MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
LỜI NÓI ĐẦU
Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình đã và đang được nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu trong cả trường hợp một biến và nhiều biến phức.
Lý thuyết về họ chuẩn tắc đã có nhiều ứng dụng và có mối liên hệ mật thiết
với Giải tích phức hyperbolic. Mục đích của đề tài này là trình bày lại kết quả
của J. E. Joseph và M. H. Kwach [19] về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình
nhiều biến phức và ứng dụng trong việc mở rộng một số định lý cổ điển của
giải tích phức lên trường hợp nhiều biến.
Bố cục của luận văn được chia làm ba chương:
Chương I: Những kiến thức chuẩn bị
Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của Giải
tích phức hyperbolic. Đồng thời, trình bày một số khái niệm và một số tính
chất của chọ chuẩn tắc, họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình. Những kiến
thức này sẽ là cơ sở cho việc nghiên cứu ở các chương sau.
Chương II: Họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic
Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu một số tính chất quan trọng
của họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình trên các đa tạp hyperbolic. Những
kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong việc tổng quát hóa một số định lý cổ
điển của Brody Lohwater và Pommerenke, Lehto và Virtanen, Hahn,
Zaidenberg. Cuối chương, giới thiệu các khái niệm và một số kết quả về các
ánh xạ chuẩn tắc và họ chuẩn tắc đều của các ánh xạ chỉnh hình của nhiều tác
giả khác nhau.
Chương III: Họ chuẩn tắc đều trên các không gian phức và tổng quát
hóa các định lý cổ điển của Schottky, Lappan, Bohr về các họ chuẩn tắc đều
MỤC LỤC
Lời nói đầu . 1
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị . 3
1.1 Một số khái niệm cơ bản 3
1.2 Họ các ánh xạ chuẩn tắc . 5
Chương II: Họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic . 11
2.1 Một số tính chất của họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic 11
2.2 Tổng quát hóa một số định lý cổ điển của giải tích phức đối với họ
chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic 20
2.3 Một số ví dụ về các họ chuẩn tắc đều 26
Chương III: Họ chuẩn tắc đều trên các không gian phức và tổng quát hóa
các định lý cổ điển của Schottky, Lappan, Bohr về các họ chuẩn tắc đều 29
3.1 Một số tính chất của họ chuẩn tắc đều trên không gian phức tùy ý 29
3.2 Tổng quát hóa một số định lý cổ điển của giải tích phức đối với họ
chuẩn tắc đều trên các không gian phức tùy ý 32
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo . 43
48 trang |
Chia sẻ: maiphuongtl | Lượt xem: 1975 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Một số định lý cổ điển và họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức nhiều biến, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
hông gian X vào không gian compact hóa một điểm Alexandroff của
không gian Y.
1.2.14 Mệnh đề
Giả sử
,Y
là một không gian metric compact địa phương, X là một
không gian tôpô và cho
là giả metric trên X,
liên tục trên
.X X
Khi
đó, nếu với mỗi
,f F C X Y
là giảm khoảng cách tương ứng với
,
thì F là compact tương đối trong
, .C X Y
Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra rằng họ F là liên tục đồng đều từ X vào
.Y
Thật vậy, ta giả sử ngược lại họ F không liên tục đồng đều từ X vào
.Y
Khi đó, tồn tại các điểm
; ,p X q s Y
và các dãy
;p X f F
sao
cho
, , , .p p s q f p s f p q
+) Nếu
q Y
thì với mỗi
ta có:
, , , , , .f p q f p f p f p q p p f p q
Do đó,
, 0f p q
và
.q s
Suy ra mâu thuẫn.
+) Nếu
s Y
thì với mỗi
ta có:
, , , .f p s p p f p s
Do đó,
, 0f p s
và
.q s
Suy ra mâu thuẫn.
Vậy F là liên tục đồngđều từ X vào
.Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
CHƯƠNG II
HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU TRÊN CÁC ĐA TẠP HYPERBOLIC
Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu các tính chất của họ chuẩn
tắc đều trên các đa tạp hyperbolic. Từ đó, chúng tôi áp dụng những tính chất
này để tổng quát hóa một số định lý của Brody, của Hahn, và của Zaidenberg;
đồng thời những tính chất này cũng được sử dụng để đưa ra một định lý tương
tự định lý của Aladro và Krantz. Hơn nữa, với những tính chất này ta còn có
được những kết quả quan trọng trong chương 3.
2.1 Một số tính chất của họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic
Brody đã chứng minh được định lý sau (xem [25], trang 68)
2.1.1 Định lý
Cho X là một không gian con phức compact tương đối của không gian
phức Y. Khi đó, nếu X không là nhúng hyperbolic trong Y thì tồn tại các dãy
,n nr g
sao cho
0, ,
nn n r
r g H D X
và một ánh xạ khác hằng
,g H Y
thỏa mãn
n
r
và
n
g g
trên các tập con compact của
.
Nhận xét. Trong định lý trên ta có thể giả sử rằng
.
n
r n
Thật vậy, trước hết ta giả sử
1
1r
và
1
1
n n
r r
. Nếu k là một số
nguyên dương và
1
k r
thì đặt
1
;
k
f g
nếu
1n n
r k r
thì đặt
1
.
k n
f g
Khi
đó, ta có
,k kf H D X
và
k
f g
trên các tập con compact của
.
2.1.2 Định nghĩa
Cho X, Y là các không gian phức và
, .F H X Y
Khi đó:
(1) Một dãy Brody đối với F là một dãy
n nf g
, trong đó
n
f F
và
, .n ng H D X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
(2) Một ánh xạ
,h C Y
được gọi là một giới hạn Brody đối với F nếu
tồn tại một dãy Brody
nh
đối với F sao cho
n
h h
trên các tập con
compact của
.
Nhận xét. Nếu Y là một không gian con phức compact tương đối của một
không gian phức Z, và X là một không gian phức thì các dãy Brody đối với
,F H X Y
sẽ đồng nhất với các đường cong chỉnh hình của Zaidenberg
và các giới hạn Brody đối với F sẽ đồng nhất với các ánh xạ F - giới hạn của
Zaidenberg (xem [31]).
2.1.3 Bổ đề
Cho M là một đa tạp hyperbolic, Y là một không gian phức với một
hàm độ dài E và
,f H M Y
. Khi đó:
0 : , , 0 ,
0 : , : , .
df p sup df H D M p p M
df sup df H D M sup df H D M
Chứng minh. Cho
, pp M v T M
thỏa mãn
, 1MK p v
và cho
0.
Khi đó, tồn tại
,H D M
và
0r
sao cho
0 , 0 ,p d re v
và
1 .r
, , 0 , 0, 1 0
1 0 : , , 0
1 : ,
1 .
E f p df p v E f df re df
sup df H D M p
sup df H D M
df
Từ đó suy ra các đẳng thức cần chứng minh.
2.1.4 Định lý
Cho M là một đa tạp hyperbolic, Y là không gian phức và họ
, .F H M Y
Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
(1) F là chuẩn tắc đều.
(2) Với mỗi đa tạp phức
,
,F H M
là tập con liên tục đồng đều
của
, .H Y
(3)
,F H D M
là tập con liên tục đồng đều của
, .H D Y
(4) Tồn tại một hàm độ dài E trên Y sao cho với mỗi
f F
ta có
1.
E
df
(5) Tồn tại một hàm độ dài E trên Y sao cho với mỗi dãy Brody
nh
đối
với F, ta có
0 , 0, 0.n nE h dh e
(6) Tồn tại một hàm độ dài E trên Y sao cho với mỗi dãy Brody
nh
đối
với F có cùng một giá trị giới hạn Brody, ta có
0 , 0, 0.n nE h dh e
Chứng minh
Hiển nhiên ta có
1 2 3 & 5 6 .
3 4 .
Ta có với mỗi hàm độ dài E trên Y và tập compact
,Q Y
tồn tại
0c
sao cho
df p c
trên
1f Q
với mỗi
f F
.
Thật vậy, ta giả sử ngược lại, nếu tồn tại một tập compact
Q Y
không
thỏa mãn điều kiện trong phát biểu trên đối với hàm độ dài E thì khi đó tồn tại
các dãy
, ,n n np f v
và
,q Q
trong đó
, , ,
nn n n p
p M f F v T M
, , 1,n n M n n n nf p Q K p v f p q
và
, , .n n n n nE f p df p v n
Theo bổ đề 2.1.3, suy ra
n ndf p
và tồn tại một dãy
,n H D M
thỏa mãn:
0n np
và
0 .n ndf
Cho V là một lân cận compact tương đối của q nhúng hyperbolic trong Y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Theo
3
, vì
,F H D M
là tập con liên tục đồng đều của
,H D Y
nên tồn
tại một số
0 1r
sao cho
.n n rf D V
Mặt khác, có một dãy con là hạn chế của
n nf
trên
r
D
mà ta vẫn ký hiệu
là
,n nf
là chuẩn tắc đều và do đó ta có dãy
n nf
là compact tương đối
trong
, .rH D Y
Suy ra, tồn tại một dãy con của dãy
n nf
hội tụ tới
, .rh H D Y
Điều này
mâu thuẫn với
0 .n ndf
Vậy
4
được chứng minh.
4 5 .
Cho E là hàm độ dài thỏa mãn
4
. Nếu
n nf
là một dãy Brody đối
với F thì ta có:
0 , 0, 0 , 0,
1
0, 0 khi .
n
n n n n M n n
D
E f df e K d e
K e n
n
Do đó,
5
đúng.
4 1 .
Từ
4
suy ra tồn tại hàm khoảng cách
E
d
trên Y sao cho với mỗi
,f F H D M
là ánh xạ giảm khoảng cách từ
D
k
tới
E
d
. Khi đó, từ mệnh
đề 1.2.9 và 1.2.14 suy ra
1
đúng.
6 4 .
Giả sử
4
sai, khi đó với bất kỳ hàm độ dài E trên Y tồn tại các dãy
nf F
và
,n H D M
thỏa mãn
0 .n ndf
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Khi đó, ta có tồn tại một dãy Brody
ng
và giới hạn Brody g đối với F thỏa
mãn
n
g g
trên các tập con compact của và thỏa mãn:
0 , 0 1.n nE g dg
Điều này mâu thuẫn với
6 .
Suy ra
4
đúng.
Vậy định lý hoàn toàn được chứng minh.
Nhận xét. Ta có thể nói thêm rằng điều kiện
4
của định lý 2.1.4 là tổng
quát hóa định lý của Lehto và Virtanen [26] vì mọi hàm độ dài trên các không
gian phức compact là tương đương. Hahn [11] đã tổng quát hóa định lý này
với
, ,nf H P
trong đó
là miền thuần nhất bị chặn trong
.n
Việc chứng minh
6 4
trong định lý trên có thể chứng minh bằng
một cách khác với lập luận tương tự chứng minh khi tổng quát định lý cổ điển
của Lohwater và Pommerenke [26] trong định lý 2.2.5 của chương này.
2.1.5 Định lý
Hàm phân hình
1:f D P
là chuẩn tắc khi và chỉ khi
.df
2.1.6 Hệ quả
Cho M là một đa tạp hyperbolic,
,F H M Y
là họ chuẩn tắc đều. Khi đó:
(1) Mọi dãy Brody đối với F đều có một dãy con hội tụ tới một giới
hạn Brody đối với F trên các tập con compact của .
(2) Mọi giới hạn Brody đối với F đều là hằng.
Chứng minh. Trước hết, từ
4
trong định lý 2.1.4 suy ra tồn tại hàm độ dài
E trên Y thỏa mãn F làm giảm khoảng cách từ
M
k
tới
E
d
.
Chứng minh
1 .
Nếu m là một số nguyên dương và
ng
là một dãy Brody đối với F thì với
mỗi
:ng G g n m
là ánh xạ giảm khoảng cách từ
mD
k
tới
E
d
.
Vì vậy, theo mệnh đề 1.2.14 suy ra G là compact tương đối trong
, .mC D Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chứng minh
2 .
Giả sử
ng
là một dãy Brody đối với F và g là một giới hạn Brody đối với F
thỏa mãn
n
g g
trên các tập con compact của
.
Khi đó:
+) Nếu
,p q
và
,g p g q Y
thì với n đủ lớn ta có:
, , .
nE n n D
d g p g q k p q
Vì
, 0
nD
k p q
nên
.g p g q
+) Nếu
g p
thì từ tính liên tục của g và tính liên thông của ta
có
g q
vì
g Y
có nhiều nhất là một điểm. Hệ quả được chứng minh.
Hệ quả sau là một tiêu chuẩn đối với họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp
hyperbolic.
2.1.7 Hệ quả
Giả sử M là một đa tạp hyperbolic, Y là một không gian phức và
,F H M Y
thỏa mãn
F x
là compact tương đối trong Y với mỗi
.x M
Khi đó, F là họ chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu mỗi giới hạn Brody đối
với F là hằng.
Chứng minh. Trước hết, theo
2
của hệ quả 2.1.6 thì ta có nếu F là họ chuẩn
tắc đều thì mỗi giới hạn Brody đối với F là hằng.
Ngược lại, giả sử với mỗi giới hạn Brody đối với F là hằng nhưng F
không là họ chuẩn tắc đều. Khi đó, giới hạn Brody g được xây dựng trong
phần chứng minh
6 4
của định lý 2.1.4 không là hằng vì
0g Y
. Hơn
nữa,
n
g g
mà
0 , 0 1n nE g dg
nên
0 , 0 1.E g dg
Do đó,
0.dg
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Suy ra F là họ chuẩn tắc đều. Vậy hệ quả
được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Trong trường hợp đối với mặt cầu Riemann
1P
ta có kết quả sau.
2.1.8 Hệ quả
Cho M là một đa tạp hyperbolic,
, .F H M
Khi đó, các mệnh đề
sau tương đương:
(1) F là chuẩn tắc đều.
(2) F là chuẩn tắc đều như là một tập con của
1, .H M P
(3) Nếu g là một giới hạn Brody đối với F và
,g H
thì g là hằng.
Chứng minh. Từ hệ quả 2.1.7 và bổ đề Hurwitz ta có ngay các kết luận của
hệ quả 2.1.8.
Tiếp theo, từ những kết quả trên về giới hạn của các dãy Brody, chúng
ta có một số tính chất đặc trưng của không gian hyperbolic và không gian
nhúng hyperbolic. Nhưng trước hết, ta đưa ra khái niệm không gian phức
hyperbolic Brody như sau:
2.1.9 Định nghĩa
Một không gian phức Y được gọi là hyperbolic Brody nếu mỗi ánh xạ
chỉnh hình
,f H Y
đều là ánh xạ hằng.
Nhận xét. Không gian phức
Y
là hyperbolic Brody nếu và chỉ nếu mọi giới
hạn Brody đối với ánh xạ đồng nhất
:i Y Y
với giá trị trong
Y
là hằng . Tức
là, nếu
,f H Y
và
nf
là một dãy thỏa mãn
,n nf H D Y
và
n
f f
trên các tập con compact của
,
thì
f
là hằng.
Các hệ quả 2.1.10 – 2.1.12 là đặc trưng của không gian hyperbolic và
không gian nhúng hyperbolic thông qua dãy Brody.
2.1.10 Hệ quả
Một không gian phức Y là hyperbolic khi và chỉ khi tồn tại một hàm độ
dài E trên Y sao cho
0 , 0, 0n nE f df e
với mỗi dãy
nf
thỏa mãn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
,n nf H D Y
và
,nf g C Y
trên các tập con compact của
,
trong
đó ánh xạ g là hằng.
Chứng minh. Ta có nếu
Y
là hyperbolic thì
,H D Y
là compact tương đối
trong
, .C D Y
Ngược lại, giả sử
,H D Y
compact tương đối trong
,C D Y
nhưng
không là hyperbolic. Khi đó, trong
Y
có hai điểm phân biệt
0 0
,x y
sao cho
0 0, 0.Yk x y
Lấy các lân cận compact tương đối
,U V
của
0
x
sao cho
V U
và
0
.y U
Với mỗi
n
ta đều có
,n nf H D Y
sao cho
0nf V
nhưng
1/ .n nf D U
Thật vậy, nếu có một số nguyên dương n
sao cho
0nf V
kéo theo
1/n nf D U
với mỗi
, .f H D Y
Khi đó, từ
định nghĩa
Y
k
ta có
0 0, 0, 1/ 0.Y Dk x y n
Điều này mâu thuẫn với giả
thiết. Từ đó, ta thấy rằng với mỗi số nguyên dương n đều có
,n nf H D Y
và
1/n n
t D
sao cho
0nf V
nhưng
.n nf t U
Vì
,H D Y
compact tương đối trong
,C D Y
nên
nf
có dãy con
kn
f
hội tụ tới
,f H D Y
. Mặt khác, theo trên ta có
k kn n
f t
không hội
tụ tới
0 .f V
Suy ra mâu thuẫn.
Do đó,
Y
là hyperbolic khi và chỉ khi
,H D Y
compact tương đối
trong
,C D Y
. Đặt
, .F H D Y
Khi đó,
Y
là hyperbolic
,F H D Y
là
tập con chuẩn tắc đều của
,C D Y
Tồn tại hàm độ dài E trên
Y
sao cho
0 , 0, 0n nE f df e
với mỗi dãy Brody
nf
đối với F có giới hạn Brody.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Vậy
Y
là không gian hyperbolic khi và chỉ khi tồn tại hàm độ dài E
trên
Y
sao cho
0 , 0, 0n nE f df e
với mỗi dãy Brody
nf
, trong đó
,n nf H D Y
và
, .nf g H Y
2.1.11 Hệ quả
Một không gian con phức Y của không gian phức Z là nhúng
hyperbolic trong Z khi và chỉ khi tồn tại một hàm độ dài E trên Z sao cho
0 , 0, 0n nE f df e
với mỗi dãy
nf
thỏa mãn
,n nf H D Y
và
,nf g C Z
trên các tập con compact của
;
trong đó ánh xạ g là hằng.
Chứng minh. Ta có, Y là nhúng hyperbolic trong Z
,H D Y
compact
tương đối trong
,H D Z
,F H D Y
là tập con chuẩn tắc đều của
,H D Z
tồn tại một hàm độ dài E trên Z sao cho
0 , 0, 0n nE f df e
với mỗi dãy
nf
thỏa mãn
,n nf H D Y
và
,nf g C Y
trên các tập con compact của
;
trong đó g cần phải là
hàm hằng.
2.1.12 Hệ quả
Giả sử Y là một không gian con phức compact tương đối của không
gian phức Z. Khi đó, Y không là nhúng hyperbolic trong Z nếu và chỉ nếu tồn
tại hàm
,g H Z
và một dãy
ng
sao cho
, ,n ng H D Y
n
g g
trên
các tập con compact của
.
Chứng minh. Ta có Y không là nhúng hyperbolic trong Z
,H D Y
không compact tương đối trong
,H D Z ,F H D Y
không là tập con
chuẩn tắc đều của
,H D Z
.
Vì Y là compact tương đối nên
F x
compact tương đối trong Y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Do đó, theo hệ quả 2.1.7 thì F không là họ chuẩn tắc đều khi và chỉ khi có
một giới hạn Brody đối với F không là hằng. Vậy Y không là nhúng
hyperbolic trong Z khi và chỉ khi tồn tại
, , ,n ng H D Y g H Z
thỏa mãn
n
g g
trên các tập con compact của
.
Hệ quả được chứng minh.
2.2 Tổng quát hóa một số định lý cổ điển của giải tích phức đối với họ
chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic
Trong phần này, ta sẽ áp dụng những tính chất của họ chuẩn tắc đều các
ánh xạ chỉnh hình trên các đa tạp hyperbolic để tổng quát hóa một số định lý
cổ điển trong giải tích phức.
2.2.1 Định nghĩa
Một hàm phân hình
f
trên D được gọi là chuẩn tắc nếu dãy
:f A D
là chuẩn tắc theo nghĩa của Montel, tức là dãy
f
chứa một dãy con hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compact hoặc là phân
kỳ compact, trong đó
A D
là nhóm các tự đẳng cấu bảo giác của D.
Năm 1957, Lehto và Virtanen [26] đã chứng minh được kết quả cổ
điển sau:
2.2.2 Định lý
Một hàm phân hình
1:f D P
là chuẩn tắc nếu
.df
Khi đó, vì tất cả các hàm độ dài trên những không gian phức là tương
đương nên chúng ta thấy rằng mệnh đề
4
trong định lý 2.1.4 chính là sự
tổng quát hóa định lý 2.2.2 của Lehto và Virtanen đối với ánh xạ chỉnh hình
, .f F H M Y
Mặt khác, năm 1986, Hahn [7] đã chứng minh được kết
quả này đối với hàm chỉnh hình
, ,nf H P
trong đó
là một miền
bị chặn thuần nhất trong
.n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Năm 1991, Aladro và Krantz [5] đã chứng minh được định lý sau
2.2.3 Định lý
Giả sử
là một miền hyperbolic trong n và M là một đa tạp Hermit
đầy đủ thì họ
,F H M
không là chuẩn tắc khi và chỉ khi tồn tại tập
compact
Q
và các dãy
, ,n n np Q f F
với
0, 0
n n
và
một dãy
nv
các véctơ đơn vị Ơclit trong
,n
sao cho dãy
,ng H M
xác định bởi
n n n n ng z f p v z
hội tụ đều trên các tập con compact của
đến một hàm nguyên g khác hằng.
2.2.4 Hệ quả
Giả sử M là một đa tạp hyperbolic, Y là một không gian phức và
,F H M Y
. Khi đó, F không là chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu với mỗi hàm
độ dài E trên Y, tồn tại một dãy Brody
ng
đối với F và một giới hạn Brody g
đối với F sao cho
n
g g
và
lim 0 , 0, 0.n nE g dg e
Ta chú ý rằng, nếu
g Y
thì g không là ánh xạ hằng.
Từ hệ quả 2.2.4, ta có kết quả sau chính là sự tổng quát hóa định lý của
Lohwater và Pommerenke [26] năm 1973 đối với họ các ánh xạ phân hình
chuẩn tắc cho trường hợp họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình từ miền D
vào một không gian phức tùy ý.
2.2.5 Định lý
Cho Y là một không gian phức và
, .F H D Y
Khi đó, F không là
chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu với mỗi hàm độ dài E trên Y, tồn tại các dãy
, , 0;n n nf F p D r
và
n
thỏa mãn các điều kiện sau:
(1)
0, 0,
1
n
n
n
r
r
p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
(2)
,
nn s
H D D
được xác định bởi
n n nz p zr
, trong đó
1
1 ,
n n
n
s p
r
(3)
, ,n nf g C Y
(4)
lim , , 1n n n nsupE f z df z e với z và
0 , 0, 1.n n n nE f df e
Hơn nữa, nếu
g Y
thì trong điều kiện
3
g sẽ không cần là
hàm hằng.
Chứng minh
Điều kiện đủ được suy ra từ hệ quả 2.2.4 và nhận xét ở mục 2.1.1.
Để chứng minh điều kiện cần, giả sử F không là chuẩn tắc đều và cho E
là một hàm độ dài trên Y.
Suy ra, tồn tại các dãy
,n nz D f F
thỏa mãn
.n ndf z
Lấy
0
n
xác định bởi:
2
2
2
2
2
1
khi 7 1
4
2
khi 7 1.
1
n
n
n
n
n
z
z
z
z
Khi đó,
n
thỏa mãn các điều kiện sau:
a)
2 2
2
11
;1 ; ; 1
4 2
nn
n n n
n
zz
z
và ta có thể giả sử
b)
2
1 , , .n
n n n n
n
z
E f z df z e
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Đặt
2
1 , , : .
n n n n
n
z
M max E f z df z e z
Giả sử
n
M
đạt được tại
,
n
p
đặt
1
.
, ,
n
n n n n
r
E f p df p e
Ta có
0.n
n n
r
p
Giả sử
, 0.
1
n
n
n
r
M
p
Đặt 1
.n
n
n
p
s
r
Định nghĩa
,
nn s
H D D
xác định bởi
n n nz p zr
.
Cho
0, .
n
r s r
Với
r
z D
ta có:
1
2
1 1
, , , ,
1
1 . 1 .
n n n n n n n n n
n n
n n
n
n n
n n n n
E f z df z e r E f z df z e
p zr
r M
r r r r
p p
và biểu thức vế phải của bất đẳng thức cuối cùng dần tới 1.
Do đó,
n nf
là liên tục đồng đều trên
r
D
ứng với metric Euclid trên
r
D
và
E
d
trên Y.
Từ mệnh đề 1.2.14 suy ra
n nf
là compact tương đối trong
,rC D Y
.
Do đó ta có thể giả sử
, .n nf g C Y
Dễ thấy điều kiện
1 , 2 , 3
được thỏa mãn bởi
, , , .n n n nf p r
Mặt khác, ta có
0 , 0, 1.n n n nE f df e
Vậy
4
đúng.
Định lý hoàn toàn được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
Giả sử M là đa tạp hyperbolic thuần nhất. Ta ký hiệu
A M
là không
gian các tự đẳng cấu của M. Định lý 2.2.6 sau đây là một đặc trưng cho họ
chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic thuần nhất và hệ quả 2.2.7 chỉ ra rằng
tại sao chúng ta lại sử dụng thuật ngữ “họ chuẩn tắc đều”.
2.2.6 Định lý
Cho M là một đa tạp hyperbolic thuần nhất, Y là không gian phức và
, .F H M Y
Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(1) F là chuẩn tắc đều.
(2)
F A M
là một tập con liên tục đồng đều của
, .H M Y
(3)
F A M
là compact tương đối trong
, .C M Y
(4)
,F H M M
là compact tương đối trong
, .C M Y
Chứng minh
1 2 .
Điều này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa 1.2.6 và mệnh
đề 1.2.4.
2 3 .
Giả sử
3
không xảy ra. Ta cần chỉ ra rằng
F A M
là
liên tục đồng đều từ M vào
.Y
Thật vậy, giả sử
,x M p Y
và
, ,n n nx f
là các dãy tương ứng trong
M, F và
A M
thỏa mãn
,n n nx x f x
và
.n n nf x p
Lấy các tự đẳng cấu
n A M
thỏa mãn
.n nx x
Suy ra
n n n
f
không là liên tục đồng đều từ x tới p. Do đó,
2
không
xảy ra.
3 1 .
Ta sẽ chỉ ra rằng
,F H D M
là một tập con liên tục đồng
đều của
,H M Y
.
Thật vậy, giả sử
,F H D M
không là liên tục đồng đều từ
0 D
đến
.p Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
Suy ra tồn tại các dãy
, ,n n nz D f F H D M và một lân cận U
của p trong Y sao cho
0, 0n n nz f p
và
.n n nf z U
Lấy
, na M A M
thỏa mãn
0 .n na
Khi đó, ta có
n nf a p
và
1 .n n n n nf z U
Vì mọi ánh xạ
f A M
đều bảo toàn khoảng cách hyperbolic; và mỗi
,f H D M
đều l giảm khoảng cách đối với
D
k
và
M
k
nên ta có
1 , , , 0 ,0 .M n n M n n n M n n n D nk z a k z a k z k z
Mặt khác, vì
0
n
z
nên suy ra
1 , 0M n nk z a
.
Do đó
1 .n n nz a
Suy ra mâu thuẫn với giả thiết của mệnh đề
3
.
Vậy
,F H D M
là một tập con liên tục đồng đều của
,H M Y
. Theo định
lý 2.1.4 suy ra F là chuẩn tắc đều.
3 4 .
Do
F A M
là compact tương đối trong
,C M Y
nên
F A M
là liên
tục đều từ
M
đến
.Y
Như vậy, với mỗi
,x M y Y
và mọi
U y
trong Y đều có
V x
trong M và
W y
trong Y sao cho
: : .f F A M f x W f F A M f V U
Suy ra với mỗi
,x M y Y
và mọi
U y
trong Y đều có
V x
trong M và
W y
trong
Y
sao cho
: : .f F A M f x W f F A M f V U
Nói cách khác,
F A M
là liên tục đồng từ M đến Y.
Vì
,F A M H M Y
nên
F A M
là tập con liên tục đồng đều của
, .H M Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
26
4 1 .
Vì
,F A M F H M M
nên chứng minh tương tự như
3 1
ta có
điều phải chứng minh.
2.2.7 Hệ quả
Giả sử M là một đa tạp hyperbolic thuần nhất, Y là một không gian
phức và giả sử họ
,F H M Y
thỏa mãn
.F F A M
Khi đó:
(1) Flà chuẩn tắc đều khi và chỉ khi F là compact tương đối trong
, ;C M Y
(2) Nếu
,M D Y
thì F là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi F là chuẩn tắc
theo định nghĩa của Wu [30].
Chứng minh. Sự khẳng định
1
được suy ra từ mệnh đề 1.2.7 và mệnh đề
4
của định lý 2.1.4. Sự khẳng định
2
được suy ra từ
1
và bổ đề
Hurwitz.
Nhận xét. Hayman [15] gọi
1,F H D P
là bất biến nếu
F F A D
và gọi một họ bất biến là chuẩn tắc đều nếu nó là họ chuẩn tắc
theo định nghĩa của Montel.
2.3 Một số ví dụ về các họ chuẩn tắc đều
2.3.1 Ví dụ
Giả sử
1,f H D P
và
D
là một đĩa đóng và ký hiệu
là
biên của
,
cho
J f
và
L f
lần lượt là diện tích cầu của
f
và độ dài cầu của
.f
Lấy
0h
và
1, :F h f H D P J f hL f D víi mçi ®Üa ®ãng
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
27
Khi đó, Hayman ([15], trang 164) đã chứng chỉ ra rằng
F h
là bất
biến và chuẩn tắc theo định nghĩa của Montel. Do đó,
F h
là chuẩn tắc đều
theo hệ quả 2.2.7.
2.3.2 Ví dụ
Giả sử M là một đa tạp phức,
0,r
và
1,F H M P
là một họ các
ánh xạ sao cho với mỗi
f F
tồn tại các điểm
1, ,f f fa b c P f M
với
, , , ,f f f f f fa b c b c a r
trong đó
là metric cầu. Khi đó,
Carathéodory ([6], trang 202) đã chứng minh rằng
,F H D M
là chuẩn tắc
theo định nghĩa của Montel. Vì vậy F là chuẩn tắc đều.
Tất cả những ánh xạ xác định trong các ví dụ 2.3.3 – 2.3.9 là những ánh
xạ chuẩn tắc theo định nghĩa 1.2.5.
2.3.3 Ví dụ
Lehto và Virtanen [27] đã định nghĩa ánh xạ
1,f H P
là
chuẩn tắc nếu
f A
là một họ chuẩn tắc theo định nghĩa của Montel,
trong đó
là một miền thuần nhất bị chặn trong
.
2.3.4 Ví dụ
Hahn [16] định nghĩa ánh xạ
,f H Y
là chuẩn tắc nếu
,f H D
là chuẩn tắc theo định nghĩa của Wu [30], trong đó
là một
miền bị chặn trong n và Y là một không gian con phức compact tương đối
của một đa tạp Hermit.
2.3.5 Ví dụ
Funahashi [9] định nghĩa ánh xạ
,f H Y
là chuẩn tắc nếu
f A
là compact trong
,H Y
, trong đó
là một miền thuần nhất bị
chặn trong n và Y là một không gian phức.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
28
2.3.6 Ví dụ
Cima và Krantz [7] định nghĩa ánh xạ
1,f H P
là chuẩn tắc
nếu
, ,df z v cK z v
với mỗi
0,c
trong đó
là một miền hyperbolic
trong
.n
Hơn nữa, họ cũng chỉ ra rằng
f
là chuẩn tắc khi và chỉ khi
,f H D
là compact tương đối trong
1, .H P
2.3.7 Ví dụ
Krantz ([23], trang 115) định nghĩa ánh xạ
,f H
là một ánh xạ
Bloch nếu
, ,df p v cK p v
với mỗi
0,c
trong đó
là một miền
hyperbolic trong
.n
2.3.8 Ví dụ
Aladro và Krantz [5] định nghĩa ánh xạ
,f H Y
là chuẩn tắc nếu
tồn tại một số
0c
sao cho
, , , ,E f p df p v cK p v
trong đó
là
một miền hyperbolic trong n và Y là một đa tạp Hermitian phức đầy đối với
hàm độ dài Hermit E.
2.3.9 Ví dụ
Giả sử Y là các không gian phức và X là không gian con phức compact
tương đối trong Y. Đặt
1, , | \ .X YF f Hol D Y f Y X
gåm nhiÒu nhÊt mét ®iÓm
Joseph và Kwack [18] đã chứng minh rằng một không gian con phức
X
của một không gian phức
Y
là nhúng hyperbolic trong
Y
khi và chỉ khi
,X Y
F
là compact tương đối trong
,C D Y
và do đó
X
nhúng hyperbolic
trong
Y
khi và chỉ khi
, ,X YF H D Y
là một họ chuẩn tắc đều.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
29
CHƢƠNG III
HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU TRÊN CÁC KHÔNG GIAN PHỨC
VÀ TỔNG QUÁT HÓA CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN
CỦA SCHOTTKY, LAPPAN, BOHR VỀ
CÁC HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU
Trong chương này ta sử dụng những kết quả trong chương I và II để
nghiên cứu tính chất của các họ chuẩn tắc đều trên những không gian phức
tùy ý, đồng thời tổng quát hóa một số định lý cổ điển của Schottky, Hayman
và Lappan bằng cách thay thế những miền bị chặn trong bởi những không
gian phức tùy ý thông qua các tính chất của họ chuẩn tắc đều.
3.1 Một số tính chất của họ chuẩn tắc đều trên không gian phức tùy ý
Trước hết, ta có kết quả sau đây đối với các dãy Brody và các giới
hạn Brody.
3.1.1 Mệnh đề
Giả sử X, Y là các không gian phức và
, .F H X Y
Khi đó:
(1)
ng
là một dãy Brody đối với F nếu và chỉ nếu
ng
là một dãy
Brody đối với
, .F H D X
(2) g là một giới hạn Brody đối với F nếu và chỉ nếu g là một giới hạn
Brody đối với
, .F H D X
Chứng minh
Chứng minh
1 .
Nếu
,
n n n
g f
trong đó
, , ,n n nf F H D X
thì
1
n n n n n
g f m m
với
,n nm H D D
là phép nhân với n.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
30
Khi đó
1, , , .n n n n nf m F H D X m H D D
Suy ra
ng
là một dãy Brody đối với
,F H D X
nếu
ng
là một dãy
Brody đối với F.
Mặt khác, với
, , , ,n n nh F H D X H D D nếu n n ng h thì
n n n n
g f
, trong đó
, , .n n n nf F H D X
Vậy mỗi dãy Brody đối với
,F H D X
là một dãy Brody đối với F.
Chứng minh
2 .
Ta có,
2
dễ dàng được suy ra trực tiếp từ
1 .
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Ta có kết quả sau đây chính là tiêu chuẩn của họ chuẩn tắc đều trên các
không gian phức tùy ý.
3.1.2 Định lý
Giả sử X, Y là các không gian phức và
,F H X Y
. Khi đó, các
mệnh đề sau là tương đương:
(1) F là chuẩn tắc đều.
(2)
,F H M X
là một tập con liên tục đồng đều của
,H M Y
với mỗi
đa tạp phức M.
(3)
,F H D X
là một tập con liên tục đồng đều của
, .H D Y
(4) Tồn tại một hàm độ dài E trên Y sao cho
1
E
dg
với mỗi
, .g F H D X
(5) Tồn tại một hàm độ dài E trên Y sao cho
0 , 0, 0n nE h dh e
với
mỗi dãy Brody
nh
đối với F.
(6) Tồn tại một hàm độ dài E trên Y sao cho
0 , 0, 0n nE h dh e
với
mỗi dãy Brody
nh
đối với F có cùng một giới hạn Brody.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
31
Chứng minh. Ta có định lý 3.1.2 là hệ quả trực tiếp từ định nghĩa 1.2.5 kết
hợp với các mệnh đề 1.2.9, 3.1.1 và định lý 2.1.4.
3.1.3 Định lý
Giả sử X là một không gian phức và
,F H X Y
là chuẩn tắc đều.
Khi đó, ta có:
(1) Mọi dãy Brody đối với F đều có một dãy con hội tụ tới một giới hạn
Brody đối với F trên các tập con compact của
.
(2) Mọi giới hạn Brody đối với F đều là hằng.
Chứng minh. Ta có định lý 3.1.3 là hệ quả suy ra trực tiếp từ mệnh đề 1.2.9,
3.1.1 và hệ quả 2.1.6.
3.1.4 Định lý
Giả sử X, Y là các không gian phức và
,F H X Y
thỏa mãn
F x
là compact tương đối trong Y với mỗi
.x X
Khi đó, F là chuẩn tắc đều nếu
và chỉ nếu mọi giới hạn Brody đối với F đều là hằng.
Chứng minh. Ta có kết luận của định lý là hệ quả được suy ra từ các mệnh
đề 1.2.9, 3.1.1 và hệ quả 2.1.7.
3.1.5 Định lý
Giả sử X là một không gian phức và
, .F H X
Ta có các mệnh đề
sau là tương đương:
(1) F là một họ chuẩn tắc đều.
(2) F là một tập con chuẩn tắc đều của
1, .H X P
(3) Nếu
,g H
là một giới hạn Brody đối với F thì ánh xạ g là hằng.
Chứng minh. Xem hệ quả 2.1.8.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
32
3.2 Tổng quát hóa một số định lý cổ điển của giải tích phức đối với họ
chuẩn tắc đều trên các không gian phức tùy ý
Định lý sau là sự tổng quát hóa một định lý của Lohwater và
Pommerenke cho những họ chuẩn tắc đều trên những không gian phức tùy ý.
3.2.1 Định lý
Giả sử X, Y là các không gian phức và
, .F H X Y
Khi đó, F không
là họ chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu với mỗi hàm độ dài E trên Y tồn tại một
dãy Brody
ng
đối với F và một giới hạn Brody g đối với F sao cho
,
n
g g
lim , , 1n nsupE g z dg z e
với mỗi
z và
0 , 0, 1.n nE g dg e
Chứng minh. Xem hệ quả 2.2.4 và 2.2.5.
Hơn nữa, Hayman ([15], trang 165) đã chứng minh được một kết quả
mạnh hơn định lý của Schottky. Cụ thể, ta có định lý sau:
3.2.2 Định lý
Giả sử
,F H D
là một họ chuẩn tắc bất biến. Khi đó, tồn tại một
số
0c
chỉ phụ thuộc vào F sao cho
1
1
2
1
r
r
z r
cr
sup f z exp
r
với mỗi
, 0 1f F r
và
1, 0 .max f
Giả sử X là một không gian phức, với mỗi
,f H X
và
x X
ta
ký hiệu
1,max f x
bởi
, .f x
Khi đó, kết luận của định lý 3.2.2 có thể
được thay thế bởi sự tồn tại của số
0c
chỉ phụ thuộc vào F sao cho
1
1
2
, ,0
1
z
z
c z
f x f exp
z
với mỗi
f F
và
.z D
Mặt khác, Zaidenberg [31] đã mở rộng kết quả của Hayman cho các họ
chuẩn tắc đều trên những đa tạp phức. Ở đây, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chứng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
33
minh định lý 3.2.2 của Hayman để mở rộng kết quả của Zaidenberg cho các
họ chuẩn tắc đều trên các không gian phức tùy ý. Ta có định lý sau:
3.2.3 Định lý
Giả sử X là một không gian phức và
, .F H X
Khi đó, các mệnh
đề sau tương đương:
(1) F là một họ chuẩn tắc đều.
(2) Tồn tại một số
0c
sao cho mọi hàm
, ,f F x y X
thỏa mãn bất
đẳng thức
2 ,
, , 2 , 1 .
Xexp k x y
X
f x f y exp c exp k x y
(3) Tồn tại một số
1c
sao cho mọi hàm
, ,f F x y X
thỏa mãn bất
đẳng thức
log , 2 , log , .Xc f x exp k x y c f y
(4) Tồn tại một số
1c
sao cho mọi hàm
,f F x X
và
Q X
thỏa
mãn bất đẳng thức
log , log , 2 , .X
y Q
c f x sup c f y exp k x Q
(5) Tồn tại một số
1c
sao cho mọi hàm
, ,f F x y X
thỏa mãn bất
đẳng thức
2 ,
, , .
Xexp k x y
c f x c f y
(6) Tồn tại một số
1c
sao cho mọi hàm
, , , ,f F H D X x y D thỏa
mãn bất đẳng thức
2 ,
, , .
Dexp k x y
c f x c f y
Chứng minh
1 2 .
Dễ thấy, theo hệ quả 2.2.7,
,F H D X
là chuẩn tắc đều, bất biến.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
34
Do đó,
,F H D X
là họ chuẩn tắc theo định nghĩa của Montel.
Mặt khác, Hayman ([15], trang 165) đã chỉ ra rằng tồn tại một số
0c
sao
cho với mọi hàm
,g F H D X
ta có
' 0 00 2 log ,g c
trong đó
0 1, 0 .max g
Với mỗi
,z D
ta định nghĩa
z A D
được xác định bởi
.
1
z
w z
w
zw
Khi đó, với mỗi hàm
,g F H D X
ta có:
2 ''1 0 2 log ,z z zz g z g c
trong đó
1, .z max g z
Lấy
, ,x y X f F
và số
0.
Khi đó, tồn tại một số nguyên
1 21, , ,..., ,jj H D X và
1 2, ,..., 0;1ja a a
thỏa mãn
1 10 , 0i i iy a với mọi
1,..., 1i j
và
.j ja x
Ta có thể giả sử
1;f x
và
0,i ig a D
hoặc
0, ,i ig a D
trong đó
;
i i
g f
và giả sử
0, , .
2
D i X
i
k a k x y
Đặt
: 0, .i iI i g a D
Khi đó, với mỗi
i I
ta có:
'
2
2
1log
i
i i
g z
zg z g z c
với
0, .iz a
Do đó, với mỗi
,i I
có:
log
log 2 0, .
log 0
i i
D i
i
g a c
k a
g c
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
35
Nếu
1 I
thì
log
log 2 , .
log
X
f x c
k x y
f y c
Nếu
1 ,I
gọi
là phần tử nhỏ nhất trong I. Khi đó,
0 1g
và
log
log 2 , .
log 0
X
f x c
k x y
g c
Từ đó suy ra
2 .
2 3 .
Thay c bởi
log c
trong kết quả của
2
ta được điều cần
chứng minh.
3 4 .
Nếu
Q X
và
x X
thì lấy dãy
ny Q
sao cho
, , .X n Xd x y d x Q
Khi đó, ta có điều cần chứng minh.
4 5 .
Hiển nhiên.
5 6 .
Nếu
, ,f F H D X
và
,x y D
thì từ
5
ta có:
2 ,
2 , 2 ,
, , ,
, , .
X
D D
exp k x y
exp k x y exp k x y
c f x c f x c f y
c f y c f y
6 1 .
Từ mệnh đề 1.2.9 và do tính thuần nhất của D, nếu ta chỉ cần chỉ ra
rằng nếu
,n nf
lần lượt là các dãy trong F và
,H D X
thì tồn tại dãy
con của dãy
n nf
hội tụ đến
,g C V Y
trên một lân cận V của 0.
Thật vậy, nếu với mỗi tập con compact
K Y
và một lân cận V của 0, ta có
n nf V K
thì ta có điều cần chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
36
Ngược lại, ta có thể giả sử có một dãy
1/2nz D
sao cho dãy
n n nf z
bị chặn. Khi đó, tồn tại một số
1c
sao cho với mỗi
1/2
z D
ta
có
2 ,
, ,
D nexp k z z
n n n n n
c f z c f z và n nf bị chặn đều trên 1/2D .
Vậy định lý hoàn toàn được chứng minh.
Hayman ([15], trang 50) đã chứng minh được bổ đề của Bohr sau đây:
3.2.4 Bổ đề
Giả sử
w f z
là hàm chính quy trong đĩa đơn vị
1,z
thỏa mãn
0 0f
và
1/2
1.
z
max f z
Khi đó,
f z
xác định trong đĩa đơn vị
1z
sẽ nhận tất cả các giá trị trên đường tròn
,w r
trong đó
r A
và A là một
hằng số dương.
Ta có kết quả sau là sự mở rộng bổ đề của Bohr đối với các hàm chỉnh
hình được định nghĩa trên các không gian phức tùy ý.
3.2.5 Hệ quả
Giả sử X là một không gian phức, và
, ,B X f H X
thỏa mãn:
(1) B là bị chặn đối với giả khoảng cách
,
X
k
(2)
1,
x B
sup f x
(3)
0 .f B
Khi đó, tồn tại
0r
không phụ thuộc vào
f
sao cho hoặc
: 2w r w r f X
hoặc
: 4 5 .w r w r f X
Chứng minh. Ta chú ý rằng
, 0,1H X
là họ chuẩn tắc đều trong
, .H X
Từ
2
trong định lý 3.2.3, suy ra tồn tại
0c
sao cho:
2 , 1Xp exp c exp k p q
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
37
với mọi
, , , 0,1p q B H X
thỏa mãn
1.q
Đặt
,
2 , 1
X
x y B
A exp c exp supk x y
và
1
7 2 .r A
Giả sử
1 2: 2 , : 4 5 .w w r w r f X w w r w r f X
Định nghĩa
, 0,1H X
xác định bởi
1
2 1
.
f p w
p
w w
Khi đó, tồn tại
q B
sao cho
0.f q
Do đó
1.q
Mặt khác, với mỗi
p B
ta có
p A
và
2 1 1 2 1 1 7 2 1.f p p w w w A w w w A r
Suy ra mâu thuẫn với giả thiết. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét. Các tương đương
1 3 4 1
của định lý 3.2.4 đã
được Zaidenberg [31] chứng minh đối với các họ chuẩn tắc đều trên các đa
tạp phức.
Năm 1974, Lappan [25] đã chứng minh được định lý 5 điểm sau
3.2.6 Định lý
Cho
A
là một tập con của
1P
và chứa ít nhất 5 điểm. Khi đó,
1,f H D P
là hàm chuẩn tắc nếu và chỉ nếu
2
' 1
2
1
: .
1
z
sup f z z f A
f z
Ta sẽ mở rộng định lý này của Lappan cho họ các hàm chuẩn tắc đều
từ những không gian phức tùy ý đến không gian xạ ảnh phức n chiều
.nP
3.2.7 Định nghĩa
Ta nói rằng
,m ng H P
là suy biến nếu
mg
với
là
một siêu phẳng nào đó trong không gian xạ ảnh phức
.nP
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
38
3.2.8 Định nghĩa
Cho
là siêu phẳng trong
,nP
ký hiệu
T
là một phiếm hàm tuyến
tính khác không trên 1n sao cho là hạt nhân của nó. Gọi là tập hợp
các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong
.nP
Khi đó, ta nói rằng một hàm
không suy biến
,m ng H P
là rẽ nhánh toàn cục trên
nếu với mỗi
thì ta có
'
0,T g
trong đó
0.T g
Bổ đề sau của Hahn [11] tổng quát hóa một kết quả nổi tiếng trong lý
thuyết Nevanlinna cho những hàm phân hình (xem [16], trang 231).
3.2.9 Bổ đề
Giả sử
1,..., q
là một tập hợp bất kỳ các siêu phẳng ở vị trí tổng
quát trong
.nP
Khi đó, nếu
,m ng H P
là rẽ nhánh toàn cục
trên
thì
2 2.q n
Áp dụng những kỹ thuật chứng minh bổ đề trên của Hahn, ta sẽ mở
rộng định lý 5 – điểm cổ điển của Lappan đối với họ chuẩn tắc từ không gian
phức tùy ý vào không gian các xạ ảnh phức
.nP
Nhưng trước hết, ta sẽ
mở rộng cho trường hợp đối với họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic.
Cụ thể, ta có kết quả sau:
3.2.10 Định lý
Giả sử M là đa tạp hyperbolic,
là tập hợp chứa ít nhất
2 3n
siêu
phẳng ở vị trí tổng quát trong
nP
và cho
.A
Khi đó,
, nF H M P
là chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau
được thỏa mãn:
1.
1: ,
F
sup df p p f A
2. Mọi giới hạn Brody suy biến đối với F đều là hằng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
39
Chứng minh.
Vì tất cả các hàm độ dài trên
nP
là tương đương và theo
4
,
6
của định lý 2.1.4, nên ta có điều kiện cần của định lý là hiển nhiên.
Để chứng minh điều kiện đủ, ta sẽ chỉ ra rằng nếu điều kiện
2
xảy ra và F không là chuẩn tắc đều thì điều kiện
1
không xảy ra.
Thật vậy, vì
nP
là compact và F không là chuẩn tắc đều nên từ
6
trong định lý 2.1.4 suy ra tồn tại một giới hạn Brody khác hằng
, ng H P
đối với F.
Lấy các dãy
,k kf
thỏa mãn
, ,k k kf F H D M
và
.
k k
f g
Khi đó, từ
2
ta có g là không suy biến, và từ bổ đề 3.2.9 ta có g không là rẽ
nhánh toàn cục trên
với
.
Chọn hệ tọa độ thuần nhất
0 ,..., nw w
trong
nP
sao cho
được xác
định bởi
0 0.w
Nếu
k k k
g f
thì ta biểu diễn
,
k
g g
bởi những tọa độ thuần nhất
0 0,..., , ,...,n n
k k
g g g g
với
, 0,...,s skg g s n
là các hàm chỉnh hình và
0 0.
k
g g
Mặt khác, phương trình
0 0g z
có nghiệm
0
z
thỏa mãn
'
0
0
0.g z
Do đó, nếu E là hàm độ dài trên
nP
thì
0 0, , 0.E g z dg z e
Theo bổ đề của Hurwitz, tồn tại một dãy
kz
thỏa mãn
00, 0k k kz z g z
và
, , .k k k kE g z dg z e
Đặt
.k k kp z
Khi đó:
2 2
, 1 1 , , .k k
k k k k k k k k k
z z
df p E f z k e k E g z dg z e
k k
Do đó
.k kdf p
Vì
1 1k k kp f f A
nên
1
không xảy ra.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
40
Bây giờ ta sẽ mở rộng định lý 5 - điểm của Lappan cho trường hợp đối
với họ chuẩn tắc đều từ không gian phức tùy ý tới không gian xạ ảnh phức
.nP
Ta có định lý
3.2.11 Định lý
Giả sử X là không gian phức,
là tập hợp chứa ít nhất
2 3n
siêu
phẳng ở vị trí tổng quát trong
nP
và giả sử
.A
Khi đó,
, nF H X P
là chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau
được thỏa mãn:
(1)
10 : , , 0 ,
F
sup df H D X f A
(2) Mọi giới hạn Brody suy biến của đối với F đều là hằng.
Chứng minh
Từ định lý 3.2.10 và mệnh đề 1.2.9 ta có F là chuẩn tắc đều nếu và chỉ
nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
a)
1: , , ,sup dg p g F H D X p g A
b) Mọi hàm giới hạn Brody suy biến đối với
,F H D X
đều là hằng.
Điều kiện
),a
)b
lần lượt tương đương với điều kiện
1 ,
2
trong mệnh đề
3.2.11 và ta có đẳng thức sau:
1 1: , , 0 : , , 0 .
F
dg p g F H D X p g A d f H D X f A
Vậy định lý được chứng minh.
3.2.12 Hệ quả
Giả sử X là một không gian phức. Khi đó,
1,F H X P
là họ chuẩn
tắc đều nếu và chỉ nếu
10 : , , 0 ,
F
sup d f H D X f A với
1A P
là tập có nhiều hơn 4 phần tử (tương ứng A có nhiều hơn hai
phần tử hữu hạn nếu
,F H X
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
41
3.2.13 Hệ quả
Giả sử M là một đa tạp hyperbolic. Khi đó
1,F H M P
là
họ chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu
1: ,
F
sup df p p f A
với
1A P
là tập có nhiều hơn 4 phần tử (tương ứng A có nhiều hơn hai
phần tử hữu hạn nếu
,F H M
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
42
KẾT LUẬN
Nội dung chính của luận văn “Một số định lý cổ điển và họ chuẩn tắc
các ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức nhiều biến” là nghiên cứu các tính
chất của họ chuẩn tắc, họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình trên các đa tạp
hyperbolic và trên các không gian phức tùy ý. Từ đó, áp dụng những kết quả
này để tổng quát hóa một số định lý cổ điển của Giải tích phức đối với họ
chuẩn tắc đều. Những kết quả chính luận văn đã đạt được là:
Trình bày một số tiêu chuẩn họ chuẩn tắc đều của các ánh xạ chỉnh
hình trên các đa tạp hyperbolic và trên các không gian phức tùy ý.
Trình bày việc tổng quát hóa các định lý cổ điển của Lehto – Virtanen,
Aladro – Krantz, Lohwater và Pommerenke đối với họ chuẩn tắc đều
trên các đa tạp hyperbolic.
Trình bày việc tổng quát hóa các định lý cổ điển của Lohwater và
Pommerenke đối với họ chuẩn tắc trên các không gian phức tùy ý.
Trình bày việc mở rộng định lý cổ điển của Schottky cho trường hợp
họ chuẩn tắc đều.
Trình bày việc mở rộng bổ đề của Bohr đối với các ánh xạ chỉnh hình
trên các không gian phức tùy ý.
Trình bày việc mở rộng định lý 5 – điểm của Lappan đối với họ chuẩn
tắc đều các ánh xạ chỉnh hình từ một không gian phức tùy ý vào không
gian xạ ảnh phức n chiều
.nP
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
43
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu về lý thuyết các không gian phức
hyperbolic, Nhà xuất bản Đại học sư phạm, Hà Nội.
[2] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, Nhà xuất bản Đại học sư
phạm, Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] M. Abate (1993), A characterization of hyperbolic manifolds, Proc.
Amer. Math. Soc. 117, 789 - 793.
[4] G. Aladro (1987), Applications of the Kobayashi metric to normal
functions of several complex variables, UtilitasMath. 31, 13 - 24.
[5] G. Aladro and S. G. Krantz (1991), A criterion for normality in n ,
J. Math. Anal. and Appl. 161, 1 - 8.
[6] C. Carathéodory (1954), Theory of Functions, vol. II.Chelsea, NY.
[7] J. A. Cima and S. G. Krantz (1983), The Lindelof principle and
normal functions of several complex variables, Duke Math. J. 50, 303 - 328.
[8] E. E Collingwood and A. J. Lohwater (1966), The Theory of
Cluster Sets, Cambridge University Press, London.
[9] K. Funahashi (1984), Normal holomorphic mappings and classical
theorems of function theory, Nagoya Math. J. 94, 89c104.
[10] M. L. Green (1977), The hyperbolicity of the complement of 2n+1
hyperplanes in general position in Pn, and related results, Proc. Amer. Math.
Soc. 66, 109-113.
[11] K. T. Hahn (1986), Higher dimensional generalizations of some
classical theorems on normal meromorphic functions, Complex Variables 6,
109 - 121.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
44
[12] K. T. Hahn (1988), Non-tangential limit theorems for normal
mappings, Pac. J. Math. 135, 57 - 64.
[13] K. T. Hahn (1987), Boundary behavior of normal and nonnormal
holomorphic mappings, Proc. KIT Math. Workshop, Analysis and
Geometry, KIT Math. Research Center, Taejon, Korea.
[14] K. T. Hahn (1989), Hyperbolicity of the complement of closed
subsets in a compact Hermitian manifold, Complex Anal. and Appl. '87,Sofia,
211 - 218.
[15] W. K. Hayman (1964), Meromorphic Functions, Oxford
University Press, Oxford.
[16] E. Hille (1962), Analytic Function Theory, vol. II, Ginn,
Lexington, MA.
[17] P. Jarvi (1988), An extension theorem for normal functions in
several variables, Proc. AMS 103, 1171 - 1174.
[18] J. E. Joseph and M. H. Kwack (1994), Hyperbolic imbedding and
spaces of continuous extensions of holomorphic maps, J. Geom. Analysis 4, 3,
361 - 378.
[19] J. E. Joshep and M. H. Kwack (1996), Some classical theorems
and families of normal maps in several complex variables, Complex
Variables, Vol. 29, 343 - 362.
[20] J. L. Kelley (1955), General Topology, Van Nostrand, Princeton,
NJ.
[21] P. Kiernan (1973), Hyperbolically imbedded spaces and the big
Picard theorem, Math. Ann. 204, 203 - 209.
[22] S. Kobayashi (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic
Mappings, Marcel Dekker, New York.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
45
[23] S. G. Krantz (1993), Geometric Analysis and Function Spaces,
CBMS, Amer. Math Soc. 81, Providence, RI.
[24] S. Lang (1987), Introduction to Complex Hyperbolic Spaces,
Springer - Verlag, NY.
[25] P. Lappan (1974), A criterion for a meromorphic function to be
normal, Comment. Math. Helvetici 49, 492 - 495.
[26] A. J. Lohwater and Ch. Pommerenke (1973), On normal
meromorphic functions, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser A1 550.
[27] O. Lehto and K. I. Virtanen (1957), Boundary behaviour and
normal meromorphic functions, Acta Math. 97, 47 - 65.
[28] K. Noshiro (1938), Contributions to the theory of meromorphic
functions in the unit circle, J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. 7, 149 - 159.
[29] H. Royden (1971), Remarks on the Kobayashi metric, Proc.
Maryland Conference on Several Complex Variables, Lecrure Notes 185,
Springer - Verlag, Berlin.
[30] H. Wu (1967), Normal families of holomorphic mapping, Acta
Math. 119, 193 - 233.
[31] M. G. Zaidenberg (1992), Schottky - Landau growth estimates for
s-normal families of holomorphic mappings, Math. Ann 293, 123 - 141.
[32] M. G. Zaidenberg (1983), Picard's theorem and hyperbolicity,
Siberian Math. J. 24, 858 - 867.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- LV2010_Sp_NguyenQuynhHoa.pdf