Luận văn Sự không tồn tại lời giải dương của một số bài toán neumann phi tuyến trong nửa không gian trên

SỰ KHÔNG TỒN TẠI LỜI GIẢI DƯƠNG CỦA MỘT SỐ BÀI TOÁN NEUMANN PHI TUYẾN TRÊN NỮA KHÔNG GIAN TRÊN NGÔ THANH MỸ Trang nhan đề Lời cảm ơn Mục lục Chương1: Tổng quan. Chương2: Thiết lập phương trình tích phân. Chương3: Sự không tồn tại lời giải dương của bài toán với N=3. Chương4: Sự không tồn tại lời giải dương với trường hợp N>3. Kết luận Tài liệu tham khảo

pdf14 trang | Chia sẻ: maiphuongtl | Lượt xem: 1827 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Luận văn Sự không tồn tại lời giải dương của một số bài toán neumann phi tuyến trong nửa không gian trên, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
s~ ~ tk- teJi&t (jidtd~ ~ m#48-' i$'citt~~pMt~~~~~~ CHUONG 3 " ;:: ... . <) sTj KHONG TON T~I Lal GIAI DUONG ? ... , , CUA BAI TOAN VOl N =3 Chungtaxetbai loan(1.1),(1.2)Cl;1thSvoi n=3nhusau: (3.1) l::1u=O,(x,y,z)ER~={(x,y,Z)ER3,z>o}, (3.2) -uz(x,y,O)=g(x,y,u(x,y,O)), (x,y)E R2. voi g : R2x[0,+00)-+[0,+00)thoa di~uki~n: (G) g la ham lien tl;1C, (G2)T6n t~ihaih~ngsa M >0, a 2::0saa cho: g(x,y,u) 2::M ua, Vx,y E R, VU 2::O. Cac Hnhchftt(s,),(S2)du<;jccl;1thSl~inhusau: (S;) U E C2(R~)(1C(R~), uzEC(R~), (8;)(i) lim sup I u(x,y,z)I =0, R-+toox2+i+z2=R2,z>O (ii) . au au au hm sup I x-(x,y,z) +y-(x,y,z) +z-(x,y,z) 1=O. R-HOO x2+i+z2=R2,z>O ax 0' az Khi dotacodinh19sau: Dinh It 2: Ne'u[iJi gidi u ciLa hai loan (3.1), (3.2) vdi g : R2 x [0,+00) -+[0,+00)la ham lien tl;lc thoa cac tinh chat (s;),(8;),khido u la liJi gidiciLaphLtdngtrlnhrichphanphi tuytnsau: 12 S 'f"~ tk t~ t~ 9idtd~ ~ ffl# u' g>eUt~~ftMt~~~~~~" (3.3) u(x,y,z)=~ H g(e;,77,U(e;,ry,0))de;dry,V(X,y,z)ERl. 21rR2~(X-e;)2 +(y_ry)2 +Z2 Ta cling gia sa r~nggia tri bien u(x,y,O)cua Wi giai u cua bai loan (3.1), (3.2) thoadi~uki~n: (S;) Tichphan H g(e;,ry,u(e;,ry,O))de;dry tan tc;ziV(x,y) E R2. R2~(x- e;)2+(y - ry)2 Ta phat bi~uk€t quachinhtrongph~nnaynhu'Jau: Dinh Iv 3: Gid S~(rling g thoacae gid thilt (Gj),(G2) v6'i 0<a ~2. Khi do belitoan (3.1),(3.2)khongcolCii gidi du:ang thoa (s;),(s;),(s;). ChungminhdinhIy 3: B~ngphu'dngphapphanchung,giasar~ngbai loan (3."1),(3.2)co Wi giai du'dngu=u(x,y,z)thoa(Sn,(S;),(S;). Dung dinh 19"hQi t1,lbi ch?n, cho z ~ 0+ trongphu'dngtrlnh . tichphan(3.3),nhoVaG(s;) , tathuduQc: (3.4) u(x,y,O) =~ If g(e;,ry,u(e;,ry,O))de;dry, V(x,y) E R2. 21rR"2~(X-e;)2+(y_ry)2 Ta d~t:u(x,y,O)==u(x,y). Khi do,tavi€t 1~i(3.4)nhu' sail: (3.5) u(x,y)=A[g(e;,ry,u(e;,ry))](x,y) =~ II g(e;,ry,u(e;,ry))2 d~d1], 'v'(x,y)E R2,- 27rR2~(x - e;)2+(y -ry) 13 s~~ tk t<#tla~ d~ ~ ffl# d 1$'eUt~~ftMt~~~~~~ trongdoA la mQttoantli'tuye'ntlnhxacdinhb~ngcongthuc: (3.6) A[v(~,17)](X,'y)=2~If v(~,:)d~d17?' V(x,y)E R2.--J...!(x -J: ) .../..(1 -77) - IC v \ ':> '\J DS chungminhdinhly 3, tachicgnchungminhr~ng phudngtrlnhtichphan(3.5)khongcoWigiaidudnglientlJc. Trudehe'taegnmQts6ba'td~ngthuedanhgiasauday: B6 d~4. V6'imQi(x,y)ER2taco: (i) A[(1+~~2 +17 2 )-a ](x,y) =+00 , niu 0<a ~1, 1 (ii) Al(! +~e+~2F"](x,y) "2(a -1)( 1+~x2+~2)0-' ' niu a >1, (iii) A[(1+~~2+172)-2](X,Y)21n(1+~x2+y2) , niu a=2. 4 ~x2+y2 niu x2+y2 2 1 Chungminhb6d~4: (i)'0<a ~1: Su dlJngba'td~ngthuesailday (3.7) 1 1> ~(x-~)2+(y-17)2- ~x2+y2 +V~2+172 Vx,Y,~,17E R, va saudod6ibiC'ns6quat9adQeve,tathuduQe 14 S'f"~ t~ t~ to:i9-idid~ ~ m#<14' ~4it~ ~~t~~tUkt~~~ (3.8) A[(1+~;2 +172)-a](X,y) 2~ Sf d;d77 . 21l:R2 (1 +~;2 +772)a ( ~;2 +172+~x2 +y2 ) +oo f rdr2 - +00 . 0 (1+r) a ( r +~x2+y2 ) (ii) 1<a <2: Tu'dngtt!nhu'(3.8),taco (3.9) +00 rdr A[(1+Je+'l' )-"](x,y) " I (1+r)"(r+Jx'+y2) +00 2 f rdr ~x2+i ( 1+r ) a ( r +~X 2 + y2 ) Tli bfftd~ngthucSail (3.10) r 1 r +~x2+y2 2"2' I 2 2 \lr 2 '\jX +y , ta thudu'Qctli'(3.9) ding (3.11) +00 dr 1 f - A [(1 +~I;' +~2)-a](x,y) "2 Jx'+i ( 1+r)" - 2(a -1)( l'I--~X2+)/ )a-I . (iii) a =2: Tu'dngtlfnhu'(3.8),taco vdi x2+y221 (3.12) +00 rdr A[(1+~1;2+rt' )-2](x,y) " I (1+r),<r+~x2+y2) 15 Sf!' ~ tiH t~ &i tJidi d~ ed4~ 48: i$'.ut~~pMt~~~~~~ +00 r rdr> - - t(1 +r) 2( r +~X2+y2) . . Sadl;lngbfftd~ngthuc (3.13) r 1->- (1+r)2-4r' Vr ~1, tasuyfa (3.14) 1+00 dr A [(I +~l;2+~2 )-2](x, y) ;"4 ! r( r +P +y2 ) 1 +00 1 1 )drj (-- ~ 2~ 2 2 r r + x2+y4 x +y I = +00 1 r = xIn( ) 4~x2+y2 r +~x2+y2 - In(l+~x2+y2 ) - 4~x2+y2 B6d~4du'ychungminh. Baygio,dStie'pWcchungminh,tagiltsading t6nt~i (xo,Yo)ER2saocho u(xo,Yo)>O.Do u lien tl;lc,khi d6 t6nt~i ro>0 saocho (3.15) 1 u(x,y)>-u(xo,Yo) ==mo,2 V(x,y)E Bro(xo,Yo)={(x,y):(x-xO)2 +(y- YO)2<ri}. Ta suytu (G2),(3.5),(3.15)va Hnhddndi~ucuatminta A , , . rang (3.16) u(x,y)=A[g(~,7],u(~,7]))](x,y)~A[M ua(~,7])](x,y) 16 Srf"~ t~ t~ tiJ:i~ d~ ~ m#48-' i$'citt~ ~ pMt&Pf~~ nem~ ~ ~ =M H ua(~,ry)d~dry 2ff R2~(X - ~)2+(y - ry)2 >M(mo)a H d~dry , \;I(x,y)EOR2. - 2ff BI!)(XO'Yo)~(x-~)2 +(y_ry)2 sa d\lngbfftd£ngthucsailday (3 1'7\ IC _' ):,2. (y '7 ,2 / ~x2 . -:-i. ~ ..2. I) -v x-,=,) T -) :::,\j x- + Y T \j <;-- + 'I s (1+~x2 +y 2 )( 1+~~2 + 772) s(1+~X2+y2)(1+~x5+Y5 +~(~-xO)2+(ry_YO)2) - S (1+~x2 +y2 )(1+~x5+Y5 +ro2) , \;Ix,yE R, \;I(~,ry)E Bro(xo,Yo). ta thu du<;5c (3.18) M(mo)a H d~d77 2ff BI!)(XO'Yo)~(x-~)2+(y-77)2 M(mo)a ;;:: 2ff ffd~dry ~ 2 2 ~ 2 ., ')(1+ x +y )(1+ Xo+Yo+rO)B'1j(xO,YO) M(mo)a--- > 2ff ff r2 - (1+~x2+y2)(1+~x5+Y5 +ro2) 0 \7 Stf"~7 ti.~t~ tG:t~ d~ c.d4ffl# 44' g'c:Ut~~pMt~~~~9i4H~ M(mo)a 2 1fro 1= 21f X . (1+~x~+y~+ro2) (1+~X2+y2) Ta suytli' (3.16),(3.18)ding (3.19) m) u(x,y) > ~ ;: U)(x,y)1+ x2 +y2 M a 2 O' mOrO VIm) =2(1+~x5+Y5 +rt) . Vx,Y E R , Ta xetcaetrttongh<Jpkhacnhaucua a. Tru<fngh(jp 1: 0<a ~1. Ta thudtt<Jctli'(G2),(3.5),(3.19)va tinhddndi~ucua loan ii'iA, r~ng (3.20) U(x,y)=A[g(~,1],u(~,1]))](x,y)~A[M ua(~,1])](x,y) ~A[M ui (~,7])](X,y) =M miA[(1+~~2+1]2)-a](x,y) =+00, dob6d~4,(i). Day la di~uVO19. Truong h(lp 2: 1<a -::2. Ap dt,mgb6d~4, (ii), tathudtf<JCtli'(G2),(3.5),va ttnhddndi~ucuatmintll'A , r~ng (3.21) u(x,y)=A[g(~,1],u(~,1]))](x,y)~A[M ua(~,1])](x,y) 18 S¥ ~ t~ t~ tia tJidi d~ ~ m# 44' g'.ut~~ft4tt~~~~~~ ~ A[M uf (~,1J)](X,Y) =M mfA[ (1+)~2 +1J2)-a ](X,y) Mma > I - 2(a-1)(1+~X2+y2 )a-I . (2 2 -'12 =m2(1+-Vx +y ) =U2(X,y), trongdo (3.22) a Mml , m2=2(a -1) q2=a -1 . Bangguyn~ptagiltsarang (3.23) u(x,y)~uk-l(x,y)=mk-I(1+Jx2+y2 )-Qk-I, Vx,YER. N€u aqk-I>1, khi do,sadl;lngb6d64, (ii), tathudu'Qc tu (G2),(3.5),(3.23)ding (3.24) u(x,y)=A[g(~,1J,u(~,1J))](x,y)~A[M ua(~,1J)](x,y) ~A[M Uk-l(~,1J)](x,y) =Mmk-IA[(1+-!f+1J2 )-aQk-1](x,y) > M mk-l - 2(aqk-1-1)(1+~x2+y2 )aqk-I-I (2 2 -qk =mk(1+-Vx +Y ) =Uk(X'Y)' 19 s~~ tik t~ tia 9Ut d~ uU m#44-' g'4i t~ ~ {14tt~ ~ ~ ~ 9i4# ~ trong do cacdays6 {qd,{mk}duQcxacdinhbC5icongthucqui n~p: (3.25) qk =aqk-I -] , k=2,3,...; ql =1, (3.26) mk=M mk-I 2qk ' k =2,3,... Tli (3.25),(3.26)ta thu du'<;ic (3.27) qk=I-(2-a)ak-1a-I' a Mmk-I , mk= 2qk Vk =2,3,.... Do 1<a <2, tacoth€ chQnduQcs6tlj nhien ko,phV thuQcvao a, saocho: (328) -In(2 - a) . In(2- a). ~ko<1-Ina Ina . Vdi s6tlfnhien koduQcchQn,taco (3.29) O<aqko~1. Sa dvngb6d€ 4, (i), tathuduQctu (G2),(3.5),(3.24), (3.29), r~ng (3.30) u(x,y)=A[g(;,7],u(;,7]))](x,y)~A[M ua(;,7])](x,y) ~A[Mu~ (~,1J)](x,y) =M 111roA[ (1+~C;2+7]2faqko ](x,y) =+00. Dinh ly 3duQcchung'minhchotruonghQp2. 20 S'f"~ tk- t'!i &i 9idi d~ cda.ffl# M.' Z$'eitto<i#~ p4tt~ Wu«J~ ~ 9ia4 tUH, Truong hc;ip3: a =2. Voi a =2,apdvngb6d~4,(iii),tathuduQctu (G2)' (3.5),vatinhdondi~ucuatoanta A , r~ng (3.31) u(x,y)=A[g(~,17,1l(~,1]»](x,y)~A[M u2(~,1])](x,y) ~A[M uf (~,'7)](x,y) =MmfA[(1+~~2+'72)-2](x,y) ~M mt lne1+~x2+y2 ) 4 ~H2. 2 ..\, -r-y Ta suyratu (3.31)r~ng (3.32) ( » V2(X'Y) 2 J "2 2 1 U x,y - ( 1+~X2 +y) , X2 +y ~ , C2 In( 2 Jx'+y' x'+y',;;J.0, = trongd6 (3.33) P2=1, C ' 1M. 22 =- ml 4 Giasar~ng: (3.34) U(X,y)~vk-I(x,y) ( ~ J "k_' C 1+ X2+y2 k-I In( ), X2+/ ~1, ~X2+y2 2 0 , X2+y2 S 1. = 21 s¥~ t~ t~ t~ ~ d~ c:-d4m# d g>.utMH~p4tt~~~~~~ trongdo Pk-I,Ck-1ladieh~ngs6duong. Sad\,mgiathie't(G2)va (3.5),(3.34),taco: (3.35) u(x,y)=A[g(~,17,u(~,17»](X,Y);:::A[M u2(~,77)](x,y) ;:::A[MvLI(~,17)](x,y) 2 . =M H vk-I(~,17)d~d17 2" R2~(x- ~)2+(y -17)2 ;:::M If 2" .;2+r/2~1 vi-I (~,17)d~d17 ~(x - ~)2+(y - 77)2 [ ~ 2 2 J 2Pk_l In(l+ ~2+17) d~d17 (~2+172)~(x-~)2+(y-17)2 >Mcf-I Sf - 2" .;2+1J2 1 McLI If> 2 2- " .;2+1/~I ( ~ 2 2 J 2Pk_1 In(l+ ~2+17) d~d17 (~2+772)(~~2+772+~x2+y2 ) . +<X.J ( In(1+r ) 2Pk-1 ;:::MC2 f 2) dr k-I I r(r +~x2+y2) Ta xettruonghQpx2+y2;:::1,taco (3.36) ( 1+r ) 2f1k-1 ( 1+r ) 2f1k-1 +CI)In( --2- ) dr +0.0 In(2-- ) dr f > f 1 r(r+~x2+y2) - ~x2+/ r(r+~x2+y2) 22 S 'f' ~ t~ t~ &t ~ dU?1~ ~ ffl# #' . goat~ ~ ftM t~ WuuJI1da~ ~ tUn J 2Pk-1 +00 dr 1+~x2 +y2 . 2 2 ;'[lll( 2 ) N~y"(r+P +y ) J 2Pk-1 ~ 2 2 11+ x +y - =(In( 2 ). ,J;2+ y' +00 J (!- 1 ~x2+i r r +~x2+y2 )dr 1+00 J 2Pk_1 r 1+~x2+y2 1 xin . 2 2 =(In( 2 ) ~X2 +y2 r+p +y I)x'+/ ( } 2Pk-l 1+ ~ x 2 + y 2 ) In2 = I~ . 2 ~x2+y2 Voi x2+y2 ~1,ta suy tli (3.35), (3.36) ding (3.37) ( 1 1+r ) 2Pk-l u(x,y) ~MC2 +J oo n(2) dr k-( . 1 r(r +~X2+y2) 2 ( ~2 2 J 2Pk-1 >MCk-I In2 1 1+ x +y -~2 2 n( 2 ).'x +y Tli (3.35),(3.37), tathudu'Qc (3.38) u(x,y) ~Vk(x,y) [ ~ J Pk C 1+ x2 + 2 k In( y), X2+y2~1, ~X2 +y2 2 0, x2+/s1. = trongd6 Pk,Cklacachhngsf)du'dngxacdinhbdicaccong thlicquin~p. 23 s«"~ tk t4i tlTt..,...:<..dUXdLL ~ I1e8t4-6.'. '.' ~ -_-or, . g'eUt~~put~~m:a~~~ (3.39) - . 2Pk - 2Pk-b Ck =MCk-lln2, k =3,4,.... Tli (3.33),(3.39)taco (3.40) Pk =2k-2 , C' - 1 M 2k-l-l ( 1 ~l 2) 2k-1 k - - -m\-v1l1L.ln2 2 Nhd vao(3.40)tavi~tl~i(3.38)vdi x2+y2~1nhu'sau . (3.41) u(x,y) ~Vk(x,y) - 1 [ 1 2 2 2'-2 M~x2+y21n2 4M m;ln21n(I+~X +y' J2 ) . 1 1+Jx2 +y2 ChQnx,y saocho 4.M2mfln21n( 2 ) >1 hay (3.42) I 2 2 4vx +y >-1 +2exp( 2 2 ) ==Po. M m(ln2 Khi dotaco (3.43) u(x,y)~ Jim vk(x,y)=+co, k -HOO / 2 2 '\j x +y >Po. Di~unayvo 1;'.Dinh1;'3 du'Qchungminhchotru'dng hQp3. T6 hQpcactru'dnghQp1-3chungtathftyr~ngdinh1;'3 du'Qchungminh. Chu thich 1. Ke'tquacuadjnh1;'3m~nh onke'tquatrongl8]Ruy, Long,Blnh.Th~tv~y,tuonglingvoiclingphuongtrlnh(3.1), 24 s~ ~ t~ t¥ tfa9idtd~ ~ m?t~' ~citto<iH-~;It4t t~ WuetJ~ ~ ~ ~. (3.2), cacgia thitt saildayda:dungtrong [8]khongdin thitt d day . (°3) g(x,y,u)khonggidmd61Wli bientJutba,tttcla, (g(x,y,u)-g(x,y,v))(u-v)~O, \/x,YER, \/u,v~o. (04) Tichphan ff g(x,y,O)dxdy R2 1+~x2+y2 tbntgivadU(Jng. Chti thich 2. Chu yrhng voi 0<a::;2, ham g(x,y,u)=.uakhong giJi quyttduQctrongl8]VIkhongthoagiathitt (°4),trongkhid6 chungWiaa:giaiduQcvi d\lnaytranglu~nvan. Chti thich3. Truong hQp a =2, caclac gia Bunkin,Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov,Samarsky[1] c6 cho mQtdanhgia tuongtlf nhu (3.38)nhungphlict~pbon,mad d6VkduQccho dlfoid~ngcuamQtchu6iham. Chti thich4. Ke"tquacuadinhly 3 khongcondungvoi a >2. Ta xet phanvi d\l sail day vdi a =3 va g(x,y,u)=u3.Ta c6 g thoa cacgiathitt (°1),(°2). Khi d6hamsf) 1 u(x,y,z)= ~x2+y2+(z+1)2 la WigiJi dl((1ngcuabailoan(3.1),(3.2)vathoa(sn,(s;),(s;). 25

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdf5.pdf
Tài liệu liên quan