Luận văn Quá trình Lévy và ứng dụng trong tài chính

giá mô hình)2 số quyền chọn . 4.4 Các kết quả vận dụng Ta sử dụng giá quyền chọn mua gốc S&P 500 vào ngày 01 − 06 − 2007 từ Yahoo Finance được ghi ở bảng phụ lục A. Giá thị trường được chọn từ tháng 6 − 2007 tới tháng 12− 2008. Giá thực thi từ 1300 tới 2000 với gia số 25 từ 1300 tới 1700 và gia số 100 từ 1700 tới 2000. Chỉ số giá lúc đóng cửa là 1536.34. Một số quyền chọn có hai chỉ số giá khác nhau với cùng thời điểm đáo hạn và giá thực thi. Trong trường hợp đó, ta chọn chỉ số giá có lượng giao dịch cao nhất. Ta không đưa vào giá quyền chọn nhỏ hơn 1. 4.4.1 Sự lựa chọn dữ liệu Có 4 kiểu giá quyền chọn mua khác nhau: giá đóng cửa (the close price), giá đặt mua (the bid price), giá chào bán (the ask price) và trung bình của giá đặt mua và giá chào bán (mean of bid and ask price). Với một số quyền chọn có lượng giao dịch ít thì giá đóng cửa và giá mua bán có sự khác biệt lớn. Với các quyền chọn giao dịch thường xuyên thì giữa giá đặt mua và giá chào bán có sự phù hợp; còn các quyền chọn giao dịch ít, thời điểm giao dịch cuối có thể từ rất lâu nên sự giao dịch cuối không biểu thị giá trị thực của quyền chọn. 107 Chương 4. Sự vận dụng mô hình ngược Hình 4.1 Tập dữ liệu quyền chọn Từ hình ở trên ta thấy giá đóng cửa có nhiều khoảng lệch so với giá đặt mua và giá chào bán. Do đó ta kết luận giá đặt mua và giá chào bán sử dụng tốt hơn giá đóng cửa. Bảng kết quả sự vận dụng mô hình NIG sau đây cho ta thấy việc sử dụng giá đặt mua, giá chào bán và sử dụng trung bình của giá đặt mua và giá chào bán là như nhau: NIG Giá mua Giá bán Trung bình của giá mua và bán APE 0.0176 0.0137 0.0140 AAE 2.2634 1.7956 1.8120 ARPE 0.1089 0.0840 0.0894 RMSE 0.9162 0.3381 0.1501 Bảng 4.1 Thống kê sự vận dụng mô hình NIG Vậy sử dụng giá đặt mua, giá chào bán và trung bình của giá đặt mua và giá chào bán tốt hơn giá đóng cửa. Do đó ta sẽ sử dụng trung bình của giá đặt mua và giá chào bán như dữ liệu quyền chọn thị trường để vận dụng mô hình. 4.4.2 Kết quả vận dụng mô hình Hai bảng sau chỉ ra sự vận dụng các tham số mô hình cùng với các giá trị tương ứng của APE, AAE, ARPE và RMSE. 108 Chương 4. Sự vận dụng mô hình ngược Mô hình Tham số Chuẩn σ 0.1531 CGMY C G M Y 0.0156 0.0767 7.5500 1.29960 NIG α β θ 5.0364 −3.3199 0.0881 Meixner α β θ 0.3400 −1.4900 0.2900 Bảng 4.2 Kết quả vận dụng Chuẩn CGMY Meixner NIG APE 0.0575 0.0121 0.0120 0.0140 AAE 7.4543 1.5632 1.5553 1.8120 ARPE 0.3093 0.0793 0.0846 0.0894 RMSE 1.0244 0.0026 0.0426 0.1501 Bảng 4.3 APE, AAE, ARPE và RMSE cho sự vận dụng Sự vận dụng cho các quá trình CGMY, NIG và Meixner là như nhau về chất lượng và thực hiện tốt hơn vận dụng đối với mô hình chuẩn. Hình 4.2 Sự vận dụng mô hình chuẩn cho giá quyền chọn S&P 500 109 Chương 4. Sự vận dụng mô hình ngược Hình 4.3 Sự vận dụng mô hình NIG cho giá quyền chọn S&P 500 Hình 4.4 Sự vận dụng mô hình CGMY cho giá quyền chọn S&P 500 110 Chương 4. Sự vận dụng mô hình ngược Hình 4.5 Sự vận dụng mô hình Meixner cho giá quyền chọn S&P 500 111 Chương 5 Kỹ thuật mô phỏng 5.1 Sự mô phỏng của các quá trình ngẫu nhiên cơ bản 5.1.1 Sự mô phỏng của chuyển động Brown tiêu chuẩn Vì chuyển động Brown tiêu chuẩn B = {Bt, t ≥ 0} có các số gia độc lập và có phân phối chuẩn nên việc mô phỏng quá trình này tương đối dễ. Ta lấy bước thời gian với cỡ ∆t (giả sử ∆t rất nhỏ). Ta mô phỏng giá trị của chuyển động Brown tại các thời điểm {n∆t, n = 0, 1, . . .}. Ta có B0 = 0, Bn∆t = B(n−1)∆t + √ ∆tvn, n ≥ 1, trong đó {vn, n = 1, 2, . . .} là một dãy số ngẫu nhiên chuẩn. Tham khảo thêm trong Ja¨ckel (2002) [39] các biểu đồ mô phỏng và các ứng dụng trong lĩnh vực tài chính. 5.1.2 Sự mô phỏng của một quá trình Poisson Sự mô phỏng của một quá trình Poisson N = {Nt, t ≥ 0} với tham số cường độ λ có thể được thực hiện bằng nhiều cách khác nhau. Ta xét phương pháp phân bố mũ (exponential spacings) và phương pháp cổ điển dựa trên các đại lượng ngẫu nhiên đồng nhất (uniform random variates). >Phương pháp phân bố mũ Phương pháp phân bố mũ sử dụng dữ kiện thời điểm tới (inter-arrival) của các bước nhảy của quá trình Poisson theo một phân phối mũ Exp(λ) (expoinential distribution) với trung bình λ−1, tức là một phân phối Gamma(1, λ). Một số ngẫu nhiên Exp(λ), en, có thể tìm được từ số ngẫu nhiên Uniform(0, 1), un, bởi en = − log(un) λ . 112 Chương 5. Kỹ thuật mô phỏng Đặt s0 = 0, sn = sn−1 + en, n = 1, 2, . . . , khi đó ta có thể lấy mẫu quỹ đạo của một quá trình Poisson ở các thời điểm {n∆t, n = 0, 1, . . .}: N0 = 0, Nn∆t = sup(k : sk ≤ n∆t), n ≥ 1. >Phương pháp đều Nếu ta cần mô phỏng một quá trình Poisson với tham số cường độ λ > 0 đến một thời điểm T > 0, ta có thể tiến hành như sau. Đầu tiên đưa ra một đại lượng ngẫu nhiên N với phân phối Poisson(λT ). Kế tiếp ta mô phỏng N số ngẫu nhiên độc lập đều u1, u2, . . . , uN . Ký hiệu bởi u(1) < u(2) < · · · < u(N) thống kê theo thứ tự của dãy này. Khi đó các điểm nhảy của quá trình Poisson là các điểm Tu(1), Tu(2), . . . , Tu(N), tức là quá trình Poisson có giá trị 0 với điểm nhảy t < Tu(1). Tại điểm nhảy t = Tu(1), quá trình Poisson nhảy đến 1 và dừng ở đó cho đến khi t = Tu(2), tại t = Tu(2) nó nhảy đến 2 v.v... 5.2 Sự mô phỏng của quá trình Lévy Để mô phỏng quá trình Lévy ta sử dụng quá trình Poisson phức hợp xấp xỉ quá trình Lévy. Để đơn giản, ta có thể thay các bước nhảy rất nhỏ này bằng giá trị trung bình của chúng. Trong một vài trường hợp, ta có thể thay thế các bước nhảy này bởi một chuyển động Brown. Phương pháp này được đề xuất trên cơ sở trực giác và cho một vài trường hợp đặc biệt bởi Rydberg (1997) [45]. 5.2.1 Phép xấp xỉ Poisson phức hợp >Phương pháp tổng quát Đặt X là một quá trình Lévy với bộ ba Lévy [γ, σ2, ν]. Đầu tiên, ta chọn một vài ε ∈ (0, 1) đủ nhỏ. Tiếp theo ta tạo ra một phân hoạch của R\[−ε, ε] có dạng sau bằng cách chọn các số thực a0 < a1 < · · · < ak = −ε, ε = ak+1 < ak+2 < · · · < ad+1. Các bước nhảy lớn hơn ε được xấp xỉ bởi tổng của các quá trình Poisson độc lập theo cách sau. Ta lấy một quá trình Poisson độc lập N (i) = {N (i)t , t ≥ 0} với mỗi khoảng [ai−1, ai), 1 ≤ i ≤ k và [ai, ai+1), k + 1 ≤ i ≤ d với cường độ λi cho bởi độ đo Lévy của từng khoảng. Hơn nữa, ta chọn một điểm ci (cỡ nhảy) trong mỗi khoảng sao cho phương sai của quá trình Poisson trùng với thành phần phương sai của quá trình Lévy ứng với khoảng này. >Xấp xỉ các bước nhảy nhỏ bởi giá trị trung bình của chúng Tiếp theo ta xét các bước nhảy rất nhỏ. Phương pháp đơn giản đầu tiên là thay chúng bởi giá trị trung bình. Có nghĩa là ta xấp xỉ quá trình Lévy X = {Xt, t ≥ 0} bằng quá 113 Chương 5. Kỹ thuật mô phỏng trình X(d) = {X(d)t , t ≥ 0} bao gồm một chuyển động Brown B = {Bt, t ≥ 0} và d quá trình Poisson độc lập N (i) = {N (i)t , t ≥ 0}, i = 1, 2, . . . , d, với tham số cường độ λi: X (d) t = γt+ σBt + d∑ i=1 ci(N (i) t − λit1|ci|<1), λi = { ν([ai−1, ai)) với 1 ≤ i ≤ k, ν([ai, ai+1)) với k + 1 ≤ i ≤ d, (5.1) c2iλi = {∫ ai− ai−1 x2ν(dx) với 1 ≤ i ≤ k,∫ ai+1− ai x2ν(dx) với k + 1 ≤ i ≤ d, (5.2) Nếu quá trình gốc không có thành phần Brown (σ = 0), khi đó ta cũng không tiến hành xấp xỉ quá trình được. >Xấp xỉ các bước nhảy nhỏ bởi một chuyển động Brown Ta viết σ2(ε) = ∫ |x|<ε x2ν(dx). Ta đưa tất cả các bước nhảy nhỏ hơn ε vào thành phần Brown của X. Để cho chính xác, ta xấp xỉ X bằng một quá trình X(d) gồm có một chuyển động Brown B = {Bt, t ≥ 0} và d quá trình Poisson độc lập N (i) = {N (i)t , t ≥ 0}, i = 1, 2, . . . , d, với tham số cường độ λi. Chỉ có thành phần Brown là khác ở trên. Ta có X (d) t = γt+ σ˜Bt + d∑ i=1 ci(N (i) t − λi1|ci|<1t), trong đó σ˜2 = σ2 + σ2(ε), và λi và ci, i = 1, 2, . . . , d, như trong (5.1) và (5.2) ở trên. Asmussen và Rosin´ski (2001) [34] trình bày sự thảo luận chặt chẽ khi phép xấp xỉ cuối có giá trị. Xấp xỉ trên trở thành trường hợp này khi và chỉ khi với mỗi κ > 0 lim ε→0 σ(κσ(ε) ∧ ε) σ(ε) = 1. (5.3) Điều kiện trên được suy ra từ lim ε→0 σ(ε) ε =∞. (5.4) Mặt khác nếu độ đo Lévy của quá trình Lévy gốc không có các thành phần nhỏ trong lân cận nào đó của điểm gốc, khi đó điều kiện (5.3) và điều kiện (5.4) là tương đương. Các kết quả dựa trên tốc độ hội tụ của phép xấp xỉ ở trên được tìm thấy ở Asmussen và Rosin´ski (2001) [34]. 114 Chương 5. Kỹ thuật mô phỏng FCác trường hợp đặc biệt >Quá trình NIG. Trong Rydberg (1997) [45], ý tưởng thay thế các bước nhảy nhỏ bởi một chuyển động Brown được sử dụng cho trường hợp NIG. Từ điều kiện (5.4) ta có thể dễ dàng chỉ ra việc thay thế này có giá trị vì trong trường hợp này ta có σ(ε) ∼ √ 2αδ/piε1/2. >Quá trình Meixner. Đối với quá trình Meixner ta cũng có σ(ε) ∼ √ 2αδ/piε1/2. Do đó σ(ε)/ε → ∞ khi ε → 0 và ta có thể thay các bước nhảy nhỏ bởi một thành phần Brown trong phép xấp xỉ. >Quá trình CGMY. Một cách tương tự, đối với quá trình CGMY ta cũng có σ(ε)/ε → ∞ khi ε → 0 chỉ khi Y > 0. Vì vậy khi Y > 0 các bước nhảy nhỏ mới được thay thế bằng một thành phần Brown trong phép xấp xỉ. >Quá trình Gamma. Ở trường hợp này ta có σ(ε)/ε→√a/2 khi ε→ 0. Do đó phép xấp xỉ các bước nhảy nhỏ bởi một chuyển động Brown không thực hiện được. >Quá trình VG. Vì quá trình VG là hiệu của hai quá trình Gamma nên ta không thể thay các bước nhảy nhỏ bởi một thành phần Brown trong phép xấp xỉ. 5.3 Sự mô phỏng các quá trình đặc biệt 5.3.1 Quá trình Gamma Để mô phỏng một quá trình Gamma, ta có thể sử dụng một hàm sinh số ngẫu nhiên Gamma. FHàm sinh số ngẫu nhiên Gamma Đầu tiên ta chú ý khi X là Gamma(a, b) thì X/c với c > 0 là Gamma(a, bc). Như vậy ta chỉ cần một hàm sinh tốt cho các số ngẫu nhiên Gamma(a, 1). Kế tiếp, ta đưa ra hai hàm sinh có thể cho các số ngẫu nhiên Gamma(a, 1) (chỉ được sử dụng khi a ≤ 1.) Hàm sinh đầu tiên được gọi là hàm sinh Gamma Johnk; hàm sinh thứ hai là hàm sinh Gamma Berman. 115 Chương 5. Kỹ thuật mô phỏng Hàm sinh Gamma Johnk 1. Tạo ra hai số ngẫu nhiên độc lập đồng nhất u1 và u2. 2. Đặt x = u 1/a 1 và y = u 1/(1−a) 2 . 3. Nếu x+ y ≤ 1 ta tới bước 4, nếu không trở về bước 1. 4. Tạo ra một biến ngẫu nhiên Exp(1), tức là z = − log(u), với u là một số ngẫu nhiên đồng nhất. 5. Ta có được zx/(x+ y) như số ngẫu nhiên Gamma(a, 1). Hàm sinh Gamma Berman 1. Tạo ra hai số ngẫu nhiên độc lập đồng nhất u1 và u2. 2. Đặt x = u 1/a 1 và y = u 1/(1−a) 2 . 3. Nếu x+ y ≤ 1 ta tới bước 4, nếu không trở về bước 1. 4. Tạo ra hai số ngẫu nhiên độc lập đồng nhất u1 và u2. 5. Ta được −x log(u1u2) như số ngẫu nhiên Gamma(a, 1). >Sự mô phỏng của quá trình Gamma Ta dễ dàng mô phỏng quỹ đạo mẫu của một quá trình Gamma G = {Gt, t ≥ 0}, trong đó Gt theo luật phân phối Gamma(at, b). Ta mô phỏng giá trị của quá trình này tại các thời điểm {n∆t, n = 0, 1, . . .} như sau. Đầu tiên tạo ra các số ngẫu nhiên Gamma(a∆t, b) độc lập {gn, n ≥ 1} bằng các kỹ thuật đã mô tả ở trên. Vì ta giả sử ∆t là rất nhỏ nên trong hầu hết các trường hợp a∆t nhỏ hơn 1 và ta có thể sử dụng hàm sinh Berman hay hàm sinh Johnk. Khi đó G0 = 0, Gn∆t = G(n−1)∆t + gn, n ≥ 1. 5.3.2 Quá trình VG >Sự mô phỏng một quá trình VG như hiệu của hai quá trình Gamma Vì một quá trình VG có thể được biểu diễn như hiệu của hai quá trình Gamma, sự mô phỏng của quá trình VG là dễ dàng. Chính xác hơn, một quá trình VG X(VG) = {X(VG)t , t ≥ 0} với các tham số C, G, M > 0 có thể được phân tích là X (VG) t = G (1) t − G(2)t , trong đó G(1) = {G(1)t , t ≥ 0} là một quá trình Gamma với các tham số a = C và b = M và G(2) = {G(2)t , t ≥ 0} là một quá trình Gamma với các tham số a = C và b = G. 116 Chương 5. Kỹ thuật mô phỏng >Sự mô phỏng một quá trình VG như một chuyển động Brown biến đổi theo thời gian Ta có thể mô phỏng một quá trình VG như một chuyển động Brown biến đổi theo thời gian. Nhớ lại quá trình VG có thể được xem là chuyển động Brown thay đổi theo thời gian với độ dịch chuyển. Chính xác hơn, đặt G = {Gt, t ≥ 0} là một quá trình Gamma với tham số a = 1/ν > 0 và b = 1/ν > 0. Đặt B = {Bt, t ≥ 0} ký hiệu chyển động Brown tiêu chuẩn. Cho σ > 0 và θ ∈ R; khi đó quá trình VG X(VG) = {X(VG)t , t ≥ 0}, với các tham số σ > 0, ν > 0 và θ có thể được xác định như sau X (VG) t = θGt + σBGt . Do đó quỹ đạo mẫu của quá trình VG có thể nhận được bằng cách lấy mẫu của một chuyển động Brown tiêu chuẩn và một quá trình Gamma. Hình 5.1 Mô phỏng quỹ đạo của một quá trình VG 5.3.3 Quá trình TS Đối với phân phối TS, hàm mật độ và hàm sinh số ngẫu nhiên đều không có giá trị. Để mô phỏng ta phải sử dụng kỹ thuật khác. Rosin´ski (2001) [44] đã mô tả một phương 117 Chương 5. Kỹ thuật mô phỏng pháp dựa trên phương pháp loại trừ (rejection method). Ta xấp xỉ quỹ đạo của một quá trình TS X = {Xt, 0 ≤ t ≤ T} với các tham số a > 0, b ≥ 0 và 0 < κ < 1 bởi X (K) t = K∑ k=1 min ( 2 ( aT biΓ(1− κ) )1/κ , 2eiu˜ 1/κ i b1/κ ) 1(Tui<t), 0 ≤ t ≤ T, trong đó {en, n = 1, 2, . . .} là một dãy các số ngẫu nhiên Exp(1) độc lập; {un, n = 1, 2, . . .}, {u˜n, n = 1, 2, . . .} là dãy các số ngẫu nhiên Uniform(0, 1) độc lập và b1 < b2 < · · · < bi < · · · là các thời điểm tới của một quá trình Poisson với tham số cường độ là 1. Ta giả sử các chuỗi trên độc lập với nhau. Mặt khác khi K →∞ thì X(K) → X đều. Vì vậy ta có thể mô phỏng toàn bộ quỹ đạo một cách trực tiếp. Chú ý các số ngẫu nhiên {en}, {un}, {u˜n} và {bn} là các tham số độc lập. 5.3.4 Quá trình IG FHàm sinh số ngẫu nhiên IG Để mô phỏng một quá trình IG, ta có thể sử dụng hàm sinh số ngẫu nhiên IG được đề xuất bởi Michael et al. (1976) [41]. Để lấy mẫu từ phân phối ta thực hiện thuật toán sau. Hàm sinh IG của Michael, Schucany và Haas. 1. Tạo ra một số ngẫu nhiên chuẩn v. 2. Đặt y = v2. 3. Đặt x = (a/b) + y/(2b2)−√4aby + y2/(2b2). 4. Tạo ra số ngẫu nhiên đồng nhất u. 5. Nếu u ≤ a/(a + xb) thì ta được x như số ngẫu nhiên IG(a, b), ngược lại ta có a2/(b2x) như số ngẫu nhiên IG(a, b). Sự mô phỏng của quá trình IG sử dụng số ngẫu nhiên IG Ta dễ dàng mô phỏng quỹ đạo mẫu của một quá trình IG I = {It, t ≥ 0}, với It theo luật phân phối IG(at, b). Ta mô phỏng giá trị của quá trình này tại các thời điểm {n∆t, n = 0, 1, . . .} như sau. Đầu tiên tạo ra các số ngẫu nhiên IG(a∆t, b) độc lập {in, n ≥ 1}, khi đó I0 = 0, In∆t = I(n−1)∆t + in, n ≥ 1. 118 Chương 5. Kỹ thuật mô phỏng Hình 5.2 Mô phỏng quỹ đạo của một quá trình IG 5.3.5 Quá trình NIG >Sự mô phỏng một quá trình NIG như một chuyển động Brown biến đổi theo thời gian Tương tự như trường hợp quá trình VG, ta có thể mô phỏng một quá trình NIG như một chuyển động Brown biến đổi theo thời gian. Nhớ lại một quá trình NIG X(NIG) = {X(NIG)t , t ≥ 0} với các tham số α > 0, −α 0 có thể nhận được bởi một chuyển động Brown tiêu chuẩn thay đổi theo thời gian B = {Bt, t ≥ 0} với độ dịch chuyển và một quá trình IG I = {It, t ≥ 0} với các tham số a = 1 và b = δ √ α2 − β2. Ta có X (NIG) t = βδ 2It + δBIt . Do đó ta có thể nhận được quỹ đạo mẫu của quá trình NIG bằng cách lấy mẫu của một chuyển động Brown tiêu chuẩn và một quá trình IG. 119 Chương 5. Kỹ thuật mô phỏng Hình 5.3 Mô phỏng 10 quỹ đạo của quá trình NIG Hình 5.4 Mô phỏng 10 quỹ đạo của quá trình CGMY 120 Chương 5. Kỹ thuật mô phỏng Hình 5.5 Mô phỏng quỹ đạo của một quá trình NIG 121 Chương 6 Định giá quyền chọn ngoại lai Sự hoàn trả của quyền chọn trong hầu hết các trường hợp chỉ phụ thuộc vào giá trị cơ sở tại thời điểm cuối. Tuy nhiên các quyền chọn quỹ đạo phụ thuộc trở nên phổ biến trên thị trường OTC trong hai thập kỷ cuối. Ví dụ của quyền chọn ngoại lai có quỹ đạo phụ thuộc là quyền chọn nhìn lại (Lookback option) và quyền chọn với rào cản (Barrier option). Các quyền chọn ngoại lai khác không có ngày đáo hạn và người nắm giữ có thể thực hiện quyền chọn bất cứ khi nào họ muốn. Loại quyền chọn này được gọi là quyền chọn vô thời hạn. Trong chương này ta sẽ xét quyền chọn nhìn lại và quyền chọn với rào cản và đưa ra giá Black-Scholes của chúng. Sau đó chỉ ra nguyên tắc đạt được giá trong thị trường Lévy. Tuy nhiên số chiều của bài toán lớn và ta cần sử dụng kỹ thuật số ngược và tích phân 3 hoặc 4 lớp để tính toán. Ta cũng xem xét các quyền chọn ngoại lai khác được khảo sát trong mô hình Lévy. Hầu hết chúng đạt được giá chỉ khi mô hình được thu hẹp. Cuối cùng ta chỉ ra phương pháp kỹ thuật Monte Carlo ước lượng giá của các quyền chọn ngoại lai kiểu Châu Âu. 6.1 Quyền chọn với rào cản và quyền chọn nhìn lại (Barrier and Lookback options) 6.1.1 Giới thiệu Quyền chọn mua (bán) nhìn lại với giá thực thi (strike) thả nổi có đặc trưng riêng là cho phép người nắm giữ nó bán (mua) cổ phiếu tại điểm cực tiểu (cực đại) mà nó đạt được trên thời hạn của quyền chọn. Sự hoàn trả của một quyền chọn với rào cản phụ thuộc vào việc giá của tài sản cơ sở chạm giá trị ngưỡng (rào cản) cho trước kỳ hạn phải thanh toán. Quyền chọn với rào cản đơn giản nhất là ‘quyền chọn đóng’ (‘knock-in’), là quyền chọn chỉ hoạt động khi giá của tài sản cơ sở chạm đến rào cản, và ‘quyền chọn rút ra’ (‘knock-out’) không hoạt động trong trường hợp đó. Ví dụ quyền chọn mua với 122 Chương 6. Định giá quyền chọn ngoại lai rào cản trên không hoạt động (up-and-out barrier call) có cùng sự hoàn trả như quyền chọn mua thông thường nếu giá của tài sản cơ sở vẫn thấp hơn rào cản trên thời hạn của quyền chọn nhưng nó trở nên vô giá trị khi giá của tài sản cơ sở chạm rào cản. Xét hợp đồng có thời hạn T và ký hiệu quá trình cực đại và cực tiểu của quá trình X = {Xt, 0 ≤ t ≤ T} (theo thứ tự) bởi MXt = sup{Xu; 0 ≤ u ≤ t} và mXt = inf{Xu; 0 ≤ u ≤ t}, 0 ≤ t ≤ T. Sử dụng giá trị trung hòa rủi ro (risk-neutral valuation) và chọn độ đo martingale tương đương, ta có tại điểm gốc, tức là t = 0, giá của một quyền chọn mua nhìn lại được cho bởi LC = exp(−rT )EQ[ST −mST ]; giá gốc của một quyền chọn bán nhìn lại cho bởi LP = exp(−rT )EQ[MST − ST ]. Nhớ lại hàm chỉ tiêu được ký hiệu bởi 1A, bằng 1 nếu A đúng và bằng 0 trường hợp khác. Đối với quyền chọn rào cản đơn (single-barrier), ta có các kiểu quyền chọn mua sau. • Quyền chọn mua với rào cản dưới không hoạt động (down-and-out barrier call) là vô giá trị trừ khi cực tiểu của nó vẫn ở trên mức rào cản thấp H nào đó, trong trường hợp này nó vẫn giữ cấu trúc quyền chọn mua kiểu Châu Âu với giá thực thi K. Giá gốc của nó được cho bởi DOBC = exp(−rT )EQ[(ST −K)+1(mST > H)]. • Quyền chọn mua với rào cản dưới có hoạt động (down-and-in barrier call) là quyền chọn mua kiểu Châu Âu tiêu chuẩn với giá thực thi K nếu cực tiểu của nó tiến đến phía dưới mức rào cản thấp H nào đó. Nếu cực tiểu của nó không bao giờ chạm đến mức rào cản H trong suốt thời hạn của quyền chọn, quyền chọn là vô giá trị. Giá gốc của nó được cho bởi DIBC = exp(−rT )EQ[(ST −K)+1(mST ≤ H)]. • Quyền chọn mua với rào cản trên có hoạt động (up-and-in barrier call) là không có giá trị trừ phi cực đại của nó chạm đến mức rào cản cao H nào đó, trong trường hợp này nó vẫn giữ cấu trúc quyền chọn mua kiểu Châu Âu với giá thực thi K. Giá gốc của nó được cho bởi UIBC = exp(−rT )EQ[(ST −K)+1(MST ≥ H)]. • Quyền chọn mua với rào cản trên không hoạt động (up-and-out barrier call) là không có giá trị trừ phi cực đại của nó vẫn ở phía dưới mức rào cản cao H nào đó, trong trường hợp này nó vẫn giữ cấu trúc quyền chọn mua kiểu Châu Âu với giá thực thi K. Giá gốc của nó được cho bởi UOBC = exp(−rT )EQ[(ST −K)+1(MST < H)]. 123 Chương 6. Định giá quyền chọn ngoại lai Ta chú ý giá trị DIBC của quyền chọn mua với rào cản dưới có hoạt động với mức rào cản H và giá thực thi K cộng với giá trị DOBC, quyền chọn mua với rào cản dưới không hoạt động với cùng mức rào cản H và giá thực thi K sẽ bằng giá trị C của quyền chọn mua thông thường với giá thực thi K. Tương tự cho UIBC, quyền chọn mua với rào cản trên có hoạt động cộng với UOBC, quyền chọn mua với rào cản trên không hoạt động: DIBC +DOBC = exp(−rT )EQ[(ST −K)+(1(mST ≥ H) + 1(mST < H))] = exp(−rT )EQ[(ST −K)+] = C, UIBC + UOBC = exp(−rT )EQ[(ST −K)+(1(MST ≥ H) + 1(MST < H))] = exp(−rT )EQ[(ST −K)+] = C. (6.1) 6.1.2 Giá quyền chọn với rào cản Black-Scholes và giá quyền chọn nhìn lại Quyền chọn với rào cản Black-Scholes (Black-Scholes Barrier Options) Ta có, nếu H ≤ K, DIBC = S0 exp(−qT ) (H S0 )2λ N(y) −K exp(−rT ) (H S0 )2λ−2 N(y − σ √ T ), DOBC = C −DIBC, UOBC = 0, UIBC = C, và nếu H > K, DOBC = S0N(x1) exp(−qT )−K exp(−rT )N(x1 − σ √ T ) − S0 exp(−qT ) (H S0 )2λ N(y1) +K exp(−rT ) (H S0 )2λ−2 N(y1 − σ √ T ), DIBC = C −DOBC, UIBC = S0N(x1) exp(−qT )−K exp(−rT )N(x1 − σ √ T ) − S0 exp(−qT ) (H S0 )2λ (N(−y)−N(−y1)) +K exp(−rT ) (H S0 )2λ−2 (N(−y + σ √ T )−N(−y1 + σ √ T )), 124 Chương 6. Định giá quyền chọn ngoại lai UOBC = C − UIBC, trong đó λ = 1 σ2 (r − q + 1 2 σ2), y = 1 σ √ T log ( H2 S0K ) + λσ √ T , x1 = 1 σ √ T log (S0 H ) + λσ √ T , y1 = 1 σ √ T log (H S0 ) + λσ √ T . Vấn đề quan trọng đối với quyền chọn rào cản là giá cổ phiếu được quan sát thường xuyên với mục đích xác định mức rào cản có đạt được hay không. Các công thức ở trên được giả sử là quan sát liên tục. Thông thường, kỳ hạn của hợp đồng với rào cản được điều chỉnh và các quan sát chỉ là một số rời rạc; ví dụ vào lúc đóng cửa của mỗi ngày giao dịch. Broadie et al. (1997) [48] đã cung cấp một phương pháp điều chỉnh các công thức ở trên cho các quan sát theo chu kỳ (tuần hoàn). Rào cản H được thay bởi H exp ( 0.582σ √ T m ) cho một quyền chọn với rào cản trên có hoạt động hay với rào cản trên không hoạt động và H exp ( − 0.582σ √ T m ) cho một quyền chọn với rào cản dưới có hoạt động hay với rào cản dưới không hoạt động; trong đó m là số lần quan sát giá cổ phiếu; T m là khoảng thời gian giữa các lần quan sát. Quyền chọn nhìn lại (Lookback Options) Đối với quyền chọn nhìn lại các công thức đóng sau có giá trị cho giá cổ phiếu gốc: LC = S0e −qT (N(a1)− σ2(2(r − q))−1N(−a1)) − S0e−rT (N(a2)− σ2(2(r − q))−1N(−a2)), LP = S0e −qT (σ2(2(r − q))−1N(a1)−N(−a1)) + S0e −rT (N(−a2)− σ2(2(r − q))−1N(−a2)), trong đó a1 = 1 σ (r − q + 1 2 σ2) √ T , a2 = 1 σ (r − q − 1 2 σ2) √ T . 125 Chương 6. Định giá quyền chọn ngoại lai Như quyền chọn với rào cản, quyền chọn nhìn lại có khả năng nhạy cảm với giá tài sản được quan sát thường xuyên để tính toán cực đại hay cực tiểu. Các công thức trên được giả sử quan sát liên tục. Broadie et al. (1999) [48] cung cấp cách điều chỉnh công thức khi quan sát là rời rạc. 6.1.3 Quyền chọn nhìn lại và quyền chọn với rào cản trong thị trường Lévy Giả sử ta đang thao tác trong thị trường Lévy và trong đó trung hòa rủi ro được điều chỉnh, tức là với độ đo martingale tương đương Q, ta có giá cổ phiếu là một quá trình Lévy mũ: St = S0 exp(Xt). Để đơn giản, giả sử với mọi 0 ≤ t ≤ T , Xt có một hàm mật độ ký hiệu là ft(x). Việc tìm công thức tường minh cho quyền chọn ngoại lai trong thị trường Lévy phức tạp là rất khó khăn. Quyền chọn với rào cản dưới thị trường Lévy được xem xét bởi Boyarchenko và Levendorskii (2002) [38]. Kết quả dựa trên khai triển Wiener-Hopf và sử dụng kỹ thuật giải tích. Kết quả tương tự và hoàn toàn tổng quát bằng phương pháp xác suất cho quyền chọn nhìn lại và quyền chọn với rào cản được mô tả bởi Yor and Nguyên (2001) [47]. Việc tính toán số yêu cầu phức tạp: cần tính tích phân 3 hay 4 lớp kết hợp với việc sử dụng kỹ thuật số ngược. Từ Yor và Nguyên (2001) [47] ta có thể phác thảo qui tắc tính giá cổ phiếu. Ta tập trung vào quyền chọn mua với rào cản trên có hoạt động với hàm hoàn trả (payoff function): (ST −K)+1(MST ≥ H). (6.2) Giá gốc của nó được ký hiệu bởi UIBC = UIBC(S0, T,K,H, r). Bằng cách lấy vi phân (6.2) theo K ta có thể viết UIBC(S0, T,K,H, r) = ∫ ∞ K BUIC(S0, T, k,H, r)dk, (6.3) trong đó BUIC(S0, T,K,H, r) là giá của một quyền chọn mua cặp đôi với rào cản trên có hoạt động với cùng ngày đáo hạn (maturity), tức là với hàm hoàn trả vào ngày đáo hạn 1(ST ≥ K)1(MST ≥ H). Quyền chọn này trả một đơn vị tiền tệ nếu giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn là trên giá thực thi K chỉ với điều kiện là trong suốt kỳ hạn của quyền chọn giá cổ phiếu tăng lên trên mức rào cản H nào đó. Trong các trường hợp khác quyền chọn không có giá trị. Quyền chọn này là một dạng quyền chọn với kiểu rào cản của quyền chọn mua cặp đôi thông thường. Quyền chọn mua cặp đôi thông thường với ngày đáo hạn T và giá thực thi K có hàm hoàn trả cho bởi 1(ST ≥ K) 126 Chương 6. Định giá quyền chọn ngoại lai và quyền chọn mua cặp đôi thông thường trả một đơn vị tiền tệ nếu giá cổ phiếu tại thời điểm đáo hạn ở trên giá thực thi K, và không có giá trị trong trường hợp khác. Ký hiệu giá của quyền mua cặp đôi thông thường bởi BC(S0, T,K, r). Ta có BC(S0, T,K, r) = exp(−rT )EQ[1(ST ≥ K)] = exp(−rT ) ∫ ∞ log(K/S0) fT (x)dx. Để tránh tích phân (6.3) yêu cầu nhận được giá của quyền chọn mua với rào cản trên có hoạt động từ giá của quyền chọn mua cặp đôi với rào cản trên có hoạt động, ta sử dụng biến đổi Esscher với điều kiện E[exp(X1)] <∞. Giả thiết này cho phép ta xét biến đổi Esscher của phân phối của XT với hàm mật độ fT (x). Ta định nghĩa một phân phối mới với hàm mật độ: f (1) T (x) = exp(x)fT (x)∫ +∞ −∞ exp(y)fT (y)dy . Đây là biến đổi Esscher với θ = 1. Khi đó như chú ý trong mục 3.2.2, X vẫn là một quá trình Lévy dưới độ đo mới này. Hàm đặc trưng φ(1) của độ đo mới được cho bởi hàm đặc trưng φ của độ đo gốc bởi biểu thức liên hệ log φ(1)(u) = log φ(u− i)− log φ(−i). Ta viết lại hàm hoàn trả (6.2) của quyền chọn với rào cản trên có hoạt động như sau (S0 exp(XT )−K)1(MST ≥ H)1(ST ≥ K). Do đó UIBC = (S0BUIC (1) −KBUIC). ở đây BUIC ký hiệu giá của quyền chọn mua cặp đôi với rào cản trên có hoạt động sử dụng φ như hàm đặc trưng của quá trình Lévy cơ sở và BUIC(1) ký hiệu giá của quyền chọn mua cặp đôi với rào cản trên có hoạt động sử dụng φ(1) như hàm đặc trưng của quá trình Lévy cơ sở. Ta có hàm số đóng vai trò quan trọng sau κ(α, β) = exp (∫ ∞ 0 ∫ ∞ 0 exp(−t)− exp(−αt− βx) t ft(x)dxdt ) , trong đó κ là hàm mũ Laplace của quá trình ladder (xem Bertoin 1996 [27]). Hàm này được ứng dụng cho phép đồng nhất Pecherskii-Rogozin. Phép đồng nhất này biểu diễn phép biến đổi Laplace hai lần của phân phối đồng thời của thời điểm chạm tới và giá trị của quá trình ladder tại thời điểm đó. Phép đồng nhất này được Pecherskii-Rogozin [43] chứng minh lần đầu tiên nhờ sử dụng kỹ thuật phân tích Wiener-Hopf. Đặt x > 0 và định nghĩa thời điểm đầu tiên X ở trên x như sau T (x) = TX(x) = inf{t > 0 : Xt > x} 127 Chương 6. Định giá quyền chọn ngoại lai và ký hiệu sự tăng vọt giá (overshooting) là K(x) = KX(x) = XTX(x) − x. Khi đó, với mọi α, β, q > 0, ta có phép đồng nhất Pecherskii-Rogozin [43] sau:∫ ∞ 0 exp(−ux)E[exp(−αT (x)− βK(x))]dx = κ(α, u)− κ(α, β) (u− β)κ(α, u) . (6.4) Phép nghịch đảo của biến đổi Laplace làm tăng phân phối đồng thời của thời điểm tới đầu tiên và giá trị của quá trình tại thời điểm này. Điều này cần thiết để tính giá quyền chọn cặp đôi với rào cản trên có hoạt động BUIC. Đặt τ = TX ( log ( H S0 )) . Khi đó BUIC(S0, T,K,H, r) = exp(−rT )EQ[1(ST ≥ K)1(MST ≥ H)] = exp(−rT )EQ[1(XT ≥ log(K/S0))1(TX(log(H/S0)) ≤ T )] = exp(−rT )EQ[EQ[1(XT ≥ log(K/S0))1(τ ≤ T )|Fτ ]] = EQ[exp(−rτ)1(τ ≤ T )BC(S0 exp(Xτ ), T − τ,K, r)]. Để tính kỳ vọng cuối, phân phối đồng thời của τ và Xτ là cần thiết. Tính toán này sẽ nhận được bằng cách lấy nghịch đảo của phép đồng nhất Pecherskii-Rogozin [43]. Các quyền chọn nhìn lại và các dạng quyền chọn với rào cản có thể được tính toán trên cùng một đường thẳng. 6.2 Các quyền chọn ngoại lai khác 6.2.1 Quyền chọn mua và bán vô thời hạn kiểu Mỹ Quyền chọn vô thời hạn kiểu Mỹ là hợp đồng giữa hai bên, một bên là người nắm giữ mua quyền nhận (tiền hay lãi suất) từ bên kia là người bán vào một thời điểm tương lai τ một số lượng mà người mua chọn là G(Sτ ). Quyền chọn mua và bán có các hàm thưởng theo thứ tự là G(x) = (x−K)+ và G(x) = (K − x)+. Thời điểm tối ưu τ sẽ phụ thuộc vào sự tiến triển của giá cổ phiếu. Trong các quyền chọn truyền thống kiểu Mỹ, hợp đồng bao gồm thời điểm thực thi T (thời điểm đáo hạn) mà trước đó hoặc tại thời điểm đó, người nắm giữ có thể thực hiện quyền chọn mua trong khoảng thời gian τ ∈ [0, T ]. Trong trường hợp vô thời hạn T =∞ thì không có ngày đáo hạn. Sử dụng kỹ thuật xác suất, Mordecki (2002) [42] đã nghiên cứu các quyền chọn mua và bán vô thời hạn kiểu Mỹ thu hẹp trong cận trên nhỏ nhất hay cận dưới lớn nhất của các quá trình Lévy. Mordecki (2002) [42] đã đưa ra các công thức tường minh dưới giả thiết của phân phối mũ hỗn hợp và các bước nhảy âm bất kỳ cho quyền chọn mua, và phân phối mũ hỗn hợp âm và các bước nhảy dương bất kỳ cho quyền chọn bán. 128 Chương 6. Định giá quyền chọn ngoại lai 6.2.2 Quyền chọn vô thời hạn kiểu Nga Quyền chọn mua vô thời hạn kiểu Nga là một dạng quyền chọn mua kiểu Mỹ không có ngày đáo hạn chào giá người nắm giữ thực thi quyền chọn mua tại thời điểm dừng τ để exp(−ατ) max { K, sup 0≤u≤τ Su } . Ta nói đây là loại quyền chọn giảm thiểu rủi ro. Giá của một quyền chọn kiểu Nga trong thị trường Black-Scholes truyền thống có thể tìm thấy ở Shepp và Shiryaev (1994). Quyền chọn này được nghiên cứu cho thị trường Lévy trong Avram et al. (2003) [35] và Kou và Wang (2001) [40] cho quá trình nhảy khuyếch tán với bước nhảy âm. 6.2.3 Quyền chọn Touch-and-Out Quyền chọn Touch-and-Out (tên gọi khác là firt-touch digital) trả một đơn vị tiền tệ tại thời điểm đầu tiên giá cổ phiếu chạm tới hoặc giao với ngưỡng định trước H từ phía trên. Nói cách khác, nếu giá cổ phiếu tiến tới miền (0, H], người nắm giữ nhận một đơn vị tiền tệ. Nếu giá cổ phiếu luôn ở trên ngưỡng H trước ngày đáo hạn, yêu cầu đáo hạn không có giá trị. 6.3 Định giá quyền chọn ngoại lai bằng kỹ thuật mô phỏng Monte Carlo 6.3.1 Giới thiệu Nếu không có sẵn các công thức đóng, ta cố gắng tìm một giá tham khảo (price in- dication) tốt cho quyền chọn bằng cách tiến hành một số lượng lớn các mô phỏng (simulations). Độ chính xác của ước lượng sau cùng nhờ vào số lượng quỹ đạo mẫu được sử dụng. Về cơ bản phương pháp tiến hành như sau: sử dụng kỹ thuật mô phỏng vừa mô tả ở chương trước để mô phỏng m quỹ đạo của các quá trình giá cổ phiếu và ứng với mỗi quỹ đạo ta tính giá trị của hàm hoàn trả Vi, i = 1, . . . ,m. Khi đó Monte Carlo ước lượng giá trị trung bình của hàm hoàn trả là Vˆ = 1 m m∑ i=1 Vi. (6.5) Khi đó giá quyền chọn sau cùng có được bằng cách chiết khấu ước lượng này: exp(−rT )Vˆ . Độ lệch tiêu chuẩn của ước lượng được cho bởi 129 Chương 6. Định giá quyền chọn ngoại lai √√√√ 1 (m− 1)2 m∑ i=1 (Vˆ − Vi)2. Độ lệch tiêu chuẩn giảm theo căn bậc hai của số lượng các quỹ đạo mẫu: để giảm độ lệch tiêu chuẩn xuống một nửa, ta cần tạo ra bốn lần các quỹ đạo mẫu như vậy. Tiếp theo ta sẽ thực hiện quy trình định giá quyền chọn ngoại lai kiểu Châu Âu với thời điểm đáo hạn T và hàm hoàn trả G({Su, 0 ≤ u ≤ T}). Ta sử dụng kỹ thuật mô phỏng để mô phỏng quỹ đạo giá của các quá trình giá cổ phiếu. 6.3.2 Định giá Monte Carlo sử dụng quá trình Lévy >Quy trình định giá Monte Carlo được tiến hành theo các bước như sau: 1. Vận dụng mô hình (calibrate) với giá quyền chọn mua thông thường sẵn có trong thị trường, tức là tìm các tham số trung hòa rủi ro của thị trường và ghi lại để phát hiện giá mô hình tốt nhất so sánh với giá thị trường. 2. Với các tham số tìm được ở bước 1, ta thực hiện như sau: (a) Mô phỏng một số đáng kểm quỹ đạo của quá trình giá cổ phiếu S = {St, 0 ≤ t ≤ T} bằng cách mô phỏng quá trình lôgarit giá (log price process) thông qua việc mô hình hóa quá trình biến đổi theo thời gian: (i) Mô phỏng lãi suất của quá trình thay đổi theo thời gian y = {yt, 0 ≤ t ≤ T}; (ii) Từ (i) ta tính được quá trình thay đổi theo thời gian Y = {Yt =∫ t 0 ysds, 0 ≤ t ≤ T}; (iii) Mô phỏng quá trình Lévy X = {Xt, 0 ≤ t ≤ YT} (chú ý rằng ta lấy mẫu trên khoảng thời gian [0, YT ]); (iv) Tính quá trình Lévy biến đổi theo thời gian XYt , với t ∈ [0, T ]; (v) Tính quá trình giá cổ phiếu S = {St, 0 ≤ t ≤ T}. (b) Với mỗi quỹ đạo i ta tính hàm hoàn trả gi = G({Su, 0 ≤ u ≤ T}). 3. Do (6.5) tính được trung bình hàm hoàn trả mẫu, ta nhận được một ước lượng của hàm hoàn trả trung bình: gˆ = 1 m m∑ i=1 gi. 4. Chiết khấu ước lượng hàm hoàn trả ở mức chiết khấu không có rủi ro (risk-free rate) để nhận được ước lượng của giá trị phái sinh (derivative) hay còn gọi là giá phái sinh (derivative price): exp(−rT )gˆ. 130 Chương 6. Định giá quyền chọn ngoại lai 6.4 Kết quả Trước khi định giá quyền chọn ngoại lai, ta kiểm tra độ chính xác của sự mô phỏng xấp xỉ (gần đúng) bằng trung bình của định giá quyền chọn Châu Âu thông thường sử dụng mô phỏng Monte Carlo cho thời điểm đáo hạn là 20− 07− 2008; so sánh giá mô phỏng với giá thị trường thế giới tương ứng (bảng phụ lục A). Kết quả cho như sau: Thực thi BM NIG CGMY Trung bình Giá mua Giá bán Giá đóng 1300 282.9 298.8 299.7 296.4 294.9 297.9 286.5 1325 262.2 277.9 278.5 275.6 274.1 277.1 145.0 1350 242.2 257.3 257.5 255.2 253.7 256.7 150.3 1375 222.9 237.0 237.0 235.2 233.7 236.7 182.0 1400 204.3 217.1 216.9 215.6 214.1 217.1 140.5 1425 186.6 197.6 197.3 196.6 195.1 198.1 190.4 1450 169.8 178.7 178.3 178.0 176.5 179.5 176.0 1475 153.9 160.3 159.9 160.1 158.6 161.6 154.0 1500 138.9 142.6 142.3 142.8 141.3 144.3 138.0 1525 124.9 125.6 125.6 126.3 124.8 127.8 124.0 1550 111.9 109.5 109.8 110.6 109.1 112.1 96.3 1575 99.8 94.4 95.2 95.7 94.2 97.2 92.2 1600 88.7 80.5 81.7 81.9 80.4 83.4 75.0 1650 69.3 56.6 58.6 57.4 55.9 58.9 56.0 1700 53.3 38.5 40.6 37.9 36.4 39.4 33.6 1800 30.2 17.5 18.1 13.2 12.2 14.2 9.0 Trung bình ở bảng trên là trung bình của giá đặt mua và giá chào bán (mean of bid and ask). Từ bảng trên ta thấy phương pháp mô phỏng Monte Carlo cho các kết quả rất hợp lý (đối với trung bình của giá đặt mua và giá chào bán). Kế tiếp ta áp dụng phương pháp Monte Carlo xấp xỉ giá quyền chọn ngoại lai. Ta chọn thời điểm đáo hạn T = 1.0521 và K = 1500; mức rào cản giới hạn trong khoảng từ 0.5S0 tới 1.5S0. Ta sử dụng N = 100000 quỹ đạo mô phỏng. Chú ý các kết quả cho quá trình NIG và CGMY ở trên là tương tự nhau còn các kết quả cho chuyển động Brown có khác chút ít. 131 Kết luận Quá trình Lévy là một công cụ tuyệt vời cho việc mô hình hóa các quá trình giá trong toán tài chính. Quá trình Lévy còn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ như: vật lý, sinh học, thông tin liên lạc, đê điều, vấn đề xếp hàng, hồ chứa nước, bảo hiểm rủi ro... Luận văn trình bày những nét tiêu biểu của quá trình Lévy; nghiên cứu mối quan hệ giữa quá trình Lévy và phân phối khả phân vô hạn. Luận văn giới thiệu một đặc trưng quan trọng của quá trình Lévy là nửa nhóm tích chập các độ đo xác suất liên tục yếu và xem xét sự liên hệ của nó với quá trình Lévy. Ta đã thiết lập tính Markov mạnh cho quá trình Lévy và chứng minh mọi quá trình Lévy đều có một bản sao càdlàg. Kết quả quan trọng là ta đã chứng minh khai triển Lévy-Itô của một quá trình Lévy bất kỳ dựa trên martingale. Hơn nữa ta đã chỉ ra dạng biểu diễn mới của khai triển Lévy-Itô của một quá trình Lévy thành một chuyển động Brown với độ dịch chuyển (thành phần liên tục), một tích phân Poisson (các bước nhảy lớn) và một tích phân Poisson bù (các bước nhảy nhỏ). Điểm thú vị của luận văn là giới thiệu cấu trúc đan xen, nhờ đó quỹ đạo của một quá trình Lévy nhận được như là giới hạn hầu chắc chắn của một dãy các chuyển động Brown với độ dịch chuyển có các bước nhảy ngẫu nhiên không liên tục xuất hiện tại các thời điểm ngẫu nhiên. Trong phần ứng dụng ta tập trung định giá quyền chọn sử dụng quá trình Lévy. Bằng phương pháp định lượng và đồ thị ta thấy các quá trình Lévy đặc biệt (NIG, CGMY, Meixner) phù hợp với dữ liệu chỉ số S&P 500 (phụ lục A) hơn chuyển động Brown. Ta sử dụng phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) để định giá quyền chọn tốt hơn công thức Black-Schole vì nó dễ tìm được hàm đặc trưng cho hầu hết quá trình Lévy. Ta cũng kiểm tra việc lựa chọn dữ liệu. Kết quả cho thấy việc sử dụng giá đặt mua, giá chào bán và trung bình của giá đặt mua và giá chào bán tốt hơn giá đóng cửa. Các kết quả vận dụng chỉ ra được các quá trình Lévy đặc biệt (NIG, CGMY, Meixner) mô tả giá thị trường tốt hơn chuyển động Brown. Cuối cùng ta sử dụng kỹ thuật mô phỏng và kết quả vận dụng kết hợp với kỹ thuật Monte Carlo để định giá quyền chọn ngoại lai Châu Âu. Vì thời lượng có hạn nên luận văn chưa trình bày hết các tính chất phân phối, quỹ đạo, mômen của quá trình Lévy. Các ứng dụng của phân tích Wiener-Hopf và ứng dụng của quá trình Lévy trong các lĩnh vực khác xin được dành cho các nghiên cứu tiếp theo. 132 Phụ lục A S&P 500 giá quyền chọn mua Ta thu thập 100 giá quyền chọn mua cho chỉ số S&P 500 tại thời điểm đóng cửa thị trường vào ngày 01 − 06 − 2007 từ Yahoo Finance. Chỉ số giá lúc đóng cửa là S0 = 1536.34. Ta chọn lãi suất không rủi ro là 0.05 và hoa lợi cổ tức là 0.019. Ta sử dụng giá trung bình của giá đặt mua và giá chào bán. Thực thi 15− 06 20− 06 21− 09 21− 12 21− 03 20− 06 19− 12 2007 2007 2007 2007 2008 2008 2008 1300 239.1 244.5 254.0 268.5 296.4 322.9 1325 214.2 220.0 230.4 246.0 275.6 303.2 1350 189.3 195.6 207.1 223.9 239.6 255.2 283.9 1375 164.5 171.4 184.1 202.2 235.2 265.0 1400 139.7 147.4 161.5 181.0 198.5 215.6 246.5 1425 114.9 123.7 139.4 160.4 178.8 196.6 228.3 1450 90.4 100.5 118.1 140.4 159.6 178.0 210.7 1475 66.05 78.2 97.7 121.2 141.1 160.1 193.5 1500 42.85 56.9 78.4 103.0 123.4 142.8 176.8 1525 22.25 38.3 60.6 85.8 106.5 126.3 160.8 1550 6.95 22.25 44.4 69.9 90.7 110.6 145.3 1575 1.275 10.75 31.0 55.4 75.9 95.7 1600 1.15 4.5 20.1 42.6 62.4 81.9 116.3 1650 6.6 22.8 39.6 57.4 1700 10.3 22.9 37.9 67.8 1800 1.25 13.2 34.2 1900 14.4 2000 5.0 133 Phụ lục B Hàm Bessel B.1 Hàm Bessel Các hàm Bessel dạng 1 J±v(z), dạng 2 Nv(z) và dạng 3 H (1) v (z) và H (2) v (z) là nghiệm của phương trình vi phân: z2 d2w dz2 + z dw dz + (z2 − v2)w = 0. Hàm Jv(z) có thể được viết dưới dạng chuỗi sau: Jv(z) = (z/2) v ∞∑ k=0 (−z2/4)k k!Γ(v + k + 1) , và Nv(z) thỏa Nv(z) = Jv(z) cos(vpi)− J−v(z) sin(vpi) . Ta cũng có H(1)v (z) = Jv(z) + iNv(z), H(2)v (z) = Jv(z)− iNv(z). Ta liệt kê một số tính chất có ích của hàm Bessel: J1/2(z) = √ 2 piz sin z, J−1/2(z) = √ 2 piz cos z, J3/2(z) = √ 2 piz ( sin z z − cos z ) , J−3/2(z) = √ 2 piz ( sin z + cos z z ) , Jn+1/2(z) = (−1)nN−n−1/2(z), n = 0, 1, 2, . . . , J−n−1/2(z) = (−1)n−1Nn+1/2(z), n = 0, 1, 2, . . . . 134 Phụ lục B B.2 Hàm Bessel cải tiến Các hàm Bessel cải tiến dạng 1 I±v(z) và dạng 3 Kv(z) (còn được gọi là hàm MacDon- ald) là nghiệm của phương trình vi phân: z2 d2w dz2 + z dw dz − (z2 + v2)w = 0. Hàm Iv(z) có thể được viết dưới dạng chuỗi sau: Iv(z) = (z/2) v ∞∑ k=0 (z2/4)k k!Γ(v + k + 1) , và Kv(z) thỏa Kv(z) = pi 2 Iv(z)− I−v(z) sin(vpi) . Hàm Bessel Kv còn được viết dưới dạng tích phân: Kv(z) = 1 2 ∫ ∞ 0 uv−1 exp(−1 2 z(u+ u−1))du. Ta liệt kê một vài tính chất có ích: Kv(z) = K−v(z), Kv+1(z) = 2v z Kv(z) +Kv−1(z), K1/2(z) = √ pi/2z−1/2 exp(−z), K ′ v(z) = − v z Kv(z)−Kv−1(z). 135 Phụ lục C Quá trình Lévy C.1 Hàm đặc trưng Ta đưa ra hàm đặc trưng cho các phân phối khả phân vô hạn. Ta xét các phân phối trên các số tự nhiên, trên nửa đường thẳng dương và trên đường thẳng thực. Hàm đặc trưng của phân phối mở rộng là tích của exp(ium) và hàm đặc trưng gốc. C.1.1 Phân phối trên số tự nhiên Phân phối φ(u) = E[exp(iuX1)] Poisson(λ) exp(λ(exp(iu)− 1)) C.1.2 Phân phối trên nửa đường thẳng dương Phân phối φ(u) = E[exp(iuX1)] Gamma(a, b) (1− iu/b)−a Exp(λ) (1− iu/λ)−1 IG(a, b) exp(−a(√−2iu+ b2 − b)) GIG(λ, a, b) K−1λ (ab)(1− 2iu/b2)λ/2Kλ(ab √ 1− 2iu/b2) TS(κ, a, b) exp(ab− a(b1/κ − 2iu)κ) C.1.3 Phân phối trên đường thẳng thực Phân phối φ(u) = E[exp(iuX1)] VG(σ, ν, θ) (1− iuθν + σ2νu2/2)−1/ν VG(C,G,M) (GM/(GM + (M −G)iu+ u2))C NIG(α, β, δ) exp(−δ(√α2 − (β + iu)2 −√α2 − β2)) CGMY(C,G,M, Y ) exp(CΓ(−Y )((M − iu)Y −MY + (G+ iu)Y −GY )) Meixner(α, β, δ) (cos(β/2)/ cosh((αu− iβ)/2))2δ 136 Phụ lục C C.2 Bộ ba Lévy C.2.1 γ Phân phối γ Poisson(λ) 0 Gamma(a, b) a(1− exp(−b))/b IG(a, b) (a/b)(2N(b)− 1) TS(κ, a, b) a2κ κ Γ(1− κ) ∫ 1 0 x−κ exp(−1 2 b1/κx)dx VG(C,G,M) C(MG)−1(G(exp(−M)− 1)−M(exp(−G)− 1)) NIG(α, β, δ) 2δα pi ∫ 1 0 sinh(βx)K1(αx)dx CGMY(C,G,M, Y ) C ( ∫ 1 0 (exp(−Mx)− exp(−Gx))x−Y dx ) Meixner(α, β, δ) αδ tan(β/2)− 2δ ∫∞ 1 sinh(βx/α) sinh(pix/α) dx C.2.2 Độ đo Lévy ν Phân phối ν Poisson(λ) λδ(1) Gamma(a, b) a exp(−bx)x−11(x>0)dx IG(a, b) (2pi)−1/2ax−3/2 exp(−1 2 b2x)1(x>0)dx TS(κ, a, b) a2κ κ Γ(1− κ)x −κ−1 exp(−1 2 b1/κx)1(x>0)dx VG(C,G,M) C|x|−1(exp(Gx)1(x0)dx NIG(α, β, δ) δαpi−1|x|−1 exp(βx)K1(α|x|)dx CGMY(C,G,M, Y ) C|x|−1−Y (exp(Gx)1(x0))dx Meixner(α, β, δ) δx−1 exp(βx/α) sinh−1(pix/α)dx 137 Phụ lục D Paul Lévy (1886-1971) Tên gọi quá trình Lévy để vinh danh một trong số những nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20: Paul Lévy. Paul Lévy sinh tại Paris năm 1886 trong một gia đình có nhiều nhà toán học. Ông học ở học viện bách khoa École, lấy bằng tiến sĩ toán học tại Đại Học của Paris và trở thành giáo sư của học viện bách khoa École năm 1913. Ông là một trong số những nhà toán học tiên phong của lý thuyết xác suất hiện đại. Ông đã có những khám phá quan trọng trong lý thuyết quá trình ngẫu nhiên. Ông đã chứng minh định lý giới hạn trung tâm bằng cách sử dụng hàm đặc trưng, độc lập với Lindeberg, người đã sử dụng kỹ thuật tích chập. Ông đã góp phần nghiên cứu luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm, quá trình Gauss, luật phân phối khả phân vô hạn, luật phân phối ổn định. Ông là người đi đầu trong việc nghiên cứu các quá trình với số gia dừng và độc lập. Các cuốn sách chính của ông là Lecons d’analyse fonctionnelle (1922), Calcul des probabilités (1925), Théorie de l’addition des variables aléatoires (1937-1954) và Processus stochastiques et mouvement brownien (1948). Trong suốt chiến tranh thế giới thứ I, ông đã phục vụ trong khoa nghiên cứu sử dụng pháo và sử dụng kiến thức toán học của mình giải quyết các vấn đề liên quan đến việc bảo vệ và chống lại các cuộc tấn công từ trên không. Năm 1963, ông được bầu là thành viên danh dự của hội toán học London. Một năm sau ông được bầu vào viện khoa học Académie. Ông mất ngày 15-12-1971 ở Paris. Để biết thêm thông tin về Paul Lévy có thể tìm ở các trang web sau: rama/levy.html và 138 Tài liệu tham khảo [1] Trần Hùng Thao (2003), Nhập môn toán học tài chính, Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết Xác suất , Nxb Giáo dục, Hà Nội. [3] Dương Tôn Đảm (2006), Quá trình ngẫu nhiên, phần mở đầu, Nxb ĐHQG TP Hồ Chí Minh. [4] David Applebaum (2004), Lévy Processes and Stochastic Calculus , Cambridge University Press, Cambridge. [5] Wim Schoutens (2003), Lévy Processes in Finance: Pricing Financial Deriva- tives , Wiley, New York. [6] Wim Schoutens (2007), Exotic options under Lévy models: An overview, Journal of Compuational and Applied Mathematics 189, pp. 526-538. [7] Wim Schoutens (2002), Meixner Process: Theory and application in Finance, EURANDOM Report, EURANDOM, Eindhoven. [8] Carr P. and Madan D.H. (1998), Option valuation using the fast Fourier trans- form, Journal of Computational Finance 2, pp. 61-73. [9] Ramma Cont and Peter Tankov (2007), Financial Modelling with Jump Process , Chapman & Hall, New York. [10] Ken-Iti Sato (1999), Lévy Process and Infinitely Divisible Distributions , Cam- bridge University Press, Cambridge. [11] Madan D.B. and Yor M. (2005), CGMY and Meixner subordinators are abso- lutely continuous with respect to one sided stable subordinators, Prépublication, Laboratoire de Probabilités et Modeles Aléatories. [12] Steele J.M. (2001), Stochastic Calculus and Financial Applications , Springer- Verlag. [13] Yor M. (1992), Some Aspects of Brownian Motion, part 1, Birkha¨user. [14] Yor M. (1997), Some Aspects of Brownian Motion, part 2, Birkha¨user. 139 Tài liệu tham khảo [15] Einstein A. (1956), Investigations on the Theory of the Brownian Movement , Dover. [16] Nelson E. (1967), Dynamical Theories of Brownian Motion, Princeton Univer- sity Press, Princeton. [17] Paley R. E. and Wiener N. (1934), Fourier Transforms in the Complex Domain, American Mathematical Society. [18] Karatzas I. and Shreve S. (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus (second edition), Springer-Verlag. [19] Knight F.B. (1981), Essentials of Brownian Motion and Diffusion, American Mathematical Society. [20] Revuz D. and Yor M. (1999), Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer-Verlag. [21] Kunita H. (1990), Stochastic Flows and Stochastic Differential Equations , Cam- bridge University Press, Cambridge. [22] Patterson S.J. (1988), An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta- Function, Cambridge University Press, Cambridge. [23] Protter P. (1992), Stochastic Integration and Differential Equations , Springer- Verlag. [24] Rosenthal J.S. (2000), A Fist Look at Rigorous Probability Theory , World Sci- entific. [25] Jessen J. and Wintner A. (1935), Distribution functions and the Riemann zeta function, Trans. Amer. Math. Soc. 38, pp. 48-88. [26] Bertoin J. (1999), Subordinator: examples and applications, Ecole d’ Eté de Probabilités de St Flour XXVII , ed. P. Bernard, Lecture Notes in Mathematics 1717, Springer-Verlag, pp. 4-79. [27] Bertoin J. (1996), Lévy Processes , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 121, Cambridge University Press. [28] Bingham N.H., Goldie C.M. and Teugels J.L. (1987), Regular Variation, Cam- bridge University Press. [29] Born M. (1962), Einstein’s Theory of Relativity , Dover. [30] Gnedenko B.V. and Kolmogorov A.N. (1968), Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables (second edition), Addison-Wesley. [31] Berg C. and Forst G. (1975), Potential Theory on Locally Compact Abelian Groups , Springer-Verlag. 140 Tài liệu tham khảo [32] Wiener N., Siegel A., Rankin B. and Martin W.T. (1966), Differential Space, Quantum Systems and Prediction, MIT Press. [33] Wiener N. (1923), Differential Space, J. Math and Physics 58, pp. 74-131. [34] Asmussen S. and Rosin´ski J. (2001), Approximations of small jumps of Lévy processes with a view towards simulation, Journal of Applied Probability 38, pp. 482-493. [35] Avram F., Kyprianou A.E. and Pistorius M.R. (2003), Exit problems for spec- trally negative Lévy processes and applications to Russian options, Annals of Applied Probability. (In the press.) [36] Barndorff-Nielsen O.E. (1977), Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size, Proceedings of the Royal Society of London A 353, pp. 401-419. [37] Carr P., Geman H., Madan D.H. and Yor M. (2003), Stochastic volatility for Lévy processes, Mathematical Finance. (In the press.) [38] Boyarchenko S.I. and Levendorskii S.Z. (2002), Perpetual American options under Lévy processes, SIAM Journal of Control and Optimization 40, pp. 1663- 1696. [39] Ja¨ckel P. (2002), Monte Carlo Methods in Finance, John Wiley & Sons, Ltd. [40] Kou S.G. and Wang H. (2001), Option pricing under a jump diffusion model, Preprint. [41] Michael J.R., Schucany W.R. and Haas R.W. (1976), Generating random vari- ates using transformations with multiple roots, The American Statistician 30, pp. 88-90. [42] Mordecki E. (2002), Optimal stopping and perpetual options for Lévy processes, Finance and Stochastics 6, pp. 473-493. [43] Pecherskii E.A. and Rogozin B.A. (1969), On joint distributions of random variables associated with fluctuations of a process with independent increments, Theory of Probability and Its Applications 14, pp. 410-423. [44] Rosin´ski J. (2001), Series representations of Lévy processes from the perspective of point processes, In Lévy Processes - Theory and Applications (ed. Barndorff- Nielsen O.E., Mikosch T. and Resnick S.), pp. 401-415. [45] Rydberg T. (1997), The normal inverse Gaussian Lévy process: simulations and approximation, Communications in Statistics: Stochastic Models 13, pp. 887- 910. [46] Shepp L. and Shiryaev A.N. (1994), A new look at the pricing of the Russian option, Theory of Probability and Its Applications 39, pp. 103-120. 141 Tài liệu tham khảo [47] Yor M. and Nguyen L. (2001), Wiener-Hopf Factorization and the Pricing of Barrier and Look-back Options under General Lévy Processes, Prépublication, Universités Paris 6. [48] Broadie M., Glasserman P. and Kou S.G. (1997), A continuity correction for discrete barrier options, Mathematical Finance 7, pp. 325-349. [49] Shreve S.E. (2004), Stochastic Calculus for Finance II: Continous-Time Models, Springer-Verlag, New York. [50] Gerber H.U. and Shiu E.S.W. (1994), Actuarial bridges to dynamic hedging and option pricing, Insurance: Mathematics and Economics 18(3), pp. 183-218. [51] Eberlein E. and Keller U. (1995), Hyperbolic distributions in finance, Bernoulli 1, pp. 281-299. [52] Barndorff-Nielsen O.E. (1995), Normal inverse Gaussian distributions and the modelling of stock returns, Research Report no. 300, Department of Theoretical Statistics, Aarhus University. [53] Bu¨hlmann H., Delbaen F., Embrechts P. and Shiryaev A. N. (1996), No- arbitrage, change of measure and conditional Esscher transforms, CWI Quar- terly 9(4), pp. 291-317. [54] Geman H. (2002), Pure jump Lévy processes for asset price modelling, Journal of Banking and Finance 26. [55] Biane P., Pitman J. and Yor M. (2001), Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta functions and Brownian excursions, Bulletin of the American Mathematical Society 38, pp. 435-465. [56] Malliavin P. (1995), Integration and Probability, Springer-Verlag. 142