Luận văn Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor

phÐp nh©n bëi s cho ta mét tù ®¼ng cÊu cña Γmj(A). Do ®ã Γmj(A) cã cÊu tróc tù nhiªn cña mét Rmj -m«®un vµ víi cÊu tróc nµy, mét tËp con cña Γmj(A) lµ mét R-m«®un con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ Rmj -m«®un con. §Æc biÖt Amj ∼= Γmj(A), víi mäi j = 1, . . . , r. Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng. Nh¾c l¹i r»ng ®Çy ®ñ theo t« p« m-adic cña R, ký hiÖu bëi R̂, lµ tËp c¸c líp t­¬ng ®­¬ng cña c¸c d·y Cauchy theo quan hÖ t­¬ng ®­¬ng x¸c ®Þnh bëi c¬ së l©n cËn cña phÇn tö 0 lµ c¸c i®ªan mt, t = 0, 1, 2, . . . R̂ ®­îc trang bÞ hai phÐp to¸n hai ng«i: phÐp céng, phÐp nh©n c¸c d·y Cauchy vµ cïng víi hai phÐp to¸n nµy, R̂ lµm thµnh mét vµnh. Mçi phÇn tö r ∈ R cã thÓ ®ång nhÊt víi líp t­¬ng ®­¬ng cña d·y Cauchy mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö trong d·y ®Òu lµ r. MÖnh ®Ò 1.1.2. [18, Bæ ®Ò 1.11, HÖ qu¶ 1.12] Cho A lµ R-m«®un Artin kh¸c kh«ng trªn vµnh ®Þa ph­¬ng (R,m). Khi ®ã, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R̂-m«®un, trong ®ã R̂ lµ vµnh ®Çy ®ñ theo t«p« m-adic cña R vµ mäi tËp con cña A lµ R-m«®un con cña A nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R̂-m«®un con cña A. Do ®ã, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R̂-m«®un Artin. Do cã cÊu tróc ®Æc biÖt nh­ vËy nªn ng­êi ta cã thÓ chuyÓn viÖc nghiªn cøu m«®un Artin trªn mét vµnh giao ho¸n bÊt k× vÒ viÖc nghiªn cøu trªn vµnh ®Þa ph­¬ng. H¬n n÷a, viÖc nghiªn cÊu tróc cña m«®un Artin trong mét sè tr­êng hîp cã thÓ chuyÓn vÒ nghiªn cøu trªn m«®un Noether nhê lý thuyÕt ®èi ngÉu Matlis. D­íi ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt ®èi ngÉu Matlis hay ®­îc sö dông trong luËn v¨n. Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, ®Çy ®ñ. §Æt E = E(R/m) lµ bao néi x¹ cña tr­êng thÆng d­ R/m. KÝ hiÖu D() = HomR(, E) tõ ph¹m trï CR c¸c R-m«®un vµ R-®ång cÊu vµo chÝnh nã. Víi mçi R-m«®unM , ®Æt µM : M −→ DD(M) = HomR(HomR(M,E), E) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 10 lµ R-®ång cÊu tù nhiªn cho bëi µM(x)(f) = f(x), víi mäi x ∈ M, vµ f ∈ Hom(M,E). Khi ®ã ta cã kÕt qu¶ sau (xem [18, §Þnh lý 2.1]). MÖnh ®Ò 1.1.3. (i) R-m«®un E lµ Artin. Víi mçi f ∈ HomR(E,E), tån t¹i duy nhÊt af ∈ R : f(x) = afx,∀x ∈ E. (ii) NÕu N lµ R-m«®un Noether, th× D(N) lµ Artin. (iii) NÕu A lµ R-m«®un Artin, th× D(A) lµ Noether. (iv) AnnM = AnnD(M), vµ nÕu M lµ R-m«®un sao cho `R(M) < ∞, th× `R(D(M)) = `R(M). Bæ ®Ò 1.1.4. Cho N lµ R-m«®un Noether, A lµ R-m«®un Artin vµ j ∈ N. Khi ®ã (i) D(N/IjN) ∼= (0 :D(N) Ij) vµ D(Ij−1N/IjN) ∼= (0 :D(N) Ij)/(0 :D(N) Ij−1); (ii) D(0 :A I j) ∼= D(A)/IjD(A) vµ D((0 :A I j)/(0 :A I j−1)) ∼= Ij−1D(A)/IjD(A). 1.2 BiÓu diÔn thø cÊp Lý thuyÕt biÓu diÔn thø cÊp ®­îc ®­a ra bëi I. G. Macdonald [9] ®­îc xem nh­ lµ ®èi ngÉu víi lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬ quen biÕt cho c¸c m«®un Noether. §Þnh nghÜa 1.2.1. (i) Mét R-m«®un M ®­îc gäi lµ thø cÊp nÕu M 6= 0 vµ nÕu víi mäi x ∈ R, phÐp nh©n bëi x trªnM lµ toµn cÊu hoÆc luü linh. Trong tr­êng hîp nµy Rad(AnnRM) lµ i®ªan nguyªn tè, ch¼ng h¹n lµ p, vµ ta gäi M lµ p-thø cÊp. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 11 (ii) Cho M lµ R-m«®un. Mét biÓu diÔn thø cÊp cña M lµ mét ph©n tÝch M = N1 + . . .+Nn thµnh tæng h÷u h¹n c¸c m«®un con pi-thø cÊp Ni. NÕu M = 0 hoÆcM cã mét biÓu diÔn thø cÊp th× ta nãi M lµ biÓu diÔn ®­îc. BiÓu diÔn thø cÊp nµy ®­îc gäi lµ tèi thiÓu nÕu c¸c i®ªan nguyªn tè pi lµ ®«i mét kh¸c nhau vµ kh«ng cã h¹ng tö Ni nµo lµ thõa, víi mäi i = 1, . . . , n. DÔ thÊy r»ng mäi biÓu diÔn thø cÊp cña M ®Òu cã thÓ ®­a ®­îc vÒ d¹ng tèi thiÓu. Khi ®ã tËp hîp {p1, . . . , pn} lµ ®éc lËp víi viÖc chän biÓu diÔn thø cÊp tèi thiÓu cñaM vµ ®­îc gäi lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cñaM , kÝ hiÖu bëi AttRM . C¸c h¹ng tö Ni, i = 1, . . . , n, ®­îc gäi lµ c¸c thµnh phÇn thø cÊp cñaM . §Þnh lý 1.2.2. TËp AttRA chØ phô thuéc vµo A mµ kh«ng phô thuéc vµo biÓu diÔn thø cÊp tèi thiÓu cña A. H¬n n÷a ta cã c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t­¬ng ®­¬ng víi p lµ i®ªan nguyªn tè. (i) p ∈ AttRA. (ii) A cã m«®un th­¬ng lµ p-thø cÊp. (iii) A cã m«®un th­¬ng Q sao cho Rad(Q) = p. (iv) A cã m«®un th­¬ng Q sao cho p lµ phÇn tö tèi thiÓu trong tËp c¸c i®ªan nguyªn tè chøa AnnRQ. (v) A cã m«®un th­¬ng Q sao cho AnnRQ = p. MÖnh ®Ò 1.2.3. i) Cho M lµ mét R-m«®un biÓu diÔn ®­îc. Khi ®ã M 6= 0 khi vµ chØ khi AttRM 6= ∅. Trong tr­êng hîp nµy tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu cña R chøa Ann(M) chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña AttRM. (ii) Cho 0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 lµ d·y khíp c¸c R-m«®un biÓu diÔn ®­îc. Khi ®ã ta cã AttRM ′′ ⊆ AttRM ⊆ AttRM ′ ∪ AttRM ′′. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 12 Cho A lµ mét R-m«®un Artin. Khi ®ã, A lµ biÓu diÔn ®­îc vµ tËp AttRA lµ h÷u h¹n (xem [9, §Þnh lý 5.3]). H¬n n÷a, theo MÖnh ®Ò 1.1.2, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R̂-m«®un vµ víi cÊu tróc nµy mçi tËp con cñaA lµR-m«®un con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R̂-m«®un con. §iÒu nµy cho thÊy c¸c dµn m«®un con cña A xÐt nh­ R-m«®un vµ R̂-m«®un lµ nh­ nhau. Tõ ®ã ta cã c¸c kÕt qu¶ sau (xem [18, HÖ qu¶ 1.12, HÖ qu¶ 2.7]). MÖnh ®Ò 1.2.4. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ ®óng. (i) AttRA = {p̂ ∩R : p̂ ∈ AttR̂A}. (ii) NÕu R lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, ®Çy ®ñ, th× ta cã a) NÕu N lµ R-m«®un Noether, th× AttR(D(N)) = AssR(N). b) NÕu A lµ R-m«®un Artin, th× AssR(D(A)) = AttR(A). 1.3 ChiÒu Noether cña m«®un Artin Nh¾c l¹i r»ng mét d·y c¸c i®ªan nguyªn tè p0 ⊆ p1 ⊆ . . . ⊆ pn, trong ®ã pi 6= pi+1 ®­îc gäi lµ d·y nguyªn tè cã ®é dµi n. Khi ®ã chiÒu Krull cña vµnh R, ký hiÖu lµ dimR lµ cËn trªn cña ®é dµi cña c¸c d·y i®ªan nguyªn tè trong R. ChiÒu Krull cña m«®unM , ký hiÖu lµ dimM lµ cËn trªn cña c¸c sè n sao cho cã mét d·y nguyªn tè cã ®é dµi n trong SuppM . V×M lµ m«®un h÷u h¹n sinh nªn ta cã SuppM = V (AnnRM), do ®ã dimM = dimR/AnnRM = sup p∈AssM dim(R/p). Kh¸i niÖm ®èi ngÉu víi chiÒu Krull cho mét m«®un Artin ®­îc ®­a ra bëi R. N. Roberts [16] vµ sau ®ã D. Kirby [8] ®æi tªn thµnh chiÒu Noether ®Ó tr¸nh nhÇm lÉn víi chiÒu Krull ®· ®­îc ®Þnh nghÜa cho c¸c m«®un Noether. C¸c thuËt ng÷ vÒ chiÒu Noether ®­îc dïng trong luËn v¨n lµ theo [8]. §Þnh nghÜa 1.3.1. ChiÒu Noether cña m«®un ArtinA, ký hiÖu bëiN-dimRA, ®­îc ®Þnh nghÜa b»ng quy n¹p nh­ sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 13 Khi A = 0, ®Æt N-dimRA = −1. Víi A 6= 0, cho mét sè nguyªn d ≥ 0, ta ®Æt N-dimRA = d nÕu N-dimRA < d lµ sai vµ víi mçi d·y t¨ng A0 ⊆ A1 ⊆ . . . c¸c m«®un con cña A, tån t¹i sè nguyªn n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d, víi mäi n > n0. Tõ ®Þnh nghÜa trªn, ta thÊy r»ng mäi R-m«®un kh¸c kh«ngM lµ Noether khi vµ chØ khi N-dimRM = 0. Ta ®· biÕt r»ng ®èi víi mçi m«®un h÷u h¹n sinh M th× dimM = 0 nÕu vµ chØ nÕu M 6= 0 vµ `R(M) < ∞. Tõ §Þnh nghÜa 1.3.1 ta cã mét sè tÝnh chÊt sau vÒ chiÒu Noether. Bæ ®Ò 1.3.2. (i) N-dimRA = 0 nÕu vµ chØ nÕu A 6= 0 vµ `R(A) <∞. Trong tr­êng hîp nµy AttRA = {m}. H¬n n÷a, nÕu 0 −→ A′ −→ A −→ A′′ −→ 0 lµ d·y khíp c¸c R-m«®un Artin th× N-dimRA = max{N-dimRA′,N-dimRA′′}. (ii) N-dimRA 6 dimR/AnnRA = max{dimR/p : p ∈ AttRA} vµ tån t¹i m«®un Artin A sao cho N-dimRA < dimR/AnnRA. (iii) N-dimR̂A = dim R̂/AnnR̂A = max{dim R̂/p̂ : p̂ ∈ AttR̂A}. (iv) Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng vµ A lµ R-m«®un Artin. Khi ®ã A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R̂-m«®un Artin vµ ta cã N-dimRA = N-dimR̂A. ChÝnh v× vËy, ta cã thÓ viÕt N-dimA thay cho N-dimRA hoÆc N-dimR̂A. §· cã nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu cÊu tróc cña c¸c m«®un Artin A th«ng qua chiÒu Noether cña chóng vµ mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Noether cho m«®un Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 14 Artin ®­îc xem lµ ®èi ngÉu víi mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Krull cho m«®un h÷u h¹n sinh ®· ®­îc ®­a ra (xem [4], [8], [16],...). §Æc biÖt lµ kÕt qu¶ sau ®­îc R. N. Roberts [16, §Þnh lý 6] chøng minh cho tr­êng hîp vµnh tùa ®Þa ph­¬ng vµ sau ®ã ®­îc NguyÔn Tù C­êng vµ Lª Thanh Nhµn [4, §Þnh lý 2.6] chøng minh cho tr­êng hîp vµnh giao ho¸n bÊt kú. MÖnh ®Ò 1.3.3. `R(0 :A J n A) lµ mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû khi n 0 vµ N-dimA = deg(`(0 :A J n A)) = inf{t : ∃x1, . . . , xt ∈ JA sao cho `(0 :A (x1, . . . , xt)R) <∞}, trong ®ã JA = ⋂ m∈SuppA m. 1.4 Hµm tö më réng vµ hµm tö xo¾n Môc nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ c¸c tÝnh chÊt cña m«®un Ext vµ Tor th­êng ®­îc dïng trong luËn v¨n (xem [10]). §Þnh nghÜa 1.4.1. Cho M,N lµ c¸c R-m«®un vµ n ≥ 0 lµ mét sè tù nhiªn. M«®un dÉn xuÊt ph¶i thø n cña hµm tö Hom(−, N) øng víi M ®­îc gäi lµ m«®un më réng thø n cñaM vµ N vµ ®­îc kÝ hiÖu lµ ExtnR(M,N). Cô thÓ, ®Ó x©y dùng ExtnR ta lÊy mét gi¶i x¹ ¶nh cñaM . . . −→ P2 u2−→ P1 u1−→ P0 −→M −→ 0. T¸c ®éng hµm tö Hom(−, N) vµo d·y khíp trªn ta cã ®èi phøc 0 −→ Hom(P0, N) u ∗ 1−→ Hom(P1, N) u ∗ 2−→ Hom(P2, N) −→ . . . Khi ®ã ExtnR(M,N) = Keru ∗ n+1/ Imu ∗ n lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø n cña ®èi phøc trªn (m«®un nµy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän gi¶i x¹ ¶nh cña M ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 15 §Þnh nghÜa 1.4.2. Cho M,N lµ c¸c R-m«®un vµ n ≥ 0 lµ mét sè tù nhiªn. M«®un dÉn xuÊt tr¸i thø n cña hµm tö −⊗N øng víiM ®­îc gäi lµ m«®un xo¾n thø n cñaM vµN vµ ®­îc kÝ hiÖu lµ TorRn (M,N). Cô thÓ, ®Ó x©y dùng TorRn ta lÊy mét d¶i x¹ ¶nh cñaM . . . −→ P2 v2−→ P1 v1−→ P0 −→M −→ 0. T¸c ®éng hµm tö −⊗N vµo d·y khíp trªn ta cã phøc . . . −→ P2 ⊗N v ∗ 2−→ P1 ⊗N v ∗ 1−→ P0 ⊗N −→ 0. Khi ®ã TorRn (M,N) = Ker v ∗ n/ Im v ∗ n+1 lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø n cña phøc trªn (m«®un nµy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän gi¶i x¹ ¶nh cñaM ). Sau ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt c¬ së cña c¸c m«®un Ext vµ Tor th­êng ®­îc dïng trong luËn v¨n nµy. MÖnh ®Ò 1.4.3. (a)Ext0R(M,N) ∼= Hom(M,N) vµTorR0 (M,N) ∼= M⊗N . (b) NÕuM hoÆc N lµ x¹ ¶nh th× TorRn (M,N) = 0 víi mäi n ≥ 1. (c) NÕuM lµ x¹ ¶nh hoÆc N lµ néi x¹ th× ExtnR(M,N) = 0 víi mäi n ≥ 1. (d) NÕu 0 −→ N ′ −→ N −→ N ′′ −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i c¸c ®ång cÊu nèi ExtnR(M,N ′′) −→ Extn+1R (M,N ′) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta cã d·y khíp dµi 0 −→ Hom(M,N ′) −→ Hom(M,N) −→ Hom(M,N ′′) −→ Ext1R(M,N ′) −→ Ext1R(M,N) −→ Ext1R(M,N ′′) −→ Ext2R(M,N ′) −→ . . . (e) NÕu 0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i c¸c ®ång cÊu nèi ExtnR(M ′, N) −→ Extn+1R (M ′′, N) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta cã d·y khíp dµi 0 −→ Hom(M ′′, N) −→ Hom(M,N) −→ Hom(M ′, N) −→ Ext1R(M ′′, N) −→ Ext1R(M,N) −→ Ext1R(M ′, N) −→ Ext2R(M ′′, N) −→ . . . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 16 (g) NÕu 0 −→ N ′ −→ N −→ N ′′ −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i c¸c ®ång cÊu nèi TorRn (M,N ′′) −→ TorRn−1(M,N ′) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta cã d·y khíp dµi . . . −→ TorRn (M,N ′) −→ TorRn (M,N) −→ TorRn (M,N ′′) −→ TorRn−1(M,N ′) −→ TorRn−1(M,N) −→ TorRn−1(M,N ′′) . . . −→ TorR1 (M,N ′′) −→ (M ⊗N ′) −→ (M ⊗N) −→ (M ⊗N ′′) −→ 0. HÖ qu¶ 1.4.4. NÕu M,N h÷u h¹n sinh th× ExtnR(M,N) vµ Tor R n (M,N) lµ h÷u h¹n sinh víi mäi n. KÕt qu¶ d­íi ®©y cho ta tÝnh chÊt giao ho¸n gi÷a m«®un Ext, Tor víi hµm tö ®Þa ph­¬ng hãa vµ sù t­¬ng ®­¬ng gi÷a hai hµm tö Ext vµ Tor trªn vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ. MÖnh ®Ò 1.4.5. (i) NÕu S lµ tËp ®ãng nh©n cña R th× ta cã c¸c ®¼ng cÊu S−1(ExtnR(M,N)) ∼= ExtnS−1R(S−1M,S−1N), S−1(TorRn (M,N)) ∼= TorS −1R n (S −1M,S−1N), trong ®ã S−1 lµ hµm tö ®Þa ph­¬ng hãa. §Æc biÖt, (ExtnR(M,N))p ∼= ExtnRp(Mp, Np), (TorRn (M,N))p ∼= TorRpn (Mp, Np) víi mäi i®ªan nguyªn tè p cña R. (ii) Cho I lµ i®ªan cña R. Khi ®ã Exti R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ∼= TorR̂i (R̂/IR̂, A), víi mäi sè nguyªn i ≥ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 17 1.5 D·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un D·y chÝnh quy lµ mét trong nh÷ng d·y c¬ b¶n cña ®¹i sè giao ho¸n mµ th«ng qua ®ã ng­êi ta cã thÓ ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm ®é s©u - mét bÊt biÕn rÊt quan träng ®Ó nghiªn cøu cÊu tróc cña m«®un (xem [10]). §Þnh nghÜa 1.5.1. Cho R lµ vµnh giao ho¸n Noether vµM lµ R-m«®un kh¸c 0. Mét phÇn tö 0 6= a ∈ R ®­îc gäi lµ phÇn tö M - chÝnh quy nÕu M 6= aM vµ a kh«ng lµ ­íc cña 0 trong M . D·y c¸c phÇn tö (a1, . . . , an) ∈ R ®­îc gäi lµM - d·y chÝnh quy nÕu (a)M/(a1, . . . , an)M 6= 0. (b) ai lµ phÇn töM/(a1, . . . , ai−1)M -chÝnh quy, víi mäi i = 1, . . . , n. D·y c¸c phÇn tö (a1, . . . , an) ∈ R ®­îc gäi lµ M - d·y chÝnh quy nghÌo nÕu nã chØ tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) trong ®Þnh nghÜa trªn. Cho I lµ i®ªan cña R sao cho M 6= IM . Khi ®ã mçi d·y chÝnh quy cña M trong I ®Òu cã thÓ më réng thµnh d·y chÝnh quy tèi ®¹i trong I , vµ c¸c d·y chÝnh quy tèi ®¹i cñaM trong I cã chung ®é dµi. §é dµi chung nµy ®­îc gäi lµ ®é s©u cñaM trong I vµ ®­îc kÝ hiÖu lµ depth(I,M). NÕuM = IM th× ta quy ­íc depth(I,M) =∞. Chó ý 1.5.2. (i) Gi¶ sö M lµ h÷u h¹n sinh. Khi ®ã (a1, . . . , an) ∈ R lµ M -d·y chÝnh quy khi vµ chØ khi ai /∈ p,∀p ∈ AssRM/(a1, . . . , ai−1)M. (ii) NÕu R lµ vµnh ®Þa ph­¬ng víi i®ªan cùc ®¹i m th× theo bæ ®Ò Nakayama mäi d·y (a1, . . . , an) ∈ m ®Òu tháa m·n ®iÒu kiÖn M/(a1, . . . , an)M 6= 0, do ®ã nã lµM -d·y chÝnh quy khi vµ chØ khi nã tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) trong ®Þnh nghÜa trªn. Trong tr­êng hîp nµy, ®é s©u cña M trong m gäi lµ ®é s©u cñaM vµ kÝ hiÖu lµ depthM. (iii) NÕu (a1, . . . , an) lµ M -d·y chÝnh quy trong I th× (a t1 1 , . . . , a tn n ) còng lµ M -d·y chÝnh quy trong I víi mäi sè nguyªn d­¬ng t1, . . . , tn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 18 TiÕp theo ta ®­a ra mét sè tÝnh chÊt cña depth(I,M) hay ®­îc dïng trong luËn v¨n. §Þnh lÝ sau chØ ra quan hÖ gi÷a ®é s©u cña m«®un vµ chiÒu cña nã. §Þnh lý 1.5.3. Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã ta cã depth(M) 6 dim(M). Ta ®· biÕt r»ng víi I lµ i®ªan cña R th× m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng thø i H iI(M) cñaM øng víi i®ªan I ®­îc ®Þnh nghÜa bëi H iI(M) = R i(ΓI(M)), trong ®ã ΓI(M) lµ m«®un con I-xo¾n cña M . MÖnh ®Ò sau ®©y cho ta ®Æc tr­ng cña ®é s©u qua tÝnh kh«ng triÖt tiªu cña m«®un Ext vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng. MÖnh ®Ò 1.5.4. Cho I lµ i®ªan cña R. (i) Ta cã c¸c ®¼ng thøc sau depth(I,M) = inf{i | ExtiR(R/I,M) 6= 0} = inf{i | H iI(R/I,M) 6= 0}. (ii) Gi¶ sö depth(I,M) = t. Khi ®ã AssR(Ext t R(R/I,M)) = AssR(H t I(M)). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 19 Ch­¬ng 2 D·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s Trong toµn bé ch­¬ng nµy, ta vÉn gi¶ thiÕt (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng, I lµ i®ªan cña R vµ A lµ R-m«®un Artin víi chiÒu Noether N-dimRA = d. Kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s ®· ®­îc ®­a ra bëi L. T. Nhan vµ N. V. Hoang trong [14] nh­ lµ mét sù më réng cña kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy ®­a ra bëi A. Ooishi [15] vµ th«ng qua kh¸i niÖm nµy hä ®· chøng minh mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Artin. Trong ch­¬ng nµy, kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s còng ®­îc tiÕp tôc sö dông ®Ó ®Æc tr­ng cho chiÒu Krull cña c¸c m«®un TorRi (R/I,A) cña A. 2.1 D·y ®èi chÝnh quy Kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy cho mét m«®un tuú ý ®­îc nghiªn cøu bëi A. Ooishi [15], ë ®ã «ng ®· ®­a ra mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y ®èi chÝnh quy khi m«®un lµ Artin. C¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt nµy theo mét nghÜa nµo ®ã ®èi ngÉu víi c¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña d·y chÝnh quy cho m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh Noether. §Þnh nghÜa 2.1.1. Cho M lµ mét R-m«®un tuú ý. Mét d·y c¸c phÇn tö x1, . . . , xr trong R ®­îc gäi lµ d·y ®èi chÝnh quy cña M (hay M -d·y ®èi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 20 chÝnh quy) nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau. (i) (0 :M (x1, . . . , xr)R) 6= 0. (ii) xi(0 :M (x1, . . . , xi−1)R) = (0 :M (x1, . . . , xi−1)R), víi 1 6 i 6 r. §Æc biÖt, phÇn tö x ∈ R ®­îc gäi lµ phÇn töM -®èi chÝnh quy nÕu 0 :M x 6= 0 vµ xM = M. Cho A lµ R-m«®un Artin vµ I lµ mét i®ªan cña R sao cho (0 :A I) 6= 0. Khi ®ã ®é dµi cña mçi A-d·y ®èi chÝnh quy trong I lµ h÷u h¹n vµ hai d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i trong I cã chung ®é dµi. V× thÕ ta cã ®Þnh nghÜa sau. §Þnh nghÜa 2.1.2. §é réng cña A trong I , ký hiÖu lµ WidthI A (hoÆc Width(I, A) ), lµ ®é dµi cña mét A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i trong I . §Æc biÖt, nÕu I = m th× ta gäiWidthmA lµ ®é réng cña A trong m vµ ký hiÖu lµ WidthA. Chó ý 2.1.3. (i) §èi víi m«®un Artin A kh¸c kh«ng trªn vµnh giao ho¸n R, nÕu c¸c phÇn tö x1, . . . , xr ∈ m, th× theo tÝnh chÊt cña m«®un Artin ®iÒu kiÖn (0 :A (x1, . . . , xr)R) 6= 0 trong §Þnh nghÜa 2.1.1 lu«n ®­îc tho¶ m·n. (ii) NÕu x ∈ m lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy th× ta cã c«ng thøc vÒ chiÒu Noether N-dim(0 :A xR) = N-dimA− 1. Do ®ã, mçi A-d·y ®èi chÝnh quy lµ mét phÇn hÖ tham sè cña A vµ v× thÕ Width(A) 6 N-dimA. (iii) Mét d·y c¸c phÇn tö (x1, . . . , xr) ∈ R lµ A-d·y ®èi chÝnh quy nÕu vµ chØ nÕu xi /∈ p,∀p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) víi mäi i = 1, . . . , r. MÖnh ®Ò 2.1.4. Cho I lµ i®ªan cña R. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (1) Tån t¹i phÇn tö A-®èi chÝnh quy trong I. (2) A⊗R R/I = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 21 C¸c kÕt qu¶ sau ®©y cho thÊy ®èi víi mçi m«®un Artin A, sù tån t¹i cña mét A-d·y ®èi chÝnh quy cã liªn quan chÆt chÏ ®Õn c¸c m«®un con xo¾n cña chóng. MÖnh ®Ò 2.1.5. Cho I lµ i®ªan cñaR vµ (x1, . . . , xn) lµ métA-d·y ®èi chÝnh quy trong I . Khi ®ã (1) TorRi (R/I,A) = 0 víi mäi i < n. (2) TorRn (R/I,A) ∼= 0 :A (x1, . . . , xn)⊗R R/I. §Þnh lý 2.1.6. Cho I lµ i®ªan cña R vµ A lµ R-m«®un Artin. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (1) TorRi (R/I,A) = 0 víi mäi i < n. (2) Tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy (x1, . . . , xn) trong I. Gi¶ sö I lµ i®ªan cña R sao cho (0 :A I) 6= 0. Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn ta cã ngay tÝnh chÊt lµ ®é réng cña A trong I lu«n h÷u h¹n vµ ®­îc tÝnh b»ng c«ng thøc WidthI(A) = inf{n ≥ 0 | TorRn (R/I,A) 6= 0}. 2.2 D·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s Cho I lµ i®ªan cña R vµ s ≥ −1 lµ mét sè nguyªn. Tr­íc hÕt ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s ®­îc ®­a ra trong [14]. §Þnh nghÜa 2.2.1. [14, §Þnh nghÜa 2.4], mét d·y c¸c phÇn tö (x1, . . . , xk) trong m ®­îc gäi lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s nÕu xi /∈ p víi mäi i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) tho¶ m·n dim(R/p) > s, víi mäi i = 1, . . . , k. Chó ý r»ng A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > −1 chÝnh lµ A-d·y ®èi chÝnh quy ®· ®­îc ®Þnh nghÜa bëi A. Ooishi [15]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 22 Bæ ®Ò 2.2.2. Gi¶ sö x lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Khi ®ã dim(A/xA) 6 s. Chøng minh. Cho A = A1 + · · · + At lµ biÓu diÔn thø cÊp tèi thiÓu cña A, trong ®ã Ai lµ pi-thø cÊp. Theo gi¶ thiÕt x lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s nªn x /∈ pi víi mäi i tho¶ m·n dim(R/pi) > s. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, ta cã thÓ ®¸nh sè l¹i sao cho c¸c m«®un con thø cÊp A1, . . . , Ai−1 tháa m·n dim(R/pk) 6 s vµ Ai, . . . , At tháa m·n dim(R/pj) > s, víi mäi k = 1, . . . , i− 1 vµ j = i, . . . , t. Khi ®ã xAj = Aj víi mäi j = i, . . . , t. V× thÕ ta cã ®¼ng cÊu sau A/xA = (A1 + · · ·+ At)/xA1 + · · ·+ xAt ∼= (A1 + · · ·+ Ai−1)/(xA1 + · · ·+ xAi−1) ∩ (Ai + · · ·+ At). Suy ra dim(A/xA) 6 s. Bæ ®Ò 2.2.3. Gi¶ sö r»ng dim(A/IA) 6 s. Khi ®ã tån t¹i mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I. Chøng minh. Gi¶ sö tån t¹i p ∈ AttRA sao cho I ⊆ p vµ dim(R/p) > s. V× p ∈ AttRA, nªn theo §Þnh lÝ 1.2.2 tån t¹i m«®un th­¬ng A/B 6= 0 cña A lµ p-thø cÊp. Do A/B lµ p-thø cÊp vµ p lµ i®ªan h÷u h¹n sinh nªn theo §Þnh lÝ 1.2.2 ph¶i tån t¹i sè nguyªn n sao cho pn(A/B) = 0. V× I ⊆ p, nªn suy ra In(A/B) = 0. Nh­ng l¹i do A/B 6= 0 vµ In(A/B) = 0, nªn ta ph¶i cã I(A/B) 6= A/B, v× nÕu ng­îc l¹i I(A/B) = A/B th× I(I(A/B)) = I(A/B) = A/B, do ®ã I2(A/B) = A/B, . . . , In(A/B) = A/B 6= 0, v« lý. VËy suy ra A 6= IA + B. Do ®ã m«®un th­¬ng A/(B + IA) cña A/B còng kh¸c 0, nªn còng lµ p-thø cÊp. Theo Bæ ®Ò 1.3.2 ta cã dim(A/(B + IA)) = dim(R/p) > s. §iÒu nµy dÉn ®Õn dim(A/IA) ≥ dim(A/(B + IA) > s, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 23 m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. V× vËy I 6⊆ p víi mäi p ∈ AttRA tho¶ m·n dim(R/p) > s. Do ®ã tån t¹i x ∈ I sao cho x /∈ p víi mäi p ∈ AttRA tháa m·n dim(R/p) > s. Suy ra x lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I . Nh­ ®· biÕt, nÕu R̂ lµ vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ th× ®èi ngÉu Matlis cho ta mét t­¬ng ®­¬ng gi÷a ph¹m trï c¸c m«®un Artin vµ ph¹m trï c¸c m«®un Noether. Ch¼ng h¹n, AttR̂A = AssR̂D(A), N-dimA = dimR̂D(A) vµ WidthRA = depthR̂D(A). Tuy nhiªn, nÕu R kh«ng lµ vµnh ®Çy ®ñ th× viÖc chøng minh ®ßi hái ph¶i hÕt søc cÈn thËn. KÕt qu¶ sau ®©y, ®· ®­îc chøng minh trong [14, Bæ ®Ò 2.5] mµ kü thuËt chÝnh lµ chuyÓn lªn vµnh ®Çy ®ñ, sau ®ã sö dông ®èi ngÉu Matlis vµ ®Þa ph­¬ng ho¸ lµ bæ ®Ò cã tÝnh chÊt kü thuËt cho viÖc chøng minh c¸c kÕt qu¶ tiÕp theo cña ch­¬ng. Bæ ®Ò 2.2.4. Mét d·y (x1, . . . , xk) c¸c phÇn tö cña m lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s nÕu vµ chØ nÕu (x1, . . . , xk) lµD(A)p̂-d·y chÝnh quy nghÌo víi mäi p̂ ∈ Var(AnnR̂A) tho¶ m·n dim(R/p̂∩R) > s, trong ®ã xi lµ ¶nh cña xi trong R̂p̂ víi i = 1, . . . , k. Chøng minh. Cho (x1, . . . , xk) lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Gi¶ sö r»ng tån t¹i p̂ ∈ Var(AnnR̂A) tho¶ m·n dim(R/p̂ ∩ R) > s sao cho (x1, . . . , xk) kh«ng lµ d·y chÝnh quy nghÌo cña (D(A))p̂. Khi ®ã, theo §Þnh nghÜa 1.5.1 tån t¹i j ∈ {1, . . . , k} sao cho xj ∈ q̂R̂p̂ víi q̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂(D(A))p̂/(x1, . . . , xj−1)(D(A))p̂). Chó ý r»ng theo Bæ ®Ò 1.1.4, ta cã (D(A))p̂/((x1, . . . , xj−1)D(A))p̂ ∼= ( D(A)/(x1, . . . , xj−1)D(A) ) p̂ ∼= ( D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) ) p̂ (∗) lµ R̂p̂-m«®un h÷u h¹n sinh. V× thÕ q̂ ∈ AssR̂ ( D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) ) vµ v× vËy xj ∈ q̂ ∈ AttR̂(0 :A (x1, . . . , xj−1)R). Theo MÖnh ®Ò 1.2.4 ta cã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 24 xj ∈ q̂ ∩ R ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) . Chó ý r»ng qˆ ⊆ pˆ cho nªn dim(R/q̂ ∩ R) ≥ dim(R/p̂ ∩ R) > s. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt (x1, . . . , xk) lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Ng­îc l¹i, cho (x1, . . . , xk) lµ d·y chÝnh quy nghÌo cña (D(A))p̂, víi mäi p̂ ∈ Var(AnnR̂A) tho¶ m·n dim(R/p̂ ∩ R) > s. Gi¶ sö r»ng (x1, . . . , xk) kh«ng lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Theo §Þnh nghÜa 2.1.1 ph¶i tån t¹i chØ sè j sao cho xj ∈ p víi p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) tháa m·n dim(R/p) > s. Tõ MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i q̂ ∈ AttR̂(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) sao cho q̂∩R = p. Suy ra q̂ ∈ AssR̂ ( D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) ) (theo MÖnh ®Ò 1.2.4). L¹i theo Bæ ®Ò 1.1.4 ta cã ®¼ng cÊu (*) nh­ ë trªn, ®iÒu nµy dÉn ®Õn xj ∈ q̂R̂q̂ ∈ AssR̂q̂ ( (D(A))q̂/(x1, . . . , xj−1)(D(A))q̂ ) . Do ®ã theo ®Þnh nghÜa th× x1, . . . , xk kh«ng lµ d·y chÝnh quy nghÌo cña (D(A))q̂ víi dim(R/q̂∩R) = dim(R/p) > s, ®iÒu nµy dÉn ®Õn m©u thuÉn, v× vËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. KÕt qu¶ tiÕp theo lµ sù më réng cña [15, MÖnh ®Ò 3.6], [15, §Þnh lý 3.9] víi kü thuËt chÝnh ®Ó chøng minh lµ sö dông kÕt qu¶ cña Bæ ®Ò 2.2.4 vµ tÝnh chÊt δ-hµm tö ®ång ®iÒu cña hµm tö xo¾n Tor, tÝnh chÊt chiÒu Krull cña d·y khíp c¸c m«®un céng víi mèi liªn hÖ gi÷a tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña m«®un më réng Ext vµ tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un xo¾n Tor trªn vµnh ®Þa ph­¬ng ®Çy ®ñ. Bæ ®Ò 2.2.5. Cho n ≥ 0 lµ mét sè nguyªn. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) dim(TorRi (R/I,A)) 6 s víi mäi i < n. (ii) Tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n. Chøng minh. (i)⇒(ii). Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 25 Cho n = 1. Khi ®ã dim(TorR0 (R/I,A)) 6 s. Tõ ®¼ng cÊu TorR0 (R/I,A) ∼= A/IA nªn dim(A/IA) 6 s. Theo Bæ ®Ò 2.2.3 tån t¹i phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I . Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng kÕt qu¶ ®· ®óng cho tr­êng hîp n− 1. Khi ®ã tån t¹i phÇn tö x1 ∈ I lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s theo Bæ ®Ò 2.2.3. Tõ hai d·y khíp 0 −→ 0 :A x1 −→ A x1−→ x1A −→ 0 0 −→ x1A −→ A −→ A/x1A −→ 0, ¸p dông tÝnh chÊt δ-hµm tö ®ång ®iÒu cña hµm tö Tor ta cã c¸c d·y khíp sau TorRi+1(R/I, x1A) −→ TorRi (R/I, 0 :A x1) −→ TorRi (R/I,A); TorRi+1(R/I,A/x1A) −→ TorRi (R/I, x1A) −→ TorRi (R/I,A) −→ TorRi (R/I,A/x1A). V× x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s nªn theo Bæ ®Ò 2.2.2 ta cã dim(A/x1A) 6 s. Do ®ã dim(TorRi (R/I,A/x1A)) 6 s víi mäi i. V× thÕ tõ d·y khíp thø hai ta cã dim(TorRi (R/I, x1A)) 6 s, ¸p dông kÕt qu¶ nµy vµo d·y khíp thø nhÊt vµ tõ gi¶ thiÕt (i) ta cã dim(TorRi (R/I, 0 :A x1)) 6 s víi mäi i < n−1. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, ph¶i tån t¹i d·y c¸c phÇn tö x2, . . . , xn lµ 0 :A x1-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n− 1. V× vËy x1, . . . , xn lµ mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n. (ii)⇒(i). Cho x1, . . . , xn lµA-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu> s trong I. Ta cÇn chøng minh r»ng dim(TorRi (R/I,A)) 6 s víi mäi i < n. Gi¶ sö tån t¹i k s. Khi ®ã, theo Bæ ®Ò 1.3.2, tån t¹i c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p ∈ AttR(TorRk (R/I,A)) sao cho dim(R/p) > s. Theo MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i p̂ ∈ AttR̂(TorRk (R/I,A)) sao cho p̂∩R = p. V× p ∈ AttR(TorRk (R/I,A)), ta cã p ⊇ AnnR(TorRk (R/I,A)) theo MÖnh ®Ò 1.2.3. Do ®ã IR̂ ⊆ p̂. V× dim(R/(p̂ ∩ R)) = dim(R/p) > s vµ x1, . . . , xn lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I , nªn theo Bæ ®Ò 2.2.4 ta cã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 26 x1, . . . , xn lµ D(A)p̂-d·y chÝnh quy nghÌo, trong ®ã xi lµ ¶nh cña xi trong R̂p̂. V× vËy, theo MÖnh ®Ò 1.5.4, ta cã Exti R̂p̂ (R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂) = 0 víi mäi i < n. Do ®ã, theo MÖnh ®Ò 1.4.5 p̂ /∈ SuppR̂ ExtiR̂(R̂/IR̂,D(A)) = Var(AnnR̂(ExtiR̂(R̂/IR̂,D(A))) = Var(AnnR̂(Tor R̂ i (R̂/IR̂, A))) = Var(AnnR̂(Tor R i (R/I,A))) víi mäi i < n. Theo MÖnh ®Ò 1.2.3 ta cã p̂ /∈ AttR̂(TorRk (R/I,A)), ®iÒu nµy v« lý. V× vËy, dim(TorRi (R/IR,A)) 6 s víi mäi i < n. Nh¾c l¹i r»ng ®èi víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh M ta xÐt mét tÝnh chÊt c¬ b¶n sau: Gi¶ sö p lµ i®ªan nguyªn tè cña R chøa AnnRM . Khi ®ã p ∈ SuppRM vµ do ®ãMp 6= 0. Theo Bæ ®Ò Nakyama ta suy ra (M/pM)p = Mp/pMp 6= 0. Do ®ã p ∈ Supp(M/pM), nghÜa lµ p ⊇ AnnR(M/pM). V× vËy ta lu«n cã tÝnh chÊt AnnR(M/pM) = p, víi mäi i®ªan nguyªn tè chøa AnnRM . Mét c©u hái tù nhiªn ®­îc ®Æt ra lµ liÖu cã mét tÝnh chÊt t­¬ng tù nh­ vËy cho mäi m«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n bÊt kú hay kh«ng, nghÜa lµ nÕu ký hiÖu V (AnnRA) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña R chøa AnnRA th× liÖu r»ng cã ®¼ng thøc AnnR(0 :A p) = p,∀p ∈ V (AnnRA) hay kh«ng. C©u tr¶ lêi cho c©u hái nµy nh×n chung kh«ng ®óng víi mäi p ∈ Var(AnnRA), (xem [4, VÝ dô 4.3]), vµ líp m«®un tho¶ m·n tÝnh chÊt trªn ®­îc gäi lµ tÝnh chÊt (∗) hay tÝnh chÊt linh ho¸ tö. Bæ ®Ò sau cho ta tÝnh chÊt linh ho¸ tö cña c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Artin. Bæ ®Ò 2.2.6. Cho p ∈ AttRA. Khi ®ã AnnR(0 :A p) = p. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 27 Chøng minh. V× p ∈ AttRA nªn theo MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i p̂ ∈ AttR̂A sao cho p̂ ∩ R = p. H¬n n÷a, tõ p̂ ∈ Var(AnnR̂A), ta suy ra p̂ ⊇ AnnR̂A. Mµ ta l¹i cã AnnR̂A = AnnR̂D(A) theo MÖnh ®Ò 1.1.3 nªn p̂ ⊇ AnnR̂D(A). Do ®ã p̂ ⊇ Var(AnnR̂D(A)) suy ra AnnR̂ ( D(A)/p̂D(A) ) = p̂. Theo Bæ ®Ò 1.1.4 ta cã AnnR̂(0 :A p̂) = p̂. Do ®ã p ⊆ AnnR(0 :A p) ⊆ AnnR̂(0 :A p̂) ∩R = p̂ ∩R = p. V× vËy, Ann(0 :A p) = p §Þnh lý sau lµ kÕt qu¶ chÝnh cña ch­¬ng cho ta mét tÝnh chÊt thó vÞ vÒ sù lu«n tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ sù më réng chóng thµnh d·y cã ®é dµi tèi ®¹i, ®Æc biÖt ®Æc tr­ng ®­îc ®é dµi tèi ®¹i cña A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s th«ng qua chiÒu Krull cña m«®un xo¾n Tor cña A. §Ó chøng minh ®Þnh lý nµy, ngoµi viÖc ¸p dông c¸c tÝnh chÊt cña d·y ®èi chÝnh quy vµ chiÒu Krull th× tÝnh chÊt linh ho¸ tö trong Bæ ®Ò 2.2.6 còng ®ãng mét vai trß rÊt quan träng. §Þnh lý 2.2.7. Cho I lµ mét i®ªan cña R. (i) NÕu dimR(0 :A I) 6 s th× víi mçi sè nguyªn n > 0 lu«n tån t¹i mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n. (ii) NÕu dimR(0 :A I) > s th× mçi A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã thÓ më réng ®­îc thµnh d·y cã ®é dµi tèi ®¹i vµ tÊt c¶ c¸c A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i víi chiÒu > s trong I ®Òu cã chung ®é dµi, h¬n n÷a ®é dµi chung ®ã chÝnh lµ sè nguyªn i nhá nhÊt sao cho dimR(Tor R i (R/I,A)) > s. Chøng minh. (i). Cho n > 0 lµ mét sè nguyªn. Ta sÏ chøng minh b»ng quy n¹p theo n r»ng tån t¹i mét d·y c¸c phÇn tö trong i®ªan I lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s cã ®é dµi n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 28 Cho n = 1 vµ p ∈ AttRA sao cho dim(R/p) > s. Khi ®ã theo Bæ ®Ò 2.2.6 ta cã AnnR(0 :A p) = p. V× thÕ nÕu I ⊆ p th× (0 :A I) ⊇ (0 :A p) vµ do ®ã dimR(0 :A I) ≥ dimR(0 :A p) = dim(R/AnnR(0 :A p)) = dim(R/p) > s, (theo Bæ ®Ò 1.3.2) m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt dimR(0 :A I) 6 s. VËy suy ra I 6⊆ p víi mäi p ∈ AttRA tho¶ m·n dim(R/p) > s. Do ®ã tån t¹i phÇn tö x1 ∈ I sao cho x1 /∈ p víi mäi p ∈ AttRA tho¶ m·n dim(R/p) > s hay nãi c¸ch kh¸c x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I. Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng tån t¹i d·y x1, . . . , xn−1 c¸c phÇn tö trong I lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Cho i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) sao cho dim(R/p) > s. Khi ®ã theo Bæ ®Ò 2.2.6 ta cã AnnR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p) = p. V× vËy nÕu I ⊆ p th× dimR(0 :A I) = dimR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R I) ≥ dimR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p) = dim(R/AnnR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p)) = dim(R/p) > s, m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. Do ®ã tån t¹i xn ∈ I sao cho xn /∈ p víi mäi p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) tho¶ m·n dim(R/p) > s, vµ d·y x1, . . . , xn lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã ®é dµi n. (ii). §Æt dimRA = dim(R/AnnRA) = d. V× (0 :A I) ⊆ A nªn ta cã thÓ gi¶ sö r»ng dimR(0 :A I) = d−k > s, trong ®ã k ≥ 0 lµ mét sè nguyªn. Ta sÏ chØ ra r»ng mçiA-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu> s trong I cã ®é dµi nhiÒu nhÊt lµ k. ThËt vËy, gi¶ sö ®iÒu ng­îc l¹i. Khi ®ã tån t¹i d·y x1, . . . , xk+1 c¸c phÇn tö trong I lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. Tr­íc hÕt, ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n = 1, . . . , k+1 r»ng dimR(0 :A (x1, . . . , xn)R) 6 d−n. Cho n = 1 vµ p ∈ Var(AnnRA) sao cho dim(R/p) = d. Khi ®ã p ∈ AttRA theo MÖnh ®Ò 1.2.3. V× d ≥ d− k > s vµ x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 29 chiÒu > s, nªn suy ra x1 /∈ p theo §Þnh nghÜa 2.2.1. Do ®ã theo Bæ ®Ò 1.3.2 dimR(0 :A x1) = dim(R/Ann(0 :A x1)) 6 dim(R/(x1R+AnnRA)) = d−1, v× thÕ kh¼ng ®Þnh ®óng cho tr­êng hîp n = 1. Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng kh¼ng ®Þnh ®· ®óng cho tr­êng hîp n− 1, nghÜa lµ dimR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) = t 6 d− n+ 1. V× dimR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) ≥ dimR(0 :A I) nªn ta cã t ≥ d − k > s. V× xn lµ phÇn tö 0 :A (x1, . . . , xn−1)R-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s, nªn theo MÖnh ®Ò 1.2.3 suy ra xn /∈ p víi mäi p ∈ Var(AnnR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R)) tho¶ m·n dim(R/p) = t. V× thÕ dimR(0 :A (x1, . . . , xn)R) = dim ( R/Ann(0 :A (x1, . . . , xn)R) ) 6 dim ( R/(xnR + AnnR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R)) ) = t− 1 6 d− n, vµ kh¼ng ®Þnh ®­îc chøng minh. B©y giê, dïng kh¼ng ®Þnh trªn cho tr­êng hîp n = k + 1 ta cã d− k = dimR(0 :A I) 6 dimR(0 :A (x1, . . . , xk+1)R) 6 d− k − 1. §iÒu nµy v« lý. V× vËy, ®é dµi cña mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I nhiÒu nhÊt lµ k. Do ®ã, mçi mét A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I cã thÓ më réng ®­îc thµnh d·y tèi ®¹i. Cho x1, . . . , xm vµ y1, . . . , ym′ lµ hai A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i víi chiÒu > s trong I . Gi¶ sö r»ng m 6= m′ vµ m < m′. Theo Bæ ®Ò 2.2.5 ta cã dimR(Tor R i (R/I,A)) 6 s víi mäi i < m′. Ta sÏ chøng minh b»ng quy n¹p theo n = 1, . . . ,m r»ng dimR(Tor R i (R/I, 0 :A (x1, . . . , xn)R)) 6 s víi mäi i < m′ − n. Cho n = 1. Nh­ chøng minh trong Bæ ®Ò 2.2.5, ta cã c¸c Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 30 d·y khíp TorRi+1(R/I, x1A) −→ TorRi (R/I, 0 :A x1) −→ TorRi (R/I,A); TorRi+1(R/I,A/x1A) −→ TorRi (R/I, x1A) −→ TorRi (R/I,A) −→ TorRi (R/I,A/x1A). Do x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s, ta cã dimR(A/x1A) 6 s theo Bæ ®Ò 2.2.2. V× thÕ dimR(Tor R i (R/I,A/x1A)) 6 s víi mäi i. Do ®ã tõ c¸c d·y khíp trªn ta nhËn ®­îc dimR(Tor R i (R/I, 0 :A x1)) 6 s víi mäi i < m′ − 1. V× vËy kh¼ng ®Þnh ®óng cho tr­êng hîp n = 1. Cho n > 1 vµ gi¶ sö r»ng mÖnh ®Ò ®· ®óng cho tr­êng hîp n − 1, nghÜa lµ dimR(Tor R i (R/I,A ′)) 6 s víi mäi i < m′ − n + 1, trong ®ã A′ = 0 :A (x1, . . . , xn−1)R. Chó ý r»ng xn lµ phÇn tö A′-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. V× vËy b»ng lý luËn t­¬ng tù nh­ chøng minh ë trªn, ta cã dimR(Tor R i (R/I, 0 :A′ xn)) 6 s, ®iÒu nµy t­¬ng ®­¬ng víi dimR(Tor R i (R/I, 0 :A (x1, . . . , xn)R)) 6 s víi mäi i < m′ − n, hay kh¼ng ®Þnh ®­îc chøng minh. Do m′ > m, nªn ¸p dông kh¼ng ®Þnh trªn cho tr­êng hîp n = m th× dimR(Tor R 0 (R/I, 0 :A (x1, . . . , xm)R)) 6 s. Theo Bæ ®Ò 2.2.3, tån t¹i phÇn tö trong I lµ phÇn tö 0 :A (x1, . . . , xm)R-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s. §iÒu nµy m©u thuÉn víi tÝnh tèi ®¹i cña d·y (x1, . . . , xm). V× thÕ, tÊt c¶ c¸c A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I ®Òu cã chung ®é dµi, ®ã chÝnh lµ sè nguyªn nhá nhÊt i sao cho dimR(Tor R i (R/I,A)) > s. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 31 Ch­¬ng 3 Mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor VÉn ký hiÖu nh­ c¸c ch­¬ng tr­íc, ch­¬ng nµy dµnh ®Ó tr¶ lêi mét phÇn vÊn ®Ò ®­îc ®Æt ra bëi L. Melkerson vµ P. Schenzel [11], ®ã lµ t×m ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c tËp⋃ n>0 AttR ( TorRi (R/I n, A) ) vµ ⋃ n>0 AssR ( ExtiR(R/I n,M) ) lµ h÷u h¹n. Mét phÇn cña vÊn ®Ò trªn ®· ®­îc tr¶ lêi bëi M. Brodmann vµ L. T. Nhan n¨m 2008. B»ng viÖc ®­a ra kh¸i niÖm ®é réng víi chiÒu > s, kÕt qu¶ chÝnh cña ch­¬ng nµy lµ chøng minh ®­îc tËp ⋃ n>0 AttR ( TorRi (R/I n, A) ) lµ h÷u h¹n khi n ®ñ lín. 3.1 §é réng víi chiÒu > s NÕu nh­ kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy dÉn tíi kh¸i niÖm ®é réng cña m«®un Artin th× tõ kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ §Þnh lý 2.2.7 cho phÐp ta ®­a ra kh¸i niÖm ®é réng víi chiÒu > s nh­ sau. §Þnh nghÜa 3.1.1. NÕu dimR(0 :A I) > s th× ®é dµi cña mét A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i víi chiÒu > s trong I ®­îc gäi lµ ®é réng víi chiÒu > s Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 32 trong I øng víi A vµ ®­îc ký hiÖu bëi Width>s(I, A). Trong tr­êng hîp dimR(0 :A I) 6 s ta ®ÆtWidth>s(I, A) =∞. Chó ý 3.1.2. NÕu s = −1 th×Width>−1(I, A) = Width(I, A), chÝnh lµ ®é réng cña A trong I theo nghÜa cña A. Ooshi [15]. Sau ®©y ta nh¾c l¹i mét kÕt qu¶ ®· ®­îc chøng minh trong [14]. Bæ ®Ò 3.1.3. [14, HÖ qu¶ 2.6] NÕu x1, . . . , xk lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s th× xn11 , . . . , x nk k còng lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s víi mäi sè nguyªn d­¬ng n1, . . . , nk. Chøng minh. Cho (x1, . . . , xk) lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ n1, . . . , nk lµ c¸c sè nguyªn. Theo Bæ ®Ò 2.2.4 ta cã (x1, . . . , xk) lµ (D(A))p̂- d·y chÝnh quy nghÌo víi mäi i®ªan p̂ ∈ Var(AnnR̂A) tho¶ m·n tÝnh chÊt dim(R/p̂∩R)) > s. Do ®ã (xn11 , . . . , xnkk ) lµ (D(A))p̂-d·y chÝnh quy nghÌo víi mäi p̂ ∈ Var(AnnR̂A) tho¶ m·n dim(R/p̂∩R)) > s theo Chó ý 1.5.2. V× vËy xn11 , . . . , x nk k lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s theo Bæ ®Ò 2.2.4. Tõ kÕt qu¶ trªn, nÕu (a1, . . . , ak) lµ c¸c phÇn tö sinh cña I th× víi mäi bé c¸c sè nguyªn d­¬ng n, n1, . . . , nk ta cã Width>s(I, A) = Width>s(I n, A) = Width>s((a n1 1 , . . . , a nk k )R,A). Ta cã nhËn xÐt r»ng víi mçi sè nguyªn i, R-m«®un TorRi (R/I,A) = 0 nÕu vµ chØ nÕu nã còng lµ R̂-m«®un 0. H¬n n÷a, dimR(Tor R i (R/I,A)) > 0 nÕu vµ chØ nÕu dimR̂(Tor R i (R/I,A)) > 0. Do ®ã ta cã hÖ qu¶ sau. HÖ qu¶ 3.1.4. Víi mçi i®ªan I cña R ta cã (i)Width(I, A) = Width(IR̂, A). (ii)Width>0(I, A) = Width>0(IR̂, A). (iii)Width>s(I, A) 6Width>s(IR̂, A). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 33 Chøng minh. Theo §Þnh lý 2.2.7, Width>s(I, A) chÝnh lµ sè nguyªn i nhá nhÊt ®Ó dim(TorRi (R/I,A)) > s. (i) Gi¶ söWidth(I, A) = n. Khi ®ã n chÝnh lµ ®é dµi cña A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i trong I theo nghÜa cña A. Ooishi [15] trong tr­êng hîp s = −1. V× thÕ, theo §Þnh lý 2.1.6, ta cã TorRi (R/I,A) = 0 víi mäi i < n. Theo nhËn xÐt trªn, ®iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi TorR̂i (R̂/IR̂, A) = 0 víi mäi i < n, khi vµ chØ khiWidth(IR̂, A) = n. (ii) Cho x1, . . . , xn lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > 0 trong I , theo ®Þnh nghÜa ta cã xi /∈ p, víi mäi p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) tho¶ m·n dimR/p > 0, nghÜa lµ xi tr¸nh tÊt c¶ c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt p trong tËp AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) trõ i®ªan cùc ®¹i m. Do ®ã n chÝnh lµ sè nguyªn d­¬ng nhá nhÊt ®Ó dim(TorRn (R/I,A)) > 0. Theo nhËn xÐt trªn, khi vµ chØ khi n còng chÝnh lµ sè nguyªn d­¬ng nhá nhÊt sao cho dim(TorR̂n (R̂/IR̂, A)) > 0, khi vµ chØ khi n = Width>0(IR̂, A). (iii) Gi¶ sö x1, . . . , xn lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I . Ta cÇn chøng minh r»ng x1, . . . , xn còng lµ A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong IR̂. B»ng quy n¹p ta chØ cÇn chøng minh cho tr­êng hîp n = 1. V× x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I nªn theo ®Þnh nghÜa, x1 /∈ p, víi mäi p ∈ AttRA tho¶ m·n dimR/p > s. Gi¶ sö x1 kh«ng lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong IR̂. Khi ®ã tån t¹i q̂ ∈ AttR̂A sao cho x1 ∈ q̂ vµ dim(R̂/q̂) > s. Theo MÖnh ®Ò 1.2.4, ta cã q̂ ∩ R = q ∈ AttRA. Suy ra x1 ∈ q vµ s < dim(R̂/q̂) 6 dim(R̂/qR̂) = dimR/q̂ ∩R = dimR/q. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong I . Do ®ã x1 lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy víi chiÒu > s trong IR̂. Theo hÖ qu¶ trªn, ta cã bÊt ®¼ng thøcWidth>s(I, A) 6Width>s(IR̂, A) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 34 vµ dÊu ®¼ng thøc chØ x¶y ra trong tr­êng hîp s 6 0. Tuy nhiªn, trong tr­êng hîp s > 0, dÊu ®¼ng thøc kh«ng cßn ®óng n÷a. Lý do lµ nh×n chung ta cã {p ∈ AttRA | dim(R/p) > s} 6⊆ {p̂ ∩R | p̂ ∈ AttRA, dim(R̂/p̂) > s}. V× thÕ, cã thÓ cã nh÷ng d·y (x1, . . . , xk) c¸c phÇn tö trong I lµ d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s cña R̂-m«®un A nh­ng kh«ng lµ d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s cña R-m«®un A, dÉn tíiWidth>s(I, A) s(IR̂, A). V× vËy, cÇn ph¶i cÈn thËn khi chuyÓn qua ®Çy ®ñ vµ dïng ®èi ngÉu Matlis. VÝ dô sau minh häa cho ®iÒu nµy. VÝ dô 3.1.5. Tån t¹i mét vµnh Noether ®Þa ph­¬ng (S, n), i®ªan I cña S vµ S-m«®un Artin A sao cho dimS A = 3, dimŜ A = 2 vµ Width>1(I, A) 1(IŜ, A), trong ®ã Ŝ lµ n-adic ®Çy ®ñ cña S. Chøng minh. Cho (R,m) lµ miÒn ®Þa ph­¬ng Noether chiÒu 2 ®­îc x©y dùng bëi D. Ferrand vµ M. Raynaud [5] sao cho tån t¹i nh÷ng i®ªan nguyªn tè nhóng p̂ ∈ Ass R̂ tháa m·n dim(R̂/p̂) = 1. V× H1m(R) ∼= H1mR̂(R̂) nh­ R̂-m«®un, theo [1, §Þnh lý 11.3.3] ta cã {p̂ ∈ Ass R̂ | dim(R̂/p̂) = i} = AttR̂H imR̂(R̂) nªn suy ra p̂ ∈ AttR̂H1m(R). V× thÕ dimR̂(H 1 m(R)) = dim R̂/AnnR̂(H 1 m(R)) = max{dim R̂/p̂, p̂ ∈ AttR̂(H1m(R))} ≥ dim(R̂/p̂) = 1 theo Bæ ®Ò 1.3.2. MÆt kh¸c, ta lu«n cã dimR̂(H 1 m(R)) 6 1 theo [17, MÖnh ®Ò 3.8]. V× thÕ dimR̂(H 1 m(R)) = 1. V× p̂ ∈ Ass R̂, nªn p̂∩R ∈ AssR. Do R lµ miÒn nguyªn nªn AnnR = 0, dÉn ®Õn AssR = 0. Suy ra p̂ ∩ R = 0. V× p̂ ∈ AttR̂(H1m(R)), nªn theo MÖnh ®Ò 1.2.4 ta cã p̂∩R = 0 ∈ AttR(H1m(R)). Do ®ã, theo Bæ ®Ò 1.3.2, dimR(H 1 m(R)) = 2. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 35 B©y giê, cho R[[x]] lµ vµnh c¸c chuçi lòy thõa h×nh thøc mét biÕn x víi hÖ sè trong R. Khi ®ã theo §Þnh lý c¬ së Hilbert, R[[x]] lµ miÒn nguyªn Noether chiÒu 3, depthR[[x]] = 2 v× R lµ miÒn nguyªn vµ m /∈ AssR, i®ªan cùc ®¹i duy nhÊt cña R[[x]] lµ (m, x)R[[x]] vµ R̂[[x]] lµ vµnh ®Çy ®ñ theo t« p« (m, x)R[[x]]-adic cña R[[x]]. V× p̂ ∈ Ass R̂, nªn theo ®Þnh nghÜa tån t¹i phÇn tö a ∈ R̂ sao cho p̂ = AnnR̂ a. §Æt p̂[[x]] = { ∞∑ i=0 aix i ∈ R̂[[x]] | ai ∈ p̂,∀i } . Khi ®ã ta cã thÓ kiÓm tra ®­îc r»ng p̂[[x]] lµ i®ªan nguyªn tè cña R̂[[x]] vµ AnnR̂[[x]] a = { ∞∑ i=0 aix i ∈ R̂[[x]] | ∞∑ i=0 (aai)x i = 0 } = p̂[[x]]. Do ®ã p̂[[x]] ∈ Ass(R̂[[x]]) vµ dim(R̂[[x]]/p̂[[x]]) = dim(R̂/p̂)[[x]]) = 2. Theo [1, §Þnh lý 11.3.3] suy ra p̂[[x]] ∈ AttR̂[[x]] ( H2 (m,x)R̂[[x]] (R̂[[x]]) ) = AttR̂[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) . VËy, l¹i theo [17, MÖnh ®Ò 3.8] vµ Bæ ®Ò 1.3.2 ta cã dimR̂[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) = 2. V× p̂[[x]] ∈ Ass(R̂[[x]]) ∩ AttR̂[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) , nªn ta cã p̂[[x]] ∩R[[x]] ∈ Ass(R[[x]]) ∩ AttR[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) . V× thÕ p̂[[x]] ∩ R[[x]] = 0 vµ dimR[[x]] ( H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) ) = 3 theo Bæ ®Ò 1.3.2. V× depthR[[x]] = 2 vµ dimR[[x]] = 3 nªn H i(m,x)R[[x]](R[[x]]) = 0 víi i 3. Do ®ã, tõ d·y khíp ng¾n 0 −→ R[[x]] x−→ R[[x]] −→ R[[x]]/xR[[x]] −→ 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 36 ta cã d·y khíp dµi . . . −→ 0 −→ H1(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) −→ H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x−→ H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) −→ H2(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) −→ 0 . . . V× thÕ ta cã ®¼ng cÊu gi÷a c¸c R[[x]]-m«®un H1(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) ∼= (0 :H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x). Chó ý r»ng H1(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) cã cÊu tróc tù nhiªn lµ R-m«®un vµ nã ®¼ng cÊu víi H1m(R). Do ®ã dimR[[x]] ( 0 :H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x ) = 2 vµ dimR̂[[x]] ( 0 :H2(m,x)R[[x]](R[[x]]) x ) = 1. B©y giê, ta chän S = R[[x]], I = xR[[x]] vµ A = H2(m,x)R[[x]](R[[x]]). Khi ®ã A lµ S-m«®un Artin, dimS A = 3, dimŜ A = 2, dimS(0 :A I) = 2, dimŜ(0 :A I) = 1. Theo §Þnh lý 2.2.7 ta cã: 1. V× dimŜ(0 :A I) = 1 nªn víi mçi sè nguyªn n, ®Òu tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > 1 trong IR̂ nªnWidth>1(IŜ, A) =∞. 2. V× dimS(0 :A I) = 2 > 1, nªn lu«n tån t¹i A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > 1 trong I . Do dimŜ A = 2 = N-dimRA nªn theo [15] ta cã 0 1(I, A) < N-dimA = 2 nªn suy raWidth>1(I, A) = 1. VËy ta cãWidth>1(I, A) 1(IR̂, A). 3.2 KÕt qu¶ h÷u h¹n Tr­íc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò sau ®©y b»ng kü thuËt t­¬ng tù nh­ chøng minh c¸c kÕt qu¶ cña ch­¬ng 2. §ã lµ chuyÓn lªn vµnh ®Çy ®ñ, sö dông ®èi ngÉu Matlis, ®¼ng cÊu gi÷a c¸c m«®un Ext, Tor trªn vµnh ®Çy ®ñ vµ tÝnh chÊt giao ho¸n cña hµm tö ®Þa ph­¬ng hãa víi c¸c hµm tö Ext, Tor. KÕt qu¶ nµy ®ãng vai trß then chèt trong viÖc chøng minh ®Þnh lý chÝnh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 37 Bæ ®Ò 3.2.1. Cho t lµ mét sè nguyªn. §Æt Pt = t−1⋃ i=0 Var(AnnR ( TorRi (R/I,A) ) . Khi ®ã AttR ( TorRt (R/I n, A) ) ∪ Pt = AttR (TorRt (R/(an11 , . . . , ankk ), A)) ∪ Pt = AttR ( TorRt (R/I,A) ) ∪ Pt víi mçi hÖ sinh (a1, . . . , ak) cña I vµ mäi sè nguyªn d­¬ng n, n1, . . . , nk. Chøng minh. Cho p ∈ AttR ( TorRt (R/I n, A) ) ∪ Pt sao cho p /∈ Pt. Khi ®ã theo MÖnh ®Ò 1.2.4, tån t¹i i®ªan nguyªn tè p̂ ∈ AttR̂ ( TorRt (R/I n, A) ) sao cho p̂ ∩R = p. V× p /∈ Pt, nªn theo c¸ch x¸c ®Þnh Pt ta cã p̂ /∈ Var (AnnR̂ (TorRi (R/I,A))) = Var (AnnR̂ (TorR̂i (R̂/IR̂, A))) víi mäi i < t. Do ®ã theoMÖnh ®Ò 1.4.5 ta cã p̂ /∈ SuppR̂ ( Exti R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) víi mäi i < t. V× thÕ MÖnh ®Ò 1.4.5 Exti R̂p̂ ( R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂ ) ∼= (Exti R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) p̂ = 0 víi mäi i < t. Do ®ã depth(IR̂p̂, D(A)p̂) ≥ t theo MÖnh ®Ò 1.5.4. §iÒu nµy suy ra depth(InR̂p̂, D(A)p̂) ≥ t theo Chó ý 1.5.2. NÕu depth(InR̂p̂, D(A)p̂) > t th× l¹i ¸p dông MÖnh ®Ò 1.5.4 ta suy ra ®­îc Extt R̂p̂ (R̂p̂/I nR̂p̂, D(A)p̂) = 0 hay p̂ /∈ SuppR̂ ( Extt R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) . V× vËy, p̂ /∈ Var (AnnR̂(ExttR̂(R̂/InR̂,D(A)))) = Var (AnnR̂ (TorR̂t (R̂/InR̂, A))). V× thÕ p̂ /∈ AttR̂ ( TorRt (R/I n, A) ) theo MÖnh ®Ò 1.2.3, ®iÒu nµy m©u thuÉn víi c¸ch chän p̂. Do ®ã, depth(InR̂p̂, D(A)p̂) = t = depth(IR̂p̂, D(A)p̂). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 38 V× vËy, tõ rad(I) = rad(In) vµ theo MÖnh ®Ò 1.5.4 ta cã AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/I nR̂p̂, D(A)p̂) ) = AssR̂p̂ ( H t InR̂p̂ (D(A)p̂) ) = AssR̂p̂ ( H t IR̂p̂ (D(A)p̂) ) = AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂) ) . V× p̂ ∈ AttR̂ ( TorRt (R/I n, A) ) , nªn suy ra p̂ ∈ AssR̂ ( Extt R̂ (R̂/InR̂,D(A)) ) , vµ v× vËy p̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/I nR̂p̂, D(A)p̂) ) . Theo kÕt qu¶ trªn ta suy ra p̂R̂p̂ ∈ AssR̂p̂ ( Extt R̂p̂ (R̂p̂/IR̂p̂, D(A)p̂) ) . V× vËy p̂ ∈ AssR̂ ( Extt R̂ (R̂/IR̂,D(A)) ) = AttR̂ ( TorRt (R/I,A) ) . Suy ra ta cã AttR ( TorRt (R/I n, A) ) ∪ Pt ⊆ AttR (TorRt (R/I,A)) ∪ Pt. Chó ý r»ng ta lu«n cã c¸c ®¼ng thøc depth(IR̂p̂, D(A)p̂) = depth(I nR̂p̂, D(A)p̂) = depth((an11 , . . . , a nk k )R̂p̂, D(A)p̂). nªn c¸c bao hµm thøc cßn l¹i cña bæ ®Ò còng ®­îc chøng minh t­¬ng tù. Víi viÖc ®­a ra ®Þnh nghÜa ®é réng víi chiÒu > s vµ chøng minh ®­îc tÝnh chÊt æn ®Þnh cña hîp c¸c tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un xo¾n Tor trong Bæ ®Ò trªn ®· gióp ta chøng minh ®­îc kÕt qu¶ quan träng vµ còng lµ kÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n, ®ã lµ tÝnh chÊt h÷u h¹n cña tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un xo¾n Tor khi n ®ñ lín. §Ó tiÖn cho viÖc theo dâi ta kÝ hiÖu (AttRA)≥s = {p ∈ AttRA | dim(R/p) ≥ s}. §Þnh lý 3.2.2. ChoWidth>s(I, A) = r. Khi ®ã (i) TËp ( ⋃ n∈N AttR(Tor R t (R/I n, A)) ) >s lµ h÷u h¹n víi mäi t 6 r. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 39 (ii) TËp ( ⋃ n1,...,nk∈N AttR(Tor R t (R/(a n1 1 , . . . , a nk k )R,A ) ≥s lµ h÷u h¹n víi mäi t 6 r, trong ®ã (a1, . . . , ak) lµ hÖ sinh cña I . Chøng minh. §Æt Pt = t−1⋃ i=0 Var ( AnnR(Tor R i (R/I,A)) ) víi mçi sè nguyªn t sao cho t 6 r. Cho n ≥ 0 lµ mét sè nguyªn vµ p ∈ ⋃ n ( AttR(Tor R t (R/I n, A)) ) ≥s. V× t 6 r = Width>s(I, A), nªn theo §Þnh lý 2.2.7 suy ra dimR(Tor R i (R/I n, A)) 6 s víi mäi i < t. NÕu dim(R/p) > s th× ¸p dông Bæ ®Ò 1.3.2 ta cã p /∈ Pt. Do ®ã, p ∈ AttR(TorRt (R/I,A)) theo Bæ ®Ò 3.2.1. NÕu dim(R/p) = s th× p ∈ AttR(TorRt (R/I,A)) ∪ Pt theo Bæ ®Ò 3.2.1. Gi¶ sö r»ng p /∈ AttR(TorRt (R/I,A)). Khi ®ã p ∈ Pt. V× vËy p ∈ Var(AnnR(TorRh (R/I,A))) víi h s(I, A), nªn ta cã dim(TorRh (R/I n, A)) 6 s theo §Þnh lý 2.2.7. Do ®ã p lµ phÇn tö tèi thiÓu cña tËp Var(AnnR(Tor R h (R/I,A))), vµ v× vËy p ∈ AttR(TorRh (R/I,A)) theo Bæ ®Ò 1.2.3. V× vËy, ta ®· chøng minh ®­îc ⋃ n ( AttR Tor R t (R/I n, A) ) ≥s ⊆ t⋃ i=0 AttR ( TorRi (R/I,A) ) , vµ v× thÕ ⋃ n ( AttR Tor R t (R/I n, A) ) ≥s lµ tËp h÷u h¹n. Mét c¸ch hoµn toµn t­¬ng tù ta còng chøng minh ®­îc ⋃ n1,...,nk (AttR Tor R t (R/(a n1 1 , . . . , a nk k )R,A) ) ≥s ⊆ t⋃ i=0 AttR(Tor R i (R/I,A)), vµ ®Þnh lý ®­îc chøng minh. KÕt qu¶ sau ®©y lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña §Þnh lý chÝnh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 40 HÖ qu¶ 3.2.3. Gi¶ sö r»ng s 6 1. Cho Width>s(I, A) = r. Khi ®ã tËp⋃ n ( AttR Tor R t (R/I n, A) ) vµ tËp ⋃ n1,...,nk ( AttR Tor R t (R/(a n1 1 , . . . , a nk k )R,A) ) lµ tËp h÷u h¹n víi mçi sè nguyªn t 6 r vµ mçi hÖ sinh (a1, . . . , ak) cña I. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 41 KÕt luËn Tãm l¹i, trong luËn v¨n nµy chóng t«i ®· tr×nh bµy vµ chøng minh chi tiÕt c¸c kÕt qu¶ trong bµi b¸o: "A finiteness result for attached primes of certain Tor-modules" cña L. T. Nhan vµ N. T. Dung (2010). KÕt qu¶ chÝnh cña luËn v¨n gåm c¸c néi dung sau. 1. HÖ thèng mét sè tÝnh chÊt cña m«®un Artin cã liªn quan ®Õn néi dung cña luËn v¨n: cÊu tróc cña m«®un Artin, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether, d·y ®èi chÝnh quy vµ ®é réng cña m«®un Artin. Tr×nh bµy kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh chÊt cña hµm tö më réng vµ hµm tö xo¾n, kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh chÊt cña d·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un. 2. Nghiªn cøu vÒ d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s: ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt, ®iÒu kiÖn lu«n tån t¹i cña d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ ®Æc tr­ng ®é dµi tèi ®¹i cña d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s th«ng qua chiÒu Krull cña m«®un con xo¾n Tor. 3. §­a ra kh¸i niÖm ®é réng víi chiÒu > s vµ tõ ®ã chøng minh kÕt qu¶ h÷u h¹n cña tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 42 Tµi liÖu tham kh¶o [1] M. Brodmann, and R. Y. Sharp (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge. [2] M. Brodmann, Asymptotic stability of Ass(M/InM), Proc., America Math. Soc., (1) 74 (1979), 16-18. [3] M. Brodmann and L.T. Nhan, A finiteness result for associated primes, J. Al., (4) 87 (2008), 596-600. [4] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2002), "On Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J. Math., 30, pp. 121-130. [5] Ferrand D. and M. Raynaud (1970), "Fibres formelles d'un anneau local Noetherian," Ann. Sci. E'cole Norm. Sup., 3 (4), pp. 295-311. [6] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of local cohomology module, J. Alg., 252 (2002), 161-166. [7] Kirby D. (1973), "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart. J. Math. Oxford (Ser. 2) 24 (2), pp. 47-57. [8] Kirby, D. (1990), "Dimension and length for Artinian modules", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2) 41 (2), pp. 419-429. [9] Macdonald, I. G. (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica. 11, pp. 23-43. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 43 [10] Matsumura, H. (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univer- sity press. [11] L. Melkersson and P. Schenzel Asymptotic prime ideals related to drived funtors Proc. Ame. Math. Soc. 4 117 (1993), 935-938. [12] Nagata M., (1962), Local ring, Interscience, New York. [13] L. T. Nhan and N. T. Dung, "A finiteness property for attached primes of certain Tor-modules", Algebra Colloquium, to appear, (2010). [14] L. T. Nhan and N. V. Hoang, A finiteness result for attached primes of local cohomology, Submit in Commutative Algebra, (2008). [15] A. Ooishi, Matlis duallity and the width of a module, Hiroshima Math. J. 6 (1976), 573-587. [16] Roberts, R. N. (1975), "Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2) 26, pp. 269-273. [17] R. Y. Sharp, Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime ideals, J. London Math. Soc., (2) 34 (1986), 212-218. [18] Sharp, R. Y. (1989) "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic Behaviour," in: Commutative Algebra, Math. Sci. Res. Inst. Publ. No. 15, Spinger-Verlag, New York, pp. 443-465. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên