Luận văn Quan điểm giải tích về các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn và việc phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh trong dạy học chủ đề giới hạn ở bậc THPT

môc tiªu bµi häc, gi¸o viªn dù kiÕn mét sè c©u hái bµi tËp kh¸i niÖm giíi h¹n vµ tæ chøc cho häc sinh tù ®¸nh gi¸ vÒ kÕt qu¶ häc tËp cña b¶n th©n vµ cña b¹n . Gi¸o viªn ®¸nh gi¸ tæng kÕt vÒ kÕt qu¶ giê häc . e) H­íng dÉn häc sinh häc bµi vµ lµm viÖc ë nhµ - Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh luyÖn tËp, cñng cè bµi cñ th«ng qua lµm bµi tËp thùc hµnh, tù «n luyÖn, hÖ thèng l¹i c¸c kiÕn thøc giíi h¹n ®· häc. - Gi¸o viªn h­íng dÉn häc sinh chuÈn bÞ bµi häc míi. 2.2.2. Minh häa d¹y häc vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n theo h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh §Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh cÇn x©y dùng ph­¬ng tiÖn trùc quan t­îng tr­ng (m« h×nh, h×nh vÏ, s¬ ®å, ®å thÞ, biÓu b¶ng,…) lµm chæ dùa trùc gi¸c. X©y dùng hÖ thèng vÝ dô vµ ph¶n vÝ dô kÕt hîp víi c¸c ph­¬ng tiÖn trùc quan tæ chøc cho häc sinh h×nh dung ®­îc néi dung kh¸i niÖm, ph¸t hiÖn dÊu hiÖu b¶n chÊt cña kh¸i niÖm vµ kh¸i qu¸t h×nh thµnh kh¸i niÖm. Theo nh­ ®Þnh h­íng nhãm t¸c gi¶ §oµn Quúnh chñ biªn lµ kh«ng dïng ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n th«ng qua ®Þnh nghÜa ng«n ng÷ '','', '', '' chñ yÕu do häc sinh khã cã thÓ lÜnh héi ®­îc c¸c ®Þnh nghÜa qua h×nh thøc ®ã. Nh­ng ngay c¶ khi kh«ng cßn sö dông ®Þnh nghÜa nh­ vËy n÷a vµ theo ®Þnh nghÜa kiÓu m« t¶ th× ng­êi ta thõa nhËn r»ng kh«ng thÓ ®ßi hái häc sinh hiÓu mét c¸ch s©u s¾c b¶n chÊt s©u s¾c vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n, chÝnh v× vËy chØ yªu cÇu häc sinh hiÓu kh¸i niÖm mét c¸ch trùc quan vµ b­íc ®Çu h×nh dung ®­îc thÕ nµo lµ giíi h¹n d·y sè, hµm sè tõ ®ã biÕt lÜnh héi, vËn dông c¸c ®Þnh nghÜa, ®Þnh lý, ph­¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n vÒ giíi h¹n. Thùc tÕ ®©u ®ã trong c¸ch d¹y häc gi¸o viªn th­êng l­ít qua ®¹i kh¸i c¸c ®Þnh nghÜa vµ chØ tËp trung luyÖn tËp cho häc sinh c¸c thñ thuËt tÝnh giíi h¹n, khö c¸c d¹ng v« ®Þnh hay xÐt tÝnh liªn tôc. KÕt qu¶ cuèi cïng kh«ng Ýt häc sinh kh«ng nh÷ng biÕt gi¶i c¸c bµi tËp liªn quan mµ cßn gi¶i thµnh th¹o nh­ng rèt côc l¹i kh«ng hiÓu b¶n chÊt kh¸i niÖm vÒ giíi h¹n vµ liªn tôc. 2.2.2.1. VÝ dô minh häa d¹y häc kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè a) Môc tiªu +) VÒ kiÕn thøc: HiÓu ®­îc mét c¸ch trùc quan, vµ n¾m ®­îc b¶n chÊt kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y sè cã thÓ lµ: 0 ; L0; , th«ng qua xÐt c¸c vÝ dô. +) VÒ kÜ n¨ng: Gióp häc sinh biÕt vËn dông ®Þnh nghÜa vµ c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n ®Æc biÖt ®Ó nhËn biÕt chøng minh d·y sè cã giíi h¹n vµ tÝnh giíi h¹n d·y sè. +) VÒ t­ duy: B­íc ®Çu h×nh thµnh kiÓu t­ duy logÝc, linh ho¹t, ph¸t triÓn suy luËn to¸n häc g¾n liÒn víi sù v« h¹n, liªn tôc, biÕn thiªn +) VÒ th¸i ®é: Cã th¸i ®é häc tËp tÝch cùc, ®éc lËp, ph¸t huy tÝnh s¸nh t¹o. b) ChuÈn bÞ ph­¬ng tiÖn trùc quan d¹y häc +) Thùc tiÔn: Häc sinh biÕt biÓu diÔn s¾p xÕp thø tù c¸c sè thùc trªn trôc sè. +) Ph­¬ng tiÖn: ChuÈn bÞ b¶ng biÓu, ®Ó minh häa giíi h¹n d·y sè trªn trôc sè. c) Gîi ý vÒ ph­¬ng ph¸p d¹y häc Sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p d¹y häc c¬ b¶n sau mét c¸ch linh ho¹t nh»m ph¸t huy TTCNT gióp häc sinh tù t×m tßi, ph¸t hiÖn chiÕm lÜh tri thøc chñ ®éng: + Gîi më, vÊn ®¸p ; + Ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò; + Tæ chøc ®an xen ho¹t ®éng häc tËp c¸ nh©n vµ nhãm d) VÝ dô minh häa d¹y häc kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè theo h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. *) X©y dùng ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè: §Ó gîi nhu cÇu cho häc sinh nhËn thøc, h×nh dung ®­îc néi dung kh¸i niÖm, ph¸t hiÖn dÊu hiÖu b¶n chÊt vµ kh¸i qu¸t h×nh thµnh, cñng cè, kh¾c s©u kh¸i niÖm vÒ Giíi h¹n cña d·y sè ®iÒu quan träng lµ häc sinh hiÓu ®­îc b¶n chÊt kh¸i niÖm mÖnh ®Ò, kh«ng nªn coi träng lËp luËn chÆt chÏ chÝnh x¸c to¸n häc, ®­a ra xÐt vÝ dô gióp häc sinh h×nh dung giíi h¹n cña d·y sè: B­íc 1 : Tæ chøc cho häc sinh ph¸t hiÖn b¶n chÊt kh¸i niÖm giíi h¹n d·y sè VÝ dô 20: XÐt d·y sè un = ; n = 1,2,3,… (?1): ViÕt mét sè c¸c sè h¹ng d¹ng khai triÓn cña d·y sè ®ã ? (!) : Lµ -1,. (?2) :Th«ng qua biÓu diÔn c¸c sè h¹ng cña d·y un = trªn trôc sè nhËn xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña c¸c ®iÓm ®ã víi ®iÓm 0 ? (!) : Khi n t¨ng ®iÓm biÓu diÔn “chôm l¹i “ quanh ®iÓm 0 (ë h×nh vÏ). un un+2 0 un+1 ( D·y cã giíi h¹n 0) (?3): Khi n+th× kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm un víi ®iÓm 0 tøc |un- 0| = |un| = ? nhËn xÐt ? (!) : Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm un ®Õn ®iÓm 0, tøc | un| = trë nªn nhá bao nhiªu còng ®­îc (nh­ng kh«ng thÓ b»ng 0), khi n cµng lín. (?4) : H·y minh häa râ qua lËp b¶ng ? (!) : Cô thÓ n 1 2 … 10 11 … 76 77 …1000000 1000001 1000002 … 1 … … … ... (?5) : Mäi sè h¹ng ®· cho, kÓ tõ sè h¹ng thø mÊy trë ®i, th× ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d­¬ng () lµ V× sao ? ( !) : Víi sè d­¬ng tøc lµ |un| = 1000000, nghÜa lµ b¾t ®Çu tõ sè h¹ng thø 1000001 trë ®i; (!) : V× khi ®ã th× |un| < - < un < tøc lµ kho¶ng (-;) trªn trôc sè thùc, chøa tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña d·y un = vµ bªn ngoµi kho¶ng ®ã chØ chøa h÷u h¹n c¸c sè h¹ng thø tù tõ 1 ®Õn 1000000 cña d·y sè ®· cho Nh­ vËy mäi sè h¹ng cña d·y sè ®· cho ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n mét sè thùc d­¬ng () nhá tïy ý cho tr­íc (nh­ng kh«ng thÓ b»ng 0), kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ta nãi r»ng d·y sè un = cã giíi h¹n lµ 0. B­íc 2 : Kh¸i qu¸t hãa vµ nªu ra ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y sè (?6): §ã lµ néi dung ®Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0, h·y ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa ? cho vÝ dô minh häa ? (!) : §Þnh nghÜa1:" un = 0 | un | < m lµ mét sè thùc d­¬ng nhá tïy ý cho tr­íc (nh­ng kh«ng b»ng 0), kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i". (?7) : ¸p dông tÝnh C = ? Tõ ®ã h·y ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa d·y cã giíi h¹n L 0 ( L R) qua ®Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0 ? cho vÝ dô minh häa? (!) : §Þnh nghÜa 2: un = L (un – L) = 0 . (?*8) : Trong ®Þnh nghÜa sö dông côm tõ ''nhá tïy ý '' cã ý nghÜa g× ? (!*) : Thùc ra, nÕu kh«ng cã lêi gi¶i thÝch ®ã häc sinh sÏ Ýt chó träng ®Õn tÝnh chÊt ''v« cïng bÐ '' vµ tÝnh “biÕn thiªn’’, ®©y lµ ®Æc tr­ng cña Gi¶i tÝch mµ häc sinh chØ nghÜ ®Õn gi¸ trÞ cè ®Þnh cña sè d­¬ng, th× t­ duy l¹i theo kiÓu ''tÜnh t¹i'', ''rêi r¹c’', ''h÷u h¹n'' cña §¹i sè. Lêi gi¶i thÝch nµy h­íng vµo kiÓu t­ duy ''biÕn thiªn'', ''liªn tôc'', ''v« h¹n'' cña Gi¶i tÝch. (?9) : Trë l¹i ®Þnh nghÜa 1: nÕu + Thay dÊu “ ”; + Thay bëi - M ( hoÆc M ); + Bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña Un miÒn gi¸ trÞ cña Un = ? ; + Thay côm tõ “nhá tïy ý “ , bëi côm tõ “lín tïy ý “ ; th× ®ã lµ néi dung hai ®Þnh nghÜa vÒ kh¸i niÖm giíi h¹n ©m v« cùc ( d­¬ng v« cùc), h·y ph¸t biÓu ? (!) : §Þnh nghÜa 3: "un = + un > M , víi M lµ mét sè thùc d­¬ng lín tïy ý cho tr­íc, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i". (!): §Þnh nghÜa 4: "un = - un > - M, víi M lµ mét sè thùc d­¬ng lín tïy ý cho tr­íc, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i ". (? 10): Mèi liªn hÖ gi÷a hai ®Þnh nghÜa 3 vµ ®Þnh nghÜa 4 ? (!) : Xem ®Þnh nghÜa d·y sè un cã giíi h¹n - th«ng qua + nh­ sau: ''D·y sè un ®­îc gäi lµ cã giíi h¹n - nÕu (- un ) = +”. B­íc 3: NhËn d¹ng cñng cè, kh¾c s©u kh¸i niÖm vÒ Giíi h¹n cña d·y sè (?11): Ph©n biÖt râ ''giíi h¹n h÷u h¹n '' vµ ''giíi h¹n v« h¹n”minh häa trôc sè ? + Khi n t¨ng c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c sè h¹ng cña d·y sè un cã giíi h¹n h÷u h¹n lµ L (víi LR) th× chôm l¹i quanh ®iÓm L. +Víi n t¨ng c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c sè h¹ng cña d·y sè un cã giíi h¹n v« cùc: + (hoÆc - ) lµ mét ''qu¸ tr×nh biÕn thiªn'' ®i xa m·i theo chiÒu d­¬ng (hoÆc chiÒu ©m) cña trôc sè v­ît qua mäi ®iÓm M ( hoÆc - M ) cho tr­íc dï sè thùc d­¬ng M lín tïy ý ®Õn ®©u th× ®iÓm biÓu diÔn cña d·y sè un ®Òu n»m bªn ph¶i ®iÓm M ( hoÆc ®Òu n»m bªn tr¸i ®iÓm M ) cã thÓ kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®­îc minh häa râ ë h×nh vÏ : un un+2 L un+1 ( D·y cã giíi h¹n L) -M (D·y cã giíi h¹n - ) M un un+1 un+2 (D·y cã giíi h¹n +) §©y lµ b­íc kh«ng thÓ thiÕu ®­îc khi häc vÒ kh¸i niÖm míi, ®Ó còng cè cho häc sinh ta dïng c¸c bµi to¸n mµ trong ®ã ph¶i tr¶ lêi c¸c c©u hái nh­: “ kÓ tõ sè h¹ng nµo trë ®i th× nhá h¬n mét sè d­¬ng (cho tr­íc nhá tïy ý nh­ng kh«ng thÓ b»ng 0) ?”, b»ng c¸ch cho : Lµm bµi kiÓm tra (15 phót) sau ®©y: C©u 1 : Cho d·y sè un = . C¸c kho¶ng nµo cho sau ®©y chøa tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña d·y (cã thÓ trõ ra mét sè h÷u h¹n sè h¹ng cña d·y) ? A. B. C. D. C©u 2 : Cho d·y sè un = C¸c kho¶ng nµo cho sau ®©y chøa tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña d·y (cã thÓ trõ ra mét sè h÷u h¹n sè h¹ng cña d·y) ? A. B. C. (2;3) D. C©u 3 : H·y cho biÕt d·y nµo cã giíi h¹n ? A. un = víi q < 1 B. un = C. un =(-1)n D. un = . * Dông ý s­ ph¹m cña ®Ò kiÓm tra (15 phót) : C©u 1: Nh»m kiÓm tra xem häc sinh cã n¾m ®­îc b¶n chÊt kh¸i niÖm d·y sè cã giíi h¹n lµ 0 qua vËn dông ®Þnh nghÜa, chØ yªu cÇu nhËn biÕt; C©u 2: Còng nh»m kiÓm tra häc sinh cã n¾m ®­îc b¶n chÊt kh¸i niÖm d·y sè cã giíi h¹n L0 qua vËn dông ®Þnh nghÜa, chØ yªu cÇu nhËn biÕt; C©u 3: KiÓm tra häc sinh n¾m v÷ng kh¸i niÖm ®Þnh nghÜa d·y cã giíi h¹n, kh«ng ph¶i mäi d·y sè ®Òu lµ hoÆc cã giíi h¹n h÷u h¹n ( L0 ) hoÆc cã giíi h¹n v« cùc (), chØ yªu cÇu nhËn biÕt. b) Cho c¸c bµi tËp vÒ nhµ luyÖn tËp sau ®©y: Bµi 1: T×m c¸c sè h¹ng cña d·y un = sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a chóng ®Õn sè 0 lµ : a) nhá h¬n ; b ) nhá h¬n 2 . Bµi 2 : T×m c¸c sè h¹ng cña d·y un = sao cho kho¶ng c¸ch cña chóng ®Õn sè 1 lµ : a) nhá h¬n ; b) nhá h¬n 1. Bµi 3 : H·y cho biÕt d·y nµo cã giíi h¹n ? NÕu d·y sè cã giíi h¹n chØ ra giíi h¹n cña d·y sè ? KÓ tõ sè h¹ng thø mÊy trë ®i th× nhá h¬n 0,00001 ? a ) un = (-1)nn ; b) vn = (-1)n ; c) wn = n ; d) zn = . Tãm l¹i khi häc vÒ Giíi h¹n cña d·y sè ta cÇn lµm cho häc sinh n¾m v÷ng hiÓu râ b¶n chÊt qua xÐt c¸c vÝ dô vµ ph©n biÖt ®­îc ''giíi h¹n h÷u h¹n '' víi ''giíi h¹n v« h¹n” cña d·y sè b»ng ” trùc gi¸c h×nh häc'' trªn trôc sè kÕt hîp víi lËp luËn ''trùc gi¸c sè”. 2.2.2.2. Sö dông t­ liÖu kiÕn thøc lÞch sö To¸n häc d¹y kh¸i niÖm giíi h¹n Ngoµi ra, nÕu cã ®iÒu kiÖn ta cã thÓ sö dông t­ liÖu lÞch sö To¸n vÒ kh¸i niÖm giíi h¹n ®Ó gîi ®éng c¬, h×nh thµnh, cñng cè, kh¾c s©u kh¸i niÖm qua ®ã kh¬i dËy ph¸t huy TTCNT cña häc sinh trong c¸c tiÕt d¹y tù chän, «n luyÖn hay ngo¹i khãa, tïy theo tõng ®èi t­îng häc sinh mµ gi¸o viªn cã thÓ khai th¸c thªm mét sè nghÞch lý thÓ hiÖn qua c¸c vÝ dô sau : VÝ dô 22: NghÞch lÝ “ 0 = 1 “. XÐt S = 1 – 1 + 1 – 1 +…+ 1 - 1 +… Ta cã, S = ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) +…+( 1 – 1) +…= 0 + 0 +…+ 0 + …= 0. (*) MÆt kh¸c, S =1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) +…+ (-1 + 1) +…= 1 + 0 + 0 + …+ 0 +…= 1. (**) Tõ (*) vµ (**) suy ra : 1 = 0 (!?). VÝ dô 23: NghÞch lý “ -2 lµ sè d­¬ng “. Cho x = 1 + (***) Suy ra : x = (****) Tõ (***) ta thÊy x lµ tæng cña c¸c sè d­¬ng nªn x > 0. Nh­ng lÊy (***) trõ ®i (****) ta cã : x - x = 1 hay x = -2 . VËy tõ ®ã ta dÉn ®Õn -2 lµ mét sè d­¬ng. C¸c nghÞch lý trªn cho thÊy c¸c phÐp to¸n vµ qui t¾c ®¹i sè kh«ng gi¶i thÝch ®­îc c¸c phÐp to¸n liªn quan ®Õn quy tr×nh v« h¹n. Nh­ vËy, nhu cÇu tÊt yÕu lµ kh¸m ph¸ phÐp to¸n míi ®Ó gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn nghÞch lÝ trªn. §èi víi c¸ch d¹y d¹ng nµy phï hîp víi tiÕt d¹y tù chän, ngo¹i khãa. Qua ®©y cho häc sinh thÊy ®­îc sù h¹n chÕ cña phÐp to¸n vµ qui t¾c ®¹i sè trong viÖc gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò liªn quan tíi sù v« h¹n. MÆt kh¸c t¹o ®éng c¬ tiÕp thu kh¸i niÖm míi, còng nh­ cho häc sinh ý thøc ®ù¬c tÇm quan träng cña kh¸i niÖm giíi h¹n vµ cã nhu cÇu høng thó häc vÒ kh¸i niÖm giíi h¹n. Thùc tÕ, trong d¹y häc tïy vµo tõng ®èi t­îng häc sinh ®Ó cã ph­¬ng ph¸p d¹y häc phï hîp, kh«ng ph¶i nh÷ng c©u hái ®Æt ra ®Òu ®­îc häc sÞnh tr¶ lêi ®óng nh­ mong ®îi, v× vËy trªn ®©y lµ nh÷ng c©u hái vµ tr¶ lêi ®Þnh h­íng m¾t xÝch cña vÊn ®Ò, ®Ó ph¸t huy ®­îc TTCNT cña häc sinh khi x©y dùng vÒ kh¸i niÖm Giíi h¹n d·y sè, ®ßi hái b¶n th©n mçi gi¸o viªn, ph¶i tinh tÕ, lùa chän sö lý c¸c t×nh huèng, vËn dông nh÷ng biÖn ph¸p, ph­¬ng thøc s­ ph¹m thÝch hîp sao cho ®¹t ®­îc kÕt qu¶ trong qu¸ tr×nh d¹y häc . 2.2.3. D¹y häc bµi tËp vÒ Giíi h¹n víi chøc n¨ng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. Trong d¹y häc, bµi tËp to¸n ®­îc sö dông víi nh÷ng chøc n¨ng kh¸c nhau nh­: d¹y häc, ph¸t triÓn, gi¸o dôc, kiÓm tra. Mçi bµi tËp to¸n cô thÓ cã dông ý vµ nh÷ng chøc n¨ng kh¸c nhau, nh­ ë ®©y víi chøc n¨ng d¹y häc bµi tËp ®­îc x©y dùng nh»m h×nh thµnh ý thøc tù còng cè ®µo s©u, hÖ thèng hãa kh¸i niÖm vµ rÌn luyÖn kü n¨ng kü x¶o cho häc sinh ®èi víi c¸c kiÕn thøc vÒ kh¸i niÖm chñ ®Ò giíi h¹n ®· häc, bµi tËp nh­ thÕ nµy lµ h×nh thøc tèt nhÊt ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. 2.2.3.1. Bµi tËp vÒ Giíi h¹n lµ ph­¬ng tiÖn ph¸t huy TTCNT cña häc sinh Trong d¹y häc To¸n ë tr­êng phæ th«ng, cã thÓ xem viÖc gi¶i to¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc ®èi víi häc sinh. HÖ thèng bµi tËp to¸n lµ cÇu nèi g¾n liÒn lÝ thuyÕt víi thùc tiÔn, ®ång thêi bµi tËp lµ h×nh thøc tèt nhÊt ®Ó rÌn luyÖn tÝnh tÝch cùc trong ho¹t ®éng nhËn thøc ë häc sinh, ®©y lµ mét ph­¬ng tiÖn rÊt cã hiÖu qu¶ vµ kh«ng thÓ thay thÕ ®­îc trong viÖc gióp häc sinh n¾m v÷ng tri thøc, ph¸t triÓn t­ duy, h×nh thµnh kü n¨ng, kü x¶o vËn dông to¸n häc vµo thùc tiÔn. V× vËy, lµm bµi tËp to¸n nãi chung vµ gi¶i bµi tËp vÒ chñ ®Ò Giíi h¹n nãi riªng lµ mét ph­¬ng tiÖn tèt ®Ó ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. 2.2.3.2. VÝ dô minh häa d¹y häc luyÖn tËp vÒ c¸c bµi to¸n tÝnh Giíi h¹n vµ xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè theo h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. i) VÝ dô d¹ng bµi tËp vÒ Giíi h¹n v« cùc vµ dÇn vÒ v« cùc cña hµm sè Thùc tÕ cho thÊy c¸c d¹ng bµi tËp vÒ giíi h¹n cña hµm sè nh­: khö c¸c d¹ng v« ®Þnh,…nãi chung häc sinh còng ®· ®­îc lµm quen vµ thùc hµnh t­¬ng ®èi nhiÒu ë c¸c lo¹i s¸ch tham kh¶o, nh­ng ®èi víi d¹ng bµi tËp nµy häc sinh th­êng gÆp khã kh¨n bëi v× c¨n b¶n ë SGK ch­a ph©n biÖt v« cùc râ rµng ra + vµ - mµ th­êng dïng chung chung lµ , nªn khi tÝnh giíi h¹n cña hµm sè cïng lµ mét c¸ch tiÕn cña x tíi ®iÓm gi¸p ranh x = a nµo ®ã, mµ vÒ hai phÝa kh¸c nhau cña ®iÓm x = a ®ã lµ , nh­ng kÕt qu¶ dÉn ®Õn hai gi¸ trÞ hoµn toµn kh¸c nhau, ch¼ng h¹n lµ: + vµ - . HoÆc khi , hoµn toµn xa nhau nh­ng hµm sè dÇn vÒ hai phÝa cña mét gi¸ trÞ lµ L+; L ®èi víi d¹ng bµi tËp nµy sö dông ph­¬ng tiÖn biÓu ®å, ®å thÞ lµm chæ dùa trùc quan b¶n chÊt cña vÊn ®Ò, cô thÓ ®­îc minh häa râ qua c¸c d¹ng bµi tËp sau: Bµi tËp 1: Cho hµm sè vµ ®­êng th¼ng y = x (cã ®å thÞ h×nh 5). a) Quan s¸t vµ nªu nhËn xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®å thÞ trªn hÖ trôc täa ®é, dù ®o¸n giíi h¹n cña hµm sè khi x 0+, x 0 - , x-, x + ? b) KiÓm tra l¹i c¸c nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n nªu trªn b»ng c¸ch t×m : , , , , = 0 ?, = 0 ? Gi¶i: a) Quan s¸t ®å thÞ vµ nªu nhËn xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®å thÞ trªn hÖ trôc täa ®é, dù ®o¸n giíi h¹n cña hµm sè + Khi x 0+, th× + vµ ®å thÞ cña hµm sè cµng ®i lªn cµng s¸t dÇn bªn ph¶i víi trôc tung tøc : = +. + Khi x 0- , th× - vµ ®å thÞ cña hµm sè cµng ®i xuèng cµng s¸t dÇn bªn tr¸i víi trôc tung tøc lµ : = -. + Khi x -, th× - nghÜa : = -vµ ®å thÞ cña hµm sè cµng ®i xuèng cµng s¸t dÇn phÝa d­íi víi ®­êng th¼ng y = x tøc lµ : = 0 . + Khi x+, th× + nghÜa : = + vµ ®å thÞ cña hµm sè cµng ®i lªn cµng s¸t dÇn phÝa trªn víi ®­êng th¼ng y = x tøc lµ : = 0 . KÕt hîp sö dông kÕt qu¶ cña qui t¾c vÒ xÐt dÊu phÐp to¸n chia v« cùc, ta cã: = = + ; = = -; = = - ; = = +; = = ; = = . (h×nh 5- cña bµi tËp 1 ) (h×nh 6- cña bµi tËp 2) Bµi tËp 2 : Cho hµm sè = (cã ®å thÞ nh­ h×nh 6) a) Dùa vµo ®å thÞ vµ nªu nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n cña hµm sè = khi , , , , , ? b ) KiÓm tra l¹i c¸c nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n nªu trªn b»ng c¸ch t×m : , , , , , ? Gi¶i :a) Dùa vµo ®å thÞ vµ dù ®o¸n giíi h¹n cña: = = -, = +, = +, = -, = 2 +, = 2 + . KiÓm tra l¹i c¸c nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n nªu trªn b»ng c¸ch t×m : , , , , , KÕt hîp sö dông kÕt qu¶ cña b¶ng 4 qui t¾c phÐp to¸n chia v« cùc, ta cã: *) V×(2x2-15x+12) = -1< 0, (x2-5x+4) = 0+ nªn = - *)V× (2x2-15x+12)= -1< 0, (x2-5x+4) = nªn = + *)V×(2x2-15x+12)= -16 < 0,(x2-5x+4)= nªn = + *)V×(2x2-15x+12)= -16 < 0,(x2-5x+4)= 0+ nªn = - *) = = 2+. *) = = 2-. Bµi tËp 3: Cho ba hµm sè:= ; = ; = C¸c ®­êng cong C7, C8, C9( h.7, 8, 9) lµ ®å thÞ cña ba hµm sè nµy, xÐt trªn tËp R\, (kh«ng xÕp theo thø tù). a) Quan s¸t ®å thÞ vµ nªu nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n cña c¸c hµm sè khi : x 0+, x 0 - , x-, x + ? b) ChØ dïng kÕt qu¶ tÝnh giíi h¹n cña hµm sè, , khi: x0 - , x0+, x-, x+ tõ ®ã h·y x¸c ®Þnh ®­êng cong nµo lµ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho ? (H×nh 7 ) ( H×nh 8) ( H×nh 9 ) Gi¶i: a) NhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n cña hµm sè: *) §èi víi ®å thÞ h×nh 7 (®­êng cong C7) Khi x 0-, th× (nh¸nh ®­êng cong C7) + vµ cµng s¸t dÇn bªn tr¸i víi . Khi x 0+ , th× (nh¸nh ®­êng cong C7) - vµ cµng s¸t dÇn bªn ph¶i víi . Khi x -, th× (nh¸nh ®­êng cong C7) + cµng s¸t dÇn phÝa trªn víi ®­êng th¼ng y = -x. Khi x+, th× (nh¸nh ®­êng cong C7) -vµ ®å thÞ cµng s¸t dÇn phÝa d­íi víi ®­êng th¼ng y = - x. *) §èi víi ®å thÞ h×nh 8 cña (®­êng cong C8) Khi x 0+, th× (nh¸nh ®­êng cong C8)- vµ cµng s¸t dÇn bªn ph¶i víi . Khi x 0- , th× (nh¸nh ®­êng cong C8) - vµ cµng s¸t dÇn bªn tr¸i víi . Khi x -, th× (nh¸nh ®­êng cong C8) - vµ cµng s¸t dÇn phÝa d­íi víi ®­êng th¼ng y = x. Khi x+, th× (nh¸nh ®­êng cong C8) +vµ cµng s¸t dÇn phÝa d­íi víi ®­êng th¼ng y = x. *) §èi víi ®å thÞ h×nh 9 cña (®­êng cong C9) Khi x 0+, th× (nh¸nh ®­êng cong C9) + vµ cµng s¸t dÇn bªn ph¶i víi . Khi x 0- , th× (nh¸nh ®­êng cong C9) - vµ cµng s¸t dÇn bªn tr¸i víi . Khi x -, th× (nh¸nh ®­êng cong C9) - vµ ®å thÞ cµng s¸t dÇn phÝa d­íi víi ®­êng th¼ng y = x. Khi x+, th× (nh¸nh ®­êng cong C9)+vµ ®å thÞ cµng s¸t dÇn phÝa trªn víi ®­êng th¼ng y = x. b) KÕt qu¶ tÝnh giíi h¹n cña hµm sè, , khi: x0 - , x0+, x-, x+ *) Ta cã : = + ; = - . Tõ kÕt qu¶ nµy vµ ®å thÞ ®· cho suy ra ®­êng cong C8 lµ ®å thÞ cña hµm sè v× chØ C8 lµ cã hai nh¸nh ®å thÞ dÇn ra - khi x0 - , x0+. *) XÐt : = =+ KÕt hîp víi ®å thÞ suy ra ®­êng cong C9 lµ ®å thÞ cña hµm sè. V× trong hai ®­êng cong cßn l¹i chØ cã C9 lµ cã nh¸nh ®å thÞ dÇn tíi + khi x+. *) Tõ hai kÕt qu¶ trªn, suy ra cã ®å thÞ lµ ®­êng cong C7. ii) VÝ dô minh häa d¹y hoc vÒ lo¹i bµi tËp xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè TËp cho häc sinh thãi quen t×m hiÓu s©u s¾c b¶n chÊt cña kh¸i niÖm vÒ tÝnh liªn tôc hµm sè, ch¼ng h¹n tõ néi dung cña ®Þnh lÝ : “ f(x) liªn tôc trªn [ a ; b] vµ f(a).f(b) < 0 = 0 “. Cho häc sinh khai th¸c c¸c gi¶ thiÕt cña ®Þnh lÝ lµ: f(x) liªn tôc trªn [ a ; b] vµ f(a).f(b) < 0 , qua d¹ng bµi tËp sau: Bµi tËp 4 : Cho hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a;b]. NÕu f(a).f(b) > 0 th× ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm hay kh«ng trong kho¶ng (a;b) ? Cho vÝ dô minh häa ? Gi¶i : Víi hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a;b]. NÕu f(a).f(b) > 0 th× ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã thÓ cã nghiÖm hoÆc v« nghiÖm trong kho¶ng (a;b), ch¼ng h¹n: XÐt hµm sè f(x) = x2 – 1 liªn tôc trªn [-2;2] vµ f(-2). f(2) = 9 > 0. Ph­¬ng tr×nh x2 – 1 = 0 cã nghiÖm x = 1 trong kho¶ng (-2;2). XÐt hµm sè (x) = x2 + 1 liªn tôc trªn [-1;1] vµ f(-1). f(1) = 4 > 0. Ph­¬ng tr×nh x2 + 1 = 0 v« nghiÖm trong kho¶ng (-1;1) mµ cßn v« nghiÖn trªn R. Bµi tËp 5: Cho hµm sè f(x) kh«ng lªn tôc trªn ®o¹n [a;b], nh­ng f(a).f(b)< 0. ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm hay kh«ng trong kho¶ng (a;b) ? H·y minh häa c©u tr¶ lêi b»ng ®å thÞ ? Gi¶i : NÕu hµm sè f(x) kh«ng liªn tôc trªn ®o¹n [a;b] vµ f(a). f(b) < 0 th× ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã thÓ nhiÖm hoÆc v« nghiÖm trong kho¶ng (a;b). Ch¼ng h¹n minh häa h×nh häc : (h×nh 10), f(x) = 0 cã nghiÖm (a;b) (h×nh 11), f(x) = 0 v« nghiÖm (a;b) Bµi tËp 6 : Cho hµm sè . H·y ®¸nh dÊu ®óng (sai) t­¬ng øng víi kh¼ng ®Þnh ®óng (sai). Th× ; (§óng). Ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm ;(Sai).V× sao? Ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm . (§óng). Qua lµm c¸c d¹ng bµi tËp nµy, häc sinh sÏ thÊy r»ng ba ®iÒu kiÖn ®Ó hµm sè f(x) liªn tôc t¹i ®iÓm x = a , cÇn tho¶ m·n ®ång thêi lµ: f(x) x¸c ®Þnh t¹i x = a ; ii) Tån t¹i f(x) ; iii) f(x) = f(a). Trong khi d¹y häc th× ph¶n vÝ dô cã vai trß rÊt quan träng trong viÖc tr¸nh sai lÇm cña häc sinh khi lÜnh héi kh¸i niÖm, ch¼ng h¹n ®­a ra ph¶n vÝ dô sau ®Ó nhËn d¹ng kh¸i niÖm hµm sè f(x) liªn tôc t¹i mét ®iÓm: (?) VËy nh­ thÕ nµo th× hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i mét ®iÓm ? Cho vÝ dô minh häa ? VÝ dô24: +) Hµm sè f(x) = , kh«ng liªn tôc t¹i x= 9 (kh«ng thâa m·n ®iÒu kiÖn i); +) Hµm sè g(x) = , kh«ng liªn tôc t¹i x= 0 ( kh«ng thâa m¹n ii); +) Hµm sè h(x) = , kh«ng liªn tôc t¹i x = 1 (kh«ng thâa m¹n iii). Qua c¸c d¹ng bµi tËp vÒ xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè mµ b¶n chÊt chÝnh lµ xÐt tÝnh liªn tôc t¹i mét ®iÓm cña hµm sè ta cã thÓ tãm t¾t s¬ ®å vÒ qui tr×nh c¸c b­íc ®ã nh­ sau: (S¬ ®å 4) f(x0) f(x) f(x) = f(x0) f(x) liªn tôc t¹i x0 f (x) gi¸n ®o¹n t¹i x0 B¾t ®Çu KÕt thóc LÊy bÊt kú x0(a;b) f(x0) f(x) liªn tôc t¹i x0 f(x) liªn tôc trªn (a;b) f(x) kh«ng liªn tôc trªn (a;b) KÕt thóc Hµm sè liªn tôc trªn (a;b) Hµm sè liªn tôc t¹i Ngoµi ra khi xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè nãi chung, xÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm nãi riªng ta cÇn xÐt ®Õn tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè ®ã, ch¼ng h¹n ta xÐt hai hµm sè f(x) vµ g(x) qua hai vÝ dô sau: VÝ dô 25: Cho f(x)= Gi¶i: f(x) tËp x¸c ®Þnh D1 = [-2 ; + ) Hµm sè liªn tôc trªn tËp [-2 ; + )\{2} Lµ gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x = 2 (minh häa râ ë h×nh vÏ 12 ). VÝ dô 26 : Cho hµm sè g(x) = Gi¶i : Hµm sè g(x) = cã tËp x¸c ®Þnh D2 = [-2 ;2 ] Nh­ng so víi vÝ dô 25 dÔ dµng thÊy r»ng hµm sè nµy liªn tôc trªn tËp [ -2; 2]. V× vËy khi d¹y häc cÇn chó ý tËn dông khai th¸c c¸c t×nh huèng dÔ m¾c sai lÇm, gióp häc sinh ph¸t hiÖn, kh¾c phôc c¸c khã kh¨n vµ s÷a ch÷a c¸c sai lÇm th­êng gÆp. 2.2.4. Dù ®o¸n ph¸t hiÖn nguyªn nh©n vµ h­íng kh¾c phôc nh÷ng khã kh¨n sai lÇm cña häc sinh khi häc chñ ®Ò Giíi h¹n. Khi häc chñ ®Ò Giíi h¹n häc sinh sÏ lµm quen víi ®èi t­îng míi, kiÓu t­ duy mang tÝnh biÖn chøng h¬n. Do ®ã häc sinh gÆp ph¶i rÊt nhiÒu khã kh¨n sai lÇm kh«ng thÓ tr¸nh khái. Bëi v×, sai lÇm cã t¸c dông tÝch cùc, sai lÇm còng cã Ých trong viÖc x©y dùng tri thøc, ®Æc biÖt khi t¹o nªn sù xem xÐt l¹i c¸c tri thøc ®· biÕt tr­íc ®©y. V× vËy trong qu¸ tr×nh d¹y vµ häc To¸n ë tr­êng THPT, viÖc t×m hiÓu nh÷ng khã kh¨n, sai lÇm vµ ch­íng ng¹i mµ häc sinh ph¶i v­ît qua ®Ó chiÕm lÜnh mét tri thøc to¸n häc ®­îc ®­a ra gi¶ng d¹y lµ b­íc ®Çu kh«ng thÓ bá qua trong qu¸ tr×nh t×m kiÕm nh÷ng ph­¬ng ph¸p d¹y häc hiÖu qu¶ nh»m gióp häc sinh n¾m v÷ng tri thøc ®ã. H¬n n÷a, viÖc ph¸t triÓn vµ biÕt khai th¸c c¸c t×nh huèng sai lÇm lµm häc sinh hay m¾c ph¶i trong häc tËp còng chÝnh lµ qu¸ tr×nh ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. + ë møc ®é tri thøc khoa häc, gi¸o viªn cÇn hiÓu ®­îc lý do ph¸t sinh vµ b¶n chÊt cña tri thøc cÇn d¹y, mÆt kh¸c lµ nh÷ng trë ng¹i mµ c¸c nhµ khoa häc ®· gÆp ph¶i trong qu¸ tr×nh x©y dùng vµ ph¸t triÓn tri thøc nµy. §©y lµ c¬ së cho viÖc x¸c ®Þnh nguån gèc khoa häc luËn cña nh÷ng khã kh¨n mµ häc sinh ph¶i v­ît qua ®Ó n¾m v÷ng tri thøc ®ã. + ë møc ®é tri thøc cÇn d¹y, th«ng qua viÖc ph©n tÝch ch­¬ng tr×nh vµ SGK sÏ lµm s¸ng tá nh÷ng ®Æc tr­ng cña viÖc d¹y mét tri thøc trong qu¸ tr×nh chuyÓn hãa s­ ph¹m. Nghiªn cøu nµy sÏ gióp gi¸o viªn x¸c ®Þnh nguån gèc s­ ph¹m cña nh÷ng khã kh¨n mµ häc sinh th­êng gÆp. Tõ viÖc ph¸t hiÖn nh÷ng khã kh¨n vµ ch­íng ng¹i cña tõng tri thøc To¸n häc, gi¸o viªn cã thÓ dù ®o¸n ®­îc nh÷ng sai lÇm th­êng gÆp ë häc sinh khi lÜnh héi tri thøc nµy. + Ta nãi r»ng cã mét ch­íng ng¹i nÕu vÊn ®Ò chØ ®­îc gi¶i quyÕt sau khi ta ®· cÊu tróc l¹i nh÷ng quan niÖm hay thay ®æi quan ®iÓm lý thuyÕt. + Ta nãi r»ng cã mét khã kh¨n nÕu vÊn ®Ò ®­îc gi¶i quyÕt mµ kh«ng cÇn ph¶i xem xÐt l¹i nh÷ng quan ®iÓm cña lý thuyÕt ®ang xÐt hay thay ®æi quan niÖm hiÖn hµnh. Nh­ ta ®· biÕt, sai lÇm kh«ng ph¶i lµ hËu qu¶ cña sù kh«ng biÕt, kh«ng ch¾c ch¾n, ngÉu nhiªn, theo c¸ch nghÜ cña nh÷ng ng­êi theo chñ nghÜa kinh nghiÖm vµ chñ nghÜa hµnh vi, mµ cßn cã thÓ lµ hËu qu¶ cña nh÷ng kiÕn thøc ®· cã tõ tr­íc, nh÷ng kiÕn thøc ®· tõng cã Ých ®èi víi viÖc häc tËp tr­íc kia nh­ng l¹i lµ sai lÇm hoÆc ®¬n gi¶n lµ kh«ng cßn phï hîp n÷a ®èi víi viÖc lÜnh héi kiÕn thøc míi. Nh÷ng sai lÇm kiÓu nµy kh«ng ph¶i lµ kh«ng dù kiÕn tr­íc ®­îc, chóng sÏ ®­îc t¹o nªn tõ nh÷ng ch­íng ng¹i. Nh÷ng sai lÇm sinh ra tõ mét ch­íng ng¹i th­êng tån t¹i rÊt dai d¼ng vµ cã thÓ t¸i xuÊt hiÖn ngay c¶ sau khi chñ thÓ ®· cã ý thøc lo¹i bá quan niÖm sai lÇm ra khái hÖ thèng nhËn thøc cña m×nh. V× vËy gióp häc sinh t×m ra c¸c sai lÇm, ph©n tÝch nguyªn nh©n dÉn ®Õn c¸c sai lÇm vµ t×m c¸ch kh¾c phôc nh÷ng khã kh¨n sai lÇm ®ã trong qu¸ tr×nh lÜnh héi kh¸i niÖm lµ viÖc lµm mang nhiÒu ý nghÜa quan träng trong qu¸ tr×nh d¹y häc theo h­íng ph¸t huy tÝnh tÝch cùc ho¹t ®éng nhËn thøc cña häc sinh gãp phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc. Thùc tiÔn cho thÊy trong qu¸ tr×nh häc tËp häc sinh th­êng gÆp ph¶i c¸c khã kh¨n sai lÇm: 2.2.4.1) Khã kh¨n sai lÇm vÒ kiÕn thøc, bao gåm: a) C¸c khã kh¨n sai lÇm liªn quan viÖc n¾m b¶n chÊt cña kh¸i niÖm, ®Þnh lý NÕu xÐt Gi¶i tÝch ë tr­êng THPT nãi chung kh¸i niÖm Giíi h¹n nãi riªng rÊt khã h×nh thµnh cho häc sinh v× häc sinh ch­a nhËn thøc hÕt tÇm quan träng còng nh­ c¸c khÝa c¹nh tinh vi trong lËp luËn xung quanh vÊn ®Ò nµy, nÕu nh­ muèn n¾m v÷ng ®­îc b¶n chÊt ®Ých thùc vÊn ®Ò nµy. Cßn mÊy l©u nay khi t×m Giíi h¹n hay xÐt tÝnh liªn tôc, häc sinh vÉn ®ang cßn nÆng vÒ thuËt to¸n, nãi c¸ch kh¸c lµ thiªn vÒ có ph¸p mµ cßn coi nhÑ ng÷ nghÜa, ch¼ng h¹n ngay sau khi häc xong kh¸i niÖm giíi h¹n hµm sè ( mµ ch­a häc ®Õn c¸c ®Þnh lý vÒ giíi h¹n vµ hµm sè f(x) liªn tôc) th× häc sinh cho r»ng viÖc t×m giíi h¹n cña f(x) khi xa rÊt ®¬n gi¶n: chØ viÖc thay x = a vµ tÝnh f(a). Khi ®ã f(x) =f(a) ®iÒu nµy ph¶n ¸nh r»ng häc sinh ch­a hiÓu b¶n chÊt kÝ hiÖu: lim. VÝ dô27: TÝnh víi c¸ch nghÜ nh­ vËy nªn viÖc t×m giíi h¹n chØ lµ thay x = 9 vµo ®Ó cho kÕt qu¶, suy nghÜ kiÓu nh­ vËy dÉn ®Õn cho r»ng kh«ng tån t¹i. §Ó cho häc sinh xem xÐt ®ång thêi nh÷ng ®èi t­îng thâa m·n c¸c ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm vµ ®Þnh lÝ (qua c¸c vÝ dô) vµ c¸c ®èi t­¬ng kh«ng thâa m·n mét trong c¸c kh¸i niÖm ®Þnh nghÜa, ®Þnh lÝ (xÐt ph¶n vÝ dô ) qua ®ã lµm s¸ng tá cho häc sinh hiÓu vµ n¾m v÷ng b¶n chÊt cña mét kh¸i niÖm hay ®Þnh lÝ, ch¼ng h¹n: VÝ dô28: TÝnh (?) : Häc sinh cho r»ng : = f(9) = = 0 vËy = 0 (!) : Thùc ra th× hµm sè f(x) = kh«ng cã giíi h¹n t¹i x = 9 v× tËp x¸c cña hµm sè f(x) : , tøc tËp x¸c ®Þnh lµ K = . Do ®ã kh«ng thÓ ¸p dông ®Þnh nghÜa f(x) ®­îc v× kh«ng thÓ lÊy bÊt kú d·y nµo c¶ ®Ó thâa m·n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh nghÜa ®ã lµ: xn K , xn 9 mµ 9 , nªn hµm sè ®· cho kh«ng cã giíi h¹n t¹i x = 9. b) Khã kh¨n sai lÇm vÒ h×nh thøc (nh­ hiÓu sai c«ng thøc, kÝ hiÖu…) Víi SGK ë phæ th«ng cña n­íc ta lµ chØ sö dông cã kÝ hiÖu lµ ®Ó viÕt Giíi h¹n v« cùc cña d·y sè. Nªn tïy vµo tõng tr­êng hîp mµ kÝ hiÖu nµy, cã thÓ ®­îc hiÓu theo c¸c c¸ch kh¸c nhau nh­ + hoÆc - hay hçn hîp c¶ hai + vµ - , ch¼ng h¹n xÐt: VÝ dô 29: Víi lim n2 = , kÝ hiÖu ®­îc hiÓu lµ +. Víi lim (-n) = , kÝ hiÖu nµy ®­îc hiÓu lµ -. Víi lim (-1)nn = , kÝ hiÖu ë ®©y ®­îc hiÓu lµ c¶ - vµ +. V× vËy, nªn khi xÐt giíi h¹n v« cùc cña d·y sè ph¶i xÐt cô thÓ chØ râ rµng, giíi h¹n + hay giíi h¹n - tøc lµ un = + hoÆcun = - . Do R lµ mét tËp hîp s¾p thø tù nªn kh«ng thÓ kÕt luËn chung chung giíi h¹n lµ hay viÕtun= . Cô thÓ, (trë l¹i vÝ dô 21) xÐt giíi h¹n v« cùc cña d·y un = (-1)n theo nh­ ph©n tÝch nµy th×: (-1)nn kh«ng tån t¹i. B¶n chÊt cña + vµ - kh«ng ph¶i lµ nh÷ng sè thùc cô thÓ rÊt lín nµo ®ã, mµ ®óng ra nãi ®Õn l©n cËn cña + tøc lµ kho¶ng ( a , +) vµ l©n cËn cña - lµ kho¶ng (-; a) víi R, do ®ã kh«ng thÓ thùc hiÖn c¸c qui t¾c hay phÐp to¸n ®¹i sè trªn chóng. Ch¼ng h¹n: nÕu = L vµ = + nh­ng kh«ng thÓ viÕt . Nh­ng kÕt qu¶ giíi h¹n ( nÕu cã) cña d·y sè un cã thÓ lµ: Giíi h¹n h÷u h¹n ( 0, h»ng sè L0 ) hoÆc Giíi h¹n v« cùc (), nªn ta cã thÓ xem kÝ hiÖu + vµ - nh­ lµ giíi h¹n cña d·y sè. Nh­ vËy, khi thùc hµnh trong gi¶i to¸n häc sinh dÔ bÞ lÉn lén, gi÷a hai kh¸i niÖm ''giíi h¹n h÷u h¹n'' vµ ''giíi h¹n v« h¹n v« cùc'', trong viÖc biÕn ®æi c¸c phÐp to¸n vÒ giíi h¹n vµ dÉn ®Õn sai lÇm trong kÝ hiÖu nh­ : ( +) - ( + ) = 0 ? ; 0 . = 0 ?... VÝ dô 30: TÝnh Häc sinh A: = ; Häc sinh B: = ; Häc sinh C : = . c) Khã kh¨n sai lÇm liªn quan ®Õn thao t¸c t­ duy Häc sinh hay sai lÇm khi nghiÔm nhiªn ¸p dông mét c«ng thøc, mét kh¸i niÖm cho tr­êng hîp suy biÕn. Trong lÞch sö ®iÓn h×nh vÒ sai lÇm khi vËn dông phÐp t­¬ng tù: VÝ dô 31: TÝnh tæng: S = 1- 1 + 1 – 1 + ... C¸ch 1: S = (1 - 1) + (1 - 1) + … = 0 C¸ch 2: S = 1 – (-1 + 1) – (1 - 1) + … = 1 C¸ch 3 : S = - 1 + 1 – 1 + 1 - 1... = -1 + (1 -1) + (1 -1) + ... = -1 C¸ch 4: Nhµ To¸n häc G¬vi®¬ - G¬zan®i ng­êi Italia nªu ra c¸ch tÝnh tæng nh­ sau : S = 1 - 1 + 1 – 1 + ... S – 1 = -1 + 1 – 1 + ... - S = S - 1 S = . Víi ba c¸ch gi¶i ®Çu ®· ¸p dông tÝnh chÊt kÕt hîp cña tæng h÷u h¹n c¸c sè h¹ng cho tæng v« h¹n cña c¸c sè h¹ng. Mét tæng h÷u h¹n c¸c sè h¹ng kh«ng phô thuéc vµo thø tù c¸c sè h¹ng. Víi ba c¸ch gi¶i ®Çu ®· ¸p dông tÝnh chÊt kÕt hîp cña tæng h÷u h¹n c¸c sè h¹ng cho tæng v« h¹n cña c¸c sè h¹ng. Mét tæng h÷u h¹n c¸c sè h¹ng kh«ng phô thuéc vµo thø tù c¸c sè h¹ng. 2.2.4.2. Khã kh¨n sai lÇm vÒ kÜ n¨ng, bao gåm: HiÖn nay ë tr­êng THPT, nh×n chung tÝnh tÝch cùc, s¸nh t¹o, cña häc sinh cßn yÕu. Häc sinh ë c¸c tr­êng chuyªn líp chän cßn cã ý thøc tù häc tù ®éc lËp suy nghÜ ®Ó s¸ng t¹o tù t×m tßi lêi gi¶i cho c¸c bµi to¸n, tù m×nh gi¶i quyÕt c¸c nhiÖm vô häc tËp, cßn ®¹i ®a sè häc sinh th× û l¹i thÇy c«, s¸ch gi¶i bµi tËp, thiÕu tÝnh xem xÐt, ph©n tÝch ®µo s©u hay më réng viÖc khai th¸c c¸c ®Þnh lý d¹ng bµi tËp c¬ b¶n, dÉn ®Õn häc tËp mét c¸ch m¸y mãc, rËp khu«n, kh«ng ph¸t huy kü n¨ng s¸ng t¹o vµ kh«ng rÌn ®­îc kü n¨ng kü x¶o gi¶i bµi to¸n cho nªn khi gi¶i to¸n thõ¬ng gÆp c¸c khã kh¨n sai lÇm . a) Khã kh¨n sai lÇm khi vËn dông: ®Þnh nghÜa, ®Þnh lý, c«ng thøc VÝ dô 32: TÝnh (?) : Häc sinh cho ngay kÕt qu¶ : = (!) : Nh­ng ®óng ra kÕt qu¶ nµy kh«ng tån t¹i mµ lóc nµy ta ph¶i ph©n biÖt ra: = - vµ = +, vËy kh«ng tån t¹i. ë vÝ dô nµy th× ta thÊy: + §iÓm a = 1 lµ ®iÓm “gi¸p ranh’’ cho nªn khi x tøc lµ c¸c d·y (xn – 1) mang gi¸ trÞ ©m; cßn khi x tøc lµ c¸c d·y ( xn -1) mang gi¸ trÞ d­¬ng + §iÓm a 1 c¸c d·y xna, (a 1) th× ta thÊy r»ng dï cho xa+ hay xa- th× c¸c d·y (xn -1) kh«ng ®æi dÊu. VÝ dô 33 : TÝnh (?) : = = 0+0+... +0 = 0 (!) : C¸c ®Þnh lý vÒ phÐp to¸n Giíi h¹n chØ ph¸t biÓu cho h÷u h¹n sè h¹ng. Trong lêi gi¶i trªn ®· ¸p dông cho giíi h¹n cña tæng v« h¹n c¸c sè h¹ng nªn ®· dÉn ®Õn sai lÇm. Lêi gi¶i ®óng lµ: Ta cã: 1+2+….+n = do ®ã : = = = = (!) : NhËn xÐt: Tæng v« h¹n c¸c ®¹i l­îng cã giíi h¹n 0 ch­a ch¾c ®· cã giíi h¹n 0 (tøc lµ c¸c phÐp to¸n giíi h¹n tæng, hiÖu, tÝch , th­¬ng chØ ph¸t biÓu vµ ®­îc sö dông cho h÷u h¹n c¸c sè h¹ng ). V× vËy th­êng sö dông phÐp ®¸nh gi¸ kÑp gi÷a vµ phÐp biÕn ®æi ph©n tÝch ®Ó tÝnh to¸n c¸c tæng v« h¹n c¸c ®¹i l­îng cã giíi h¹n 0. VÝ dô 34 : TÝnh (?) : Kh«ng tån t¹i Giíi h¹n v× d·y sè ®ang xÐt cã: u1 = 1 , u2 = , u3 = , … kh«ng t¨ng còng kh«ng gi¶m. (!) : Lêi gi¶i ®­a ra kh«ng ®óng, v× ®Þnh lý vÒ d·y ®¬n ®iÖu bÞ chÆn th× cã giíi h¹n chØ lµ nªu lªn ®iÒu kiÖn ®ñ mµ kh«ng ph¶i lµ ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó d·y sè cã giíi h¹n. MÆt kh¸c còng cÇn l­u ý r»ng: Nh÷ng sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y sè kh«ng ¶nh h­ëng tíi sù tån t¹i giíi h¹n cña d·y sè. Ch¼ng h¹n, kÓ tõ sè h¹ng thø d·y sè b¾t ®Çu tiÕn vµ bÞ chÆn trªn th× d·y sè vÉn cã giíi h¹n, cßn c¸c sè h¹ng tõ (-1) trë vÒ tr­íc kh«ng cÇn quan t©m. Sù quan t©m tíi nh÷ng sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y chØ gióp cho sù ph¸n ®o¸n mµ th«i, lêi gi¶i ®óng nh­ sau: V× vµ = 0 nªn = 0. VÝ dô 35: TÝnh (?): Häc sinh ®· ¸p dông sai, nhÇm lÉn tÝnh chÊt: NÕuun= L vµ vn= th× Tøc: Víi un = (-1)n , vn = th× . (!) : KÕt qu¶ th× vÉn ®óng nh­ng nhÇm lÉn ë ®©y lµ (-1)n kh«ng cã giíi h¹n, do un = (-1)n lµ d·y bÞ chÆn nh­ng kh«ng cã giíi h¹n. VËy th­êng sö dông phÐp ®¸nh gi¸ kÑp gi÷a hai ®ai l­îng cã cïng giíi h¹n ®ã lµ: do = = 0 nªn = 0. Kh¸i niÖm giíi h¹n cña hµm sè lµ mét kh¸i niÖm khã hiÓu ®èi víi häc sinh (thËm chÝ ®èi víi c¶ gi¸o viªn), khi d¹y kh¸i niÖm giíi h¹n gi¸o viªn kh«ng quan t©m tíi gi¶i thÝch tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè cã vai trß trong tÝnh giíi h¹n nh­ thÕ nµo? VÝ dô 36: TÝnh Cã häc sinh lËp luËn: Ta cã vµ . VËy theo ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña tæng hai hµm sè th×: = 0. Thùc ra nh­ng hµm sè f(x) = kh«ng cã giíi h¹n t¹i x = 1 bëi lÏ biÓu thøc chØ cã nghÜa duy nhÊt t¹i ®iÓm x = 1 nªn tËp x¸c ®Þnh cña f(x) lµ K=. Do ®ã kh«ng thÓ ®Þnh nghÜa ®­îc, v× kh«ng thÓ lÊy bÊt k× d·y nµo víi , mµ dÇn tíi 1 ®­îc. Häc sinh ¸p dông ®Þnh lÝ nh­ng kh«ng hiÓu râ ph¹m vi ¸p dông cña ®Þnh lÝ. VÝ dô 37: T×m giíi h¹n I = (?): Ta cã , ...,. Nªn I = 0 + 0 + ...+ 0 = 0 (!): §Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña tæng, hiÖu, tÝch, th­¬ng c¸c d·y chØ ph¸t biÓu cho mét sè h÷u h¹n c¸c d·y, c¸c d·y nµy ph¶i cã giíi h¹n, nh­ng häc sinh ®· ¸p dông cho tæng v« h¹n. Lêi gi¶i ®óng lµ: §Æt , ta cã: 2nAn = = 2sin Nªn , chø kh«ng ph¶i lµ 0 nh­ lêi gi¶i sai trªn ®©y cña häc sinh. NhiÒu vÝ dô kh¸c xung quanh chñ ®Ò giíi h¹n, xÐt tÝnh liªn tôc, kh¶ vi cña hµm sè cho bëi nhiÒu c«ng thøc, tËp x¸c ®Þnh chia thµnh nhiÒu kho¶ng, VÝ dô 38 : T×m giíi cña hµm sè f(x) = RÊt nhiÒu häc sinh suy nghÜ r»ng do do ®ã . Thùc ra lêi gi¶i ®óng ph¶i xÐt giíi h¹n bªn ph¶i, bªn tr¸i t¹i x = a. b) Khã kh¨n sai lÇm vÒ kÜ n¨ng biÕn ®æi VÝ dô 39 : T×m (?) : Häc sinh gi¶i : = x+1 = = 2, kÕt qu¶ trªn lµ ®óng nh­ng thËt sai lÇm khi biÕn ®æi ®ång nhÊt = x+1 dÊu b»ng kh«ng thÓ x¶y ra, v× chóng cã tËp x¸c ®Þnh hoµn toµn kh¸c nhau (!) : Ta hiÓu b¶n chÊt lµ chän d·y xn 1, xn1 = xn+1 Khi ®ã = = 2. VÝ dô 40 : T×m (?) : Häc sinh biÕn ®æi lµ: = = = (!) : Thùc ra ë ®©y häc sinh th­êng hay nhÇm lÉn khi ®­a biÓu thøc ra khái dÊu c¨n d¹ng , kÕt qu¶ trªn chØ ®óng khi x + nªn ph¶i biÕn ®æi, Ta cã : vµ khi ®ã = = Mét sai lÇm mµ häc sinh hay m¾c ph¶i lµ khi ®· ®Þnh h­íng ph©n chia ra hai tr­êng hîp x vµ x råi nh­ng khi biÕn ®æi chØ xÐt cã mét trong hai tr­êng hîp th­êng lµ víi xra ®Õn kÕt qu¶, lÊy kÕt qu¶ nµy thay ®æi dÊu vµ kÕt luËn lµ cña tr­êng hîp x , nh­ng qua vÝ dô nµy kÕt qu¶ l¹i kh«ng nh­ vËy. MÆt kh¸c nÕu kh«ng dïng kÝ hiÖu d¹ng chung chung mµ ph©n ra hai lo¹i râ rµng x hoÆc x th× ch¾c ch¾n häc sinh sÏ ®ì gÆp nh÷ng khã kh¨n sai lÇm nh­ trªn. c) Khã kh¨n sai lÇm vÒ ®Þnh h­íng kÜ n¨ng tÝnh to¸n VÝ dô 41: TÝnh (?): Thùc hiÖn:== ®Õn ®©y gÆp d¹ng v« ®Þnh vµ häc sinh tÝnh to¸n tiÕp ®Ó khö d¹ng v« ®Þnh nµy b»ng c¸ch cïng nh©n vµ chia c¶ tö vµ mÉu víi cÆp biÓu thøc liªn hîp cã d¹ng ph©n thøc vµ sÏ rÊt phøc t¹p, khã kh¨n trong tÝnh to¸n, khi ®ã dÔ g× ®i ®Õn kÕt qu¶ ®óng. (!) : Khi t×m giíi h¹n, mét sè häc sinh kh«ng cã thãi quen ®Þnh h­íng vµ x¸c ®Þnh d¹ng, tr­íc khi biÕn ®æi tÝnh to¸n ®¹i sè, nÕu ngay tõ ®Çu x¸c ®Þnh ®­îc khi n th× tö sè vµ mÉu sè ®Òu cã d¹ng v« ®Þnh (-) th× ta ph¶i khö d¹ng v« ®Þnh nµy tr­íc, cô thÓ: TÝnh : = Khi t×m giíi h¹n, mét sè häc sinh kh«ng cã thãi quen x¸c ®Þnh ®óng d¹ng thuéc läai v« ®Þnh nµo tr­íc khi ®Þnh h­íng biÕn ®æi tÝnh to¸n ®¹i sè, do ®ã xem c¸c d¹ng: (-) + (-), (+) + (+), (+) - (-), (-) - (+) ®Òu thuéc d¹ng v« ®Þnh lµ () - (), nªn hay ¸p dông c¸c kû thuËt tÝnh to¸n khö d¹ng v« ®Þnh nµy ®Ó gi¶i. §«i khi viÖc ¸p dông cho phÐp tÝnh ®­îc kÕt qu¶ giíi h¹n, nh­ng ®a sè c¸c tr­êng hîp kh¸c chØ dÉn tíi c¸c d¹ng v« ®Þnh lo¹i kh¸c n÷a, ch¼ng h¹n: VÝ dô 42: T×m (x2 – x) = = = +; VÝ dô 43 : T×m nÕu cø thùc hiÖn biÕn ®æi (d¹ng) Nªn ®èi víi nh÷ng d¹ng ®ã nÕu hiÓu ®­îc b¶n chÊt vµ kÕt hîp víi c¸c b¶ng kÕt qu¶ phÐp to¸n v« cùc ®· lËp (ë môc 2.1.4.3.e ) th× sÏ cã ngay ®¸p sè: VÝ dô 42 : (x2 – x) = x2 - x = + VÝ dô 43 : = x = + HoÆc cã thÓ xÐt nh­ sau, cô thÓ: VÝ dô 42 : (x2 – x) = VÝ dô 43 : = 2.3. KÕt luËn ch­¬ng 2 Ch­¬ng 2 cña luËn v¨n lµm s¸ng tá thùc tr¹ng vÒ d¹y häc chñ ®Ò c¸c kh¸i niÖm giíi h¹n b»ng viÖc m« t¶ nh÷ng khã kh¨n, sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n vÒ chñ ®Ò nµy mµ nguyªn nh©n chñ yÕu cña nh÷ng khã kh¨n, sai lÇm lµ nh÷ng ch­íng ng¹i vÒ nhËn thøc khi häc c¸c kh¸i niÖm giíi h¹n. §Æc biÖt trong viÖc më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y vµ hµm sè sÏ kÐo theo mét sè vÊn ®Ò khi d¹y häc vÒ c¸c kh¸i niÖm nµy . Ch­¬ng 2 nµy còng phÇn nµo lµm s¸ng tá nhËn ®Þnh c¸c quan ®iÓm gi¶i tÝch tõ ®ã ®· hÖ thèng hãa, ph©n tÝch, diÔn gi¶i ®­îc nh÷ng c¸ch tiÕp cËn kh¸i niÖm chñ ®Ò giíi h¹n ®Ó thiÕt kÕ c¸ch thøc, vÝ dô minh ho¹ d¹y häc kh¸i niÖm vµ bµi tËp vÒ chñ ®Ò giíi h¹n theo h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh. §iÒu nµy cho thÊy ph­¬ng ph¸p d¹y häc nµy huy ®éng ®­îc häc sinh tham gia vµo qu¸ tr×nh nhËn thøc. NÕu ®­îc rÌn luyÖn bëi ph­¬ng ph¸p d¹y häc ph¸t huy TTCNT cña häc sinh th× b¶n th©n c¸c em dÇn dÇn cã nh÷ng phÈm chÊt vµ n¨ng lùc thÝch øng víi thêi ®¹i. ý thøc ®­îc môc ®Ých viÖc häc, tù nguyÖn tù gi¸c häc tËp cã ý thøc vµ tr¸ch nhiÖm cao trong häc tËp, biÕt häc mäi lóc, mäi n¬i, tiÕn tíi biÕt tù häc, tù ®¸nh gi¸. Ph­¬ng ph¸p d¹y häc ph¸t huy TTCNT häc sinh kh«ng ph¶i lµ mét ph­¬ng ph¸p riªng lÏ mµ lµ mét hÖ thèng c¸c ph­¬ng ph¸p t¸c ®éng liªn tôc cña gi¸o viªn nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh, t­ duy ®éc lËp, bao gåm c¶ trong ®ã nh÷ng pha ®Çu tiªn cña ph­¬ng ph¸p d¹y häc s¸ng t¹o, ®Ó cã ®­îc phong c¸ch häc tËp cã hiÖu qu¶ ®ßi hái häc sinh ph¶i thùc sù tù gi¸c, chñ ®éng cã ý thøc häc tËp cao . Ch­¬ng 3 Thùc nghiÖm s­ ph¹m 3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm Thùc nghiÖm s­ ph¹m ®­îc tiÕn hµnh nh»m môc ®Ých kiÓm tra tÝnh kh¶ thi vµ tÝnh hiÖu qu¶ cña viÖc d¹y häc chñ ®Ò kh¸i niÖm Giíi h¹n líp 11- THPT theo h­íng ph¸t huy TTCNT cña häc sinh ; kiÓm nghiÖm tÝnh ®óng ®¾n cña Gi¶ thuyÕt khoa häc. 3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 3.2.1. Tæ chøc thùc nghiÖm Thùc nghiÖm s­ ph¹m ®­îc tiÕn hµnh t¹i tr­êng THPT NguyÔn C«ng Trø, Nghi xu©n, Hµ tÜnh. Líp thùc nghiÖm: 11A cã 51 häc sinh, gi¸o viªn d¹y §µo ThÞ Thu Hµ ; Líp ®èi chøng : 11B cã 57 häc sinh , gi¸o viªn d¹y Phan ThÞ H»ng. Víi chÊt l­îng kh¶o s¸t ®Çu n¨m cña hai líp lµ t­¬ng ®èi ®Òu nhau. Thêi gian thùc nghiÖm s­ ph¹m ®­îc tiÕn hµnh trong 3 th¸ng theo ph©n phèi ch­¬ng tr×nh cña Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o ë bé s¸ch Gi¶i tÝch- §¹i sè líp 11, víi néi dung chñ ®Ò Giíi h¹n. T¸c gi¶ chän mét sè chñ ®Ò d¹y thùc nhiÖm : + Giíi h¹n d·y sè ; + LuyÖn tËp vÒ bµi tËp Giíi h¹n cña hµm sè. Víi sù phong phó cña bµi tËp néi dung chñ ®Ò nµy nªn mét sè bµi tËp d¹ng cñng cè, n©ng cao, kh¾c s©u ®­îc gi¶ng d¹y cho häc sinh trong c¸c tiÕt häc tù chän ngo¹i khãa, phô ®¹o båi d­ìng. 3.2.2 . Néi dung thùc nghiÖm Tæ chøc thùc hiÖn d¹y häc Ch­¬ng Giíi h¹n *) T¹i líp thùc nghiÖm + ) Gi¸o viªn thùc hµnh theo tiÕn tr×nh d¹y häc theo h­íng ph¸t huy TTTNT cña häc sinh. +) Quan s¸t ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh, ®¸nh gi¸ trªn hai mÆt ®Þnh tÝnh vµ ®Þnh l­îng ®Ó nhËn ®Þnh kÕt qu¶ vÒ TTCNT cña häc sinh. *) T¹i líp ®èi chøng +) Gi¸o viªn vÉn d¹y häc b×nh th­êng kh«ng tiÕn hµnh nh­ ®èi víi líp thùc nghiÖm vµ quan s¸t ®iÒu tra kÕt qu¶ häc tËp cña häc sinh ë líp ®èi chøng. Thùc nghiÖm ®­îc tiÕn hµnh trong 19 tiÕt Ch­¬ng Giíi h¹n . Sau khi d¹y thùc nghiÖm, chóng t«i cho häc sinh lµm cïng mét ®Ò ®èi víi bµi kiÓm tra 1 tiÕt. Cô thÓ néi dung bµi kiÓm tra lµ: §Ò kiÓm tra (45 phót ) : C©u 1: T×m c¸c sè h¹ng cña d·y un = sao cho kho¶ng c¸ch cña chóng ®Õn sè 1 lµ : a) nhá h¬n 1 ; b) nhá h¬n C©u 2: H·y cho biÕt d·y sè nµo cã giíi h¹n ? NÕu d·y sè cã giíi h¹n chØ ra giíi h¹n cña d·y sè ? KÓ tõ sè h¹ng thø mÊy trë ®i th× nhá h¬n 0,00001 ? a ) un = (-1)nn ; b) vn = (-1)n ; c) wn = n ; d) zn = . C©u 3 : Cho ba hµm sè:= ; = ; = C¸c ®­êng cong C1, C2, C3( h.1,2,3) lµ ®å thÞ cña ba hµm sè nµy, xÐt trªn tËp R\, (kh«ng xÕp theo thø tù). a) Quan s¸t ®å thÞ vµ nªu nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n cña c¸c hµm sè khi x 0+, x 0 - , x-, x + ? b) ChØ dïng kÕt qu¶ tÝnh giíi h¹n cña hµm sè, , khi: x0 - , x0+, x-, x+ tõ ®ã h·y x¸c ®Þnh ®­êng cong nµo lµ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho ? (H×nh 1 ) ( H×nh 2) ( H×nh 3 ) * Dông ý s­ ph¹m cña ®Ò kiÓm tra (45 phót) : C©u 1: Còng nh»m kiÓm tra häc sinh cã n¾m ®­îc b¶n chÊt kh¸i niÖm d·y sè cã giíi h¹n L0 qua vËn dông ®Þnh nghÜa, b»ng c¸ch chØ ra cô thÓ t­¬ng øng víi tõng sè d­¬ng (ë ®©y ngÇm hiÓu lµ sè ) t­¬ng øng cô thÓ; C©u 2: KiÓm tra häc sinh n¾m v÷ng kh¸i niÖm ®Þnh nghÜa d·y cã giíi h¹n, kh«ng ph¶i mäi d·y sè ®Òu lµ hoÆc cã giíi h¹n h÷u h¹n ( L0 ) hoÆc cã giíi h¹n v« cùc (), nÕu d·y sè nµo cã giíi h¹n h·y chØ ra giíi h¹n cña d·y sè b»ng c¸ch vËn dông ®Þnh nghÜa vµ ¸p dông víi d·y sè nhá h¬n 0,00001; C©u 3 : Nh»m kiÓm tra häc sinh b»ng nhËn ®Þnh trùc quan dùa vµo ®å thÞ nªu nhËn xÐt dù ®o¸n giíi h¹n cña c¸c hµm sè, råi tõ ®ã x¸c ®Þnh ®­îc ®å thÞ nµo lµ cña hµm sè t­¬ng øng . 3.3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 3.3.1. §¸nh gi¸ ®Þnh tÝnh Chñ ®Ò kh¸i niÖm giíi h¹n cña hµm sè lµ mét néi dung khã trong ch­¬ng tr×nh to¸n THPT. Th«ng qua qu¸ tr×nh thùc nghiÖm, kiÓm tra chÊt l­îng tr¶ lêi c©u hái, còng nh­, bµi kiÓm tra cña häc sinh, cã thÓ rót ra mét sè nhËn xÐt sau: §èi víi líp d¹y thùc nghiÖm Nh×n chung trong líp c¸c em tÝch cùc ho¹t ®éng, líp häc s«i næi kh«ng khÝ tho·i m¸i giê häc ®· ph¸t huy ®­îc TTCNT , tÝnh ®éc lËp s¸ng t¹o v× ph­¬ng ph¸p d¹y häc nµy huy ®éng ®­îc häc sinh tham gia vµo qu¸ tr×nh nhËn thøc phï hîp víi tr×nh ®é tiÕp thu cña häc sinh. Nh­ng còng cã mÆt h¹n chÕ lµ mét sè häc sinh trong líp cßn qu¸ bë ngì , qua t×m hiÓu thùc tr¹ng häc tËp cña c¸c em cßn yÕu vµ thùc tÕ c¸c em ch­a thùc sù ý thøc tham gia vµo ho¹t ®éng häc tËp mét c¸ch tÝch cùc. Nh­ vËy víi h×nh thøc d¹y häc nµy sÏ phï hîp h¬n víi tÊt c¶ c¸c ®èi t­îng häc sinh nÕu nh­ trong líp häc sinh chÊt l­îng t­¬ng ®­¬ng nhau. §èi víi líp häc ®èi chøng Ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh cßn Ýt, chñ yÕu tiÕp thu kiÕn thøc mét c¸ch thô ®éng nªn khi më réng hay lµm bµi tËp tæng hîp hay n©ng cao ®ßi hái ph¶i t­ duy th× c¸c em ch­a tù m×nh ph¸t hiÖn, ph¸t huy tÝnh ®éc lËp s¸ng t¹o mÆc dï c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®ã c¸c em n¾m ®­îc ®©y lµ ®IÓm kh¸c biÖt cña líp ®èi chøng so víi líp ®­îc d¹y thùc nghiÖm . VËy thùc tÕ cho thÊy häc sinh ë líp ®­îc d¹y thùc nghiÖm ®· ph¸t huy ®­îc tÝnh tÝch cùc ®éc lËp s¸ng t¹o cã kh¶ n¨ng tiÕp thu kiÕn thøc míi mét c¸ch chñ ®éng h¬n nhiÒu so víi líp ®èi chøng . 3.3.2. §¸nh gi¸ ®Þnh l­îng KÕt qu¶ lµm bµi kiÓm tra cña häc sinh 11A líp thùc nghiÖm (TN) vµ häc sinh 11B líp ®èi chøng (§C) ®­îc thÓ hiÖn th«ng qua 2 B¶ng thèng kª sau ®©y; B¶ng 1 Líp TN: Sè häc sinh vµ (tû lÖ%) §C: Sè häc sinh vµ (tû lÖ%) §iÓm 0 0 (0%) 0 (0%) 0 (0%) 0 (0%) 2 (3,9%) 0 (0%) 0 (0%) 3 (5,3%) 6 (11,8%) 13(22,8% ) 7 (13,7%) 7 (12,3%) 7 (13,7%) 17 (29,8%) 10 (19,6%) 9 (15,8%) 9 (17,6%) 4(7%) 9 (17,6%) 4 (7%) 1 (2%) 0 (0%) Líp TN §C Trung b×nh 6,6 ®iÓm 5,8 ®iÓm Tû lÖ ®¹t yªu cÇu 84,3% 71,9% Tû lÖ ®iÓm kÐm 15,7% 28,1% Tû lÖ ®iÓm trung b×nh 27,4% 42,1% Tû lÖ ®iÓm kh¸ 37,2% 28,8% Tû lÖ ®iÓm giái 19,6% 7% B¶ng 1 cho thÊy: ®iÓm trung b×nh céng; tû lÖ ®¹t yªu cÇu; tû lÖ ®¹t ®iÓm kh¸, giái ë líp thùc nghiÖm cao h¬n so víi líp ®èi chøng. C©u hái ®Æt ra lµ: Cã ph¶i ph­¬ng ph¸p d¹y ë líp thùc nghiÖm tèt h¬n ph­¬ng ph¸p d¹y ë líp ®èi chøng kh«ng, hay chØ do ngÉu nhiªn mµ cã ? Chóng ta ®Ò ra Gi¶ thuyÕt thèng kª H0: “Kh«ng cã sù kh¸c nhau gi÷a hai ph­¬ng ph¸p” vµ sö dông Ph­¬ng ph¸p U[23, tr. 58] nh»m b¸c bá H0 (xem b¶ng) B¶ng 2 §iÓm sè XÕp h¹ng TN §C TN §C 2 2 1,5 1,5 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 10 113 n1 = 51 n2 = 57 R1 = 3411 R2 = 2696 = 3411 - = 3411 – 1326 = 2085 = 2696 - = 2696 – 1653 = 1043 = = 1453,5 ; = 161 u = = = 3,92 Víi møc ý nghÜa a = 0,05 th× gi¸ trÞ tíi h¹n = 1,64. V× u = 3,92 > 1,64 = nªn Gi¶ thuyÕt H0 bÞ b¸c bá. VËy ph­¬ng ph¸p d¹y ë líp thùc nghiÖm tèt h¬n so víi ph­¬ng ph¸p d¹y ë líp ®èi chøng. 3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm Qu¸ tr×nh thùc nghiÖm cïng nh÷ng kÕt qu¶ rót ra sau thùc nghiÖm cho thÊy: môc ®Ých thùc nghiÖm ®· ®­îc hoµn thµnh, tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña c¸c quan ®iÓm ®· ®­îc kh¼ng ®Þnh. Thùc hiÖn c¸c ph­¬ng thøc ®ã sÏ gãp phÇn ph¸t huy TTCNT cña häc sinh, ®ång thêi gãp phÇn quan träng vµo viÖc n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc m«n To¸n ë tr­êng THPT. KÕt luËn LuËn v¨n ®· thu ®­îc nh÷ng kÕt qu¶ chÝnh sau ®©y: 1. §· hÖ thèng hãa c¸c quan ®iÓm cña nhiÒu nhµ khoa häc vÒ c¸ch ph¸t huy TTTCN cña häc sinh trong d¹y häc nãi chung, còng nh­ trong d¹y häc ®Æc thï cña bé m«n To¸n nãi riªng ; 2. LuËn v¨n lµm s¸ng tá nhËn ®Þnh c¸c quan ®iÓm gi¶i tÝch tõ ®ã ®· hÖ thèng hãa, ph©n tÝch, diÔn gi¶i ®­îc nh÷ng c¸ch tiÕp cËn chñ ®Ò kh¸i niÖm giíi h¹n ; 3. §· ®Ò xuÊt ®­îc xu h­íng d¹y häc phï hîp víi viÖc tËp luyÖn cho häc sinh ph¸t huy ®­îc TTCNT cô thÓ lµ x©y dùng ®­îc n¨m ph­¬ng thøc s­ ph¹m th«ng qua d¹y häc chñ ®Ò c¸c kh¸i niÖm giíi h¹n cña gi¶i tÝch ë bËc THPT; 4. §· phÇn nµo lµm s¸ng tá thùc tr¹ng vÒ d¹y häc chñ ®Ò c¸c kh¸i niÖm giíi h¹n b»ng viÖc m« t¶ nh÷ng khã kh¨n, sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i To¸n vÒ chñ ®Ò nµy mµ nguyªn nh©n chñ yÕu cña nh÷ng khã kh¨n, sai lÇm nµy lµ sù ch­íng ng¹i vÒ nhËn thøc khi häc c¸c kh¸i niÖm giíi h¹n. §Æc biÖt trong viÖc më réng kh¸i niÖm giíi h¹n cña d·y vµ hµm sè sÏ kÐo theo mét sè vÊn ®Ò cÇn quan t©m khi d¹y häc vÒ c¸c kh¸i niÖm nµy ; 5. ThiÕt kÕ c¸ch thøc, vÝ dô minh ho¹ d¹y häc theo h­íng nh»m ph¸t huy TTCNT cña häc sinh th«ng qua d¹y häc kh¸i niÖm vµ d¹y häc bµi tËp vÒ chñ ®Ò giíi h¹n; 6. §· tæ chøc thùc nghiÖm s­ ph¹m ®Ó minh häa tÝnh kh¶ thi vµ hiÖu qu¶ cña nh÷ng gi¶i ph¸p ph­¬ng thøc ®· ®Ò xuÊt x©y dùng; Nh­ vËy, cã thÓ kh¼ng ®Þnh r»ng: Môc ®Ých nghiªn cøu ®· ®­îc thùc hiÖn, NhiÖm vô nghiªn cøu ®· hoµn thµnh vµ Gi¶ thuyÕt khoa häc lµ chÊp nhËn ®­îc. Tµi LiÖu Tham Kh¶o [1] Lª Quang Anh, (1995) Giíi h¹n d·y sè, Nxb §ång Nai. [2] NguyÔn Ngäc B¶o, (1995) Ph¸t triÓn tÝnh tÝch cùc, tÝnh tù lùc cña häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y häc, Nxb Gi¸o dôc. [3] NguyÔn VÜnh CËn, Lª Thèng NhÊt, Phan Thµnh Quang, (1996) Sai lÇm phæ biÕn khi gi¶i to¸n, Nxb Gi¸o dôc. [4] Phan §øc ChÝnh, Ng« H÷u Dòng, (1996) Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc. [5] Phan §øc ChÝnh, Ng« H÷u Dòng, Hµn Liªn H¶i, TrÇn V¨n H¹o, (1995) Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 Ban TN, Nxb Gi¸o dôc. [6] Phan §øc ChÝnh, TrÇn V¨n H¹o, Ng« Xu©n S¬n, (1996) Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 Ban KHTN, Nxb Gi¸o dôc. [7] Vò Cao §µm, (2005) Ph­¬ng ph¸p luËn nghiªn cøu khoa häc, Nxb- KHKT. [8] Vâ Giang Giai, NguyÔn Ngäc Thu, (2006) Mét sè bµi to¸n vÒ d·y sè c¸c ®Ò thi OLYMPIC 30-4, Nxb §HQG HN. [9] TrÇn V¨n H¹o (Chñ biªn phÇn I), Cam Duy LÔ Ng« Thóc Lanh (Chñ biªn phÇn II) Ng« Xu©n S¬n, Vò TuÊn, (2000) Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch11 (S¸ch chØnh lý hîp nhÊt 2000), Nxb Gi¸o dôc. [10] TrÇn V¨n H¹o, cïng céng sù, (2004) Bé 2, bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc. [11] Ph¹m V¨n Hoµn, NguyÔn Gia Cèc, TrÇn Thóc Tr×nh, (1981) Gi¸o dôc häc m«n to¸n , Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi. [12] TrÇn B¸ Hoµnh cïng, céng sù, (2002) ¸p dông d¹y vµ häc tÝch cùc trong m«n to¸n, Nxb §HSP. [13] NguyÔn Th¸i Hße, (1989) T×m tßi lêi gi¶i c¸c bµi to¸n vµ øng dông vµo viÖc d¹y to¸n, häc to¸n, Nxb Gi¸o dôc. [14] NguyÔn Phô Hy, (2003) øng dông giíi h¹n ®Ó gi¶i to¸n THPT, Nxb Gi¸o dôc. [15] Phan Huy Kh¶i, (1998) To¸n n©ng cao §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11, Nxb §H QG Hµ Néi. [16] Phan Huy Kh¶i, (2001) Giíi thiÖu c¸c d¹ng to¸n luyÖn thi ®¹i häc (tËp III), Nxb Hµ Néi. [17] Phan Huy Kh¶i, (2000) To¸n båi d­ìng häc sinh THPT, Nxb Hµ néi. [18] Kharlamop I. F, (1987) Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh nh­ thÕ nµo? (tËp I), Nxb Gi¸o dôc. [19] Kharlamop I. F, (1987) Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh nh­ thÕ nµo? (tËp II), Nxb Gi¸o dôc. [20] NguyÔn B¸ Kim, (1999) Häc tËp trong ho¹t ®éng vµ b»ng ho¹t ®éng, Nxb Gi¸o dôc. [21] NguyÔn B¸ Kim, (2006) Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc. [22] NguyÔn B¸ Kim, Vò D­¬ng Thôy, (1997) Ph­¬ng ph¸p d¹y häc M«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc. [23] NguyÔn B¸ Kim,Vò D­¬ng Thôy, Ph¹m V¨n KiÒu, (1997) Ph¸t triÓn lý luËn d¹y häc m«n To¸n ( tËp 1)-NCKHGD, Nxb Gi¸o dôc. [24] Ng« Thóc Lanh, cïng céng sù, (1992) Bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11 , Nxb Gi¸o dôc. [25] Ng« Thóc Lanh, (1997) T×m hiÓu gi¶i tÝch phæ th«ng, Nxb Gi¸o dôc. [26] Lª Quang Long, (1999) Thö ®i t×m nh÷ng PPDH hiÖu qu¶, Nxb Gi¸o dôc. [27] NguyÔn V¨n MËu, (2001) Giíi h¹n d·y sè vµ hµm sè, Nxb Gi¸o dôc. [28] TrÇn Thµnh Minh, (2000) Gi¶i to¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11, Nxb Gi¸o dôc. [29] Bïi V¨n NghÞ, cïng céng sù, (2005) Tµi liÖu BD TX cho gi¸o viªn THPT chu kú III, ViÖn nghiªn cøu SP. [30] Lª ViÕt Ng­, Phan V¨n Danh, NguyÔn §Þnh, Lª V¨n H¹p, NguyÔn Hoµng, (1998) To¸n cao cÊp Gi¶i tÝch-hµm mét biÕn(tËp hai), Nxb Gi¸o dôc, Hµ Néi. [31] Ph¹m Quèc Phong, (2004) Chuyªn ®Ò n©ng cao to¸n THPT §¹i sè vµ Gi¶i tÝch, Nxb §H QG. [32] NguyÔn Lan Ph­¬ng, (2000) C¶i tiÕn ph­¬ng ph¸p d¹y häc to¸n víi yªu cÇu tÝch cùc hãa ho¹t ®éng häc tËp theo h­íng gióp häc sinh ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò qua phÇn gi¶ng d¹y ''quan hÖ vu«ng gãc trong kh«ng gian'' líp 11 THPT. LuËn ¸n tiÕn sÜ . [33] TrÇn Ph­¬ng, NguyÔn §øc TÊn, (2004) Sai lÇm th­êng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i to¸n, Nxb Hµ Néi . [34] Polia.G, (1997) Gi¶i bµi to¸n nh­ thÕ nµo?, Nxb Gi¸o dôc. [35] Polia.G, (1995) S¸ng t¹o to¸n häc, Nxb Gi¸o dôc. [36] Polia.G, (1995) To¸n häc vµ nh÷ng suy luËn cã lý, Nxb Gi¸o dôc. [37] §oµn Quúnh, cïng céng sù, (2004) Bé 1, bé s¸ch §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 11, Nxb Gi¸o dôc. [38] §oµn Quúnh, cïng céng sù, (2006) Tµi liÖu båi d­ìng –gi¸o viªn- m«n To¸n, Nxb Gi¸o dôc. [39] TrÇn QuyÕt Th¾ng, cïng céng sù, (1995) Kû yÕu héi nghÞ chuyªn ®Ò ®æi míi ph­¬ng ph¸p DH m«n to¸n ë PT,Vinh. [40] TrÇn V¨n Th­¬ng, Ph¹m §×nh, Lª V¨n §ç, (1995) Ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n §¹i sè vµ Gi¶i tÝch líp 11, Nxb Gi¸o dôc. [41] §Æng ThÞ D¹ Thñy, (1999) Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh trong lµm viÖc víi SGK - NC GD. [42] Lª V¨n TiÕn, (2000) Mét sè quan ®iÓm kh¸c nhau vÒ gi¶ng d¹y gi¶i tÝch ë tr­êng phæ th«ng, T¹p chÝ Nghiªn cøu Gi¸o dôc, sè 338 vµ sè 339. [43] NguyÔn C¶nh Toµn, (2006) Nªn häc to¸n thÕ nµo cho tèt? , Nxb Gi¸o dôc. [44] TrÇn Thóc Tr×nh, (1998) C¬ së lý luËn d¹y häc n©ng cao, Nxb Hµ Néi. [45] Th¸i Duy Tuyªn, ( 2001) Gi¸o dôc häc hiÖn ®¹i, Nxb §H QG.