 k Xf g f lim f limf id
.
Tương tự,
Xg f id
. Thì g là nghịch đảo của f.
Heins chỉ ra rằng “Cho
D
là một nhóm hữu hạn miền liên thông
bị chặn bởi đường cong Jordan, và
:f D D
là hàm chỉnh hình thì dãy
lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là đẳng cấu của D. Hơn nữa nếu tồn
tại giới hạn thì giới hạn đó là ánh xạ hằng
x D
”. Bây giờ cho D là miền
bị chặn trong n và xét ánh xạ chỉnh hình f : D D nếu f có một điểm cố
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
35
định
0z D
, xét vi phân của f tại
0z
. Theo định lí Cartan- Caratheodory giá
trị riêng của
0z
df
được chứa trong . Sử dụng dạng chính tắc của
0z
df
, dễ
kiểm tra được rằng
0
n
zdf
hội tụ nếu giá trị riêng của nó thuộc
1
, và
định lí dưới đây cho ta kết quả như sau:
2.3.2. Định lí [5]
Cho D là miền taut compact tương đối trong n , cho
:f D D
là
ánh xạ chỉnh hình với điểm cố định
0z D
. Thì dãy lặp
nf
hội tụ nếu và
chỉ nếu
0df z
không có giá trị riêng
1
và
1
.
Chứng minh:
Giả sử
n nf h Hol D,C
. Thì
0 0h z z
, và
0 0
0
n
n
z zz
df d f dh
.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu
là giá trị riêng của
0
n
zdf ,
phải
hội tụ đến một giá trị riêng của
0z
dh
; vì thế (theo định lí Cartan –
Carathéodory)
1
hoặc
1
, như vậy một chiều của định lí đã được
chứng minh.
Đảo lại, giả sử rằng tất cả các giá trị riêng của
0z
df
nằm trong
1
, và đặt
0z
df
trong dạng chuẩn tắc Jordan. Ta cần chứng minh rằng,
nếu 1 là giá trị riêng của
0z
df
thì ma trận con tương ứng là ma trận chéo.
Nếu không, ma trận có dạng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
36
1 1 ... ... 0
0 .. .. .. :
: .. .. .. :
: .. .. 1
0 ... ... 0 1
.
Khi đó
0
k
z
df
có dạng khối tương ứng là
1 k ... ... 0
0 .. .. .. :
: .. .. .. :
: .. .. k
0 ... ... 0 1
,
và, cho
k
, ta có sự mâu thuẫn (
0
k
zdf
luôn có dãy con hội tụ).
Bây giờ dễ dàng kiểm tra
0
k
zdf
hội tụ đến ma trận phức A cấp
n n
(thực tế , A có dạng
rI 0
0 0
,
trong đó
rI
là ma trận đồng nhất cấp
r r
và r là bội số của 1 như là một giá
trị riêng của
0z
df
).
Vì vậy, nếu
nh Hol(D, )
là điểm giới hạn của
nf
, nên ta có
00 0 z
h z z ;dh A
. Do đó, theo tính taut,
h Hol D,D
, theo định lí tính
duy nhất của Cartan, h là duy nhất được xác định. Mặt khác,
nf
có một
điểm giới hạn duy nhất, vì vậy hội tụ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
37
Hệ quả
Cho D là miền taut compact tương đối trong n , và
:f D D
là
ánh xạ chỉnh hình với một điểm cố định
0 z D
. Thì
nf
hội tụ đến một
hằng số
0
z
nếu và chỉ nếu
0z
df 1
, trong đó || . || là dạng chuẩn tắc của
toán tử.
Tổng quát hoá định lí trên ta được định lí sau:
2.3.3. Định lí [10]
Cho X là không gian phức taut, và
,f Hol X X
. Nếu dãy
kf
hội tụ, nó hội tụ đến một co chỉnh hình
, và tại mỗi điểm không kì dị
0 z X
vi phân
0z
df
có một giá trị riêng trong tập
1
. Đảo lại, nếu f
có một điểm không kì dị cố định
0z X
sao cho
0z
df
có giá trị riêng trong
1
, thì
kf
hội tụ.
Chứng minh:
Giả sử rằng
kf
hội tụ. Theo định lí Bedford nó hội tụ đến một co
chỉnh hình và
k k 1
k k
f z limf f z limf z z
vì vậy
X
là
cố định theo từng điểm của f. Cho
0z X
là một điểm không kì dị và
là một giá trị riêng của
0z
df
. Thì
k
tiến đến giá trị riêng của
0z
d
, tức là,
0 hay 1. Do
1
.
Đảo lại, giả sử rằng f có một điểm không kì dị cố định
0z
sao cho
0z
df
có giá trị riêng trong
1
, đặt
0z
df
trong dạng chuẩn tắc Jordan. Thì
có dạng như sau
rI 0
A
0 A
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
38
Trong đó r là bội của 1 như là giá trị riêng của
0z
df
, và A là ma trận sao cho
klimA 0
. Khi đó f có một điểm cố định,
kf
không phân kì. Cho
là
một co chỉnh hình, h là một điểm giới hạn bất kì của
kf
. Thì h cố định
0z
và
0 0
r
z z
I 0
dh d
0 0
.
Vì vậy
chính là một đẳng cấu, và cũng là giới hạn điểm duy nhất
của
kf
.
Các định lí trên đã cho ta thấy
nf
hội tụ khi nào, nhưng để mô tả
một cách có hiệu quả giới hạn điểm của dãy
nf
thì Bedford đã chứng
minh được định lí sau:
2.3.4. Định lí (Bedford) [10]
Cho
là miền liên thông có tính taut và compact tương đối trong
~
, cho jf ,
1 2 ...
là một dãy lặp của f, nó hội tụ đều trên tập
compact của
đến một hàm :F . Khi đó
i)
f
hay
ii) Có một đa tạp nhẵn
V
, một co chỉnh hình
: V
và
Aut V
sao cho
F .
.
Hơn thế, dim V chỉ phụ thuộc vào f mà không phụ thuộc vào dãy
j
.
Chứng minh
i) Nếu i) không đúng, thì theo tính taut của F:
. Thay thế
j
bởi một dãy con, ta có thể giả sử rằng dãy đó là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
39
j j 1 j
j j j j 1 j
q p p ,
r q p p 2p ,
cả hai cùng tiến ra vô cùng. Nếu cần thiết chúng ta có các hàm
~
,G :
trong đó
j
j
q
j
r
j
limf z
limf G z
hội tụ đều trên tập con compact của
.
Xét đến
j 1 j jqf z f f z
, cho qua giới hạn khi
j
, ta có
F z F z
. (2.7)
Vì vậy
, và lại theo tính taut,
. Qua giới hạn
khi
j
hai vế của đẳng thức
j 1 j jqf z f f z
.
Ta được
F z F z
. (2.8)
Đặt
V z : z z
.
Thì V là một đa tạp con của
và
F V
. (2.9)
Theo (2.9) hạng của F tại một điểm luôn nhỏ hơn hay bằng hạng của
.
Cho qua giới hạn khi
j
hai vế của đẳng thức
j j jq r pf z f f z
ta được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
40
z G F z
. (2.10)
Tương tự ta cũng chứng minh được hạng của
nhỏ hơn hoặc bằng
hạng của F.
Khi đó
và F có cùng hạng. Từ (2.10) suy ra
1 V
là một đa tạp
con n chiều của
và vì vậy
1 V
=
tức là
V
.
Do đó
2
và
là co vào V. Sau đây ta sẽ chứng minh rằng V là
một đa tạp. Đặt k=dimV. Với
0z V
ta sẽ chứng minh rằng hạng của vi
phân
0' z k
. Nếu đúng là như vậy, thì có một lân cận nhỏ U của
0z
sao
cho
U
là một đa tạp nhẵn k chiều.
Vì vậy,
U U V U V
, theo định nghĩa của V, sẽ chỉ ra
rằng V là nhẵn tại
0z
. Nhưng khi đó
là đồng nhất trên V, khoảng biến
thiên của vi phân
0' z
chứa nón tiếp xúc Whitney
0C V,z
. Vì C(V) là
đa tạp phức k chiều, bao tuyến tính của C(V) có chiều nhỏ nhất là k .
Cuối cùng, đặt
|VF
cần chứng minh
Aut V
. Theo (2.9)
V V
, theo tính taut và (2.10),
G :
, vì vậy ta có thể lấy giới
hạn khi
j
của đẳng thức
j j jq rf z f f z
thu được
z F G z
.
Vì
z z
với
z V
, từ (2.10) suy ra F là tương ứng 1-1. Hơn nữa,
vì
F
là tập con mở của V, và vì V là liên thông nên từ (2.10) suy ra
1
VG |
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
41
Nếu
jf
là một dãy con hội tụ khác, jf F , thì chúng ta có thể
giả sử rằng
j j js
và
j j 1 jt
tiến đến vô cùng. Lí luận tương tự
như trên, ta có thể kết luận rằng F và F có cùng hạng, vì vậy chiều của V
chỉ phụ thuộc vào f, không phụ thuộc vào
j
.
Xét ánh xạ trong phép thấu xạ
* k kf :H , H ,
. Chọn một
cơ sở của
kH ,
chứa phần tử của
kH ,
ta có thể viết
* kf T
.
Trong đó
kT
là một ma trận vuông với các phần tử nguyên.
2.3.5. Mệnh đề [5]
Cho D là tập compact tương đối trong n và
,f Hol D D
sao cho
f(D) là tập compact tương đối trong D thì f có duy nhất một điểm cố định
0z D
.
Định lí dưới đây là dạng tổng quát của bổ đề Wolff.
2.3.6. Định lí [5]
Cho D là miền lồi compact tương đối trong n và
: f D D
là ánh
xạ chỉnh hình không có điểm cố định. Khi đó tồn tại
x D
sao cho mọi
0 , 0z D R
và
n
.
0 0
, ,n z zf E x R F x R
.
Chứng minh:
Ta có thể giả sử rằng
0 D
. Chọn một dãy các số thực dương
r
hội tụ đến 1, và định nghĩa
g : D D
z g z r z
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
42
Khi đó D là lồi,
g D
là compact tương đối trong D với
, và
dãy
g
hội tụ đến một ánh xạ đồng nhất của D.
Đặt
f g f
.Theo mệnh đề 2.3.5, mọi
f
có một điểm cố định
w D
. Lấy một dãy con, ta có thể giả sử rằng
w
hội tụ đến một điểm
x D . Nếu x D , thì
f x limf w lim w x
,
Điều này là không thể, vì vậy
x D
.
Bây giờ, với mỗi
0z D
chúng ta có
D D 0 D D 0
w x
z D, lim k z,w k z ,w limsup k z,w k z ,w .(2.11)
Cố định R>0 và
0z
z E x,R
, theo (2.11), tồn tại
0
và
0
sao cho
0 D D 0
1
k z,w k z ,w logR
2
Vì
w
là một điểm cố định của
n
f
mọi
n
, ta có
n0 D D 0 1k f z ,w k z ,w logR .
2
Và
n nn nD D Dk f z ,w k f z ,w k f z ,f z 0
,
khi
; do đó tồn tại
1 0
sao cho
n1 D D 0
1
k f z ,w k z ,w logR
2 2
.
Vì vậy
n nD D 0 D D 0
w x
1
liminf k f z ,w k z ,w liminf k f z ,w k z ,w logR
2
và
0
n
zf z F x,R
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
43
2.3.7. Định lí [5]
Cho D là miền 2C giả lồi mạnh compact tương đối trong n , và
: f D D
là ánh xạ chỉnh hình không có điểm cố định. Khi đó dãy lặp của
f hội tụ đến một điểm trên biên.
Chứng minh :
Vì f không có điểm cố định, theo định lí (2.3.6) với một điểm
x D
chúng ta cần chứng tỏ rằng nf x . Gọi
nh Hol D,
là điểm giới hạn
của
nf
; ta chỉ cần chứng minh
h x
.
Chọn dãy con
nf
hội tụ đến h. Theo định lí 2.3.4 của Bedford, chỉ
có hai trường hợp có thể xảy ra:
h D D
, hoặc
h Hol D,D
.
+ Trong trường hợp thứ nhất, h có thể là một hằng số, vì D là miền
lồi mạnh. Theo định lí 2.3.6, cho mọi
0z D
và R > 0 ta có
0 0
n
z z, f E x,R F x,R
.
Cho qua giới hạn khi
ta được
0 0z z
h E x,R F x,R D x
.
Do vậy
h x
.
+ Trường hợp thứ hai: Giả sử ngược lại rằng
h Hol D,D
theo
định lí 2.3.4 (Bedford), ta có thể thay thế h bằng một co chỉnh hình từ D
vào đa tạp con X, vẫn kí hiệu bởi h. Đặt
xf |
; ta sẽ chỉ ra rằng
Aut X
. Trước tiên, qua giới hạn đẳng thức
n nf f f f
ta được
z X; f z f h z h f z ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
44
và
f X X
. Lấy một dãy con, chúng ta có thể giả sử rằng
1f
hội tụ
đến một ánh xạ chỉnh hình
. Qua giới hạn đẳng thức
1 1
f f f f f f
ta được
z X, f z h z z f z ,
(2.12)
đặc biệt,
Xid
và
Hol D,D
. Bây giờ, qua giới hạn đẳng thức
n 1 n n n 1
f f f f
ta được
z h z h z
.
Vậy
X X
; vì thế từ (2.12) suy ra
X X| id
và
Aut X
.
Gọi
là bao đóng của
n
trong
nHol X,
; ta sẽ chứng tỏ rằng
là một nhóm giao hoán, compact của các tự đẳng cấu của X. Vì D là taut,
là compact; nên chúng ta cần chỉ ra rằng mọi phần tử của
đều có
nghịch đảo trong
(rõ ràng
Xid
nằm trong
).
Lấy
, và chọn một dãy con
k
hội tụ đến
; dãy
k
có thể
là hằng số, và
có thể là một luỹ thừa của
. Ta có thể giả sử rằng
k
và
k
hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình
. Lấy giới hạn
n k k k k
ta được
z X, z z z
.
Vì thế
1
.
Bây giờ chú ý rằng
DX X X
k k |
. Thực vậy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
45
1 2 D 1 2 X 1 2 X 1 2 D 1 2z ,z X k z ,z k z ,z k h z ,h z k z ,z .
Đặc biệt, một hình cầu Kobayashi trong X là giao của hình cầu Kobayashi
trong D với X.
Lấy
0z X
; thì
0 0z z |
là tập compact chứa trong X.
Đặt
C
k k 0B w,r | w X,r>0;B w,r z
,
(trong đó
kB w,r
là cầu Kobayashi trong D). Mọi
kB w,r
là tập compact
và lồi (vì D là tập lồi ); vì vậy,
C
C là khác rỗng và là tập con compact
lồi của D. Ta cần chỉ ra rằng
f C C
.
Cho
z C
, ta phải chỉ ra rằng
kf z B w,r
với mọi
w X
và r>0
thì
k 0B w,r z
. Bây giờ chỉ ra
1kB w ,r
C : thực vậy
1 1 1k k 0 0B w ,r X B w,r X z z
.
Vì
1kz B w ,r
và
1 1D D Dk w,f z k f w ,f z k w ,z r
,
nên
kf z B w,r
.
Cuối cùng,
f C C
. Theo định lý Brouwer, f phải có một điểm cố
định trong C, mâu thuẫn. Vì vậy
nf
không thể có giới hạn điểm trong
Hol(D,D).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
46
2.3.7.1. Hệ quả
Cho D là một miền 2C lồi mạnh compact tương đối trong n , và
: f D D
là ánh xạ chỉnh hình. Lấy một điểm
0z
tuỳ ý thuộc D; thì f có
một điểm cố định nếu và chỉ nếu dãy
0nf z
có một điểm giới hạn trong
D.
Chứng minh: Nếu dãy
n 0f z
có một giới hạn điểm trong D, dãy
nf
không hội tụ đến một điểm trên biên, vì vậy theo định lí 2.3.7, f phải
có một điểm cố định.
Đảo lại, giả sử rằng f có một điểm cố định
w D
. Khi đó dãy
n 0f z
được chứa trong hình cầu Kobayashi đóng tâm w và bán kính
D 0k z ,w
là tập compact. Do đó
n 0f z
có một điểm giới hạn trong D.
2.3.7.2. Hệ quả
Cho D là một miền 2C lồi mạnh compact tương đối trong n , và
,f Hol D D
. Giả sử rằng tồn tại một tập con compact K của D sao cho
f K K
. Khi đó f có một điểm cố định trong D.
2.3.7.3. Chú ý
Định lí 2.3.7 không tổng quát hoá trong miền lồi tuỳ ý hay miền giả
lồi mạnh. Thực vậy, cho 2D , và cho 2 2f : sao cho
i11 2 2
1
1 z
f z ,z ,e z ,
3 z
mỗi
và ie 1 . Khi đó dễ thấy f có một điểm cố định, và
nf
không
hội tụ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
47
Mặt khác, cho
2 2 22D z,w | z w w 3
; D là miền giả
lồi mạnh nhẵn của 2 . Định nghĩa f : D D bởi
i
1
f z,w z,e w ,
2
mỗi
và ie 1 . Khi đó (z, w) D ,w 0 , f có một điểm cố định
nhưng
nf
không hội tụ.
Năm 1964, Shields đã chứng minh một hệ quả thú vị của định lí
Denjoy - Wolff: “nếu
f ,g :
là chỉnh hình trong
, liên tục trong
và
f g g f
, khi đó ta có một điểm cố định trong ”. Kết quả này đã
được mở rộng lần đầu tiên trên miền
bởi Eustice, và kế tiếp mở rộng
trong nB . Sau đó nó được tổng quát hoá trong một miền lồi nhẵn.
2.3.8. Mệnh đề [5]
Cho D là miền lồi mạnh nhẵn compact tương đối trong n , và cho f,
g
:D D
là một chỉnh hình trong D, liên tục trong D sao cho
f g g f
thì f và g có một điểm chung cố định trong D .
Chứng minh: Giả sử f không có điểm cố định trong D. Thì theo định
lí 2.3.7, dãy
nf
hội tụ đến một điểm
x D
. Hiển nhiên, f(x)=x, ta cần
chỉ ra g(x)=x. Thực vậy, lấy
z D
, thì
n n
n n
g x limg f z limf g z x
.
Vì vậy, giả sử rằng giao của tập các điểm cố định X của f với D là
khác rỗng. Vì f và g giao hoán,
g X X
. Dễ thấy X là đồng phôi với một
tập lồi đóng trong n .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
48
KẾT LUẬN
Dựa vào kiến thức cơ sở đã trình bày ở chương 1, luận văn đã trình bày
lại một cách có hệ thống các kiến thức sau:
Mặt cực hạn cổ điển.
Mặt cực hạn trên miền bất kì và các tính chất của nó.
Mặt cực hạn và tính chất trên miền giả lồi.
Các tính chất của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình.
Và cuối cùng luận văn có trình bày được mối liên hệ giữa mặt cực hạn
lớn, mặt cực hạn nhỏ và ánh xạ lặp của ánh xạ chỉnh hình.
0 0
n
z zf E x,R F x,R
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
49
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng việt
1. Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu về lý thuyết các không gian
Hyperbolic, NXB Đại học Sư Phạm.
2. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, NXB ĐH
Quốc gia Hà Nội.
3. Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục .
4. Đỗ Đức Thái (2003), Cơ sở lý thuyết hàm hình học, NXB Đại học
Sư Phạm.
Tiếng Anh
5. Abate. M (1988), Horospheres and Iterates of holomorphic maps,
Math.Z, 198, tr 225- 238.
6. Burkel. R (1981), Iterating self – maps of the disk. Am, 88, tr 396-
407.
7. Bedford. E (1983), On the automorphism group of a stein manifod,
Math. Ann, 266, tr 215- 227.
8. Josph. J, H. Kwach. M (1977), A generalization of a theorem, New
York, 199, tr 235- 249.
9. Hiens. M (1941), On the iteration of functions which are analytic
and single valued in a given multiply connected region,Math, 63, tr
461- 480.
10. Kobayashi. S (1998), Hyperbolic complex spaces, Berlin.
11. Kobayashi. S (1970),Hyperbolic manifolds and holomorphic
mappings, Berlin.
12. Sabat. BV (1979),Nhập môn giải tích phức, NXB Đại học và trung
học chuyên nghiệp Hà Nội.
13. sYang. P (1978), Holomophic curves and boundary regularity of
biholomorphic maps of pseudoconvex domain, Preprin.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- doc30.pdf