Luận văn Nguyên lí ánh xạ KKM và bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô

ta nhận được kết quả sau. Hệ quả 2.1 Cho các không gian ,X Y , tập K X , nón thứ tự C Y như trong Định lí 2.3 và hàm :f K K Y  sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 1) ( , ) 0f x x  với mỗi x K ; 2) Với mỗi y K , hàm (., )f y là nửa liên tục trên trên K ; 3) Với mỗi x K , hàm ( ,.)f x là tựa lồi; 4) Điều kiện bức: tồn tại một tập compắc D K và 0y D sao cho 0( , ) 0, \f x y x K D  . Khi ấy tồn tại x K sao cho ( , ) 0, .f x y y K  Rõ ràng khi K là một tập compắc, ta có điều kiện bức trong hệ quả trên thỏa mãn và như vậy ta có dạng vectơ của Bất đẳng thức Ky Fan trong hệ quả sau của Định lí 2.3. Hệ quả 2.2 Cho các không gian ,X Y và nón thứ tự C Y như trong Định lý 2.3, K X là tập lồi compắc và hàm :f K K Y  thỏa mãn điều kiện sau: 1) ( , ) 0f x x  với mỗi x K ; 2) Với mỗi y K , hàm (., )f y là nửa liên tục trên trên K ; 3) Với mỗi x K , hàm ( ,.)f x là tựa lồi. Khi ấy, tồn tại x K sao cho ( , ) 0,f x y y K  . Nhận xét 2.2 Nếu trong Hệ quả 2.2 lấy  , ;0Y R C   và f g  , trong đó :g K K R là hàm có tính chất: 1) ( , ) 0g x x  với mỗi x K ; 2) Với mỗi ,y K hàm (., )g y là nửa liên tục dưới trên K ; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 3) Với mỗi x K hàm ( ,.)g x là tựa lõm; thì theo Hệ quả 2.2 ta có x K sao cho ( , ) 0g x y y K   . Đây chính là bất đẳng thức Ky Fan (dạng vô hướng). 2.4. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECVƠ GIẢ ĐƠN ĐIỆU Một hướng cơ bản khác trong các nghiên cứu về tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ là hướng nghiên cứu dùng giả thiết đơn điệu. Nhiều kết quả quan trọng ở hướng nghiên cứu này đã được công bố như Oettli [14](1997), Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2](1997)…Chúng tôi chọn trình bày ở phần này kết quả lí thú của Bianchi- Hadjisavvas- Schaible sử dụng giả thiết giả đơn điệu (bao hàm trường hợp đơn điệu). Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian vectơ tôpô Hausdorff X , Y là không gian lồi địa phương được xắp thứ tự bởi nón C Y nhọn, lồi, đóng với intC  và hàm :F K K Y  với ( , ) 0F x x  , x K  . Bài toán cân bằng được xét ở đây là bài toán sau: Tìm x K sao cho ( , ) 0F x y y K  , (2.8) trong đó F là một hàm giả đơn điệu. Hàm F được gọi là đơn điệu (đơn điệu chặt) nếu ( , ) ( , ) 0 ,F x y F y x x y K   ( ( , ) ( , ) 0 , , ,F x y F y x x y K x y    tương ứng). F được gọi là giả đơn điệu (giả đơn điệu chặt) nếu ( , ) 0F x y  kéo theo ( , ) 0F y x  với mọi ,x y K ( ( , ) 0F x y  kéo theo ( , ) 0,F y x  với mọi , ,x y K x y  , tương ứng). Dễ thấy, nếu F là đơn điệu (đơn điệu chặt) thì F cũng là giả đơn điệu (giả đơn điệu chặt, tương ứng), nhưng không ngược lại. Nếu F giả đơn điệu chặt thì cũng giả đơn điệu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 Hàm :f K Y gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) nếu với mọi Y tập mức  ( ) : ( )L x K f x    (  ( ) : ( ) ,U x K f x    tương ứng) là đóng trong K . Hàm f gọi là hemi-liên tục nếu với ,x y K hàm ( ) ( ( ))t f x t y x   , [0,1]t , là nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên theo t . Hàm f gọi là tựa lồi hiện (explicitly quasiconvex) nếu f là tựa lồi và với mọi ,x y K với ( ) ( )f x f y luôn có ( ) ( )tf z f y với (1 ) , (0,1)tz tx t y t    . Về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng giả đơn điệu (2.8) ta có kết quả quan trọng sau được chứng minh trên cơ sở sử dụng Nguyên lí ánh xạ KKM. Định lí 2.4 (Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2],1997) Cho các không gian ,X Y , tập K , nón C và hàm F như trên. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn: 1) Với mỗi , (., )y K F y là hemi-liên tục; 2) F là giả đơn điệu; 3) Với mỗi , ( ,.)x K F x là nửa liên tục dưới và tựa lồi hiện ; 4) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B K và 0y B sao cho 0( , ) 0F x y  \x K B  . Khi ấy tập nghiệm của Bài toán (2.8) không rỗng và compắc. Các bổ đề dưới đây được dùng để chứng minh Định lí 2.4. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Bổ đề 2.2 Giả sử , , 0a b Y a  và b  0 . Khi ấy tập các cận trên của a và b là khác rỗng và giao với \Y C . Chứng minh Ta chỉ ra tồn tại c  0 để ,a c b c  : Do intC  nên tồn tại intd C sao cho d b C  . Với  0,1t , đặt (1 )td td t b   . Do C đóng và lồi nên tồn tại 0 (0,1)t  sao cho     0 0 , ,1 ; , 0, . t t d C t t d C t t       Đặc biệt ta có 0 0td a  , nên 0 inttd a C  . Như vậy, với 1 0t t đủ gần 0t ta có : 1 inttd a C  . Đặt 1t c d thì c C và như vậy c  0 . Hơn nữa, ta có: c a và 1 1 1 1 (1 ) ( ) 0tc b d b t d t b b t d b          . Bổ đề được chứng minh.  Với mỗi y K , đặt     ( ) : ( , ) 0 ; ( ) ( ) ; ( ) : ( , ) 0 . P y x K F x y Q y P y R y x K F y x          Dưới đây là một kết quả tương tự như ở bài toán cân bằng vô hướng (Bổ đề 2.1 ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Bổ đề 2.3 Nếu các điều kiện 1), 2) và 3) của Định lí 2.4 thỏa mãn, khi ấy: ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        và mỗi giao trên là một tập đóng trong K . Chứng minh Từ giả thiết 3) suy ra: i) Với mỗi c  0 và mỗi x K , tập  : ( , )y K F x y c  là lồi; ii) Nếu ( , ) ( , )F x y F x z và ( , ) 0F x z  thì ( , ) ( , )tF x z F x z với tz (1 ) , (0,1)ty t z t    . Trước tiên ta chỉ ra ( ) ( ) y K y K R y P y     . Lấy ( ) y K x R y    ta có ( , ) 0F y x y K  . Với y K bất kỳ, đặt (1 ) , (0,1)ty ty t x t    , khi ấy ( , ) 0 (0,1)tF y x t  . (2.9) Ta chỉ ra: ( , ) 0 (0,1)tF y y t  . (2.10) Thật vậy, giả sử có một 0 (0,1)t  với 0 ( , ) 0tF y y  , khi đó a) Nếu 0 ( , ) 0tF y x  thì 0 0 ( , ) ( , )t tF y x F y y . Do ii) ta có: 0 0 0 ( , ) ( , )t t tF y y F y x . Theo giả thiết thì 0 0 ( , ) 0t tF y y  . Suy ra 0 ( , ) 0tF y x  , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 điều này mâu thuẫn với (2.9). b) Nếu 0 ( , )tF y x  0 thì theo Bổ đề 2.2 tồn tại c  0 sao cho 0 ( , )tF y x c và 0 ( , )tF y y c . Do i) ta có 0 0 ( , )t tF y y c , suy ra 0c mâu thuẫn với c  0 . Vậy (2.10) được chứng minh. Từ (2.10) và Giả thiết 1) ta có ( , ) 0F x y  . Vì y K bất kỳ nên ( ) y K x P y    . Vậy ( ) ( ) y K y K R y P y     . (2.11) Mặt khác do F giả đơn điệu (Giả thiết 2)) nên ( ) ( )P y R y y K   . Do tính nửa liên tục dưới của F (Giả thiết 3)) nên ( )R y là đóng, suy ra ( ) ( ) ( )Q y P y R y  . Vậy ( ) ( ) ( )P y Q y R y  , do đó: ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        . (2.12) Từ (2.11) và (2.12) có ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        . Do ( )Q y đóng y K  nên mỗi giao trên đều là tập đóng trong K . Bổ đề được chứng minh.  Chứng minh định lí 2.4 Theo Bổ đề 2.3 ta chỉ cần chỉ ra: ( ) y K Q y   . Ta có ( )Q y đóng y K  . Do điều kiện bức (Giả thiết 4)) nên 0( )P y B và do B compắc nên 0 0( ) ( )Q y P y B  cũng compắc. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Ta chứng minh ánh xạ : 2KP K  là ánh xạ KKM. Thật vậy, nếu trái lại sẽ có một tập hữu hạn  :iy i I và một  1,... \ ( )n i i I y co y y P y    , nghĩa là ( , ) 0iF y y i I  . Do tính tựa lồi của F (Giả thiết 3)) nên cũng có ( , ) 0F y y  , điều này mâu thuẫn với ( , ) 0F y y  . Vậy P là ánh xạ KKM. Do ( ) ( ),P y Q y y K  nên Q cũng là ánh xạ KKM. Theo Bổ đề Ky Fan ta có ( ) y K Q y   , nghĩa là Bài toán (2.8) có nghiệm. Theo Bổ đề 2.3 và điều kiện bức, tập nghiệm của bài toán (2.8) là compắc. Định lí được chứng minh.  Nhận xét 2.3 Khác với trường hợp vô hướng, ở trường hợp bài toán vectơ với các giả thiết của Định lí 2.4, tập nghiệm nói chung là không lồi. Dưới đây là một ví dụ Ví dụ Cho    2 2, 0,1 0,1 , ,X Y R K C R     hàm :F K K Y  được cho bởi 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ); ( , ), ( , )F x y y x y x x x x y y y     . (2.13) Dễ thấy các giả thiết của Định lí 2.4 thỏa mãn và 1 (0,1),x  2 (1,0)x  là các nghiệm của Bài toán (2.8) vì theo (2.13): Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 1 ( , )F x y  1 2( , 1) 0y y y K   và 2 ( , )F x y  1 2( 1, ) 0y y y K   . Nhưng (1 2, 1 2)x  không phải là nghiệm, vì 1 2( , ) ( 1 2, 1 2) 0F x y y y    với 1 2[0,1 2), [0,1 2)y y  , nghĩa là trong trường hợp ví dụ trên tập nghiệm của Bài toán (2.8) không lồi. Nhận xét 2.4 Nếu các giả thiết của Định lí 2.4 thỏa mãn và F là giả đơn điệu chặt thì bài toán (2.8) có duy nhất nghiệm. Thật vậy, nếu 1 2,x x là nghiệm, 1 2x x thì 1 2( , ) 0F x x  và 2 1( , ) 0F x x  . Nhưng do tính giả đơn điệu chặt của F nên 2 1( , ) 0F x x  , mâu thuẫn với 2 1( , ) 0F x x  . 2.5. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ TỰA ĐƠN ĐIỆU Cho không gian vectơ tôpô Hausdorff X, tập lồi, đóng, khác rỗng K X , không gian lồi địa phương Y được xắp thứ tự bởi nón nhọn, lồi, đóng C Y với intC  và hàm :F K K Y  với ( , ) 0F x x x K  . Bài toán cân bằng vectơ được xét ở đây là bài toán sau: Tìm x K sao cho ( , ) 0F x y  với mọi y K , (2.14) trong đó F là một hàm tựa đơn điệu. Trước khi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.14) ta cần một số khái niệm. Hàm :F K K Y  được gọi là tựa đơn điệu nếu với mọi ,x y K ( , ) 0F x y  kéo theo ( , ) 0F y x  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 Dễ thấy, nếu F là giả đơn điệu thì F cũng là tựa đơn điệu, nhưng không ngược lại. Hàm :f K Y được gọi là  - tựa lồi (  - tựa lồi nửa chặt)1 nếu với mọi * * ( \{0})C C  , hàm :f K Y  là tựa lồi (tựa lồi nửa chặt, tương ứng). Ở đây *C được xác định bởi  * * : ( ) 0C Y y y C      . Người ta chỉ ra được : a) y C khi và chỉ khi * ( ) 0y C   ; b) inty C khi và chỉ khi * ( ) 0 \{0}y C   . Hàm f gọi là  - tựa lõm nửa chặt nếu f là  - tựa lồi nửa chặt . Hàm :C R  được gọi là tựa lồi chặt (tựa lồi nửa chặt) nếu với , ,x y C x y  và mọi ( , )z x y luôn có: ( ) ( ) ( ( ) ( ),x y x y     tương ứng) kéo theo ( ) ( )z y  . Các tập ( ), ( )P y Q y và ( ),R y y K được định nghĩa như ở mục 2.4. Nhận xét 2.5 Nếu F là  - tựa lồi nửa chặt và hemi- liên tục thì F là tựa lồi hiện. Do đó, từ chứng minh Bổ đề 2.3 suy ra: nếu F là hemi- liên tục và  - tựa lồi nửa chặt thì ( ) ( ) y K y K R y P y     . Về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng vectơ tựa đơn điệu (2.14) ta có kết quả cơ bản sau. Định lí 2.5 (Bianchi- Hadjisavvas- Schaible [2],1997) 1 *- quasiconvex (*- semistrictly quasiconvex) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 Cho các không gian X, Y, tập K , nón C và hàm F như trên. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn: 1) Với mỗi , (., )y K F y là hemi-liên tục; 2) F là tựa đơn điệu; 3) Với mỗi ,x K hàm ( ,.)F x là nửa liên tục dưới và  - tựa lồi nửa chặt; 4) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B K và 0y B sao cho 0( , ) 0, \F x y x K B  ; 5) Với mỗi ,x K hàm ( ,.)F x là  - tựa lõm nửa chặt; 6) Phần trong đại số ( )iA K của K không rỗng. Khi ấy Bài toán (2.14) có nghiệm. Bổ đề sau được dùng để chứng minh Định lí 2.5. Bổ đề 2.4 Giả sử các điều kiện1),2),5) thỏa mãn và ,x y K sao cho ( )x P y nhưng ( )x R y . Khi ấy tồn tại  * \ 0u C sao cho , ( , ) 0u F x y  ; , ( , ) , ( , )u F x y u F x y y K    . Chứng minh Vì ( )x P y nên ( , ) 0F x y  do đó tồn tại * \ {0}u C với , ( , ) 0u F x y  (vì nếu với mọi * \ {0}u C đều có , ( , ) 0u F x y  thì khi ấy ( , ) 0F x y  , mâu thuẫn với ( )x P y ). Vậy có bất đẳng thức đầu. Bất đẳng thức thứ hai được chứng minh phản chứng. Giả sử có y K với , ( , ) , ( , )u F x y u F x y  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Đặt  (1 ) , 0,1ty ty t y t    . Do ( ,.)F x  - tựa lõm nửa chặt nên cùng với bất đẳng thức đầu ta có:  , ( , ) , ( , ) 0 0,1tu F x y u F x y t    . Theo tính chất về tập *C nêu trên ta có ( , )tF x y C  , nghĩa là ( , )tF x y  0 và do tính tựa đơn điệu của F (Giả thiết 2)) suy ra ( , ) 0tF y x  (vì trái lại sẽ có ( , ) 0tF x y  , mâu thuẫn). Vì F hemi- liên tục (Giả thiết 1)) nên ( , ) 0F y x  , nghĩa là ( )x R y , mâu thuẫn với giả thiết. Bổ đề được chứng minh.  Chứng minh Định lí 2.5 Giả sử bài toán (2.14) không có nghiệm. Do điều kiện bức và tính tựa lồi của F (suy ra từ Giả thiết 3)), như trong chứng minh Định lí 2.4, dùng Nguyên lí ánh xạ KKM ta có ( ) y K Q y   . Lấy ( ) y K x Q y    và ( )iz A K . Như vậy đặc biệt ( )x Q z . Do đó tồn tại dãy  ; ( )x x Q z   sao cho x x  . Giả sử có một   với ( )x R z . Theo Bổ đề 2.4 tồn tại  * \ 0u C sao cho: , ( , ) 0u F x z  ; , ( , ) , ( , )u F x y u F x z y K     . Vậy hàm tựa lồi nửa chặt ( ) , ( , )g y u F x y đạt cực đại toàn cục trên K tại z . Vì ( )iz A K nên g là hàm hằng trên K , nghĩa là: , ( , ) , ( , ) 0u F x y u F x z y K      . (2.15) Do đó ( , ) 0F x y y K   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 (vì nếu trái lại sẽ có một y với ( , ) intF x y C  và khi ấy (theo tính chất của *C nêu ở trên) sẽ có * , ( , ) 0 \{0}u F x y u C    , điều này mâu thuẫn với (2.15)). Như vậy Bài toán (2.14) có nghiệm, mâu thuẫn với giả thiết phản chứng. Do đó ( )x R z   , nghĩa là ( , ) 0F z x  , vậy ( , ) 0F z x  (2.16) (do ( ,.)F z nửa liên tục dưới). Với mỗi ,x K đặt (1 ) , [0,1]tx tz t x t    . Khi ấy ( ) (0,1]t ix A K t   (theo tính chất điểm trong đại số), do đó theo (2.16) ta có ( , ) 0tF x x  . Do tính hemi- liên tục của F (Giả thiết 1)) suy ra ( , ) 0F x x x K  , nghĩa là ( ) x K x R x    . Vậy theo Nhận xét 2.5 ta có ( ) x K x P x    , nghĩa là Bài toán (2.14) có nghiệm, trái với giả thiết phản chứng. Định lí được chứng minh.  2.6. MỘT SỐ MỞ RỘNG Bên cạnh các nghiên cứu ở hai hướng dùng giả thiết đơn điệu và không dùng giả thiết đơn điệu như trình bày ở trên là một số nghiên cứu mở rộng hợp nhất hai hướng này. Bài toán cân bằng vectơ được xét là bài toán: Tìm x D sao cho ( , ) intF x y C y D   , (2.17) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 trong đó D là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian lồi địa phương Hausdorff X , C là một nón nhọn lồi đóng trong không gian lồi địa phương Hausdorff Y với int (C C  xác định trên Y một thứ tự từng phần) và :F D D Y  là một hàm đơn trị có dạng ( , ) ( , ) ( , )F x y G x y H x y  (2.18) với , :G H D D Y  . Hàm G được giả thiết có tính đơn điệu, còn H thỏa mãn một điều kiện nửa liên tục. Khi 0G  ta nhận được kết quả là một dạng vectơ của Bất đẳng thức Ky Fan, khi 0H  ta có kết quả của bài toán cân bằng vectơ đơn điệu. Các nghiên cứu ở hướng này là các nghiên cứu mở rộng vectơ kết quả của Blum- Oettli [3] ở trường hợp bài toán vô hướng. Phần này trình bày một số kết quả nghiên cứu tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng vectơ (2.17) với F có dạng (2.18) và với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM. Trước hết ta nhắc tới một số khái niệm cần thiết. Hàm :F D Y được gọi là lồi (lõm) theo nón C nếu  (1 ) ( ) (1 ) ( )F tx ty tF x t F y    ( ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ),F tx t y tF x t F y    tương ứng) với mọi  , , 0,1 .x y D t  F được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) theo C tại 0x D nếu với mỗi lân cận V của 0( )F x trong Y tồn tại lân cận U của 0x trong X sao cho  F U D V C   ( ( ) ,F U D V C   tương ứng). F được gọi là liên tục tại 0x D nếu nó vừa là nửa liên tục dưới vừa là nửa liên tục trên theo C tại 0x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 F được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên, liên tục) theo C trên D nếu nó là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên, liên tục, tương ứng) theo C tại mọi điểm thuộc D . Hàm :G D D Y  được gọi là đơn điệu theo nón C nếu ( , ) ( , ) 0 ,G x y G y x x y D   . Dễ thấy rằng, nếu  0C  thì các khái niệm liên tục theo nón ở trên trùng với các khái niệm liên tục quen biết của hàm đơn trị. Đối với tính nửa liên tục dưới theo nón của một hàm ta có tính chất được phát biểu trong kết quả sau ([16]). a) Nếu F là nửa liên tục dưới theo nón C thì tập  : ( ) intA x D F x C   là đóng trong D . b) Nếu F là nửa liên tục dưới theo C tại 0x D và ( ) intF x C với mọi  0\x D x thì 0( ) intF x C . Cho C và B là các tập lồi trong một không gian vectơ tôpô, B C . Khi ấy, lõi của B theo C , kí hiệu Ccore B , được xác định bởi ( , ( , ] \ )Ca core B a B B a y y C B       . Lưu ý là Ccore C C . Đối với bài toán cân bằng vectơ nêu trên, bằng cách dùng một số khái niệm thích hợp đối với hàm vectơ như tính lồi theo nón, nửa liên tục theo nón, các tác giả của [16] đã chuyển Định lí 1 trong Blum- Oettli [3] cùng với chứng minh của nó về dạng vectơ như sau. Định lí 2.6 (Tan-Tinh [16], 1998) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 Cho các không gian ,X Y và các tập D , C như trên, , :G H D D Y  là các hàm (đơn trị) thỏa mãn các điều kiện: 1) ( , ) 0,G x x x D   ; 2) G là hàm đơn điệu; 3) Với mỗi ,x y D cố định, hàm    : 0,1 (1 ) ,g t G ty t x y Y     là nửa liên tục trên theo nón C tại 0t  ; 4) Với mỗi x D cố định ,hàm  ,. :G x D Y là lồi, nửa liên tục dưới theo nón C trên D ; 5)  , 0,H x x x D   ; 6) Với mỗi y D cố định, hàm  ., :H y D Y là nửa liên tục trên theo nón C trên D ; 7) Với mỗi x D cố định, hàm  ,. :H x D Y là lồi; 8) Tồn tại một tập khác rỗng, lồi, compắc K D sao cho với mỗi x \ DK core K có Da core K thỏa mãn ( , ) ( , ) 0G x a H x a  . Khi ấy tồn tại x D sao cho ( , ) ( , ) int , ,G x y H x y C y D    ngoài ra nếu C thỏa mãn điều kiện (  ) thì tồn tại x D sao cho  ( , ) ( , ) ( \ 0 ),G x y H x y C y D    . Cũng như chứng minh Định lí 1 trong Blum-Oettli[3], Định lí 2.6 được chứng minh bởi ba bổ đề dưới đây. Bổ đề 2.5 Giả sử , , ,D K G H thỏa mãn giả thiết Định lí 2.6. Khi ấy tồn tại một vectơ x K sao cho ( , ) ( , ) int , .G y x H x y C y K    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Chứng minh Với mỗi y K ta đặt  ( ) : ( , ) ( , ) intS y x K G y x H x y C    , ta có ( )S y là tập đóng trong X . Ta sẽ chỉ ra ( ) y K S y   . Cho  :iy i I là một tập hữu hạn bất kỳ của K , ở đây I là tập hữu hạn các số tự nhiên. Lấy  :iz co y i I  ta có i i i I z y   với 0, 1.i i i I      Ta có ( )i i I z S y   . Giả sử trái lại ( )i i I z S y    , điều này kéo theo    , , int , .i iG y z H z y C i I    Vậy thì  ( , ) ( , ) inti i i i I G y z H z y C    . (2.19) Theo giả thiết 2) và 4) ta có     , ( , ) ( , )i i i j i j i I i j I G y z G y y         , 1 ( , ) ( , ) 0 2 i j i j j i i j I G y y G y y      . Mặt khác theo giả thiết 5) và 7) ta có    0 , ,i i i I H z z H z y    . Kết hợp các kết quả trên ta có    , , ,i i i i i I i I G y z H z y      hay     , ,i i i i I G y z H z y C    . (2.20) Kết hợp (2.19), (2.20) ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46  ( , ) ( , ) int ( )i i i i I G y z H z y C C       , điều này vô lý. Vậy ( )i i I z S y   và  : ( )i i i I co y i I S y    , nghĩa là : 2 K S K  là ánh xạ KKM. Do ( )S y là đóng và K compắc nên theo Bổ đề Ky Fan (Chương 1) ta có ( ) . y K S y   Điều này có nghĩa tồn tại x với ( , ) ( , ) int ,G y x H x y C y K    . Bổ đề được chứng minh.  Bổ đề 2.6 Giả sử , , ,D K G H thỏa mãn giả thiết Định lí 2.6, khi ấy các khẳng định sau là tương đương: 1) , ( , ) ( , ) int ,x K G y x H x y C y K     . 2) , ( , ) ( , ) int ,x K G x y H x y C y K     . Chứng minh Lấy x K sao cho ( , ) ( , ) int ,G y x H x y C y K    . Cố định y K ta đặt  (1 ) , 0,1tx ty t x t    , điều đó có nghĩa rằng tx K , với mọi  0,1t . Do đó ( , ) ( , ) intt tG x x H x x C  . Hơn nữa 0 ( , ) ( , ) (1 ) ( , )t t t tG x x tG x y t G x x   (2.21) và ( , ) ( , ) (1 ) ( , ) ( , )tH x x tH x y t H x x tH x y   hay ( , ) ( , ) .ttH x y H x x C  Điều này dẫn đến  (1 ) ( , ) (1 ) ( , ) , 0,1 .tt tH x y t H x x C t      (2.22) Kết hợp (2.21) và (2.22) ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 ( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , )t t ttG x y t G x x H x x t tH x y C      . Do ( , ) ( , ) intt tG x x H x x C  nên ta kết luận ( , ) (1 ) ( , ) int ,ttG x y t t H x y C   hay ( , ) (1 ) ( , ) int , (0,1].tG x y t H x y C t     Đặt ( ) ( , ) (1 ) ( , )tF t G x y t H x y   . Do giả thiết 3) nên F là nửa liên tục trên theo nón C hay nửa liên tục dưới theo nón C tại 0t  . Do đó ( ) int , (0,1]F t C t   , nên ta có (0) intF C hay ( , ) ( , ) int .G x y H x y C  Vậy ta có 1) suy ra 2). Bây giờ ta giả sử , ( , ) ( , ) int ,x K G x y H x y C y K     . Ta sẽ chứng minh ( , ) ( , ) int , .G y x H x y C y K    Giả sử rằng tồn tại y K sao cho ( , ) ( , ) intG y x H x y C  . Vậy ta có thể viết: ( , ) ( , ) ,G y x H x y  với intC . Mặt khác ( , ) ( , ) 0G x y G y x  nên ( , ) ( , )G y x G x y v   với v C . Như vậy ta có: ( , ) ( , ) int .H x y G x y v C     Điều này mâu thuẫn với giả thiết phản chứng. Vậy bổ đề được chứng minh.  Bổ đề 2.7 Giả sử ,D K thỏa mãn giả thiết Định lí 2.6 và :D Y  là một hàm lồi, 0 Dx core K sao cho 0( ) 0, ( ) intx y C y K     . Khi ấy ( ) int ,y C  .y D  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 Chứng minh Giả sử trái lại tồn tại \y D K với ( ) inty C  . Lấy  0 , ,z x y z  0 (1 ) , [0,1)x y     ta có 0 0( ) ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )z x y x y          . Như vậy: 0( ) ( ) (1 ) ( ) int intz x y C C C C          . Hay nói cách khác  0( ) int , ,z C z x y    . Vì 0 Dx core K nên tồn tại  0 0 ,z x y K  . Vậy 0( ) intz C  , điều này trái giả thiết ( ) int ,y C y K    . Bổ đề được chứng minh.  Chứng minh Định lí 2.6 Theo Bổ đề 2.5 tồn tại một vectơ x K sao cho ( , ) ( , ) int ,G y x H x y C y K    . Sử dụng Bổ đề 2.6 ta có ( , ) ( , ) int , .G x y H x y C y K    Ta định nghĩa hàm :D Y  xác định bởi ( ) ( , ) ( , )y G x y H x y  . Do giả thiết 4) và 7) về ,G H ta có  là lồi, theo trên ( ) int ,y C  với mọi y K . Nếu Dx core K ta chọn 0x x , trường hợp khác ta đặt 0x a , ở đây a thỏa mãn giả thiết 8). Như vậy ta luôn có 0( ) 0x  , bây giờ sử dụng Bổ đề 2.7 ta có ( ) int ,y C y D    hay Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 ( , ) ( , ) int , .G x y H x y C y D    Giả sử ngoài ra C thỏa mãn điều kiện (  ) và C là nón lồi, đóng, nhọn trong Y sao cho  \ 0 intC C  thì , , , ,D K C G H thỏa mãn tất cả các điều kiện của Định lí 2.6 do đó ta có ( , ) ( , ) int , .G x y H x y C y D     Từ ( \{0}) intC C    ta có ( , ) ( , ) ( \{0}),G x y H x y C y D    . Định lí được chứng minh.  Một kết quả khác hợp nhất hai hướng nghiên cứu (có và không có giả thiết đơn điệu) cũng đã được thiết lập bởi Bianchi-Hadjisavass-schaible [2] (1997), ở đó các tác giả cũng xét Bài toán cân bằng (2.17) với hàm F có dạng (2.18) và dùng một khái niệm đơn điệu suy rộng. Cho X là một không gian vectơ tôpô Hausdorff, K X là một tập lồi đóng khác rỗng, Y là không gian lồi địa phương với nón thứ tự C Y nhọn, lồi, đóng, intC  và các hàm , :G H K K Y  . Hàm G được gọi là giả đơn điệu theo H (hay H -giả đơn điệu) nếu với mọi ,x y K , ( , ) ( , ) 0G x y H x y  kéo theo ( , ) ( , ) 0G y x H x y  . Dễ thấy, nếu 0H  định nghĩa trên trở thành định nghĩa giả đơn điệu thông thường của G . Sự tồn tại nghiệm của Bài toán (2.17) với F có dạng (2.18) được thiết lập trong định lí sau. Định lí 2.7 ([2], 1997) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 Cho các không gian ,X Y , tập K , nón C và các hàm ,G H như trên. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn: 1) ( , ) 0G x x x K  ; 2) Với mỗi y K , hàm (., )G y là hemi-liên tục; 3) G là H - giả đơn điệu; 4) Với mỗi x K , hàm ( ,.)G x là nửa liên tục dưới và lồi; 5) ( , ) 0H x x x K   ; 6) Với mỗi y K , hàm (., )H y là nửa liên tục trên; 7) Với mỗi x K , hàm ( ,.)H x là lồi; 8) Điều kiện bức: Tồn tại tập compắc B K và 0y B sao cho 0 0( , ) ( , ) 0 \G x y H x y x K B   . Khi ấy tập nghiệm của Bài toán cân bằng : ( , ) ( , ) 0x K G x y H x y y K    (2.22 ) không rỗng và compắc. Định lí trên được chứng minh trên cơ sở ý tưởng cơ bản của chứng minh Định lí 2.4. Với mỗi y K ta đặt:     ( ) : ( , ) ( , ) 0 ; ( ) ( ) ; ( ) : ( , ) ( , ) 0 . P y x K G x y H x y Q y P y R y x K G y x H x y            Bổ đề 2.8 Nếu các Điều kiện 1)- 7) của Định lí 2.7 thỏa mãn, khi ấy ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        và mỗi giao trên là một tập đóng trong K . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 Chứng minh Trước hết ta chỉ ra: ( ) ( ) y K y K R y P y     . Lấy ( ) y K x R y    , ta có ( , ) ( , ) 0,G y x H x y y K   . Với y K bất kỳ (cố định) đặt (1 ) , (0,1)ty ty t x t    . Khi ấy ( , ) ( , ) 0, (0,1)t tG y x H x y t   , do đó (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , ) ( , )t t t tt G y x tG y y t H x y tG y y    . (2.23) Do điều kiện 1) và 4) ta có: 0 ( , ) ( , ) (1 ) ( , )t t t tG y y tG y y t G y x   . (2.24) Lưu ý là với , , , 0a b Y a b a   thì 0b  . Do đó, từ (2.23) và (2.24) suy ra: ( , ) (1 ) ( , ) 0t ttG y y t H x y   . (2.25) Từ điều kiện 5) và 7) ta có ( , ) ( , )tH x y tH x y . Do đó, từ (2.25) suy ra: ( , ) (1 ) ( , ) 0tG y y t H x y   . Vậy từ điều kiện 2) ta có: ( , ) ( , ) 0G x y H x y  , nghĩa là ( ) y K x P y    hay ( ) ( ) y K y K R y P y     . (2.26) Mặt khác, do G là H -giả đơn điệu (Điều kiện 3)) nên ( ) ( ),P y R y y K   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 Do các điều kiện 4) và 6), ( )R y là đóng trong K , suy ra ( ) ( ) ( ),Q y P y R y y K    . Như vậy ( ) ( ) ( ),P y Q y R y y K    , do đó ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        . (2.27) Từ (2.26) và (2.27) có: ( ) ( ) ( ) y K y K y K P y Q y R y        . Do ( )Q y đóng với mọi y K , nên mỗi giao trên đều là tập đóng trong K . Bổ đề được chứng minh.  Chứng minh Định lí 2.7 Ta chỉ ra ( ) y K Q y   bằng Nguyên lí ánh xạ KKM. Ánh xạ : 2KP K  là ánh xạ KKM. Thật vậy, nếu trái lại sẽ có một tập hữu hạn  :iy i I K  và một  : \ ( )i i i I y co y i I P y     , nghĩa là có 0,i  1,i i i i I i I y y       sao cho ( , ) ( , ) 0,i iG y y H y y i I  . Do đó, từ tính lồi của ( ,.)G y và ( ,.)H y (Điều kiện 4), 7)) suy ra ( , ) ( , ) 0i i i I i I G y y H y y      , hay ( , ) ( , ) 0G y y H y y  . Do ( , ) 0H x x  (Điều kiện 5)) nên ( , ) 0G y y  , mâu thuẫn với Điều kiện 1). Vậy P là ánh xạ KKM. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 Do ( ) ( )P y Q y nên dễ thấy : 2 K Q K  cũng là ánh xạ KKM. Với mỗi y K , ta có ( )Q y là tập đóng. Hơn nữa do điều kiện bức (Điều kiện 8)) ta có 0( )Q y B là compắc. Do đó theo Nguyên lí ánh xạ KKM thì ( ) y K Q y   . Như vậy, theo Bổ đề 2.8 và điều kiện bức ta có tập nghiệm của Bài toán cân bằng (2.22 ) không rỗng và compắc. Định lí được chứng minh.  Nhận xét 2.6 Từ Định lí 2.6 và Định lí 2.7 ta nhận được kết quả là mở rộng vectơ (đơn trị) của Bất đẳng thức Ky Fan khi 0G  và kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ (đơn trị) đơn điệu khi 0H  . Chương 3 BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ Để có thể cùng với Chương 2 đưa ra một cái nhìn chung về các nghiên cứu tồn tại nghiệm dùng Nguyên lí ánh xạ KKM đối với bài toán cân bằng vectơ, ở chương này chúng tôi đề cập đến một số kết quả nghiên cứu ở trường hợp bài toán cân bằng vectơ đa trị. Các kết quả nghiên cứu trực tiếp đối với bài toán này, theo hiểu biết của chúng tôi, còn hạn chế. Dưới đây là một số kết quả được tập hợp từ bài báo của Fu [10] và cuốn sách của Tấn- Minh [17]. 3.1. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐA TRỊ KHÔNG CÓ GIẢ THIẾT ĐƠN ĐIỆU Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 Cho ,X Y là các không gian vectơ, Z là không gian vectơ tôpô, K X , D Y là các tập con khác rỗng và P Z là một nón nhọn lồi, đóng, xác định một thứ tự từng phần trên Z . Cho hàm đa trị : 2ZF K D . Xét bài toán cân bằng vectơ đa trị: Tìm y D sao cho ( , )F x y P với mọi x K . (3.1) Trước khi thiết lập điều kiện tồn tại nghiệm cho bài toán trên chúng ta cần khái niệm tựa lồi chính thường đối với ánh xạ đa trị và khái niệm ánh xạ T KKM . Cho K X là một tập lồi và ánh xạ đa trị : 2ZG K  . Khi ấy G được gọi là tựa lồi chính thường nếu với mỗi , , ( ), ( )x y K u G x v G y   và [0,1]t tồn tại ( (1 ) )z G tx t y   sao cho z u hay z v . Nhận xét 3.1 Khái niệm tựa lồi trên là một mở rộng đa trị đối với khái niệm tựa lồi chính thường của hàm đơn trị: Một ánh xạ đơn trị :g K Z gọi là tựa lồi chính thường nếu với mỗi ,x y K và [0,1]t luôn có ( (1 ) ) ( )f tx t y f x   hay ( (1 ) ) ( )f tx t y f y   . Dễ thấy trong trường hợp , [0;+ )Z R P   thì khái niệm tựa lồi chính thường và khái niệm tựa lồi là tương đương. Bổ đề 3.1 Cho : 2ZG K  là ánh xạ đa trị. Khi ấy G là tựa lồi chính thường nếu và chỉ nếu với mỗi tập hữu hạn  1 2, ,..., , ( ), 0n i i ix x x K z G x t   , 1 1,2,..., , 1 n i i i n t    , luôn tồn tại 1 ( ) n i i i z G t x    và một i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55  1, 2,...,n sao cho iz z . Chứng minh Ta tiến hành chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp (chiều ngược lại là hiển nhiên). Với 2n  kết luận là đúng hiển nhiên theo định nghĩa. Giả sử rằng kết luận đúng với n m , ta phải chứng minh kết luận đúng với 1n m  . Nếu 1 1 1 1 ,..., , 0, 1, ( ), m m i i i i i x x K t t z G x        i  1,..., 1m  , ta viết 1 1 1 1 m m m m m m m m t t y x x t t t t         và 1 1 m i i i x t x     . Khi ấy 1 1 1 1 1... ( )m m m mx t x t x t t y       . Theo định nghĩa thì tồn tại ( )z G y sao cho: mz z hoặc 1mz z  . (3.2) Theo giả thiết quy nạp thì tồn tại ( )z G x sao cho iz z với một i nào đó, hay z z . Nếu z z , do (3.2) ta có mz z hoặc 1mz z  . Bổ đề được chứng minh.  Cho K X là một tập lồi khác rỗng và các ánh xạ đa trị G , : 2 Y T K  . Khi ấy, G được gọi là ánh xạ T-KKM nếu với mỗi tập con hữu hạn  1 2x , ,..., nx x K luôn có  1 2 1 ( , ,..., ) ( ) n n i i T co x x x G x   . Bổ đề 3.2 (Shioji [15], 1991) Cho ,X Y là hai không gian vectơ tôpô, K X là tập lồi compắc và các ánh xạ đa trị , : 2 Y G T K  thỏa mãn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 1) T là nửa liên tục trên và G là T KKM ; 2) Với mỗi ; ( )x K T x là khác rỗng, lồi, compắc và ( )G x là tập đóng. Khi ấy: ( ) x K G x    . Điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (3.1) được thiết lập trong định lí sau. Định lí 3.1 (Fu [10], 2000) Cho , ,X Y Z là các không gian vectơ tôpô, K X là một tập lồi compắc, khác rỗng, D Y là một tập lồi, đóng, khác rỗng và P Z là một nón nhọn lồi đóng, xác định một thứ tự từng phần trên Z . Cho : 2 D T K  là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với ( )T x là một tập lồi, compắc, khác rỗng với mọi x K và : 2ZF K D  là một ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện sau: 1) Với mỗi x K và ( )y T x có ( , )F x y P ; 2) Với mỗi x K , tập  : ( , )y D F x y P  là đóng; 3) Với mỗi y D , ánh xạ (., )F y là tựa lồi chính thường. Khi ấy tồn tại y D sao cho ( , )F x y P , với mọi x K . Chứng minh Ta xét ánh xạ : 2DG K  xác định bởi :  ( ) : ( , )G x y D F x y P x K     . Theo giả thiết 2), ( )G x là đóng, nên ta chỉ cần thể hiện G là ánh xạ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 T KKM . Giả sử trái lại rằng tồn tại 1 2, ,..., nx x x K và x   1 2, ,..., nco x x x thỏa mãn 1 ( ) ( ) n i i T x G x    . Khi ấy sẽ tồn tại ( )y T x sao cho 1 ( ) n i i y G x    , nghĩa là ( , )iF x y P , với mọi 1, 2,...,i n . Vậy với mỗi i tồn tại ( , )i iz F x y sao cho , 1,...,iz P i n  . (3.3) Do (., )F y là tựa lồi chính thường nên theo Bổ đề 3.1 tồn tại ( , )z F x y P  và một  1,...,i n sao cho 0 iz z  . (3.4) Kết hợp (3.3) và (3.4) ta nhận được mâu thuẫn, nghĩa là G là T-KKM, theo Bổ đề 3.2 ta có ( ) x K G x    , tức là tồn tại y D sao cho ( , )F x y P , với mọi x K . Định lí được chứng minh.  Từ Định lí 3.1 ta có hệ quả sau là dạng đa trị của Bất đẳng thức Ky Fan. Hệ quả 3.1 Cho , , ,X Z K P thỏa mãn giả thiết Định lí 3.1 và ánh xạ đa trị F : 2 Z K K  sao cho : 1) Với mỗi x K , có ( , )F x x P ; 2) Với mỗi x K , tập  : ( , )y K F x y P  là đóng; 3) Với mỗi y K , ánh xạ (., )F y là tựa lồi chính thường. Khi ấy tồn tại y K sao cho ( , )F x y P , với mọi x K . Chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 Trong Định lí 3.1, lấy , ,X Y D K T I   (ánh xạ đồng nhất) ta có ngay điều cần chứng minh.  Hơn nữa, nếu F là ánh xạ đơn trị thì từ Hệ quả 3.1 ta có dạng vectơ sau của Bất đẳng thức Ky Fan. Hệ quả 3.2 Cho , , ,X Z K P thỏa mãn giả thiết Định lí 3.1, và ánh xạ đơn trị :f K K Z  sao cho: 1) Với mọi x K , có ( , ) 0f x x  ; 2) Với mỗi x K , tập  : ( , ) 0y K f x y  là đóng; 3) Với mỗi y K , ánh xạ (., )f y là tựa lồi chính thường. Khi ấy tồn tại y K sao cho ( , ) 0f x y  , với mọi x K . Nhận xét 3.2 Trong trường hợp , ( ,0], , :Z R P f g g K K R       sao cho: 1) Với mọi x K , có ( , ) 0g x x  ; 2) Với mỗi x K , hàm ( ,.)g x là nửa liên tục dưới; 3) Với mỗi y K , hàm (., )g y là tựa lõm; theo Hệ quả 3.2 ta có y K với ( , ) 0g x y  với mọi x K , nghĩa là có Bất đẳng thức Ky Fan (vô hướng). 3.2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ĐA TRỊ ĐƠN ĐIỆU Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 Cho ,X Y là hai không gian vectơ tôpô , tập lồi đóng D X , nón lồi đóng C Y với intC  và hàm đa trị : 2 , ( , )YF D D F x y   với mọi ,x y D . Bài toán cân bằng vectơ đa trị được xét ở đây là bài toán sau: Tìm x D sao cho ( , ) intF x y C  với mọi y D , (3.5) trong đó F là một hàm đơn điệu. Để đưa ra kết quả tồn tại nghiệm của Bài toán (3.5) ta cần một số khái niệm. Hàm : 2YG D D  gọi là đơn điệu nếu ( , ) ( , ) ,G x y G y x C x y D     . Hàm : 2YT D gọi là C - lồi trên (C - lồi dưới) nếu ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) )T x T y T x y C         ( ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( )T x y T x T y C        , tương ứng). Hàm T được gọi là C - liên tục trên ( C - liên tục dưới) tại 0x D nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại một lân cận U của 0x trong X sao cho với mọi x U domT  ta có 0( ) ( )T x T x V C   ( 0( ) ( )T x T x V C   , tương ứng). T được gọi là C - liên tục tại 0x nếu T vừa là C - liên tục trên vừa là C - liên tục dưới tại 0x . T được gọi là C - liên tục trên ( C - liên tục dưới, C - liên tục) trên D nếu T là C - liên tục trên ( C - liên tục dưới, C - liên tục, tương ứng ) tại mọi điểm thuộc D . Nhận xét 3.3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 a) Nếu G là đơn trị thì khái niệm đơn điệu trên chính là khái niệm đơn điệu ( theo nón C ) của hàm vectơ đơn trị (ở chương 2). b) Nếu T là đơn trị thì khái niệm C - lồi trên và C - lồi dưới là trùng nhau khi ấy T được gọi là C - lồi (hay lồi theo C ). c) Nếu T là đơn trị thì tính C - liên tục trên và C - liên tục dưới là một và khi ấy T được gọi là C - liên tục ( hay liên tục theo C ). Về sự tồn tại nghiệm của Bài toán (3.5) với F G H  , trong đó G là một hàm vectơ đa trị và H là một hàm vectơ đơn trị ta có kết quả sau được phát biểu và chứng minh trong Tan-Minh [17] (2006). Định lí 3.2 Cho ,X Y là hai không gian lồi địa phương Hausdorff, D X là tập con lồi, đóng, khác rỗng, C Y là nón nhọn, lồi, đóng với intC  và : 2 , :YG D D H D D Y    là các hàm thỏa mãn các điều kiện sau: 1) 0 ( , )G x x với mọi x D ; 2) G là đơn điệu và ( , )G x y là compắc với mọi ,x y D ; 3) Với mỗi ,x y D cố định, hàm  : 0,1 2Yg  được xác định bởi ( ) ( (1 ) , )g t G ty t x y   là ( )C -liên tục trên tại 0t  ; 4) Với mỗi x D cố định, hàm ( ,.) : 2YG x D là C - liên tục dưới và C - lồi dưới; 5) ( , ) 0H x x  với mọi x D ; 6) Với mỗi y D cố định, hàm (., ) :H y D Y là ( )C - liên tục trên; 7) Với mỗi x D cố định, hàm ( ,.) :H x D Y là C - lồi; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 8) Tồn tại một tập lồi, compắc, khác rỗng K D sao cho với mỗi \ Dx K core K có một Da core K thỏa mãn ( , ) ( , )G x a H x a C   . Khi ấy tồn tại x K sao cho ( , ) ( , ) intG x y H x y C   với mọi y D . Nếu ngoài ra, C thỏa mãn điều kiện (  ) thì tồn tại x K sao cho  ( , ) ( , ) ( \ 0 )G x y H x y C y D     . Định lí 3.2 là một mở rộng đa trị của Định lí 2.6 (Chương 2) và được chứng minh dựa vào ý tưởng và kỹ thuật cơ bản của chứng minh Định lí 2.6. Chứng minh đầy đủ của Định lí 3.2 được trình bày trong [17]. Do khuôn khổ của luận văn, ở đây chúng tôi chỉ trình bày những ý cơ bản của chứng minh định lí này. Tương tự như chứng minh Định lí 2.6, Định lí 3.2 được chứng minh qua ba bổ đề dưới đây. Trong các bổ đề này ta luôn giả thiết các điều kiện từ 1) đến 8) của Định lí 3.2 được thỏa mãn. Bổ đề 3.3 Tồn tại x K sao cho ( ( , ) ( , )) intG y x H x y C y K    . Chứng minh Với mỗi y K , đặt  ( ) : ( ( , ) ( , )) intS y x K G y x H x y C     . Từ giả thiết 2) và 5) suy ra ( )y S y , nghĩa là ( ) 0S y  với mọi y K . Do giả thiết 4) và 6) ta có ( )S y là đóng trong X . Lấy  :iy i I là một tập con hữu hạn bất kì của K ( I là tập hữu hạn bất kì của tập các số tự Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 nhiên). Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.5 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có  : ( )i i i I co y i I S y    , nghĩa là ánh xạ : 2KS K  là ánh xạ KKM. Do K là tập compắc nên theo Nguyên lí ánh xạ KKM suy ra ( ) y K S y    , nghĩa là có kết luận của Bổ đề 3.3.  Bổ đề 3.4 Nếu x K thỏa mãn ( ( , ) ( , )) int ,G y x H x y C y K     , (3.6a) thì ( , ) ( , ) int ,G x y H x y C y K     . (3.6b) Chứng minh Lấy x K sao cho ( ( , ) ( , )) int ,G y x H x y C y K     . Với y K bất kì, cố định, đặt (1 ) , [0,1]tx ty t x t    . Do tx K với mọi [0,1]t nên ( ( , ) ( , )) intt tG x x H x x C  . Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.6 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có (1 ) ( , ) ( , ) inttt H x y G x y C    với 0t  . (3.7) Do tính liên tục của hàm ( , )tG x y theo t tại 0t  (Giả thiết 3)), từ (3.7) ta được ( , ) ( , ) intH x y G x y C   . Vì y K là bất kì nên có khẳng định của bổ đề.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 Lưu ý là Bổ đề 3.4 ở trên chỉ khẳng định Điều kiện (3.6a) suy ra Điều kiện (3.6b), trong khi đó ở trường hợp đơn trị, Bổ đề 2.6 chỉ ra sự tương đương giữa hai điều kiện tương ứng (Điều kiện 1) và 2) của bổ đề này). Bằng lập luận tương tự như chứng minh Bổ đề 2.7, ta có kết quả sau. Bổ đề 3.5 Nếu : 2YD  là C - lồi dưới và có các tính chất: 1) Tồn tại 0 Dx core K với 0( )x C   ; 2) ( ) inty C y K     , thì ( ) inty C y D     . Chứng minh Định lí 3.2 Theo Bổ đề 3.3 tồn tại x K sao cho ( ( , ) ( , )) intG y x H x y C y K    . Theo Bổ đề 3.4 thì ( , ) ( , ) int ,G x y H x y C y K     . Đặt ( ) ( , ) ( , ),y G x y H x y y D   . Áp dụng Bổ đề 3.5 đối với hàm : 2YD  và sử dụng lập luận tương tự như trong chứng minh Định lí 2.6 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có kết luận của Định lí 3.2.  Trong trường hợp 0H  , Định lí 3.2 cho ta điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm bài toán cân bằng vectơ đa trị đơn điệu. Kết quả này được phát biểu thành định lí dưới đây. Định lí 3.3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 Cho các không gian ,X Y , tập D , nón C và hàm G như ở Định lí 3.2 sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: 1) 0 ( , )G x x với mọi x D ; 2) G là đơn điệu và ( , )G x y là compắc với mọi ,x y D ; 3) Với ,x y D bất kì, cố định, hàm Y:[0,1] 2g  được định nghĩa bởi ( ) ( (1 ) , )g t G ty t x y   là ( )C - liên tục trên tại 0t  ; 4) Với mỗi x D cố định, hàm ( ,.) : 2YG x D là C - lồi dưới và C - liên tục dưới; 5) Điều kiện bức: Tồn tại tập lồi, compắc, khác rỗng K D sao cho với mỗi \ Dx K core K có một Da core K thỏa mãn ( , ) ( )G x a C  . Khi ấy tồn tại x K sao cho ( , ) int ,G x y C y D    . Nếu ngoài ra, nón C thỏa mãn Điều kiện (  ) thì tồn tại x K sao cho  ( , ) ( \ 0 ),G x y C y D    . Nhận xét 3.3 1) Nếu G là hàm đơn trị thì từ Định lí 3.2 ta nhận được điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng vectơ đơn trị (2.17) với F có dạng (2.18). Trong trường hợp ,Y R C R  , điều kiện đủ này là kết quả của Blum- Oettli [3] cho bài toán cân bằng vô hướng. 2) Nếu G là đơn trị thì từ Định lí 3.3 ta nhận được một kết quả về sự tồn tại nghiệm của Bài toán cân bằng vectơ đơn trị đơn điệu (được xét ở Chương 2) . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn điệu bằng cách dùng Nguyên lí ánh xạ KKM, ngoài cách tiếp cận trực tiếp như ở một số kết quả nghiên cứu được trình bày ở chương này và chương trước, chúng tôi muốn lưu ý đến một cách tiếp cận gián tiếp là chuyển bài toán vectơ về bài toán vô hướng. Cách tiếp cận này được Oettli [14] đưa ra năm 1997 với một số kết quả ở bài toán vectơ đơn trị và với một số gợi ý nghiên cứu đối với bài toán vectơ đa trị. Ở đây, chúng tôi không đi sâu vào cách tiếp cận này. KẾT LUẬN  Luận văn này trình bày một số điểm cơ bản về Nguyên lí ánh xạ KKM ở không gian vectơ tôpô trong liên quan với một số thành tựu quan trọng của giải tích phi tuyến là Định lí điểm bất động Brouwer, Bổ đề KKM và Bất đẳng thức Ky Fan (Chương 1). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66  Luận văn trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đơn trị với cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM ở các trường hợp có giả thiết đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu (Chương 2).  Một số kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ đa trị ở các trường hợp đơn điệu và không có giả thiết đơn điệu cũng được đề cập trong luận văn (Chương 3).  Các kết quả nghiên cứu trình bày trong luận văn về bài toán cân bằng vectơ được tập hợp từ một số bài báo công bố trong khoảng mười năm gần đây. Các kết quả này được lựa chọn và trình bày theo cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM và dựa vào ý tưởng cũng như kĩ thuật cơ bản ở bài toán cân bằng vô hướng. Luận văn là một bổ xung vào tài liệu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với cách tiếp cận này. Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi mong được các thày, cô giáo và bạn đọc chỉ giáo. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Q. H. Ansari- I. V. Konov- J. C. Yao, Existence of a Solution and Variattional Principles for vector Equilibrium Problems, J. Optim. Theory Appl, Vol. 110 (2001), 481- 492. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 [2] M. Bianchi, N. Hadjisavvas and S. Schaible, Vector Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions, J. Optim. Theory Appl, Vol. 92 (1997), 527- 542. [3] E. Blum and W. Oettli, From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems, Mathematics Student, Vol. 63(1993), 1-23. [4] H. Brezis, L. Nirenberg and G. Stampacchia, A Remark on Ky Fa n s Minimax Principle. Boll. Un. Mat. Ital. Vol. 6(1972). 293-300. [5] L. E. J. Brouwer, Uber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71 (1912), 97-115. [6] O.Chali, Z. Chbani and H.Riahi, Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions and Applications to Variational Inequalities, J. Optim. Theory Appl. Vol. 105(2000), 299-323. [7] X.P. Ding and K.K.Tan, A Minimax Inequality with Applications to Existence of Equilibrium Point and Fixed Point Theorems, Colloquium Mathematicum, Vol. 63 (1992), 233-247. [8] K. Fan. A Generalization of Tychonoff s Fixed Point Theorem, Math. Ann. 142 (1961), 305-310. [9] K. Fan, A Minimax Inequality and Applications. In: Inequalities III, ed. by O. Shisha, A cademic, Press, New York- Lon don (1972), 103-113. [10] Sun-Yi Fu, Generalized Vector Quasi-Equilibrium Problems, Math. Meth. Oper. Res. Vol. 52(2000), 57- 64. [11] B. Knaster, K. Kuratowski and S. Mazurkiewicz, Ein Beweis des Fixpunktsatzes f ur n-Dimensionale Simplexe, Fund. Math. 14 (1929), 132- 137. [12] G. Minty, Monotone (Nonlinear) Operators in Hilbert space, Duke Math. Journal, Vol. 29 (1962), 341-346. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 68 [13] U. Mosco, Implicit Variational Problems and Quasi- Variational Inequalities, Lecture Notes in Mathematics, Spriger- Verlag, Vol. 543 (1976), 83- 156. [14] W. Oettli, A Remark on Vector-Valued Equilibria and Generalized Monotonicity, Acta Mathematica Vietnama, Vol. 22(1997), 213-221. [15] N. Shioji, A Further Generalization of the Knaster- Kuratowski- Marurkiewicz Theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 111, (1991), 187- 195. [16] N. X. Tấn and P. N. Tĩnh, On the Exitstence of Equilibrium Points of Vector Functions, Numer. Funct. Anl. Optim. Vol. 19 (1998), 141- 156. [17] N.X.Tấn và N.B.Minh, Một số vấn đề trong lí thuyết tối ưu vectơ đa trị, NXB Giáo dục, 2006. [18] Đ.H.Tân và N.T.T.Hà, Các định lí điểm bất động, NXB Đại học Sư phạm, 2003.