Luận văn Một số tính chất của vành nửa nguyên tố

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO THỊ TRANG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH NỬA NGUYÊN TỐ NGÀY BẢO VỆ: GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN 1: GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN 2: CHÖÔNG 1 1.1. Moâñun con coát yeáu, ñoái coát yeáu Moâñun con coát yeáu Moâñun con ñoái coát yeáu (1) Neáu trong M coù daõy caùc moâñun con thì (2) laø moät ñoàng caáu vaø thì (3) Ñònh lyù (1) Neáu trong M coù daõy caùc moâñun con thì (2) laø moät ñoàng caáu vaø thì (3) Ñònh lyù 1.2. Lôùp caùc moâñun sinh vaø ñoái sinh M ñöôïc goïi laø (höõu haïn) sinh bôûi moâñun ñöôïc ñaùnh soá sao cho coù toaøn caáu neáu toàn taïi hoï caùc M ñöôïc goïi laø (höõu haïn) ñoái sinh bôûi moâñun ñöôïc ñaùnh soá sao cho coù ñôn caáu neáu toàn taïi hoï caùc vôùi moät soá vôùi moät soá laø moâñun con nhoû nhaát cuûa M sao cho Meänh ñeà Cho laø lôùp caùc moâñun, M laø moät moâñun. Khi ñoù laø moâñun con lôùn nhaát cuûa M sinh bôûi (2) (1) M/K ñoái sinh bôûi 1.3. Moâñun ñôn vaø nöûa ñôn R-moâñun M ñöôïc goïi laø moâñun ñôn neáu M khaùc 0 vaø M chæ coù hai moâñun con laø 0 vaø M Meänh ñeà Cho M laø R-moâñun. Khi ñoù caùc meänh ñeà sau töông ñöông: (1) M laø R-moâñun ñôn. (2) M laø R-moâñun cyclic, vaø moïi phaàn töû khaùc 0 cuûa M ñeàu laø phaàn töû sinh. (3) M ñaúng caáu vôùi R/I, I laø ideal traùi toái ñaïi naøo ñoù cuûa R R-moâñun M ñöôïc goïi laø nöûa ñôn neáu M laø toång tröïc tieáp cuûa caùc R-moâñun ñôn. Cho M laø R-moâñun. Khi ñoù caùc meänh ñeà sau töông ñöông: (1) M nöûa ñôn. (2) M ñöôïc sinh bôûi caùc moâñun ñôn. (3) M laø toång cuûa caùc moâñun con ñôn cuûa noù. (4) Moïi moâñun con cuûa M ñeàu laø haïng töû tröïc tieáp cuûa M. (5) Moïi daõy khôùp ngaén cuûa caùc R-moâñun laø cheû ra. Ñònh lyù 1.4. Socle vaø radical cuûa moät moâñun Cho M laø moät R-moâñun, moâñun con nöûa ñôn lôùn nhaát cuûa M sinh bôûi lôùp caùc moâñun ñôn S ñöôïc goïi laø SocM Nhö vaäy Meänh ñeà Cho M laø R-moâñun. Khi ñoù toái tieåu cuûa M} Cho S laø lôùp caùc moâñun ñôn. Vôùi moãi R-modun M, Nhö vaäy Meänh ñeà Cho M laø R-moâñun. Khi ñoù toái ñaïi trong M} ñöôïc goïi laø radical cuûa M vaø kyù hieäu laø Rad M CHÖÔNG 2 2.1. Moät soá tính chaát cuûa vaønh nguyeân toá Vaønh R ñöôïc goïi laø nguyeân toá neáu moïi ideal traùi khaùc 0 cuûa R laø trung thaønh. Ñònh lyù Cho R laø vaønh giao hoaùn. Khi ñoù, R laø vaønh nguyeân toá neáu vaø chæ neáu R laø mieàn nguyeân. Meänh ñeà Cho R laø vaønh, caùc ñieàu kieän sau töông ñöông: (1) R laø vaønh nguyeân toá. (2) Moïi ideal phaûi khaùc 0 cuûa R laø trung thaønh. (3) Vôùi moãi caëp ideal (4) cm► cm► Meänh ñeà Moïi vaønh nguyeân thuûy laø nguyeân toá. Meänh ñeà Moïi vaønh nguyeân toá vaø Artin traùi laø vaønh ñôn. Meänh ñeà Neáu R laø vaønh nguyeân toá vaø e khaùc 0 laø luõy ñaúng trong R thì eRe laø vaønh nguyeân toá. Ñònh lí Cho R laø moät vaønh vaø n >1. Khi ñoù, R laø vaønh nguyeân toá neáu vaø chæ neáu M_n(R) laø vaønh nguyeân toá. cm► cm► cm► cm► Neáu R laø vaønh nguyeân toá vaø höõu haïn thì R laø vaønh ñôn Artin. coù chieàu daøi Meänh ñeà Neáu R laø vaønh nguyeân toá vaø thì R laø vaønh chia. laø ideal traùi ñôn Meänh ñeà cm► cm► Cho R laø vaønh nguyeân toá, neáu thì R laø vaønh nguyeân thuûy vaø Meänh ñeà cm► 2.2. Moät soá tính chaát cuûa vaønh nöûa nguyeân toá Moät ideal P cuûa vaønh R ñöôïc goïi laø nguyeân toá neáu R/P laø vaønh nguyeân toá. Kí hieäu N(R) laø giao taát caû caùc ideal nguyeân toá cuûa R vaø ñöôïc goïi laø caên nguyeân toá cuûa vaønh R. Vaønh R ñöôïc goïi laø vaønh nöûa nguyeân toá neáu N(R)=0. Ñònh lyù Vaønh R laø nöûa nguyeân toá khi vaø chæ khi R khoâng coù ideal traùi luõy linh khaùc khoâng. cm► Meänh ñeà Cho I laø ideal cuûa vaønh R, caùc meänh ñeà sau töông ñöông: (1) I laø giao cuûa caùc ideal nguyeân toá cuûa R. (2) R/I khoâng coù ideal traùi luõy linh khaùc 0. (3) Vôùi moïi a thuoäc vaøo R, aRa naèm trong I suy ra a  thuoäc vaøo I. Heä quaû Cho I laø ideal cuûa vaønh R. Khi ñoù R/I laø vaønh nöûa nguyeân toá neáu vaø chæ neáu I laø giao cuûa caùc ideal nguyeân toá cuûa R. Ñaëc bieät N(R/N(R))=0. cm► Meänh ñeà Cho I laø ideal traùi toái tieåu cuûa vaønh R. Khi ñoù hoaëc I2 =0 hoaëc I=Re vôùi e laø phaàn töû luõy ñaúng cuûa R. Heä quaû Neáu I laø ideal traùi toái tieåu cuûa vaønh nöûa nguyeân toá R thì I=Re vôùi e laø phaàn töû luõy ñaúng cuûa R. Meänh ñeà Cho R laø vaønh nöûa nguyeân toá vaø a thuoäc R. Neáu Ra laø ideal traùi toái tieåu cuûa R thì aR laø ideal phaûi toái tieåu cuûa R. cm► cm► Goïi U(R) laø nil ideal lôùn nhaát duy nhaát cuûa R. Khi ñoù Suy ra N(R) laø nil ideal cuûa R. Meänh ñeà Ñònh lí (Levitzki ) Neáu R laø vaønh Noether traùi thì moïi nil ideal moät phía cuûa R laø luõy linh. Meänh ñeà Neáu R laø vaønh Noether traùi thì N(R)=U(R) laø ideal luõy linh lôùn nhaát, duy nhaát cuûa R. Cho R laø vaønh. Khi ñoù Meänh ñeà cm► cm► cm► cm► Ñònh lyù Neáu R laø vaønh Artin traùi thì J(R) laø ideal luõy linh lôùn nhaát, duy nhaát cuûa R. Meänh ñeà Neáu R laø vaønh Artin thì N(R)=J(R). Hôn nöõa, moïi ideal nguyeân toá ñeàu toái ñaïi. Meänh ñeà Neáu R laø vaønh giao hoaùn thì N(R) laø taäp taát caû caùc phaàn töû luõy linh cuûa R. Do ñoù R laø vaønh nöûa nguyeân toá khi vaø chæ khi R khoâng coù phaàn töû luõy linh khaùc 0. cm► cm► cm► Meänh ñeà Vaønh giao hoaùn R laø nöûa nguyeân toá khi vaø chæ khi R coù theå nhuùng vaøo tích cuûa caùc tröôøng. Meänh ñeà Moät vaønh R khaùc 0 laø nöûa nguyeân toá khi vaø chæ khi R laø tích tröïc tieáp cuûa nhöõng vaønh nguyeân toá. cm► cm► CAÙM ÔN QUYÙ THAÀY ÑAÕ THEO DOÕI KÍNH CHUÙC QUYÙ THAÀY SÖÙC KHOÛE ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄ ◄