Luận văn Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học

r r r r rr rr rr r r r r rr rr rr Theo định nghĩa của tích vecto ta có: 2 2 2 2 2 , trong ñoù S laø dieän tích tam giaùc ABC. Töông töï: 2 , , 2 . (1) trôû neân: 4S 4 4 4 8 cos( , ) 8 . .co ABC ABC OBC OCA OAB ABC OCA OAB OBC OBC OCA OCA OAB u AB AC S a S b S c S Vaäy S S S S S a b S S = ∧ = = = = = + + + + + r uuur uuur r r r r r 2 2 2 2 s( , ) 8 . cos( , ) 2 2 cos( , ) 2 . ( , ) 2 . cos( , ). OAB OBC ABC OBC OCA OAB OBC OCA OCA OAB OBA OBC b c S S c a S S S S S S a b S S COS b c S S c a + ⇔ = + + + + + + r r r r r r r r r r Từ đẳng thức trên ta suy ra hai đẳng thức sau đây tương đương: GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 45 2 2 2 2 (*) . os( , ) . os( , ) os( , ) 0 (**) ABC OBC OCA OAB OBC OCA OCA OAB OAB OBC S S S S S S c a b S S c b c S S c a c = + + + + =r r r r r r Ta chú ý rằng nếu các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) đôi một vuông góc thì ta có (**) và do đó có (*). Vậy ta có định lí mở rộng của định lí Pitago thuận: “Nếu tứ diện OABC vuông ở O (tức là ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc) thì bình phương diện tích mặt huyền (tức tam giác ABC) bằng tổng bình phương diện tích ba mặt còn lại”. Nếu ta chứng minh được rằng các giá trị os( , ), os( , ), os( , )c a b c b c c c a r r r r r r luôn luôn cùng dấu thì (**) tương đương với os( , ) os( , ) os( , ) 0c a b c b c c c a= = =r r r r r r , hay ba vecto , ,a b c r r r đôi một vuông góc, tức là ba mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) đôi một vuông góc và dự đoán 5 được chứng minh. Nhưng điều đó không dúng. Ta xét bài toán sau đây: Trong hệ tọa độ Oxyz xét tứ diện OABC với O = (0;0;0), A = (1;0;0), B=(1;1;0), C = 4 2 4; ; 3 3 3 ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠ . Khi đó ta có: 4 2 4 7 2 4(1;0;0), (1;1;0), ( ; ; ), (0;1;0), ( ; ; ) 3 3 3 3 3 3 OA OB OC AB AC= = = − − − = = − − −uuur uuur uuur uuur uuur Từ đó có: (0;0;1)OA OB∧ =uuur uuur ,do đó 1 1 2 2OAB S OA OB= ∧ =uuur uuur 4 4 2( ; ; ) 3 3 3 OB OC∧ = −uuur uuur ,do đó 1 1 16 16 4 1 2 2 9 9 9OBC S OB OC= ∧ = + + =uuur uuur 4 2 1 1 16 4 5(0; ; ), do ñoù S 3 3 2 2 9 9 3 4 7 1 1 16 49 65( ;0; ), do ñoù S 3 3 2 2 9 9 6 OCA ABC OC OA OC OA AB AC AB AC ∧ = − = ∧ = + = ∧ = − = ∧ = + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: 2 2 2 21 5 651 . 4 9 36OAB OBC OCA ABC S S S S+ + = + + = = Vậy điều kiện (*) thỏa mãn. Tuy nhiên dễ thấy rằng các tam giác OAB, OBC, OCA không phải là những tam giác vuông đỉnh O. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 46 3. KHAI THÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHÙ HỢP VỚI TRÌNH ĐỘ CỦA HỌC SINH Các bài toán chứng minh trong hình học là rất đa dạng về mặt thể loại như : chứng minh sự bằng nhau, chứng minh các đa giác nội và ngoại tiếp đường tròn, chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba đường thẳng đồng quy, chứng minh các hệ thức hình học... Trong giảng dạy dù giáo viên có cố gắng bao nhiêu thì cũng không thể trong thời gian qui định của chương trình dạy giải hết các bài tập đã cho. Vấn đề là ở chỗ phải biết xuất phát từ một bài toán rồi dựa vàoviệc phân tích cách giải, phân tích các điều kiện đã cho trong bài toán mà tìm ra những bài toán mới mà học sinh có thể tự giải được các bài toán đó. Việc khai thác các bài toán vừa có tác dụng như trên còn có thêm các tác dụng khác như bảo đảm chức năng phát triển của dạy học giải bài tập toán học. Vấn đề là ở chỗ việc phát triển bài toán phải bảo đảm tính vừa sức, phù hợp với trình độ và kiến thức mà học sinh được học cộng với sự cố gắng tích cực suy nghĩ của mỗi học sinh. Sau đây là một số ví dụ . Ví dụ 1 : Trở lại bài toán ở ví dụ 28. chương 1, với bài toán: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, ta lấy theo thứ tự các điểm D và E trên các đoạn thẳng BA và CA sao cho BD = CE. Gọi M, N là trung điểm của BC và DE, đường thẳng qua MN lần lượt cắt AB và AC tại P và Q. Chứng minh rằng MPB MQC= , , khoâng thaúng haøng : BD = CE MB = MC ; ND = NE : MPB MQC A B C GT KL ⎧⎪⎨⎪⎩ = Lời giải tóm tắt Gọi O là trung điểm của DC · · · · OD = OC ON // AC ONM = MQC ( ñoàng vò ) ND = NE OD = OC OM // AB OMN QPA ( ñoàng vò ) MB = MC üïï Þ Þýïïþ üïï Þ Þ =ýïïþ P M N A B C Q D E O GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 47 mà ON song song và bằng 1 2 EC, OM song song và bằng 1 2 BD. Nhưng EC=BD(gt) Suy ra: OM=ON ⇒ QC QPAONM OMN M MPB= ⇒ = = Khai thác bài toán Nhận xét 1 Thay đổi điều kiện cuả bài toán, chẳng hạn chuyển điều kiện MPB MQC= ở kết luận thành giả thiết và điều kiện BD = CE ở giả thiết thành kết luận, các điều kiện khác giữ nguyên và thiết lập bài toán tương tự. Ta có bài toán : Bài toán 1 : Cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng. Hai điểm D và E theo thứ tự trên các đoạn thẳng AB và AC. Gọi M và N là trung điểm của BC và DE. Một đường thẳng qua MN lần lượt cắt AB và AC tại P và Q sao cho MPB MQC= . So sánh độ dài hai đoạn thẳng BD và CE. KL : so sánh BD và CE. Nhận xét 2 Ở bài toán đã cho, ta phải chứng minh MPB MQC= , hay tam giác QAP cân đỉnh A. Góc BAC là góc ngoài của∆QAP đỉnh A. Vì 1DAC 2MQC DAC MQC 2 = ⇒ = nên phân giác của góc BAC song song với đường thẳng MN. Ta có bài toán : Bài toán 2: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Ta lấy theo thứ tự các điểm D và E trên các đoạn thẳng BA và CA sao cho BD = CE. Gọi M và N là trung điểm của BC và A, B, C khoâng thaúng haøng : MPB MQC MB = MC ; ND = NE GT ⎧⎪⎪ =⎨⎪⎪⎩ P M N A B C Q D E O GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 48 DE. Đường thẳng qua MN lần lượt cắt AB và AC tại P và Q. Chứng minh rằng MN song song với đường phân giác của BAC . Nhận xét 3 : có thể phát biểu bài toán 1 dưới một dạng khác Bài toán 3 : Cho tứ giác lồi BDEC có hai cạnh đối BD = CE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Đường thẳng qua MN theo thứ tự cắt BD và CE tại P và Q. Gọi A là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng A nằm trên đường trung trực của PQ. Nhận xét 4 : Cũng có thể phát biểu bài toán 1 dưới hình thức khác. Bài toán 4 : Cho góc xAy, trên tia Ax lần lượt lấy hai điểm D và B, trên tia Ay lần lượt lấy hai điểm E và C (D và E lần lượt nằm giữa AB và AC) sao cho BD = CE. Gọi M và N là trung điểm của BC và DE. Đường thẳng qua M, N cắt BD, CE tại P và Q. Chứng minh rằng PAQ là tam giác cân ở A. Ví dụ 2 : Bài toán 1: Cho tam giác cân ABC (AB = AC ). Gọi M là trung điểm của đường cao AH, gọi D là giao điểm của cạnh AB với đường thẳng CM. Chứng minh rằng AD = 1 3 AB. Lời giải: + caân, AB = AC BH = CH AH laø ñöôøng cao ABC üïD ï Þýïïþ + Gọi E là trung điểm của BD, ta có : BE = ED EH laø ñöôøng trung bình cuûa BCD BH = HC üïï Þ Dýïïþ Suy ra EH // CD + Trong ∆AEH: AM = MH MD laø ñöôøng trung bình cuûa AEH. MD // EH üïï Þ Dýïïþ Suy ra AD = DE Ta được : AD = DE AD = DE = EB DE = EB üïï Þýïïþ hay AD = 1 3 AB . Nhận xét 1 Dữ kiện “đường cao AH” được sử dụng để có BH = HC mà không cần đến điều kiện 090AHC = . Nếu thay dữ kiện này bởi “trung tuyến AH” thì ta có bài toán mới, khi đó điều kiện D ABC cân không cần thiết. Ta có : E D M HB C A GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 49 Bài toán 2 : Cho tam giác ABC, trung tuyến AH. Gọi M là trung điểm của AH, D là giao điểm của AB và CM .Chứng minh AD = 1 3 AB . • Bài toán hoàn toàn được giải tương tự như trên . Xét bài toán đảo của bài toán 2, ta có : Bài toán 3 : Cho tam giác ABC, trung tuyến AH. Gọi D là một điểm thuộc cạnh AB sao cho AD = 1 3 AB. Gọi M là giao điểm của CD và AH. Chứng minh rằng M là trung điểm của AH . Lời giải: + Kẽ EH // CD ( E Î AB ), trong D BCD, ta có : BH = HC EH laø ñöôøng trung bình EH // CD üïï Þýïïþ Suy ra : BE = ED . + Theo giả thiết: AD = 1 3 AB Þ AB = 3AD (*) mà AD = AB – DB = AB – 2ED. Thế vào (*) ta được AB = 3(AB – 2ED) Þ 6ED = 2 AB AB = 3ED (**) Từ (*) và (**) ta được AD = DE Trong D AEH ta có : AD = DE DM laø ñöôøng trung bình MA = MH DM // EH üïï Þ Þýïïþ Nhận xét 2 Từ kết quả của bài toán 3 ta thấy : + CD đi qua trung điểm của AH. Nếu lấy K trên cạnh BC sao cho AK = 1 3 AC thì tương tự BK cũng đi qua trung điểm M của AH. + Từ đó ta có bài toán : Bài toán 4 : E D M HB C A GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 50 Cho tam giác ABC, trung tuyến AH. Các điểm D, K theo thứ tự thuộc các cạnh AB và AC sao cho AD = 1 3 AB, AK = 1 3 AC. Chứng minh rằng các đường thẳng AH, CD, BK đồng quy. • Việc giải bài toán là đơn giản. Trên AB xác định điểm D và E sao cho AD = DE =EB. Trên AC xác đinh điểm K và Q sao cho AK = KQ = QC. Gọi M là giao điểm của AH và BK, ta có HQ // BK Xét D AMQ có : AK = KQ (HT) MA = MH KM // HQ (cmt) üïï Þýïïþ Vậy M là trung điểm của AH . Chứng minh tương tự ta có CD đi qua trung điểm M của AH. Vậy AH, BK, CD đồng quy. Ví dụ 3 : Trở lại bài toán ở ví dụ 6, chương 1 Bài toán: Cho hình vuông ABCD, dựng các hình vuông ABEF và ADGH nằm phía ngoài hình vuông ABCD. Chứng minh rằng AC = HF. GT : ABCD laø hình vuoâng ABEF laø hình vuoâng ADGH la hình vuoâng ìïïïïíïïïïî KL : AC = HF 2. Lời giải tóm tắt K E D M HB C A EF H G BA D C GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 51 Xét D ABC và D HAF ta có : · ·ABC = HAF (gt) AF = AB (gt) AH = BC (gt) üïïïïï Þýïïïïïþ D ABC = D HAF Þ AC = HF 3. Khai thác bài toán Nhận xét 1 : Hãy thay “hình vuông ABCD” bằng “hình chữ nhật ABCD”. Khi đó AC có bằng HF nữa không ? Ta có bài toán khác tương tự . Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD, dựng ra phía ngoài hình chữ nhật ABCD đã cho các hình vuông ADGH và ABEF. Chứng minh rằng AC = HF . GT : ABCD laø hình chöõ nhaät ABEF laø hình vuoâng ADGH la hình vuoâng ìïïïïíïïïïî KL : AC = HE Chứng minh tương tự như bài toán ban đầu ta có AC = HE . Nhận xét 2 : Hãy thay hình “chữ nhật ABCD” ở bài toán 1 thành “hình thoi ABCD” và thiết lập bài toán tương tự. Khi đó đoạn thẳng AC có bằng HF nữa không ? Ta có bài toán tương tự. Bài toán 2 : Cho hình thoi ABCD, dựng ra phía ngoài hình thoi ABCD đã cho các hình vuông ABEF và ADGH. So sánh AC và HF . H G EF A D C B GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 52 : GT ABCD laø hình thoi ABEF laø hình vuoâng ADGH laø hình vuoâng ìïïïïíïïïïî KL : So sánh AC và HF . Lời giải tóm tắt: + Xét D ABC và D HAF ta có : AB = AF (1) AH = AD = BC (2) + Ta lại có : · · · · · · · · 0 0 0 HAF BAD = 180 ( vì FAB = HAD = 90 ) HAF = ABC ABC BAD = 180 ( tính chaát hình thoi ) üï+ ïï Þýïï+ ïþ (3) + Từ (1), (2), (3) Þ D ABC = D HAF (c - g – c ) Suy ra AC = HF . Nhận xét 3 : Hãy thay “hình thoi ABCD” bằng “hình bình hành ABCD” và thiết lập bài toán tương tự. Khi đó đoạn thẳng AC có bằng HF nữa không ? Ta có bài toán tương tự . Bài toán 3 : Cho hình bình hành ABCD, dựng ra phía ngoài hình bình hành ABCD các hình vuông ABEF và ADGH. So sánh độ dài 2 cạnh AC và HF . GT : ABCD laø hình bình haønh ABEF laø hình vuoâng ADGH laø hình vuoâng ìïïïïíïïïïî KL : So sánh AC và HF . Chứng minh hoàn toàn tương tự như bài toán 2 . G H E F A C B D H G EF B D C A GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 53 Nhận xét 4 : Hãy thay “hình bình hành ABCD” ở bài toán 3 bằng hình tứ giác lồi ABCD” và thiết lập bài toán tương tự. Khi đó đoạn thẳng AC có bằng HF nữa không ? Ta có bài toán tương tự . Bài toán 4 : Cho hình tứ giác lồi ABCD, dựng ra phía ngoài hình tứ giác ABCD đã cho các hình vuông ABEF và ADGH. So sánh độ dài 2 đoạn thẳng AC và HF. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để có được AC = HF . GT : ABCD laø töù giaùc ABEF laø hình vuoâng ADGH laø hình vuoâng ìïïïïíïïïïî KL : So saùnh AC vaø HF Tìm ñieàu kieän cuûa ABCD ñeå AC = HF ìïïíïïî • Dễ dàng nhận ra D ABC không bằng D AHF nên HF ¹ AC . Tóm lại , nếu tứ giác lồi ABCD là một trong các hình : chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình bình hành, với cách thiết lập bài toán như đã nói ở trên thì ta chứng minh được AC = HF. Nhận xét 5: Trên đây là các cách giải dành cho học sinh lớp 8. Các cách giải đó là tương ướng với việc học về tứ giác ( chương 1, Toán 8, tập 1 – phần Hình học) . Khi lên lớp 11 thì các em được học về phép quay nên bài toán 3 được giải bằng cách sử dụng phép quay như sau Thực hiện phép quay tâm A, góc quay 090 , điểm D biến thành H, C thành C’, A thành A (hình vẽ). Theo tính chất bảo toàn độ dài và góc của phép quay, ta có : AC’ = AC và HC’ = CD. Và CD = AB = AE nên HC’ = AE Ngoài ra vì góc quay bằng 090 nên HC’⊥CD,do đó HC’⊥AB Suy ra :HC’//AE Tứ giác AFHC’ là một hình bình hành Vậy FH = AC’ = AC. E F HG A B C D F E GH = D ' A B C D C ' GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 54 Chương 3 THỰC NGHIỆM Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm nhằm kiểm định giả thuyết khoa học mà chúng tôi đưa ra. Thông qua các thực nghiệm cho phép chúng tôi đánh giá mức độ quan tâm của giáo viên đến việc rèn luyện và phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy học hình học . Giả thuyết thực nghiệm • Về mặt giáo viên : Đa số các giáo viên đều rất quan tâm đến việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh. Tuy nhiên, sự quan tâm đó chưa đủ, giáo viên chưa hiểu rõ việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh là một quá trình lâu dài, cần phải có một chiến lược lâu dài, bền bỉ để tập cho học sinh chứng minh. Cho nên cách làm của họ còn thiếu sót, chưa đạt hiệu quả cao . • Về học sinh : Học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc giải toán chứng minh . Khả năng suy luận để tìm hướng giải bài toán của các em còn yếu, các em còn mắc nhiều sai lầm trong việc vẽ hình cũng như việc trình bày lời giải. Hình thức thực nghiệm Để đạt được mục đích trên, chúng tôi tiến hành đồng thời hai thực nghiệm đối với giáo viên và đối với học sinh. A – THỰC NGHIỆM DÀNH CHO GIÁO VIÊN 1. Mục đích thực nghiệm Nhằm kiểm định giả thiết : “Đa số các giáo viên đều rất quan tâm đến việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh. Tuy nhiên, sự quan tâm đó chưa đủ, giáo viên chưa hiểu rõ việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh là một quá trình GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 55 lâu dài, cần phải có một chiến lược lâu dài, bền bỉ để tập cho học sinh chứng minh. Cho nên cách làm của họ còn thiếu sót, chưa đạt hiệu quả cao.” 2. Hình thức tổ chức thực nghiệm Để đạt được mục đích trên, thực nghiệm sẽ triển khai dưới hình thức lấy ý kiến giáo viên về các vấn đề liên quan đến việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua việc dạy học hình học. Phiếu điều tra ý kiến giáo viên được soạn ra căn cứ vào tình hình dạy học, nhiệm vụ dạy học hình học, các phương pháp và yêu cầu cần đạt được trong việc dạy học chứng minh. Chúng tôi chọn giáo viên dạy Toán ở hai trường “THCS Mạc Đỉnh Chi” và trường “THPT Bình Khánh” để điều tra. 3. Phân tích hệ thống câu hỏi 3.1 Nội dung câu hỏi Câu 1 : Trong dạy học Toán Thầy Cô thích dạy học môn nào nhất (Xin quý Thầy Cô đánh dấu vào ô tương ứng) 1. Đại số … 2. Hình học … Câu 2 : Xin quý Thầy Cô cho biết, trong dạy học hình học Thầy Cô quan tâm đến các nhiệm vụ nào sau đây : Mức độ Rất quan tâm Quan tâm Ít quan tâm Cung cấp cho học sinh hệ thống các khái niệm, định lí cơ bản Rèn luyện tư duy logic và trí tưởng tượng cho học sinh Hình thành cho học sinh kĩ năng, kĩ xảo giải các dạng toán hình học. Ý kiến khác (xin làm rõ): ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... Câu 3 : Khi dạy học định lí, Thầy Cô thường yêu cầu học sinh : GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 56 Mức độ Luôn luôn Thường Thỉnh thoảng Không bao giờ Phát biểu định lí dưới các dạng ngôn ngữ khác nhau Biết phân tích cấu trúc logic của định lí Nắm được các mệnh đề đảo, phản, phản đảo. Nắm được các quy tắc suy luận quan trọng Biết vận dụng định lí vào việc giải toán. Hệ thống hóa các định lí Ý kiến khác (xin làm rõ): ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... Câu 4 : Khi dạy học giải các bài toán hình học, Thầy Cô thường tiến hành các hoạt động nào : Luôn luôn Thường Thỉnh thoảng Không bao giờ Cho học sinh luyện tập nhiều dạng toán khác nhau. Đưa ra các thuật toán hướng dẫn học sinh giải toán Hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm tòi lời giải. Ý kiến khác (xin làm rõ): ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... Câu 5 : Theo quý Thầy Cô đánh giá, hiện nay mức độ hứng thú của các em trong việc giải các bài toán chứng minh hình học là như thế nào ? Bằng kinh nghiệm có được xin quý Thầy Cô cho biết các biện pháp để tăng cường hứng thú giải toán chứng minh hình học cho học sinh ? GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 57 Câu 6 : Theo quý Thầy Cô đánh giá, hiện nay khả năng trình bày lời giải cho một bài toán chứng minh hình học của học sinh như thế nào, có những điểm nào cần khắc phục ? .. Câu 7: Bằng những kinh nghiệm có được, xin quý Thầy Cô cho biết các thủ thuật biện pháp nào giúp cho học sinh phát triển khả năng chứng minh hình học ?. ........................... 3.2 Phân tích hệ thống câu hỏi Thông qua hệ thống câu hỏi này, chúng tôi muốn tìm hiểu xem giáo viên có thực sự chú trọng việc rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh hay chưa ? Các biện pháp mà giáo viên đưa ra có đạt được hiệu quả không ? Đặc biệt là sự đánh giá của giáo viên đối với học sinh của mình trong việc giải các bài tập chứng minh hình học. Để tiện cho việc phân tích, chúng tôi chia hệ thống câu hỏi ra làm 2 nhóm. Các câu trong nhóm có mối quan hệ hỗ trợ nhau. Nhóm 1 : bao gồm các câu hỏi 1, 2, 3, 4. Các câu hỏi này nhằm tìm hiểu mức độ quan tâm của giáo viên đối với nhiệm vụ nào của dạy học toán hình học. Thông qua đó, đánh giá được xem giáo viên có coi vấn đề “rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh” là cần thiết hay không. Đặc biệt đối với câu hỏi 4 nhằm đánh giá xem giáo viên có thật sự quan tâm đến việc dạy cho học sinh phương pháp giải toán, phương pháp suy luận để tìm lời giải hay không. Nhóm 2 : bao gồm các câu 5, 6, 7. Với các câu hỏi này chúng tôi muốn tìm hiểu kĩ hơn về các biện pháp, yêu cầu mà giáo viên đặt ra cho học sinh trong việc phát triển năng lực chứng minh thông qua dạy học khái niệm, dạy học định lí và dạy học giải bài tập. Đặc biệt, đối với câu hỏi 6 thì chúng tôi muốn tìm hiểu trung thực các đánh giá của giáo viên đối với học sinh của mình trong việc trình bày lời giải và các biện pháp giáo viên đưa ra để khắc phục. B – THỰC NGHIỆM DÀNH CHO HỌC SINH 1. Mục đích của việc thực nghiệm • Thăm dò khả năng tiếp thu của học sinh, khả năng nắm và vận dụng lí thuyết để áp dụng vào việc giải các bài toán chứng minh hình học. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 58 • Nhằm kiểm tra hiệu quả của một số bài dạy đã được thiết kế theo định hướng đổi mới PPDH nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh nói chung và phát huy năng lực chứng minh cho học sinh nói riêng. • Nhằm đúc kết cho bản thân một số kinh nghiệm về thiết kế bài dạy theo mục tiêu phát triển năng lực chứng minh cho học sinh. 2. Biện pháp thực nghiệm • Tiến hành giảng dạy theo kế hoạch bài dạy đã được thiết kế theo định hướng đổi mới PPDH nhằm phát triển năng lực chứng minh cho học sinh ở một số lớp sau đây : 1. Lớp 7A2, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Tia Phân Giác Của Góc” 2. Lớp 7A5, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Tiên Đề Ơclit Về Đường Thẳng Song Song”. 3. Lớp 8A1, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Hai Tam Giác Đồng Dạng”. 4. Lớp 8A2, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Hai Tam Giác Đồng Dạng”. 5. Lớp 9A3, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Tứ Giác Nội Tiếp” 6. Lớp 9A1, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Tứ Giác Nội Tiếp”. 7. Lớp 10C1, trường THPT Bình Khánh, với bài dạy “Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác” ( tiết 1: Định lý hàm số cosin). 8. Lớp 10C2, trường THPT Bình Khánh, với bài dạy “Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác” (tiết 2: Định lý hàm số sin và công thức tính diện tích tam giác). 9. Lớp 11A8, trường THPT Chu Văn An, với bài dạy “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”. 10. Lớp 11A4, trường THPT Chu Văn An,với bài dạy “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” • Sau mỗi tiết học ấy, cho các em làm bài kiểm tra 10 phút nhằm khảo sát mức độ nắm bài cũng như khả năng vận dụng kiến thức mới của các em qua tiết học. 3. Nội dung thực nghiệm 3.1 Giảng dạy bài “Tia phân giác của góc” Nội dung đề kiểm tra Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Chứng minh : ∆ABM = ∆DCM GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 59 Đáp án – Thang điểm Vẽ hình 1 điểm ; GT-KL 1 điểm GT ∆ ABC, MB = MC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD KL C/m ∆ ABM = ∆DCM Xét hai tam giác ∆ABM và ∆DCM ta có : MB = MC (vì M là trung điểm của BC) AM = MD (giả thiết) AMB CMD= (đối đỉnh) Suy ra ∆ABM = ∆DCM (c-g-c) 3.2 Giảng dạy bài “ Hai tam giác đồng dạng” Nội dung đề kiểm tra Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE = 2cm. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh hai tam giác ABC và AED đồng dạng. Đáp án – Thang điểm (Vẽ hình : 1đ, GT + KL : 1đ ) GT ∆ABC: AB = 6cm, AC = 9cm AE = 2cm, AD = DB KL Chứng minh 2 ∆ABC và ∆AED đồng dạng. D M A B C D A B C E GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 60 Xét hai tam giác ∆ABC và ∆AED ta có : AD 3 1 AC 9 3 = = (1) 2 1 6 3 AE AB = = (2) Từ (1) và (2) ta suy ra AD AE AC AB = mà µA là góc chung Suy ra ∆ABC và ∆AED đồng dạng. 3.3 Giảng dạy bài “Tứ giác nội tiếp” Nội dung đề kiểm tra Cho tam giác đều ABC, trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC không chứa điểm A lấy điểm D sao cho DB = DC và · ·1 2 DCB ACB= . Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp. Đáp án – Thang điểm (Vẽ hình : 1đ, GT + KL : 1đ ) GT ∆ABC đều, DB = DC, · ·1 2 DCB ACB= KL C/m tứ giác ABDC nội tiếp Ta có : · 060ACB = ( vì ∆ABC đều) Mà · ·1 2 DCB ACB= = 030 · · · 0 0 060 30 90ACD ACB BCDÞ = + = + = Tương tự · · · 090ABD ABC CBD= + = Suy ra : · · 0 0 090 90 180ACD ABD+ = + = Suy ra tứ giác ABDC nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng 0180 ) A B C D GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 61 a b m n CB A D c = 1 3 c m a = 8 c m b = 1 0 c m A B C 3.4 Giảng dạy bài “Các hệ thức lượng trong tam giác” Nội dung đề kiểm tra Đề 1 : Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm. a) Chứng minh rằng tam giác ABC có một góc tù? b) Chứng minh rằng đường trung truyến AM = 237 2 cm ? Đề 2 : Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n. Chứng minh rằng 2 2 2 22( )m n a b+ = + . Đáp án-Thang điểm Đề 1 : Vẽ hình 1đ – GT+KL 1đ – Câu a) 4đ – Câu b) 4đ a) Ta có : 2 2 2 2 cosc a b bc C= + − 2 2 2 cos 2 64 100 169 5 2.8.10 160 a b cC ab + −⇒ = + −= = − 0 '91 47C⇒ Vậy tam giác ABC có góc C là góc tù. b) Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 2(10 13 ) 8 237 4 2 a b c aMA m + −= = + −= = 237= cm 2a m⇒ (đpcm) Đề 2 : Vẽ hình 1đ – GT+KL 1đ Cách 1 : Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) 2( ) (ñpcm) m n BD AC AD AB AD AB AD AB a b + = + = − + + = + = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 62 M A C S B Cách 2: 2 2 2 24( )m n AO BO+ = + mà 2 2 2 2 2 4 a b nAO += − và 2 2 22 2 4 a b mBO += − nên 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) 2 4 2 4 a b n a b mm n + ++ = − + − 2 2 2 2= 4(a )b m n+ − − Hay 2 2 2 22( )m n a b+ = + 3.5 Giảng dạy bài “Hai đường thẳng vuông góc” Nội dung đề kiểm tra Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có tam giác ABC vuông tại B. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. Chứng minh rằng : a) BC⊥ (SAB) b) AM⊥ (SBC) Đáp án – Thang điểm Vẽ hình :1 điểm ; GT+KL :1 điểm ; Câu a : 4 điểm ; câu b : 4 điểm a) Ta có : ( ) ( ) SA ABC BC SA BC ABC ⎫⊥ ⇒ ⊥⎬⊂ ⎭ (1) BC⊥AB (gt) (2) Mà AB∩ SA={ }A (3) Từ (1), (2), (3) suy ra BC⊥ (SAB) GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 63 b) Ta có : AM⊥ SB (gt) (1) ( ) ( ) BC SAB AM BC AM SAB ⎫⊥ ⇒ ⊥⎬⊂ ⎭ (2) Mà BC∩ SB={ }B (3) Từ (1), (2), (3) suy ra AM⊥ (SBC) 4. Kết quả thực nghiệm 4.1 Phần giảng dạy Tiến hành giảng dạy đúng như kế hoạch dạy học đã được thiết kế, truyền tải được hết nội dung kiến thức có trong giáo án đề ra. 4.2 Kết quả bài kiểm tra Thực nghiệm dành cho cấp THCS Cũng đề như trên, chúng tôi kiểm tra ở những lớp không dạy thực nghiệm để đối chứng. Kết quả như sau: Điểm Lớp Sỉ số học sinh 0-3 4 5 6 7 8 9 10 7A1 35 4 11,4% 3 8,6% 3 8,6% 6 17,1% 8 22,9% 5 14,3% 6 17,1% 0 0% 7A5 34 5 14,7% 2 5,9% 4 11,8% 4 11,8% 5 14,7% 6 17,6% 7 20,6% 1 2,9% 8A1 32 4 12,5% 4 12,5% 3 9,4% 6 18,8% 7 21,9% 5 15,6% 1 3,1% 2 6,2% 9A3 32 3 9,4% 4 12,5% 3 9,4% 7 21,9% 4 12,5% 6 18,7% 5 15,6% 0 0% GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 64 Điểm Lớp Sỉ số học sinh 0-3 4 5 6 7 8 9 10 7A2 35 6 17,1% 3 8,6% 6 17,1% 7 20% 6 17,1% 5 14,3% 2 5,7% 0 0% 7A3 36 8 19,4% 3 8,3% 8 22,2% 4 11,1% 2 5,6% 6 16,7% 3 8,3% 3 8,3% 8A2 33 3 9,1% 6 18,2% 7 21,2% 4 12,1% 3 9,1% 5 15,1% 3 9,1% 2 6,1% 9A1 32 5 15,6% 4 12,5% 6 18,7% 4 12,5% 6 18,7% 4 12,5% 2 6,3% 1 3,1% Thực nghiệm ở cấp THPT Cũng đề như trên, chúng tôi kiểm tra ở những lớp không dạy thực nghiệm để đối chứng. Kết quả như sau: Điểm Lớp Sỉ số học sinh 0-3 4 5 6 7 8 9 10 10C1 33 5 15,2% 2 6,1% 2 6,1% 5 15,1% 6 18,2% 5 15,1% 7 21,2% 1 3% 10C3 31 2 6,5% 4 12,9% 3 9,7% 6 19,4% 4 12,9% 5 16,1% 7 22,5% 0 0% 11A8 39 3 7,7% 2 5,1% 6 15,4% 8 20,5% 6 15,4% 10 25,6% 3 7,7% 1 2,6% 11A4 41 2 4,9% 3 7,3% 5 12,2% 10 24,4% 8 19,5% 6 14,6% 7 17,1% 0 0% GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 65 Điểm Lớp Sỉ số học sinh 0-3 4 5 6 7 8 9 10 10C2 35 5 14,3% 3 8,6% 6 17,1% 8 22,9% 5 14,3% 6 17,1% 2 5,7% 0 0% 10C4 34 6 17,6% 2 5,9% 8 23,5% 6 17,6% 5 8,8% 5 14,7% 2 5,9% 0 0% 11A2 38 4 10,5% 3 7,9% 9 23,7% 7 18,4% 8 21% 5 13,2% 2 5,3% 0 0% 11A3 41 5 12,2% 2 4,9% 7 17,1% 8 19,5% 8 19,5% 7 17,1% 2 4,9% 2 4,9% Nhận xét: • Nội dung kiểm tra : đảm bảo đầy đủ kiến thức yêu cầu của tiết học, trong đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững các định nghĩa, định lí, các kí hiệu mới và biết vận dụng chúng vào việc giải toán. • Qua bảng thống kê kết quả khảo sát cho thấy : bước đầu học sinh đã nắm vững nội dung bài mới, các em đã nhớ và có khắc sâu các định nghĩa, định lí, các kí hiệu mới hay những “chú ý” ngay tại lớp. Hơn nữa, phần lớn các em đã biết vận dụng kiến thức mới vào việc giải toán hình học. • Mặc dù thời gian tương đối ngắn (10 phút), nội dung bài kiểm tra vẫn đảm bảo yêu cầu học sinh nắm vững bài ngay tại lớp và có vận dụng giải toán, tuy nhiên kết quả thu được là khá tốt. Từ đó cho thấy hiệu quả của phương pháp dạy học mới này. Đạt được kết quả đó bởi vì từ phương pháp dạy học mới này ta đã tạo hứng thú học toán cho các em, kích thích các em tích cực suy nghĩ, giải quyết các vấn đề được đặt ra, giáo viên có thể khai thác hết nội dung SGK (có thể mở rộng thích hợp) hay chuẩn bị các bài tập nhằm khắc sâu các kiến thức mới cho học sinh. Hơn nữa, giáo viên có nhiều thời gian để quan tâm, theo dõi tiến trình học tập, tiếp thu kiến thức của các em hơn. Vì vậy, giáo viên có thể điều chỉnh một cách thích hợp, linh hoạt để có thể đạt được mục tiêu bài học một cách thuận lợi. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 66 Phần III KẾT LUẬN GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 67 Thực hiện đề tài này chúng tôi đạt được một số kết quả sau đây : 1. Trên cơ sở các ví dụ phân tích một cách tương đối cụ thể cơ sở lí luận của việc dạy học liên quan đến đề tài đã chọn như phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh thông qua rèn luyện các thao tác tư duy : phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá và đặc biệt hóa, tương tự hoá và cụ thể hoá Phân tích ta có một hệ thống các bước để giải một bài toán hình học trong đó chú trọng đến việc tìm tòi cách giải bằng phương pháp phân tích. Đồng thời nêu bật hai phương pháp suy luận thường sử dụng trong giải toán hình học là : suy luận diễn dịch và những suy luận có lí. Bước đầu chúng tôi đã đề cập đến việc khai thác, phát triển bài toán sao cho phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh ở từng cấp lớp. 2. Tiến hành thực nghiệm sư phạm và trao đổi với giáo viên xung quanh việc dạy học hình học ở Trung học Cơ sở và Trung học Phổ thông. 3. Kết quả nghiên cứu đề tài là rất có ích đối với giáo viên dạy toán ở Trung học Cơ sở và Trung học Phổ thông trong việc dạy học hình học. III.2 NHỮNG HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI 1. Về phương pháp nghiên cứu Do các hạn chế về : thời gian nghiên cứu, năng lực nghiên cứu nên đề tài còn nhiều thiếu sót. • Các nghiên cứu chỉ dựa trên nghiên cứu lý luận và thực nghiệm sư phạm, các kết quả này còn phải được thực tế kiểm nghiệm đánh giá một cách đầy đủ hơn. • Các biện pháp hình thành và rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh được dựa trên cơ sở lí luận và thông qua việc “dạy giải các bài tập chứng minh hình học”. Nhưng do thời gian còn hạn chế nên đề tài chưa thể liệt kê hết các bài toán chứng minh trong sách giáo khoa. 2. Về nội dung nghiên cứu Do phạm vi rộng lớn của đề tài nên chúng tôi chỉ mới tìm hiểu một số nội dung và phương pháp rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua việc giải các bài tập chứng minh hình học . III.3 HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP TỤC Kết quả nghiên cứu của chúng tôi chỉ là bước đầu. Rất mong vấn đề này sẽ được mở rộng theo các hướng : nghiên cứu toàn bộ tác dụng của việc giải bài tập hình học đối với rèn luyện tư duy lôgíc của học sinh. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 68 PHỤ LỤC GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 69 GIÁO ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG II I - Mục tiêu: 1. Về kiến thức: - Học sinh nắm được định lí côsin, định lí sin, công thức về đường trung tuyến trong tam giác, các công thức tính diện tích tam giác và giải tam giác. - Sử dụng thành thạo các công thức tính. - Biết vận dụng kiến thức đã học vào thực tế. 2. Về kỹ năng: - Biết áp dụng các công thức trên để giải một số bài toán có liên quan và áp dụng được các diện tích tam giác. Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi. 3. Thái độ: - Cẩn thận, chính xác. - Về tư duy: biết vận dụng kiến thức giải tam giác vào các bài toán có thực tế. II - Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Chuẩn bị của giáo viên: - Giáo án, một số câu hỏi vấn đáp. - Bảng phụ, phiếu học tập. 2. Chuẩn bị của học sinh: - Các công thức của bài học trước. III - Phương pháp dạy học: - Gợi mở vấn đề. - Phát hiện giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm. IV - Tiến trình dạy học: A - Ổn định lớp và kiểm tra bài cũ: (10 phút) - Giáo viên gọi 3 học sinh lên bảng nêu định lí sin và côsin, các công thức tính diện tích tam giác. - Cho học sinh làm các bài tập 1, 2, 3 trong SGK. Giải Bài 1: C ∧ = 90o B ∧− = 32o b = asinB = 61,06 (cm) c = asinC = 38,15 (cm) . a b ch a = = 32,36 (cm) GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 70 Bài 2: cosA = 2 2 2 2 b c a bc + − = 0,8090 ⇒  = 36o cosB = 2 2 2 2 a c b ac + − = -0,2834 106 28'oB ∧⇒ = 180oC ∧ = − (Â+ B∧ ) = 37 32 'o Bài 3: Theo định lí cosin ta có: 2 2 2 2 osA = 129a b c bcc= + − ⇒ a = 11,36 (cm) cosB = 2 2 2 2 a c b ac + − = 0,79 37 48'oB ∧⇒ = 180oC ∧ = − (Â+ B∧ ) = 22 12 'o B - Vào bài mới: -Hoạt động 1: Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 3’ - Giáo viên ghi đề bài tập 4 trong SGK lên bảng. - Giáo viên đặt các câu hỏi sau: + Khi biết 3 cạnh của tam giác thì chúng ta dựa vào công thức nào để tính diện tích tam giác. - Gọi học sinh lên bảng làm bài tập 4. - Chỉnh sửa sai sót của học sinh. - Tích cực phát biểu ý kiến. - Đóng góp ý kiến cho cách làm khác. - Quan sát bài làm trên bảng. - Ghi chép. Bài tập 4: SGK/59 p = 1 2 (7+9+12) = 14 S= 14(14 7)(14 9)(14 12)− − − =31,3 (đvdt). - Hoạt động 2: (3 phút) Œ Giáo viên gọi 1 học sinh lên bảng sửa bài tập 5 trong SGK. Œ Chỉnh sửa bài làm của học sinh. Kết hợp với hỏi vấn đáp. Giải: 2 2 2 2 o 2 2 2 2 2 2 2 12 os120 2 .( ) 2 BC a b c bcc a b c bc BC b c bc m n mn = = + − ⇒ = + − − ⇒ = + + = + + -Hoạt động 3: GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 71 Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 5’ - Giáo viên ghi đề bài tập 6 lên bảng. - Giáo viên đặt các câu hỏi sau: 1. Trong các canh a, b, c thì cạnh nào lớn nhất? 2. Góc đối diện với cạnh lớn nhất trong tam giác sẽ là góc nào ? 3. Tính góc C và cho nhận xét ? - Gọi học sinh lên bảng trình bày hoàn chỉnh lời giải. + Gợi ý trả lời câu hỏi 1: cạnh c. + Gợi ý trả lời câu hỏi 2: Góc C + Gợi ý trả lời câu hỏi 3: ^ 091 47'C= Bài tập 6: SGK/59 a) Nếu tam giác ABC có góc tù thì góc tù phải đối diện với cạnh lớn nhất là c = 13(cm).Ta có công thức: 2 2 2 2 osCc a b abc= + − ⇒ cosC= 64 100 169 5 2.8.10 160 91 47 'oC ∧ + − = − ⇒ = là góc tù của tam giác b) Ta có 2 2 2 2 2 2( ) 4 118,5 10,89( ) a a b c aMA m m cm + −= = = ⇒ = -Hoạt động 4: Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 5’ -Giáo viên gọi 2 học sinh lên bảng làm bài tập 7. -Cho các học sinh khác quan sát bài làm của bạn trên bảng và nhận xét đúng hay sai. -Giáo viên chỉnh sửa kết hợp với hỏi vấn đáp. -Suy nghĩ,ghi chép. Bài tập 7:SGK trang 59 a)Vì cạnh c=6cm lớn nhất nên góc C lớn nhất,ta có 2 2 2a 11osC= 2 24 117 16 'o b cc ab C ∧ + − −= ⇒ = b)Vì cạnh a=40cm lớn nhất nên góc A lớn nhất,ta có: 2 2 2b 62osA= 0,064 2 962 c ac bc + − = − = ⇒Â=93 41'o -Hoạt động 5: (5 phút) + Hướng dẫn học sinh cách giải bài tập 8, kết hợp với hỏi vấn đáp. + Giáo viên đặt ra các câu hỏi sau: GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 72 Œ Tổng số đo ba góc trong tam giác bằng bao nhiêu? Từ đó tính góc A. Œ Hãy phát biểu định lí sin. Từ đó tính bán kính R. Œ Dùng định lí sin để tính cạnh b và c. C-Củng cố: Œ Chia lớp thành 6 nhóm. Œ Gọi đại diện mỗi nhóm lên bảng sửa. PHIẾU HỌC TẬP Câu 1: Tam giác ABC có AB = 2cm, AC = 1cm, 60OA ∧ = . Khi đó độ dài cạnh BC bằng: a) 1cm b) 2cm c) 3 cm d) 5 cm Câu 2: Tam giác ABC có a = 5cm, b = 3cm, c = 5cm. Khi đó số đo của góc ˆBAC là: a) ˆ 45oA = b) ˆ 30oA = c) ˆ 60oA > d) ˆ 90oA = Câu 3: Tam giác ABC có AB = 8cm, BC = 10cm, CA = 6cm. Đường trung tuyến AM của tam giác đó có độ dài: a) 4cm b) 5cm c) 6cm d) 7cm Câu 4: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, BC = 10cm. Đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính r bằng: a) 1cm b) 2 cm c) 2cm d) 3cm Câu 5: Tam giác ABC có a = 3 cm, b = 2 cm, c = 1cm. Đường trung tuyến am có độ dài bằng: a) 1cm b) 1,5cm c) 3 2 cm d) 2,5cm Câu 6: Tam giác đều nội tiếp đường tròn có bán kính R = 4cm, có diện tích là: a) 13 2cm b) 213 2cm c) 212 3cm d) 15 2cm D - Dặn dò: - Về nhà làm lại các bài tập đã sửa và ôn lại các công thức đã học ở chương II. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 73 GIÁO ÁN Bài : CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ( Tiết 2) I. MỤC TIÊU . 1. Về kiến thức : + Học sinh cần nắm được định lí sin trong tam giác và biết vận dụng định lí này để tính cạnh hoặc góc của một tam giác trong các bài toán cụ thể. + Học sinh biết sử dụng các công thức tính diện tích tam giác. 2. Về kỹ năng: - Biết áp dụng các công thức trên để giải một số bài toán có liên quan. Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi. 3. Thái độ: - Cẩn thận, chính xác. -Về tư duy : • Rèn luyện tư duy logic. Biết quy lạ về quen. • Cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận. II - Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Chuẩn bị của giáo viên: - Giáo án, một số câu hỏi vấn đáp. - Bảng phụ, phiếu học tập. 2.Chuẩn bị của học sinh: - Các công thức của bài học trước. III - Phương pháp dạy học: - Gợi mở vấn đề. - Phát hiện giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm. IV - Tiến trình dạy học: A - Ổn định lớp và kiểm tra bài cũ: - Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính số đo các góc A, B, C? GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 74 B - Vào bài mới: Hoạt động 1: Thực hiện hoạt động 5 trong SGK. Kiểm chứng các đẳng thức sau nếu góc A vuông : Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Câu hỏi 1: Hãy tính sin A? Câu hỏi 2: BC bằng bao nhiêu? Câu hỏi 3: Tính a SinA bằng bao nhiêu ? Câu hỏi 4: sin b B bằng bao nhiêu? Câu hỏi 5: Hãy kết luận. Trả lời: Ta có sin A = 0sin 90 =1 Trả lời: BC=2R. Trả lời: a SinA =2R Trả lời: sin b B = sin b b B =2R Trả lời: a SinA = sin b B = sin c C =2R 2. Định lí sin: Hoạt động 5: SGK/50 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính R và có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh hệ thức : a SinA = sin b B = sin c C =2R c b a C O B A Đối với tam giác ABC bất kì ta cũng có hệ thức trên.Hệ thức này gọi là định lí sin trong tam giác. Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: a SinA = sin b B = sin c C =2R Chứng minh: GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 75 Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Tam giác ABC vuông thì các đẳng thức trên còn đúng không ? Giáo viên treo hình vẽ lên bảng. Câu hỏi 1: Tam giác BCD là tam giác gì? Vì sao? Câu hỏi 2: BC bằng bao nhiêu ? Câu hỏi 3: sin ( BAC ) = sin( BDC ) ? Vì sao? Câu 4: Tính a SinA bằng bao nhiêu? Câu 5: Kết luận. Suy nghĩ BCD là tam giác vuông. Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. BC = BD.sinD hay a = 2R.sinD sin ( BAC ) = sin( BDC ) ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn một cung BC nếu góc A nhọn, là hai góc bù nhau nếu A tù). a SinA =2R Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự. a SinA = sin b B = sin c C =2 R a) Định lí sin: -Trường hợp góc A nhọn: - Trường hợp góc A tù: Hoạt động 2 : Hoạt động 6: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Câu hỏi 1: Hãy tính sinA. Câu hỏi 2: BC bằng bao nhiêu? Câu hỏi 3: Tỉ số sin a A bằng bao nhiêu? Câu 4: Hãy tính R. Ta có: sin A = sin 060 = 3 2 , BC = a. a SinA = 2R a SinA = 2R ⇔ 3 2 = 2R hay R = 1 3 Hoạt động 6: SGK / 52 c b a D C OB A D c b a O C B A GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 76 Hoạt động 3: Ví dụ. Cho tam giác ABC có 020B = , 031C = và cạnh b = 210cm. Tính Â, các cạnh còn lại và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. -Giáo viên giải ví dụ kết hợp vơi hỏi vấn đáp. Hoạt động 4: Công thức tính diện tích tam giác. Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Câu hỏi 1: Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo BC và ah . Câu hỏi 2: Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo AC và ah . Câu hỏi3: Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo AB và ah . Trả lời: S= 1 2 .BC. ah 1 1. . . . 2 2b b AC h b h= 1 1. . . . 2 2c c AB h c h= Hoạt động 7:SGK/53 Cho tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giac và p = 2 a b c+ + là nửa chu vi của tam giác. Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau: 1 1 1sin sin asin (1) 2 2 2 S ab C bc A c B= = = 4 abcS R = (2) S=pr (3) ( )( )( )S p p a p b p c= − − − (Công thức Hê-Rông) (4) Hướng dẫn học sinh chứng minh công thức (1). Giáo viên treo bảng phụ hình 2.18 lên bảng để thực hiện các thao tác chứng minh công thức (1). Ta đã biết S = 1 2 a ah với ACsin sinah AH C b C= = = (kể cả C nhọn, tù hay vuông). (h.2.18). GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 77 Do đó 1 sin 2 S ab C= Các công thức 1 sin 2 S bc A= và 1 asin 2 S c B= được chứng minh tương tự. Hoạt động 5: Chứng minh công thức (2) Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Câu hỏi 1: Theo định lí sin ta có 4 a R bằng bao nhiêu? Câu 2: So sánh 1 sin 2 bc A và 4 abc R 4 a R = 1 2 sinA 1 sin 2 bc A = 4 abc R Hoạt động 8: Dựa vào công thức (1) và định lí sin,hãy chứng minh S= 4 abc R Hoạt động 6: Chứng minh công thức (3) Giáo viêm treo bảng phụ hình 2.19 lên bảng. Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Câu hỏi 1: So sánh S và AOB BOC AOCS S S∆ ∆ ∆+ + Câu hỏi 2: Hãy kết luận S= AOB BOC AOCS S S∆ ∆ ∆+ + S=pr Hoạt động 9:SGK/54 Ta thừa nhận công thức Hê-Rông Hoạt động 7: - Giáo viên hướng dẫn học sinh làm 2 ví dụ kết hợp vơi hỏi vấn đáp C - Củng cố - Cho học sinh nhắc lại định lí sin và 5 công thức tính diện tích tam giác. - Sau đó giáo viên treo bảng phụ tóm tắt kiến thức cho học sinh. D- Dặn dò: - Về nhà xem bài trước.Làm các bài tập 1,2 ,3,4.SGK/59 GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 78 GIÁO ÁN Bài : HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU - HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I - Mục tiêu: 1. Kiến thức : + Nắm được định nghĩa hai đường thẳng song song với nhau và hai đường thẳng chéo nhau. + Vận dụng định lí : Qua một điểm không thuộc đường thẳng cho trước, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. + Định lí về giao tuyến ba mặt phẳng và hệ quả ba định lí đó. + Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. 2. Kĩ năng : Vận dụng các định lí giải toán vào giải các bài toán hình học không gian. 3. Thái độ học tập: Thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế và phục vụ cho cuộc sống. II - Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Chuẩn bị của giáo viên: - Giáo án, một số câu hỏi vấn đáp. - Bảng phụ, phiếu học tập. 2. Chuẩn bị của học sinh: Xem lại vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng. III - Phương pháp dạy học: - Gợi mở vấn đề. - Phát hiện giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm. IV - Tiến trình dạy học: A - Ổn định lớp và kiểm tra bài cũ: ( 5 phút ) Bài toán : Cho tứ diện ABCD, I, J, M, N, P, Q của các cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD. Chứng minh IM, JN, PQ đồng quy. Yêu cầu : Xét các cặp đoạn IM, JN, IM, PQ, JN, PQ. Chúng giao nhau ở trung điểm các đoạn. B - Vào bài mới: Giáo viên đặt vấn đề : Trong thực tế tự nhiên chúng ta thường gặp hình ảnh của các đường thẳng song song, các đường thẳng chéo nhau. Vậy chúng ta hiểu nó như thế nào trong toán học? Yêu cầu học sinh chỉ một số hình ảnh của các đường thẳng song song, các đường thẳng chéo nhau trong phòng học của mình. Hoạt động 1 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 79 Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 15 phút -Giáo viên nêu vị trí các đường trong một hình hộp. + Học sinh nhắc lại một số vị trí tương đối của hai đường thẳng a, b trong không gian. 1.1 Trường hợp 1 : Có một mặt phẳng chứa a và b. + Hãy nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng a, b. (hình 2.27) + Vậy, a // b là hai đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng và không có điểm chung + Rút ra kết luận về hai đường thẳng song song? 1.2 Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. -Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài tập ở 2∆ -Tích cực phát biêu. -Ghi chép, vẽ hình. I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian: - Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b. - Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. 2∆ : Cho tứ diện ABCD, chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau. Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này. Hoạt động 2:Tính chất Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 15 phút - Giáo viên nêu nội dung định lí và yêu cầu học sinh ghi tóm tắt và vẽ hình. + Nêu phương hướng chứng minh duy nhất đường thẳng d’. + Gợi ý: Có d’ // d, M∈d’, d” // d’, và M’∈d”. Chứng minh d” ≡ d’. Nhận xét: a // b ⇒ tồn tại duy nhất mặt phẳng (P) chứa a, b. Kí hiệu (P) = (a , b). - Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình và chứng minh bài tập ở 3∆ . -Học sinh ghi bài vào tập. -Học sinh nêu cách chứng minh (sách giáo khoa). - Học sinh vẽ hình 3∆ và chứng minh vào vở nháp. - Học sinh ghi tóm tắt: Giả thiết: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a c b α β α γ β γ ⎧ ∩ =⎪ ∩ =⎨⎪ ∩ =⎩ II-Tính chất: Định lí 1 : SGK / 56 Chứng minh: GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 80 - Giáo viên kiểm tra, nhận xét. - Giáo viên gọi học sinh đọc định lí 2 và yêu cầu các học sinh vẽ hình ghi tóm tắt và trình bày phương án chứng minh. Giáo viên nêu các câu hỏi: + Các đường thẳng a, b thuộc mặt phẳng nào? + Vị trí tương đối của a, b. + Xét trường hợp a∩ b=∅ .Gọi a∩ b=I.Hãy chứng minh I∉c. + Xét a // b: hãy chứng minh a // c. Gợi ý: chứng minh bằng phương pháp phản chứng. -Giáo viên nêu nội dung của hệ quả và yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi tóm tắt và công nhận nội dung để giải bài tập. - Trả lời: / / a b a b ⎡ ∩ ≠ ∅⎢⎣ - Trả lời: ( ) ( ) I c I c αα ⎧ ∈ ⇒ ∈⎨ ⊂⎩ ( ) ( ) I b I b γγ ⎧ ∈ ⇒ ∈⎨ ⊂⎩ Suy ra I∈c. - Học sinh nêu cách chứng minh. - Học sinh vẽ hình và nêu tóm tắt. Định lí 2 : SGK / 57 Chứng minh: Hệ quả:SGK/57 - Hoạt động 3: ( 5 phút ) + Giáo viên hướng dẫn cho học sinh làm 2 ví dụ kết hợp với hỏi vấn đáp. + Yêu cầu học sinh nắm nội dung định lí 3 để áp dụng làm bài tập. C - Củng cố: ( 5 phút ) - Cho học sinh đọc lại 3 định lí. - Yêu cầu học sinh phát biểu lại định lí bằng lời theo cách hiểu của mình. D - Dặn dò: Về nhà làm các bài tập 1, 2, 3 ( SGK trang 59, 60). TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Văn Như Cương, Hình Học Sơ Cấp và Thực Hành Giải Toán, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm, 2005. 2. Phạm Gia Đức – Phạm Đức Quy, Giáo Trình Đổi Mới Phương Pháp Dạy Học Môn Toán ở trường THCS nhằm hình thành và phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm, 2007. 3.Trần Khánh Hưng, Giáo Trình PP Dạy – Học Toán, Nhà xuất bản Giáo Dục, 2000. 4.Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm, 2004. 5.Vũ Dương Thụy – Trương Công Thành – Nguyễn Ngọc Đạm, 255 Bài Toán Chọn Lọc Hình Học, 1993. 6. Sách Giáo Khoa – Sách Giáo Viên Toán các lớp 6, 7, 8, 9, 10, 11, Nhà xuất bản Giáo Dục