Luận văn Phương pháp toán tử cho bài toán exciton hai chiều

+ ( ) ( ) ( ) 1 11 1 ˆ ˆ ˆ0 1 0 1 1 ! 1 ! n n a n a n a n n n n + ++ + +    = = + = + +  +  . Tương tự, ta cũng thấy rằng mỗi toán tử sinh có tác dụng “sinh” (tăng) lên một bậc của vector trạng thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử sinh tác dụng lên vector trạng thái thì sẽ sinh thêm bấy nhiêu bậc của nó. 5. Chứng minh sự liên hợp của ˆ ˆ+a,a , 1 , 1 ˆ 1 , ˆ 1 , n j n j n a j j n j j j a n j j n j − + − = − = = − = δ δ ˆ ˆn a j j a n+⇒ = . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 41 Nhận xét: Từ các tính chất (3, 4, 5) ở trên ta thấy rằng: nếu như tác dụng một toán tử chứa cùng số toán tử sinh và toán tử hủy lên một vector trạng thái, thì sẽ không làm vector này thay đổi bậc, và ta gọi các toán tử như thế là toán tử “trung hòa”; ngược lại nếu toán tử chứa số toán tử sinh – hủy khác nhau thì sẽ làm thay đổi bậc của vector trạng thái. Đây là một tính chất rất quan trọng trong các tính toán đại số khi sử dụng biểu diễn toán tử và cũng chính là yếu tố để ta tiến hành việc tách toán tử Hamilton của hệ thành hai thành phần: trung hòa và nhiễu loạn. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 42 Phụ lục 2. Dạng chuẩn (normal) của một số toán tử trong luận văn Dạng chuẩn (normal) của một toán tử được định nghĩa là dạng đã được biến đổi sao cho toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu thức, toán tử sinh luôn về phía bên trái của biểu thức. aˆ+ trái aˆ phải. Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dạng chuẩn là giúp cho việc tính toán trong các bài toán chứa nhiều loại toán tử được dễ dàng hơn rất nhiều. Thực vậy, khi biểu biễn tất cả trạng thái qua trạng thái cơ bản 0( )ω thì lợi dụng tính chất ˆ 0( ) 0a =ω và ˆ 0( ) 0b ω = , chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng thái còn lại qua biểu thức chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng. A. Trường hợp các toán tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa Trường hợp này ta chỉ cần áp dụng các tính chất của giao hoán tử trên là có thể đưa về dạng chuẩn. Ví dụ: Đưa toán tử ( )22ˆ ˆa a+ về dạng chuẩn ta thực hiện như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 . a a a aa a a a a a aa aa aa a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = = + = + = + + + + = + + + + = + + + = + + + = + + Các phép biến đổi trên thường được áp dụng khi các biểu thức toán tử có dạng như các đa thức. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 43 B. Trường hợp hàm e mũ của các toán tử sinh, hủy Đối với dạng hàm e mũ thì khi vận dụng phép biến đổi như trên sẽ gặp khó khăn. Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về dạng chuẩn sẽ có bậc lũy thừa rất cao. Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đổi khác như dưới đây. Ví dụ: ( )ˆ ˆt a ae + + Vì ta có hệ thức giao hoán ˆ ˆ, 1a a+  =  nên từ đây các toán tử ˆ ˆ,a a + và số 1 tạo thành một đại số kín. Như vậy ta có thể viết: ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )t a a f t a g t a h te e e e F t+ ++ = = . (A2.1) và tiến hành tìm các hàm số ( ), ( ), ( )f t g t h t theo các bước sau: Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (2.1) theo biến số t ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ' ' 't a aa a e f t a F t g t aF t h t F t+ ++ ++ = + + . (A2.2) Định nghĩa hàm nghịch đảo của ( )F t là ( )1F t− sao cho ( ) ( )1. 1F t F t− = ta có: ( ) ˆ ˆ1 ( ) ( ) ( )h t g t a f t aF t e e e +− − − −= . (A2.3) Nhân hai vế (2.2) cho ( )1F t− và thu gọn các số hạng ta được: ( ) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ' ' 'f t a f t aa a f t a g t e ae h t+ ++ + −+ = + + (A2.4) Bước hai: Sử dụng công thức quen thuộc (phụ lục 1): ˆ ˆ 1 1 2! 3! ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A A e B e = B+ A,B + A, A,B + A, A, A,B +...−                    cùng với hệ thức giao hoán của ˆ ˆ,a a+ ta có: ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ...f t a f t ae ae a f t a a a f t+ +− + = + + = −  . Thay vào (2.4), ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ˆ ˆ' ' ' ' . a a f t a g t a f t h t f t a g t a h t g t f t + + + + = + − + = + + − (A2.5) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 44 Bước ba: Đồng nhất hai vế của (2.5) và chọn điều kiện biên Đồng nhất hai vế, ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1, ' 1, ' ' 0. f t g t h t g t f t =  =  − = Giải hệ này ta có: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 3 , , . 2 f t t c g t t c th t c t c        = + = + = + + Dựa vào biểu thức (2.1), ta có điều kiện khi t = 0 thì: f(t) = g(t) = h(t)= 0. Suy ra: c1= c2 = c3 = 0. Như vậy dạng chuẩn của ( )ˆ ˆt a ae + + là: ( ) 2ˆ ˆ ˆ ˆ / 2t a a ta ta te e e e+ ++ = . (A2.6) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 45 Phụ lục 3: Yếu tố ma trận cho toán tử Hamilton của dao động tử phi điều hòa A. Tính các yếu tố ma trận của toán tử Hamilton (phương pháp giải tích) 3.1 Tính các yếu tố ma trận: Theo [1] ta có: 1 1 1( ) . ( ) ( ) 2n n n H n H Hξ ξ ξ ξ − += + . Khi đó yếu tố ma trận H được tính: 2 (0)* (0) (0)* 2 (0) 0 2 1 1 ˆ ( ) 2 2nn n n n n dH H dx x dx dx +∞ +∞ −∞ −∞ = Ψ Ψ = Ψ − + Ψ∫ ∫ 2 2 2 2 2 (0)* 2 2 1 1( 1) exp exp 2 2 2 2 n n n x x n n n n d x d x dA e x e dx dx dx dx +∞ − − −∞       = − Ψ − +              ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 (0)* 2 2 1 2 2 1 2 exp exp exp 2 2 21 1( 1) exp 2 2 2 exp exp 2 2 n n n x x x n n n n n x n n nn n x x n n x d x d x d e x e x e dx dx dx x dA x e dxx d x d x e e dx dx + − − − ++∞ − + + −∞ − − + +         + +                 = − Ψ − +           + +           ∫ dx  ( ) 2 (0)* 1 2 1 1 ˆ2 exp 2 2 2 1 11 2 2 n n n n n A x n n n n A xH x dx A n n +∞ + + −∞   = − − + + Ψ −    = − + + = + ∫ 3.2 Tính yếu tố ma trận V Từ 1 1 1( ) . ( ) ( ) 2n n n H n H Hξ ξ ξ ξ − += + , ta tính được: 2 1 1 2 2 1 1 1 . ( 1) . , 2 2 4n n n n n n H n H H n H n n H Hξ ξ ξ − + − +   = + = + + − +    3 2 2 2 1 3 1 3 1 1 3 3 1( ) ( 1) . ( 1)( 2) ( 1) 2 4 2 4 8n n n n n n n n H n H n n H H n H n n n H n H Hξ ξ ξ ξ ξ − + − − + +   = + + − + = + − − + + +    4 2 2 4 4 2 3 1 1(2 2 1) (2 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)(2 1) 4 4 16n n n n n n H n n H n H H n n n H n n n Hξ + + − −= + + + + + + − − − + − − Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 46 Tính: ( ) ( ) 2 2 *(0) (0) *(0) 4 *(0) 22 2 4 4 2 ˆ( ) ( ) exp 2 3 1 1 . 2 2 1 (2 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)(2 1) 4 4 16 m n m n n x m n n n n n mn x x V dx x A x H x dx e n n H n H H n n n n H n n n H dx V λ λ λ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ − + + − − −∞   = Ψ Ψ = Ψ − =      = Ψ + + + + + + − − − + − −    ∫ ∫ ∫ ( )2 2 4 4 2 2 4 4 2 3 2 2 1 (2 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)(2 1) 4 4 16 n n n n mn n n n n n n n n A A A A n n n n n n n n n n A A A A λ δ δ δ δ δ+ + − − + + − −   = + + + + + + − − − + − −    Khi đó: ( ) 2 *(0) (0) *(0) 4 , 4 4 4 ˆ( ) ( ) exp ( 4)( 3)( 2)( 1) 2 4n n n n n n n xV x V dx x A x H x dx n n n nλλ λ +∞ +∞ + + + −∞ −∞   = Ψ Ψ = Ψ − = + + + +    ∫ ∫ ( ) 2 *(0) (0) *(0) , 2 2 2 ˆ( ) ( ) exp (2 3) ( 2)( 1) 2 2n n n n n n n xV x V dx x A H x dx n n nλλ λ +∞ +∞ + + + −∞ −∞   = Ψ Ψ = Ψ − = + + +    ∫ ∫ B. Tính các yếu tố ma trận của toán tử Hamilton( OM) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 4 4 3 24 3 2 2 1 1 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1 4 4 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 6 6 . 4 H a a a a a a a a a a a a a a a a ω ω λ ω ω ω λ ω + + + + + + + +                 + − = + + + + + + + + + + + + Ta tách ˆH thành hai phần: 0ˆ ˆ ˆH H V= + , ( ) ( )2 20 21 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 14 4H a a a a a aω λω ω+ + +   += + + + + , ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 3 22 3 2 421ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 6 4 6 .4 4V a a a a a a a a a aω λω ω+ + + + +   −= + + + + + + + Ta tính các phần tử ma trận khác không của ˆH : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 2 1 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1 4 4 1 32 1 2 2 1 , 4 4 nn nn H H n a a a a a a n n n n ω λ ω ω ω λ ω ω + + +     + = = + + + + + = + + + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 , 2 2 2 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ4 6 2 4 4 2 !1 14 6 2 1 2 3 , 4 4 !4 2 n nV n a a a a n n n n n n n ω λ ω ω ω λ ω λ ω ωω ω + + − = + + + +   − − = + + + + = + +        Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 47 ( )4 , 4 2 2 4 ! ˆ 4 4 4 !n n n V n a n n λ λ ω ω+ + = + = ; các phần tử ma trận khác được tính dựa vào tính đối xứng: nm mnV V= . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 48 Phụ lục 4: Phương trình Schrödinger cho bài toán exciton hai chiều Theo cơ học cổ điển, năng lượng của hệ gồm hai hạt tương tác ( ) 2 2 1 2 1 22 2 p pE U r m m = + + . trong đó r là khoảng cách giữa hai hạt, một cách tương ứng Hamiltonain của hệ bằng: ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 ˆ 2 2 H U r m m = − ∇ − ∇ +  . Gọi r1 và r2 là các bán kính vector của hạt 1 và hạt 2, r là bán kính vector từ hạt 1 sang hạt 2, R là bán kính vector của tâm bán kính G. Chúng ta có các hệ thức: 1 1 2 2 2 1 1 2 , m r m r r r r R m m + = − = + . Chiếu hai biểu thức này xuống trục x ta có: 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 ; m x m x x x x X m m m m = − = + + + . Theo hệ thức trên ta có: 1 1 1 1 1 2 x X m x x x x x x m m X ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ; 2 2 22 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2m m m x x x m m X x m m x X m m X      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − + = − +     ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂      . Tương tự: 2 2 22 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2m m m x x x m m X x m m x X m m X      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − + = − +     ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂      . Từ hai biểu thức trên ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 m x m x m m x m m X  ∂ ∂ ∂ ∂ + = + + ∂ ∂ ∂ + ∂  . Tiến hành trên hai trục còn lại ta thu được Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 49 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 r G m m m mµ ∇ + ∇ = ∇ + ∇ + , trong đó 1 2 1 2 m m m m µ = + gọi là khối lượng rút gọn. Khi đó toán tử Hamitonain có dạng: ( ) 2 2 2 2 2 1 ˆ 2 2( )r GH U rm mµ   = − ∇ − ∇ Ψ +  +    (A4.1) * Dạng không thứ nguyên của phương trình thứ (2.9) ( ) ( ) 2 2 2 2 r r r Ze r E r r ψ ψ µ   − ∇ − =     . Hamilton có dạng: 2 2 2 ˆ 2 r ZeH rµ = − ∇ − . đặt . , .x ya x a yρ ρ= = và E bε= ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ; x y x x a a r x y x x a ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⇒ = = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2x y x y a aZe e Z bb a a µ µψ εψ ψ εψ µ ρ ρ ρ ρ ρ ρ       ∂ ∂ ∂ ∂    − + − = ⇒ − + − =         ∂ ∂ ∂ ∂             . Ta đặt: 2 2 2 2 0 . 11e ea a r µ µ = ⇒ = =   ; 2 2 4 2 2 2 .1b a eb a µ µ µ = ⇒ = =    . Khi đó ta thu được phương trình Schrödinger không thứ nguyên sau: 2 2 2 2 1 2 x y Z ψ εψ ρ ρ ρ   ∂ ∂  − + − =   ∂ ∂    . (A4.2) Để thuận tiện ta có thể viết lại phương trình Schrödinger không thứ nguyên có dạng: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 50 2 2 2 2 2 2 1 2 Z x y x y ψ εψ   ∂ ∂  − + − =  ∂ ∂ +    . (A4.3) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 51 Phụ lục 5: Hamilton cho bài toán exciton hai chiều Chuyển từ tọa độ vuông góc sang hệ tọa độ cực: os sin x rc y r ϕ ϕ =  = Chuyển từ tọa độ cực sang hệ tọa độ vuông góc: 2 2 arctg r x y y x ϕ  = +   =  . 1. Toán tử Hamilton ˆH Để chuyển toán tử 2 2 2 2x y ∂ ∂∆ = + ∂ ∂ sang hệ tọa độ cực, ta tiến hành ta tiến hành chuyển các đạo hàm theo tọa độ vuông góc sang tọa độ cực. Lấy ví dụ là đạo hàm theo biến x. Theo quy tắc đạo hàm của hàm số hợp: r r x x x ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (A5.1) Muốn thực hiện phép chuyển này ta phải tính các đạo hàm riêng: ,r x x ϕ∂ ∂ ∂ ∂ , os 1 sin r x c x r x r ϕ ϕ ϕ ∂ = =∂ ∂ = −  ∂ , (A5.2) Thay (5.2) vào (5.1) ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 os sin r 1 1 os sin os sin r r r 1 2 2 1 os sin sin os sin os sin r rr c x r r c c x x r x r c c c r r r r ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + −   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + − + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ Tương tự tính cho y ∂ ∂ , với các đạo hàm riêng: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 52 sin ; 1 os r y c y r ϕ ϕ ϕ ∂ =∂ ∂ =  ∂ Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin os sin os r r r 1 1 1 sin sin os os sin os r r r 2 2 1 1 sin sin os sin os os os r rr r c c y r y ry c c c r r r c c c c r rr r ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂        ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ 2 Khi chuyển 2 2 2 2x y ∂ ∂∆ = + ∂ ∂ sang hệ tọa độ cực ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = . rr r r r r rx y r rϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  + + + = + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂  . Từ công thức của toán tử Laplace trong tọa độ cực, ta có công thức của toán tử Hamilton của electron. 2 2 2 1 1 ˆ ( ) 2 2 H r U r r r r r ϕ ∂ ∂ ∂  = − − + ∂ ∂ ∂  (A5.3) 2. Toán tử ˆxL ˆ ˆ ˆ x z yL yp zp i y z z y  ∂ ∂ = − = − − ∂ ∂   (A5.4) Thay các biểu thức ở phần trên vào (3) ta có: 1 sin sin os sin 1 1 os os sin sin os sin r sin y r c z r r c z rc c y r r θ ϕ θ θ θ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ ∂ ∂ ∂  = − ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂  Từ đó ta thu được: ˆ ˆ ˆ sin cot osx z yL yp zp i g cϕ θ ϕθ ϕ  ∂ ∂ = − = − + ∂ ∂   Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 53 3. Với toán tử ˆ ˆ,y zL L : ˆ ˆ y Z L i z y y z L i x y y x  ∂ ∂ = − − ∂ ∂   ∂ ∂ = − − ∂ ∂    Tương tự như toán tử ˆxL , ta cũng thay các đạo hàm riêng có được ở trên vào: ˆ os cot sin ˆ y Z L i c g L i ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ  ∂ ∂ = − − ∂ ∂  ∂ = − ∂   4. Tìm riêng và trị riêng của toán tử ˆzL Phương trình hàm riêng- trị riêng của ˆzL : ˆ z z z uL u L u i L u ϕ ∂ = → − = ∂ . Vì hàm U chỉ phụ thuộc vào biến số ϕ nên ta thay đạo hàm riêng toàn phần thành đạo hàm toàn phần: ( ) . z z iL dui L u d u C e ϕ ϕ ϕ − = = , hệ số C được xác định từ điều kiện chuẩn hóa: 2 2 0 ( ) 1u d pi ϕ ϕ =∫ , ta được 1 . 2 C pi = Khi ϕ thay đổi một lượng 2pi thì hạt trở lại vị trí ban đầu. Do đó , để ( )u ϕ xác định đơn giá thì ( 2 ) 2 1 2 2 m= 0, 1, 2... z z z iL iL i L z z e e e L m L m ϕ ϕ pi pi ϕ pi pi + = = = = ± ± Vậy hàm riêng của toán tử ˆzL là : 1( ) . 2 imu e ϕϕ pi = , Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 54 và trị riêng là m= 0, 1, 2...zL m= ± ± Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 55 Phụ lục 6: Các toán tử sinh – hủy hai chiều ˆ ˆ( ) , ( ) , 2 2 ˆ ˆ( ) , ( ) ; 2 2 x x x x x x y y y y y y 1 1 a x a x x x 1 1b y b y y y ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω + +    ∂ ∂ = + = −   ∂ ∂       ∂ ∂ = + = −      ∂ ∂    Suy ra ( ) ( )22ˆ ˆ ˆ ˆ 22 a a a a x x ωω + ++ + = → = ( ) ( )22ˆ ˆ ˆ ˆ 22 b b b b y y ωω + ++ + = → = ( ) ( ) ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 a a x b b y ω ω + + ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ Suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2x y a a a a b b b b a a b bx y + + + + + +∂ ∂+ = + − + + − = − + −∂ ∂ Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 22 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ; 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 . 2 x x y a a a a a a x b b b b y ω ω ω + + + + + ∂   = − = − − +  ∂ ∂   = − − +   ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 ( ) ( ) 2 1 ˆ ˆ ˆ 2 a a b b x y a b a a b b a b M N M ω ω ω + + + + + + + ∂ ∂  + = − + −   ∂ ∂ = + − − − + + = − + Mặt khác: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 56 ( ) ( ) 22 2 22 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ; 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ; 2 x y x a a a a y b b b b ω ω + + + +   = + + +     = + + +    Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 222 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ 2 b ba a x y a b aa bb a a b b a b M N M ω ω ω ω ++ + + + + + + + ++ + = +   = + + + + + + +    = + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 yx z y x x y x y x y iL ix y b b a a a a b b y x i ab a b ab a b ωω ω ω ω ω ω ω ω ω + + + + + + + +   ∂ ∂  =− − = + − − + −     ∂ ∂     = − − + + −   Khi x yω ω ω= = , ta có: ( ) ( )2 2 222 22 2 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 ;2 a b a b a a b bx y ω + + + +∂ ∂  + = + + + − − −  ∂ ∂ ( ) ( )222 2 2 21 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 .2x y a b a b a a b bω + + + + + = + + + + + +   ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i ab a b+ += − . A. Để thuận tiện trong tính toán, ta sử dụng các toán tử: ( ) ( ) 22 22 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1, , , ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 1, , , x y N a a A a A a N b b B b B b + + + + + + = + = = = + = = ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ; ;x yN N N M A B M A B + + + = + = + = + trong đó từng bộ ba toán tử ˆ ˆˆ , ,xN A A+ , ˆ ˆ ˆ, ,yN B B+ , ˆ ˆ ˆ, ,M M N + tạo thành các đại số kín, thỏa mãn các hệ thức giao hoán: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 57 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ , 2 , , 4 , , 4 , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 , , 4 , , 4 , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 , , 4 , , 4 . x x x y y y A A N A N A N A A B B N B N B N B B M M N M N M N M M + + + + + + + + +      = = =           = = =           = = =      các giao hoán tử khác bằng 0. Tính các giao hoán tử: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 1 2 x A A a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a N + + + + + + + + + + + + = = = = + + +        = = +                    = + + +        = + = + =     ( ) [ ]  [ ]  2 2 2 0 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,2 1 2 , 2 , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 , , , , ˆ ˆ4 4 xA N a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a A + + + + + + + + = =          = + = = +               = + + +       = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 1, 2 , 2 , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 , , 4 4 xN A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A + + + + + + + + + = + + + + + + +             = + = = +                        = + = =     0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , , , ˆ ˆ ˆ2 2 2x y M M A B A B A A A B B A B B N N N + + + + + + + = =           = + + = + + +           = + =   00 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , , , ˆ ˆ ˆ4 4 4 x y x y x yM N A B N N A N A N B N B N A B M ==           = + + = + + +           = + =  0 0 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , , , ˆ ˆ ˆ4 4 4 x y x x y yN M N N A B N A N B N A N B A B M + + + + + + + = = + + +           = + + = + + +           = + =   B. Chứng minh toán tử ˆH giao hoán với toán tử ˆzL Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 58 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( )( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( 1) ( 1) ( 1) ZL M i ab a b a a b b a a b b i ab a b i ab a a a a ab b b a b a bb b i a a a b a aa b b b b a + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +   = − + − + −  = − + − = + − − + − − ˆ ˆ ˆ ˆ( 1) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 0 b b b a i a b a b + + + + + + +  +   = − =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( )( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 0 ZL M i ab a b aa bb aa bb i ab a b i ab bb aaab aaa b a aab i ab ab + + + + + + + +   = − + − + −  = − + −  = − + =  + + + + + + + + + + + + + + + + + + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( )2( ) 2( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ =2i(aa ab -a aab +b bab -bb ab +a aa b-a a ab+bb a b-bba b ˆ ˆ ˆ ˆ =2i(ab -ab ZL N i ab a b a a bb a a bb i ab a b + + + + + + + +  = − + − + −  + +ˆ ˆ ˆ ˆ+ab -ab )=0 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 59 Phụ lục 7: Dạng chuẩn của toán tử { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + + Do các toán tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ tạo thành một đại số kín, ta có thể sử dụng công thức cho hai toán tử không giao hoán bất kỳ ˆ ˆ,X Y : ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1exp exp [ , ] exp exp2X Y X Y X Y+ = − , (A7.1) ta có thể đưa toán tử ˆS về dưới dạng chuẩn như sau: ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp ( ) exp ( ) ( ) exp ( )M M N f M g N h Mτ τ τ τ+ +− + + = . (A7.2) Ở đây chúng ta cần xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ với điều kiện biên: (0) 0, (0) 0, (0) 0f g h= = = . (A7.3) Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (A7.2) theo τ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ '( ) '( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ '( )exp ( ) exp ( ) exp ( ) . M M N M N M f M F g f M N g N h M h f M g N M h M τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ + + + + + − + + − + + = = + + (A7.4) Nhân (A7.4) với toán tử ngược 1ˆS − : với toán tử 1ˆ ˆ. 1S S − = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) exp ( ) exp ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) M M N f M g t f M N f M h f M g N M g N f M τ τ τ τ τ τ τ τ + + + + + + ′ ′ − + + = + − ′+ − − (A7.5) Bước hai: Ta sử dụng công thức ( ) ( ) 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp exp , , , , , ,2! 3!X Y X Y X Y X X Y X X X Y         − = + + + +          … Tính lần lượt các thành phần của (A7.5): ( ) ( ) 21ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) ( ) ( ) , ( ) , , ...2!I g f M N f M g N f M N f M M Nτ τ τ τ τ τ+ + + + +     ′ ′= − = + + +       ( ) 21 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )( 4 ) ( ) , 4 ... 2! ˆ ˆ( ) 4 ( ) g N f M f M M g N f M τ τ τ τ τ + + + +   ′= + − + − +    ′= − (A7.6) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 60 Trước hết ta tính thành phần: ( ) ( ) 2 2 4 ( ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆe x p ( ) ex p ( ) ( ) , ( ) , . .. 2 ! ˆ1 6 ˆ ˆ4 ( ) . .. 2 ! ˆ . g J g N M g N M g N M g N N M MM M g M e τ τ τ τ τ τ −     = − = + + +     = − + + = (A7 .7) Tiếp theo ta tính thành phần: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 4 ( ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) ˆ ˆ ˆ( ) exp ( ) exp ( ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) , ( ) , , ... 2! ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 4 ( ) g g g K h f M g N M g N f M e h f M M f M e h M f M M f M M M e h M Nf M f τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ + + − + + − + + + − + ′= − − ′= −      ′= + + +       ′= − + (A7.8) Thay vào trong biểu thức: ( ) ( ) ( )4 ( ) 2 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) g g g g M M N f M g N f M e h M Nf M f f M g N g f M e h M e h Nf e h f M τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ + + + − + + + − − − + ′ ′ ′ − + + = + − + − + ′ ′ ′ ′ ′ ′= + − + − + Bước ba: Đồng nhất các hệ số trước các toán tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ ta thu được hệ phương trình vi phân trên để xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ : 4 ( ) 2 4 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) g g g f g f e h f e h f g e h τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − − − ′ ′ ′− = − +  ′ ′ − = − +  ′ − = (A7.9) . ( )2 1 2 1( ) 1 2 ( ) ( ) . 2 2 Cf f f C τ τ τ τ τ − + − ′→ = − + → = + áp dụng điều kiện biên 1(0) 0 (0) 0 1 ( ) 2 2 1 Cf f C f C τ τ τ − − = → = = → = → = + (A7.10) Thay vào trong hệ phương trình: 1( ) ln 2 1 2 g Cτ τ= − + + Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 61 ( ) ( ) 1 1 1 1 1( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 h ττ τ τ τ   − = − = − =  + + +  Áp dụng điều kiện biên: ( ) ( ) 1 1 1 1 1( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 h ττ τ τ τ   − = − = − =  + + +  (A7.11) ( ) ( ) 1 1 1 1 1( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 h ττ τ τ τ   − = − = − =  + + +  (A7.12) Như vậy ta đã tìm được dạng chuẩn của toán tử ( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp exp ln 2 1 ( ) exp .2 1 2 2 1M M N M N Mτ ττ ττ τ+ +− −     − + + = − +     + +      (A7.13) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 62 Phụ lục 8: Chuyển toán tử Hamilton qua biểu diễn toán tử sinh –hủy 2 22 2 ( ) 2 2 0 1 ˆ 2 t x yZ eH dt x y tpi +∞ − + ∂ ∂ = − + − ∂ ∂  ∫ ( ) ( ) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp 4 2 Z dt tH M M N M N M t ω ωpi +∞ + +−  = − + − − + +    ∫ ( ) ( ) 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp 4 dH M M N Z M N Mω ω τ τ pi τ +∞ + + = − + − − − + +  ∫ với toán tử có dạng hàm mũ ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆexpS N M Mτ τ + = − + +  có thể đưa về dạng chuẩn như sau ( xem phụ lục 5): ( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆexp exp ln 2 1 ( ) exp 2 1 2 2 1 S M N Mτ ττ τ τ τ +      = − − + −     + +      Khai triển S theo chuỗi Taylor ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ˆ ln 1 2 2 0 0 2 ˆ ˆ2 /2 /2 0 0 0 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ! ! 1 2 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 ! ! 1 2! 1 2 1 2 ˆ ˆ i j i N j i j i i j i ii j N N i i j i j S M e M i j M M M M i ji S S ττ τ τ τ τ ττ τ + ∞ ∞ − + + = = + ∞ ∞ ∞ + + = = = ≠ −  =  +  − −    = +   + +   + + = + ∑∑ ∑ ∑∑ Khi đó ta có thể tách Hamiltonian thành hai thành phần: ( ) ( ) ( ) 2 0 ˆ2 / 2 00 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 4 1 2! 1 2 i i i N i dH N Z M M i ω ω τ τ pi ττ τ +∞ ∞ + =   = −  +  + ∑∫ , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ˆ / 20 00 12 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ! ! 1 2 1 2 i j i j i j N i j i j dV M M Z M M i j ω ω τ τ pi ττ τ + ++∞ ∞ ∞ + + = = ≠ −   = − + −  +  + ∑∑∫ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 63 Phụ lục 9: Chuẩn hóa bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán exciton hai chiều Trước hết, ta chọn bộ hàm sóng của dao động tử điều hòa (vì hàm này chắc chắn là nghiệm riêng của các toán tử trung hòa nên sẽ là nghiệm riêng của 0ˆH ) ( ) ( ) ( )ˆˆ, 0 ,yx x y nn x y n n x yn n C a b ω ω + + = , trong đó ,x yn n là các số nguyên dương và 0 là trạng thái chân không được định nghĩa: ( ) ( )ˆˆ 0 , 0, 0 , 0x y x ya bω ω ω ω= = ; và điều kiện chuẩn hóa là 0 0 1= . Như vậy nghiệm riêng của phương trình Schrödinger ta sẽ viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector sóng trên: ( ) ( ) ( ) , , ˆ ˆ, 0 ,yx x y x y x y x y nn n n x y n n x y n n n n C n n C a bψ ω ω+ += =∑ ∑ . Nhận xét: tổng số mũ của hai toán tử ˆˆ ,a b+ + là x yn n+ . (*) Mặt khác do toán tử ˆzL là đại lượng bảo toàn nên hàm riêng của phương trình Schrödinger phải đồng thời là hàm riêng của toán tử này: ˆ zL mψ ψ= , với ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i b a a b+ += − . Ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 11 1 , ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0 , ˆ ˆ ˆ ˆ 0 , . yx x y y yx x x y nn z x y n n n nn n x y x y n n L Ci b a a b a b Ci n a b n a b ψ ω ω ω ω + + + + + − − ++ + + + = −   = −    ∑ ∑ Nhận xét: tổng số mũ của hai toán tử ˆˆ ,a b+ + vẫn là x yn n+ .(**) Như vậy, từ hai nhận xét (*) và (**), kết hợp với công thức khai triển nhị thức Newton, ta có thể chọn dạng của hàm sóng cơ sở như sau: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 64 ( )22 )ˆ ˆˆ ˆ, [( ) ( ] 0mkkmk m C a b a ib+ + + += + ± . Xét: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 3 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = , , , ... , ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , k k k k k k k k k k k a M M a a M M a a M M M a M M a a M M M a M M M a M M M a M a M a a a b − − + + + + + + + + − − − − + + + + + + + + + + + + + +     = + = + +                + + + + +            = +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 ˆ2 ˆ ˆ , 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ... 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 . k k k k k k k a a M a M M a a M M a M a k M a + + + − − + + + + + + − + + +   =     =    → = + + + = + Tính các toán tử sau: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 1 2 22 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 2 4 ( 1) ; k k k k k k k a M a M a k M a M a k M a a k M k k M a − + + + + − − − + + + + + + = + = + + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 22 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 2 4 ( 1)k k k k kb M M b k M b b k M k k M b− − −+ + + + + + += + + + − ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 22 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 1 4 ( 1) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 ( 1) ; k k k k k k k M M M a b k M a a b b k k M a b M M k M N k k M − − + + + + + + + + − − + + +  → = + + + + + − +   = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 ;k k ka ib M M a ib k M a ib−+ + + + +± = ± + ± ( ) ( ) ( ) ( )1 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2k k ka a M M a a k M a−+ + + + + += + ; ( ) ( ) ( ) ( )21ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2k k kb b M M b b k M b−+ + + + + += + ; ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 1 4 4k k k k k kN M a a b b M M a a b b k M M N k M+ + + + + + + + + += + + = + + + = + Tính Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 65 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 0 2 0m m mk k kkm km kma k m C a M a ib C M a a ib kC M a a ib−+ + + + + + + + + += ± = ± + ± ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 0m mk kkm kma k m C a M a ib C M a a ib+ + + + + + + + += ± = ± ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, 0 0m mk kkm kmM k m C M M a ib C M a ib++ + + + + + + += ± = ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1, ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 2 0 4 ( 1) 0 , 4 1, . m m mk k k km km km km k m M k m C M M a ib kC M N a ib k k C M a ib Ck k m k m C − − + + + + + + + + + = − = ± + ± + − ± = + −  Tính : ( ) 1 1, , , ˆ ˆ , 4 1, 4 ( 1)( 2)...( 1)( )( 1)...( 1) , !( )! 4 , .( )!( )! j jkm k m j km k j m j km k j m CM k m k k m M k m C Ck k k k j m k m k m k j k j m C k m k C k j m k j m k j C − − − − = + − = − − − + + + − + − + − + = − − + − ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ } ( ) 1 , 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 0 2 , 1 m mk k km km k m a ib k m C M a ib a ib k M a ib a ib Ck m k m C − + + + + + + + + − = ± + ± = + − ∓ ∓ ∓ Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 1 , ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 , 1 ... ! 2 , . ! l l km k m l km k m l C a ib k m k m a ib k m C k m C k m l Ck m l − − − = + − = + = − + − ∓ ∓ Từ điều kiện chuẩn hóa ta thu được như sau: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 66 ( ) ( ) ( )  2 0, 2 0, 0, 1 2 2 ˆ ˆ ˆ, , 0 , !( )! ˆ ˆ4 0 0, ! !( )! 4 2 ! 0 0 ! 2 !( )! 1 m k km mk km m mk km m m k m km m k k m C a ib M k m k m k C a ib m m C k m k C m C m C k m k C = + = + = + = = + = ∓ ∓ , 1 2 2 !( )!k m mk C k m k = + . Vậy ta thu được hàm sóng sau khi chuẩn hóa có dạng: ( ) ( )1 ˆˆ ˆ, 0 2 2 !( )! mk mk k m M a ib k m k + + + = ± + . Tính các tác dụng của các toán tử lên hàm sóng này: ( ) ( )( ) ( ) ˆ , 2 1, ; ˆ , 2 1 1 1, ; ˆ , 2 2 1 , . M k m k k m k m M k m k k m k m N k m k m k m + = + − = + + + + = + + Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 67 Phụ lục 10: Các thành phần ma trận cho bài toán exciton hai chiều Từ điều kiện chuẩn hoá ta thu được bộ hàm cơ sở cho nguyên tử hydro như sau: ( ) ( )1 ˆˆ ˆ, 0 2 2 !( )! mk mk k m M a ib k m k + + + = ± + . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ˆ , 2 2 1 , ; ˆ , 2 1, ; ( )! ! ˆ , 2 , ;( )! ! ˆ , 2 1 1 1, ; ! ! ˆ , 2 , . ! ! j j i i N k m k m k m M k m k k m k m k k m M k m k j m k j k m j M k m k k m k m k i k m i M k m k i m k k m + + = + + = + − + = − − + − = + + + + + + + = + + * Tính thành phần ma trận của toán tử ˆS Do toán tử ˆS đựơc tách làm hai thành phần, ta tiến hành tính lần lượt các thành phần ma trận của toán tử ˆS là 1 2ˆ ˆS ,S như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 ˆ2 /2 0 2 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0 1 1 ˆ ˆ ˆ , , 1 2! 1 2 ( )! ! ! !1 12 2 , 1 2 ( )! ! ! !! 1 2 ( )! !1 12 ( )! !! 1 2 i i i N i ik i i k i m i k i k m i S k m M M k m i k k m k k m k m k i k m i k i k m ii k k m k i k m ii τ τ τ τ τ τ τ τ ∞ + = − + + = + + =   −  =   +  +   + + −  =   + − + − − + −  +   +  = −   − + − +  ∑ ∑ ∑ ,k m Thành phần 2ˆS : Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 68 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ˆ /2 0 0 2 2 1 0 0 1 1 ˆ ˆ ˆ , , ! ! 1 2 1 2 ( )! ! ! !1 12 2 , ! ! 1 2 ( )! ! ! !1 2 ( )! ! ! !1 2 ! ! ( i j i j N i j i j i jk j i k j m i j i j i j S k m M M k m i j k k m k i j k m i j k i j m i j k j k m j k j k m j k k m k i j k m i j i j k j τ τ τ τ τ τ τ + ∞ ∞ + = = ≠ + ∞ − + + = = ≠ + −  =  +  + + + − + + − −  + − + − + − − + −  + + + − + + − = − − = ∑∑ ∑∑ ( ) ( )( )( ) 2 10 0 1 ,)! ! 1 2 k k j i m i j i j k i j m k m j τ ∞ − + + + = = ≠ + − + − + ∑∑ Khi đó ta tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 ˆ2 /2 0 2 2 2 1 0 1 2 2 2 1 0 1 1 ˆ ˆ ˆ , , , , 1 2! 1 2 ( )! !2 1 , ,( )! !! 1 2 ( )! !2 1 ( )! !! 1 2 i i i N i ik k m i ik k m i m k S k m m k s M M k m i k k m m k k m k i k m ii k k m k i k m ii τ τ τ τ τ τ τ ∞ + = + + = = + + =   −  = +   +  +  + − = − + − + + − = − + − + ∑ ∑ ∑  Tính ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ˆ /2 0 0 1 4 4 20 0 2 1 1 ˆ ˆ ˆ , , , , ! ! 1 2 1 2 ( )! ! ! !1 2 1 , , ! ! 1 2 ( )! ! 1 2 1 2 ! ! 1 2 i j i j N i j i j i jk s k k j mi j i j m k s S k m m k s M M k m i j k k m k i j k m i j m k s k i j m i j k j k m j i j τ τ τ τ τ τ τ τ + ∞ ∞ + = = ≠ ++ − + + = = ≠   −  + = +   +  +    + + − + + − −  = + + − + − + −  + − = + ∑∑ ∑∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,2 2 1 0 0 2 2 1 ( )! ! ! ! 1 ( )! ! 1 2 ( )! ! ! !2 1 !( )! ( )! ! 1 2 i jk s k s i jk j m i j i j i sk s k s m i s k k m k i j k m i j k j k m j k k m k s k m s i i s k s i k m s i δ τ τ τ ++ − − + + = = ≠ − + + + + = + + − + + −   − + −  + + + + + − = − + − + + − + ∑∑ ∑ * Tính các phần tử ma trận: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 69 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , 0 1 0 2 2 2 1 00 2 2 2 1 0 0 2 ˆˆ ˆ , , , , 4 ( )! !22 12 2 1 4 ( )! !! 1 2 ( )! ! 22 12 1 2 2 2 ( )! !! 1 2 km km ik k i i k m i k m dH m k H k m m k N Z S k m k k mdk m Z k i k m ii k k m k m Z d k i k m ii ω ω τ pi τ τω ω τ pi τ τ τω ω τ pi τ +∞ +∞ + + = +∞ + + = = = − + − = + + − − + − + + − = + + − − + − + ∫ ∑∫ ∑ ∫ Đặt 2 2 d t dt ττ τ = → = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 2 2 1 0 0 2 2 12 0 ( )! ! 212 1 2 2 ( )! !! 1 2 ( )! !1 = 2 1 2 ( )! !! i k k k m i k k i k m i k k m H k m Z dt k i k m ii k k m k m Z I k i k m ii τω ω pi τ ω ω +∞ + + = + + = + − = + + − − + − + + + + − − + − ∑ ∫ ∑ với ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 00 , 1 (2 2 3)!! 2 1 !!2 (1 ) 2 ( 1)! q q p p p q p q Z t p q qq dtp t pI pi pi +∞ − > ≥ ∈ − − − − − = = + −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2, , , , 0 , 1 , 1 ,2 1 0 00 2 ˆˆ ˆ ˆ , , , , 4 2 2 1 1 4 ( )! ! ! !2 1 2 1 ! ! 1 2 ( )! ! 1 2 kmkm k s m k s m k s k k s k i jk k s kk s m i j i j dH H m k s V k m m k s M M Z S k m k k m k k m k k m k s k m sdZ i j k s i k m s i ω ω τ pi τ ω δ δ ω τ τ δ pi ττ τ +∞ + + + + − + + ++∞ ∞ + ++ + + = = ≠ = = + = + − + − = − + + + + + + + + + −  −  + + − + + −  + ∫ ∑ ∑∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 ,1 22 2 120 , 1 ,1 2 2 1 1 1 2 ( )! ! ! !1 2 !( )! ( )! ! 1 1 1 2 ( )! ! ! !1 ! ! ( )! ! i j s s i s k s k s m i s s s k m s k k m k k m k k m k s k m s t Z i i s k s i k m s i t k k m k k m k k m k s k m s Z I i i s k s i k m s i ω δ δ ω pi ω δ δ ω − − − +∞+ + + + = − + + + = − + + + + + + + + + − − − + − + + − + = − + + + + + + + + + − − + − + + − ∑ ∫ k s i s i s + − = ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , , , , ,k m k s m k s m k m k m k s mH H H k k s− − += = = − Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 70 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 , 1 2 2 1 ( )! ! 1 ! 1 !11 1 2 ! 1 ! ( 1 )! 1 ! k i k k k m i k k m k k m H k k m Z I i i k i k m i ω ω + − + + + = + + + + = − + + + − − + − + + − ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 , 2 1 ( )! ! ! !1 ! ! ( )! !s k s i s k k s k m s i s k k m k s k m s H Z I i i s k s i k m s i ω > + − + + + + = + + + + = − − + − + + − ∑ * Xác định ( )f ω : Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 12 0 ( )! !1 = 2 1 2 ( )! !! i k kk k m i k k k m H k m Z I k i k m ii ω ε ω + + = + = = + + − − + − ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 12 0 ( )! !1 10 2 1 2 ( )! !2 ! in k m i k k k mZk m I k i k m ii ε ω ω + + = +∂ = = + + − ∂ − + −∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 12 0 !!1 .(2 1) ( )! !! i k k m i m kkZ I k m k i m k ii ω + + =  + =   + + − + −   ∑ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 71 Phụ lục 11: Hàm Gamma Hàm Gamma được định nghĩa bằng đẳng thức tích phân sau đây: ( ) ( )1 0 0xe x dtαα α ∞ − −Γ = >∫ Tính tích phân từng phần, ta có: ( ) ( ) 1 100 0 0 01 x x x x xe x dx x d e x e e x dx e x dxα α α α αα α α∞ ∞ ∞ ∞− − − ∞ − − − −Γ + = − = − + =∫ ∫ ∫ ∫ hay ( ) ( )1α α αΓ + = Γ Khi 1α = và 1 2 α = , hàm ( )αΓ có giá trị: ( ) 11 1, 2 pi  Γ = Γ =    Từ đó ta xác định được giá trị của hàm ( )αΓ đối với các α nguyên và bán nguyên như sau: ( ) ( )1 !n nΓ = − ( )2 1 !!1 2 2n n n pi − Γ + =    trong đó n=1,2,3... Đối với các giá trị khác của α , hàm ( )αΓ có thể tìm trong các bảng riêng. Tích phân có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 00 , 1 11 2 2 2 (1 ) q q p p q p q Z p q qtq dtp t p I pi pi +∞ > ≥ ∈     − Γ − − Γ +    −     = = + Γ∫ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 72 với 1 1 1 (2 2 3)!!1 2 2 2 p q p qp q p q pi − − − −   Γ − − = Γ − − + =        , ( )2 1 !!1 2 2q q q pi − Γ + =    , ( ) ( 1)!p pΓ = − khi đó tích phân có dạng: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 00 , 1 (2 2 3)!! 2 1 !!2 (1 ) 2 ( 1)! q q p p p q p q Z t p q qq dtp t pI pi pi +∞ − > ≥ ∈ − − − − − = = + −∫ , với , 1, 2,3...p q = Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 73 Phụ lục 12: Lập trình fortran cho mức năng lượng của exciton hai chiều c Calculate Exciton2D excited energy PROGRAM MAIN integer i,m,k double precision w,Hmatrix * From the mininum of energy -> omega=Pi w=0.0021 m=6 k=0 CALL MAINSUB(w,k,m) END * MAIN subroutine calculate approximated energy SUBROUTINE MAINSUB(w,k,m) INTEGER Z,i,j,s,L,m,k DOUBLE PRECISION w,Hmatrix,E,C,H,tuso,mauso,temp,msum PARAMETER (smax=100,kmax=101) * Chu y thay kmax=smax+k DIMENSION E(0:smax),C(0:kmax,0:smax),H(0:kmax,0:kmax) Z=1 * Initialize matrix Hmatrix DO i=0,smax+k write(*,*) i DO j=0,i H(i,j)= Hmatrix(w,Z,m,i,j) H(j,i)=H(i,j) ENDDO ENDDO WRITE(*,*) 'Hmatrix done!' * Initialize C coefficient matrix DO i=0,smax DO j=0,smax+k C(j,i)=0.0 ENDDO C(k,i)=1.0 ENDDO WRITE(*,*) 'C matrix done!' Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 74 * Initialize E(s) DO i=0,smax E(i)=0.0 ENDDO E(0)=H(k,k) * Calculate E(s): Energy in s th approximation OPEN(10,FILE='Energy.dat',STATUS='Unknown') WRITE(10,*) 's=0','E=',E(0) DO s=1,smax * Calculate C(L,s) DO L=0,s+k IF (L.NE.k) THEN tuso=H(L,k) mauso=E(s-1)-H(L,L) DO i=0,k+s IF (i.NE.k.AND.i.NE.L) THEN tuso=tuso+C(i,s-1)*H(L,i) ENDIF ENDDO IF (mauso.EQ.(0.0)) STOP 'Error, division by zero' C(L,s)=tuso/mauso ENDIF ENDDO * Calculate E(s) from C(L,s) msum=0.0 DO L=0,k+s IF (L.NE.k) msum=msum+C(L,s)*H(L,k) ENDDO E(s)=H(0,0)+msum WRITE(10,*) 's=',s,'E=',E(s) ENDDO RETURN END * function calculate Hmatrix C Calculate elements of H matrix H(omega,Z,m,row,col) FUNCTION Hmatrix(w,Z,m,row,col) INTEGER Z,row,col,r,c,s,k,p,q,I,m1 DOUBLE PRECISION Hmatrix,w,H,msum,coeff1,coeff2 PARAMETER (pi=3.14159265358979323846) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 75 IF (row<0.OR.col<0) STOP 'Error! Wrong matrix indexes!' * Note: H(row,col)=H(col,row) IF (row.LT.col) THEN r=col c=row ELSE r=row c=col ENDIF s=r-c k=c m1=ABS(m) IF (s.EQ.0) THEN * Calculate Hkk msum= 0.0 p=2*k+m1+1 DO i=0,k msum=msum+coeff1(k,i,k+m1,i,p,2*i) ENDDO H=w/2.0*p-Z*SQRT(w*pi)*msum ELSEIF (s.EQ.1) THEN * Calculate Hk,k+1 msum= 0.0 p=2*k+m1+2 DO i=1,k+1 msum=msum & +coeff2(k,k+1,k+1-i,m1)*coeff1(k,i-1,k+1,i,p,2*i-1) ENDDO H=(-1.0)*w/2.0*SQRT((k+1.0)*(k+m1+1.0))-Z*SQRT(w*pi)*msum ELSE * Calculate Hk,k+s,s>1 msum= 0.0 p=2*k+s+m1+1 DO i=s,k+s msum=msum & +coeff2(k,k+s,k+s-i,m1)*coeff1(k,i-s,k+s,i,p,2*i-s) ENDDO H=(-1.0)*Z*SQRT(w*pi)*msum ENDIF Hmatrix=H RETURN Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 76 END function calculate coefficient 1, 2 c function coeff1 FUNCTION coeff1(n1,k1,n2,k2,p,q) INTEGER n1,k1,n2,k2,p,q INTEGER i1,i2,i3,i4,i5,ii1,ii2,ii3,ii4,ii5 DOUBLE PRECISION coeff1,temp,kq,maxnum,minnum maxnum=1.79769D308 minnum=3.00000D-308 kq=1.0 ii1=1 ii2=1 ii3=1 ii4=1 ii5=1 11 IF ((ii1.LE.k1.OR.ii2.LE.k2.OR.ii3.LE.(p-q-1).OR.ii4.LE.q) & .OR.ii5.LE.(p-1)) THEN DO i1=ii1,k1 temp=kq*(n1-i1+1.0)/DBLE(i1) IF (temp.GT.maxnum.OR.temp.LT.minnum) EXIT kq=temp ENDDO ii1=i1 DO i2=ii2,k2 temp=kq*(n2-i2+1.0)/DBLE(i2) IF (temp.GT.maxnum.OR.temp.LT.minnum) EXIT kq=temp ENDDO ii2=i2 DO i3=ii3,(p-q-1) temp=kq*(2.0*i3-1.0) IF (temp.GT.maxnum.OR.temp.LT.minnum) EXIT kq=temp ENDDO ii3=i3 DO i4=ii4,q temp=kq*(2.0*i4-1.0) IF (temp.GT.maxnum.OR.temp.LT.minnum) EXIT kq=temp ENDDO ii4=i4 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 77 DO i5=ii5,p-1 temp=kq/(2.0*i5) IF (temp.GT.maxnum.OR.temp.LT.minnum) EXIT kq=temp ENDDO ii5=i5 GOTO 11 ENDIF IF (q.GT.0.AND.MOD(q,2).NE.0) kq=kq*(-1.0) coeff1=kq RETURN END c function coeff2 FUNCTION coeff2(k1,k2,k3,m) INTEGER i,k1,k2,k3,m DOUBLE PRECISION coeff2,temp temp=1.0 DO i=1,m temp=temp*SQRT(DBLE((k1+i)*(k2+i)))/DBLE(k3+i) ENDDO coeff2=temp END Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1]. Hoàng Dũng (1999), Nhập môn cơ học lượng tử- Tập I, Nhà xuất bản Giáo dục [2]. Vũ Văn Hùng (2004), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Giáo dục. [3]. Lê Văn Hoàng (2004), Phương pháp đại số giải phương trình Schrödinger cho nguyên tử Hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ, Đề tài Khoa học công nghệ cấp cơ sở CS.2004.23.59 [4]. Lê Văn Hoàng (2005), Phổ năng lượng trạng thái exciton của khí điện tử hai chiều tạo ra do hệ nhiều lớp GaAs/GaAsAl trong từ trường đều, Đề tài KHCN cấp bộ B2005.23.72. [5]. Đặng Quang Khang (2006), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Khoa Học Kĩ Thuật. [6]. Nguyễn Hữu Mình (2007), Bài tập cơ học lượng tử tâp II, Nhà xuất bản Giáo dục. [7]. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), Phương pháp toán tử giải phương trình Schodinger cho exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kỳ, Luận văn Thạc sĩ. Khoa Vật lý trường Đại học KHTN Tp. Hồ Chí Minh Tiếng Anh [8]. Le Van Hoang, Hoang Do Ngoc Tram, Lu Thanh Trung (2005), Analytical Solution of 2D Exciton in a Magnetic Field, Communications in Physics, Supplement 2005, p.101-106 [9]. S. H. Patil (2008) The helium atom and isoelectronic ions in two dimensions, Eur. J. Phys.29(2008)517–525. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 79 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1 Chương 1: GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ (OM) QUA BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA .................................................................. 5 1.1 Sơ đồ Rayleigh- Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng ............... 5 1.2 Phương pháp nhiễu loạn và dao động tử phi điều hòa.................................. 8 1.3 Phương pháp toán tử cho bài toán dao động tử phi điều hòa .................... 10 Chương 2: EXCITON - BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU ...................................... 17 2.1 Exciton .............................................................................................................. 17 2.1.1 Khái niệm exciton ............................................................................................ 17 2.1.2 Phân loại exciton .............................................................................................. 17 2.1.3 Tính chất của exciton....................................................................................... 18 2.2 Bài toán exciton hai chiều ............................................................................... 19 2.2.1 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều ......................................... 19 2.2.2 Phương pháp giải tích cho bài toán exciton hai chiều.................................. 20 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU..................................................................................................... 25 3.1 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều biểu diễn qua toán tử sinh hủy.......................................................................................... 25 3.2 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton hai chiều ..................................... 28 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ......................................................... 36 PHỤ LỤC............................................................................................................................ 37 Phụ lục 1: Các toán tử sinh – hủy một chiều........................................................... 37 Phụ lục 2: Dạng chuẩn (normal) của một số toán tử trong luận văn.................... 41 Phụ lục 3: Yếu tố ma trận của toán tử Hamilton của dao động tử Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 80 phi điều hòa............................................................................................ 44 Phụ lục 4: Phương trình Schrödinger cho bài toán exciton hai chiều. ................ 47 Phụ lục 5: Hamilton cho bài toán exciton hai chiều ............................................... 50 Phụ lục 6: Các toán tử sinh – hủy hai chiều ............................................................ 54 Phụ lục 7 : Dạng chuẩn của toán tử { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + + ....................... 58 Phụ lục 8: Chuyển toán tử Hamilton qua biểu diễn toán tử sinh –hủy ............... 61 Phụ lục 9: Chuẩn hóa bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán exciton hai chiều ............ 62 Phụ lục 10: Các thành phần ma trận cho bài toán exciton hai chiều ................... 66 Phụ lục 11: Hàm Gamma.......................................................................................... 70 Phụ lục 12: Lập trình Fortran cho năng lượng exciton hai chiều......................... 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 77