Luận văn Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hoà dưới

. Lấy ,Eu u W= và ký hiệu F  ( )WPSH là họ các hàm u . Giả sử  là hàm xác định của W sao cho  <-1 trên K. Khi đó ur £ trong W . Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi (0,1)e Î tồn tại ( )v CÎ W Ç F. Sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 u v ue- £ £ trong W . Thật vậy, lấy (0,1)e Î Þ tồn tại 0h > sao cho u e r- < trong \ hWW và K hÐ W , trong đó { }: ( , )z dist zh hW = Î W ¶W > . Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini (Royden 1963), có thể tìm được 0s > sao cho u dc e r* - < trên ¶W và 1u dc e* - < - trên K . Đặt { } \ max , trong v u trong h e d h r c e r í W Wï ï= ì ï * - W ïî . Khi đó ve  C(  ) ∩ F và như vậy { }max ,u u v uee e r- £ - £ £ tại mỗi điểm trong W . 1.3.5. Mệnh đề. Cho nWÐ £ là tập mở liên thông, và E Ð W . Khi đó các điều kiện sau tương đương : ( )i * , 0Eu W º ; ( )ii Tồn tại hàm ( )v Î WPSH âm sao cho { }: ( )E z v zÐ Î W = - ¥ Chứng minh. ( ) ( )ii iÞ là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên ( )ii , thì ,Ev ue W£ với mọi 0e > , từ đó , 0Eu W = hầu khắp nơi trong W . Như vậy * , 0Eu W º . Bây giờ giả sử * , 0Eu W º . Do [7] (mệnh đề 2.6.2 tr49), tồn tại một điểm a Î W sao cho , ( ) 0Eu aW = . Bởi vậy, với mỗi j Î ¥ , có thể chọn một ( )jv Î WPSH sao cho 0, 1j j E v v< < - và ( ) 2 jjv a -> - . Đặt 1 ( ) ( ), .j j v z v z z ¥ = = Î Wå Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Chú ý rằng ( ) 1v a > - , v âm trong W , và Ev = - ¥ . Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dưới. Vì v ¹ - ¥ nên ta kết luận ( )v Î WPSH . 1.3.6. Mệnh đề. Cho W là tập con mở liên thông của n£ . Giả sử j j E E= U , trong đó jE Ð W với 1,2,...j = . Nếu * , 0jEu W º với mỗi j , thì * , 0Eu W º . Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.3.5 chọn ( )jv Î WPSH sao cho 0jv < và j j E v = - ¥ . Lấy điểm { } 1\ ( )j j a v - æ ö ÷çÎ W - ¥ ÷çè ø U . Bằng cách mở rộng mỗi hàm jv bởi một hằng số dương thích hợp, ta có thể giả thiết ( ) 2 jjv a -> - . Khi đó ( )j j v v= Î Wå PSH , 0v < và Ev = - ¥ . Suy ra * , 0Eu W º . 1.3.7. Mệnh đề. Cho W là tập con siêu lồi của n£ và K là một tập con compact của W . Giả thiết rằng { }jW là một dãy tăng những tập con mở của W sao cho 1 j j ¥ = W= WU và 1K Ð W . Khi đó , ,lim ( ) ( ),jK Kj u z u z zW W ® ¥ = Î W . Chứng minh. Lấy điểm 0z Î W . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng { }0 1K zÈ Ð W . Giả sử 0  là một hàm vét cạn đối với W sao cho 1   trên K. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Lấy (0,1)e Î sao cho 0( )zr e< - . Khi đó tồn tại 0j Î ¥ sao cho tập mở 1(( , ))w r e-= - ¥ - là tập compact tương đối trong 0j W . Lấy 0 ( )ju Î WPSH sao cho 0u £ trên 0j W và 1u £ - trên K . Khi đó { }max ( ) , ( ) , ( ) ( ), \ u z z z v z z z e r w r w í - Îï ï= ì ï Î W ïî xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa 1Kv £ - và 0v £ . Như vậy 0 , 0( ) ( )Kv z u zW£ . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ 0 , jK u W , nên ta có 0 , 0 , 0( ) ( )jK Ku z u zeW W- £ . Do đó ta có , 0 , 0 , 0( ) ( ) ( ) j j K K Ku z u z u zeW W W- £ £ với mọi 0j j³ và e nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.4. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu Đầu tiên chúng ta nhắc lại bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux: Cho ( )p z là đa thức của một biến phức có bậc 1d ³ . Với bất kỳ 0e > , xét đa thức e -lemniscate của P được xác định bởi: ( ) ( ){ }, : ; dE P z P ze e= Î ££ . Khi đó tồn tại một phủ hữu hạn của ( ),E P e bởi đĩa mở d với bán kính ( ) 1j j d r £ £ thỏa mãn ước lượng: 1 2 j j d r ee £ £ £å . (1.1) Nói cách khác ( ) ( )log log 1/ ,P z d ze³ - " Î £ ngoài hợp của các đĩa mở d với bán kính ( ) 1j j d r £ £ thỏa mãn ước lượng 1 2 j d j r ee £ £ £å . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Từ ước lượng này ta có thể suy ra nguyên lý cực tiểu đối với hàm chỉnh hình. Nếu f là một hàm chỉnh hình trên đĩa { }; 2z z eRÎ £C sao cho ( )0 1f = . Khi đó, với bất kỳ số thực 0 1h< < ( ) ( ) ( ) ( ) 33 log log 2 , : log , 2f e f z H M eR Hh h h æ ö ÷ç> - = çè ø xảy ra với z R£ ngoài hợp của một số hữu hạn những đĩa có bán kính ( )jr với 2j j r Rh£å . Một cách tổng quát hơn của bổ đề Cartan-Boutroux’ có thể phát biểu như sau: Với 0 2a< £ tuỳ ý tồn tại một phủ hữu hạn của ( , )E P e bởi đĩa mở d với bán kính ( )jr thỏa mãn ước lượng: ( ) 1 2 d j j r e a a e = £å . (1.2) Nói cách khác, điều đó có nghĩa là với bất kỳ (0,1]e Î cận dưới ( ) dP z e£ xảy ra với mọi z ngoài hợp của đĩa d với bán kính ( )jr thỏa mãn ước lượng ( )2 .j jr e a a e£å Điều này tương đương với ước lượng sau theo nghĩa của dung lượng Hausdorff của số chiều a : ( )( ) ( ); 2h E P e a a e e£ , [0,1]e" Î . Chúng ta kết thúc phần này bằng cách nhắc lại định nghĩa của dung lượng Hausdorff trong một tập hợp tổng quát hơn, sẽ được sử dụng về sau. Cho ( , )X d là một không gian Metric và 0p > là một số thực. Khi đó với một số thực đã cho 0d > , theo định nghĩa, dung lượng d - Hausdorff số chiều p của tập E XÐ được định nghĩa như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 ( ) ( ) ( ) ( ): inf ; , , pp j j j j jj h E r B E B B B X dd dÎ ÎÎ í üï ï = Ð Îì ý ï ï î þ å ¥ ¥¥ U , trong đó ( ),B X dd là lớp tất cả các phủ đếm được ( )j jB Î ¥ của tập E bởi các hình cầu của không gian Metric ( , )X d có bán kính tại hầu hết d và ( )jr B là bán kính của hình cầu j B với mỗi j Î ¥ . Giống như trong bổ đề Cartan-Boutroux, ta có thể lấy d = + ¥ . Số tương ứng ký hiệu là ( ) ( )p ph E h E¥= và được gọi là dung lượng Hausdorff số chiều p của tập E . Độ đo Hausdorff số chiều p của tập E được định nghĩa bởi ( ) ( ) ( )0 0: sup lim p p pH E h E h E d d d d> ¯ = = . 1.5. Toán tử Monge-Ampe Cho u là đa điều hoà dưới trên miền nWÐ £ . Nếu 2u CÎ thì toán tử: ( ) ( ) ( ) 1 , : ... 4 !det nc c c n j kn j k n u dd u dd u dd u n dV z z £ £ é ù ¶ê ú= Ù Ù = ¶ ¶ê úë û 1444444442 444444443 với dV là yếu có thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact 0( )C W trên W . ( ) ( )0 ncC dd uj j W W ' òa Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy     1n n u C    PHS sao cho nu u và   nc ndd u hội tụ yếu tới độ đo Radon  trên W tức là: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 ( ) ( )0lim , nc n n dd u d Cj j m j W W = " Î Wò ò . Hơn nữa  không phụ thuộc vào việc chọn dãy  nu như trên ta ký hiệu: ( )c ndd u m= và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . 1.6. Khối lượng xạ ảnh và các số Lelong Chúng ta nhắc lại một vài định nghĩa đã biết và tính chất của những số Lelong ([4],[11]): Cho W là một miền trong n£ và ( )WPSH là nón các hàm đa điều hòa dưới u trên W sao cho u º/ - ¥ . Khi đó ( )1( ) locLW Ð WPSH là một tập con đóng đối với 1 loc L - tô pô và nó là không gian metric đầy đủ. Xét những toán tử vi phân thường trên n£ được định nghĩa bởi d = ¶ + ¶ và ( )( )1/ 2cd ip= ¶ - ¶ , do đó ( )/ .cdd i p= ¶¶ Do đó phương trình Monge-Ampere sau: ( ) ( )log n cdd z zd= xảy ra theo nghĩa của dung lượng trên n£ , trong đó ( )zd là khối lượng điểm Dirac tại gốc. Bây giờ, ta nói rằng nếu ( )V Î WPSH thì cdd V là dung lượng dương đóng của song bậc (1,1) trên W (xem [11]). Với bất kỳ a Î W cố định và 0 1r< < < sao cho ( ) { }; : ;na r z z a r= Î - £ W£B Ð , ta định nghĩa khối lượng xạ ảnh của cdd V trên hình cầu ( );a rB như sau: ( ) ( ) ( ) 1 , , : log . n c c V a r a r dd V dd z aJ - = Ù -ò B (1.3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Khi đó, theo kết quả đã biết của Lelong ([11]), ta có công thức sau ( ) ( ) ( ) ( )( ) B B 11 2 2 2 2 , 2 2 ,1 ! , Vc V nn n n a r n a r a r dd V r r m J b p t -- - - - - = Ù =ò , (1.4) trong đó 2 2nt - là thể tích  2 2n - chiều của hình cầu đơn vị Euclid trong 1n -£ , ( ) ( )12 1: / 2 , : / 1 ! n ni z nb b b - -= ¶ ¶ = - và ( ): 1/ 2V Vm p= D là độ đo Riesz liên kết với V . Khối lượng xạ ảnh của cdd V tại điểm a được định nghĩa bởi công thức sau: ( ) ( ) ( )( ) 2 200 2 2 , : lim , lim . V V V nrr n a r a a r r m J J t+ -®® - = = B (1.5) Số dương ( )V aJ gọi là số Lelong của cdd V hoặc số Lelong của hàm V tại điểm a . Theo một kết quả cổ điển của V.Avanissian (xem[6]), số Lelong cũng có thể được biểu thị bởi công thức sau ( ) ( ) ( )2 1 0 1 : lim log V n r r a V a r d r x J x s x + -® = = +ò , (1.6) ( ) ( ) 0 max : lim . log z a r V r V z a r J + - = ® = (1.7) trong đó 2 1n ds - là số đo diện tích đã được chuẩn hóa trên mặt cầu đơn vị ¶B Chú ý rằng khi f là một hàm chỉnh hình gần điểm a sao cho 0f º/ thì ( ) log f aJ là bậc triệt tiêu của f tại điểm a . Từ công thức (1.7), suy ra ( ) 0V aJ = nếu ( )V a > - ¥ . Công thức này chỉ ra rằng số Lelong ( )V aJ có thể xem như là trọng số kỳ dị lôgarit của V tại điểm a . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 Chương 2 NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI CÁC HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI Nội dung chính của chương này là trình bày việc tổng quát hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến số phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux, đã trình bày ở chương 1. 2.1. Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit Lớp Lelong trên n£ , được định nghĩa như sau: ( ) ( ) ( ){ }: ( ); log 1 . .n n nv v z z z+= Î £ + " Σ £ £L P SH O Cho  : Nu L L C ký hiệu ( )u zr là hàm Robin của u trên NC xác định bởi: ( ) ( ){ }lim logu z u z l l r l l ® + ¥ Î = - C . Hiển nhiên ( )u zr thoả mãn điều kiện thuần nhất logarit nghĩa là: ( ) ( ) log , , Nu uz z zr a r a a= + " Î ÎC C . Ngoài ra ur là đa điều hoà dưới trên NC . Để hàm ( )nV Î £L phải có một hàm Robin liên kết như sau (xem [2], [12], [17]). Với { }\ 0nz Î £ , đặt ( ) ( )( ) , : lim sup logV V z l l r z l l z Î ® ¥ = - £ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 Do hàm này là hằng số trên đường thẳng phức tuỳ ý của n£ đi qua gốc toạ độ, suy ra rằng Vr là hàm được xác định tốt trên không gian xạ ảnh 1n -P mà có thể xem như siêu phẳng tại vô cực trong n£ . Khi đó theo Bedford và Taylor ([2]), chúng ta giới thiệu lớp sau đây ( ) ( ){ };n n VV r* = Î º/ - ¥£ £L L . Giả sử 0 w là dạng Fubini - Study trên 1n -P được chuẩn hóa bởi điều kiện 1 1 0 1 n nw - - =ò P . Khi đó nếu ( ),nV *Î £L thì hàm Robin Vr là một hàm 0 w - đa điều hòa dưới trên 1n -P , theo nghĩa nó là nửa liên tục trên trên 1n -P và thỏa mãn điều kiện 0 0 c Vdd r w+ ³ trên 1n -P . Một kết quả thú vị liên quan tới lớp ( )n* £L là công thức biểu diễn Riesz, đã biết trong trường hợp một biến số, nhưng dường như không được biết trong n£ . Ở đây sẽ trình bày một chứng minh mà sau này sẽ sử dụng đến. 2.1.1. Bổ đề. Mọi hàm L ( )nV *Î £ đều được biểu diễn bởi công thức sau ( ) ( ) 1 1 1 0log logn n nc c n VV z z dd V dd zz z r w- - -= - Ù - +ò ò P£ (2.1) với mọi nz Î £ . Chứng minh: Bằng cách phép tịnh tiến ta có thể giả sử rằng 0z = là gốc trong n£ . Theo công thức Poisson-Jensen cổ điển , với 0 r R< < , ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 1 R n n V r dt V R d V r d t tx x z s z s z J- - = = - =ò ò ò , trong đó ( ) ( ): 0,V Vt tJ J= là khối lượng xạ ảnh của cdd V trên hình cầu ( )0, tB . Từ công thức này suy ra ( )0V > - ¥ nếu và chỉ nếu ( ) 0 R V dt t t J < + ¥ò , suy ra ( ) 0lim log 0t t tJ¯ = . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 Đầu tiên giả thiết rằng ( )0V > - ¥ . Khi đó bằng cách lấy tích phân từng phần ta có công thức sau: ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 1 n nV R d V r d z z z s z s z- - = = - =ò ò ( ) ( ) ( )log log log R V V V r R R r r td tJ J J= - - ò và cho 0r ¯ , ta nhận được: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 0 log log R n V VV R d V R R t d t z z s J J- = - = -ò ò . (2.2) Bây giờ chú ý rằng bằng cách xấp xỉ V bởi hàm bị chặn { }: sup ,jV V j= - theo công thức ở trên ta thấy rằng ( )0V = - ¥ khi và chỉ khi ( ) 0 log R V td tJ = - ¥ò và công thức (2.1) cũng xảy ra trong trường hợp này. Như vậy chúng ta chỉ cần chứng minh (2.1) khi ( )0V > - ¥ . Trong trường hợp đó, từ (2.2) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 log 0 log log nc c n V R V R d R R V dd V dd V z z z s J z z - - = < - = - Ùò ò . Bây giờ, vì L ( )nV *Î £ , nên từ tính lồi của giá trị trung bình ( ) 2 1 1 nV R d z z s - = ò trong log R (xem [2, bổ đề 7.4]), suy ra ( ) ( )2 1 2 1 1 | | 1 lim log n V nR V R d R d z z z s r z s - -® + ¥ = = æ ö ÷ç - = è øò ò , và khi đó ( ) ( ) 1 2 1 1 lim log 1. nR R V R d z z s - -® + ¥ = =ò Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Bởi vậy, từ công thức Poisson-Jensen suy ra ( )lim 1R V RJ® + ¥ = , ( ) 1 lim log log nc c R R dd V dd z z z - ® + ¥ < Ùò là hữu hạn và khi đó ( )( )lim 1 log 0R V R RJ® + ¥ - = . Do đó ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 0 log log n nc c V nd V dd V dd V z r z s z z - - = = - Ùò ò £ . Mặt khác, sử dụng định lý Fubini đối với phép chiếu 1 2 1 : n n p - - aS P , ta có: ( ) ( ) 1 1 1 0 1 log log n nc c n V Vd dd z r z z z r w - - - = Ù =ò ò P . Bây giờ chú ý rằng độ đo 2 1n s - đã được chuẩn hóa trên mặt cầu đơn vị 2 1n - S trùng với hạn chế của ( ) 1 log log n c cd ddz z - Ù lên 2 1n - S điều này kéo theo công thức cần tìm.  Từ công thức này suy ra lớp các hàm đa điều hòa dưới sau đây ( ) ( ){ }1 1* 0: ; 0nn n nVV r w- -= Î =ò£ £ PLlogL là tổng quát hóa một cách tự nhiên của lớp các thế vị logarit cổ điển. Với lý do này, chúng ta sẽ gọi lớp đó là lớp các thế vị logarit trong n£ . Với bất kỳ tập con nE Ì £ , nhắc lại rằng hàm cực trị Siciak- Zahariuta ’ s liên kết với E được xác định bởi công thức sau (xem [13], [14], [16]). ( ) ( ) ( ): sup ; ;sup 0nE E V z V z V V ì üï ï ï ï= Î £í ý ï ï ï ïî þ £L . Khi đó dung lượng logarit của tập E sẽ được xác định bởi công thức. ( ) ( ) P * 1 1 log 0: exp n E n V C E r w - -= - ò . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Nhận xét rằng nếu E là tập đa cực thì * E V º + ¥ và khi đó ( )log 0C E = . Mặt khác nếu nE £Ð không đa cực thì ( )* nEV Î £L và * E V r là bị chặn trên 1n -P , trong trường hợp này ta có ( )log 0C E > . Hơn nữa, sử dụng một kết quả liên quan đến sự hội tụ của hàm Robin (xem [2]), có thể chứng minh rằng dung lượng logarit là dung lượng Choquet trên n£ . Nhận xét rằng dung lượng này liên quan tới lớp thế vị logarit bởi công thức sau, ( ) ( ){ }loglog inf sup* ; n E C E V V= Î £Llog , (2.3) trong đó { }\sup * inf supE E AV V= , A EÌ là tập đa cực. Thật vậy, từ định nghĩa của * E V và các kết quả của [1] dễ dàng thấy rằng * *sup 0 E E V = và do đó: ( ) ( ) ( ){ }* *sup ; ;sup 0 ,n nE E V z V z V V z= Î = Σ £L . Do đó ta nhận được công thức sau: ( ) ( ){ } ( ){ } P P 1 1 1 * log 0 1 * 0 log sup ; , sup 0 sup sup ; n n n n V E n n V E C E V V V V r w r w - - - - - = Î = = - Î ò ò £ £ L L (2.4) trong đó sup đạt được đối với * E V V= . Bây giờ từ (2.4) suy ra: ( ) ( ){ } P 1 1* log 0log inf sup ;n n n V E C E V Vr w - -= - Îò £L , Từ đó suy ra công thức (2.3). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 Nhận xét rằng với một tập con compact nK Ì £ có một hằng số khác được gọi một cách cổ điển là dung lượng logarit và xác định bởi công thức sau ([8],[12], [14], [17]) ( ) ( )( )* 1 : exp lim sup log exp sup KK V z z K V z zt r * ® + ¥ = æ ö æ ö ÷ ÷ç ç= - - = - è ø è ø . Từ một bất đẳng thức đã biết (xem [3], [14]), dễ dàng suy ra rằng tồn tại một hằng số 0nk > sao cho ( ) ( ) ( )log .nK C K k Kt t£ £ với tập con compact nK Ì £ tuỳ ý. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh Bổ đề Carrtan-Boutroux tổng quát đối với lớp ( )n£Llog các thế vị logarit sau đây: 2.1.2.Định lý. Với 0 5h< < , (0,2]a Î và hàm ( )nV Î £Llog tuỳ ý , ta có ( ) ( )log 5 /V z e h³ - , (2.5) xảy ra với mọi nz Î £ ngoài hợp của một họ đếm được các hình cầu Euclid ( )( ),j jz rB với bán kính ( )jr nhỏ hơn h thỏa mãn điều kiện sau: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 , 5 , 0 j j R n n n j z r R r R a a h h a - - - + Ç ¹ Æ + å B B . Nói riêng, tập hợp đặc biệt nE h Ì £ trong đó ước lượng (2.5) không thỏa mãn là một tập Borel mà ước lượng sau xảy ra: ( ) ( ) 2 22 2 2 2 5 , 0 nn n R R h E R a a h h h h a -- - + +Ç B . Chứng minh: Giả sử ( )nV Î £Llog . Trước tiên, chú ý rằng tích phân Stieltjes đang xét liên quan đến hàm tăng ( ): ,Vg t z tJ® , nên ta có thể viết: ( ) ( ) ( ) 1 0 0 log log , nV z tdg t tdg t z + ¥ = ³ " Îò ò £ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Bây giờ, cố định các số thực 0 2a< £ và 0 1e< < và giả sử 0A . Khi đó kí hiệu , G G e a = là những tập con các điểm “tốt” nz Î £ mà đối với nó ta có ( ), , 0V z t At t aJ e£ " < £ . Nói riêng điều đó kéo theo ( )0lim , log 0t V z t tJ® = với z GÎ , suy ra ( )V z > - ¥ với z GÎ và tập G không là tập cực của V . Bây giờ cố định một điểm z GÎ . Khi đó ( )V z > - ¥ và lấy tích phân từng phần trong tích phân Stieltjes ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 , , , , . V V V V dt V z z t t dt dt z t z t t t A dt z t t e e a e J J J e J a ³ - ³ - - ³ - - ò ò ò ò Do ( )nV Î £L và sự chuẩn hóa của toán tử phức Monge-Ampere ta có: Do vậy chúng ta suy ra ước lượng sau: ( ) ( )log 1/ , A V z z Gae e a ³ - - " Î . Chọn A aae-= , ta được: ( ) ( )log / ,V z e z Ge³ - " Î . Bởi vậy chúng ta sẽ nhận được bất đẳng thức cần tìm, nếu chúng ta có thể thực sự ước lượng được kích thước của tập hợp : \nE G= £ . Từ định nghĩa của tập E , suy ra rằng với bất kỳ z EÎ tồn tại một số thực 0 z t e< < sao cho ( ) ( ) 1 , log 1, , 0. n nc c n V z t dd V dd z z tz - £ Ù - £ " Î " >ò £ £ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 ( ),V z zz t A t aJ > . Mặt khác, dễ dàng tính toán để chứng tỏ rằng ( )( ) ( )1 2 22 2 , , 1, , 0 n n n V Vr z r z r z rt m J - - - = £ " Î " >£B . Do đó, ta nhận được ( )( ) ( )2 2 2 22 2 2 2, , , n n V z n z V z n zz t t z t A t z E am t J t- - +- -³ > " ÎB . Chúng ta muốn loại trừ các hình cầu như thế. Vì ( )( ), z z E z t Î B là một phủ của tập E bởi những hình cầu mở Euclid, theo một bổ đề 5 - phủ kiểu Vitalli, tồn tại một họ con đếm được rời nhau các hình cầu ( )( ),j j j z t Î ¥ B sao cho 5 - họ tương ứng của hình cầu ( )( ), 5j j j z t Î ¥ B phủ E . Bây giờ, cố định 0R  và xét họ ( )( ), 5 R j j j J z t Î B của những hình cầu giao với hình cầu R B . Khi đó ta nhận được ước lượng sau: ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 , 5 , . R R R n n n n j n j V j j j J j J n n V j j j J A t t z t z t a a a t t J t m - + - + - - - Î Î - + - Î < £ å å å B Chú ý rằng ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 , , 0, , R R V j j V j j V j J j J n n z t z t R R m m m e t e Î Î - - æ ö ÷ç= £ + è ø £ + å UB B B ta kết luận ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 1 5 5 5 5 5 . R n n j j J n R t A R a a a e e a - - + Î - + < + = å Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 Lấy : 5j jr t= và / 5e h= , ta nhận được định lý vì họ những hình cầu ( )( ), R j j j J z r Î B phủ R E ÇB .  Nhận xét rằng kết quả trên đã trực tiếp cho một ước lượng chính xác về dung lượng Hausdorff số chiều 2 2n   của các lemniscate đa điều hoà dưới liên kết với các hàm trong lớp ( )log n£L . 2.1.3. Hệ quả. Giả sử ( )log nV Î £L và 0 1/ ee< < . Khi đó với bất kỳ (0,2],a Î dung lượng Hausdorff số chiều 2 2n a- + của lemniscate đa điều hoà dưới liên kết ( ) ( ){ }, : ; lognE V z V ze e= Î ££ thoả mãn ước lượng sau: ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 5 , , 0 n n n n R R e h E V R a a e e a - - - + + Ç B . 2.1.4. Hệ quả. Với bất kỳ số thực 0 2a< £ và bất kỳ tập con K Ì B , ta có ( ) ( )( )2 2 log5 n n c h K eC K a a a - + £ , trong đó ( ) 2 2 2 25 1 1 / n n n c e - -= + . Chứng minh: Nhắc lại từ công thức (2.3) ta có ( ) ( ){ }* 1log 1 log inf sup ; ; 0n no nK C K V V C rnw+ - - = Î =ò P L , trong đó *sup K V là cận trên tựa cốt yếu của V trên K . Đầu tiên, giả thiết rằng r K Ì B với 1/r e= vì vậy  log 1/C K e . Khi đó giả sử c là một số thực tuỳ ý sao cho ( )log 1/C K c e< < . Do đó tồn tại hàm ( )log nV Î L £ và một tập con đa cực A EÌ sao cho \ sup K A V c< vì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 thế ( ){ }\ : ; logc rK A K z V z cÌ = Î <B . Theo nguyên lý cực tiểu đối với lớp ( )log nL £ , với 5 5ech = < , ta có ( ) ( )log 5 / logV z e ch³ - = với \z EÎ B , trong đó E Ì B là một tập Borel thoả mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 22 2 5 / 5 5 1 5 . nn n nn r h E r ec a a a h h a a -- - + -- + £ + £ Từ định nghĩa \ c K A K EÌ Ì , ta kết luận: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 1 5 \ n n r ec h K A a a a - - + + £ . Vì ( )logc C K> là tuỳ ý, nên ta nhận được bất đẳng thức: ( ) ( ) ( )( ) 2 2 log2 2 5 1 5 \ n n r eC K h K A a a a - - + + £. Vì nA Ì £ là đa cực, nên nó là cực trong 2n¡ và theo một kết quả đã biết trong lý thuyết thế vị cổ điển (xem [10]), ta suy ra rằng ( )2 2 0nh Aa- + = và ( ) ( )2 2 2 2 \n nh K h K Aa a- + - += , điều đó đã suy ra ước lượng cần chứng minh trong trường hợp r K BÌ . Bây giờ nếu K Ì B là tập con bất kỳ, thì áp dụng bất đẳng thức cuối cho tập rK rÌ B ta được bất đẳng thức cần tìm. 2.2. Cận dưới đối với hàm đa điều hoà dưới Giả sử B là hình cầu đơn vị Euclid mở trong n£ . Với mỗi z Î B , chúng ta kí hiệu z F là đẳng cấu đối hợp của hình cầu đơn vị B lấy điểm z Î B là gốc. Khi đó hàm Green đa phức ( ) ( ): ,zG G zz z= của hình cầu đơn vị B với cực logarit tại điểm z Î B được xác định bởi công thức: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 ( ) ( ) ( ): log , ,z zG zz z z= F Î ´B B Dễ thấy rằng phương trình cơ bản Monge-Ampere sau: ( ) n c z z dd G d= (2.6) xảy ra theo nghĩa dòng trên B , trong đó z d là khối lượng Dirac đơn vị tại điểm z . Ta đã biết công thức ( ) ( ), : Zd z z z= FB xác định một khoảng cách trên hình cầu đơn vị B , liên quan với khoảng cách Bergman r B bởi công thức sau: ( ) ( ), , tanh 1 z d z n r z z = + B B . Bây giờ xét hình cầu tương ứng tâm z Î B và bán kính (0,1)r Î được xác định bởi: ( ) ( ){ }: ;z zr rw z z= Î F <B , và định nghĩa hàm “khối lượng xạ ảnh bất biến” sau: 1 ( ) ( , ) : ( ) z c c n V z r z r dd V dd G w q -= Ùò , với z Î B và 0 1r< < đồng thời nhận xét rằng: 1( , ) ( log | |) (0, ) z r c c n V z Vz r dd V dd rq z J - F= F Ù =ò B oo và khi đó 0 lim ( , ) (0) ( ) z r V V V z r zq J J ® F = = o với z Î B tuỳ ý, vì z F là một tự đẳng cấu lấy gốc tại điểm z (xem [4]). Trước tiên, chúng ta chứng minh bổ đề sau, tương tự với kết quả của H. Milloux. 2.2.1. Bổ đề. Giả sử V là một hàm đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị Euclid mở nÌ £B với khối lượng Riesz bị chặn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 ( ) : (1 / 2 )V Vm p= D < + ¥ò B B . Giả sử ta định nghĩa thế vị Green đa phức sau: 1( ) : ( ) ,c c nV z zz G dd V dd G -= Ùò B G z Î B . (2.7) Khi đó tồn tại một hằng số 0 n c > sao cho với số thực 0 1s< < tuỳ ý và 0 min{3 ,1}sh< < , ( ) ( , ) log(3/ ) ( ) log( / )V V n Vz z s c e sq h m³ - - BG (2.8) xảy ra với mọi ,z Î B ngoài hợp của một họ đếm được của giả- cầu ( ( )) jz j rw có bán kính ( j r ) nhỏ hơn h và thoả mãn điều kiện sau; 1 2 2 9 n n j j r a a h a - - + <å . Nói riêng, tập ngoại lệ E Ì B , trong đó (2.8) không xảy ra, là một tập Borel mà dòng h - Hausdoff bất biến có số chiều 2 2n a- + thoả mãn ước lượng 1 2 2 9( ) n nh E a a h h a - - + <% . Chứng minh. Từ ước lượng hàm V G được cho bởi công thức (2.7), chú ý rằng bằng cách xét tích phân Stieltjes với hàm tăng : ( , )Vg t z tqa , ta có thể viết công thức (2.7) như sau: 1 0 ( ) log ( ), V G z tdg t= ò z" Î B . Bây giờ cố định các số thực 0 2a< £ , 0 min{ ,1/ 3}se< < và giả sử 0A là một số thực sau khi đã được xác định theo ngôn ngữ e và a . Khi đó kí hiệu , U U e a = là tập hợp con các điểm “tốt” z Î B mà trên khối lượng xạ ảnh bất biến ta có ( , ) , 0 V z t t taq e£ A " < £ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Chú ý rằng từ đó suy ra ( ) 0 V z¶ = với z UÎ , điều này chứng tỏ rằng tập U không chứa kỳ dị logarit của V . Bây giờ cố định một điểm z UÎ . Khi đó lấy tích phân từng phần trong tích phân Stieltjes suy ra: 1 0 ( ) ( , ) V V dt z z t t q= - òG 1 0 ( , ) ( , ) V V dt dt z t z t t t e e q q= - -ò ò 1 ( , )V A dt z t t a e e q a ³ - - ò . Mặt khác, ta có thể viết 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) s V V V s dt dt dt z t z t z t t t t e e q q q= +ò ò ò . Bây giờ nhận xét rằng ( , ) ( , ) log( / ) s V V dt z t z s s t e q q e£ò , và 1 ( , ) ( ,1) log(1 / ) V V s dt z t z s t q q£ò . Do đó ta kết luận rằng ( ) V A z ae a ³ - -G ( , ) log( / )V z s sq e -( ,1) log(1 /V z sq ), z U" Î . Chọn ( )n VA c aa m e-= B , ta nhận được ( ) ( ) ( , ) log( / ) ( ) log(1 / ), V n V V n V z c z s s c sm q e m³ - - -B BG z U" Î . Do đó ta sẽ có bất đẳng thức cần tìm nếu có thể ước lượng được kích thước của tập hợp /E U= B . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Từ định nghĩa của tập hợp E , suy ra rằng với z EÎ tuỳ ý tồn tại hằng số thực 0 z t e< < sao cho ( , ) V z z z t A t aq > . Mặt khác, dễ dàng tính toán và chỉ ra rằng tồn tại một hằng số 0 n c > sao cho 2 2( , ) ( ( ))),n V n V z z r c r rq m w-£ 1 , 0, 3 z r æ ö ÷ç" Î " Î è ø B . Chúng ta nhận được 2 2 2 2( ( )) ( , )n n n V z z z V z z c t t z r A t am w q- - +³ > , z E" Î . Vì ( ( )) z z z E tw Î là một phủ của E bởi giả cầu bất biến, nên theo một bổ đề cơ bản kiểu 3- phủ Vitalli về hình cầu với khoảng cách Hyperbolic (xem [15]), tồn tại một họ con đếm được các giả cầu rời nhau ( ( )) zj j tw sao cho 3 - họ tương ứng của giả cầu ( (3 )) zj j tw phủ E . Do đó chúng ta thu được ước lượng 2 2 2 2 2 2(3 ) 3 ( , ))n n n j j V j j j j A t t z ta a q- + - + -<å å 2 23 ( ( ))n n V zj j j c ta m w- +£ å . Nhận xét rằng ( ( )) ( ( )) ( ) j V zj j V zj j V t tm w m w m= £å U B , từ đó suy ra 1 1 2 2 9 3 ( ) 9 (3 )(3 ) n n n n V j j c t A a a a m e a - - - + < =å B. Lấy 3j jr t= và / 3e h= , ta được định lý từ họ các giả hình cầu ( ( )) jz j rw phủ E .  Như là hệ quả của bổ đề trước, ta có nguyên lý cực tiểu đối với lớp Cegrell ( )BF trên hình cầu đơn vị theo nghĩa của giả khoảng cách trên hình cầu đơn vị Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 2.2.2. Mệnh đề. Giả sử tồn tại một hằng số 0 n c > sao cho với bất kỳ số thực 0 1h< < và hàm ( )j Î BF tuỳ ý với ( ) 1c ndd j £ò B . Khi đó ( ) log( / )nz cj h³ - (2.9) xảy ra với mọi z Î B ngoài hợp của họ đếm được các giả cầu ( ( )) jz j rw có bán kính ( ) j r nhỏ hơn h và thoả mãn điều kiện 1 2 2 9 n n j j r a a h a - - + <å . Nói riêng, tập hợp ngoại lệ E Î B , trong đó bất đẳng thức (2.9) không xảy ra là tập hợp Borel, mà dung lượng h - Hausdoff bất biến có số chiều 2 2n a- + thoả mãn ước lượng 1 2 2 9( ) n nh E a a h h a - - + <% . Chứng minh. Từ định nghĩa của lớp ( )BF suy ra tồn tại một dãy giảm các hàm đa điều hoà dưới trên B nhận giá trị 0 tại biên, hội tụ tới j và thoả mãn điều kiện sup ( )c n j j dd j < + ¥ò B . Áp dụng công thức Poisson-Jensen với mỗi jj và lấy giới hạn ta được ( ) ( )z z j j = G với z Î B . Như đã biết một hàm thuộc lớp ( )BF có khối lượng Riesz bị chặn và khi đó áp dụng bổ đề sau cùng ta kết luận rằng ước lượng (2.8) xảy ra với V j= và 1s = . Bây giờ nhận xét rằng ( ) 1 j m £B và ( ,1) 1zjq £ nếu ( )j Î BF và ( ) 1c ndd j £ò B . Từ đó suy ra ước lượng cần chứng minh.  Bây giờ chúng ta phát biểu kết quả chính của mục này. Với 0 1r< < , cố định, đặt: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 (1 ) ( ) (1 ) n n n k r r r + = - . 2.2.3. Định lý. Giả sử 0 1r< < là một số thực. Khi đó tồn tại một hằng số dương ( ) 1nc r > sao cho với 0 1,s< < 0 min{ ,1/ 3}sh< < tuỳ ý và hàm V đa điều hoà dưới trên một lân cận của hình cầu đơn vị Euclid đóng nÌ £B sao cho 0V £ trên B , bất đẳng thức sau 2 1( ) ( ) ( , ) log(3/ ) ( ) ( ) log( / )n n V n VV z k Vd z s c e sr s q h r m- ¶ ³ - -ò B B , (2.10) xảy ra với mọi z r Î B , ngoài hợp của một họ đếm được các giả cầu ( ( )) jz j rw có bán kính ( ) j r không vượt quá h và thoả mãn điều kiện 1 2 2 9 n n j j r a a h a - - + <å . Nói riêng, tập E rÌ B mà trong đó (2.10) không xảy ra là tập Borel, mà dung lượng Hausdorff bất biến của nó thoả mãn ước lượng 1 2 2 9( ) n nh E a a h h a - - + <% . Chứng minh . Theo công thức Jensen-Poisson- Szego, ta có công thức biểu diễn sau 1 1( ) ( ) ( )c c n c c n z z z z V z Vd G dd G G dd V dd G- - ¶ = Ù + Ùò ò B B , với z Î B (xem [15]). Nhắc lại rằng, công thức này dễ dàng suy ra từ phương trình cơ bản (2.6) và z G nhận giá trị biên bằng 0 . Bây giờ ta viết V V V = +P G trên B , trong đó 1( ) : ( )c c n V z z z Vd G dd G - ¶ = Ùò B P , z Î B , và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 1( ) : ( )c c n V z z z G dd V dd G -= Ùò B G z Î B . Rõ ràng 1 2 1 ( ) ( , .)c c n z z n d G dd G z ds- - Ù = P , trong đó 2 2 (1 | | ) ( , ) : | 1 . | n n z z z x x - = - P , ( , )z x Î ´ ¶B B , là nhân Poisson- Szego của hình cầu đơn vị mở B và 2 1n ds - là độ đo diện tích đã được chuẩn hoá trên mặt cầu đơn vị 2 1n - = ¶S B . Bởi vậy, vì 0V £ trên B , nên suy ra hàm VP thoả mãn ước lượng sau 2 1( ) ( ) ( ) ( )V n nz k V dr x s x- ¶ ³ òP B , với | |z r£ . Khi đó ước lượng của định lý suy ra từ bổ đề.  2.3. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới Ở phần này sẽ trình bày nguyên lý cực tiểu đối với các lớp compắc các hàm đa điều hoà dưới và thu được kết quả tương tự như nguyên lý cực tiểu 3- vòng tròn đối với các hàm đa điều hòa dưới tuỳ ý. 2.3.1. Định lý. Giả sử nWÌ £ là tập mở, K Ì W là tập compact và giả sử ( )Ì WU PSH là một lớp compact. Khi đó : sup{ ( ); , }u z u z KJ J= Î Î < + ¥U và với n J> tuỳ ý tồn tại một hằng số ( , ) 0C C K n= > và 0 0 1h< < sao cho với mọi 0 0 h h< £ , 0 2a< £ và hàm u Î U , bất đẳng thức sau ( ) log( / )u z Cn h³ - , xảy ra với mọi z KÎ ngoài hợp của một họ đếm được các hình cầu bán kính ( ) j r lớn hơn h , mà nó thoả mãn điều kiện sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 1 2 2 9 n n j j N r a a h a - - + <å , trong đó N là một số nguyên chỉ phụ thuộc vào ( , )K W . Chứng minh. Do tính nửa liên tục trên của các số Lelong, nên tồn tại một số thực 0 1s< < đủ bé và một lân cận mở w WÐ của K sao cho ( , )u z sq n< với z wÎ và u Î U tuỳ ý ( xem [19]). Bây giờ lấy một số hữu hạn các hình cầu Euclid đồng tâm (1 )i iB iw ¢ £ £ NÐ B Ð sao cho các hình cầu 1( )i i£ £ N¢B phủ K . Theo định lý 2.2.3 với mỗi i tồn tại một hằng số 0ik > và 0 i c > sao cho 2 1( ) ( ) ( , ) log(3/ ) ( ) log( / ) i i n V i V iV z k Vd z s c e sr s q h m- ¶ ³ -ò iiB B , xảy ra với mọi \ i i z E¢Î B , trong đó i i E ¢Ì B là tập hợp Borel với 1 2 2 9( ) n n i h E a a h h a - - + < . Do tính compact của U nên suy ra 2 1nVds - ¶ ò iB và ( ) V i m B bị chặn đều với V Î U . Bởi vậy lấy 1 i i E E £ £ N = U , ta nhận được bất đẳng thức ( ) ( , ) log(3/ ) log(3/ )VV z z s C Cq h n h³ - - ³ - , với một hằng số thích hợp 0C > và với mọi \z K EÎ . Vì 2 2 ( )nh Eah - + £ 1 2 2 9( ) n n i i h E a a h h a - - + N<å , nên ta có ước lượ g cần chứng minh với một hằng số gần đúng.  Nhắc lại rằng lớp : { ( );sup 0}nv v= Î =£B B U L là lớp compact các hàm đa điều hoà dưới. Áp dụng chứng minh tương tự như trong định lý trước chúng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 ta thu được kết quả sau, sẽ được gọi là nguyên lý cực tiểu đối với lớp Lelong. 2.3.2.Định lý. Với 1n > tồn tại hằng số 0C > và 0 0 1h< < sao cho với 0 0 h h< £ , 0 2a< £ , 1R ³ và ( )nV Î £L tuỳ ý, bất đẳng thức sau ( ) sup log( / ) RB V z V Cn h³ - , xảy ra với mọi R z Î B ngoài hợp của một họ đếm được các hình cầu Euclid có bán kính ( ) j r lớn hơn Rh thoả mãn điều kiện sau: 1 2 2 2 2 9 n n n j j R r a a a h a - - + - + <å . Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh ước lượng với 1R = . Sau đó áp dụng phương pháp tương tự như trong chứng minh của định lý trước đối với lớp compact UB và chú ý rằng với mọi ( ), supn un n nÎ = - Σ B BL U ta đều có bất đẳng thức cần chứng minh vì trong trường hợp này 1N = . W Bây giờ ta sẽ áp dụng nguyên lý cực tiểu đối với lớp compact để chứng minh kết quả tổng quát sau, là kết quả mở rộng nguyên lý cực tiểu cổ điển đã được trình bày trong mục 1.4. Chú ý rằng nguyên lý cực đại đối với hàm đa điều hoà dưới có thể được sử dụng để chứng minh bất đẳng thức 3 – vòng tròn Hadamard cổ điển, được phát biểu như sau: Cho V là một hàm đa điều hoà dưới trên hình cầu Euclid R B có bán kính 0R > và giả sử , (0,1)s t Î là những số thực 0 1s t< £ < . Khi đó bất đẳng thức ( ) sup ( , )(sup sup ), R R R V z V V V s s r s t£ + - B B B xảy ra với mọi R z t Î B , trong đó log( / ) ( , ) log(1/ ) t s r s t s = . Điều này có thể xem như “nguyên lý cực đại 3 – vòng tròn”. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 Ở đây, chúng ta sẽ thiết lập “nguyên lý cực tiểu 3 – vòng tròn” có thể xem là đối ngẫu của nguyên lí trước. Với , (0,1)s t Î ta định nghĩa hằng số sau: 1 ( , ) : 1 log n s t s t s t = æ ö+ ÷çç ÷è ø+ . 2.3.3. Định lý. Giả sử , (0,1)s t Î là các số thực. Khi đó với ( , )n n s t> tồn tại hằng số ( , , ) 0C C s t n= > và 0 0 1h< < sao cho với 0R > , với hàm đa điều hoà dưới V tuỳ ý trên hình cầu Euclid R B , (0,2]a Î và mọi 0(0, )h hÎ , bất đẳng thức sau ( ) sup log( / )(sup sup ), R R R V z V C V V s s n h³ + - B B B (2.11) xảy ra với mọi R z t Î B ngoài hợp của một họ đếm được các hình cầu Euclid có bán kính ( ) j r nhỏ hơn hoặc bằng Rh và thoả mãn ước lượng 1 2 2 2 2 9 (Re) n n n j j r a a a h a - - + - + <å . (2.12) Chứng minh. Do bất đẳng thức (2.11) và điều kiện (2.12) là bất biến đối với ánh xạ đồng dạng, nên ta có thể giả thiết 1R = . Kí hiệu U là lớp các hàm đa điều hoà dưới trên B sao cho 1u £ và max 0u s ³ B . Khi đó U là 1 lớp compact các hàm đa điều hoà dưới. Để áp dụng định lý 2.3.1, chúng ta cần đến ước lượng các số Lelong của lớp U trên hình cầu compact tB . Thật vậy, nếu u Î U và z tÎ B , 0 1r< < thì ta có ( )sup sup 1 max ( ) (0) log(1/ ) log(1/ ) r z r z z z u u u u u z r r J J F F F - F - = £ £o o oB B B. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 Từ đó suy ra rằng: với nz Î £ mà | |z t£ , tập hợp ( ) z r F B chứa hình cầu s B khi ( ) / (1 )r s t s t= + + , kéo theo ( ) max 0 z r u F ³ B . Khi đó, với u Î U và z tÎ B bất kỳ ta có ( ) ( , ) u z vJ s t£ . Do đó từ định lý 2.3.1, suy ra với ( , )n n s t> bất kỳ, tồn tại một hằng số 0C > và số thực 0 (0,1)h Î đủ nhỏ, với 0 0 h h< < , [0,2]a Î tuỳ ý và mọi u Î U , nhận được ( ) log( / )u z C h³ - , (2.13) với mọi z t Î B ngoài hợp của một họ đếm được các hình cầu với bán kính ( ) j r nhỏ hơn hoặc bằng h và thoả mãn ước lượng 1 2 2 9 n n j j r a a h a - - + <å . Bây giờ cho V là hàm đa điều hoà dưới tuỳ ý khác hằng số trên B sao cho sup supV V s > B B . Khi đó hàm V sup V u sup V sup V s s - = - B B B thuộc về lớp U . Do đó hàm này thoả mãn (2.13) suy ra bất đẳng thức đối với V .  Như là một hệ quả, chúng ta trình bày việc tổng quát hoá nguyên lý cực tiểu trong trường hợp một biến số đã được phát biểu trong mục 1.4. 2.3.4. Hệ quả. Tồn tại một hằng số 1C > và số thực 0 0 1h< < sao cho với 00 h h< £ và hàm đa điều hào dưới V tuỳ ý trên một hình cầu Euclid n R Ì% £B , trong đó : 2R eR=% và 0R > thoả mãn điều kiện (0) 0V = , bất đẳng thức ( ) log( / ) max R V z C Vh³ - %B Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 xảy ra với R z Î B ngoài hợp của một họ đếm được các hình cầu có bán kính ( )jr nhỏ hơn hoặc bằng Rh thoả mãn điều kiện 1 2 2 2 2 9 (Re) n n n j j r a a a h a - - + - + <å . Chứng minh. Chỉ cần áp dụng kết quả sau cùng với R% thay cho R , 1/ (2 )et = và 0s > đủ nhỏ sao cho ( , ) 1n s t < , ta có điều phải chứng minh vì ( , ) 1/ log(2 )) 1en s t = < . W Bây giờ với 0e > và u là hàm đa điều hoà dưới trên hình cầu Rt B ta định nghĩa: { }* \ , ( , ) : sup inf ; , ( ) R E p p R Ru u E h E t e t t e= Ì £ B B BI , trong đó *ph là dung lượng Hausdoff ngoài bậc p . Vì u có thể có các cực, nên các số , ( , ) p R u e t BI có thể giảm tới - ¥ khi 0e ¯ . Ta có kết quả sau 2.3.5. Hệ quả. Cho U là lớp hàm đa điều hoà dưới trên hình cầu R B sao cho 1u £ trên R B và max 0us B = . Khi đó với (0,2]a Î tuỳ ý ước lượng tiệm cận đều sau đây , 0 ( , ) ( , ) sup sup , log p R u u lim e t e n s t e a¯ Î æ ö ÷ç £÷ç ÷çè ø B U I xảy ra với 2 2p n a= - + . 2.4. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 Giả sử C là một đa tạp compact Kahler có số chiều n và w là một dòng dương đóng trên C với thế vị bị chặn địa phương sao cho thể tích ( ) : 0n X Vol w wC = >ò . Kí hiệu d là Metric trắc địa trên X và ph là dung lượng Hausdoff số chiều p trên không gian Metric ( , )X d . Hàm : { }Xj È - ¥a ¡ được gọi là w - đa điều hoà dưới trên X nếu j là nửa liên tục trên trên X và thoả mãn điều kiện 0cdd j w+ ³ theo nghĩa của các dòng trên X . Bởi vậy, với mỗi điểm của X có một lân cận đủ bé U XÌ mà là song chỉnh hình đối với hình cầu Euclid trong n£ sao cho :U Upn j= + là hàm đa điều hoà dưới trên một lân cận của U trong đó U p là thế vị bị chặn địa phương đối với w trên một lân cận của U nghĩa là. c U dd p w= trên một lân cận của U . Do tính compact, X có thể được phủ bởi một số hữu hạn của các miền như thế. Kí hiệu ( )N N X= là số nhỏ nhất của các miền như thế cần để phủ X . Chú ý rằng các số Lelong của w - hàm đa điều hoà dưới j được xác định bởi công thức ( ) ( ) vx xjJ J= , trong đó :v pj= + là hàm đa điều hoà dưới trên một lân cận của x và p là một thế vị bị chặn địa phương của w trong một lân cận của x . Chúng ta định nghĩa số Lelong cực đại của ( ),X w bởi công thức ( ) ( ) ( ){ }, : sup ; , ,X x X x XjJ w J j w= Î ÎP SH . Rõ ràng ta có ( ) ( ){ }0, : sup ; ,X x x XjJ w J j= Î ÎP , trong đó, ( ){ }0 : , ;sup 0XXj w j= Î =PSHP . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 Ta nhắc lại định nghĩa dung lượng toàn cục của tập hợp Borel trong ( ),X w : Với tập con Borel K XÌ , ta định nghĩa w - dung lượng của K trong X bởi: , ( ) : exp( sup ) K X T K V w w = - , trong đó ,K V w là hàm w - đa điều hoà dưới cực trị liên kết với K và xác định như sau: ( ) ( ){ }, ( ) : sup ; , ,KV x x X x Xw j j w= Î ÎPSH . Khi đó, với tập con không đa cực K XÌ tuỳ ý, ( ) 0T Kw > là hằng số tốt nhất sao cho ( ) ( ) ( )sup log , , , . K x T K X x Xwj j j w£ - " Î " ÎPSH Bây giờ chúng ta có thể phát biểu nguyên lý cực tiểu với các hàm w - đa điều hoà dưới tương tự nguyên lý cực tiểu của các hàm đa điều hoà dưới. Cụ thể chúng ta có kết quả sau: 2.4.1. Định lý. Với ( ),Xn J w> tồn tại một hằng số ( ), , 0C C X w n= > và số thực 0 0h > đủ bé sao cho với 0 2a< £ , 0 0 h h< £ và hàm w - đa điều hoà dưới j trên X bất đẳng thức sau ( ) ( )sup log / X x Cj j n h³ - xảy ra với mọi z XÎ ngoài hợp của họ đếm được các hình cầu có bán kính ( )jr thỏa mãn điều kiện 2 2 19 /n n j r Na ah a- + -<å . Chứng minh. Lấy một phủ của X bởi ( )N N X= các miền ( )iU mà đối với nó có các miền ( )iU ¢ song chỉnh hình đối với hình cầu đơn vị của n£ với Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 i i U U X¢ÌÐ với 1 i N£ £ và viết i i iv pj= + trong đó i p là một thế vị bị chặn địa phương đối với w trên i U ¢ . Ta có thể áp dụng phương pháp giống như trong chứng minh của định lý 2.3.1. Khi đó từ i p là một hàm đa điều hoà dưới bị chặn trên i U ¢ và với mỗi i ta nhận được hằng số 0, , 0 i i i a b c> > sao cho bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' 2 1 , log 3/ log / , i i n i i i U z a d z s n b U e s cj jj j s q m- ¶ ³ - - -ò xảy ra với mọi \i iz U EÎ , trong đó i iE UÌ là tập Borel với 1 2 2 9( ) n n ih E a a h h a - - + < . Do tính compact của ( ){ }0 , ;max 0XXj w j= Î =PSHP , kéo theo ' j Ui dj s ¶ ò i và ( )iUjm i là bi chặn đều với 0j Î P . Bởi vậy, lấy 1 i i N E E £ £ = U , ta nhận được bất đẳng thức sau với một hằng số 0C > thích hợp ( ) ( ) ( ) ( ), log 3/ log 3/z z s C Cjj q h n h³ - - ³ - - với \z X EÎ và 0 j Î P bất kỳ. Vì ( ) ( ) 1 2 2 2 2 9 n n n ii N h E h E a a a h h h a - - + - +£ <å và 0 max X j j- Î P với ( ),Xj wÎ PSH , nên ta nhận được ước lượng của định lý với một hằng số gần đúng. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức so sánh sau: 2.4.2. Định lý. Với bất kỳ ( )0 1/ , ,Xe J w< < tồn tại một hằng số 0C > sao cho với mọi 0 2a< £ bất đẳng thức so sánh sau ( ) ( )2 2n C h K T K a ea w a - + £ xảy ra với mọi tập con Borel K XÌ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 Chứng minh. Chỉ cần giả thiết K là một tập compact và ( ) 0T Kw > . Vì ( )1 / ,Xe J w< nên ta có ( )1/ ,Xn e J w= > . Khi đó áp dụng định lý 2.4.1 với 0h > đủ bé sao cho ( )0 CT K ae w h< < . Từ đó suy ra với mọi ( ),Xj wÎ PSH , tập mức của j xác định bởi ( ) ( ){ }; sup log / X E x X x Cj j n h= Î £ + thoả mãn ước lượng sau: ( ) ( ) 1 2 2 19 9 n n nNh E N CT K a aea w h a - - + -£ £ . Bây giờ, để nhận được ước lượng của chúng ta chỉ cần áp dụng ước lượng sau cùng đối với hàm * ,KV wj = và chú ý rằng K E AÌ È , trong đó { }*: K KA V V= < là tập con đa cực (theo [1]) và do đó ( )2 2 0nh Aa- + = (xem [10]). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày: - Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối. - Tổng quát hoá các lớp khác nhau các hàm đa điều hoà dưới đối với nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển các hàm chỉnh hình một biến phức, theo tinh thần của bổ đề Cartan – Boutroux: + Tổng quát hóa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lôgarit trong n£ cũng như trình bày nguyên lý cực tiểu các hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu Euclid trong n£ . + Từ nguyên lý cực tiểu về thế vị lôgarit trong n£ suy ra bất đẳng thức so sánh giữa dung lượng Hausdorff thích hợp với dung lượng lôgarit cổ điển trong n£ . + Áp dụng các kết quả trên để tìm các ước lượng chính xác về cỡ của “lemniscates đa điều hoà dưới” theo nghĩa xấp xỉ dung lượng Hausdorff . - Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các số Lelong. - Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E. Bedford and B.A.Taylor, A new capacity for plurisubhanrmonic functions. Acta Math. 149 (1982), 1-4. [2] E. Bedford and B.A.Taylor, plurisubhanrmonic functions with logarithmic singularities. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 38-4 (1998), 133-171. [3] J.P.Demailly, Potential theory in several complex variable, Summer School on Complex Analysis,ICMPA, Nice, France, (1989), 1-49. [4] J.P.Demailly, Monge-Ampere operators, Lelong numbers and intersection theory, Proceedings of the Tenth Trento Conference on Complex Analysis and Geometry, Univ. Math. Ser., Plenum, New York, NY, 1993. [5] G.A. Gonchar, A local condition of single-valuednessof analytic function, Mat. Sbornik 89 (1972), 151-167. [6] C.O. Kiselman, densite des functions plurisubharmoniques, Bull. Soc. Math. De France 107 (1979), 295-304. [7] M. Klimek, Pluripotential Theory, Oxford University Psess, London, (1991). [8] S.Kolodziej, The logarithmic capacity n£ , Ann. Polon. Math. 48 (1988), 253-267. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 [9] S.Kolodziej, The complex Monge-Ampere Equation and Pluripotential Theory, Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 178, Amer. Math. Soc., 2005. [10] N.S. Landkof, Foundations of Modern Potential Theory, Springer, Berlin,1972. [11] P.Lelong, Fonctions Plurisousharmoniques et formes differentielle positives, Gordon-Breach and Dunod, New-York and Paris, 1969. [12] N. Levenberg and B.A. Taylor, Comparison of capacities in nC , Proceedings of the Complex Analysis Colloqium, Toulouse 1983, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1094, Springer, New York, 1984, pp. 162-172. [13] J. Siciak, Extremal plurisubhanrmonic functions in N£ , Ann. Plon. Math 39 (1981), 157-211. [14] J. Siciak, Extremal plurisubhanrmonic functions Capacities in N£ , Sophia Kokyuroku in math, vol. 14, sofia Unicersity, Tokyo, 1982. [15] M. Stoll, Invariant Potential Theory, London Math. Soc. Lecture Notes, vol. 199. Cambridge University Press, 1994. [16] V.P. Zahariuta, Extremal plurisubhanrmonic functions, orthogonal polynomials and Bernstein-Walsh theorem for analytic functions of several complex variables, ann. Polon. Math. 33 (1976), 137-148. [17] A. Zeriahi, Capacite, constante de Chebysheff et polynụmes orthogonaux associộs à in compact de n£ , Bull. Sc. Math. 109 (1985), 325-335. [18] A. Zeriahi, A criterion of algebraicity for Lelong classes and nnalytic sets, 184 (2000) 113-143. [19] A. Zeriahi, Volume and capacity for sublevel sets of plurisubhanrmonic functions in a Lelong class, Indiana Univ. Math. J. 50 (2001). 671-702. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 [20] A. Zeriahi, The size of plurisubhanrmonic lemniscates in terms of Hausdorff-Riesz measures and capacities, proc. London Math. Soc. 89 (2004), 104-122.