Luận văn Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích

h×nh thøc “ng¸o ép” cña bµi to¸n, c¸c hÖ sè cã mÆt trong ph­¬ng tr×nh lín, ph­¬ng tr×nh nÕu khai triÓn ra lµ ph­¬ng tr×nh bËc 4, kh«ng ph¶i d¹ng ph­¬ng tr×nh chÝnh quy (kh«ng cã c¸ch gi¶i tæng qu¸t). Quan s¸t ph­¬ng tr×nh cã thÓ më réng thµnh gi¶i ph­¬ng tr×nh: . B»ng viÖc trõu t­îng ho¸ ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n thµnh gi¶i ph­¬ng tr×nh: H­íng dÉn gi¶i: §Æt . Ta thu ®­îc hÖ ViÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn trë nªn kh¸ ®¬n gi¶n, thay a = 2007, b = 2008 vµo hÖ ph­¬ng tr×nh cuèi cïng råi gi¶i. Nh­ vËy, víi mçi cÆp sè (a; b) cô thÓ (gi¸ trÞ vµo) ph­¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm, 2 nghiÖm, 3 nghiÖm, 4 nghiÖm hoÆc v« nghiÖm (gi¸ trÞ ra t­¬ng øng). B©y giê ta xÐt ®Õn líp bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ vµo hoÆc ®iÒu kiÖn ®èi víi gi¸ trÞ vµo ®Ó gi¸ trÞ ra tho¶ m·n hÖ thøc cho tr­íc. Cã khi hÖ thøc cho tr­íc ®ã chØ thÓ hiÖn mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm (c¸c gi¸ trÞ ra) mµ kh«ng tho¶ m·n hÖ thøc ®èi xøng, cã khi tho¶ m·n hÖ thøc ®èi xøng vµ b»ng mét gi¸ trÞ cô thÓ nµo ®ã hoÆc tho¶ m·n mét ®iÒu kiÖn nµo ®ã. Khi gi¶i lo¹i to¸n nµy th«ng th­êng lµ vËn dông ®Þnh lý Viet kÕt hîp víi hÖ thøc bµi cho nh»m t×m ra gi¸ trÞ hoÆc ®iÒu kiÖn cña gi¸ trÞ vµo. VÝ dô 5: Cho ph­¬ng tr×nh: (4) T×m m sao cho biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, trong ®ã x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho. Ho¹t ®éng: + T×m gi¸ trÞ vµo lµ m + Gi¸ trÞ ra lµ x1, x2 vµ ®iÒu kiÖn ®èi víi gi¸ trÞ ra lµ E ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt + T×m sù t­¬ng øng Ph­¬ng tr×nh (4) cã hai nghiÖm x1, x2 khi nµo? NhËn xÐt hÖ thøc E? TÝnh E theo m dùa vµo hÖ thøc nµo? Theo ®Þnh lý Viet T­¬ng øng víi sù thay ®æi gi¸ trÞ cña m . Cã ¶nh h­ëng tíi gi¸ trÞ cña E kh«ng? §¸nh gi¸ sù biÕn thiªn cña gi¸ trÞ E khi biÕn thiªn b»ng c¸ch nµo? Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn: XÐt hµm sè ;  Suy ra biÓu thøc E ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ -1 khi m = -1. CÇn nhÊn m¹nh cho häc sinh khi vËn dông ®Þnh lý Viet ph¶i chó ý ®Õn ®iÒu kiÖn cÇn cña ®Þnh lý lµ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm, nÕu l¬ lµ hoÆc kh«ng ý thøc vÒ ®iÒu nµy, cã thÓ dÉn ®Õn thiÕu sãt thËm chÝ sai lÇm trong lêi gi¶i. Ch¼ng h¹n nh­ bµi to¸n trªn, häc sinh “v« t­” khi ¸p dông ®Þnh lý Viet ®Ó tÝnh E theo m: . Råi kÕt luËn (Sai lÇm! V× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm). §èi víi ph­¬ng tr×nh bËc hai th× viÖc kiÓm tra ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó ¸p dông ®Þnh lý Viet lµ nh­ng víi ph­¬ng tr×nh bËc 3 hoÆc cao h¬n th× ®Þnh lý Viet kh«ng ®­îc häc trong ch­¬ng tr×nh phæ th«ng vµ viÖc t×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã sè nghiÖm b»ng sè bËc ph­¬ng tr×nh thËt kh«ng ®¬n gi¶n. §Ó kh¾c phôc ®iÒu nµy, cÇn tËp cho häc sinh thãi quen kiÓm tra l¹i víi gi¸ trÞ tham sè t×m ®­îc (gi¸ trÞ vµo) th× nghiÖm ph­¬ng tr×nh (gi¸ trÞ ra) cã tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n kh«ng? Tøc lµ gi¶i quyÕt bµi to¸n d­íi d¹ng: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ. VÝ dô 6: Cho ph­¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó cho ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt tho¶ m·n: Thay v× t×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt, ta gi¶ sö ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt . Khi ®ã: (Ph¸t hiÖn sù t­¬ng øng) MÆt kh¸c: thay vµo (5) ta ®­îc x2 = 1. Lóc ®ã f(1) = 0 , ®©y míi lµ ®iÒu kiÖn cÇn. KiÓm tra l¹i ®iÒu kiÖn ®ñ, khi m = 11 ph­¬ng tr×nh trë thµnh: Ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm x = 1, , tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®ñ. VËy m = 11. §èi víi lo¹i to¸n nµy, ®­îc ra víi ph­¬ng tr×nh bËc hai lµ phæ biÕn. T×m gi¸ trÞ (®iÒu kiÖn) tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n hÖ thøc cho tr­íc. NÕu hÖ thøc bµi to¸n ra tho¶ m·n hÖ thøc ®èi xøng nh­ ; ; th× hoµn toµn cã thÓ biÓu diÔn chóng theo tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm dùa vµo hÖ thøc Viet. ViÖc gi¶i chóng ®Ó t×m gi¸ trÞ vµo (gi¸ trÞ tham sè) kh«ng cã g× khã kh¨n. Nh­ng ®èi víi c¸c hÖ thøc bµi ra kh«ng ®èi xøng th× sao? Kh«ng lÏ ®i gi¶i c¸c nghiÖm x1, x2 theo c«ng thøc nghiÖm råi thay vµo hÖ thøc ®Ó t×m gi¸ trÞ cña tham sè? V× môc ®Ých ®i t×m gi¸ trÞ tham sè. C«ng viÖc nµy râ rµng gÆp nhiÒu khã kh¨n phøc t¹p vµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai chøa c¨n thøc (trong tr­êng hîp tæng qu¸t) kh¸ cång kÒnh, r¾c rèi. Do ®ã ph­¬ng ph¸p tæng qu¸t lµ kÕt hîp gi÷a hÖ thøc Viet vµ hÖ thøc bµi to¸n ra, t×m ra nghiÖm x1 (hoÆc x2) lµ nghiÖm th× nã tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh ®· cho ta t×m ®­îc gi¸ trÞ tham sè. Tuy nhiªn, dùa vµo ®Æc ®iÓm cô thÓ cña tõng bµi ra mµ cã thÓ cã c¸ch lµm ng¾n gän, ®éc ®¸o h¬n. VÝ dô 7: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: a. 5x1+3x2 – 8 = 0 b. Tr­íc hÕt t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: (6)Khi ®ã theo §Þnh lý Viet ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: Theo bµi ra ta cã: . ¸p dông hÖ thøc Viet ta ®­îc: . V× x1 lµ nghiÖm ph­¬ng tr×nh nªn f(x1) = 0 (Ph¸t hiÖn sù t­¬ng øng) hay (tho¶ m·n (6)). - H­íng 1: Tõ hÖ thøc ¸p dông hÖ thøc Viet ta ®­îc: NhËn thÊy biÓu thøc kh«ng ph¶i d¹ng chÝnh ph­¬ng nªn gi¸ trÞ cña nghiÖm lµm theo h­íng nµy phøc t¹p kh«ng kÐm viÕt theo c«ng thøc nghiÖm. - H­íng 2: Dùa vµo ®Æc ®iÓm riªng cña hÖ thøc bµi cho: XÐt cô thÓ tõng tr­êng hîp ta ®­îc kÕt qña m = 0, m = 1 vµ Th«ng qua bµi tËp nµy, ph¶i lµm cho häc sinh nhËn thÊy øng víi gi¸ trÞ tham sè (gi¸ trÞ vµo) nµo ®ã th× nghiÖm ph­¬ng tr×nh (gi¸ trÞ ra) tho¶ m·n hÖ thøc cho tr­íc. CÇn lµm râ gi¸ trÞ vµo, gi¸ trÞ ra cña mét t­¬ng øng hµm kh«ng nhÊt thiÕt chØ lµ sè, ®èi sè hay tham sè mµ cã thÓ lµ c¸c ®¹i l­îng kh¸c. Ch¼ng h¹n trong h×nh häc cã bµi to¸n sau: Dùng tam gi¸c ABC biÕt 3 ®­êng cao cña nã lµ ha, hb, hc. Khi ®ã: - Gi¸ trÞ vµo lµ ha, hb, hc (®· biÕt) - Gi¸ trÞ ra lµ tam gi¸c ABC (cÇn t×m) Hay bµi to¸n thùc tÕ: Mét ng­êi ®i bé víi vËn tèc 8 km/h. TÝnh qu·ng ®­êng ng­êi ®ã ®i trong 30 phót, 40 phót, 90 phót? Lóc nµy: - Gi¸ trÞ vµo lµ thêi gian t b»ng 30 phót, 40 phót, 90 phót. - Gi¸ trÞ ra lµ qu·ng ®­êng S - T×m sù t­¬ng øng: Dùa vµo c«ng thøc biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a qu·ng ®­êng, vËn tèc vµ thêi gian S = vt. TiÕp ®Õn ta xÐt líp bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ vµo hoÆc ®iÒu kiÖn ®èi víi gi¸ trÞ vµo khi biÕt gi¸ trÞ ra, sè gi¸ trÞ ra hoÆc ®iÒu kiÖn ®èi víi gi¸ trÞ ra, ®iÒu kiÖn ®èi víi sè gi¸ trÞ ra. Líp bµi to¸n nµy kh«ng nh÷ng yªu cÇu häc sinh x¸c ®Þnh ®­îc gi¸ trÞ vµo, gi¸ trÞ ra (®iÒu kiÖn ®èi víi gi¸ trÞ ra), t×m ®­îc sù t­¬ng øng gi÷a gi¸ trÞ vµo vµ gi¸ trÞ ra mµ cßn yªu cÇu hä ph¶i huy ®éng nhiÒu luång kiÕn thøc liªn quan ®Ó gi¶i chóng. VÝ dô 8: T×m m ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh sau ®óng víi mäi x: (7) Ho¹t ®éng: + T×m gi¸ trÞ vµo lµ m + §iÒu kiÖn ®èi víi gi¸ trÞ ra: Víi th× (7) ®óng + T×m sù t­¬ng øng: Trªn c¬ së . §Æt th× vµ chÝnh dùa vµo viÖc ph¸t hiÖn vµ thiÕt lËp sù t­¬ng øng trªn tíi chuyÓn ®æi bµi to¸n vÒ d¹ng quen thuéc, ®¬n gi¶n h¬n. H­íng dÉn: BiÕn ®æi §Æt , . Bµi to¸n trë thµnh: T×m m ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh: víi - + 0 -1 0 1 t B¶ng biÕn thiªn: . §Ó (Sù t­¬ng øng). . “Gi¶i vµ biÖn luËn” ph­¬ng tr×nh (bÊt ph­¬ng tr×nh) lµ bµi to¸n tæng qu¸t chøa trong lo¹i bµi to¸n nµy. Th«ng qua d¹ng to¸n nµy gióp häc sinh ®¸nh gi¸ sù biÕn thiªn cña gi¸ trÞ ra khi thay ®æi gi¸ trÞ vµo, ®ång thêi biÕt ®­îc: - §¹i l­îng nµo ¶nh h­ëng, phô thuéc vµo ®¹i l­îng nµo - Sù thay ®æi c¸c phÇn tö thuéc tËp hîp nµy cã g©y ra sù thay ®æi cña c¸c phÇn tö kh¸c kh«ng? Nãi c¸ch kh¸c sù biÕn thiªn cña mét ®¹i l­îng cã ¶nh h­ëng tíi sù thay ®æi gi¸ trÞ cña ®¹i l­îng kh¸c kh«ng? Sù thay ®æi ®ã nh­ thÕ nµo? - §iÒu g× kh«ng thay ®æi khi thay ®æi ë mét møc ®é nµo ®ã c¸c phÇn tö cña mét tËp hîp nµo ®ã. - XÐt bµi to¸n trong tr­êng hîp ®Æc biÖt hoÆc tr­êng hîp suy biÕn. Ngoµi ra, häc sinh hiÓu ®­îc “Gi¶i vµ biÖn luËn” còng lµ mét bµi to¸n tæng qu¸t, øng víi mçi bé hÖ sè cã mÆt trong bµi to¸n lµ ta cã ®­îc mét bµi to¸n riªng. Ngoµi viÖc luyÖn tËp c¸c bµi to¸n “Gi¶i vµ biÖn luËn” cã s½n b­íc gi¶i, chØ cÇn nhËn d¹ng, x¸c lËp c¸c hÖ sè a = ?; b = ?; c = ? (Ph¸t hiÖn, thiÕt lËp sù t­¬ng øng) råi thùc hiÖn c¸c b­íc gi¶i ®· cã s½n, kh«ng yªu cÇu cao vÒ suy luËn, t­ duy. CÇn n©ng dÇn møc ®é, yªu cÇu bµi to¸n theo tuÇn tù tõ thÊp ®Õn cao, dùa trªn lý thuyÕt vÒ “Vïng ph¸t triÓn gÇn nhÊt” cña V­g«tsky nh»m ®­a chÊt l­îng d¹y vµ häc ®¹t kÕt qu¶ cao. Tõ Gi¶i theo c«ng thøc víi ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh cã hÖ sè h»ng sè Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh cã tham sè (d¹ng c¬ b¶n) Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh cã tham sè quy vÒ nh÷ng d¹ng c¬ b¶n. VÝ dô 9: Gi¶i vµ biÖn luËn theo m: a. b. Häc sinh chØ cÇn n¾m v÷ng kiÕn thøc vÒ “Gi¶i vµ biÖn luËn” ph­¬ng tr×nh d¹ng ax + b = 0 vµ råi tiÕn hµnh hoµn toµn t­¬ng tù, tÝnh to¸n ®óng ch¾c ch¾n cho kÕt qu¶ ®óng, kh«ng yªu cÇu ph¶i suy luËn, ph¶i t­ duy nhiÒu. Tuy líp bµi to¸n nµy, còng thÓ hiÖn râ sù phô thuéc gi÷a gi¸ trÞ cña tham sè (gi¸ trÞ vµo) víi nghiÖm (gi¸ trÞ ra), sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (sè gi¸ trÞ ra), sù thay ®æi ®¹i l­îng nµy cã thÓ kÐo theo sù thay ®æi cña ®¹i l­îng kia nh­ng ch­a ph¶i vËn dông kÕt hîp ®ång thêi c¸c luång kiÕn thøc. Bµi to¸n míi dõng l¹i ë viÖc ph¸t hiÖn, thiÕt lËp c¸c sù t­¬ng øng ®Ó gi¶i quyÕt chø ch­a yªu cÇu vËn dông tæng hîp c¸c kiÕn thøc liªn quan, nghiªn cøu, lîi dông c¸c sù t­¬ng øng ®Ó gi¶i quyÕt. VÝ dô 10: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh: (8) Ph­¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i häc sinh ®· ®­îc lµm quen trong néi dung ch­¬ng tr×nh häc, ®ã lµ dïng ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô (§iÒu kiÖn ) ®­a ph­¬ng tr×nh (8) vÒ d¹ng quen thuéc: (9) B­íc lµm nµy häc sinh b×nh th­êng cã thÓ lµm ®­îc nh­ng nÕu kh«ng nhËn thøc ®­îc sù t­¬ng øng gi÷a nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (8) vµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (9) do mèi quan hÖ gi÷a x vµ t mang l¹i th× rÊt cã thÓ viÖc “Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh ” chÝnh lµ viÖc “Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh ” ë vÝ dô 9. Häc sinh ph¶i nhËn thøc ®­îc viÖc ®Æt chÝnh lµ viÖc thiÕt lËp t­¬ng øng gi÷a t vµ x. Tõ ®ã cã kÕt luËn: - Víi nghiÖm t < 0 th× sÏ v« nghiÖm x - Víi nghiÖm t = 0 th× cã nghiÖm x = 0 - Víi nghiÖm t > 0 th× sÏ cã 2 nghiÖm x ph©n biÖt lµ Khi ®· n¾m b¾t ®­îc mèi quan hÖ nµy kÕt hîp víi kiÕn thøc “Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh d¹ng ”, häc sinh kh«ng khã kh¨n ®­a ra c¸c tr­êng hîp gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh (8) nãi riªng vµ gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh d¹ng : nãi chung. CÇn ph¶i kh¼ng ®Þnh ë ®©y ta kh«ng ®i rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n “Gi¶i vµ biÖn luËn” mµ qua ®©y cho häc sinh thÊy ®­îc bøc tranh tæng qu¸t vÒ mèi quan hÖ phô thuéc gi÷a gi¸ trÞ vµo vµ gi¸ trÞ ra còng nh­ sè gi¸ trÞ ra. Sau khi “Gi¶i vµ biÖn luËn” xong cã thÓ yªu cÇu häc sinh tr¶ lêi nhanh (kh«ng gi¶i) cho biÕt nghiÖm, sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh khi tham sè nhËn gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó häc sinh thÊy râ mèi quan hÖ nµy. HoÆc chØ râ c¸c bµi to¸n: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (8) cã 1 nghiÖm, 2 nghiÖm, 3 nghiÖm, 4 nghiÖm lµ c¸c tr­êng hîp riªng cña bµi to¸n “Gi¶i vµ biÖn luËn”. Lo¹i bµi to¸n nµy yªu cÇu tÝnh gi¸ trÞ vµo khi biÕt ®iÒu kiÖn ®èi víi sè gi¸ trÞ ra. Tæng qu¸t hãa ta cã bµi to¸n sau: T×m ®iÒu kiÖn c¸c hÖ sè a, b, c cña ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng ®Ó ph­¬ng tr×nh ®ã: a. V« nghiÖm d. Cã 3 nghiÖm b. Cã 1 nghiÖm e. Cã 4 nghiÖm c. Cã 2 nghiÖm Ho¹t ®éng: + T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi gi¸ trÞ vµo a, b, c + BiÕt ®iÒu kiÖn ®èi víi sè gi¸ trÞ ra. VÝ dô 11: T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt: Ho¹t ®éng: - T×m gi¸ trÞ vµo lµ a - BiÕt ®iÒu kiÖn ®èi víi sè gi¸ trÞ ra (sè nghiÖm) lµ duy nhÊt. - T×m sù t­¬ng øng: Trªn c¬ së lîi dông t­¬ng øng hµm ®ång biÕn cã f(x) = f(y) th× x = y vµ ph­¬ng tr×nh ax + b = 0 cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi . * H­íng dÉn t×m lêi gi¶i: Quan s¸t t×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c sè h¹ng cã trong ph­¬ng tr×nh vµ biÕn ®æi: (10) Cã nhËn xÐt g× vÒ hµm vÕ tr¸i vµ hµm vÕ ph¶i cña ph­¬ng tr×nh? Cã d¹ng Hµm sè cã tÝnh chÊt g×? Ta cã: nªn f(x) ®ång biÕn trªn . Lîi dông tÝnh chÊt nµy mµ ta cã: Tõ viÖc gi¶i quyÕt bµi to¸n ®èi víi ph­¬ng tr×nh mò ta ®­a vÒ gi¶i quyÕt bµi to¸n ®èi víi ph­¬ng tr×nh d¹ng ®¬n gi¶n ax + b = 0. Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi . Bªn c¹nh c¸c bµi to¸n x¸c ®Þnh gi¸ trÞ ra khi biÕt gi¸ trÞ vµo ®­îc ra ë d¹ng t­êng minh , ®¬n gi¶n (®¬n gi¶n ë ®©y kh«ng ph¶i lµ ®¬n gi¶n ë c¸ch lµm mµ ë c¸ch hiÓu, c¸ch x¸c ®Þnh yªu cÇu bµi to¸n) lµ “Gi¶i ph­¬ng tr×nh” hay “Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh” cÇn ®­a ra nh÷ng bµi to¸n ë møc ®é cao h¬n, t×m gi¸ trÞ ra (hoÆc nh÷ng gi¸ trÞ ra) khi biÕt ®iÒu kiÖn ®èi víi gi¸ trÞ vµo. VÝ dô 12: Cho ph­¬ng tr×nh (11) T×m gi¸ trÞ cña x nghiÖm ®óng ph­¬ng tr×nh ®· cho víi mäi . Khi gÆp bµi to¸n d¹ng nµy, häc sinh kh«ng khái lóng tóng trong viÖc x¸c ®Þnh ph­¬ng h­íng gi¶i quyÕt bµi to¸n v× hä quen víi d¹ng to¸n: T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi (hoÆc nµo ®ã) buéc hä ph¶i cÊu tróc l¹i kiÕn thøc, ®èi víi vÞ trÝ gi÷a Èn vµ tham sè (t­ duy ng­îc) ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n. Ho¹t ®éng: + T×m gi¸ trÞ ra lµ x + BiÕt ®iÒu kiÖn gi¸ trÞ vµo lµ + T×m sù t­¬ng øng. Trªn c¬ së th× (11) ®óng. Do ®ã víi () bÊt kú, ta cã: ®óng. Tõ ®ã t×m ®­îc x = x0, ng­îc l¹i øng víi x = x0 th× cã ph¶i (11) lu«n ®óng víi kh«ng? Xin tr×nh bµy lêi gi¶i cã tÝnh chÊt minh ho¹ cho d¹ng to¸n nµy. §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö (11) ®óng víi nªn còng ®óng víi a = 0, tøc lµ ta cã: §iÒu kiÖn: §iÒu kiÖn ®ñ: Khi x = 2 ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: (12) Râ rµng, (12) kh«ng thÓ ®óng víi v× Ýt ra ®Ó cã nghÜa th× , tøc lµ Ýt nhÊt (12) ch¾c ch¾n kh«ng ®óng khi > 0. Khi x = 5 th× ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: lu«n ®óng víi . C©u hái: Cã tån t¹i gi¸ trÞ cña x nghiÖm ®óng ph­¬ng tr×nh (11) víi kh«ng? Th«ng qua gi¶i to¸n ph­¬ng tr×nh, cÇn tËp luyÖn cho häc sinh x¸c ®Þnh gi¸ trÞ ra khi cho biÕt gi¸ trÞ vµo, x¸c ®Þnh gi¸ trÞ vµo khi biÕt gi¸ trÞ ra ®èi víi tËp hîp sè thùc vµ tËp hîp ®iÓm trªn mÆt ph¼ng. §iÒu nµy ®­îc thÓ hiÖn râ khi yªu cÇu häc sinh gi¶i to¸n ph­¬ng tr×nh b»ng ®å thÞ. VÝ dô 13: Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè a th× ph­¬ng tr×nh sau cã 4 nghiÖm ph©n biÖt: (13) Do nªn: Dùng ®å thÞ (C): vµ ®­êng th¼ng (d): . Khi ®ã sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh chÝnh lµ sè giao ®iÓm cña hai ®å thÞ (Sù t­¬ng øng 1:1 gi÷a sè nghiÖm vµ sè giao ®iÓm cña hai ®å thÞ). Dùa vµo ®å thÞ ta dÔ dµng suy ra kÕt luËn: (13) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi ®­êng th¼ng (d) ph¶i n»m trong b¨ng t¹o bëi hai ®­êng th¼ng (d1): y = 0 vµ (d2): y = 1. Tøc lµ: NhËn thÊy bµi to¸n nµy lµ tr­êng hîp riªng cña bµi to¸n: BiÖn luËn theo a sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. B»ng ®å thÞ viÖc biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh nhËn ra dÔ dµng vµ trùc quan. VÝ dô 14: T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt: Ho¹t ®éng t×m lêi gi¶i: - BiÕn ®æi hÖ vÒ d¹ng t­¬ng ®­¬ng: Dùng ®å thÞ (C1): vµ ®å thÞ (C2): trªn cïng hÖ trôc to¹ ®é xoa. - C¸c ®iÓm M(x; a) tho¶ m·n hÖ khi nµo? Khi ®iÓm M(x; a) n»m trong miÒn g¹ch. - HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi ®­êng th¼ng c¾t miÒn g¹ch t¹i mét ®iÓm duy nhÊt, tøc lµ tõ ®å thÞ suy ra hÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi a =1 hoÆc a = 0. 2.3.3. XÐt tÝnh chÊt cña t­¬ng øng hµm th«ng qua gi¶i to¸n ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh Khi ph­¬ng tr×nh (kÓ c¶ ph­¬ng tr×nh hµm) häc sinh th­êng loay hoay víi c¸c thñ thuËt nh­: BiÕn ®æi, ph©n tÝch, ®Æt Èn phô ®Ó gi¶i chóng, cã khi cho kÕt qu¶ ng¾n gän, nhanh chãng cã l¹i khi phøc t¹p, thËm chÝ bÕ t¾c. Gi¸o viªn cÇn h×nh thµnh ë häc sinh thãi quen xem xÐt vÊn ®Ò d­íi nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau. §Æc biÖt gióp hä ®o¸n nhËn vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n ph­¬ng tr×nh b»ng viÖc sö dông c«ng cô hµm sè, ¸nh x¹, dùa vµo ®Æc ®iÓm ph­¬ng tr×nh. Ch¼ng h¹n nhËn thÊy hai vÕ ph­¬ng tr×nh hoÆc c¸c biÓu thøc thµnh phÇn cña ph­¬ng tr×nh lµ c¸c hµm sè kh¸c biÖt nhau (gièng nhau) vÒ lo¹i h×nh, tÝnh chÊt. Nãi c¸ch kh¸c, ®Æt ph­¬ng tr×nh vµ gi¶i quyÕt bµi to¸n ph­¬ng tr×nh theo quan ®iÓm hµm. ViÖc xÐt tÝnh chÊt cña t­¬ng øng hµm, cã ý nghÜa to lín khi gi¶i to¸n ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh, kh«ng nh÷ng rÌn luyÖn, båi d­ìng t­ duy hµm mµ cßn rÌn luyÖn, båi d­ìng t­ duy linh ho¹t cho häc sinh khi gi¶i to¸n vÒ chñ ®Ò nµy. Do ®ã häc sinh cÇn n¾m v÷ng vµ vËn dông tèt c¸c tÝnh chÊt cña t­¬ng øng hµm nh­ tÝnh liªn tôc, tÝnh ch½n lÎ, tÝnh tuÇn hoµn, tÝnh ®¬n ®iÖu, tÝnh chÊt cña hµm h»ng, hµm hîp vµ tÝnh chÊt cña mét sè hµm sè quen thuéc ®«i khi kÕt hîp víi miÒn gi¸ trÞ cña t­¬ng øng hµm ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh. VÝ dô 1: Cho ph­¬ng tr×nh: (1) Ph­¬ng tr×nh tr×nh nµy cã thÓ cã ®óng 1001 nghiÖm ph©n biÖt ®­îc hay kh«ng? ý t­ëng gi¶i ph­¬ng tr×nh råi tõ ®ã ®Õn sè nghiÖm ph­¬ng tr×nh lµ kh«ng kh¶ thi v×: Thø nhÊt: Sè nghiÖm ph­¬ng tr×nh cÇn kiÓm tra kh¸ lín (1001 nghiÖm) Thø hai: BËc cña ph­¬ng tr×nh l¹i cao, kh«ng ®­a vÒ c¸c d¹ng ph­¬ng tr×nh ®· cã c¸ch gi¶i. Ngoµi ra, nÕu gi¶i ®­îc th× bµi to¸n l¹i ra d­íi d¹ng “Gi¶i ph­¬ng tr×nh”. Buéc ph¶i nghÜ tíi viÖc lîi dông tÝnh chÊt cña tÝnh chÊt hµm ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy, ®Æt: H­íng 1: Hµm sè f(x) lµ hµm ®a thøc, x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn . Do ®ã ®Ó chøng minh ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã thÓ cã 1001 nghiÖm ph©n biÖt, th× trªn ta ph¶i chØ ra cã ®o¹n [a; b] sao cho tån t¹i c¸c sè chia ®o¹n [a; b] thµnh 1001 kho¶ng: a < T1 < T2 < … < T1000 < b tho¶ m·n: HoÆc ng­îc l¹i th× ph¶i chØ ra kh«ng tån t¹i ®o¹n [a; b] tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn. C«ng viÖc nµy qu¶ thËt kh«ng dÔ chót nµo! H­íng 2: NhËn thÊy: Hµm sè f(x) lµ hµm sè ch½n trªn , ta cã f(0) = 1 0 nªn x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh f(x) = 0. V× f(x) lµ hµm ch½n nªn ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm x0 th× - x0 còng lµ nghiÖm mµ x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm. Do ®ã f(x) = 0 nÕu cã nghiÖm th× sè nghiÖm ph¶i lµ sè ch½n tøc lµ (1) kh«ng thÓ kh«ng thÓ cã ®óng 1001 nghiÖm ph©n biÖt . VÝ dô 2: T×m m ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt. (2) §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö (2) cã nghiÖm lµ x0 th× - x0 còng lµ nghiÖm cña (2). VËy (2) cã nghiÖm duy nhÊt khi x0 = - x0 x0 = 0. Thay x0 = 0 vµo (2) ta ®­îc: m = 0 lµ ®iÒu kiÖn cÇn. §iÒu kiÖn ®ñ: Víi m = 0, (2) cã d¹ng: lµ nghiÖm duy nhÊt. VËy m = 0, bÊt ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. VÝ dô 3: T×m ®iÒu kiÖn cña a, b ®Ó ph­¬ng tr×nh: cã nghiÖm duy nhÊt. §èi víi bµi to¸n nµy, h×nh thøc phøc t¹p, ph­¬ng tr×nh d¹ng v« tû cã hai tham sè nh­ng nÕu quan s¸t vµ xem xÐt kü vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh: VT = f(x) = . X¸c ®Þnh trªn vµ f(x) = f(-x) nªn VT lµ hµm sè ch½n th× ta cã thÓ vËn dông tÝnh chÊt hµm sè ch½n ®Ó gi¶i bµi to¸n mét c¸ch dÔ dµng. Thu ®­îc kÕt qu¶ , b = 0 hoÆc b = 1. Qua c¸c vÝ dô trªn cho thÊy: NÕu khai th¸c vµ lîi dông tÝnh chÊt ch½n lÎ cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh thËt hiÖu qu¶ ®Æc biÖt lµ lo¹i t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt, hoÆc cã mét sè c¸c nghiÖm nµo ®ã . VÝ dô 4: Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh : sin2x > sin4x (3) Th«ng th­êng, häc sinh biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng, thùc hiÖn lêi gi¶i sau: (3) sin4x - sin2x < 0 sinx.cos3x < 0 Tr­êng hîp 1: hoÆc Tr­êng hîp 2: hoÆc KÕt hîp vµ suy ra nghiÖm lµ: hoÆc Tuy nhiªn, nÕu lîi dông tÝnh chÊt cña t­¬ng øng hµm dùa vµo ®Æc ®iÓm riªng cña bÊt ph­¬ng tr×nh, ta cã c¸ch lµm ng¾n gän h¬n nhiÒu. H­íng dÉn: §­a bÊt ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = sin4x - sin2x < 0 XÐt tÝnh tuÇn hoµn vµ t×m chu kú cña hµm sè f(x) = sin4x - sin2x? Do y = sin4x vµ y = sin2x lµ c¸c hµm sè tuÇn hoµn cã chu kú lÇn l­ît lµ nªn f(x) lµ hµm tuÇn hoµn chu kú . Hµm f(x) lµ hµm tuÇn hoµn chu kú , cã gîi cho ta c¸ch gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh trªn kh«ng? Thay v× gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh f(x) < 0 trªn , ta gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh trªn sau khi t×m ®­îc nghiÖm riªng, ta suy ra nghiÖm tæng qu¸t b»ng c¸ch céng vµo nghiÖm riªng l­îng . B©y giê, ta gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh (3) trªn : (3)sinx.cos3x 0, cßn sin0 =sin = 0) hoÆc . VËy nghiÖm cña bÊt ph­¬ng tr×nh (3): hoÆc Qua bµi to¸n trªn, ta thÊy ®­îc “lîi thÕ” cña viÖc lîi dông tÝnh chÊt tuÇn hoµn cña hµm sè ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh; ®Æc biÖt lµ ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c (Dï bÊt ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c trong ch­¬ng tr×nh míi hiÖn nay ®­îc gi¶m t¶i nh­ng chóng t«i vÉn ®­a néi dung nµy vµo ®Ó thÊy t¸c dông to lín cña viÖc vËn dông tÝnh chÊt tuÇn hoµn khi gi¶i to¸n bÊt ph­¬ng tr×nh). TiÕp ®Õn, ta xÐt tÝnh chÊt liªn tôc cña hµm sè trong viÖc vËn dông gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh, tiªu biÓu lµ d¹ng to¸n: Chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm hoÆc v« nghiÖm. Tr­íc hÕt, xuÊt ph¸t tõ hÖ qu¶: NÕu hµm sè f liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] vµ f(a).f(b) < 0 th× tån t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm c (a; b) sao cho f(c) = 0 (§¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 n©ng cao, tr.171). Tõ hÖ qu¶ ta cã thÓ nãi g× vÒ c ®èi víi ph­¬ng tr×nh f(x) = 0? Vµ cã thÓ rót ra ®iÒu g× ®Ó chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm, mµ kh«ng cÇn gi¶i, hay nhiÒu khi kh«ng gi¶i ®­îc? VÝ dô 5: Chøng minh r»ng víi mäi m ph­¬ng tr×nh sau lu«n cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt: - mx2 + (m + 1) - 2 = 0 (4) Tõ nhËn xÐt x2 = , ta nghÜ ngay tíi viÖc chuyÓn ®æi bµi to¸n b»ng c¸ch ®Æt Èn phô , ®iÒu kiÖn . Thay v× ph¶i chøng minh (4) cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m, ta ®i chøng minh ph­¬ng tr×nh: t3 - mt2 + (m + 1) t - 2 = 0 (5) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm d­¬ng víi mäi m (v× mçi nghiÖm t0 > 0 cña (5) th× (4) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ) Gi¶i: XÐt hµm sè f(t) = t3 - mt2 + (m +1)t - 2 liªn tôc trªn . Ta cã: f(0) = - 2 0 Suy ra: f(0).f(c) < 0, (5) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm t0 (0; c) víi mäi m (4) cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt x = t0 víi mäi m. CÇn ph¶i nãi thªm r»ng ë bµi to¸n nµy cã thÓ chøng minh (5) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm d­¬ng víi mäi m b»ng ph­¬ng ph¸p ®å thÞ. §Ó lµm tèt d¹ng to¸n nµy, gi¸o viªn cÇn gióp häc sinh tù rót ra quy tr×nh chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm mµ kh«ng cÇn ph¶i gi¶i! CÇn l­u ý häc sinh khi gi¶i d¹ng to¸n nµy, hä dÔ bá quªn ®iÒu kiÖn hµm sè ph¶i liªn tôc, dï r»ng nhiÒu bµi to¸n ®iÒu kiÖn nµy kh«ng ¶nh h­ëng tíi ®¸p sè bµi to¸n v× hµm sè liªn tôc hiÓn nhiªn nh­ng nÕu kh«ng ®Ò cËp tíi th× lêi gi¶i xem nh­ kh«ng ®Çy ®ñ. VÝ dô 6: Cho hµm f(x) liªn tôc trªn [a; b] tháa m·n a f(x) b x [a; b] Chøng minh r»ng: Ph­¬ng tr×nh f(x) = x lu«n cã nghiÖm x0 [a; b] NÕu häc sinh thùc hiÖn lêi gi¶i: f(x) = x f(x) - x = 0. §Æt g(x) = f(x) - x. Ta cã: Suy ra: sao cho g(x0) = 0 f(x0) = x0 Th× lêi gi¶i trªn ch­a ®Çy ®ñ, ch­a chÊp nhËn lµ lêi gi¶i ®óng ®­îc. Muèn ®óng ta ph¶i bæ sung thªm: §Æt g(x) = f(x) - x, do f(x) liªn tôc trªn [a; b] (gi¶ thiÕt) vµ y = x liªn tôc trªn [a; b] (v× y = x liªn tôc trªn ) nªn liªn tôc trªn . Cã nhiÒu bµi to¸n viÖc chøng minh trùc tiÕp ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm trªn ®o¹n gÆp kh«ng Ýt khã kh¨n, dï hµm liªn tôc trªn . Khi ®ã cÇn chuyÓn h­íng chøng minh (chøng minh gi¸n tiÕp), ta cã thÓ chøng minh b»ng ph¶n chøng. Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm trªn ®o¹n . VÊn ®Ò ®Æt ra ë ®©y lµ: NÕu hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n vµ ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm trªn ®o¹n th× cã nhËn xÐt g× vÒ gi¸ trÞ cña hµm khi ? Dù ®o¸n: f(x) > 0 víi x hoÆc f(x) < 0 víi x [a; b] Chøng minh: Gi¶ sö x1, x2[a; b] tho· m·n V× f liªn tôc trªn ®o¹n [x1, x2] ((x1, x2]) nªn c[x1, x2] sao cho f(c) = 0. M©u thuÉn v× f(x) = 0 v« nghiÖm trªn ®o¹n [a; b]. VËy f(x) > 0 x[a; b] hoÆc f(x) < 0 . VÝ dô 7: Cho biÕt . Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh: lu«n cã nghiÖm thuéc kho¶ng ViÖc biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Råi b»ng ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô, ®Æt , chuyÓn bµi to¸n chøng minh ph­¬ng tr×nh : lu«n cã nghiÖm thuéc kho¶ng vÒ bµi to¸n chøng minh ph­¬ng tr×nh (6) lu«n cã nghiÖm thuéc kho¶ng (v× X = cosx mµ x nªn kh«ng mÊy khã kh¨n. Nh­ng viÖc gi¶i quyÕt trùc tiÕp bµi to¸n sau khi chuyÓn ®æi l¹i kh«ng ®¬n gi¶n! Ta chän c¸ch chøng minh gi¸n tiÕp (ph¶n chøng): XÐt hµm sè Gi¶ sö (6) v« nghiÖm trong kho¶ng (0; 1). V× liªn tôc trong kho¶ng (0; 1) nªn hoÆc . * NÕu th× hµm ®ång biÕn trªn mµ liªn tôc trªn nªn ,v« lÝ * NÕu th× hµm nghÞch biÕn trªn , l¹i cã liªn tôc trªn ªn hay ,v« lÝ VËy (6) ph¶i cã nghiÖm thuéc kho¶ng hay ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm thuéc kho¶ng . Nh­ vËy, trong qu¸ tr×nh gi¶i ph­¬ng tr×nh viÖc xem xÐt , vËn dông tÝnh liªn tôc cña hµm sè ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò bµi to¸n ®Æt ra ®em l¹i hiÖu qu¶ to lín; ®Æc biÖt ®èi víi nh÷ng ph­¬ng tr×nh d¹ng kh«ng mÉu mùc khã gi¶i, thËm chÝ kh«ng gi¶i ®­îc hoÆc ph­¬ng tr×nh chøa tham sè cÇn chøng minh ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm, cã mét sè nghiÖm nµo ®è hay v« nghiÖm. Bªn c¹nh viÖc xÐt tÝnh ch½n lÎ, tÝnh tuÇn hoµn, tÝnh liªn tôc cña hµm sè tõ ®ã lîi dông ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh ta kh«ng thÓ kh«ng nh¾c tíi vai trß v« cïng quan träng cña viÖc lîi dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè ®Ó gi¶i to¸n ph­¬ng tr×nh. Cã thÓ nãi, líp c¸c bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh dùa vµo tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu cña c¸c hµm thµnh phÇn cho kÕt qu¶ ng¾n gän, nhanh chãng vµ ®«i khi gi¶i quyÕt ®­îc bÕ t¾c mµ c¸c c¸ch lµm kh¸c kh«ng lµm ®­îc (nhÊt lµ ®èi víi nh÷ng ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc). Trong ch­¬ng tr×nh phæ th«ng, d¹ng to¸n nµy chiÕm mét sè l­îng lín vµ th­êng hay gÆp trong c¸c k× thi. Mét vµi vÝ dô minh häa cho ®iÒu nµy: VÝ dô 8: Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng: v× XÐt hµm sè: NhËn thÊy: lµ tæng cña hai hµm gi¶m trªn (v× vµ nªn vµ lµ c¸c hµm gi¶m trªn ) nªn nã còng gi¶m trªn . Do ®ã : th× NghiÖm cña (7) lµ . Râ rµng, trong bµi to¸n nµy nÕu ta kh«ng lîi dông tÝnh chÊt hµm ®¬n ®iÖu (®¬n ®iÖu gi¶m) th× kh«ng thÓ gi¶i ®­îc bµi to¸n. VÝ dô 9: Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh : (7) Ta hoµn toµn hy väng häc sinh t×m ®­îc ®iÒu kiÖn cña bÊt ph­¬ng tr×nh vµ viÕt l¹i bÊt ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng: . §Õn ®©y häc sinh cã hai h­íng gi¶i quyÕt: H­íng 1: NhËn thÊy ®©y lµ ph­¬ng tr×nh v« tû, cã hai vÕ kh«ng ©m nªn ®Ó khö dÊu c¨n ta b×nh ph­¬ng hai vÕ, h­íng lµm nµy cã thÓ vÉn ra ®¸p sè nh­ng ch¾c ch¾n kh¸ phøc t¹p, dÔ nhÇm lÉn trong tÝnh to¸n. H­íng 2: NhËn xÐt c¸c sè h¹ng ë tõng vÕ cña bÊt ph­¬ng tr×nh.Tõ ®ã ®Æt bÊt ph­¬ng tr×nh d­íi gãc nh×n theo quan ®iÓm hµm tøc lµ cã thÓ sö dông c«ng cô hµm sè ®Ó gi¶i quyÕt bÊt ph­¬ng tr×nh nµy kh«ng ? (7) (8) XÐt hµm sè: trªn ®o¹n (v× ) hµm ®ång biÕn trªn . Do ®ã tõ (2) ta cã : KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn bÊt ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm . VÝ dô 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: §èi víi bµi to¸n nµy, hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh lµ hai hµm sè kh¸c biÖt nhau vÒ tÝnh chÊt vµ lo¹i h×nh nªn kh«ng thÓ gi¶i ®­îc b»ng biÕn ®æi th«ng th­êng ,ta cã thÓ dùa vµo tÝnh chÊt vµ ®å thÞ cña c¸c hµm thµnh phÇn ®Ó t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh mµ th«i! Ngoµi ra, dùa vµo tÝnh chÊt cña hµm h»ng, hµm hîp còng ®em l¹i t¸c dông kh«ng nhá trong viÖc t×m lêi gi¶i cho c¸c bµi to¸n ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh. Ch¼ng h¹n dùa vµo tÝnh chÊt cña hµm h»ng : Ta cã thÓ gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n: Chøng minh biÓu thøc kh«ng phô thuéc vµo biÕn sè hay ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm . ThËm chÝ c¶ c¸c bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi , lµ d¹ng to¸n th­êng lµm b»ng ph­¬ng ph¸p ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ. VÝ dô 11: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi x : (9) §Æt , liªn tôc trªn (Th«ng th­êng x0 ®­îc chän sao cho khi vµo dÔ tÝnh to¸n). Gi¶i : Ta ®­îc: Gi¶i : Ta kiÓm tra tõng tr­êng hîp: Víi , ta ®­îc : , kh«ng tho¶ m·n. Víi , ta ®­îc :, tho¶ m·n. KÕt luËn: , ph­¬ng tr×nh nghiÖm ®óng víi mäi x. T­¬ng tù: T×m a, b ®Ó ph­¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi x Qua vÝ dô trªn ta cã thªm mét ph­¬ng ph¸p míi “Sö dông tÝnh chÊt cña hµm h»ng t×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh nhËn lµm nghiÖm” cïng víi ph­¬ng ph¸p ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó gi¶i quyÕt d¹ng to¸n nµy . Lîi dông tÝnh chÊt cña hµm hîp ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh, chøng minh ph­¬ng tr×nh cã mét sè nghiÖm x¸c ®Þnh ®em l¹i cho chóng ta nhiÒu ®iÒu lý thó. Ch¼ng h¹n : VÝ dô 12: Cho , Gäi víi T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc hoµnh. Tr­íc hÕt, nhËn xÐt hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc hoµnh chÝnh lµ nghiÖm ph­¬ng tr×nh .VÊn ®Ò x¸c ®Þnh hµm nh­ thÕ nµo? Cã vÎ tr«ng rÊt ®¸ng ng¹i ®Ó lµ ®­îc ®iÒu nµy häc sinh ph¶i hiÓu kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña hµm hîp Ta cã : Suy ra : Tõ ®ã ta cã thÓ chøng minh b»ng qui n¹p Do ®ã Cã thÓ më réng bµi to¸n : T×m nghiÖm ph­¬ng tr×nh : víi . VÝ dô 13: Cho §Æt Chøng minh r»ng :Ph­¬ng tr×nh cã ®óng nghiÖm ph©n biÖt. §èi víi bµi nµy hµm lµ hµm hîp nªn ta kh«ng thÓ kh«ng vËn dông kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña hµm hîp ®Ó t×m hµm , tõ ®ã gi¶i quyÕt bµi to¸n. Song song víi viÖc xem xÐt tÝnh chÊt cña t­¬ng øng hµm khi gi¶i to¸n, ta cÇn rÌn luyÖn, båi d­ìng cho häc sinh thãi quen quan s¸t tØ mØ ®Æc ®iÓm cña ®Ò bµi, cña c¸c hµm thµnh phÇn cã mÆt trong ®Ò bµi, tõ ®ã cã c¸ch lµm hay, ng¾n gän, dÔ hiÓu. 2.3.4. §Þnh h­íng sö dông ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh trong qu¸ tr×nh lîi dông t­¬ng øng hµm ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò D¹y to¸n lµ d¹y häc sinh ho¹t ®éng to¸n mµ ho¹t ®éng to¸n chñ yÕu lµ gi¶i bµi tËp to¸n. V× vËy ta cÇn tæ chøc c¸c ho¹t ®éng to¸n häc cho häc sinh ph©n bæ ®Òu c¸c ®èi t­îng, x©y dùng c¸c bµi tËp thÓ hiÖn sù ph©n bËc phï hîp víi tõng ®èi t­îng häc sinh. CÇn rÌn cho häc sinh thãi quen ph©n tÝch ®Ò bµi, x¸c ®Þnh d¹ng to¸n, c¸c yÕu tè ®· cho vµ c¸c yÕu tè cÇn t×m, ph¸t hiÖn ®­îc c¸c ®Æc ®iÓm c¬ b¶n, ®¬n gi¶n cña bµi to¸n bÞ che khuÊt bëi h×nh thøc r¾c rèi. §ång thêi, h­íng dÉn häc sinh ph¸t hiÖn mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®èi t­îng to¸n häc, tõ ®ã d¹y cho häc sinh biÕt lîi dông sù t­¬ng øng ®Ó gi¶i bµi to¸n. 2.3.4.1. C¸c nguyªn t¾c ®­a ra ®Þnh h­íng - Ph¶i dùa trªn ®Þnh h­íng ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn nay - Ph¶i ®¸p øng ®­îc yªu cÇu môc ®Ých cña viÖc d¹y vµ häc To¸n trong tr­êng phæ th«ng. - Dùa trªn c¬ së t«n träng, kÕ thõa vµ ph¸t triÓn tèi ­u ch­¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa hiÖn hµnh. - Khai th¸c tèi ®a c¸c t×nh huèng tiÒm Èn cña s¸ch gi¸o khoa vµ c¸c d¹ng to¸n cã trong ®ã ®Ó thùc hiÖn môc ®Ých giê d¹y. 2.3.4.2. Mét sè ®Þnh h­íng a. KÕt hîp gi÷a viÖc gi¶ng d¹y rÌn luyÖn c¸c kiÕn thøc vÒ ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh víi viÖc «n tËp, cñng cè kiÕn thøc vÒ sè häc, vÒ hµm sè. ViÖc lîi dông t­¬ng øng hµm ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh ®ßi hái häc sinh ph¶i n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc vÒ c¸c tËp hîp sè còng nh­ c¸c kiÕn thøc vÒ hµm sè, dï r»ng t­¬ng øng hµm kh«ng ®ßi hái tiÒn ®Ò lµ kiÕn thøc vÒ kh¸i niÖm hµm nh­ng ng­îc l¹i lµm viÖc trªn hµm sè lu«n xuÊt hiÖn c¸c t­¬ng øng hµm. b. RÌn luyÖn t­ duy logic vµ ng«n ng÷ chÝnh x¸c ViÖc gi¶i bµi to¸n nãi chung, gi¶i bµi to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh nãi riªng ®ßi hái häc sinh ph¶i biÕt suy luËn logic. ViÖc ph¸t hiÖn vµ lîi dông c¸c mèi quan hÖ cã tÝnh chÊt nh©n - qu¶ trong c¸c d÷ kiÖn vµ ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n lµ hÕt søc quan träng khi t×m tßi lêi gi¶i cho bµi to¸n. ViÖc rÌn luyÖn cho häc sinh sö dông chÝnh x¸c c¸c tõ nèi víi ý nghÜa cña c¸c phÐp logic nh­: vµ, hoÆc, nÕu, th×, cÇn ®ñ, khi, chØ khi, cã Ýt nhÊt mét, cã kh«ng qu¸ mét, cã nhiÒu nhÊt mét... cã ý nghÜa rÊt quan träng trong viÖc x¸c ®Þnh yªu cÇu còng nh­ tr×nh bµy lêi gi¶i cña mét bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh. c. CÇn h×nh thµnh cho häc sinh mét sè biÓu t­îng vÒ sù t­¬ng øng th­êng gÆp khi gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh Ch¼ng h¹n: - øng víi mçi sè thùc cã ®óng mét ®iÓm trªn ®­êng th¼ng sè vµ ng­îc l¹i víi mçi ®iÓm trªn ®­êng th¼ng sè øng ®óng mét sè thùc. - §Æt th× øng víi mçi gi¸ trÞ x (thuéc tËp x¸c ®Þnh) cã ®óng mét gi¸ trÞ t nh­ng ng­îc l¹i øng víi mçi gi¸ trÞ t th× cã thÓ kh«ng cã, cã mét hoÆc nhiÒu gi¸ trÞ cña x. Cô thÓ h¬n víi th× mçi gi¸ trÞ x cã mét gi¸ trÞ t nh­ng mçi t > 0 cã hai gi¸ trÞ cña x, t = 0 th× øng víi mét gi¸ trÞ x = 0 cßn t < 0 th× kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tháa m·n, , cho häc sinh x¸c ®Þnh sù t­¬ng øng gi÷a t vµ x. - Sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ ®å thÞ hµm sè y = g(x) chÝnh lµ sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh f(x) = g(x) (*) (Sù t­¬ng øng ®¬n trÞ 1:1). Hoµnh ®é giao ®iÓm (nÕu cã) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (*). - øng víi mçi lo¹i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh chÝnh quy th× cã c¸ch lµm tæng qu¸t x¸c ®Þnh (nhËn d¹ng vµ thÓ hiÖn). TÊt nhiªn ë ®©y ta ®ang lµm ®Õn lo¹i bµi to¸n cã thuËt gi¶i vµ viÖc lµm nµy kh«ng lµm cho häc sinh kÐm linh ho¹t, t¹o tÝnh ú khi gi¶i to¸n mµ chØ râ cho häc sinh thÊy sù t­¬ng øng nµy kh«ng ®¬n trÞ. - Cho ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh chøa tham sè th× víi mçi gi¸ trÞ cña tham sè cã mét tËp nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh x¸c ®Þnh bëi tham sè cô thÓ. - Khi gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh v« tû b»ng ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c hãa th× cã thÓ lîi dông sù t­¬ng øng gi÷a ®iÒu kiÖn cña Èn víi tËp gi¸ trÞ cña c¸c hµm sin, cosin, tg, cotg ®Ó t×m c¸ch l­îng gi¸c hãa Èn, nh»m sö dông c«ng thøc l­îng gi¸c ®Ó khö c¸c dÊu c¨n thøc ®­îc thuËn lîi nh­: §iÒu kiÖn cña Èn x L­îng gi¸c hãa Èn x x bÊt kú d. Th«ng qua mét sè d¹ng bµi tËp - Lo¹i bµi tËp d¹ng ®Þnh l­îng VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1) Ho¹t ®éng t×m lêi gi¶i: §iÒu kiÖn: T×m sù t­¬ng øng: Tõ ®iÒu kiÖn ta cã thÓ ®Æt . Khi ®ã (1) trë thµnh: Gi¶i (2) vµ trë vÒ t×m x, ta suy ®­îc nghiÖm cña (1) lµ: vµ . NhËn xÐt: Víi ph­¬ng tr×nh trªn nÕu dïng phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng th× kh¶ n¨ng h÷u tû hãa gÆp khã kh¨n do ph­¬ng tr×nh ®ã chøa qu¸ nhiÒu c¨n thøc, b»ng viÖc lîi dông sù t­¬ng øng, kh¶ n¨ng h÷u tû hãa b»ng viÖc ®­a Èn phô l­îng gi¸c tá râ tÝnh hiÖu qu¶. Cã thÓ ®Æt . VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (3) Ho¹t ®éng t×m lêi gi¶i: T×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÓu thøc trong ph­¬ng tr×nh: Râ rµng, viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh nh×n rÊt phøc t¹p nh­ng nÕu ph¸t hiÖn ®­îc mèi quan hÖ gi÷a c¸c biÓu thøc cã trong ph­¬ng tr×nh, lîi dông sù t­¬ng øng nÕu ®Æt (víi t > 0) th× , do nªn chóng lµ hai ®¹i l­îng nghÞch ®¶o cña nhau th× bµi to¸n gi¶i quyÕt trë nªn nhÑ nhµng. Khi ®ã: (3) trë thµnh: Trë vÒ gi¶i x ta cã: VÝ dô 3: X¸c ®Þnh tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã 4 nghiÖm ph©n biÖt: (4) Ho¹t ®éng t×m sù t­¬ng øng: - NhËn d¹ng ph­¬ng tr×nh? C¸ch lµm? (Ph¸t hiÖn sù t­¬ng øng) - §Æt th× ®iÒu kiÖn cña t nh­ thÕ nµo? - Tõ yªu cÇu ph­¬ng tr×nh víi Èn x cã 4 nghiÖm ph©n biÖt chuyÓn sang ph­¬ng tr×nh víi Èn t cã bao nhiªu nghiÖm? C¸c nghiÖm nµy tháa m·n ®iÒu kiÖn g×? H­íng dÉn gi¶i: §Æt . Ta ®­îc ph­¬ng tr×nh: (5) Cã nhËn thøc ®­îc sù t­¬ng øng: Mçi nghiÖm t 0 cña (5) cho hai nghiÖm t­¬ng øng cña (4). Th× míi lîi dông ®­îc sù t­¬ng øng nµy, chuyÓn ®æi yªu cÇu bµi to¸n ®èi víi Èn x sang ®èi víi Èn t, ®Ó gi¶i quyÕt dÔ dµng h¬n. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph­¬ng tr×nh (4) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt lµ ph­¬ng tr×nh (5) cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt. §Æt . §iÒu kiÖn cÇn t×m lµ: Khi nhËn thøc vµ lîi dông sù t­¬ng øng gi÷a nghiªm cña ph­¬ng tr×nh (4) víi nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (5), häc sinh kh«ng chØ gi¶i quyÕt ®­îc c©u hái trªn mµ cßn gi¶i quyÕt ®­îc c¸c c©u hái nh­: T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm, cã mét nghiÖm, cã hai nghiÖm hoÆc cã 3 nghiÖm. Nãi tãm l¹i, gi¶i quyÕt ®­îc bµi to¸n tæng qu¸t ch­a biÕt c¸ch gi¶i, b»ng c¸ch "chÕ biÕn" ®­a vÒ d¹ng quen thuéc th«ng qua c¸ch ®Æt , ®ång thêi thiÕt lËp vµ lîi dông sù t­¬ng øng gi÷a nghiÖm, sè nghiÖm ph­¬ng tr×nh Èn t víi nghiÖm, sè nghiÖm ph­¬ng tr×nh Èn x. Ngoµi ra ta cßn më réng bµi to¸n: Tæng qu¸t 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh: Tæng qu¸t 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh: VÝ dô 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (6) Bµi to¸n nµy cã nhiÒu c¸ch lµm: BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng, ®Æt Èn phô nh­ng nÕu xem xÐt theo quan ®iÓm hµm, biÕt lîi dông ®­îc sù t­¬ng øng 1:1, nghiÖm ph­¬ng tr×nh (6) lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè vµ ®­êng th¼ng y = 1 (lîi dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè) ta cã c¸ch khai th¸c, gi¶i quyÕt bµi to¸n theo h­íng ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh. H­íng dÉn gi¶i: - XÐt hµm sè - Hµm sè lu«n ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh nªn - KÕt luËn lµ nghiÖm duy nhÊt cña (6) VÝ dô 5: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc: (7) Yªu cÇu häc sinh nhËn d¹ng ph­¬ng tr×nh? §Ò xuÊt c¸ch lµm chung? Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng , c¸ch lµm chung lµ: + NÕu v = 0, ph­¬ng tr×nh trë thµnh u = 0 + NÕu , chia c¶ hai vÕ ph­¬ng tr×nh cho , sau ®ã ®Æt , ®­îc ph­¬ng tr×nh bËc hai ®èi víi t. Nªu c¸c h­íng gi¶i quyÕt bµi to¸n trªn? Tr­íc hÕt, cÇn ®­a ph­¬ng tr×nh (7) vÒ ph­¬ng tr×nh d¹ng ®¬n gi¶n (bËc hai) th«ng qua b­íc ®Æt Èn phô. §iÒu kiÖn: . Khi ®ã, chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho ta ®­îc: (8) §Æt , v× nªn . Tõ (8), ta ®­îc: (9) §Õn ®©y, ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy häc sinh cã hai h­íng suy nghÜ: H­íng 1: Lîi dông mèi quan hÖ, sù t­¬ng øng gi÷a Èn x vµ Èn phô t, chuyÓn ®æi bµi to¸n thµnh: T×m m ®Ó (9) cã nghiÖm thùc tho¶ m·n . Häc sinh cÇn huy ®éng kiÕn thøc vÒ tam thøc bËc hai ®Ó gi¶i. H­íng 2: §­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng . XÐt mèi t­¬ng quan gi÷a hai ®å thÞ hµm sè (C): vµ ®­êng th¼ng (d): y = m. CÇn lµm cho häc sinh nhËn thøc ®­îc sù t­¬ng øng: Ph­¬ng tr×nh vµ thuéc tËp gi¸ trÞ cña hµm . Nh­ vËy, bµi to¸n trë vÒ t×m tËp gi¸ trÞ cña hµm sè (TÊt nhiªn, tuú tõng bµi cô thÓ mµ ta t×m tËp gi¸ trÞ cña nã trªn tËp x¸c ®Þnh hay trªn trªn mét kho¶ng, ®o¹n, nöa kho¶ng, nöa ®o¹n nµo ®ã tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n). Trë l¹i bµi to¸n trªn: §Æt: LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm f(t) víi 0 < t < 1, ta ®­îc: . NhËn xÐt: Dï nhËn thøc vµ lîi dông sù t­¬ng øng gi÷a x vµ t nh­ng häc sinh dÔ m¾c sai lÇm khi ®Æt ®iÒu kiÖn cho t lµ (v× c¨n bËc ch½n cña mét sè kh«ng ©m mµ kh«ng thÊy ®­îc nªn lµm theo h­íng 1 hay h­íng 2 ®Òu dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai lµ . Trong qu¸ tr×nh lµm to¸n viÖc h×nh thµnh, ph¸t hiÖn, nghiªn cøu vµ lîi dông t­¬ng øng hµm ®Ó gi¶i quyÕt ®ßi hái häc sinh cÇn ph¶i huy ®éng c¸c luång kiÕn thøc liªn quan nh­: kiÕn thøc vÒ hµm sè, vÒ tËp hîp sè, vÒ bÊt ®¼ng thøc... Lîi dông t­¬ng øng hµm kh«ng nh÷ng gi¶i quyÕt hiÖu qu¶ c¸c bµi to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh, cho ta c¸c c¸ch nh×n bµi to¸n d­íi nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau mµ cßn ph¸t triÓn bµi to¸n tæng qu¸t h¬n. VÝ dô 6: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: H­íng 1: Häc sinh gi¶i thuÇn tuý b»ng ph­¬ng ph¸p khö Èn sè. H­íng 2: T×m mèi quan hÖ gi÷a c¸c sè cã trong c¸c bé sè (8, 4, 2); (27, 9, 3); (-1, 1, -1) cña ph­¬ng tr×nh (10), (11) vµ (12). VËn dông t­ t­ëng hµm ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n. NhËn thÊy: Chøng tá 2, 3, -1 lµ ba nghiÖm ph­¬ng tr×nh: (Ph¸t hiÖn sù t­¬ng øng). Do ®ã: (ThiÕt lËp t­¬ng øng hµm). Nh­ vËy, nhê viÖc ph¸t hiÖn, thiÕt lËp, nghiªn cøu vµ lîi dông sù t­¬ng øng gi÷a d¹ng ph­¬ng tr×nh vµ nghiÖm cña nã; gi÷a c¸c hÖ sè cña hai ®a thøc b»ng nhau; gi÷a hÖ sè cña ph­¬ng tr×nh thµnh phÇn víi nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cho c¸c ph­¬ng tr×nh cña hÖ, mµ ta cã c¸ch lµm ®éc ®¸o, cã thÓ tæng qu¸t ho¸ bµi to¸n: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: - Lo¹i bµi tËp chøng minh Khi gi¶i to¸n ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh gÆp bµi tËp chøng minh th­êng cã d¹ng: Chøng minh ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm, cã nghiÖm, cã n nghiÖm trªn kho¶ng, ®o¹n, nöa kho¶ng, nöa ®o¹n hay trªn tËp x¸c ®Þnh cña nã, ®èi víi d¹ng to¸n nµy ®Ó lîi dông t­¬ng øng hµm trong viÖc gi¶i, ta cã thÓ chuyÓn ®æi bµi to¸n vÒ d¹ng kh¸c t­¬ng ®­¬ng; dùa vµo tËp gi¸ trÞ cña hµm sè vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã. VÝ dô 7: Chøng minh r»ng, bÊt ph­¬ng tr×nh sau ®óng víi mäi x d­¬ng: Râ rµng ®èi víi bÊt ph­¬ng tr×nh nµy, VT lµ hµm ®a thøc, VP lµ hµm l­îng gi¸c, kh«ng thÓ gi¶i b»ng biÕn ®æi th«ng th­êng ®­îc. H¬n n÷a bµi to¸n kh«ng yªu cÇu gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh. §iÒu g× gîi cho ta sö dông c«ng cô hµm sè ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy? H­íng dÉn gi¶i: XÐt hµm sè víi x > 0 2.4. KÕt luËn ch­¬ng 2 Trong ch­¬ng nµy LuËn v¨n ®· ph©n tÝch, minh häa c¸c kü n¨ng cÇn rÌn khi gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh. §Ò ra mét sè quan ®iÓm phèi hîp rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n ph­¬ng tr×nh dùa vµo c¸c t­ t­ëng chñ ®¹o cña t­ duy hµm, ®ång thêi cô thÓ hãa viÖc ph¸t triÓn t­ duy hµm khi d¹y häc chñ ®Ò ph­¬ng tr×nh. Gióp häc ®Ó häc sinh chiÕm lÜnh kiÕn thøc vµ rÌn luyÖn kü n¨ng To¸n häc ®­îc thuËn lîi. §Æc biÖt nh×n sù vËt, hiÖn t­îng cña to¸n d­íi gãc ®é biÕn thiªn phô thuéc lÉn nhau vµ mèi quan hÖ nh©n qu¶ cña chóng. ch­¬ng 3 Thùc nghiÖm s­ ph¹m 3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm Thùc nghiÖm s­ ph¹m ®­îc tiÕn hµnh nh»m môc ®Ých kiÓm nghiÖm tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña c¸c sù phèi hîp rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh víi viÖc ph¸t triÓn t­ duy hµm cho häc sinh; kiÓm nghiÖm tÝnh ®óng ®¾n cña gi¶ thuyÕt khoa häc. 3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 3.2.1. Tæ chøc thùc nghiÖm Thùc nghiÖm s­ ph¹m ®­îc tiÕn hµnh t¹i tr­êng THPT Thä Xu©n 4, Thä Xu©n, Thanh Ho¸. + Líp thùc nghiÖm: 10A1 + Líp ®èi chøng: 10A2 Thêi gian thùc nghiÖm ®­îc tiÕn hµnh vµo kho¶ng tõ th¸ng 9 ®Õn th¸ng 11 n¨m 2007 Gi¸o viªn d¹y líp thùc nghiÖm: ThÇy Hµ Duyªn Nam. Gi¸o viªn d¹y líp ®èi chøng: ThÇy L­¬ng Ngäc Hoµ. §­îc sù ®ång ý cña Ban Gi¸m hiÖu Tr­êng THPT Thä Xu©n 4, chóng t«i ®· t×m hiÓu kÕt qu¶ häc tËp c¸c líp khèi 10 cña tr­êng vµ nhËn thÊy tr×nh ®é chung vÒ m«n To¸n cña hai líp 10A1 vµ 10A2 lµ t­¬ng ®­¬ng. Trªn c¬ së ®ã, chóng t«i ®Ò xuÊt ®­îc thùc nghiÖm t¹i líp 10A1 vµ lÊy líp 10A2 lµm líp ®èi chøng. Ban Gi¸m hiÖu tr­êng, c¸c thÇy (c«) Tæ tr­ëng tæ To¸n vµ c¸c thÇy c« d¹y hai líp 10 A1 vµ 10A2 chÊp nhËn ®Ò xuÊt nµy vµ t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho chóng t«i tiÕn hµnh thùc nghiÖm. 3.2.2. Néi dung thùc nghiÖm Thùc nghiÖm ®­îc tiÕn hµnh trong 16 tiÕt, ch­¬ng Ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh. Sau khi d¹y thùc nghiÖm, chóng t«i cho häc sinh lµm bµi kiÓm tra. Sau ®©y lµ néi dung ®Ò kiÓm tra: §Ò kiÓm tra (thêi gian 45 phót) C©u I: H·y biÖn luËn sè nghiÖm ph­¬ng tr×nh sau theo tham sè a: (1) C©u II: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: (2) C©u III: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (3) ViÖc ra ®Ò nh­ trªn chøa ®ùng nh÷ng dông ý s­ ph¹m. Xin ®­îc ph©n tÝch râ h¬n vÒ ®iÒu nµy vµ ®ång thêi ®¸nh gi¸ s¬ bé vÒ chÊt l­îng lµm bµi cña häc sinh. C©u I: Dông ý s­ ph¹m trong c©u nµy lµ kiÓm tra ®¸nh gi¸ kh¶ n¨ng gi¶i to¸n ph­¬ng tr×nh b»ng ®å thÞ, x¸c lËp ®­îc sù t­¬ng øng gi÷a tËp hîp sè thùc vµ tËp hîp giao ®iÓm, cô thÓ h¬n lµ gi÷a sè nghiÖm ph­¬ng tr×nh víi sè giao ®iÓm cña c¸c ®å thÞ ®­îc x¸c ®Þnh tõ ph­¬ng tr×nh. HÇu hÕt tÊt c¶ häc sinh ë líp thùc nghiÖm vµ líp ®èi chøng ®Òu ®­a ra kÕt qu¶ ®óng nh­ng kh¸ nhiÒu häc sinh ë líp ®èi chøng, mÆc dï x¸c ®Þnh ®­îc ®©y lµ bµi to¸n biÖn luËn sè nghiÖm ph­¬ng tr×nh chø kh«ng ph¶i bµi to¸n gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh nh­ng l¹i gi¶i quyÕt bµi to¸n biÖn luËn sè nghiÖm dùa trªn bµi to¸n gi¶i vµ biÖn luËn. ë bµi to¸n nµy, nhËn thÊy ®©y lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai, viÖc biÖn luËn ph­¬ng tr×nh lo¹i nµy ®­îc lµm quen kh¸ nhiÒu nªn kh«ng cã g× khã kh¨n, häc sinh líp ®èi chøng thùc hiÖn gi¶i tuÇn tù c¸c b­íc cña bµi to¸n biÖn luËn vµ kÕt luËn sè nghiÖm ph­¬ng tr×nh dùa vµo kÕt qu¶ cña bµi to¸n gi¶i vµ biÖn luËn. Nh­ng phÇn ®«ng häc sinh líp thùc nghiÖm l¹i kh«ng lµm nh­ vËy mµ ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng: . Lîi dông sù t­¬ng øng: Sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho chÝnh b»ng sè giao ®iÓm cña parabol (P): vµ ®­êng th¼ng (d): y = a. Quan s¸t ®å thÞ, thÊy ®Ønh cña parabol (P) lµ I (-1; -3), cã bÒ lâm quay lªn trªn; khi a thay ®æi th× ®­êng th¼ng (d) còng thay ®æi nh­ng lu«n lu«n song song (hoÆc trïng) víi trôc hoµnh. Tõ ®ã rót ra kÕt luËn bµi to¸n. ë c©u II dông ý s­ ph¹m lµ nh»m kiÓm tra ®¸nh gi¸ kh¶ n¨ng nhËn d¹ng ph­¬ng tr×nh, t×m ®iÒu kiÖn cho Èn phô vµ kh¶ n¨ng chuyÓn ®æi bµi to¸n. §a sè häc sinh ë c¶ hai líp thùc nghiÖm vµ ®èi chøng ®Òu nhËn ra ®©y lµ ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng, gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô, biÕt c¸ch ®Æt Èn phô: vµ ®iÒu kiÖn Èn phô lµ vµ ®­a ph­¬ng tr×nh (2) vÒ d¹ng: (2’) §Õn ®©y nhiÒu häc sinh ë líp ®èi chøng ®· sai lÇm khi chuyÓn ®æi yªu cÇu bµi to¸n tõ Èn ban ®Çu sang Èn phô, mang yªu cÇu cña bµi to¸n ®èi víi Èn ban ®Çu sang ¸p dông cho Èn phô (do kh«ng x¸c ®Þnh ®­îc sù t­¬ng øng gi÷a yªu cÇu ®èi víi Èn ban ®Çu vµ yªu cÇu ®èi víi Èn phô) nªn cho r»ng: “Ph­¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh (2’) cã nghiÖm. ”. So víi häc sinh líp ®èi chøng th× häc sinh líp thùc nghiÖm Ýt m¾c sai lÇm nµy, c¸c em nhËn thøc ®­îc yªu cÇu cña bµi to¸n sau khi chuyÓn ®æi lµ: “Ph­¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ph­¬ng tr×nh (2’) cã nghiÖm kh«ng ©m”. C©u III: Dông ý s­ ph¹m muèn kiÓm tra kh¶ n¨ng ph©n tÝch ®Þnh h­íng t×m lêi gi¶i bµi to¸n. §Ó h×nh thµnh ph­¬ng ph¸p gi¶i häc sinh cÇn nhËn ra mèi liªn hÖ trong bµi to¸n gi÷a vµ lµ . §Ó h×nh thµnh ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch ®Æt Èn phô vµ chuyÓn ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng . Ngoµi ra ë c©u hái nµy cßn kiÓm tra kh¶ n¨ng t×m ®iÒu kiÖn cña Èn phô . Cã mét sè häc sinh ë líp thùc nghiÖm ®· sai lÇm khi ®¸nh gi¸: 3.3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm KÕt qña kiÓm tra cho thÊy: §iÓm Líp 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tæng sè bµi §èi chøng 0 0 0 3 8 18 16 4 1 0 0 50 Thùc nghiÖm 0 0 0 0 2 4 8 22 12 6 0 54 Líp Thùc nghiÖm: YÕu 3,7%; Trung b×nh 22,2%; Kh¸ 63%; Giái 11,1%. Líp §èi chøng: YÕu 22%; Trung b×nh 68%; Kh¸ 10%; Giái 0%. C¨n cø vµo kÕt qu¶ kiÓm tra, b­íc ®Çu cã thÓ thÊy hiÖu qu¶ cña sù phèi hîp rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh víi viÖc ph¸t triÓn t­ duy hµm cho häc sinh. 3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm Qu¸ tr×nh thùc nghiÖm cïng nh÷ng kÕt qu¶ rót ra sau thùc nghiÖm cho thÊy: Môc ®Ých thùc nghiÖm ®· ®­îc hoµn thµnh, tÝnh kh¶ thi vµ tÝnh hiÖu qu¶ cña sù phèi hîp rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh víi viÖc ph¸t triÓn t­ duy hµm ®· ®­îc kh¼ng ®Þnh. KÕt luËn LuËn v¨n ®· thu ®­îc nh÷ng kÕt qu¶ sau: 1. §· hÖ thèng ho¸, ph©n tÝch kh¸i niÖm kü n¨ng, kh¸i niÖm t­ duy hµm, vÊn ®Ò rÌn luyÖn kü n¨ng vµ ph¸t triÓn t­ duy hµm cho häc sinh. 2. §· ®Ò xuÊt c¸c quan ®iÓm phèi hîp rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n ph­¬ng tr×nh dùa vµo c¸c t­ t­ëng chñ ®¹o cña t­ duy hµm, ®ång thêi ®Ò cËp ®Õn vÊn ®Ò ph¸t triÓn t­ duy hµm th«ng qua d¹y häc chñ ®Ò ph­¬ng tr×nh. 3. X©y dùng ®­îc hÖ thèng c¸c vÝ dô, bµi tËp nh»m minh ho¹ vµ kh¾c s©u phÇn lý luËn còng nh­ thùc hµnh d¹y to¸n theo quan ®iÓm hµm ë tr­êng phæ th«ng. 4. NÕu thùc hiÖn tèt c¸c gi¶i ph¸p ®­îc nªu ra trong LuËn v¨n th× kh«ng nh÷ng häc sinh cã sù høng thó, ®am mª trong häc tËp mµ hiÖu qu¶ s­ ph¹m vÒ d¹y to¸n sÏ n©ng cao. Tõ nh÷ng kÕt qña thu ®­îc cho phÐp chóng t«i x¸c nhËn r»ng gi¶ thuyÕt khoa häc lµ chÊp nhËn ®­îc vµ cã tÝnh hiÖu qu¶, môc ®Ých nghiªn cøu ®· hoµn thµnh. Tµi liÖu tham kh¶o NguyÔn Ngäc Anh (1999), Khai th¸c øng dông cña phÐp tÝnh vi ph©n ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp cùc trÞ cã néi dung liªn m«n vµ thùc tÕ nh»m chñ ®éng gãp phÇn rÌn luyÖn ý thøc vµ kh¶ n¨ng øng dông To¸n häc cho häc sinh líp 12 THPT, LuËn ¸n TiÕn sÜ Gi¸o dôc, ViÖn Khoa häc gi¸o dôc, Hµ Néi. Lª Quang ¸nh, NguyÔn Thµnh Dòng, TrÇn Th¸i Hïng (1999), 360 bµi to¸n chän läc, Nxb §ång Nai, §ång Nai. NguyÔn Cam (2000), Gi¶i to¸n ®¹o hµm vµ kh¶o s¸t hµm sè, NXB §HQG Hµ Néi. NguyÔn VÜnh CËn, Lª Thèng NhÊt, Phan Thanh Quang (1997), Sai lÇm phæ biÕn khi gi¶i To¸n, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi. Phan §øc ChÝnh, Vò D­¬ng Thuþ, §µo Tam, Lª Thèng NhÊt (1999), C¸c bµi gi¶ng luyÖn thi m«n To¸n, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi. §anil«p M. A. Xcatkin M. N. (1980), Lý luËn d¹y häc cña tr­êng phæ th«ng, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi. Vò Cao §µm (1995), Ph­¬ng ph¸p luËn nghiªn cøu khoa häc, ViÖn Nghiªn cøu ph¸t triÓn gi¸o dôc, Hµ Néi. NguyÔn Huy §oan, §Æng Hïng Th¾ng (2006), Bµi tËp n©ng cao vµ mét sè chuyªn ®Ò ®¹i sè 10, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi. NguyÔn §øc §ång, NguyÔn V¨n VÜnh (2000), 23 chuyªn ®Ò gi¶i ph­¬ng tr×nh bÊt ph­¬ng tr×nh §¹i sè, NXB trÎ, TP Hå ChÝ Minh. Lª Hång §øc, Lª H÷u TrÝ (2004), Sö dông ph­¬ng ph¸p ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó gi¶i To¸n, NXB Hµ Néi, Hµ Néi. Lª Hång §øc, §µo ThiÖn Kh¶i (2004), Sö dông ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô ®Ó gi¶i To¸n, NXB Hµ Néi. Lª Hång §øc, §µo ThiÖn Kh¶i, Lª H÷u TrÝ (2005), Ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n ®¹o hµm vµ øng dông, NXB Hµ Néi, Hµ Néi. Lª Hång §øc, §µo ThiÖn Kh¶i, Lª BÝch Ngäc, Lª H÷u TrÝ (2005), C¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh bÊt ph­¬ng tr×nh hÖ v« tû, NXB Hµ Néi, Hµ Néi. Lª Hång §øc, §µo ThiÖn Kh¶i, Lª BÝch Ngäc, Lª H÷u TrÝ (2005), C¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh bÊt ph­¬ng tr×nh hÖ chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, NXB Hµ Néi, Hµ Néi. Ph¹m V¨n §øc, §ç Quang Minh, NguyÔn Thanh S¬n, Lª V¨n Tr­êng (2002), KiÕn thøc c¬ b¶n §¹i sè 10, NXB §HQG TP Hå ChÝ Minh, TP Hå ChÝ Minh. Ph¹m V¨n Hoµn, NguyÔn Gia Cèc, TrÇn Thóc Tr×nh (1981), Gi¸o dôc häc m«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi. §Æng Vò Ho¹t, Hµ ThÕ Ng÷ (1987), Gi¸o dôc häc t©p 1, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi NguyÔn Th¸i HoÌ (1993), Ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n khã, Khoa chuyªn to¸n §HSP Vinh, NghÖ An. Lª V¨n Hång, Lª Ngäc Lan, NguyÔn V¨n Thµng (2001), T©m lý häc løa tuæi vµ t©m lý häc s­ ph¹m, NXB §HQG Hµ Néi, Hµ Néi. Phan Huy Kh¶i (2001), C¸c bµi to¸n vÒ hµm sè, NXB Hµ Néi. Phan Huy Kh¶i (2001), To¸n n©ng cao cho häc sinh THPT §¹i sè 10, 11, 12, NXB Hµ Néi. Phan Huy Kh¶i (2001), 500 bµi to¸n chän läc vÒ bÊt ®¼ng thøc, NXB Hµ Néi. Khèi phæ th«ng chuyªn (1988), Mét sè ph­¬ng ph¸p chän läc gi¶i c¸c bµi to¸n s¬ cÊp, §HTH&NXB KHKT Hµ Néi. NguyÔn B¸ Kim (2004), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n, Nxb §¹i häc s­ ph¹m, Hµ Néi. NguyÔn B¸ Kim, §inh Nho Ch­¬ng, NguyÔn M¹nh C¶ng, Vò D­¬ng Thuþ, NguyÔn V¨n Th­êng (1994), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n phÇn II, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi. NguyÔn V¨n Léc (1995), T­ duy vµ ho¹t ®éng To¸n häc, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi. NguyÔn V¨n MËu (1995), Ph­¬ng tr×nh hµm, NXB Gi¸o dôc NguyÔn V¨n MËu (2002), §a thøc vµ ph©n thøc h÷u tû, NXB Gi¸o dôc. Bïi V¨n NghÞ, V­¬ng D­¬ng Minh, NguyÔn Anh TuÊn (2005), Tµi liÖu båi d­ìng th­êng xuyªn gi¸o viªn trung häc phæ th«ng chu kú III (2004 - 2007) m«n To¸n, NXB §¹i häc s­ ph¹m, Hµ Néi. V.A.¤ganhexian - Iu.M.K«liagin (1980), Ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y To¸n ë tr­êng phæ th«ng, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi (TiÕng Nga). Petrovski.A.V (1982), T©m lý häc løa tuæi vµ t©m lý häc s­ ph¹m (tËp II), NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi. G. Polya (1997), Gi¶i bµi to¸n nh­ thÕ nµo? Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi. G. Polya (1997), S¸ng t¹o To¸n häc, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi. NguyÔn Ngäc Quang (1989), Lý luËn d¹y häc ®¹i c­¬ng tËp 2, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi. §µo Tam (2000), "Båi d­ìng häc sinh kh¸ giái ë THPT, n¨ng lùc huy ®éng kiÕn thøc khi gi¶i c¸c bµi to¸n", T¹p chÝ Nghiªn cøu gi¸o dôc, Sè1. TS. Chu Träng Thanh, GS. TS. §µo Tam, Ths.Lª Duy Ph¸t (2006), Gãp phÇn ph¸t triÓn mét vµi yÕu tè t­ duy hµm cho häc sinh th«ng qua d¹y häc chñ ®Ò ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh, T¹p chÝ Nghiªn cøu gi¸o dôc, Sè135. NguyÔn V¨n ThuËn (2004), Gãp phÇn ph¸t triÓn n¨ng lùc t­ duy l«gic vµ sö dông chÝnh x¸c ng«n ng÷ to¸n häc cho häc sinh ®Çu cÊp Trung häc phæ th«ng trong d¹y häc §¹i sè, LuËn ¸n TiÕn sÜ Gi¸o dôc häc, Vinh. NguyÔn C¶nh Toµn (1997), TËp cho häc sinh giái to¸n lµm quen dÇn víi nghiªn cøu To¸n häc, TËp 1, Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi. NguyÔn Träng TuÊn (2005), Bµi to¸n hµm sè qua c¸c k× thi Olympic, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi. TrÇn Thóc Tr×nh (1998), C¬ së lý luËn d¹y häc to¸n n©ng cao (dïng cho häc viªn cao häc To¸n), ViÖn Khoa häc gi¸o dôc, Hµ Néi. TrÇn Thóc Tr×nh (1998), T­ duy vµ ho¹t ®éng To¸n häc, ViÖn khoa häc gi¸o dôc, Hµ Néi. §µo V¨n Trung (2001), Lµm thÕ nµo ®Ó häc tèt To¸n phæ th«ng, NXB §HQG Hµ Néi, Hµ Néi. TuyÓn tËp 30 n¨m To¸n häc vµ tuæi trÎ, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi. Tõ ®iÓn TiÕng ViÖt, NXB TP Hå ChÝ Minh, TP Hå ChÝ Minh.