Luận văn Thế Debye - Huckel trong tương tác ion nguyên tử của Plasma loãng

-0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.05 0.1 0.15 b2  0.007324    0.0004114   -0.0002833  b3    -0.02167   -0.01502   -0.002602  b4  0.008098    0.006594                                                                                                    0.001285 b5  0.005127    0.003445  0.0005493  Hình 3.4.1: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h2 theo ln của thế màn chắn H(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể hiện các giá trị của hệ số theo số liệu ở bảng 3. Hình 3.4.2: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h3 theo ln của thế màn chắn H(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể hiện các giá trị của hệ số này theo số liệu ở bảng 3. h2  ln   ln   h3          Qua khảo sát sự biến thiên của các hệ số hi trên theo tham số  ta thấy dáng điệu của đại lượng  này là giảm đều, không cho thấy có điểm bất thường nào khi  thay đổi.       * Như vậy ta lựa chọn các biểu thức hi (với i = 0, 2, 3, 4) của đa thức thế màn chắn H(r) như sau:                                        1/2 5 0 1 3 ln(1 ) 1 i i i h a                                                      Với các hệ số ai được cho bởi bảng dưới đây:          Các biểu thức giải tích của h2, h3, h4 được cho bởi  5 0 (ln )ki k k h b     , i = 2, 3, 4. trong đó các hệ  số bk được cho bởi bảng 2.3.  3.2. Xác định khoảng cách giới hạn rDH()          Với mỗi  ta sẽ tìm được thế Debye – Hückel tương ứng:  31 ( ) r DH e H r r                                             (3.2a)                                -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.01 0.02 0.03 Hình 3.4.3: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h4 theo ln của thế màn chắn H(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể hiện các giá trị của hệ số này theo số liệu ở bảng 3. a1  a2 a3  a4  a5  0.03198  0.2323  -0.08435  0.01171  -0.000579  ln   h4          Như phần đầu ta đã biết thế màn chắn Debye - Hückel HDH(r) chỉ được áp dụng ở khoảng cách r  > rDH. Vì vậy để nâng cao độ chính xác của lý thuyết Debye – Hückel ta sử dụng hệ thức sau:                               3 4 2 0 1 ; ( ) ( 1) ; r DH i i i DH i e r r rH r h r r r                               (3.2b)          Một khi đã xác định rằng thế Debye-Hückel chỉ được sử dụng kể từ một khoảng cách rDH nào đó  đối với mỗi giá trị của tham số , ta sẽ sử dụng điều kiện liên tục (3.2b) cho các hàm số, cụ thể là:  3 8 6 4 2 4 3 2 1 0 1 ( ) DH DH r DH DH DH DHr r DH e H r h r h r h r h r h r                  (3.2c)  để tìm được rDH cho mỗi . Do thế Debye – Hückel chỉ có đối với plasma loãng nên ta sẽ tìm rDH cho  những  2  . Thông qua đó ta  lập bảng số liệu  rDH theo  và sử dụng chương trình Matlab để  tìm  biểu thức rDH().                     Khảo sát những  2   cho ta kết quả như sau:   0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 r H (r )  1.29072 Hình 3.5.1a : Ta thấy kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.29072, thế Debye Hückel (đường đứt nét) phải được thay bằng đa thức Widom (đường liền nét). Các chấm tròn là các giá trị HyperNetted Chain.         Đối với  0.1  : Ta thấy kể từ những điểm có  1.29072DHr r  , hệ  thức có dạng (3.2a) mới  tương thích với các số liệu của thế màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể  từ giá trị  1.29072DHr   về phía nhỏ hơn, thế DH không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng màn chắn.  1.2 1.25 1.3 1.35 0.39 0.395 0.4 0.405 r H (r ) 1.29072  0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 r H (r ) 1.40899  1.36 1.38 1.4 1.42 0.465 0.47 0.475 r H (r )  1.40899 Hình 3.5.2b : Tại điểm có hoành độ 1.40899, hai đường biểu diễn cắt nhau và có cùng độ dốc. Hình 3.5.2a : Ta thấy kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.40899, thế Debye Hückel (đường đứt nét) phải được thay bằng đa thức Widom (đường liền nét). Các chấm tròn là các giá trị HyperNetted Chain.  Hình 3.5.1b : Tại điểm có hoành độ 1.29072, hai đường biểu diễn cắt nhau và có cùng độ dốc.         Đối với  0.2  : Ta thấy kể từ những điểm có  1.40899DHr r  , hệ  thức có dạng (3.2a) mới  tương thích với các số liệu của thế màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể  từ giá trị  1.40899DHr   về phía nhỏ hơn, thế Debye-Hückel không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng  màn chắn.        Đối với  0.5  : Ta  thấy kể  từ những điểm có  2.01509DHr r  ,  hệ  thức có dạng  (3.2a) mới  tương thích với các số liệu của thế màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể  từ giá trị  2.01509DHr   về phía nhỏ hơn, thế Debye-Hückel không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng  màn chắn.  0 0.5 2 1.5 2 2.5 3 3.5 0.4 0.6 0.8 1 r H (r ) 2.01509  1.9 2 2.1 2.2 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 r H (r )  2.01509 Hình 3.5.3b : Tại điểm có hoành độ 2.01509, hai đường biểu diễn cắt nhau và có cùng độ dốc. Hình 3.5.3a : Ta thấy kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.01509, thế Debye Hückel (đường đứt nét) phải được thay bằng đa thức Widom (đường liền nét). Các chấm tròn là các giá trị HyperNetted Chain.        Đối với  1  : Ta thấy kể từ những điểm có  2.09863DHr r  , hệ thức có dạng (3.2a) mới tương  thích với các số liệu của thế màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể từ giá  trị  2.09863DHr   về phía nhỏ hơn, thế Debye-Hückel không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng màn  chắn.  0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.5 1 1.5 r H (r )  2.09863 1.8 2 2.2 0.4 0.45 0.5 0.55 r H (r )  2.09863 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 r H (r )  2.12295 Hình 3.5.5a : Ta thấy kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.12295, thế Debye Hückel (đường đứt nét) phải được thay bằng đa thức Widom (đường liền nét). Các chấm tròn là các giá trị Monte Carlo. Hình 3.5.4b : Tại điểm có hoành độ 2.09863, hai đường biểu diễn cắt nhau và có cùng độ dốc. Hình 3.5.4a : Ta thấy kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.09863, thế Debye Hückel (đường đứt nét) phải được thay bằng đa thức Widom (đường liền nét). Các chấm tròn là các giá trị Monte Carlo.           Đối với  2  : Ta thấy kể  từ những điểm có  2.12295DHr r  , hệ  thức có dạng (3.2a) mới  tương thích với các số liệu của thế màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể  từ giá trị  2.12295DHr   về phía nhỏ hơn, thế Debye-Hückel không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng  màn chắn.  Kết quả chung của rDH cho mỗi giá trị của  được trình bày trong bảng 4. Bảng này cho ta thấy  rõ giới hạn áp dụng của thế dạng Yukawa cho plasma loãng.  Bảng 4 : Các giá trị số của điểm nối rDH giữa thế Debye-Hückel và đa thức Widom.   rDH  0.1  1.29072  0.2  1.40899  0.5  2.01509  2.1 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 0.462 0.464 0.466 0.468 0.47 0.472 r H (r )  2.12295 Hình 3.5.5b : Tại điểm có hoành độ 2.12295, hai đường biểu diễn cắt nhau và có cùng độ dốc. 1  2.09863  2  2.12295  Các giá trị số ở bảng 4 được biểu diễn bởi hệ thức giải tích:                   1.69 0.3059arctan(3.394ln 4.156)DHr               (3.2d)  Để thấy rõ thêm tầm ảnh hưởng của đa thức Widom lên thế màn chắn, ta có thể quan sát hình  3.5.6a đường biểu diễn sự biến thiên của rDH theo  như công thức (3.2d). Ta thấy giá trị của rDH tăng  theo  chứng tỏ rằng thế Yukawa chỉ thể hiện chính xác tác dụng màn chắn đối với plasma loãng và  ngay cả khi này thì thế Yukawa cũng chỉ được áp dụng đối với khoảng cách r đủ lớn.  0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 1 x 10 -3  0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 1.4 1.6 1.8 2 2.2 rD H   r D H Hình 3.5.6a: Sự biến thiên của rDH theo . Ta thấy thế Yukawa giảm dần ảnh hưởng khi plasma càng đậm đặc. Hình 3.5.6b: Đồ thị thể hiện sai số giữa hệ thức (3.2d) với số liệu ở bảng 4.  Ta thấy sai số ở đây nhỏ hơn 0.7‰.            Theo nghiên cứu của tác giả Đỗ Xuân Hội đã được đề nghị ở [3]                     1.62540 0.34536arctan 3.04030ln 0.25412 DHr                             (3.2e)          Hệ thức (3.2d) ở trên có dạng đơn giản, dễ vận dụng hơn hệ thức tính rDH đề nghị trong (3.2e),  trong khi sai số giữa hai công thức tối đa chỉ là khoảng 9% cho giá trị  0.1  .  0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 1.4 1.6 1.8 2 2.2 rD H  0 0.5 1 1.5 2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1  Hình 3.5.6d: Đồ thị biểu diễn sai số giữa biểu thức đề nghị rDH ở (3.2d) với hệ thức (3.2e)  Hình 3.5.6c: Đường liền nét biểu diễn rDH ở công thức (3.2e), các chấm tròn là các giá trị rDH theo số liệu ở bảng 4.         Cần chú ý rằng ngoài điều kiện (3.2c) thể hiện sự liên tục về biên độ, ta cũng cần kiểm nghiệm  lại tính liên tục về độ dốc của hai hàm số cũng như sự bảo đảm hai hàm số có cùng bề lõm tại điểm  nối rDH, cụ thể là:  3 3 7 5 3 4 3 2 12 3 3 32 6 4 2 4 3 2 12 3 2 3 1 ( ) 8 6 4 2 2( 1) 2 3 3 ( ) 56 30 12 2 DH DH DH DH DH DH DH r r DH DH DH DHr r DH DH r r r DH DH DHr r DH DH DH e e H r h r h r h r hr r r r e e e H r h r h r h r h r r r r                                           Sau khi tính toán bằng chương trình Matlab ta thấy đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hai hàm này  tại điểm rDH ứng với từng  ở bảng 4 là bằng nhau (với sai số khoảng 10 -11, coi như gần bằng không).  Điều này thể hiện sự đúng đắn của hệ thức (3.2b) mà ta đã đề nghị để hiệu chỉnh lí thuyết Debye –  Hückel cho plasma loãng.          Như  vậy,  lí  thuyết  DH  chỉ  đúng  ở  khoảng  cách  khi  r  >  rDH,  với  rDH  được  cho  bởi  hệ  thức:              1.69 0.3059arctan(3.394ln 4.156)DHr    .  0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 1.4 1.6 1.8 2 2.2 rD H  Hình 3.6e: Đường liền nét biểu diễn hệ thức rDH đề nghị, đường đứt nét biểu diễn hệ thức rDH theo tác giả Đỗ Xuân Hội. Các chấm tròn là các giá trị rDH theo số liệu ở bảng 4.  CHƯƠNG 4 XÁC ĐỊNH NGƯỠNG CỦA HIỆU ỨNG TRẬT TỰ ĐỊA PHƯƠNG C 4.1. Xác định biểu thức rmax()  4.2. Các hệ số của đa thức thế màn chắn HC(r)  4.3. Giá trị ngưỡng C         Ta đã biết C là giá trị giới hạn của tham số tương quan mà kể từ đó hàm phân bố xuyên tâm bắt  đầu chuyển dáng điệu biến thiên từ hàm tăng đơn điệu sang dao động tắt dần theo khoảng cách liên  iôn r. Giá trị ngưỡng C đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu bằng nhiều cách khác nhau. Hansen dựa  trên việc nghiên cứu các dữ liệu Monte Carlo tìm ra C trong khoảng [2, 3]. Rio và De Witt đã nghiên  cứu tìm ra C = 1.8206. Choquard và Sari đã dựa trên tính toán theo phương pháp HyperNette Chain  và đưa ra kết luận C ≈ 0.99. Tác giả Đỗ Xuân Hội đã đề nghị giá trị C = 1.75 [3]. Như vậy C vẫn  còn là vấn đề để nghiên cứu, chưa tìm ra giá trị duy nhất mà chỉ dự đoán C đúng trong môt khoảng  nào đó mà thôi. Dưới đây là một cách để đề nghị cho giá trị ngưỡng C   của trật tự địa phương.        Để tìm giá trị ngưỡng C   của trật tự địa phương, trước tiên ta sẽ tìm biểu thức rmax là giá trị tại đó  hàm g(r) có cực đại đầu tiên. Kế đến bằng cách dùng tính liên tục của HC(r) tại điểm tiếp nối rmaxC ta  tìm biểu thức các hệ số h2C, h3C, h4C của thế màn chắn HC(r) khi  tiến tới C. Cuối cùng ta kết hợp đồ  thị để tìm C từ các điểm tiếp nối của các đồ thị h2 và h2C, h3 và h3C, h4 và h4C.  4.1. Xác định biểu thức rmax()        Ta tìm giá trị rmax tương ứng với điểm gmax của từng  trong bảng dữ liệu Monte Carlo. gmax là giá  trị của điểm cực đại đầu tiên khi đồ thị g(r) bắt đầu có dao động. Từ đó ta lựa chọn các giá trị phù hợp  và đưa ra bảng số liệu sau:                                               Bảng 5: Các giá trị rmax theo    rmax            3.174802  1.9297  5.0  1.7539  10  1.6837          Quan sát các số liệu ở bảng 5, ta thấy rmax giảm dần theo .                           Ta đề nghị biểu thức rmax  như sau:   2max 2.84 1.076ln 0.2491(ln )r      (4.1a) 2 4 6 8 10 1.5 2 2.5 3 Hình 4.1.1: Đường liền nét biểu diễn rmax ở công thức (4.1a), các chấm tròn là các giá trị rDH theo số liệu ở bảng 5.    rmax             Theo nghiên cứu của tác giả Đỗ Xuân Hội được đề nghị ở [3]  2 max 2.31382 0.794931ln 0.248395 ln 1.75 1.75 r                             (4.1b)  3 4 5 6 7 8 9 10 -8 -6 -4 -2 0 x 10 -8 2 4 6 8 10 1.5 2 2.5 3 3 4 5 6 7 8 9 10 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 x 10 -3 Hình 4.1.3: Đường liền nét biểu diễn rmax ở công thức (4.1b), các chấm tròn là các giá trị rmax theo số liệu ở bảng 5.  Hình 4.1.2: Đồ thị biểu diễn sai số giữa biểu thức đề nghị rmax ở (4.1a) với số liệu ở bảng 5        rmax                                 Ta thấy sai số tương đối nhỏ hơn 6% .         Như vậy,  sai  số của  biểu  thức  rmax  đề  nghị  tốt  hơn,  cho giá  trị  rmax  có sai số  rất bé gần bằng  không.   4.2. Biểu thức các hệ số h2C, h3C, h4C của đa thức thế màn chắn HC(r)         Khi    tiến  tới  C  thì  g(r)  tiến  tới  gC,  rmax  tiến  tới  rmaxC.  Từ  các  dữ  liệu  Monte  Carlo  và  HyperNetted Chain cho thấy gC ≡ 1, tức có sự che chắn hoàn toàn tại một giá trị rmacC. Như vậy ta sẽ  sử dụng hệ thức dưới đây để xác định biểu thức các hệ số h2C, h3C, h4C của đa thức thế màn chắn tại  giá trị ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương khi  lim ( ) ( ) C CH r H r   :  max 4 2 max 0 1 ; ( ) ( 1) ; C C i i iC C i r r r H r h r r r                  Ta cũng sử dụng các điều kiện  liên tục cho biên độ, đạo hàm bậc nhất và bậc hai cho HC(r) tại  điểm tiếp xúc rmaxC(), ta được:    max max max 8 6 4 2 4 max 3 max 2 max 1 max 0 max 7 5 3 4 max 3 max 2 max 1 max2 max 2 6 4 2 4 max 3 max 2 max 12 3 max 1 ( ) 1 ( ) 8 6 4 2 2 ( ) 56 30 12 2 C C C C C C C C C Cr r C C C C C C C Cr r C C C C C C Cr r C H r h r h r h r h r h r H r h r h r h r h r r r H r h r h r h r h r r                                     Giải hệ 3 phương trình trên với 3 ẩn h2C, h3C, h4C;  ta sẽ  tìm được giá  trị của h2C, h3C, h4C phụ  thuộc vào h0, h1, rmaxC  như sau:  Hình 4.1.4: Đồ thị biểu diễn sai số giữa biểu thức rmax ở (4.1b) của tác giả Đỗ Xuân Hội với số liệu ở bảng 5.  3 1 max 0 max 2 5 max 3 1 max 0 max 3 7 max 3 1 max 0 max 4 9 max 24 48 63 8 12 32 45 4 8 24 35 8 C C C C C C C C C C C C h r h r h r h r h r h r h r h r h r                            (4.2)                     Với h0 được tính theo công thức (1.5d), h1=0.25, rmaxC được tính theo công thức (4.1a), ta thế vào  hệ  (4.2) được bảng số liệu sau:                    Bảng 6: Các giá trị của các hệ số h2C, h3C, h4C theo    h2C  h3C  h4C  2  0.0423  0.0040  0.1605.10-3  3.174802  0.0377  0.0030  0.1172.10-3  4  0.0371  0.0034  0.2338.10-3          Như vậy với  thế màn chắn HC(r)  thì  các biểu thức giải  tích của các hệ số h2C, h3C, h4C có  thể  được viết dưới dạng:         2 0 (ln )kiC k k h a               với i = 2, 3, 4.                                  Với ak là các giá trị cho bởi bảng sau:                        Bảng 3.2: Các hệ số ak của các biều thức giải tích h2C, h3C, h4C    h2C   h3C   h4C  a0   0.05784   0.01007   0.000917  a1  -0.03  -0.01282  -0.00169  a2   0.01086   0.005792   0.0008636  -3 -2 -1 0 1 2 0.05 0.1 0.15 0.2 -3 -2 -1 0 1 2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Hình 4.2.1: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h2C, theo ln của thế màn chắn HC(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể hiện các giá trị của hệ số theo số liệu ở bảng 6.  Hình 4.2.2: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h3C, theo ln của thế màn chắn HC(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể hiện các giá trị của hệ số theo số liệu ở bảng VI.  ln   h2C  ln   h3C  4.3. Giá trị ngưỡng C          So sánh đồ thị biểu diễn các hệ thức 102h2 và 10 2h2C, 10 3h3 và 10 3h3C, 10 4h4 và 10 4h4C với các hệ  số được đề nghị tương ứng ở bảng 2.3 và bảng 3.2.  -3 -2 -1 0 1 2 0 5 10 x 10 -3 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0 1 2 3 4 5 6 h3 h2 h4 h0 Hình 4.3.1: Đồ thị thể hiện các hệ số của đa thức xấp xỉ của thế màn chắn quanh giá trị ngưỡng C. Đường liền nét biểu diễn đồ thị các hệ số của thế màn chắn H(r). Đường đứt nét biểu diễn đồ thị các hệ số của thế màn chắn HC(r).  Hình 4.2.3: Đồ thị biểu diễn biểu thức hệ số h4C, theo ln của thế màn chắn HC(r) bằng đường liền nét, các chấm tròn thể hiện các giá trị của hệ số theo số liệu ở bảng 6.  ln   h4C  ln            Ta thấy hai đường biểu diễn h2 và h2C rất gần nhau và sự chênh lệch giữa hai đường biểu diễn h3  và h3C khá nhỏ cỡ phần nghìn trong khoảng ln từ 0.45 đến 0.7. Mặt khác ta thấy chỉ có hai đường  biểu diễn h4 và h4C giao nhau, nên ta sẽ chọn điểm tiếp nối này làm C, khi đó các hệ số của đa thức  thế màn chắn H(r) sẽ xấp xỉ các hệ số của đa thức thế màn chắn HC(r). Bằng thủ thuật đồ thị ta tìm  được hoành độ của điểm giao nhau này là 0.58814 tương ứng với C = 1.8006. Ta nhận thấy giá trị  ngưỡng trật tự địa phương vừa đề nghị rất gần với kết quả của Rio và De Witt đã nghiên cứu là C =  1.8206.           Thật vậy khi  = 1.8006 thì h2 = 0.043955, h2C = 0.042298, sai số giữa h2 và h2C là 1.66‰; h3 =  0.0045353, h3C = 0.0041555, sai số giữa h3 và h3C là 0.38‰; h4 = 0.00022177, h4C = 0.00022178, sai  số giữa h4 và h4C là rất bé (10 -8), gần bằng không. Kết quả, ta thu được:   0.5881 0.58815 0.5882 0.58825 0.5883 2.2165 2.217 2.2175 2.218 2.2185 Hình 4.3.4: Đồ thị thể hiện sự chênh lệch giữa 104h4 và 10 4h4C. Đường liền nét biểu diễn 104h4, đường đứt nét biểu diễn 10 4h4C. ln   Bảng 7: Các số liệu liên quan đến ngưỡng C 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.4 0.6 0.8 1 C  1.8006  rmaxC  2.29334  h0C  1.029561  h1C  0.25  h2C  0.042298  h3C  0.0041555  h4C  0.00022178  Hình 4.3.5: thể hiện đồ thị của thế màn chắn so sánh giữa số liệu Monte Carlo với  = 1 (biểu diễn bởi ***);  = 2 (biểu diễn bởi các chấm tròn) và giá trị ngưỡng C = 1.8006 (biểu diễn bởi đường liền nét).  r  H(r)              Trong hình 4.3.5 thế màn chắn H(r) của C = 1.8006 được tính theo đa thức giải tích với các hệ  số cho bởi bảng (2.3) mà ta đã đề nghị để hiệu chỉnh lý thuyết Debye – Hückel cho plasma liên kết  yếu; đối với  = 1 và  = 2 ta sử dụng số liệu Monte Carlo được cho bởi De Witt và Hansen.           Trong  hình  4.3.6  hàm  phân  bố  xuyên  tâm  của  C  =  1.8006  được  tính  theo  công  thức  1 ( ) exp ( ( ))C Cg r H r r           sau khi  ta có được HC(r); đối  với  = 1 và   = 2  ta  sử  dụng số  liệu  Monte Carlo được cho bởi De Witt và Hansen.             Qua các đồ thị hình 4.3.5 và hình 4.3.6 ta thấy dạng thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm  ứng với C tương đối phù hợp với các số liệu Monte Carlo của các   lân cận C. Hơn nữa, ở phần  3.1.2.1 ta thấy đối với  = 0.1 thì ∆g cỡ 1.8‰,  = 0.2 thì ∆g cỡ 1.8‰,  = 0.5 thì ∆g cỡ 5‰,  = 1  thì ∆g cỡ 7.7‰,  = 2 thì ∆g cỡ 6.4‰,  = 3.17 thì ∆g cỡ 1.6%. Vậy với những  nhỏ lân cận giá trị  ngưỡng C thì sai số ∆g khá nhỏ có thể chấp nhận được, với những  lớn hơn giá trị ngưỡng C như   = 3.17 thì sai số ∆g khá lớn, điều này chứng tỏ độ chính xác của hệ thức (3.3b) tổng quát mà ta đã  đề nghị để hiệu chỉnh lý thuyết Debye – Hückel cho plasma loãng.  0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Hình 4.3.6: Thể hiện đồ thị của hàm phân bố xuyên tâm g(r) so sánh giữa số liệu Monte Carlo với  = 1 (biểu diễn bởi ***);  = 2 (biểu diễn bởi các chấm tròn) và giá trị ngưỡng C = 1.8006 (biểu diễn bởi đường liền nét).  r  g(r)            Như vậy, từ giá trị giới hạn của tham số tương quan C = 1.8006 thì hàm phân bố xuyên tâm  bắt đầu chuyển dáng điệu biến thiên  từ hàm tăng đơn điệu sang dao động tắt dần theo khoảng cách  liên iôn r. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.5 1 1.5 2 r g (r )      2.29334 Hình 4.3.7: Đồ thị thể hiện sự biến thiên của hàm phân bố xuyên tâm với các giá trị khác nhau của tham số tương liên quanh giá trị ngưỡng trật tự địa ph C =1.8006.  KẾT LUẬN         Đối  với  plasma  loãng một  thành  phần,  thế  Debye-Hückel  (D-H),  một  dạng  đặc  biệt  của  thế  Yukawa, được suy ra từ phương trình Poisson-Boltzmann tổng quát, thường được sử dụng rộng rãi để  mô tả tác dụng màn chắn của môi trường xung quanh lên tương tác giữa hai  ion nào đó của hệ, lại  chứng tỏ có những giới hạn không thể không hiệu chính để có những lời giải chính xác cho các vấn  đề liên quan. Các giới hạn này bao gồm: Bắt đầu từ một khoảng cách nhỏ hơn một giá trị nào đó, thế  D-H không còn chính xác mà ta phải sử dụng một dạng khác của thế tương tác. Giới hạn trên của lí  thuyết D-H dẫn đến một vấn đề hệ trọng khác; ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương. Đó là sự thiết  lập  các dao  động  tắt  dần  của  hàm  phân  bố  xuyên  tâm  kể  từ một mức độ đậm đặc nào đó của hệ  plasma.      Mục đích của luận văn này là giải quyết những vấn đề trên nhằm có một lý thuyết hoàn chỉnh có  thể vận dụng cho hệ plasma loãng một thành phần (OCP).      Tham khảo những kết quả liên quan đến lý thuyết xây dựng cho hệ lưu chất ion hóa cũng như  những kết quả mô phỏng MC và HNC được xem như là chính xác nhất cho đến nay ở mức độ quốc  tế, với  sự hỗ  trợ của phần mềm  tin học Matlab,  tác giả  luận văn đã đạt được những kết quả quan  trọng:  - Xác định các giá trị của khoảng cách liên ion kể từ đó ta có có thể vận dụng thế D-H đối với  mỗi mức độ đậm đặc của hệ plasma đồng thời, đề nghị các biểu thức của thế màn chắn thay  thế cho thế D-H ở những khoảng cách nhỏ, đó  là các đa thức Widom bậc chẵn, luân phiên  dấu, với các hệ số được cho trong các bảng. Các giá trị của khoảng cách giới hạn trên cũng  như các hệ  số của đa  thức Widom cũng được trình bày dưới dạng các biểu thức giải  tích,  thuận tiện cho việc vận dụng trên máy tính cho những áp dụng rộng rãi hơn, như tính hiệu  suất của phản ứng tổng hợp hạt nhân chẳng hạn. Các kết quả thu được ở trên là nội dung của  một bài báo khoa học đã gửi đăng.  - Sử  dụng  tính  liên  tục  giữa  thế D-H và  thế Widom,  tác  giả đã  tính  toán  và đề  nghị  giá  trị  chính xác cho ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương, đó là C = 1.8006. Giá trị này rất gần  với một số kết quả cho bởi một số công trình khác.           Những vấn đề đã được giải quyết trong luận văn này hoàn toàn tương thích với đề cương của  luận văn có được từ đầu, đồng thời cũng gợi ý cho một số đề tài nghiên cứu thú vị khác. Ví dụ như kể  từ giá trị nào của tham số tương liên , ta không cần sử dụng thế D-H mà chỉ đa thức Widom cũng đủ  để mô tả tác dụng màn chắn của các ion lân cận? Hoặc câu hỏi liệu các biểu thức cho khoảng cách  giới hạn áp dụng của lý thuyết D-H và độ lớn giới hạn C  có được từ luận văn này có còn giá trị đối  với hệ plasma hai thành phần hay plasma nhiều thành phần?           Các câu hỏi còn để ngỏ ở trên sẽ có thể được thực hiện như là phần tiếp tục mở rộng của luận  văn.  TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đỗ Xuân Hội, Thế màn chắn trong plasma với tham số tương liên Г  [5, 160], Tạp chí khoa học  – Khoa học Tự Nhiên, trường ĐHSP TP. HCM, số 28, 55-66 (12/2001).  2. Đỗ Xuân Hội, Lý thuyết Debye - Hückel cải tiến áp dụng cho plasma liên kết yếu, Tạp chí khoa  học – Khoa học Tự Nhiên, trường ĐHSP TP. HCM, tập 30, số 2/2002, 92-100 (07/2002).   3. Đỗ Xuân Hội, Lý thuyết Debye-Hückel cho plasma liên kết yếu, Tạp chí khoa học Tự nhiên, ĐHSP  TP.HCM, 30, tr. 92-100  (2002),  4. Đỗ Xuân Hội, Nguyễn Lâm Duy, Nguyễn Trọng Khoa, Ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương trong plasma liên kết yếu, Tạp chí khoa học – Khoa học Tự Nhiên, trường ĐHSP TP. HCM, tập 30,  số 1/2003, 92-100 (10/2003).  5. Đỗ Xuân Hội, Thế màn chắn trong plasma OCP bắt đầu kết tinh và cho plasma BIM carbon-oxy,  Tạp chí khoa học – Khoa học Tự Nhiên, trường ĐHSP TP. HCM, số 2/2004.  6. Đỗ Xuân Hội, Lý Thị Kim Thoa, Khuếch đại của tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân trong môi trường plasma OCP đậm đặc, Tạp chí khoa học Tự nhiên ĐHSP TP HCM, 21 (55), tr. 69-79 (2010).   7. Đỗ Xuân Hội, Vật lý thống kê và nhiệt động lực thống kê, khoa Vật lý, trường ĐH Sư Phạm TP  HCM, 2003.  8. Đỗ Xuân Hội, cộng tác viên Đinh Thị Hạnh, Quan hệ giữa trật tự địa phương và thế màn chắn trong plasma (Relationship between short range order and screening potential in plasma),  đề  tài  nghiên cứu khoa học và công nghệ cấp bộ, trường ĐHSP TP. HCM.  9. Đỗ Xuân Hội, Lý Thị Kim Thoa  (2010), “Khuếch đại của tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân trong môi trường plasma OCP đậm đặc”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên ĐHSP TP HCM, 21 (55), tr.  69-79.  10. Nguyễn Lâm Duy, Hàm phân bố xuyên tâm trong plasma lưu chất, luận văn tốt nghiệp đại học,  khoa vật lý trường ĐHSP TP. HCM (07/2002).  11. Nguyễn Trọng Khoa, Khảo sát ngưỡng trật tự địa phương trong plasma loãng một thành phần,  luận văn tốt nghiệp đại học, khoa vật lý trường ĐHSP TP. HCM (07/2003).  12. Trương Tinh Hà, Lý thuyết Debye - Hückel sử dụng cho plasma loãng một thành phần, luận văn  tốt nghiệp đại học, khoa vật lý trường ĐHSP TP. HCM (07/2001).  13. Nguyễn Hữu Chí, Vật lý Plasma (khí iôn hóa), tủ sách ĐH KHTN, 1998.  14.  A.  Alastuey  and  B.  Jancovici, “Nuclear reaction rate enhancement in dense stellar matter”,  University Paris-sud, Orsay, France, received 1978 March 27, accepted 1978 June 14.  15. B. Widom, “Some Topics in the Theory of Fluids”, J. Chem. Phys. 39, 2808 (1963)  16.  Carley D.  D.  (1965),  “Recent Studies of the Classical Electron Gas”,  J.  Chem.  Phys.  43,  pp.  3489-3497.  17. Chugunov A. I., DeWitt H. E., Yakovlev D. G. (2007), “Coulomb tunneling for fusion reactions in dense matter: Path integral Monte Carlo versus mean field”, Phys. Rev. D, 76(2), pp. 025028-1- 025028-13.  18. Chugunov A.I., DeWitt H.E.  (2009), “Nuclear fusion reaction rates for strongly coupled ionic mixtures”, Phys. Rev. C, 80(1), pp.014611-1- 014611-12.  19.  De Witt  H.  E.,  Graboske  H.  C.,  and  Cooper  M.  S.  (1973),  “Screening Factors for Nuclear Reactions. I. General Theory”, Astrophys. J. 181, 439.  20. DeWitt H. E., Slattery W., and Chabrier G., (1996), “Numerical simulation of strongly coupled binary ionic plasmas”, Physica B, 228(1-2), pp. 21-26.  21. Gasques L. R., Afanasjev A. V., Aguilera E. F., Beard M., Chamon L. C., Ring P., Wiescher M.,  and Yakovlev D. G. (2005), “Nuclear fusion in dense matter: Reaction rate and carbon burning”, Phys. Rev. C, 72(2), pp. 025806-1-025806-14.  22. G. Gervino – A. Lavagno – P. Quarati, “Quantum Uncertainty in weakly non-ideal Astrophysical plasma”, Brazilian Journal of Physics, vol. 35, no. 2B, June, 2005.  23.  Gilles  Chabrier  and  Alexander  Y.  Potekhin,  “Equation of state of fully ionized electron-ion plasma”, Phys. Rev. E, 58, 4941 (1998).  24. Hansen J. P. (1973), “Statistical Mechanics of Dense Ionized Matter. I. Equilibrium Properties of the Classical One-Component Plasma”, Phys. Rev. A 8, pp. 3096–3109.  25. Ichimaru S. (1993), “Nuclear fusion in dense plasmas”, Rev. Mod. Phys. 65255, pp. 255–299.  26. Jancovici B. (1977), “Pair correlation function in a dense plasma and pycnonuclear reactions in stars”, J. Stat. Phys., 17(5), pp. 357-370.  27. M. Caillol and D. Gilles, “Monte Carlo simulation of the screening potential of the Yukawa one- component plasma”, J. Phys. A. Math. Gen, 6243 – 6249 (6 June, 2003).  28.  Potekhin  Alexander  Y.  and  Chabrier  Gilles  (2009),  “Equation of state of classical Coulomb plasma mixtures”, Phys. Rev. E 79, pp. 016411-1-016411-6.  29.  Salpeter  E.  E.  and  Van  Horn  H.  M.  (1969),  “Nuclear Reaction Rates at High Densities”,  Astrophys. J. 155, 183 (1969),   30.  Springer  J.  F.,  Pokrant M. A.,  and  Stevens  F. A.  (1973), “Integral equation solutions for the classical electron gas “, J. Chem. Phys., 58, pp. 4863-4868.  31. Widom B.  (1963), “Some Topics in the Theory of Fluids”, J. Chem.  Phys.,  39(11),  pp.  2808- 2812.  32. Xuan Hoi Do  (1999), Thèse de Doctorat de l’Université Paris 6 –Pierre et Marie Curie, Paris  (Pháp).  33. Yukawa H. (1935), “On the Interaction of Elementary Particles”, Proc. Phys. Math. Soc. Jap. 17   48.  PHỤ LỤC Bài báo gửi đăng trên Tạp chí Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh (Ngày gửi 18/09/2010) GIỚI HẠN ÁP DỤNG CỦA THẾ YUKAWA CHO PLASMA OCP LƯU CHẤT ĐỖ XUÂN HỘI*, NGUYỄN THỊ THANH THẢO** TÓM TẮT Thế Debye-Hückel, một dạng đặc biệt của thế tổng quát Yukawa, thường được sử dụng cho plasma loãng mà không được biện minh đầy đủ. Trong công trình này, sau khi giới thiệu ngắn gọn phương trình Poisson – Boltzmann áp dụng cho plasma một thành phần (OCP), chúng tôi xử lí chi tiết các dữ liệu số liên quan đến hàm phân bố xuyên tâm cho bởi các mô phỏng Monte Carlo và HyperNetted Chain cho loại plasma này, đặc biệt là các plasma liên kết yếu. Dựa trên một vài kết quả mới nhất cho thế màn chắn ở khoảng cách liên hạt nhân gần bằng không, chúng tôi đề nghị các công thức tính thế màn chắn này bằng cách phối hợp thế Yukawa cho khoảng cách lớn hơn một giới hạn gọi là khoảng cách Debye-Hückel, và khai triển Widom cho khoảng cách nhỏ hơn. Bằng cách này, chúng tôi cũng đã chỉ ra những giới hạn áp dụng của thế Yukawa cho plasma OCP. ABSTRACT Limits of application of Yukawa potential to fluid OCP plasmas Debye-Hückel potential, a special form of more general Yukawa potential, is often used for dilute plasmas without any justifications. In this work, after a brief introduction to the Poisson – Boltzmann equation applied to the one-component-plasmas (OCP), we carry out a careful treatment of the numerical data concerning the radial distribution function given by the Monte Carlo and the HyperNetted Chain simulations for this kind of plasmas, especially for the weakly correlated ones. Based on some newest results for the screening potential at the near zero internuclear distance, we propose the formulae for this potential by combining the Yukawa form for some distance greater than a limit, called Debye-Hückel distance, and the Widom expansion for lesser one, indicating at the same time the limits of application of Yukawa potential to plasmas OCP. 1. Mở đầu Thế Yukawa đầu tiên được đưa vào vật lí hạt cơ bản để mô tả tương tác giữa hai nucleon và  dẫn đến việc tiên đoán sự tồn tại của các meson [16]. Tuy nhiên, cho đến nay, khái niệm về thế tương  tác dạng Yukawa đã được sử dụng rộng rãi để mô tả từ các quá trình hóa học đến các quá trình liên  quan đến vật lí thiên văn, và đặc biệt, được xem như là dạng tổng quát hóa của thế Debye-Hückel khi  ta khảo sát thế tương tác hiệu dụng giữa hai ion cách nhau một khoảng R của một hệ plasma loãng:  Re V R     ,         (1)  trong đó,   là một tham số dương, đặc trưng cho tác dụng màn chắn của môi trường lên hai ion đang  xét. Dạng tương tác (1) ở trên thường được áp dụng mà không xác định rõ các điều kiện cụ thể cho  khoảng cách R cũng như giới hạn của mức độ  loãng của môi  trường, như đã được chỉ ra trong các  công  trình [5, 15]. Trong bài báo này, chúng  tôi  sẽ đề nghị những giới hạn cho việc vận dụng  thế  Yukawa (1) cho plasma một  thành phần liên quan đến khoảng cách liên ion cũng như đến tham số  tương liên. Đồng thời, với công cụ  tính toán mới, chúng tôi cũng sẽ đề cập đến việc xuất hiện hiệu  ứng trật tự địa phương trong plasma tương tác mạnh.    Nội dung của bài báo sẽ được trình bày theo thứ tự sau: Đầu tiên, mô hình khảo sát và cơ sở của  lí thuyết Debye-Hückel bắt đầu từ phương trình Poisson-Boltzmann cũng như các tiêu chí cho việc sử  dụng lí thuyết trên được nhắc lại ngắn gọn. Tiếp theo, chúng tôi sẽ đề cập đến những công trình mới  nhất ở mức độ quốc tế có liên quan đến vấn đề khảo sát của bài báo và sẽ đưa ra một số nhận xét hữu  ích cho các bước tính toán của công trình này. Phần tiếp của bài báo sẽ tập trung vào việc giới thiệu  các phương pháp sử dụng, các kết quả mới cho việc khảo sát hệ plasma loãng và hệ plasma đậm đặc.  Phần kết luận của bài báo sẽ dành cho các nhận xét và các đề nghị.  2. Thế Yukawa và hàm phân bố xuyên tâm cho plasma loãng OCP   Trong giới hạn của bài báo này, chúng ta khảo sát mô hình plasma một thành phần (OCP – One  Component Plasma), là hệ vật lí ở nhiệt độ T gồm N ion mang điện tích  Ze  nằm trong môi trường  đồng nhất gồm ZN  electron, là hệ quy chiếu thích hợp để khảo sát một số thiên thể như bên trong sao  lùn trắng, các hành tinh nặng dạng Jupiter,…[9]. Ta có thể xem OCP như gồm N  khối cầu có tâm là  một  ion  và  chứa  Z  electron  có  tác  dụng  trung  hòa  điện.  Bán  kính  khối  cầu  ion  này  được  tính:  1/3 4 3 n a          , với n là mật độ ion. Để đo lường mức độ của tính lưu chất trong một hệ OCP, người ta  sử dụng tham số tương liên:    2 Ze akT    và thường quy ước  1   cho plasma đậm đặc; khi đó,  thế  năng tương tác Coulomb chiếm ưu thế so với năng lượng chuyển động nhiệt. Đối với một số hệ vật lí,  tham số này có giá  trị  tương đối  thấp, như trong sao Lùn nâu,  ta có  0.76  , bên  trong Mặt Trời,  0.072 0.076   ,  và đặc biệt,  trong những  thí nghiệm  tổng hợp hạt nhân bằng phương pháp hãm  quán  tính  (ICF  –  Inertial  Confinement  Fusion),  tham  số    có  giá  trị  khá  thấp,  chỉ  khoảng  0.002 0.010 ,…  [9]. Với  các  hệ  plasma  loãng kể  trên,  lí  thuyết Debye-Hückel  được  sử dụng.  Ta  trình bày tóm tắt cơ sở của lí thuyết này trong phần dưới đây:    Nếu đặt  R r a    là khoảng cách rút gọn và  ( ) ( ) / V R y rV r Ze R     là  thế  trung bình V(r)  tính  theo  đơn vị  Ze R , phương  trình Poisson-Boltzmann cho hệ plasma OCP được diễn  tả dưới dạng cô đọng  [5]:  2 2 ( ) ( ) 3 1 exp d y r y r r dr r            ,  với các điều kiện giới hạn:  0 lim ( ) 1 r y r    và  lim ( ) 0 r y r    , biểu thị cho thế tương tác giữa hai ion sẽ là  thế Coulomb khi hai ion này ở khoảng cách rất nhỏ (không còn hiệu ứng màn chắn) và khi ở đủ xa  nhau thì thế này triệt tiêu.    Ở khoảng cách r đủ lớn, ta có thể sử dụng hệ thức gần đúng:  1xe x   để có:  2 2 ( ) 3 ( ) d y r y r dr               (2)  Nghiệm thỏa các điều kiện của phương trình vi phân trên có dạng:  3r DHy e   ,              (3)  được gọi là nghiệm Debye-Hückel, là một trường hợp đặc biệt của thế Yukawa (1).  Khi này, hàm phân bố xuyên tâm (radial distribution function) hay hàm tương quan cặp (pair  correlation function) biểu thị cho xác suất gặp nhau của hai ion phụ thuộc thế trung bình V(r) theo hệ  thức:  3 ( )/( ) exp r V r kT DH e g r e r             .        (4)  Đồng thời, nếu định nghĩa thế màn chắn (screening potential) như là tác dụng của môi trường  ngoài lên tương tác giữa hai ion thử:  1 ( ) ( )H r V r r   , thì trong trường hợp này, ta có:  31 ( ) r DH e H r r    .            (5)  Như vậy, hàm gDH(r) là hàm tăng đơn điệu  theo khoảng cách r, phù hợp với các kết quả mô  phỏng Monte Carlo (MC) cho hệ plasma OCP loãng đã thực hiện cho đến nay bởi các tác giả khác  nhau. Đồng thời, ta cũng nhận xét rằng kể từ một giá trị C  nào đó của tham số tương liên, bắt đầu  xuất hiện các dao động tắt dần của hàm g(r), dấu hiệu của hiệu ứng trật tự địa phương.  3. Các điều kiện cho việc vận dụng thế Yukawa vào hệ OCP loãng Ta nhận xét rằng để có được phương trình (2), điều kiện tuyến tính hóa phải được thỏa, tức là  khoảng cách r phải lớn hơn một giá trị rDH  nào đó đối với mỗi giá trị của tham số . Theo [5], ta có  thể sử dụng tiêu chuẩn  3 1 2 2 ry e r r         để đánh giá việc tuyến tính hóa này. Đồng thời, đối với  mỗi giá trị  , khi  DHr r , thế trung bình V(r) phải có giá trị sao cho thế màn chắn H(r) tương ứng  phải có dạng đa thức bậc chẵn, luân phiên dấu, với hệ số của r2 bằng  1 1 4 h   như đã được chứng minh  chặt chẽ bằng lí thuyết [10, 14]:  2 4 6 0 1 2 3( ) ...H r h h r h r h r             (6)  Ta thấy ngay rằng các hàm (5) và (6) phải thỏa các điều kiện liên tục tại điểm rDH cho mỗi giá  trị , cụ thể là:  3 2 0 1 ( ) ( 1) r DH i i i DH i e khi r r r H r h r khi r r                     (7)  4. Xác định các hệ số hi của đa thức Widom Các số liệu liên quan đến hệ số h0 của đa thức (6) là một đề tài thảo luận sôi nổi từ nhiều năm  nay do vai trò quan trọng của hệ số này trong sự khuếch đại phản ứng áp suất hạt nhân (pycnonuclear  reaction) xảy ra ở một số thiên thể có mật độ khối lượng lớn như trong sao lùn trắng, sao neutron,…  (Xem, ví dụ như [3, 9, và 12]). Các mô phỏng MC thực hiện gần đây nhất bởi A. I. Chugunov et al [2] cung cấp các giá trị của h0 dưới dạng giải tích:  1/2 3 31 1 0 2 2 42 1 CHU A BA B h B BA                     (8)  với:  1 2,7822A  ,  2 98,34A  ,  3 1 23 / 1,4515A A A   ,  1 1,7476B   ,  2 66,07B  ,  3 1,12B  , và  4 65B  .  Đặc điểm của hệ thức (8) ở trên là ta thu được dạng tiệm cận:  1/20 3CHUh    đối với  rất bé.  Các  giá  trị  của h0  tương  ứng  với  hai  hệ  thức  trên  sẽ  trùng  nhau    (với  sai  số  0.3‰)  kể  từ  giá  trị  0.0032  , tức là đối với plasma cực kì loãng.  Trái với mô phỏng MC có thể cho ta các giá trị chính xác của hàm phân bố xuyên tâm g(r) đối  với  plasma đậm đặc, các mô phỏng HyperNetted Chain  (HNC)  tỏ  ra chính xác hơn cho những hệ  plasma loãng [11]. Một khảo sát chi tiết các dữ liệu cho bởi dữ liệu MC và HNC [1, 4, và 13] đối với  các giá trị của tham số  không quá lớn :  10   cho thấy ta có thể viết đa thức Widom (6) giới hạn ở  bậc 8 với độ chính xác tương đương với độ chính xác của MC là khoảng 0.2%, tức là ta sẽ chấp nhận  dạng:  4 2 4 6 8 2 0 2 3 4 0 1 ( ) ( 1) 4 i i i i H r h r h r h r h r h r         .    (9)  Bằng phương pháp tối ưu hóa sự tương hợp giữa hệ thức (9) và các dữ liệu số MC cung cấp  bởi các công trình trên  [1, 4, và 13], ta thu được các giá trị của hệ số hi trong (9). Đặc biệt, các giá trị  số của h0 được cho trong cột thứ ba của bảng B.1 và có thể được biểu thị bởi hệ thức giải tích sau :  5 0 1 3 ln (1 ) 1          ii i h a           (10)  với các hệ số ai được tính:     1 0,031980a  ;  2 0,232300a  ;  3 0,084350a   ;            4  0,011710a  ;  5   0,000579a  .             Sai số giữa hai hệ thức (8) và (10) được trình bày trong bảng B.1. Nhận xét rằng cả hai hệ thức  trên đều cho ta:  0 0 lim 3   h  như có thể thấy trên hình H.2.  Bảng B.1. Giá trị số của h0 theo tham số . Các giá trị của h0 có được trực tiếp từ việc tối ưu hóa sự tương hợp giữa (6) và dữ liệu MC và được tính từ (9) được cho trong các cột thứ hai và thứ b. Ở cột thứ tư là giá trị của h0 tính theo Chugunov et al.  h0MC  (2)  h0  (3)  h0CHU  (4)  (3) - (2)  (4) – (2)  (3) – (4)  0,1 0,5150  0,5030  0,5050  -0,0120  -0,0100  -0,0020  0,2 0,6615  0,6589  0,6645  -0,0029  0,0030  -0,0059  0,5 0,8741  0,8623  0,8776  -0,0118    0,0035  -0,0152  1 0,9586  0,9743  0,9958   0,0157    0,0372  -0,0215  3,1748 1,0570  1,0586  1,0788   0,0016  0,0218  -0,0201  5 1,0780  1,0735  1,0922  -0,0045  0,0142  -0,0187  10 1,0920  1,0888  1,1007  -0,0032  0,0087  -0,0119  20 1,0910  1,0940  1,0950   0,0030  0,0040  -0,0010  40 1,0860  1,0882  1,0878   0,0022  0,0018   0,0004  80 1,0810  1,0782  1,0804  -0,0028  -0,0006  -0,0022  160 1,0750  1,0757  1,0737   0,0007  -0,0013   0,0020  -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 lnr h o ln h 0 H.1. Đường liền nét biểu diễn hệ thức (10) so sánh với đường đứt nét biểu diễn (8). Các chấm tròn là giá trị có được trực tiếp từ quá trình tối ưu hóa sự tương hợp giữa (7) và các dữ liệu MC. -4 -3 -2 -1 0 1 2 0 0.5 1 1.5 2 lnG h 0 ln h 0 .2.  li t i i t . Các c ấm tròn là giá trị MC ở cột thứ hai ủa bảng B.1. Đường đứt nét thể hiện giá trị tiệm cận 3 .            Chú ý  rằng  trong  [6], một  hệ  thức  tính h0  cũng đã được  đề nghị  cho plasma đậm đặc. Tuy  nhiên, ở đây, hệ thức (10) thỏa các điều kiện đặc biệt cho plasma loãng mà ta sẽ cần để khảo sát việc  sử dụng thế dạng Yukawa cho plasma loại này.  Đồng thời với h0, phương pháp trên cũng cho ta kết quả số cho các hệ số còn lại h2, h3, và h4   như được trình bày ở bảng B.2.   Bảng B.2. Giá trị số của các hệ số trong đa thức Widom (9)  h2 h3 h4 0,1 0,285915 0,155198 0,0298883 0,2 0,184492 0,077716 0,0122415 0,5 0,074081 0,0127690 0,00088438 1 0,051772 0,0062949 0,00033008 2 0,040241 0,0032605 0,00009693 3,174802 0,035570 0,0020166 0,00000154 Các giá trị số của các hệ số trên có thể tìm lại với biểu thức giải tích tổng quát :  5 0 (ln )    ki k k h b  ; i = 2, 3, 4    (11)  với bk là các giá trị cho bởi bảng B.3. Khảo sát sự biến thiên của các hệ số hi trên theo tham số  cho  thấy dáng điệu của đại lượng trên là giảm đều, không cho thấy có điểm bất thường nào khi  thay đổi.  Bảng B.3. Các hệ số trong công thức (11) tính hi. Với các giá trị số cho bởi các công thức (10) và (11), ta tính được hàm (9) của thế màn chắn và  từ đó, tính lại được hàm phân bố xuyên tâm g(r) cho mỗi giá trị của tham số . Kết quả so sánh với  h2 h3 h4 b0 0,05177    0,006295  0,0003301  b1   -0,01518  -0,0004388  0,0005552  b2 0,007324    0,0004114  -0,0002833  b3   -0,02167   -0,01502  -0,002602  b4 0,008098       0,006594                                                                                                                             0,001285  b5 0,005127    0,003445  0,0005493  các dữ liệu số MC và HNC được trình bày trên hình H.3 cho một số giá trị của .  Số liệu liên quan  đến giá trị  2   được trích ra từ [8]. Nhận xét rằng sai số giữa các biểu thức giải tích đề nghị và các  số liệu có do mô phỏng chỉ vào khoảng vài phần ngàn, tương đương với sai số phạm phải do chính  các mô phỏng này như có thể thấy trên hình H.3.  H.3 Sai số g(r)-gMC(r) hoặc g(r)-gHNC(r) giữa biểu thức hàm phân bố xuyên tâm g(r) suy ra từ (10) và (11) với các số liệu MC hoặc HNC cho mỗi giá trị của . 5. Giới hạn rDH cho mỗi giá trị của tham số tương liên  0 0.5 1 1.5 -2 -1 0 1 2 x 10 -3 r g (r )M C -g (r )  g -g H N C 0 0.5 1 1.5 0 5 10 15 20 x 10 -4 g (r )M C -g (r )   g -g H N C 0 0.5 1 1.5 2 0 2 4 6 x 10 -3 r g (r )M C -g (r )  g- g H N C 0 0.5 1 1.5 2 -5 0 5 x 10 -3 r g (r )M C -g (r )  g- g M C 0 0.5 1 1.5 2 -5 0 5 x 10 -3 r g (r )M C -g (r )  g- g M C 0 0.5 1 1.5 2 -15 -10 -5 0 5 x 10 -3 r g (r )M C -g (r )  g- g M C Một khi đã xác định rằng thế Debye-Hückel chỉ được sử dụng kể từ một khoảng cách rDH nào  đó đối với mỗi giá trị của tham số , ta sẽ sử dụng điều kiện liên tục (7) cho biên độ các hàm số, cụ  thể là:  3 8 6 4 2 4 3 2 1 0 1 ( ) DH DH r DH DH DH DHr r DH e H r h r h r h r h r h r               (12)  để tìm được rDH cho mỗi . Một ví dụ được cho trên hình H.4a và H.4b đối với   0,5  : Ta thấy kể  từ những điểm có  2,01509DHr r  , hệ  thức có dạng  (5) mới  tương  thích với các số  liệu của  thế  màn chắn cho bởi phương pháp HNC. Điều này chứng tỏ rằng kể từ giá trị  2,01509DHr   về phía  nhỏ hơn, thế Debye-Hückel không còn thích hợp để mô tả hiệu ứng màn chắn.  Kết quả chung của rDH cho mỗi giá trị của  được trình bày trong bảng B.4. Bảng này cho ta  thấy rõ giới hạn áp dụng của thế dạng Yukawa cho plasma loãng.  H.4a. Kể từ điểm có hoành độ nhỏ hơn 2,01509, thế Debye-Hückel (đường đứt nét) phải được thay bằng đa thức Widom (đường liền nét). Các chấm tròn là các giá trị HNC. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0.4 0.6 0.8 1 2.01509  H.4b. Tại điểm có hoành độ bằng 2,01509, hai đường biểu diễn của H(r) và HDH(r)cắt nhau và hầu như có cùng độ dốc. 1.9 2 2.1 2.2 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5  2.01509 Bảng B.4. Các giá trị số của điểm nối rDH giữa thế Debye-Hückel và đa thức Widom.  rDH 0,1 1,29072  0,2 1,40899  0,5 2,01509  1 2,09863  2 2,12295  Các giá trị số ở bảng B.4 được biểu diễn bởi hệ thức giải tích:  1,69 0,3059arctan(3,394ln 4,156)DHr    .      (13)  Để thấy rõ thêm tầm ảnh hưởng của đa thức Widom lên thế màn chắn, ta có thể quan sát trên  hình H.5 đường biểu diễn sự biến thiên của rDH theo  như công thức (13): Giá trị của rDH tăng theo   chứng tỏ rằng thế Yukawa chỉ thể hiện chính xác tác dụng màn chắn đối với plasma loãng và ngay cả  khi này thì thế Yukawa cũng chỉ được áp dụng đối với khoảng cách r đủ lớn.  Hệ  thức  (13)  ở  trên  có dạng đơn giản, dễ vận dụng hơn hệ  thức  tính rDH đề  nghị  trong  [5],  trong khi sai số giữa hai công thức tối đa chỉ là khoảng 9% cho giá trị  0,1  .  0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 1.4 1.6 1.8 2 2.2 rD H r D H Cần chú ý rằng ngoài điều kiện (12) thể hiện sự liên tục về biên độ, ta cũng cần kiểm nghiệm  lại tính liên tục về độ dốc của hai hàm số (5) và (9) cũng như bảo đảm hai hàm số trên có cùng bề lõm  tại điểm nối rDH, tức là:  3 3 7 5 3 4 3 2 12 3 3 32 6 4 2 4 3 2 12 3 2 3 1 ( ) 8 6 4 2 2( 1) 2 3 3 ( ) 56 30 12 2 DH DH DH DH DH DH DH r r DH DH DH DHr r DH DH r r r DH DH DHr r DH DH DH e e H r h r h r h r hr r r r e e e H r h r h r h r h r r r r                                    Các tính toán cụ thể cho thấy các đạo hàm bậc nhất và bậc hai cho mỗi giá trị của  của hai  hàm (5) và (9) trên tại điểm  DHr r  đều có giá trị như nhau với sai số rất bé (sai số cực đại là khoảng  1110 ). Điều này khẳng định sự chính xác của các số liệu tính rHD ở bảng B.4 cũng như hệ thức (13).  6. Kết luận Trong công trình này, chúng tôi khảo sát chi tiết thế Debye-Hückel, một trường hợp đặc biệt  của thế Yukawa, sử dụng cho hệ plasma OCP loãng và  từ  đó, nêu ra các điều kiện áp dụng cho lí  thuyết này. Sau khi tham khảo chi tiết các dữ liệu số MC và HNC cùng với một số bài báo gần đây  nhất,  chúng  tôi  thực hiện các phép  tính số và đề nghị biểu thức (13) cho giới hạn áp dụng của  thế  Debye-Hückel, chỉ rõ rằng đối với mỗi giá trị của tham số tương liên, ở những khoảng cách liên ion  nhỏ hơn các giới hạn trên, thế Debye-Hückel phải được thay thế bằng đa thức Widom bậc tám (9) với  các hệ số cũng được xác định bởi các công thức giải  tích (10) và (11). Kết quả thu được từ các hệ  thức đề nghị cũng đã được tính toán để so sánh với dữ liệu số của hàm phân bố xuyên tâm g(r); độ  lệch giữa hai giá  trị là đáp ứng được độ chính xác yêu cầu.  Trong những công trình tiếp theo, chúng tôi sẽ đặc biệt chú trọng đến vấn đề hiệu ứng trật tự  địa phương, tức là các dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm trong plasma OCP, đã được thiết  lập như thế nào và kể từ giá trị nào của tham số , hiệu ứng này bắt đầu xuất hiện. Đồng thời, vấn đề  thế dạng Yukawa có thể được áp dụng một cách đúng đắn để mô tả hiệu ứng màn chắn trong plasma  kể từ giá trị nào của tham số  trên cũng sẽ được quan tâm.  Tài liệu tham khảo 1. Carley D. D. (1965), “Recent Studies of the Classical Electron Gas”, J. Chem. Phys. 43, pp. 3489- 3497.  2. Chugunov A. I., DeWitt H. E., Yakovlev D. G. (2007), “Coulomb tunneling for fusion reactions in  dense  matter:  Path  integral  Monte  Carlo  versus  mean  field”,  Phys. Rev. D,  76(2),  pp.  025028-1- 025028-13.  3.  De  Witt  H.  E.,  Graboske  H.  C.,  and  Cooper  M.  S.  (1973),  “Screening  Factors  for  Nuclear  Reactions. I. General Theory”, Astrophys. J. 181, 439.  4. DeWitt H. E.,  Slattery W.,  and Chabrier G.,  (1996),  “Numerical  simulation of  strongly  coupled  binary ionic plasmas”, Physica B, 228(1-2), pp. 21-26.  5. Đỗ Xuân Hội (2002), “Lý thuyết Debye-Hückel cho plasma liên kết yếu”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, ĐHSP TP.HCM, 30, tr. 92-100.  6. Đỗ Xuân Hội, Lý Thị Kim Thoa (2010), “Khuếch đại của tốc độ phản ứng tổng hợp hạt nhân trong  môi trường plasma OCP đậm đặc”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên ĐHSP TP HCM, 21 (55), tr. 69-79.  7. Gasques L. R., Afanasjev A. V., Aguilera E. F., Beard M., Chamon L. C., Ring P., Wiescher M.,  and Yakovlev D. G.  (2005),  “Nuclear  fusion  in  dense  matter:  Reaction  rate  and  carbon  burning”, Phys. Rev. C, 72(2), pp. 025806-1-025806-14.  8. Hansen J. P. (1973), “Statistical Mechanics of Dense Ionized Matter. I. Equilibrium Properties of  the Classical One-Component Plasma”, Phys. Rev. A 8, pp. 3096–3109.  9. Ichimaru S. (1993), “Nuclear fusion in dense plasmas”, Rev. Mod. Phys. 65255, pp. 255–299.  10. Jancovici B. (1977), “Pair correlation function  in a dense plasma and pycnonuclear reactions in  stars”, J. Stat. Phys., 17(5), pp. 357-370.  11.  Potekhin  Alexander  Y.  and  Chabrier  Gilles  (2009),  “Equation  of  state  of  classical  Coulomb  plasma mixtures”, Phys. Rev. E 79, pp. 016411-1-016411-6.  12.  Salpeter  E.  E.  and  Van  Horn  H.  M.  (1969),  “Nuclear  Reaction  Rates  at  High  Densities”,  Astrophys. J. 155, 183 (1969), Chugunov A.I., DeWitt H.E. (2009), “Nuclear fusion reaction rates for  strongly coupled ionic mixtures”, Phys. Rev. C, 80(1), pp.014611-1- 014611-12.  13.  Springer  J.  F.,  Pokrant M.  A.,  and  Stevens  F.  A.  (1973),  “Integral  equation  solutions  for  the  classical electron gas “, J. Chem. Phys., 58, pp. 4863-4868.  14. Widom B.  (1963),  “Some Topics  in  the Theory  of  Fluids”, J. Chem. Phys.,  39(11),  pp.  2808- 2812.  15. Xuan Hoi Do  (1999), Thèse de Doctorat de l’Université Paris 6 –Pierre et Marie Curie, Paris  (Pháp).  16. Yukawa H. (1935), “On the Interaction of Elementary Particles”, Proc. Phys. Math. Soc. Jap. 17   48.  Các tác giả bài báo: * Đỗ Xuân Hội, Tiến sĩ, Trường Đại học Quốc tế  (ĐHQG TP. HCM) Tel : 0918220217, email : xuanhoido@yahoo.com   ** Nguyễn Thị Thanh Thảo, Cử nhân, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh (Đồng Nai)    Tel : 01654817684, email : dongthaoly@gmail.com