1.Lý do chọn đề tài
Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học công nghệ có những bước tiến
nhảy vọt, việc đào tạo những con người không chỉ nắm vững kiến thức mà
còn có năng lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng đối với tiềm lực khoa học kĩ
thuật của đất nước.
Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành trung ương Đảng Cộng
Sản Việt Nam (khóa VII, 1993) đã chỉ rõ:
“Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải huớng vào đào tạo những con người
lao động, tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp,
qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu,
nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh.”
Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành trung ương Đảng Cộng
Sản Việt Nam (khóa VIII, 1997), tiếp tục khẳng định:
“Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ
một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp
dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học,
đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là
sinh viên đại học”.
Như vậy, quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học đã khẳng
định, cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT
là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập
thụ động.
Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việc
dạy giải bài tập toán ở trường phổ thông có vai trò quan trọng vì:
.Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học. Việc giải toán
là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy,
tính sáng tạo. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục
đích dạy học toán ở trường phổ thông. Dạy giải bài tập toán cho học sinh có
tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú cho
học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức vào
tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc
lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa trọn phương pháp tự học tối ưu.
Thực tiễn dạy học cho thấy: Việc sử dụng phương pháp véctơ trong
nghiên cứu hình học, học sinh có thêm những công cụ mới để diễn đạt, suy
luận để giải toán, tránh được ảnh hưởng không có lợi của trực giác. Đây cũng
là dịp tốt để học sinh làm quen với ngôn ngữ toán học cao cấp. Thế nhưng
việc sử dụng không thành thạo phương pháp trên đã làm học sinh gặp nhiều
khó khăn và lúng túng, hạn chế tới kết quả học tập.
Với những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bằng phương pháp véctơ, trong chương trình hình học 10” (Chương I,II - Hình học 10 - Sách giáo khoa nâng cao ).
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN TRONG VIỆC DẠY HỌC
GIẢI BÀI TẬP BẰNG PPVT . 4
1.1 Lý luận về dạy học giải bài tập toán . 4
1.1.1 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông . 4
1.1.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán . 5
1.1.3 Dạy học phương pháp giải bài toán . 6
1.1.4 Bồi dưỡng năng lực giải toán . 10
1.2 Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 13
1.2.1 Kỹ năng . 13
1.2.2 Kỹ năng giải toán 14
1.2.3 Đặc điểm của kỹ năng . 14
1.2.4 Sự hình thành kỹ năng 15
1.2.5 Một số kỹ năng cơ bản trong quy trình giải bài toán bằng phương
pháp véctơ 17
1.2.5.1 Diễn đạt quan hệ hình học bằng ngôn ngữ véc tơ 17
1.2.5.2 Phân tích 1 véc tơ thành một tổ hợp véctơ 18
1.2.5.3 Kỹ năng biết cách ghép 1 số véctơ trong 1 tổ hợp véctơ 20
1.2.5.4 Biết khái quát hóa 1 số những kết quả để vận dụng vào bài toán
tổng quát hơn 21
1.3 Nội dung chương trình HH10-SGK nâng cao . 21
1.3.1 Nhiệm vụ của HH10-SGK nâng cao . 21
1.3.2 Những chú ý khi giảng dạy HH10-SGK nâng cao . 22
1.3.3 Mục đích yêu cầu của PPVT trong chương trình HH10- SGK
nâng cao 25
1.4 Những khó khăn sai lầm của học sinh lớp 10 khi giải toán hình học
phẳng bằng PPVT 26
1.4.1 Những điều cần lưu ý khi giảng dạy véctơ trong HH10-SGK
nâng cao . 26
1.4.2 Những khó khăn sai lầm của học sinh lớp 10 khi giải toán hình học
phẳng bằng PPVT 28
1.5 Kết luận chương 1 32
Chương 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC 10 THEO
HưỚNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PPVT 33
2.1 Những kiến thức cơ bản về véctơ trong chương trình HH10-SGK
nâng cao 34
2.2 Quy trình bốn bước giải bài toán hình học bằng PPVT 37
2.3 Hệ thống bài tập 40
2.3.1 Những kiến thức bổ trợ để xây dựng hệ thống bài tập 40
2.3.2 Những dụng ý sư phạm khi xây dựng hệ thống bài tập 46
2.3.3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng . 46
2.3.4 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 60
2.3.5 Chứng minh đẳng thức véctơ 72
2.3.6 Các bài toán tìm tập hợp điểm . 81
2.3.7 Ứng dụng của véctơ vào đại số . 93
2.4 Kết luận chương 2 96
Chương 3. THỬ NGHIỆM Sư PHẠM . 97
3.1 Mục đích thử nghiệm sư phạm . 97
3.2 Nội dung thử nghiệm . 97
3.3 Tổ chức thử nghiệm . 110
3.3.1 Chọn lớp thử nghiệm . 110
3.3.2 Tiến trình thử nghiệm . 110
3.4 Đánh giá kết quả thử nghiệm . 110
3.5 Kết luận chương 3 114
KẾT LUẬN CHUNG 115
TÀI LIỆU THAM KHẢO 116
123 trang |
Chia sẻ: maiphuongtl | Lượt xem: 1911 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bằng phương pháp véctơ trong chương trình hình học 10 (chương I, II - Hình học 10 - sách giáo khoa nâng cao ), để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
A
B C
M
D
E
F
A1 A2
B2
B1
C1
C2
O
A
B
C
D
I
J
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
81
CDABABCD
CDABBCBDACADCD
CDABBCBDCDACADCD
CDABBCBDBCBDACADACAD
CDABBCBDACAD
CDABBDACDACDBCAB
22.
2)(
2)()(
2))(())((
2)()(
)(
2222
2222222
Bài 5.
Ta có:
k
OAkOD
ODADkDD
k
ODkOC
OCDCkCC
k
OCkOB
OBCBkBB
k
OBkOA
OABAkAA
1
.
'''
1
.
'''
1
.
'''
1
.
'''
k
OAOD
k
ODkOC
k
OCkOB
k
OBkOA
ODOCOBOA
1111
''''
0 ODOCOAOA
(Vì O là trọng tâm của tứ
giác ABCD)
2.3.6 Các bài toán tìm tập hợp điểm
Trong hình học phẳng thường chỉ đề cập đến bài toán quỹ tích của điểm
M chuyển động trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện nào đó.
Bằng phương pháp tổng hợp chỉ nghiên cứu bài toán quỹ tích trên các
bài toán quỹ tích cơ bản. Bằng phương pháp véctơ nghiên cứu quỹ tích của
điểm M chuyển động trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện nào đó (ta gọi tính
chất
) theo nguyên tắc chung là phải thiết lập được tính tương ứng giữa tính
chất
với các điều kiện của các véctơ có liên quan đến điểm M và từ đó mô
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
82
tả hình H= (M/M có tính chất
) Do đó phạm vi nghiên cứu được mở rộng
hơn và nhiều bài cho lời giải khá dễ dàng
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
a)
)(. RkkMBMA
b)
222 aMCMBMB
(a là độ dài cạnh BC )
c)
222. BCMBMCMCMAMBMA
d)
222 23 MCMBMA
e)
kMCMBMA 222 532
)( Rk
Hướng dẫn giải:
a) Gọi I là trung điểm của AB
kMBMA .
kIAMIIAMI ))((
kIAIM 22
k
AB
IM
4
2
2
* Nếu
44
22 AB
kOk
AB
Tập hợp những điểm M là đường tròn
tâm I, bán kính 2
4
AB
k
.
* Nếu k =-
4
2AB
IM =O
tập hợp M là điểm I.
* Nếu 2 2
4 4
AB AB
k O k
tập hợp điểm M là tập rỗng.
* Nếu
Ok
ta có ngay
OMBMA
tập hợp điểm M là đường tròn
đường kính AB.
b)
222 )2(.2 aMCMBMBaMCMBMB
(1)
Chọn điểm K thỏa mãn: 2
0 KCKB
. K cố định.
MKMCMB 32
M
B A
I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
83
. (1)
3
.
2a
MKMB
. Gọi I là trung điểm của BK, và biến đổi như ở câu a) ta được:
(1)
34
22
2 aBKMI
. Có thể thấy
3
a
BK
.
Do đó (1)
6
13
36
13 22 aIM
a
IM
.
Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn tâm I, bán kính
6
13a .
c)
222 BCMBMCMCMAMBMA
222 BCMBMCMCMAMBMA
2
2
))((
))(()(
BCMCMBMCMBMA
BCMCMBMCMBMCMBMA
23 BCCBMG
(2) ( G là trọng tâm tam giác ABC)
Goi H và G’ lần lượt là hình chiếu của M và
G lên BC, ta có:
(2)
3
''3 2
BC
HGBCBCHG
A, B, C, G, G’ cố định, suy ra H cố định.
Vậy tập hợp những điểm M là đường thẳng
vuông góc với BC tại điểm H xác định bởi
3
'
BC
HG
.
d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,
ta có:
OCMOOCMOOCMOMC
OBMOOBMOOBMOMB
OAMOOAMOOAMOMA
.2)(
.2)(
.2)(
2222
2222
2222
Ta có: 3MA
2
=2MB
2
+MC
2
A
B C
G
G’ H
M
A
B
C
v
O
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
84
023)23(2 222 OCOBOAOCOBOAMO
(1)
Mặt khác: OA=OB=OC (bán kính)
023
222 OCOBOA
Và
)2()()(2323 ACABACOAABOAOAOCOBOA
.Đặt
2AB AC v
là một véctơ cố định, do đó (1)
0. vMO
. Vậy tập hợp những
điểm M là đường thẳng qua O và vuông góc với véctơ
v
.
Nhận xét:
- Cách giải câu d) có thể tổng quát hóa cho trường hợp M di động thỏa mãn:
kMCMBMA 222 ... với 0 và k là số cho trước.
e) Gọi I là điểm cố định thỏa mãn
2 3 5 0IA IB IC
Ta có: k = 2MA
2
-3MB
2
+5MC
2
2222
2222
222
4532
)532(24532
)(5)(3)(2
IMICIBIA
ICIBIAIMIMICIBIA
IMICIMIBIMIA
P
ICIBIAk
IM
4
532 2222
. P<o
k< 2IA
2
-3IB
2
+5IC
2
Tập hợp những điểm M là tập ỉ
. P=0
k= 2IA
2
-3IB
2
+5IC
2
Tâp hợp những điểm M là điểm I.
. P>0
k> 2IA
2
-3IB
2
+5IC
2
Tập hợp những điểm M là đường tròn
tâm I, bán kính
4
532 222 ICIBIAk
PR
Nhận xét:
.Cách giải câu e) có thể tổng quát cho điểm M di động thỏa mãn
kMBMA 22 ..
với
0
hay
kMCMBMA 222 ... với
0
. Với giá trị k thích hợp, tập hợp là đường tròn tâm I, điểm cố
định định bởi
0.. IBIA
hay
0.. ICIBIA
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
85
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB và số thực k. Tìm tập hợp điểm M thỏa
mãn điều kiện:
kAMAB
.
Hướng dẫn giải:
Ta tiến hành biến đổi điều kiện bài toán về dạng quen thuộc. Gọi H là
hình chiếu của M trên đường thẳng AB. Ta có:
kAMAB kAHABkHMAHAB .)(
AB
k
AHkAHAB .
điều này chứng tỏ H là điểm cố định. Vậy tập hợp điểm M là đường
thẳng vuông góc với AH tại H.
Chú ý rằng trong quá trình lí luận, ta đã sử dụng phép biến đổi tương
đương, vì vậy cả phần thuận và đảo được chứng minh song song. Giới hạn
quỹ tích chính là phần đảo.
Bài toán này được xem là một bài toán cơ bản. Phần lớn các bài toán phức
tạp đều được đưa về bài toán này qua một số phép biến đổi tương đương.
Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB và số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thỏa
mãn điều kiện AM2-BM2=k.
Hướng dẫn giải:
Ta biến đổi đẳng thức đã cho về dạng quen thuộc. Gọi I, H lần lượt là trung
điểm của đoạn thẳng AB và hình chiếu của M trên đường thẳng AB. Ta có:
kBMAMBMAMkBMAM ))((22
2
2( )
2 .
2
MI BA k
MH HI BA k
k
HI BA k IH
AB
Đẳng thức đó chứng tỏ H là điểm cố định và tập hợp M là đường thẳng
vuông góc với AB tại H.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
86
Bài toán này được xem là 1 tập hợp điểm cơ bản. Mọi bài toán phức tạp
đều được đưa về bài toán đó qua các phép biển đổi tương đương.
Ví dụ 4: Cho đoạn thẳng AB và số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thỏa
mãn điều kiện AM2+BM2=k.
Hướng dẫn giải:
Ta biến đổi đẳng thức đã cho về dạng quen thuộc. Gọi I là trung điểm
của đoạn thẳng AB, ta có:
kBMAM 22
4
2
2
2
)()(
2
2
2
2
22
ABk
IM
k
AB
IM
kIMBIIMAI
. Nếu
k
>
2
2AB
thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán kính
4
2 2ABk
R
. Nếu
k
=
2
2AB
thì tập hợp điểm M là điểm I.
. Nếu
k
<
2
2AB
thì tập hợp điểm M là tập ỉ
Bài toán này được xem là bài toán tập hợp điểm cơ bản. Mọi bài toán
phức tạp đều được đưa về bài toán đó qua các phép biến đổi tương đương.
*Hệ thống bài tập.
Bài 1. Cho hai điểm phân biệt A, B và số dương k
1. Tìm tập hợp các
điểm M thỏa mãn:
k
MB
MA
Bài 2. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các diểm M sao cho:
a)
MCMBMAMCMBMA 322
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
87
b)
0)32)(( MCMBMAMCMB
c)
)(
2
1 222 MBMAMCMBMA
d) Cho tam giác ABC đều cạnh a tìm tập hợp những điểm M sao cho:
2
5 2a
MAMCMCMBMBMA
2 2 22MB MC MA O
Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. tìm tập hợp các điểm M sao cho
a)
22222
3
4
3 aMDMCMBMA
b)
2( )( ) 3MA MB MC MC MB a
Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Hai điểm M, N thay đổi trên các cạnh AB,
CD sao cho:
CD
CN
AB
AM
Bài 5. Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp các điểm M sao cho
a)
MCMBMAMDMCMBMA 2
b)
0))(32( MDMAMCMBMA
c) MA
2
+MB
2
+MC
2
+MD
2
= k ( k>0 ).
d) Gọi I, J là trung điểm của AB, CD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
2
2
1
.. IJMDMCMBMA
Bài 6. Cho góc xOy và hai số dương a, b. Các điểm A, B thay đổi lần
lượt trên Ox, Oy sao cho a.OA+b.OB=1. Chứng minh rằng trung điểm I của
AB thuộc một đường thẳng cố định.
Hướng dẫn hoặc lời giải
Bài 1.
Lấy trên đường thẳng AB các điểm E, F sao cho:
M
A E F B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
88
FBkFAEBkEA ;
.
Ta có:
0222 MBkMAk
MB
MA
0).1.()1(
0))((
0))((
MFkMEk
FBkMFkFAMFEBkMEkEAME
MBkMAMBkMA
00)1( 2 MFMEMFMEk
(Vì k>0, k
1).
MFME
- Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính EF. ( đường tròn
Apôlôniut).
Bài 2.
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, chọn điểm J thỏa mãn:
2 3 0JA JB JC
, J cố định.
Với mọi điểm M ta có:
MJMCMBMA
MGMCMBMA
632
3
Vậy
MCMBMAMCMBMA 322
MJMG 66
MJMG
Tập hợp các điểm M là đường trung trực của GJ.
b) Gọi I là trung điểm của BC. Chọn điểm K thỏa mãn:
032 KBKBKA
, K cố định.
Ta có:
0)32).(( MCMBMAMCMB
06.2 MKMI
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính IK.
c)
222222 .2)(
2
1
. MCMBMAMBMAMBMAMCMBMA
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
89
2
2
)( 22
MI
MC
MCMI
MCMBMAMCMBMA
Theo kết quả bài 1, M thuộc đường tròn Apôlôniut đường kính GF, trong
đó G là trọng tâm tam giác ABC, F là đỉnh hình bình hành ACBF.
d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: MB
2
+MC
2
-2MA
2
=0
AGMOAGMOOAOGMO
OAOCOBOAMO
OAOCOBMO
OAMOOCMOOBMO
0.0)23(2
0)3(2
0)2(2
0)(2)()( 222
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng qua O, vuông góc với
AG
.
e) Gọi O là tâm tam giác đều ABC, ta có:
2
3...
33
9)...(2
.3
2
2
222222222
2222
a
MOMCMAMCMBMBMA
aMOOCOBOAMOMCMBMA
MOMCMAMCMBMBMAMCMBMA
MOMCMBMA
Do đó đẳng thức đã cho tương đương với:
aOM
aa
MO
2
5
2
.3
22
2
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính a.
Bài 3.
a) cách 1.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:
2222222 3 GCGBGAMGMCMBMA
( I là trung điểm của AB)
Mặt khác:
Suy ra:
A
B C
D
O
G
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
90
2 2 2 2
2 2 2 2
1
3 ( )
3
1
3 ( 2 )
3
MG BC CA AB
MG a a a
Do đó
3
4
3
2
2222 aMDMCMBMA
2 2 2
2 2 2 2 2 2
8
9
2
( 2)
3
MD MG a
MD MG a MD MG DG
Vậy M thuộc đường thẳng vuông góc với BD tại G.
Cách 2:
Goi O là giao điểm của AC và BD.
Tacó:
22222222 )(3)()()(3 ODMOOCMOOBMOOAMOMDMCMBMA
ODMO
ODOCOBOAMO
.8
)3(2
6
.
3
4
.8
2
2 aODMOaODMO
(1)
Gọi H là hình chiếu của M lên BD, ta có:
OD
a
HO
a
ODHO
.66
.
22
Vậy M thuộc đường thẳng vuông góc với BD tại H xác định bởi
OD
a
HO
.6
2
.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:
)1(
33
3))((
2
2
2
aBCMG
aBCMG
aMBMCMCMBMA
Dựng hình bình hành GBCE.
A B
C D
O
G
E
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
91
22 ..)1( aGEGMaGEMG
2
1
.cos( , )
.cos
.cos
G GE GM GE a
GM a
GM a
GH a
Suy ra H là điểm đối xứng với E qua G.
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng
đi qua H và song song với AB.
Bài 4.
Theo giả thiết ta có:
)10(;; kCDkCNABkAM
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD.
Ta có:
)1();(
2
1
)(
2
1
CDABkCNAMPI
)2();(
2
1
CDABPQ
Từ (1) và (2) suy ra
PQkPI .
. Chứng tỏ P, I,
Q thẳng hàng. Vì
)10( k
nên I thuộc đoạn
PQ. Vậy tập hợp các trung điểm I của đoạn
MN là đoạn PQ.
Bài 5.
c) Gọi I là trọng tâm của tứ giác ABCD nên:
0IA IB IC ID
Ta có:
kMDMCMBMA 2222
)(4
)()()()(
22222
2222
IDICIBIAkMI
kIDMIICMIIBMIIAI
M H
G
E
1
A M
B
C D N
Q P
I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
92
-Nếu k > IA2+IB2+IC2+ID2 thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm I,
bán kính:
)(
2
1 2222 IDICIBIAkR
-Nếu k = IA2+IB2+IC2+ID2
IMMIMI 002
. Tập hợp các
điểm M là điểm I.
-Nếu k < IA2+IB2+IC2+ID2 thì tập hợp các điểm M là tập rỗng (ỉ ).
d)
2
2
1
.. IJMDMCMBMA
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 2
4 4 2
4 4 2 .(2)
MA MB MA MB MC MD MC MD IJ
MI AB MJ CD IJ
MI MJ AB CD IJ
Goi O là trung điểm của IJ, ta có:
22222 2)(2)(2)2( IJCDABMJMIMJMI
8
.8
22
222 CDABMOCDABMO
Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn tâm O, bán kính:
R=
8
22 CDAB
Bài 6.
Trên Ox, Oy lấy các điểm A1, B1 sao cho:
a.OA1=b.OB1=
2
1
Vì I là trung điểm của AB nên:
)(
2
1
)(
2
1
1
1
1
1
OB
OB
B
OA
OA
A
OBOAOI
11
1
1
1
1
....
)
.
.
.
.
(
2
1
OBOBbOAOAa
OB
OBb
OBb
OA
OAa
OAa
O
A1
A
B
B1
I
x
y
(Vì a.OA1=b.OB1
2
1
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
93
Vì a.OA+b.OB = 1
I, A1, B1 thẳng hàng.
Vậy I thuộc đường thẳng A1B1 cố định.
2.3.7 Ứng dụng của véctơ vào đại số
Có những bài toán mà việc giải bằng phương pháp thông thường gặp rất
nhiều khó khăn, thậm chí có bài không thể tìm ra cách giải, nhưng lại rất dễ
dàng và cho ta một lời giải ngắn gọn khi giải bằng PPVT. Từ đó, ta có thể
thấy được những ứng dụng đa dạng của PPVT trong giải các bài toán mà đề ra
không diễn đạt bằng “ngôn ngữ” véctơ. Để thấy được điều đó, chúng ta hãy
xét một vài ví dụ sau đây.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
xxy 63
Hướng dẫn giải:
Đây là bài toán “thuần túy” đại số, đề ra không hề có “bóng dáng” véctơ,
tuy nhiên bài toán có thể giải bằng PPVT như sau:
Đặt
)1;1(),6;3( vxxu
Suy ra
2)11(;39)6()3( 222 vxxu
.
Ta có:
xxvu 63.
và
23. vu
Vì
2363. xxvuvu
Vậy giá trị lớn nhất của y là ymax= 23 , khi và chỉ khi vu, cùng phương
2
3
63
1
6
1
3
xxx
xx
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
222222 22 xxxx
, nghiệm đúng
với mọi x.
Hướng dẫn giải:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
94
Trước hết ta biến đổi các biểu thức dưới dấu căn bậc hai:
1)1(22;1)1(22 2222 xxxxxx
.
Ta chọn
)2;2();1;1();1;1( cxbxa
Rõ ràng
220 cbacba
221)1(1)1( 22 xx
Dấu bằng xảy ra khi 2 véctơ
ba;
cùng phương
011 xxx
Ví dụ 3: Với mọi số thực x, y. Chứng minh rằng:
2
)1()1(
)1)((
22 yx
xyyx
Hướng dẫn giải:
Bất đẳng thức được biến đổi thành:
1)
1
1
)(
1
2
()
1
1
)(
1
2
(1
)1)(1(
)1)((2
2
2
22
2
222
x
x
y
y
y
y
x
x
yx
xyyx
Ta lập các véctơ
)
1
1
;
1
2
(
2
2
2 x
x
x
x
a
,
)
1
2
;
1
1
(
22
2
y
y
y
y
b
Và sử dụng bất đẳng thức
baba .
Ví dụ 4: Cho tam giác nhọn ABC.Chứng minh rằng:
cos2A- cos2B+ cos2C <
2
3
Hướng dẫn giải:
Bài toán lượng giác này cũng giải được bằng PPVT như sau:
Gọi O là tâm đường ngoại tiếp tam giác ABC, O’ là điểm đối xứng với
O qua AC
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
95
Khi đó
2
2
2 2 2 2
2
2 2
2
' '
( ) '
2 . 2 . 2 '
3 2 (cos 2 cos 2 cos 2 ) ' 0
2
OA OC OB OO OB BO
OA OC OB BO
OA OB OC OAOC OAOB OBOC BO
R R B A C BO
R
2(cos 2 cos 2 cos 2 ) 3
3
cos 2 cos 2 cos 2
2
A B C R
A B C
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
2 2
2
2 2 2 2
0
2 0
4( ) 4( ) ( 1) (2 1)
x xy y yz
x x y yz
x y y z x z
Hướng dẫn giải:
Ta có:
0)12()1(
02
0)()(
0
2
22
zyxx
yzyxx
zyyyxx
yzyxyx
Từ các vế trái của hai phương trình đầu trong hệ, ta có thể thiết lập các
véctơ
)12;1();;();;( zxczyyxbyxa
Hệ phương trình ban đầu tương đương với các véctơ phải thỏa mãn:
cb
ca
ba
2
0.
0.
-Ta xét trường hợp
0,00 yxa
. Thay các kết quả đó vào phương
trình thứ 3 trong hệ ta được
2
1
z
. Tóm lại
2
1
,0 zyx
là nghiệm của hệ
phương trình ban đầu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
96
- Trường hợp
.0a
thì
0
0
c
b
Vì
cb,
cùng vuông góc với
a
, nên
cb,
cùng phương và theo điều kiện
thứ 3 trong hệ điều kiện mà các véctơ phải thỏa mãn, ta có:
.
bc 2
hoặc
bc 2
. Ta xét
bc 2
zyz
yxx
2212
221
Hệ phương trình đó cho ta nghiệm x=0,
2
1
y
,
2
1
z
và thử lại kết quả
vào hệ phương trình đầu thỏa mãn
. Ta xét
bc 2
zyz
yxx
2212
221
Từ hệ phương trình này ta suy ra
2
12
,
2
12
y
z
y
x
Thay các biểu thức đó vào phương trình x(x+y)+y(y+z)=0
04510 2 yy
Phương trình này vô nghiệm. Trường hợp thứ hai vô nghiệm.
2.4 Kết luận chƣơng 2
Qua chương này chúng tôi đã xây dựng được một hệ thống bài tập điển
hình từ đơn giản đến phức tạp và phân dạng được hầu hết các dạng bài tập cơ
bản, thường gặp trong chương trình toán THPT.
Hệ thống bài tập trên cùng với những kỹ năng giải toán cần thiết như:
Chuyển bài toán sang ngôn ngữ véc tơ, phân tích 1 véc tơ thành một tổ hợp véc
tơ, kỹ năng biết cách ghép 1 số véctơ trong một tổ hợp véctơ…đã giúp học sinh
dễ nhận dạng và tìm được cách giải cho mỗi bài toán cụ thể, giúp học sinh có
hứng thú học tập môn toán, góp phần phát triển năng lực giải toán.
Sự phân dạng các bài tập trên đã tạo điều kiện cho học sinh tùy theo
năng lực, trình độ của mình có thể chủ động, sáng tạo hơn khi học tập, nghiên
cứu về chủ đề véctơ trong chương trình HH10.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
97
CHƢƠNG 3. THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1 Mục đích thử nghiệm sƣ phạm
Thử nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả
thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đưa ra, để dạy học sinh sử dụng
PPVT trong việc giải các bài toán HH chương I, II ở lớp 10 THPT.
3.2 Nội dung thử nghiệm
* Tiến hành dạy 2 tiết chữa bài tập về chứng minh đẳng thức véctơ, ba
điểm thẳng hàng trong chương véctơ SGK - HH10- nâng cao, xuất bản năm
2006 của tác giả Văn Như Cương làm chủ biên.
* Bài dạy thử nghiệm là các tiết bài tập của bài "Tích của một véctơ với
một số”
* Sau đây là giáo án cụ thể của hai tiết dạy này:
Tiết 8 BÀI TẬP VỀ TÍCH CỦA MỘT VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ
( Tiết 3 của bài:Tích của một véctơ với một số)
1. Mục tiêu.
Về kiến thức: - Nắm được phương pháp chứng minh đẳng thức véctơ,
vận dụng để giải một số bài toán khác.
Về kĩ năng
Thành thạo các kĩ năng:
-Chuyển bài toán sang ngôn ngữ véctơ.
-Phân tích 1 véctơ thành 1 tổ hợp véctơ.
-Biết cách ghép 1 số véctơ trong 1 tổ hợp véctơ.
-Biết khái quát hoá 1 số kết quả để vận dụng vào bài toán tổng quát hơn.
Về tư duy: - Hiểu được quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT.
- Biết quy lạ về quen.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
98
Về thái độ: - Cẩn thận, chính xác.
-Biết được những ứng dụng của PPVT trong giải toán HH phẳng.
2. Chuẩn bị phương tiện dạy học.
Thực tiễn: HS đã học các tính chất của véctơ với 1 số, tính chất 3
điểm thẳng hàng, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, biết
cách biểu thị 1 véctơ qua 2 véctơ không cùng phương.
Phương tiện: Chuẩn bị các bảng kết quả mỗi hoạt động.
Gợi ý PPDH: Cơ bản dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua các hoạt
động điều khiển tư duy, đan xen hoạt động nhóm ( chia lớp làm 3 nhóm).
3. Tiến trình bài học và các hoạt động.
a) Các tình huống học tập.
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ.
Hoạt động 2: HS độc lập tiến hành tìm lời giải bài tập có sự hướng dẫn
điều khiển của giáo viên.
Hoạt động3: Hoạt động theo từng nhóm, tiến hành vận dụng quy trình 4
bước giải bài tập HH bằng PPVT để giải toán.
Hoạt động 4: HS độc lập tiến hành tìm lời giải bài tập theo quy trình 4
bước giải bài tập HH bằng PPVT, có sự hướng dẫn điều khiển của giáo viên.
b) Tiến trình bài học.
1 Kiểm tra bài cũ.
Hoạt động 1
Bài1. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và
chỉ khi với điểm M bất kì, ta có
2MA MB MI
Bài 2. Cho tam giác ABC và trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm M
bất kì, ta có
3MA MB MC MG
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
99
Hoạt động của HS Hoạt động của giáo viên
*Nghe hiểu nhiệm vụ.
*Trình bày kết quả.
* Chỉnh sửa hoàn thiện (nếu có).
*Quan sát 2 đẳng thức vừa
chứng minh trên, và dự đoán để đưa
ra câu trả lời.
*Giao nhiệm vụ cho HS, theo
dõi hoạt động của HS.
*Chính xác hóa kết quả của 2
HS được gọi lên bảng.
*Đánh giá kết quả, chú ý các
sai lầm thường gặp.
* Cho HS nhận xét 2 đẳng
thức véctơ vừa chứng minh trên, đặt
vấn đề: “Nếu cho tứ ABCD, ta có
đẳng thức véctơ nào?”
2. Bài mới
Hoạt động 2: HS độc lập tiến hành tìm lời giải bài tập có sự hướng dẫn
điều khiển của giáo viên.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Luôn có 1 điểm G duy nhất sao cho
GA GB GC GD O
. Điểm G như thế gọi là trọng tâm của 4 điểm A, B, C,
D (hay trọng tâm của tứ giác ABCD). Chứng minh rằng
1
4
MG MA MB MC MD
(*) với M là điểm bất kì.
Hoạt động của HS Hoạt động của giáo viên
*HS độc lập tiến hành chứng minh.
*Thông báo cho giáo viên khi hoàn thành
nhiệm vụ.
*Trình bày kết quả.
-Ta có
*Giới thiệu luôn có một điểm
G duy nhất có tính chất như
trên.(Việc chứng minh xem
như bài tập về nhà).
*Giao nhiệm vụ và theo dõi
hoạt động của HS, hướng dẫn
khi cần thiết.
*Đánh giá kết quả hoàn thành
nhiệm vụ của HS, sửa chữa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
100
4 ( )
4 4
MA MB MC MD
MG GA MG GB MG GC MG GD
MG GA GB GC GD
MG O MG
Suy ra
1
4
MG MA MB MC MD
*Quan sát và dự đoán để đưa ra câu trả lời.
*Nghe và hiểu nhiệm vụ.
*Suy nghĩ để rút ra quy trình 4 bước giải
bài tập HH bằng PPVT:
Bước 1: Chọn véctơ cơ sở.
Bước 2: Chuyển bài toán sang ngôn ngữ
véctơ.
Bước 3: Trình bày lời giải.
Bước 4: Kết luận đánh giá kết quả.
Bài 4: Cho hệ điểm hữu hạn
1 2, ,... nA A A
Chứng minh rằng:
a) Có duy nhất một điểm G sao cho
1 2 ... 0nGA GA GA
Điểm G gọi là
trọng tâm của hệ điểm đã cho
b) với điểm M ta đều có:
1 2 ... nMA MA MA nMG
*Độc lập giải bài 4b.
*Quan sát và đưa ra câu trả lời:
Kết quả bài 1,bài 2,bài3 là trường hợp đặc
biệt của bài 4 ứng với n=2, n = 3, n=4
kịp thời các sai lầm.
*Yêu cầu HS quan sát, tìm
mối liên hệ của các đẳng thức
vừa chứng minh ở bài 1. 2,
3.Đặt vấn đề: "Cho hệ điểm
hữu hạn
1 2, ,... nA A A
, luôn có
duy nhất một điểm G sao cho
1 2 ... 0nGA GA GA
, với
điểm M bất kì, ta có đẳng
thức véctơ nào?”
*Hướng dẫn HS phân tích
cách giải bài toán trên theo
các bước sau:
Bước 1:Tìm hiểu nội dung bài
toán: tìm mối liên hệ giữa các
véctơ trong đẳng thức phải
chứng minh với giả thiết của
bài toán.
Bước 2: Xây dựng chương
trình giải.
Bước 3: Thực hiện chương
trình giải.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên
cứu lời giải.
*Gợi ý để HS rút ra quy trình
4 bước giải bài tập HH bằng
PPVT.
*Yêu cầu HS vận dụng quy
trình 4 bước giải bài tập HH
bằng PPVT vào giải bài tập 4.
(Bài tập 4a xem như bài tập
về nhà, cho HS là bài tập
tương tự là bài 4b)
* Yêu cầu HS nhận xét kết
quả bài 1, bài 2,bài 3, bài 4”
-Lưu ý HS quy trình 4 bước
giải bài toán HH bằng PPVT.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
101
Hoạt động 3: Hoạt động theo từng nhóm, tiến hành vận dụng quy trình 4
bước giải bài tập HH bằng PPVT để giải toán.
Bài 5: Cho tam giác ABC với các cạnh AB= c, BC= a, CA= b Gọi I là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng
.a IA bIB cIC O
Hoạt động của HS Hoạt động của giáo viên
*Đọc đầu bài, vận dụng quy trình 4
bước giải bài tập HH bằng PPVT để
nghiên cứu cách giải.
-Dựa vào gợi ý của giáo viên, HS
suy nghĩ và trả lời dựa theo bước 1,
bước 2 trong quy trình 4 bước giải
bài tập HH bằng PPVT:
Bước 1: Phân tích véctơ
IC
theo
véctơ
,IA IB
bằng cách dựng hình
bình hành IA’ CB’.
Bước2: Ta có
' ' . .IC IB IA IB IA
Điều phải chứng minh tương đương
với việc xác định 2 số
,
*Độc lập tiến hành giải toán.
*Thông báo kết quả cho giáo viên
khi đã hoàn thành nhiệm vụ.
*Chính xác hóa kết quả (ghi lời giải
của bài toán).
*Giao nhiệm vụ, theo dõi hoạt động
của HS, hướng dẫn khi cần thiết.
- Có thể hƣớng dẫn nhƣ sau:
Cho HS nhận xét đẳng thức véctơ
cần phải chứng minh.
. Hỏi: “Có thể biểu diễn véctơ
IC
theo hai véctơ
,IA IB
không ?
(hoặc véctơ
IA
hoặc
IB
theo hai véctơ
còn lại”
.Hỏi: "Có nhận xét gì về phương của
véctơ
IC
với phương của
véctơ
,IA IB
”
- Từ nhận xét trên, nêu vấn đề: "Có thể
sử dụng phương pháp phân tích 1 véctơ
theo 2 véctơ không cùng phương để
giải ví dụ này được không?”
*Nhận và chính xác hóa kết quả của
1 hoặc 2 HS hoàn thành nhiệm vụ
đầu tiên
*Đánh giá kết quả hoàn thành nhiệm
vụ của từng HS. Chú ý các sai lầm
thường gặp.
A
B’
C B
I
B1 C1
A1
A’
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
102
Hoạt động 4: HS độc lập tiến hành tìm lời giải bài tập theo quy trình 4
bước giải bài tập HH bằng PPVT, có sự hướng dẫn điều khiển của giáo viên.
Có thể tổng quát hoá bài 5, ta được bài toán sau:
Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi Sa, Sb, Sc theo thứ tự là diện tích các tam
giác MBC, MCA, MAB với M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng:
. . .a b cS MA S MB S MC O
Hoạt động của HS Hoạt động của giáo viên
*Nghe hiểu nhiệm vụ.
-Quan sát và trả lời câu hỏi của giáo viên.
Bước 1: Phân tích véctơ
MC
theo 2
véctơ
MA
và
MB
.
*Giao nhiệm vụ cho HS, theo dõi
hoạt động, hướng dẫn khi cần thiết.
- Có thể hƣớng dẫn nhƣ sau:
.Hỏi: “Về mặt hình thức có nhận
xét gì về các đẳng thức véctơ ở bài
5 và bài 6?”.
.Từ đó xác định bước 1, bước 2
trong quy trình 4 bước giải bài tập
Bước 3:Trình bày lời giải:
Goị giao điểm của các tia AI, BI,
CI với BC, CA, AB lần lượt là
A1,B1,C1.
Dựng hình bình hành IA’CB’ ta có
' ' . .IC IB IA IB IA
. Vì hai véctơ
'IB
và
IB
ngược
hướng nên
1
1
' ACIB b
IB A B c
(tính chất phân giác )
Tương tự
1
1
' B CIB a
IA B A c
Bước 4. Kết luận:
Vậy
.a IA bIB cIC O
*Chú ý các cách giải khác.
(rất nhiều học sinh mắc sai lầm sau:
từ
'
'
IB
IB IB
IB
vì không chú ý
đến hướng của 2 véctơ
IB
và
'IB
)
*Hướng dẫn HS tìm lời giải khác
nếu có (xem như bài tập về nhà)
*Lưu ý HS quy trình 4 bước giải bài
toán HH bằng PPVT.
A
B C
M
A’
B’
H
I
C1
A1
B1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
103
Bước 2:
Ta có
' ' . .MC MA MB MA MB .
Điều phải chứng minh tương đương
với việc xác định 2số
,
.
*HS độc lập tiến hành chứng minh.
*Thông báo cho giáo viên khi hoàn
thành nhiệm vụ.
*Trình bày kết quả.
Bước 3:Trình bày lời giải
Goị giao điểm của các tia AM, BM,
CM với BC, CA, AB lần lượt là
A1,B1,C1.
Dựng hình bình hành MA’CB’ ta có
' ' . .MC MA MB MA MB
. Vì hai véctơ
MA
và
'MA
ngược hướng
nên
1
1
' MBC a
MAB c
S SB CMA CH
A B A AI S S
Tươngtự
b
c
S
S
.Vậy
.a b
c c
S S
MC MA MB
S S
. . .a b cS MA S MB S MC O
Bước 4.
-Chú ý các cách giải khác.
- Nhận xét: Cho M trùng với tâm
đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta
được kết quả bài 5.
HH bằng PPVT.
*Đánh giá kết quả hoàn thành
nhiệm vụ của HS. Sửa chữa kịp
thời các sai lầm.
*Hướng dẫn HS tìm lời giải khác
cho bài 6(xem như bài tập về nhà).
*Yêu cầu HS nhận xét về kết quả
bài toán khi M trùng với tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC.
*Gợi ý HS về nhà tìm tòi tiếp kết
quả bài toán thay đổi như thế nào
khi M trùng với trọng tâm tam giác
ABC, khi tam giác ABC đều.
* Lưu ý HS quy trình 4 bước giải
bài toán HH bằng PPVT.
Chú ý: Nếu không còn đủ thời gian để tiến hành hết hoạt động 4, giáo
viên có hướng dẫn HS bài 6,và xem như bài tập về nhà.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
104
3.Củng cố.
Câu hỏi 1: Để chứng minh các đẳng thức véctơ có chứa tích của véctơ
với 1 số thì phải sử dụng các tính chất HH gì?
(- Sử dụng tính chất tích của véctơ với 1 số. Sử dụng các tính chất của
trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, biết biểu thị 1 véctơ qua 2
véctơ không cùng phương…)
Câu hỏi 2: Cho tam giác ABC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của 2
cạnh AB, AC.Hãy chọn cặp giá trị của m, n ở cột phải thích hợp với đẳng
thức ở cột trái.
(a)
AP mAB nAC
1 1
2
m
và n=1
(b)
PQ mAB nAC
2 1
2
m
và n=0
(c)
BQ mAB nAC
3 m=-1 và 1
2
n
(d)
PC mAB nAC
4 1
2
m
và
1
2
n
4.Bài tập về nhà: - Tìm cách giải khác cho bài 5, bài 6 trong bài học.
*Bài 23, 24, 25, 27 (SGK trang 24)
*Bài 16, 18, 24,25, 33, 38(SBT trang 8,9,11)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
105
Tiết 9 BÀI TẬP VỀ TÍCH CỦA MỘT VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ
(Tiết 4 của bài: Tích vô hướng của một véctơ với một số)
1. Mục tiêu
Về kiến thức: - Nắm được phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng,
vận dụng để giải một số bài toán khác.
Về kĩ năng
Thành thạo các kĩ năng:
-Chuyển bài toán sang ngôn ngữ véctơ.
-Phân tích 1 véctơ thành 1 tổ hợp véctơ.
-Biết cách ghép 1 số véctơ trong 1 tổ hợp véctơ.
-Biết khái quát hoá 1 số kết quả để vận dụng vào bài toán tổng quát hơn.
Về tư duy: - Hiểu được quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT.
- Biết quy lạ về quen.
Về thái độ: - Cẩn thận, chính xác.
- Biết được những ứng dụng của PPVT trong giải toán HH phẳng.
2. Chuẩn bị phƣơng tiện dạy học
2.1 Thực tiễn: HS đã học các tính chất của véctơ với 1 số, tính chất 3
điểm thẳng hàng, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, biết
cách biểu thị 1 véctơ qua 2 véctơ không cùng phương.
2.2 Phương tiện: Chuẩn bị các bảng kết quả mỗi hoạt động.
2.3 Gợi ý PPDH: Cơ bản dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua các hoạt
động điều khiển tư duy, đan xen hoạt động nhóm (chia lớp làm 3 nhóm).
3. Tiến trình bài học và các hoạt động
a) Các tình huống học tập.
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ.
Hoạt động 2: HS độc lập tiến hành tìm lời giải bài tập theo quy trình 4
bước giải bài tập HH bằng PPVT.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
106
Hoạt động3: Rèn luyện kỹ năng chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Hoạt động 4: Hoạt động theo từng nhóm, tiến hành vận dụng quy trình 4
bước giải bài tập HH bằng PPVT để giải bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
b) Tiến trình bài học.
1. Kiểm tra bài cũ.
Hoạt động 1
-Câu 1: Phát biểu quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT?
-Câu 2:Phát biểu điều kiện cần và đủ để 3 điểm M, N, P thẳng hàng?
Giáo viên đặt vấn đề: Ngoài điều kiện cần và đủ để 3 điểm M, N, P
thẳng hàng mà chúng ta đã biết thì còn điều kiện cần và đủ nào khác nữa
không để 3 điểm M, N, P thẳng hàng?
2.Bài mới:
Hoạt động 2: HS độc lập tiến hành tìm lời giải bài tập theo quy trình 4
bước giải bài tập HH bằng PPVT.
Bài 1.Cho 3 điểm ABC
a) Chứng minh rằng nếu có 1 điểm I và một số t nào đó sao cho
(1 )IA tIB t IC
thì với mọi điểm I’ ta có:
' ' (1 ) 'I A tI B t I C
b) Chứng tở rằng:
(1 )IA tIB t IC
là điều kiện cần và đủ để 3 điểm A,
B, C thẳng hàng.
Hoạt động của HS Hoạt động của giáo viên
*Độc lập tiến hành giải bài 1 theo
quy trình 4 bước giải bài toán HH
bằng PPVT.
*Thông báo cho giáo viên khi đã
hoàn thành nhiệm vụ.
*Trình bày kết quả.
*Chỉnh sửa hoàn thiện (nếu có).
*Ghi nhận kiến thức.
*Giao nhiệm vụ, theo dõi hoạt động
của HS, hướng dẫn khi cần thiết.
*Đánh giá kết quả hoạt động của HS,
sửa chữa kịp thời các sai lầm.
* Lưu ý HS quy trình 4 bước giải bài
toán HH bằng PPVT.
- Lưu ý học sinh điều kiện cần và đủ
để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
107
Hoạt động 3: Rèn luyện kỹ năng chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD.Hai điểm M,N thay đổi trên các cạnh AB, CD
sao cho
AM CN
MB CD
gọi P,Q lần lượt là trung điểm của 2 đường chéo AC,BD, I
là trung điểm của MN. Chứng minh rằng 3 điểm P, I, Q thẳng hàng
Hoạt động của HS Hoạt động của giáo viên
*Đọc đầu bài, vận dụng quy trình 4
bước giải bài tập HH bằng PPVT để
nghiên cứu cách giải.
*Phân tích đề bài và đưa ra câu trả lời:
- Bước 1: Chọn 2 vectơ
,AB CD
làm
véctơ cơ sở
- Bước 2: Điều phải chứng minh P,I,Q
thẳng hàng tương đương với việc chỉ ra
2 véctơ
,PI PQ
cùng phương, nghĩa là
chỉ ra số thực k sao cho
PI kPQ
*Trình bày kết quả
Bước 3: Theo giả thiết ta có:
, 1AM k AB CN kCD O k
Ta có:
1 1
( ) ( )(1)
2 2
1
( )(2)
2
PI AM CN k AB CD
PQ AB CN
Từ (1) và (2)
PI kPQ
hay P,I,Q
thẳng hàng vì
1O k
nên I thuộc
đoạn PQ.
*Chỉnh sửa hoàn thiện (nếu có).
Bước 4:
*Nhận xét:
1
2
k
ta được kết quả bài
28b-SGK.
* Giao nhiệm vụ, theo dõi hoạt động của
HS, hướng dẫn khi cần thiết.
-Có thể hƣớng dẫn nhƣ sau: gợi ý để
HS xác định bước1, bước 2 theo quy
trình 4 bước giải bài toán HH bằng
PPVT.
*Đánh giá kết quả hoạt động của HS,
sửa chữa kịp thời các sai lầm.
*Hướng dẫn cách giải khác nếu
có(việc giải theo cách khác coi như
bài tập về nhà)
*Yêu cầu HS có nhận xét gì về kết
quả của bài toán khi k=
1
2
.
* Lưu ý học sinh quy trình 4 bước giải
bài toán hình học bằng PPVT.
*Lưu ý HS phương pháp chứng minh
3 điểm thẳng hàng.
A M B
C N
D
Q P
I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
108
Hoạt động 4:: Hoạt động theo từng nhóm, tiến hành vận dụng quy
trình 4 bước giải bài tập HH bằng PPVT để giải bài tập chứng minh 3 điểm
thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC đều, có tâm O, M là bất kỳ ở trong tam giác
ABC và có hình chiếu xuống 3 cạnh BC, CA, AB tương ứng là P,Q,R. Gọi K
là trọng tâm tam giác PQR. Chứng minh M,O,K thẳng hàng.
Hoạt động của HS Hoạt động của giáo viên
*Đọc đầu bài, vận dụng quy trình 4 bước
giải bài tập HH bằng PPVT để nghiên cứu
cách giải.
*Phân tích đề bài và đưa ra câu trả lời,
sau đó xác định: - Bước1: Chọn véctơ
, ,MP MQ MR
làm véctơ cơ sở
- Bước 2: Điều phải chứng minh
M,N,K thẳng hàng tương đương với việc
chỉ ra 2 véctơ
,MO MK
cùng phương
*Độc lập tiến hành giải toán.
*Thông báo kết quả cho Giáo viên khi đã
hoàn thành nhiệm vụ.
*Chính xác hóa kết quả(ghi lời giải của
bài toán).
*Giao nhiệm vụ và theo dõi
hoạt động của HS, hướng dẫn
khi cần thiết.
-Có thể hƣớng dẫn nhƣ sau:
Cho học sinh nhận xét:
+“Véctơ
,MK MO
có thể phân
tích theo những véctơ nào ?”
+ Nêu vấn đề: "Nếu từ M ta
dựng các đường thẳng song
song với 3 cạnh của tam giác
ABC (như hình vẽ )thì ta được
kết quả gì ? Có thể biểu diễn
MP MQ MR
theo các véctơ
, ,MA MB MC
được không?”
*Nhận và chính xác hóa kết
quả của 1 hoặc 2 HS hoàn
thành nhiệm vụ đầu tiên
*Đánh giá kết quả hoàn thành
nhiệm vụ của từng HS. Chú ý
A
C B A1 P A2
B2
Q
B1
R
C2
C1
M
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
109
- Bước 3: Qua M kẻ:
1 2 1 2// ; ;A B AB A BC B AC
Qua M kẻ
1 2 1 2// ; ;B C BC B AC C AB
Qua M kẻ
1 2 1 2// ; ;C A AC C AB A BC
1 2 1 2 1 2, ,MB B MC C MA A
đều
1 2 1 1 1 2
1
2
MP MQ MR MA MA MB MB MC MC
1 3
2 2
MA MB MC MO
Vậy
1 1
3 2
MK MP MQ MR MO
Suy ra: M, O, K thẳng hàng
-Bước 4: Kết luận và đánh giá kết quả
Bài 5. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm
của tam giác ABC qua điểm M tuỳ ý trên
mặt phẳng tam giác ABC dựng các đường
thẳng song song với GA, GB, GC chúng
tương ứng cắt BC, CA, AB tại A1,B1,C1
Chứng minh M,G, G1 thẳng hàng với G1 là
trọng tâm của tam giác A1B1C1. Có nhận
xét gì về điểm G1.
các sai lầm thường gặp.
*Đưa ra lời giải (ngắn gọn
nhất) cho cả lớp.
* Hướng dẫn cách giải khác
nếu có(việc giải theo cách
khác coi như bài tập về nhà)
* Lưu ý HS quy trình 4 bước
giải bài toán hình học bằng
PPVT.
*Đặt vấn đề: “Có thể tổng
quát hoá bài toán trên ta
được bài toán 5.
Việc chứng minh bài 5 xem
như bài tập về nhà, và yêu
cầu HS có nhận xét gì về kết
quả bài 5 khi tam giác ABC
đều.”
3.Củng cố.
Câu hỏi: Phương pháp chứng minh 3 điểm A, B, C (thỏa mãn 1 điều kiện
xác định) thẳng hàng?
4.Hướng dẫn bài tập về nhà
-Các bài tập: * 28b, 28c (SGK trang 24).
*19a, 20a, 22 (SBT trang 8)
-Bài tập thêm: Bài 5 trong bài học.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
110
3.3 Tổ chức thử nghiệm
3.3.1 Chọn lớp thử nghiệm
- Vì đối tượng thử nghiệm là học sinh lớp đại trà nên chúng tôi chọn hai
lớp 10C3 là lớp thử nghiệm,10C4 là lớp đối chứng (Năm học 2006-2007) của
trường THPT Bỉm Sơn - Tỉnh Thanh Hoá. Học lực của hai lớp này là tương
đương, lớp 10C3 có 44 học sinh, lớp 10C4 có 48 học sinh, giáo viên dạy thử
nghiệm là cô giáo Trịnh Thị Hà là giáo viên của trường PTTH Bỉm Sơn. Giáo
viên dạy lớp thử nghiệm cũng là giáo viên dạy lớp đối chứng.
3.3.2 Tiến trình thử nghiệm:
- Dạy thử nghiệm được tiến hành vào giữa học kỳ I năm học 2006- 2007.
- Các tiết dạy thử nghiệm được tiến hành sau sau khi đã thống nhất mục
đích, yêu cầu, nội dung giữa giáo viên dạy thử nghiệm. Sau mỗi tiết dạy thử
nghiệm trên lớp, chúng tôi đã trao đổi và rút kinh nghiệm kịp thời với giáo
viên giảng dạy nhằm chuẩn bị tốt hơn cho các tiết dạy sau.
- Ở lớp đối chứng, giáo viên giảng dạy như các giờ bình thường khác.
Việc dạy thử nghiệm và đối chứng được tiến hành theo tiến trình giảng dạy
của nhà trường.
3.4 Đánh giá kết quả thử nghiệm.
3.4.1 Đánh giá về nội dung.
- Việc thay thế phương pháp giảng bài tập, bổ sung các câu hỏi, bài tập
vào giờ giảng đã làm cho giờ học trở nên phong phú, sinh động, phù hợp
với đặc điểm nhận thức của học sinh. Các câu hỏi, các bài tập bổ sung đã
phát huy và khai thác được tính tích cực học tập của học sinh, đồng thời làm
cho học sinh nắm được kiến thức và kỹ năng về giải bài toán hình học phẳng
bằng PPVT một cách chắc chắn, có khả năng vận dụng chúng vào việc giải
các bài tập toán hình học phẳng, thông qua đó bồi dưỡng năng lực giải toán
cho học sinh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
111
3.4.2 Đánh giá về phƣơng pháp dạy học khi thử nghiệm.
Thông qua dạy học thử nghiệm, dựa trên nội dung và phương pháp đã
xây dựng trong giáo án, giáo viên đã dần dần làm quen với việc dạy học sinh
giải bài toán hình học phẳng bằng PPVT, và tích luỹ được kinh nghiệm sử
dụng, khai thác hệ thống câu hỏi, bài tập một cách hợp lý. Qua đó giáo viên
dạy thử nghiệm cũng đã phát hiện được những hạn chế về kiến thức và kỹ
năng giải bài toán HH bằng PPVT của học sinh. Từ đó, thông qua dạy giải các
bài tập với cách đặt câu hỏi gợi mở thích hợp, giáoviên đã giúp học sinh tìm
ra cách giải bài tập hình học phẳng bằng PPVT.
Tuy nhiên, việc giải bài toán HH phẳng bằng PPVT là một vấn đề mới
đối với HS, mỗi giáo viên cần chú ý bố trí thời gian hợp lý cho từng dạng bài
tập để đạt các yêu cầu giảng dạy trên lớp, đồng thời hướng dẫn cho học sinh
cách làm bài tập ở nhà để rèn luyện kỹ năng.
3.4.3 Đánh giá về khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh
Việc sử dụng lợp lý các phương pháp, đã lôi cuốn được sự chú ý, tìm tòi
của học sinh, giờ dạy trở nên sinh động và hấp dẫn. HS rất hứng thú và nhanh
chóng làm quen với việc giải bài toán HH phẳng bằng PPVT. Dưới sự hướng
dẫn của giáo viên, nhiều học sinh đã giải được những bài tập cùng dạng với
bài tập mẫu hoặc một số bài tập khác bằng PPVT và lời giải lại ngắn gọn sáng
sủa hơn so với phương pháp tổng hợp. Với kiến thức và kỹ năng được hình
thành như vậy, học sinh hoàn toàn có thể làm được những bài tập HH tổng
hợp giải bằng PPVT.
Điều đó càng khích lệ học sinh phấn khởi, tự tin, chủ động tích cực học
tập. Sau đợt thử nghiệm, học sinh thấy yêu thích môn toán hơn, có hứng thú
giải toán HH bằng PPVT.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
112
3.4.4 Kết quả kiểm tra
* Đề kiểm tra (thời gian 45 phút).
1.Mục tiêu.
1.Về kiến thức:
- Hiểu và vận dụng quy trình 4 bước giải bài toán HH bằng PPVT vào
giải bài tập HH.
- Hiểu và vận dụng các kỹ năng: chuyển bài toán sang ngôn ngữ véctơ,
phân tích 1 véctơ thành 1 tổ hợp véctơ, biết cách ghép 1 số véctơ trong 1 tổ
hợp véctơ vào giải các bài tập HH.
2. Về kỹ năng: Giải được các bài toán HH chứng minh đẳng thức véctơ,
chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
3.Về tư duy và thái độ: biết quy lạ về quen, tích cực làm bài kiểm tra.
2. Nội dung.
Phần A. Trắc nghiệm khách quan.(3,5 điểm)
Câu 1: Cho đoạn thẳng AB với trung điểm I. Xác định tính đúng-sai của
các đẳng thức sau:
(a)
BAIA
2
1
; (b)
IBIA 2
;
(c)
ABBI
2
1
; (d)
IBAB 2
;
Câu 2: Cho tam giác vuông cân OAB có OA=OB=a. Độ dài của véctơ
OBOA 2
bằng bao nhiêu? Hãy chọn kết quả đúng:
(a) a; (b) a+a
2
; (c)a
5
; (d)2a
2
;
Câu3: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là trung điểm cạnh BC và G là trọng
tâm tam giác ABC. Hãy điền vào chữ Đ nếu đẳng thức đúng, chữ S nếu
đẳng thức sai.
(a)
'2GAGA
(b)
GAAA
2
3
'
(c)
'2GAGCGB
(d)
AAGCGB '
3
1
)(
2
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
113
Câu 4: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 2 đường chéo AC, BD của tứ
giác ABCD. Xác định tính đúng - sai của các mệnh đề sau:
(a)
CDABMDMB
;
(b)
CBADMDMB
;
(c)
MNCDAB 2
;
(d) ABCD là hình bình hành
NM
;
(e) ABCD là hình bình hành
AD CB
;
Phần B. Tự luận.(6,5 điểm).
Câu 1 Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện
OICIBIA 32
a) Chứng minh rằng I là trọng tâm tam giác BCD trong đó D là trung
điểm cạnh AC.
b) Biểu thị véctơ
AI
theo 2 véctơ
AB
và
AC
Câu 2.Cho tam giác OAB,
bOBaOA ,
. Gọi C, D, E là các điểm sao
cho
OAOEOBODABAC
3
1
,
2
1
,2
a) Hãy biểu thị các véctơ
, ,OC CD
qua các véctơ
ba,
b) Chứng minh C, D, E thẳng hàng.
Thang điểm:
Phần A. Trắc nghiệm khách quan(3,5 điểm)
Câu 1 2 3 4
Kết quả
a b c d
C
a b c d a b c d e
Đ S S S Đ S Đ Đ Đ Đ Đ Đ S
Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.
Phần B. Tự luận(6,5 điểm).
Câu 1. (3,5 điểm). a) 2 điểm.
b) 1,5 điểm.
Câu 2 (3 điểm). a) 1,5 điểm. b) 1,5 điểm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
114
Kết quả bài kiểm tra:
Lớp Sĩ số Điểm <5 Điểm 5,6 Điểm 7,8 Điểm 9,10
10C3 44 0 0% 23 52,2% 14 31.8% 7 16%
10C4 48 5 10.4% 28 58.3% 12 25% 3 6.3%
* Kết luận về bài kiểm tra:
*Những nhận xét rút ra qua bài kiểm tra lớp thử nghiệm:
-Phần trắc nghiệm khách quan, hầu hết học sinh đều làm được.
-Phần tự luận:
.Câu 1:Phần lớn các em giải được bài toán này, tuy nhiên lập luận chưa
rõ ràng, qua đó thấy được học sinh nắm được phương pháp giải nhưng chưa
linh hoạt, dẫn đến kết quả chưa cao.
.Câu 2: Chỉ một số ít học sinh giải được bài này, nguyên nhân một phần
là do bài toán khó hơn so với những bài khác, thời gian dành cho bài tập này
còn hạn chế.
*Còn lớp đối chứng, do các ví dụ luyện tập chưa đa dạng nên khi gặp các
tình huống mới học sinh còn lúng túng khi tìm lời giải cho các bài toán đòi
hỏi tư duy, biến đổi phức tạp hơn nên kết quả chưa cao.
3.5 Kết luận chƣơng 3.
Qua kết quả của việc dạy thử nghiệm trên có thể đưa ra kết luận sau:
-Việc đưa ra hệ thống bài tập HH phẳng giải bằng PPVT theo hướng rèn
luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh trong các tiết dạy bài tập, kết hợp
với các biện pháp sư phạm hợp lí để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học
sinh là hoàn toàn có thể thực hiện được.
-Khi dạy học giải bài tập HH phẳng bằng PPVT, việc phối hợp giữa vận
dụng quy trình bốn bước giải toán HH phẳng bằng PPVT với các biện pháp
sư phạm phù hợp làm cho giờ dạy giải bài tập toán trở nên sinh động hơn gây
được hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và
học toán trong trường phổ thông. Tuy nhiên để có một tiết dạy có chất lượng
theo các nội dung đã đưa ra trong luận văn và gây được hứng thú học tập cho
học sinh đòi hỏi người giáo viên phải có một sự đầu tư thỏa đáng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
115
KẾT LUẬN
Qua những vấn đề trình bày trong luận văn có thể rút ra một số kết
luận sau:
1.Trong các nhiệm vụ của môn toán ở trường THPT, cùng với việc
truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là một nhiệm vụ quan trọng, là cơ
sở để thực hiện các nhiệm vụ khác. Để rèn luyện kỹ năng giải toán, góp
phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh cần đưa ra một hệ thống
bài tập đa dạng, hợp lí, được sắp xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh
củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng phát triển tư duy và biết áp dụng
toán học vào thực tiễn.
2.Luận văn đã hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm lời giải của bài
toán theo bốn bước trong lược đồ của Pôlya.
3.Luận văn đã đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp, thông
qua hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài tập HH bằng PPVT với
nội dung phong phú đã đề cập được tới hầu hết các tình huống điển hình mà
học sinh hay gặp khi giải toán HH phẳng bằng PPVT. Đáp ứng được nhu cầu
tự học, tự nghiên cứu của học sinh, điều đó có tác dụng rèn luyện năng lực
giải toán cho học sinh THPT.
4.Kết quả thu được qua thử nghiệm đã chứng tỏ cho tính khả thi và hiệu
quả của các biện pháp mà luận văn đề cập tới. Luận văn đã góp được phần
nào trong việc nâng cao chất lượng dạy và học ở trường THPT.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
116
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Bùi Mai Anh (2002), Rèn luyện năng lực giải toán của học sinh THPT,
Luận Văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại Học Sư Phạm I Hà Nội, Hà Nội.
2.Nguyễn Phương Anh, Hoàng Xuân Vinh (2006), Luyện tập trắc nghiệm
Hình Học 10, Nxb Giáo Dục.
3.Phan Văn Các (1992), Từ điển Hán-Việt, Nxb Giáo Dục.
4.Nguyến Vĩnh Cận-Lê Thống Nhất-Phan Thanh Quang (1997), Sai lầm phổ
biến khi giải toán, Nxb Giáo Dục.
5.Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học môn toán ở trường THP, Nxb
Giáo Dục.
6.Hà Văn Chương (2006), Tuyển chọn 400 bài toán Hình Học 10, Nxb Đại
Học Quốc Gia Hà Nội.
7.Văn Như Cương ( Chủ biên)-Phạm Vũ Khuê-Trần Hữu Nam (2006), Bài
tập Hình Học 10 nâng cao, Nxb Giáo Dục.
8.Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình (2006), Bài tập nâng cao và một số
chuyên đề Hình Học 10, Nxb Giáo Dục.
9.Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Tất Tôn, Đặng Quan
Viễn (1996), Toán bồi dưỡng học sinh Hình Học 10, Nxb Hà Nội.
10.Trần Văn Hạo (Chủ biên), Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên, Lê Văn
Tiến, Lê Thị Thiên Hương (2006), Tài liệu chủ đề nâng cao Toán 10, Nxb
Giáo Dục.
11.Nguyễn Thái Hòe (2004), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, Nxb
Giáo Dục.
12.Nguyễn Bá Kim (2004), Phương Pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại Học
Sư Phạm, Hà Nội.
13.Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương Pháp dạy học môn
Toán (phần I), Nxb Giáo Dục.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
117
14.Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương
Thụy, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương Pháp dạy học môn Toán
(phần II)-Dạy học những nội dung cơ bản, Nxb Giáo Dục.
15.Nguyễn Văn Lộc (2007), Một số ý kiến về định hướng viết tài liệu dạy học chủ
đề tự chọn môn toán cho học sinh THPT phân ban, Tạp chí giáo dục số 154.
16.Bùi Văn Nghị (2007), Các bài giảng chuyên đề: Chuyển tiếp môn toán từ
phổ thông lên đại học, Khoa toán tin-Đại Học Sư Phạm Hà Nội, Hà Nội.
17.Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Vũ
Khuê, Bùi Văn Nghị (2006), Sách giáo khoa Hình Học 10 nâng cao, Nxb
Giáo Dục.
18.Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Vũ
Khuê, Bùi Văn Nghị (2006), Sách giáo viên Hình Học 10 nâng cao, Nxb
Giáo Dục.
19.Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương, Nguyễn Huy Đoan, Phạm
Vũ Khuê, Trần Văn Vuông, Nguuyễn Thế Thạch, Phạm Đức Quang
(2006), “Chương trình và sách giáo khoa toán 10 nâng cao”, Tài liệu bồi
dưỡng giáo viên, Nxb Giáo Dục.
20.Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp duy vật biện chứng với việc học,
dạy, nghiên cứu toán học-Tập 1, Nxb Giáo Dục.
21.Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Tập cho học sinh giỏi làm quen với nghiên cứu
toán học, Nxb Giáo Dục.
22.Nguyễn Thị Hương Trang (2002), Rèn luyện năng lực giải toán theo hướng
phát hiện và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo cho học sinh khá giỏi trường
THPT, luận án tiến sĩ giáo dục học, Viện khoa học giáo dục, Hà nội.
23.Đỗ Đức Thái, Đỗ Thị Hồng Anh (2006), Bồi dưỡng toán 10-Tập 2, Nxb
Đại Học Sư Phạm, Hà Nội.
24.G Polya (1977), Giải một bài toán như thế nào, Nxb Giáo Dục.
25.G Polya (1976), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo Dục.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- LV_07_SP_TH_LTTH.pdf