Luận văn Tính chất định tính của các hệ động lực chịu nhiễu

hiên cứu tính điều khiển được địa phương. Định lý 1.3.1. (Krein-Rutman) Cho C ⊂ Rp là nón lồi với phần trong khác rỗng. Giả sử họ ma trận {Fα, α ∈ I} cấp p× p thỏa mãn FαFβ = FβFα, ∀α, β ∈ I. Khi đó, nếu FαC ⊂ C, ∀α ∈ I thì tồn tại véc tơ khác không f ∈ C∗(nón liên hợp của nón C) sao cho Fαf = λαf với λα ≥ 0, ∀α ∈ I. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày kết quả chính về tính điều khiển được địa phương. Định lý 1.3.2. Giả sử Ω là tập lồi chứa 0 với phần trong không rỗng. Khi đó hệ (1.6) là điều khiển được địa phương khi và chỉ khi 1. Hệ không có ràng buộc x˙ = Ax+Bu, u ∈ Rm là điều khiển được hoặc tương đương rank[A|B] = n. 2. Không tồn tại véc tơ riêng f tương ứng với giá trị riêng thực λ của A∗ thỏa mãn 〈f,Bu〉 ≥ 0, ∀u ∈ Ω. 27 Chứng minh. Điều kiện cần: hệ (1.6) là điều khiển được địa phương nên suy ra tồn tại hình cầu B(0, ) ⊂ Z. Với mọi x ∈ Rn, x 6= 0 thì  x 2‖x‖ thuộc hình cầu B(0, ) nên tồn tại u(.) ∈ ΩT sao cho  x 2‖x‖ = ∫ T 0 eA(T−t)Bu(t)dt. Suy ra x = ∫ T 0 eA(T−t)B 2‖x‖u(t)  dt. Do đó mọi x ∈ Rn đạt được từ 0 trong hệ không có ràng buộc. Từ đó ta thu được 1. Để chứng minh 2, giả sử tồn tại f0 là véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng thực λ của A∗ thỏa mãn 〈f0, Bu〉 ≥ 0, ∀u ∈ Ω. Xét x bất kì thuộc B(0, ) ⊂ Z, suy ra x = ∫ T0 eA(T−t)Bu(t)dt. Ta có 〈f0, x〉 = 〈f0, ∫ T 0 eA(T−t)Bu(t)dt〉 = ∫ T 0 〈f0, eA(T−t)Bu(t)〉dt = ∫ T 0 〈eA∗(T−t)f0, Bu(t)〉dt = ∫ T 0 eλ(T−t)〈f0, Bu(t)〉dt ≥ 0. Vì −x ∈ B(0, ) nên tương tự ta có 〈f0,−x〉 ≥ 0. Từ đó suy ra 〈f0, x〉 = 0, ∀x ∈ B(0, ). Do vậy f0 = 0. Điều này mâu thuẫn với f0 là véc tơ riêng của A ∗. Điều kiện đủ: vì hệ không có ràng buộc là điều khiển được nên theo Bổ đề 1.1.1 và Định lý 1.1.1 ta có Rn = LT (L∞[0, T ;Rm]), trong đó LTu = ∫ T 0 e A(T−t)Bu(t)dt. Vì Ω có phần trong khác rỗng trong Rm nên Ω˜T = ΩT ⋂ L∞[0, T ;Rm] có phần trong khác rỗng trong 28 L∞[0, T ;Rm]. Do đó ZT = LT (ΩT ) có phần trong khác rỗng trong Rn. Suy ra Z có phần trong khác rỗng trong Rn. Ta sẽ chứng minh 0 ∈ int(Z). Thật vậy, giả sử 0 /∈ int(Z). Vì Ω là tập lồi nên Z cũng là tập lồi. Từ định lí tách Hanh-Banch ta có tồn tại f1 ∈ Rn sao cho 〈f1, x〉 ≥ 0,∀x ∈ Z. Xét nón lồi C = ⋃ λ>0 λZ sinh bởi Z. Suy ra nón liên hợp C ∗ chứa f1 cho nên C∗ là nón không tầm thường. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng eAtC ⊂ C, ∀t ≥ 0. Xét x bất kì thuộc Z, ta có eAtx = eAt ∫ T 0 eA(T−s)Bu(s)ds = ∫ T 0 eA(t+T−s)Bu(s)ds = ∫ T+t 0 eA(T+t−s)Buˆ(s)ds. Trong đó uˆ(s) được xác định như sau: uˆ(s) = u(s) nếu 0 ≤ s < T,0 nếu T ≤ s ≤ T + t. Dễ thấy uˆ(.) ∈ ΩT+t nên eAtx ∈ ZT+t ⊂ Z. Do đó eAtZ ⊂ Z, ∀t ≥ 0. Suy ra eAtC ⊂ C, ∀t ≥ 0. Áp dụng định lí Krein-Rutman cho họ toán tử {eAt, t ≥ 0} và nón C sinh bởi Z, ta có tồn tại véc tơ f0 thuộc nón liên hợp C∗ thỏa mãn eA ∗tf0 = λ(t)f0 với λ(t) ≥ 0, ∀t ≥ 0. Suy ra A∗eA ∗tf0 = λ ′(t)f0, ∀t ≥ 0. Cho t = 0 suy ra A∗f0 = λ′(0)f0 = λ0f0 (ở đây kí hiệu λ0 = λ′(0)). Mặt khác, vì f0 ∈ C∗ nên 〈f0, ∫ t 0 eA(t−s)Buds〉 ≥ 0, ∀t ≥ 0, u ∈ Ω. 29 Do đó 〈f0, eAtBu〉 ≥ 0, ∀t ≥ 0, u ∈ Ω. Suy ra eλ0t〈f0, Bu〉 = 〈eA∗tf0, Bu〉 ≥ 0, ∀t ≥ 0, u ∈ Ω. Do đó 〈f0, Bu〉 ≥ 0,∀t ≥ 0, u ∈ Ω. Kết hợp với f0 là véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng thực λ0 dẫn đến điều mâu thuẫn với điều kiện 2. Vậy 0 ∈ int(Z) hay hệ (1.6) là điều khiển được địa phương. Hệ quả 1.3.1. Cho Ω ⊂ Rn thỏa mãn 0 ∈ int(Ω). Khi đó, hệ (1.6) là điều khiển được địa phương khi và chỉ khi rank[A|B] = n. Tiếp theo chúng ta xét đến tính điều khiển được toàn cục. Định nghĩa 1.3.3. Hệ (1.6) được gọi là điều khiển được toàn cục nếu Z = Rn. Định lý 1.3.3. Cho Ω là một nón lồi trong Rm với đỉnh ở 0 có phần trong khác rỗng. Khi đó hệ (1.6) là điều khiển được toàn cục khi và chỉ khi 1. Hệ không có ràng buộc x˙ = Ax+Bu, u ∈ Rm là điều khiển được hoặc tương đương rank[A|B] = n. 2. Không tồn tại véc tơ riêng f tương ứng với giá trị riêng thực λ của A∗ thỏa mãn 〈f,Bu〉 ≥ 0, ∀u ∈ Ω. Chứng minh. Vì Ω là một nón nên tập các trạng thái điều khiển được từ 0, Z cũng là một nón, tức là Z = λZ với mọi λ > 0. Ta có Z = Rm tương đương với 0 ∈ int(Z) và Z = λZ với mọi λ > 0. Từ Định nghĩa 1.3.2 và Định lý 1.3.2 ta suy ra điều phải chứng minh. 30 Tiếp theo, một cách tổng quát, chúng ta xét hệ điều khiển tuyến tính vô hạn chiều x˙ = Ax+Bu,x(0) = x0 ∈ X, u ∈ Ω. (1.7) Trong đó A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm họ các toán tử tuyến tính bị chặn S(t). Do vậy A là toán tử đóng với miền xác định D(A) trù mật trong không gian Banach X. Còn B là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Banach U vào không gian Banach X và miền tham số điều khiển Ω là tập con của U . Với mỗi u(·) ∈ Lp[0, T ;U ], 1 ≤ p ≤ ∞ và x0 ∈ X thì nghiệm yếu của hệ (1.7) được cho bởi x(t) = S(t)x0 + ∫ t 0 S(t− s)Bu(s)ds. Giả sử 0 ∈ Ω, kí hiệu tập điều khiển chấp nhận được trên [0, T ] là ΩT = {u(·) ∈ Lp[0, T ;U ] : u(t) ∈ Ω, h.k.n.}, và tập đạt được từ 0 trong thời gian T là ZT = {∫ T 0 S(T − t)Bu(t)dt : u(·) ∈ ΩT } . Tập Z = ⋃{ZT : T ≥ 0} được gọi là tập đạt được trong thời gian hữu hạn. Định nghĩa 1.3.4. Hệ (A,B,Ω) được gọi là điều khiển được toàn cục nếu Z = X, và được gọi là điều khiển được xấp xỉ toàn cục nếu Z = X. Định nghĩa 1.3.5. Hệ (A,B,Ω) được gọi là điều khiển được địa phương nếu Z chứa một lân cận của 0, và được gọi là điều khiển được xấp xỉ địa phương nếu Z chứa một lân cận của 0. 31 Cho M ⊂ X, kí hiệu M ∗ = {f ∈ X∗ : f(x) ≥ 0,∀x ∈ M}. Định lý sau mở rộng tính điều khiển được địa phương trong không gian vô hạn chiều, xem [12]. Định lý 1.3.4. Cho Ω là tập lồi chứa 0 và có phần trong không rỗng. Khi đó hệ (A,B.Ω) là điều khiển được địa phương khi và chỉ khi 1. Hệ không có ràng buộc (A,B, U) là điều khiển được toàn cục. 2. ker(A∗ − λI∗)⋂(BΩ)∗ = {0} với mọi λ thuộc R. Kí hiệu co(Ω) là bao lồi của Ω. Định lý về tính điều khiển được xấp xỉ địa phương sau chỉ còn đúng cho điều kiện đủ, xem [14]. Định lý 1.3.5. Cho Ω chứa 0 thỏa mãn int(co(Ω)) 6= ∅. Khi đó hệ (A,B,Ω) là điều khiển được xấp xỉ địa phương nếu 1. Hệ không có ràng buộc (A,B, U) là điều khiển được xấp xỉ toàn cục. 2. ker(A∗ − λI∗)⋂(BΩ)∗ = {0} với mọi λ thuộc R. Để chuẩn bị nghiên cứu tính điều khiển được xấp xỉ toàn cục, chúng tôi cần trình bày các kết quả bổ trợ. Mệnh đề sau là hệ quả của định lí tách Hahn-Banach. Mệnh đề 1.3.1. Cho X là không gian Banach và M là nón lồi đóng trong X với đỉnh ở 0. Khi đó M = X khi và chỉ khi M ∗ = {0}. Cho A là toán tử của hệ vô hạn chiều (1.7). Với mỗi α ∈ R, kí hiệu σα = σ(A) ⋂ {z ∈ C : Re(z) > α}. 32 Giả sử σα là tập compact. Khi đó, từ sự phân tích phổ của toán tử tuyến tính A (xem [5]), không gian X có thể phân tích thành tổng trực tiếp X = Xα ⊕ Yα. Trong đó Xα và Yα là các không gian con đóng của X, bất biến đối với họ nửa nhóm S(t) được sinh bởi A. Xét phép chiếu Pα = P (σα;A) := 1 2pii ∫ Γ (λI − A)−1dλ, ở đây Γ là đường đóng kín trong nửa mặt phẳng phức {z ∈ C : Re(z) > α} và bao σα bên trong. Định nghĩa Xα = PαX và Aα = PαA. Chúng ta có tính chất Xα ⊂ D(An) và AnXα ⊂ Xα với n = 1, 2, . . . . Hạn chế Aα của A trên Xα là toán tử tuyến tính bị chặn, hơn nữa, σ(Aα) = σα và S(t)x = eAαtx, ∀t ≥ 0, x ∈ Xα. Vì σ(A∗) = σ(A) nên áp dụng quá trình trên cho toán tử A∗ ta có P (σα;A ∗) = P ∗α, P ∗ αX ∗ ∼= X∗α. Do đó, với mỗi g ∈ X∗α có tương ứng duy nhất một phần tử P ∗αf, f ∈ X∗ thỏa mãn 〈g, x〉 = 〈P ∗αf, x〉, ∀x ∈ Xα. (1.8) Vì σα là tập compact nên ta có thể chọn δ > 0 đủ nhỏ sao cho dải {z ∈ C : α + δ ≤ Re(z) ≤ α + 2δ} không chứa một điểm nào của σ(A). Khi đó ta có các bất đẳng thức sau ‖e−Aαtx‖ ≤ e−(α+2δ)t‖x‖, ∀t ≥ 0, x ∈ Xα, (1.9) ‖S(t)y‖ ≤ e(α+σ)t‖y‖, ∀t ≥ 0, y ∈ Yα. (1.10) Mệnh đề sau là hệ quả của định lí ánh xạ mở tổng quát Robinson [25]. 33 Mệnh đề 1.3.2. Cho X và Y là các không gian Banach và M là nón lồi đóng với đỉnh ở 0 trong X. Cho G là toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y thỏa mãn G(M) = Y. Khi đó có tồn tại c > 0 thỏa mãn ∀y ∈ Y, ∃xy ∈M : G(xy) = y và ‖xy‖ ≤ c‖y‖. Chứng minh. Cho S1 là hình cầu đơn vị trong X. Vì G(M) = Y và G(0) = 0 nên từ định lí Robinson suy ra G(M∩S1) là lân cận của 0 trong Y . Do đó tồn tại c > 0 sao cho ∀y ∈ Y, y 6= 0 thì y‖y‖ ∈ c G(M∩S1), hoặc tương đương, y ‖y‖ = c G(x) với x nào đó thuộc M ∩S1. Đặt xy = c‖y‖x, suy ra G(xy) = y và ‖xy‖ = c‖y‖‖x‖ ≤ c‖y‖. Mệnh đề 1.3.3. Cho Ω là nón với đỉnh ở 0 trong U và Z là tập đạt được của hệ (1.7). Giả sử rằng với α nào đó thuộc R tập phổ σα là đóng và bị chặn. Khi đó, nếu Pα(Z) = Xα thì Xα ⊂ Z. Chứng minh. Chọn δ > 0 sao cho các bất đẳng thức (1.9) và (1.10) đúng. Cho bất kì x0 ∈ Xα và  > 0, chúng ta định nghĩa x0(t) = e−Aαtx0 ∈ Xα, với mỗi t ≥ 0. Vì Ω là nón với đỉnh ở 0 nên Z là nón đóng với đỉnh ở 0, hơn nữa Z là lồi (xem [12, Lemma 1]). Do đó áp dụng Mệnh đề 1.3.2 ta có tồn tại c > 0 và x(t) ∈ Z thỏa mãn x0(t) = Pαx(t) và ‖x(t)‖ ≤ c‖x0(t)‖. Chú ý, c không phụ thuộc vào x0 và t. Đặt y(t) = (I − Pα)x(t), ta có ‖y(t)‖ ≤ Kc‖x0(t)‖ vớiK = ‖I−Pα‖. Vì x(t) ∈ Z nên ta có thể tìm được x(t) ∈ Z thỏa mãn ‖x(t)−x(t)‖ ≤ (/2)‖S(t)‖−1. Đặt z(t) = S(t)x(t). 34 Suy ra z(t) ∈ Z vì Z bất biến đối với họ S(t). Ta có ‖z(t)− x0‖ ≤ ‖z(t)− x0 − S(t)y(t)‖+ ‖S(t)y(t)‖ = ‖S(t)x(t)− eAαtx0(t)− S(t)y(t)‖+ ‖S(t)y(t)‖ = ‖S(t)(x(t)− x(t))‖+ ‖S(t)y(t)‖ ≤ ‖S(t)‖ ‖x(t)− x(t)‖+ ‖S(t)y(t)‖ ≤ /2 + e(α+δ)t‖y(t)‖ ≤ /2 +Kc e(α+δ)te−(α+2δ)t‖x0‖ = /2 +Kc e−δt‖x0‖, ∀t ≥ 0. Cho t đủ lớn ta được ‖z(t)− x0‖ < . Từ đó suy ra x0 ∈ Z. Bây giờ, chúng tôi sẽ trình bày vấn đề điều khiển được xấp xỉ toàn cục. Giả sử rằng toán tử A thỏa mãn Giả thiết A1.Với mọi α ∈ R, tập phổ σα = σ(A) ⋂{z ∈ C : Re(z) > α} bao gồm hữu hạn các giá trị riêng của A với bội hữu hạn. Nhận xét: Nếu toán tử A thỏa mãn giả thiết A1 thì với mỗi α ∈ R, không gian trạng X thái có thể phân tích thành tổng trực tiếp của hai không gian con Xα và Yα. Hơn nữa, có thể dễ dàng nhận thấy Xα có số chiều hữu hạn và nó có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp của các không gian con riêng tổng quát ker(λI − A)kλ, ở đây kλ kí hiệu là bội của giá trị riêng λ. Định nghĩa 1.3.6. Toán tử A được gọi là đầy đủ phổ nếu nó thỏa mãn σα đóng và bị chặn với mọi α ∈ R và span{Xα : α ∈ R} = X. 35 Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày định lí về tính điều khiển được xấp xỉ toàn cục của hệ (1.7), được kí hiệu là hệ (A,B,Ω). Định lý 1.3.6. Cho X và U là các không gian Banach tách được và X là phản xạ. Cho A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm họ các toán tử tuyến tính bị chặn S(t), t ≥ 0. Cho Ω là nón với đỉnh ở 0 trong U thỏa mãn int(co(Ω)) 6= ∅. Khi đó, nếu hệ (A,B,Ω) là điều khiển được xấp xỉ toàn cục thì 1. Hệ không có ràng buộc (A,B, U) là điều khiển được xấp xỉ toàn cục. 2. ker(A∗ − λI∗)⋂(BΩ)∗ = {0}, ∀λ ∈ R. Ngược lại, giả sử A thỏa mãn giả thiết A1 và là đầy đủ phổ. Khi đó, nếu điều kiện 1 và 2 đúng thì hệ (A,B,Ω) là điều khiển được xấp xỉ toàn cục. Chứng minh. Điều kiện cần: giả sử hệ (A,B,Ω) là điều khiển được xấp xỉ toàn cục. Dễ thấy 1 đúng. Giả sử A∗f = λf và 〈f,Bu〉 ≤ 0,∀u ∈ Ω. Vì X là phản xạ nên suy ra A∗ là toán tử sinh của C0-nửa nhóm S(t)∗, t ≥ 0 và S(t)∗f = eλtf . Do vậy, với mọi x ∈ Z ta có 〈f, x〉 = ∫ T 0 〈f, S(T − t)Bu(t)〉dt = ∫ T 0 〈S∗(T − t)f,Bu(t)〉dt = ∫ T 0 eλ(T−t)〈f,Bu(t)〉dt ≤ 0. Suy ra 〈f, x〉 ≤ 0 với mọi x ∈ Z = X. Do đó f = 0. Điều kiện đủ: giả sử 1 và 2 đúng. Chọn dãy αn thỏa mãn αn → −∞ khi n → ∞ và α1 > α2 > α3 > . . . . Bởi giả thiết A1, với mỗi n chúng ta phân tích X = Xn ⊕ Yn, ở đây Xn = PnX, Pn là phép chiếu gắn với tập phổ σn = σ(A) ∩ {z ∈ C : Re(z) > αn} 36 và dimXn < ∞. Đặt Bn = PnB và An là hạn chế của A trên Xn. Kí hiệu Zn là tập đạt được của hệ điều khiển hữu hạn chiều (An, Bn,Ω): x˙ = Anx+Bnu, x ∈ Xn, u ∈ Ω, t ≥ 0. Vì Pn giao hoán với S(t) nên Zn = PnZ. Từ điều kiện 1 suy ra hệ không có ràng buộc (An, Bn, U) là điều khiển được xấp xỉ toàn cục và do đó là điều khiển được toàn cục trong không gian hữu hạn chiều Xn. Tiếp theo, ta đi chứng minh điều kiện 2 cũng đúng trong không gian hữu hạn chiều Xn. Thật vậy, giả sử có tồn tại λ ∈ R và g ∈ X∗n, g 6= 0 thỏa mãn A∗ng = λg và 〈g,Bnu〉 ≤ 0, ∀u ∈ Ω. Khi đó, bởi (1.8), có tồn tại f ∈ X∗ thỏa mãn 〈g, x〉 = 〈P ∗nf, x〉, ∀x ∈ Xn. Vì P ∗n là phép chiếu nên ta thu được 〈P ∗nf,Bu〉 = 〈P ∗2n f,Bu〉 = 〈P ∗nf, PnBu〉 = 〈g,Bnu〉 ≤ 0, ∀u ∈ Ω. Chú ý rằng P ∗nX ∗ ⊂ D(A∗) và PnX ⊂ D(A). Do vậy, với mọi x ∈ X ta có 〈A∗P ∗nf, x〉 = 〈A∗P ∗nP ∗nf, x〉 = 〈P ∗nA∗P ∗nf, x〉 = 〈A∗P ∗nf, Pnx〉 = 〈P ∗nf, APnx〉 = 〈g, AnPnx〉 = 〈A∗ng, Pnx〉 = λ〈g, Pnx〉 = λ〈P ∗nf, Pnx〉 = λ〈P ∗2n f, x〉 = λ〈P ∗nf, x〉. Suy ra A∗P ∗nf = λP ∗ nf. Do đó ta tìm được một véc tơ khác không P ∗ nf ∈ ker(A∗ − λI∗)⋂(BΩ)∗. Điều này mâu thuẫn với điều kiện 2 trong định lý. Do vậy, áp dụng Định lý 1.3.3 ta có hệ hữu hạn chiều (An, Bn, co Ω) là điều khiển được toàn cục. Vì Zn là lồi (xem [12, Lemma 1]) nên Zn 37 là tập đạt được từ 0 của hệ (An, Bn, co Ω). Do đó Zn = Xn, hoặc tương đương PnZ = Xn. Do đó PnZ = Xn và vì Z là lồi (xem [12, Lemma 1]), Xn là hữu hạn chiều nên suy ra Pn(Z) = Xn. Do đó, bởi Mệnh đề 1.3.3, Xn ⊂ Z. Cuối cùng vì A là đầy đủ phổ nên X = span{Xn : n ∈ N} ⊂ Z. Do vậy X = Z, định lý được hoàn toàn chứng minh. Định lý 1.3.7. Nếu không gian trạng thái X là vô hạn chiều, miền tham số điều khiển Ω là tập bị chặn và toán tử A thỏa mãn giả thiết A1, thì hệ (A,B,Ω) là không điều khiển được xấp xỉ toàn cục. Chứng minh. Lấy α < 0, chọn δ đủ nhỏ để α + δ < 0 và các bất đẳng thức (1.9), (1.10) đúng. Phân tích không gian trạng thái X = Xα ⊕ Yα. Vì X là vô hạn chiều và dimXα < ∞ nên Yα là không tầm thường. Chiếu tập đạt được Z xuống Yα ta được (I − Pα)Z = ⋂ {(I − Pα)ZT : T ≥ 0}. Với mọi yα ∈ (I − Pα)Z ta có ‖yα‖ = ‖(I − Pα) ∫ T 0 S(T − t)Bu(t)dt‖ = ‖ ∫ T 0 S(T − t)(I − Pα)Bu(t)dt‖ ≤ ‖I − Pα‖‖B‖ sup u∈Ω ‖u‖ ∫ ∞ 0 e(α+δ)tdt ≤M, với M là hằng số không phụ thuộc vào yα. Suy ra các trạng thái x ∈ X với ‖(I−Pα)x‖ > M không thuộc Z. Chứng minh được hoàn thành. Ví dụ 1.3.1. Xét phương trình truyền nhiệt ∂ ∂t x(t, ξ) = ∂ 2 ∂ξ2 x(t, ξ) + b1(ξ)u1(t) + b2(ξ)u2(t), t ≥ 0, ξ ∈ [0, 1], x(t, 0) = x(t, 1) = 0, u1(t) ≥ 0, u2(t) ≥ 0. 38 Phương trình này có thể được mô tả bằng phương trình vi phân x˙ = Ax+Bu trong không gian Banach X = L2(0, 1). Trong đó A là toán tử Laplacian, Ax = 4x với D(A) = {x ∈ X khả vi liên tục tuyệt đối cấp 1 : 4x ∈ X, x(0) = x(1) = 0}, B là toán tử B ( u1 u2 ) = b1(ξ)u1 + b2(ξ)u2 và Ω là nón dương Ω = {( u1 u2 ) ∈ R2 : u1, u2 ≥ 0 } . Ta có A là toán tử tự liên hợp với các giá trị riêng là λj = −j2pi2 và các véc tơ riêng tương ứng trong miền D(A) là ej = √ 2 sin jpiξ với j = 1, 2, . . . . Hệ không có ràng buộc (A,B,R2) là điều khiển được xấp xỉ toàn cục nếu ( ∫ 1 0 b1(ξ)sin(jpiξ)dξ)( ∫ 1 0 b2(ξ)sin(jpiξ)dξ) 6= 0, ∀j = 1, 2, . . . . Điều kiện 2 trong Định lý 1.3.6 đúng nếu ( ∫ 1 0 b1(ξ)sin(jpiξ)dξ)( ∫ 1 0 b2(ξ)sin(jpiξ)dξ) < 0, ∀j = 1, 2, . . . . Vậy điều kiện để phương trình truyền nhiệt với điều khiển dương điều khiển được xấp xỉ toàn cục là ( ∫ 1 0 b1(ξ)sin(jpiξ)dξ)( ∫ 1 0 b2(ξ)sin(jpiξ)dξ) < 0, ∀j = 1, 2, . . . . 39 Chương 2 Kết quả 2.1 Bán kính điều khiển được của hệ có ràng buộc với miền tham số điều khiển bị nhiễu Các kết quả trong mục này đã được đăng trong tạp chí Vietnam Journal of Mathematics [15] và báo cáo tại Đại Hội Toán Học Toàn Quốc lần thứ 7. Xét hệ điều khiển có ràng buộcx˙ = Ax+Bu,x(0) = 0, u ∈ P, (2.1) trong đó A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m và P ⊂ Rm là nón lồi đóng với đỉnh ở 0 và có phần trong khác rỗng. Bởi Định lý 1.3.3, hệ này là điều khiển được khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau 1. Hệ không có ràng buộc x˙ = Ax + Bu, u ∈ Rm là điều khiển được 40 hoặc tương đương rank[A|B] = n. 2. Không tồn tại véc tơ riêng f tương ứng với giá trị riêng thực λ của A∗ thỏa mãn 〈f,Bu〉 ≥ 0, ∀u ∈ P. Một vấn đề được đặt ra là khi nón P bị nhiễu thành nón P˜ thì tính điều khiển được của hệ (2.1) được bảo toàn như thế nào. Do vậy để giải quyết vấn đề này chúng tôi phải đi xây dựng cách đo độ nhiễu nón và từ đó đưa ra định nghĩa và thiết lập công thức bán kính điều khiển được. Định nghĩa 2.1.1. Cho A và B là các nón trong Rn với đỉnh ở 0. Khoảng cách của nón A so với nón B là −→ d (A,B) = sup { d(x,B) : x ∈ A, ‖x‖ = 1}, trong đó d(x,B) là khoảng cách từ điểm x đến nón B. Qui ước: −→ d ({0}, B) = 0. Mệnh đề 2.1.1. Cho A và B là các nón trong Rn với đỉnh ở 0. Khi đó 1. 0 ≤ −→d (A,B) ≤ 1. 2. Nếu B đóng thì −→ d (A,B) = 0⇔ A ⊂ B. 3. Nếu A đóng thì −→ d (A,B) = 1⇔ ∃x ∈ A : 〈x, u〉 ≤ 0,∀u ∈ B. Chứng minh. 1 được suy trực tiếp từ định nghĩa. NếuB đóng thì d(x,B) = 0 ⇔ x ∈ B. Suy ra −→d (A,B) = 0 ⇔ A ⊂ B. Ta thu được 2. Để chứng minh 3, ta thấy hàm f(x) = d(x,B) liên tục trên tập compact 41 { x ∈ A : ‖x‖ = 1}. Do vậy −→d (A,B) = 1 ⇔ ∃x ∈ A : ‖x‖ = 1 để d(x,B) = 1. Ta có d(x,B) = 1 tương đương với ‖x− tu‖ = √ 〈x, x〉+ t2〈u, u〉 − 2t〈x, u〉 ≥ 1, ∀u ∈ B, t ≥ 0. Do vậy 〈x, u〉 ≤ 0,∀u ∈ B. Mệnh đề 2.1.2. Cho A,B,C là các nón trong Rn với đỉnh ở 0. Khi đó ta có bất đẳng thức tam giác −→ d (A,C) ≤ −→d (A,B) +−→d (B,C). Chứng minh. Theo định nghĩa ta có, với mọi  > 0 tồn tại x0 ∈ A : ‖x0‖ = 1 sao cho −→d (A,C) ≤ d(x0, C) + . Đặt y0 = PB¯(x0) là hình chiếu của x0 lên nón đóng B¯. Ta có d(x0, B) = d(x0, B¯) = ‖x0 − y0‖ và ‖y0‖ ≤ ‖x0‖ ≤ 1. Vì y0 ∈ B¯ nên tồn tại y1 thuộc B sao cho ‖y0−y1‖ < . Do vậy với mọi u ∈ C ta có ‖x0 − u‖ ≤ ‖x0 − y0‖+ ‖y0 − y1‖+ ‖y1 − u‖ ≤ d(x0, B) + + ‖y1 − u‖. Lấy infimum hai vế theo u ∈ C ta có d(x0, C) ≤ d(x0, B) + + d(y1, C) = d(x0, B) + + ‖y1‖d( y1‖y1‖ , C) ≤ −→d (A,B) + + (1 + )−→d (B,C). Do vậy −→ d (A,C) ≤ −→d (A,B) + 2 + (1 + )−→d (B,C). Cho  → 0 ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Định nghĩa 2.1.2. Cho P là nón trong Rn với đỉnh ở 0. Nón liên hợp P ∗ của P được định nghĩa P ∗ = {x ∈ Rn : 〈x, u〉 ≥ 0,∀u ∈ P}. 42 Định lý 2.1.1. Cho A và B là các nón lồi đóng trong Rn với đỉnh ở 0. Khi đó ta có −→ d (A,B) = −→ d (B∗, A∗), trong đó A∗, B∗ là các nón liên hợp của A,B. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh với mọi x ∈ A : ‖x‖ = 1 tồn tại y ∈ B∗ : ‖y‖ = 1 sao cho d(x,B) ≤ d(y, A∗). Thật vậy, lấy x ∈ A : ‖x‖ = 1 và x /∈ B (trường hợp x ∈ A ∩B thì d(x,B) = 0). Vì d(x,B) = inf {‖x− u‖ : u ∈ B} = inf {‖x− u‖ : u ∈ B, ‖u‖ ≤ 2‖x‖} và B là tập đóng nên tồn tại u ∈ B sao cho 0 < ‖x− u‖ = d(x,B). Lấy v bất kì thuộc B. Với mọi t ∈ R, t ≥ 0 ta có u+ tv ∈ B. Do đó ‖x− u− tv‖ ≥ ‖x− u‖, ∀t ≥ 0. Suy ra 〈x− u− tv, x− u− tv〉 ≥ 〈x− u, x− u〉, ∀t ≥ 0. Do đó 2t〈u− x, v〉+ t2〈v, v〉 ≥ 0, ∀t ≥ 0. Điều này tương đương 〈u− x, v〉 ≥ 0, ∀v ∈ B. Do đó u− x ∈ B∗. Đặt y = u− x ‖u− x‖ . Suy ra y ∈ B ∗ và ‖y‖ = 1. Xét f(t) = 〈x− tu, x− tu〉 với t ≥ 0. Vì ‖x− u‖ = d(x,B) nên min t≥0 f(t) = f(1) = ‖x− u‖. Suy ra 〈x− u, u〉 = −f ′(1)/2 = 0. Do đó 〈x, u〉 = 〈x, x〉 − 〈x− u, x− u〉 − 〈x− u, u〉 = 1− ‖u− x‖2. 43 Bây giờ lấy z bất kì thuộc A∗ thì 〈x, z〉 ≥ 0. Do vậy ta có ‖y − z‖2 = ∥∥∥∥ u− x‖u− x‖ − z ∥∥∥∥2 = ∥∥∥∥‖u− x‖x+ z + ( 1‖u− x‖ − ‖u− x‖ ) x− u‖u− x‖ ∥∥∥∥2 = ‖u− x‖2 + ∥∥∥∥z + ( 1‖u− x‖ − ‖u− x‖ ) x− u‖u− x‖ ∥∥∥∥2 + 2 〈 ‖u− x‖x , z + ( 1 ‖u− x‖ − ‖u− x‖ ) x− u‖u− x‖ 〉 ≥ ‖u− x‖2 + 2‖u− x‖〈x, z〉+ 2‖u− x‖ ( 1 ‖u− x‖ − ‖u− x‖ ) − 2〈x, u〉 ≥ ‖u− x‖2 + 2(1− ‖u− x‖2)− 2(1− ‖u− x‖2) = ‖u− x‖2 = d(x,B)2. Suy ra ‖y − z‖ ≥ d(x,B),∀z ∈ A∗. Do đó d(y, A∗) ≥ d(x,B). Vậy với mỗi x ∈ A : ‖x‖ = 1 tồn tại y ∈ B∗ : ‖y‖ = 1 sao cho d(x,B) ≤ d(y, A∗). Suy ra −→ d (A,B) ≤ −→d (B∗, A∗). Cuối cùng vì A,B là các nón lồi đóng nên A = (A∗)∗, B = (B∗)∗. Do vậy −→ d (A∗, B∗) ≤ −→d (B,A). Định lý được chứng minh. Bổ đề 2.1.1. Cho x ∈ Rn và P là nón trong Rn với đỉnh ở 0. Khi đó ta có min{d(x, P ), d(−x, P )} = inf u∈P :‖u‖=1 √ ‖x‖2 − 〈x, u〉2 = √ ‖x‖2 − ( sup u∈P :‖u‖=1 |〈x, u〉| )2 . 44 Chứng minh. Ta có min{d(x, P ), d(−x, P )} = min{ inf u∈P ‖x− u‖, inf u∈P ‖x+ u‖} = inf u∈P :‖u‖=1 inf t∈R ‖x+ tu‖ = inf u∈P :‖u‖=1 inf t∈R √ ‖x‖2 + 2t〈x, u〉+ t2 = inf u∈P :‖u‖=1 inf t∈R √ ‖x‖2 − 〈x, u〉2 + (t− 〈x, u〉)2 = inf u∈P :‖u‖=1 √ ‖x‖2 − 〈x, u〉2 = √ ‖x‖2 − ( sup u∈P :‖u‖=1 |〈x, u〉| )2 . Với 0 ≤ l ≤ 1 đặt ξP (x) = √ ‖x‖2 − ( sup u∈P :‖u‖=1 |〈x, u〉| )2 và ψP (x, l) = max { 0, ξP (x) √ 1− l2 − l √ ‖x‖2 − ξP (x)2 } . Bổ đề 2.1.2. Cho P là nón đóng trong Rn với đỉnh ở 0. Giả sử a ∈ Rn thỏa mãn ‖a‖ = 1 và d(a, P ) ≤ l với 0 ≤ l ≤ 1. Khi đó, với mọi x ∈ Rn ta có inf t∈R ‖x− ta‖ ≥ ψP (x, l). Chứng minh. Ta có inf t∈R ‖x− ta‖ = inf t∈R √ ‖x‖2 − 2t〈x, a〉+ t2 = inf t∈R √ ‖x‖2 − 〈x, a〉2 + (t− 〈x, a〉)2 = √ ‖x‖2 − 〈x, a〉2. Vì P đóng nên tồn tại e ∈ P : ‖e‖ = 1 sao cho |〈a, e〉| = sup u∈P :‖u‖=1 |〈a, u〉|. Ta có |〈x, a〉| =|〈(x− 〈x, e〉e) + 〈x, e〉e, (a− 〈a, e〉e) + 〈a, e〉e〉| =|〈x− 〈x, e〉e, a− 〈a, e〉e〉+ 〈x, e〉〈a, e〉| ≤‖x− 〈x, e〉e‖ ‖a− 〈a, e〉e‖+ |〈x, e〉| |〈a, e〉|. 45 Đặt αe(x) = ‖x− 〈x, e〉e‖ = √‖x‖2 − |〈x, e〉|2. Suy ra αe(x) ≤ ξP (x) và αe(a) = ξP (a) = min{d(a, P ), d(−a, P )} ≤ l. Do đó |〈x, a〉| ≥ αe(x)ξP (a) + √(‖x‖2 − αe(x)2)(1− ξP (a)2) và ta có inf t∈R ‖x− ta‖ = inf t∈R √ t2 − 2t〈x, a〉+ ‖x‖2 = √ ‖x‖2 − 〈x, a〉2 ≥ √ ‖x‖2 − ( αe(x)ξP (a) + √(‖x‖2 − αe(x)2)(1− ξP (a)2))2 = ∣∣αe(x)√1− ξP (a)2 − ξP (a)√‖x‖2 − αe(x)2 ∣∣. Hàm số f(y, z) = |y√1− z2 − z √ 1− y2| trong miền [b, 1] × [0, c], b ≥ 0, c ≤ 1, có giá trị nhỏ nhất là max{0 , b√1− c2 − c√1− b2}. Do đó, nếu ‖x‖ 6= 0 thì inf t∈R ‖x− ta‖ ≥ ‖x‖ min y≥ ξP (x)‖x‖ ,z≤l f = ψP (x, l). Nếu ‖x‖ = 0 thì ψP (x, l) = 0 nên inf t∈R ‖x − ta‖ ≥ 0 = ψP (x, l). Bổ đề được chứng minh. Bây giờ quay trở lại hệ điều khiển có ràng buộcx˙ = Ax+Bu,x(0) = 0, u ∈ P (2.2) trong đó A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m và P ⊂ Rm là nón lồi đóng với đỉnh ở 0 và có phần trong khác rỗng. Kí hiệu hệ này là hệ (A,B, P ) và giả sử miền tham số điều khiển chịu nhiễu dạng P P˜ , int(P˜ ) 6= ∅. (2.3) Hai yếu tố đặc trưng cho độ nhiễu này là −→ d (P, P˜ ) và −→ d (P˜ , P ). Khi −→ d (P, P˜ ) = 0 thì P ⊂ P˜ nên tính điều khiển được của hệ được bảo toàn. 46 Khi −→ d (P˜ , P ) = 0 thì P˜ ⊂ P , P˜ có thể trở thành một tia hoặc một điểm {0}, vì thế tính điều khiển được của hệ vẫn có thể bị mất đi. Vậy yếu tố đo độ nhiễu nón ảnh hưởng đến tính điều khiển được là −→ d (P, P˜ ). Định nghĩa 2.1.3. Bán kính điều khiển được của hệ (A,B, P ) với nhiễu dạng (2.3) được định nghĩa bởi rA,B(P ) = inf {−→ d (P, P˜ ) : (A,B, P˜ ) là không điều khiển được } . Mệnh đề 2.1.3. Hệ (A,B, P ) xác định bởi (2.2) là điều khiển được khi và chỉ khi 1. span{BP,ABP, . . . , An−1BP} = Rn. 2. B∗(ker(A∗ − λI)) ⋂P ∗ = {0}, ∀λ ∈ R. Chứng minh. Giả sử hệ (A,B, P ) là điều khiển được. Bởi Định lý 1.3.3 ta có rank[A|B] = n và ker(A∗ − λI)⋂(BP )∗ = {0},∀λ ∈ R. Vì rank[A|B] = n và P có phần trong khác rỗng nên span{BP,ABP, . . . , An−1BP} = span{BRm, ABRm, . . . , An−1BRm} = Rn. Giả sử có λ ∈ R sao cho tồn tại x 6= 0, x ∈ B∗(ker(A∗ − λI)) ∩ P ∗. Suy ra có y 6= 0, y ∈ ker(A∗ − λI) thỏa mãn x = B∗y. Mặt khác x ∈ P ∗ nên 〈y,Bu〉 = 〈B∗y, u〉 = 〈x, u〉 ≥ 0, ∀u ∈ P. Suy ra y ∈ (BP )∗ và do đó 0 6= y ∈ ker(A∗ − λI)⋂(BP )∗, mâu thuẫn. Ngược lại giả sử 1 và 2 đúng. Để chứng minh hệ (A,B, P ) là điều khiển được ta chỉ cần chứng minh ker(A∗ − λI)⋂(BP )∗ = ∅. Thật vậy, giả sử có λ ∈ R sao cho tồn tại y 6= 0, y ∈ ker(A∗ − λI) ⋂ (BP )∗. 47 Đặt x = B∗y. Nếu x = 0 thì 〈Bu1 + ABu2 + . . .+ An−1Bun, y〉 =〈u1, B∗y〉+ 〈u2, B∗A∗y〉+ . . .+ 〈un, B∗(A∗)n−1y〉 =〈u1, x〉+ λ〈u2, x〉+ . . .+ λn−1〈un, x〉 = 0, ∀u1, u2, . . . , un ∈ P, điều này mâu thuẫn với 1. Do vậy x 6= 0 và ta có 〈x, u〉 = 〈B∗y, u〉 = 〈y,Bu〉 ≥ 0, ∀u ∈ P. Suy ra x ∈ P ∗. Dẫn tới 0 6= x ∈ B∗(ker(A∗ − λI)) ⋂P ∗, điều này mâu thuẫn với 2. Chứng minh hoàn thành. Để tiện lợi ta kí hiệu Sm = {x ∈ Rm : ‖x‖ = 1}, σR(A∗) = σ(A∗) ∩ R, Smλ = S m ∩B∗(ker(A∗ − λI)), SmP ∗ = Sm ∩ P ∗. Định lý 2.1.2. Giả sử σR(A ∗) 6= ∅. Khi đó bán kính điều khiển được của hệ (A,B, P ) xác định bởi (2.2) với nhiễu dạng (2.3) được cho bởi công thức rA,B(P ) = inf{d(x, P ∗) : x ∈ Smλ , λ ∈ σR(A∗)} = min λ∈σR(A∗) inf x∈Smλ ,u∈SmP∗ √ ‖x‖2 − 〈x, u〉2 = min λ∈σR(A∗) inf x∈Smλ √ ‖x‖2 − ( sup u∈SmP∗ |〈x, u〉| )2 Nếu σR(A ∗) = ∅ thì nhiễu (2.3) không làm ảnh hưởng đến tính điều khiển được của hệ (2.2) nên ta đặt rA,B(P ) = 1. 48 Chứng minh. Giả sử σR(A ∗) 6= ∅. Cho hệ (A,B, P˜ ) là không điều khiển được. Vì int(P˜ ) 6= ∅ nên bởi Mệnh đề 2.1.3 ta có điều kiện 1 đúng và do đó điều kiện 2 sai, nghĩa là ∃λ0 ∈ R để B∗(ker(A∗ − λ0I)) ⋂ P˜ ∗ 6= {0}. Suy ra tồn tại x0 ∈ B∗(ker(A∗ − λ0I)) ⋂ P˜ ∗ thỏa mãn ‖x0‖ = 1. Do đó từ Định lý 2.1.1 ta có −→ d (P, P˜ ) = −→ d (P˜ ∗, P ∗) = sup { d(x, P ∗) : x ∈ P˜ ∗, ‖x‖ = 1} ≥ d(x0, P ∗) ≥ inf {d(x, P ∗) : x ∈ B∗(ker(A∗ − λI)), ‖x‖ = 1, λ ∈ σ(A∗)⋂R}. Do vậy bởi định nghĩa của rA,B(P ) ta được rA,B(P ) ≥ inf { d(x, P ∗) : x ∈ B∗(ker(A∗−λI)), ‖x‖ = 1, λ ∈ σ(A∗)∩R}. Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, vì tập { x ∈ B∗(ker(A∗− λI)) : ‖x‖ = 1, λ ∈ σ(A∗)∩R} là tập compact và hàm f(x) = d(x, P ∗) là hàm liên tục nên tồn tại λ0 ∈ σ(A∗) ∩ R, x0 ∈ B∗(ker(A∗ − λ0I)) : ‖x0‖ = 1 sao cho d(x0, P ∗) = min { d(x, P ∗) : x ∈ B∗(ker(A∗−λI)), ‖x‖ = 1, λ ∈ σ(A∗)∩R}. Xét nón lồi đóng K được xác định bởi K = { tx0 : t ∈ R, t ≥ 0 } . Ta có −→ d (K,P ∗) = d(x0, P ∗) và (K∗)∗ ∩B∗(ker(A∗ − λ0I)) = K 6= {0}. Hơn nữa K∗ có phần trong khác rỗng và hệ (A,B,K∗) là không điều khiển được. Suy ra rA,B(P ) = inf {−→ d (P˜ ∗, P ∗) : ∃λ ∈ R để B∗(ker(A∗ − λI)) ∩ P˜ ∗ 6= {0}} ≤−→d ((K∗)∗, P ∗) = −→d (K,P ∗) = d(x0, P ∗) = inf { d(x, P ∗) : x ∈ B∗(ker(A∗ − λI)), ‖x‖ = 1, λ ∈ σR(A∗) } . 49 Do vậy sử dụng Bổ đề 2.1.1 ta có rA,B(P ) = inf { d(x, P ∗) : x ∈ B∗(ker(A∗ − λI)), ‖x‖ = 1, λ ∈ σR(A∗) } = inf { d(x, P ∗) : x ∈ Smλ , λ ∈ σR(A∗) } = min λ∈σR(A∗) inf x∈Smλ min { d(x, P ∗), d(−x, P ∗)} = min λ∈σR(A∗) inf x∈Smλ ,u∈SmP∗ √ ‖x‖2 − 〈x, u〉2 = min λ∈σR(A∗) inf x∈Smλ √ ‖x‖2 − ( sup u∈SmP∗ |〈x, u〉| )2 . Định lý được hoàn toàn chứng minh. Với mỗi 0 ≤ l ≤ 1, ta định nghĩa tập các nón lồi trong Rm thu được từ tập tham số điều khiển P với nhiễu cấp nhỏ hơn hoặc bằng l, bởi việc đặt FP,l = {P˜ : P˜ lồi đóng với đỉnh ở 0, int(P˜ ) 6= ∅,−→d (P, P˜ ) ≤ l}. Bây giờ chúng ta xét bài toán tính bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính (A,B, P ) dưới giả thiết các ma trận A,B và tập tham số điều khiển P được cho nhiễu dạng A A+ ∆1, ∆1 ∈ Rn×n, B B + ∆2, ∆2 ∈ Rn×m, P P˜ , P˜ ∈ FP,l. (2.4) Định nghĩa 2.1.4. Cho một số l ∈ [0, 1]. Bán kính điều khiển được của hệ (A,B, P ) xác định bởi (2.2) với nhiễu dạng (2.4) được định nghĩa là r(A,B, l) = inf {‖[∆1,∆2]‖ : ∃P˜ ∈ FP,l để (A+∆1, B+∆2, P˜ ) không đ.k.đ.}. Đặt Hλ = ( A∗ − λI B∗ ) , Pˆ = {( 0 u ) : u ∈ P ∗ } ⊂ Rn+m. 50 Mệnh đề 2.1.4. Hệ (A,B, P ) xác định bởi (2.2) là điều khiển được khi và chỉ khi 1. span{BP,ABP, . . . , An−1BP} = Rn. 2. Hλ(S n) ∩ Pˆ = ∅, ∀λ ∈ R. Chứng minh. Bởi Mệnh đề 2.1.3, ta chỉ cần chứng minh 2 tương đương với B∗(ker(A∗ − λI)) ⋂ P ∗ = {0}, ∀λ ∈ R. Giả sử 2 đúng mà tồn tại λ ∈ R, x ∈ ker(A∗−λI), y ∈ P ∗, y 6= 0 sao cho B∗x = y. Suy ra x 6= 0 và x‖x‖ ∈ S n. Do đó Hλ ( x ‖x‖ ) = ( 0 y ‖x‖ ) ∈ Pˆ (mâu thuẫn). Ngược lại, giả sử B∗(ker(A∗−λI))⋂P ∗ = {0},∀λ ∈ Rmà 2 không đúng. Suy ra tồn tại λ ∈ R, x ∈ Sn sao cho Hλx ∈ Pˆ . Do đó (A∗ − λI)x = 0 và B∗x ∈ P ∗. Suy ra B∗x ∈ B∗(ker(A∗ − λI)) ∩ P ∗ = {0} và bởi vậy B∗x = 0. Suy ra Hλx = 0 và dẫn đến 〈H∗λy, x〉 = 〈y,Hλx〉 = 0, ∀y ∈ Rn+m. Suy ra rankH∗λ = rank[A − λI,B] 6= n, điều này mâu thuẫn với điều kiện hạng Hautus. Mệnh đề được chứng minh. Xét hệ điều khiển được không có ràng buộc (A,B) ∈ Rn×n ×Rn×m chịu nhiễu dạng (A,B) (A+ ∆1, B + ∆2), và định nghĩa bán kính điều khiển được µR(A,B) = inf {‖[∆1,∆2]‖ : (A+ ∆1, B + ∆2) không điều khiển được}. 51 Khi đó chúng ta có các kết quả đã biết sau. • Công thức Decarlo và Wicks [31] µR(A,B) = inf Q∈O(1,n)∪O(2,n) ‖QTA(I −QQT ), QTB‖, ở đây O(r, n) = {Q ∈ Rr×n : QQT = I}. • Công thức Hu và Davison [32] µR(A,B) = inf z∈C sup γ∈(0,1] sssv  ReWz −γ imWz γ−1 imWz ReWz  , ở đây Wz = [A − zI, B], ReWz và imWz được thay thế bởi phần thực và phần ảo của ma trận Wz, còn sssvE được thay cho giá trị không suy biến nhỏ thứ hai của ma trận E. Trở lại cách đặt trong Bổ đề 2.1.2, ξP ∗(z) = √ ‖z‖2 − ( sup u∈SmP∗ |〈z, u〉| )2 , ψP ∗(z, l) = max { 0 , ξP ∗(z) √ 1− l2 − l √ ‖z‖2 − ξP ∗(z)2 } . Định nghĩa r2(A,B, l) là bán kính bảo toàn tính chất 2 trong Mệnh đề 2.1.4 dưới nhiễu dạng (2.4) : r2(A,B, l) = inf{‖[∆1,∆2]‖ : ∃Q ∈ FP,l,∃λ ∈ R t.m. Hλ,∆(Sn)∩Qˆ 6= ∅}, ở đây Hλ,∆ = ( A∗ − λI + ∆∗1 B∗ + ∆∗2 ) , Qˆ = {( 0 u ) : u ∈ Q∗ } ⊂ Rn+m. Định lý 2.1.3. Bán kính r2(A,B, l) được cho bởi công thức r2(A,B, l) = inf x∈Sn √ ψP ∗(B∗x, l)2 + ‖A∗x‖2 − 〈A∗x, x〉2, 52 và bán kính điều khiển được của hệ (A,B, P ) dưới nhiễu (2.4) được cho bởi r(A,B, l) = min{µR(A,B), r2(A,B, l)}. Chứng minh. Giả sử (A + ∆1, B + ∆2, P˜ ) không thỏa mãn điều kiện 2 với −→ d (P, P˜ ) ≤ l. Suy ra tồn tại λ ∈ R, x ∈ Sn, u ∈ P˜ ∗ sao cho( A∗ − λI + ∆∗1 B∗ + ∆∗2 ) x = ( 0 u ) . Suy ra ‖[∆1,∆2]‖ = ‖ ( ∆∗1 ∆∗2 ) ‖ ≥ ‖ ( ∆∗1 ∆∗2 ) x‖ = ‖ ( (A∗ − λI)x B∗x− u ) ‖ = √ ‖(A∗ − λI)x‖2 + ‖B∗x− u‖2. Ta có ‖(A∗x− λI)x‖ = √ ‖A∗x‖2 − 2λ〈A∗x, x〉+ λ2 = √ ‖A∗x‖2 − 〈A∗x, x〉2 + (λ− 〈A∗x, x〉)2 ≥ √ ‖A∗x‖2 − 〈A∗x, x〉2. Nếu u = 0 thì ‖B∗x − u‖ = ‖B∗x‖ ≥ ξP ∗(B∗x) ≥ ψP ∗(B∗x, l). Nếu u 6= 0 thì u = ‖u‖ u‖u‖ . Vì −→ d (P˜ ∗, P ∗) = −→ d (P, P˜ ) ≤ l và u ∈ P˜ ∗ nên d ( u ‖u‖ , P ∗) ≤ l. Áp dụng Bổ đề 2.1.2 suy ra ‖B∗x − u‖ ≥ ψP ∗(B∗x, l). Do vậy ‖[∆1,∆2]‖ ≥ inf x∈Sn √ ψP ∗(B∗x, l)2 + ‖A∗x‖2 − 〈A∗x, x〉2, với mọi (∆1,∆2) sao cho tồn tại P˜ thỏa mãn −→ d (P, P˜ ) ≤ l để (A + ∆1, B + ∆2, P˜ ) không thoả mãn điều kiện 2. Vì thế r2(A,B, l) ≥ inf x∈Sn √ ψP ∗(B∗x, l)2 + ‖A∗x‖2 − 〈A∗x, x〉2. 53 Tiếp theo, để chỉ ra dấu bất đẳng thức ngược lại, ta đặt g(x) = √ ψP ∗(B∗x, l)2 + ‖A∗x‖2 − 〈A∗x, x〉2. Vì ξP ∗(x) liên tục nên ψP ∗(x, l) liên tục và do đó g(x) liên tục. Vì S n là tập compact nên tồn tại x0 ∈ Sn để g(x0) = inf x∈Sn g(x). Có hai khả năng xảy ra: trường hợp đầu tiên là ψP ∗(B ∗x0, l) = 0. Nếu B∗x0 = 0 ta đặt λ0 = 〈A∗x0, x0〉, ∆∗2 ≡ 0, ∆∗1x = 〈x, x0〉(〈A∗x0, x0〉x0 − A∗x0), với mọi x ∈ Rn. Khi đó với nhiễu ∆1 = (∆ ∗ 1) ∗,∆2 = (∆∗2) ∗, P˜ = P thì bộ (A + ∆1, B + ∆2, P˜ )như vậy sẽ không thỏa mãn 2 và −→ d (P, P˜ ) = 0 ≤ l, ‖[∆1,∆2]‖ = ∆∗1 ∆∗2  = ‖∆∗1‖ = g(x0). Nếu B∗x0 6= 0 thì ξP ∗(B∗x0) ‖B∗x0‖ ≤ l. Theo Bổ đề 2.1.1 ta có min{d(B∗x0, P ∗), d(−B∗x0, P ∗)} = ξP ∗(B∗x0) ≤ l‖B∗x0‖. Vì g(x0) = g(−x0) nên vai trò của x0 và −x0 như nhau. Do đó có thể giả sử d(B∗x0, P ∗) = min{d(B∗x0, P ∗), d(−B∗x0, P ∗)} ≤ l‖B∗x0‖. Điều này tương đương với d ( B∗x0 ‖B∗x0‖ , P ∗) ≤ l. Ta đặt P˜ ∗ = { t B∗x0 ‖B∗x0‖ : t ≥ 0 } , λ0 = 〈A∗x0, x0〉,∆∗2 ≡ 0, ∆∗1x = 〈x, x0〉(〈A∗x0, x0〉x0 − A∗x0), với mọi x ∈ Rn. 54 Khi đó với nhiễu ∆1 = (∆ ∗ 1) ∗,∆2 = (∆∗2) ∗, P˜ = (P˜ )∗ thì bộ (A+ ∆1, B+ ∆2, P˜ ) như vậy sẽ không thỏa mãn 2 và −→ d (P, P˜ ) ≤ l, ‖[∆1,∆2]‖ = g(x0). Trường hợp thứ hai là ψP ∗(B ∗x0, l) > 0. Suy ra ξP ∗(B ∗x0) ‖B∗x0‖ > l. Theo Bổ đề 2.1.1 ta có ξP ∗(B ∗x0) = √ ‖B∗x0‖2 − ( sup u∈SmP∗ |〈B∗x0, u〉| )2 = min { d(B∗x0, P ∗), d(−B∗x0, P ∗) } . Vì tính liên tục của tích vô hướng nên tồn tại e ∈ SmP ∗ để |〈B∗x0, e〉| = sup u∈SmP∗ |〈B∗x0, u〉| Không mất tổng quát có thể giả sử 〈B∗x0, e〉 = |〈B∗x0, e〉| ≥ 0 vì nếu không thay B∗x0 = −B∗x0. Đặt w = l ξP ∗(B∗x0) B∗x0 + ψP ∗(B ∗x0, l) ξP ∗(B∗x0) e. Bằng tính toán trực tiếp ta được ‖w‖ = 1, ‖B∗x0− w‖ = ψP ∗(B∗x0, l). Định nghĩa P˜ = {tw : t ≥ 0}, λ0 = 〈A∗x0, x0〉, ∆∗1x = 〈x, x0〉(〈A∗x0, x0〉x0 − A∗x0), với mọi x ∈ Rn, ∆∗2z = 〈z, x0〉〈B∗x0, w〉w, với mọi z ∈ Rn. Khi đó với nhiễu ∆1 = (∆ ∗ 1) ∗,∆2 = (∆∗2) ∗, P˜ = (P˜ )∗ thì bộ (A+ ∆1, B+ ∆2, P˜ ) như vậy sẽ không thỏa mãn 2 và −→ d (P, P˜ ) = l, ‖[∆1,∆2]‖ = g(x0). 55 Vậy r2(A,B, l) = g(x0) = inf x∈Sn √ ψP ∗(B∗x, l)2 + ‖A∗x‖2 − 〈A∗x, x〉2. Vì P˜ có phần trong khác rỗng nên hệ (A + ∆1, B + ∆2, P˜ ) không thỏa mãn điều kiện 1 trong Mệnh đề 2.1.4 tương đương với hệ không có ràng buộc (A + ∆1, B + ∆2) là không điều khiển được. Suy ra bán kính bảo toàn điều kiện 1 trong Mệnh đề 2.1.4 là µR(A,B). Do vậy r(A,B, l) = min{µR(A,B), r2(A,B, l)}. Định lý được chứng minh. Hệ quả 2.1.1. Giả sử tập tham số điều khiển không bị nhiễu, đó là l = 0. Khi đó bán kính điều khiển được của hệ (A,B, P ) khi A,B được cho nhiễu dạng A A+ ∆1, ∆1 ∈ Rn×n, B B + ∆2, ∆2 ∈ Rn×m, được cho bởi công thức r(A,B) = min{µR(A,B), inf x∈Sn √ ξP ∗(B∗x)2 + ‖A∗x‖2 − 〈A∗x, x〉2 }. Bây giờ, cho P là nón lồi đa diện trong Rm được định nghĩa bởi P = {x ∈ Rm : 〈x, ei〉 ≤ 0,∀i = 1, r}, (2.5) trong đó e1, e2, . . . , er ∈ Rm thỏa mãn ‖ei‖ = 1,∀i = 1, r. Khi đó P ∗ là nón lồi đa diện sinh bởi {−e1,−e2, . . . ,−er}, tức là P ∗ = {−(t1e1 + t2e2 + . . .+ trer) : t1, t2, . . . , tr ≥ 0}. 56 Cho nên ξP ∗(z) =  √ ‖z‖2 − max 1≤i≤r 〈z, ei〉2 nếu z 6∈ −P ∗ ∪ P ∗, 0 nếu z ∈ −P ∗ ∪ P ∗. Hệ quả 2.1.2. Với P là nón lồi đa diện xác định bởi (2.5), khi đó bán kính điều khiển được của hệ (A,B, P ) dưới nhiễu dạng (2.3) là rA,B(P ) = min λ∈σR(A∗) inf x∈Smλ √ ‖x‖2 − max 1≤i≤r 〈x, ei〉2, nếu σR(A ∗) 6= ∅ và đặt rA,B(P ) = 1 nếu σR(A∗) = ∅. Định lý 2.1.4. Bán kính điều khiển được của hệ (A,B, P ) dưới nhiễu dạng (2.4) trong đó A là ma trận đối xứng và P là nón lồi đa diện xác định bởi (2.5) khi được cho bởi công thức r(A,B, l) = min{µR(A,B), r2(A,B, l)}, ở đây µR(A,B) = inf λ∈R σmin[A− λI,B] và r2(A,B, l) = inf x∈Sn √ ψP ∗(B∗x, l)2 + ‖A∗x‖2 − 〈A∗x, x〉2, với ψP ∗(B ∗x, l) = √ (1− l2)(‖B∗x‖2 − max 1≤i≤r 〈B∗x, ei〉2)−l max 1≤i≤r |〈B∗x, ei〉| nếu B∗x 6∈ −P ∗ ∪ P ∗ và ψP ∗(B∗x, l) = 0 nếu ngược lại. Ví dụ 2.1.1. Xét hệ (A,B, P ) với A = 0 1 1 0  , B = 2 −3 0 2  , và P là nón dương trong R2 xác định bởi 2 véc tơ e1 = (−1 0 ) , e2 = ( 0 −1 ) , P = { x ∈ R2 : 〈x, e1〉 ≤ 0, 〈x, e2〉 ≤ 0}. 57 Ta có rank[A|B] = rank 2 −3 0 2 0 2 2 −3  = 2. Do đó điều kiện hạng Kalman được thỏa mãn. Dễ thấy σ(A∗) = σ(A) ={ 1;−1} và bằng tính toán trực tiếp ta được B∗(ker(A∗ − I)) = { α ( 2 −1 ) : α ∈ R } , B∗(ker(A∗ + I)) = { α ( 2 −5 ) : α ∈ R } . Do vậy B∗(ker(A∗± I))∩P ∗ = {0} nên điều kiện giá trị riêng được thỏa mãn. Ta có S21 = {( 2/ √ 3 −1/√3 ) , (−2/√3 1/ √ 3 )} , S2−1 = {( 2/ √ 29 −5/√29 ) , (−2/√29 5/ √ 29 )} . Vậy bán kính điều khiển được của hệ (A,B, P ) khi chỉ nón dương P bị nhiễu dạng (2.3) là rA,B(P ) = min {√ 1−max{2/3; 1/3} ; √ 1−max{4/29; 25/29}} = 2/ √ 29 ≈ 0.37. Bây giờ ta đi tính bán kính điều khiển được của hệ (A,B, P ) với nhiễu dạng (2.4). Vì A là ma trận đối xứng nên ta có µR(A,B) = µC(A,B) = inf λ∈C σmin[A− λI,B] = inf λ∈C √√√√√σmin  |λ|2 + 14 −2 Reλ− 6 −2 Reλ− 6 |λ|2 + 5  = inf λ∈C √ (imλ)2 + (Reλ)2 + 19/2− √ 4(Reλ+ 3)2 + 81/4 = inf t∈R √ t2 + 19/2− √ 4t2 + 24t+ 225/4 ≈ 1.14 (thực hiện tính toán bằng Maple). 58 Với độ nhiễu nón l = 1/4 = 0.25 < rA,B(P ) = 2/ √ 29 ≈ 0.37, sử dụng công thức trong Định lý 2.1.4 ta được r2(A,B, 0.25) = min{r1, r2, r3}, với r1 = inf 0≤x≤2y/3 x2+y2=1 {√ 1− 4x2y2} = 5/13 ≈ 0.38, r2 = inf 0≤x,0≤y x2+y2=1 {√(√ 15/4 x− (1/4)(3x+ 2y))2 + 1− 4x2y2} = inf 0≤t≤1 {√ 4t4 − 12 √ 15− 1 16 t2 − 2 √ 15− 3 4 t √ 1− t2 + 5 4 } ≈ 0.41 (thực hiện tính toán bằng Maple), r3 = inf 0≤2y/3≤x≤2y x2+y2=1 {√(√ 15/16 (3x− 2y)− (1/2) x)2 + 1− 4x2y2} = inf√ 4/13≤t≤ √ 4/5 √ 4t4 − 12 √ 15− 15 16 t2 − 45− 2 √ 15 4 t √ 1− t2 + 19 4 ≈ 0.18 (thực hiện tính toán bằng Maple). Do vậy r2(A,B, 0.25) = min{0.41; 0.38; 0.18} = 0.18 và r(A,B, 0.25) = min{rR(A,B); r2(A,B, 0.25)} = min{1.14; 0.18} = 0.18. 2.2 Bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính dưới các nhiễu cấu trúc Các kết quả trong mục này đã được đăng trong tạp chí Vietnam Journal of Mathematics [16] và báo cáo tại hội thảo "International Workshop on 59 Differential and Difference Equations: Theory, Numerics and Applica- tions, Hanoi and Halong 29-31/10/2009". Bây giờ chúng tôi đưa ra các kết quả mới để tính toán bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính dưới nhiễu cấu trúc. Chìa khóa của kĩ thuật là lý thuyết toán tử tuyến tính đa trị trong biểu diễn phương trình và ma trận được gắn kết trong tính toán. Để dễ theo dõi, chúng tôi sẽ đưa ra một số khái niệm và kết quả đã được biết đến của các toán tử tuyến tính đa trị, có thể xem trong [6]. Cho F : Kn ⇒ Km là một toán tử đa trị, ở đây K bằng R hoặc C. Nếu đồ thị của F được định nghĩa bởi grF = {(x, y) ∈ Kn ×Km : y ∈ F(x)}, là một không gian con tuyến tính của Kn × Km thì F được gọi là một ánh xạ đa trị tuyến tính. Khi đó chuẩn của F được định nghĩa bởi ‖F‖ = sup{d(0,F(x)) : x ∈ dom(F), ‖x‖ = 1}, ở đây dom(F) = {x ∈ Kn : F(x) 6= ∅}. Cho một toán tử đa trị tuyến tính F : Kn ⇒ Km, khi đó toán tử liền hợp F∗ : Km ⇒ Kn được định nghĩa bởi F∗(v) = {u ∈ Km : 〈x, u〉 = 〈y, v〉 với mọi (x, y) ∈ grF}, và toán tử nghịch đảo F : Km ⇒ Kn được định nghĩa bởi F−1(y) = {x ∈ Kn : y ∈ F(x)}. Dễ thấy F∗ và F−1 cũng là các toán tử đa trị tuyến tính và ta có (F∗)−1 = (F−1)∗, ‖F‖ = ‖F∗‖. (2.6) 60 Có thể chứng minh rằng F là toàn ánh tương đương với F∗ là đơn ánh (cụ thể (F∗−1(0) = 0), hoặc tương đương với F∗−1 là đơn trị. Cho F : Kn ⇒ Km,G : Km ⇒ Kl là các toán tử đa trị tuyến tính. Khi đó toán tử GF : Kn ⇒ Kl được định nghĩa bởi GF(x) = G(F(x)) cũng là một toán tử đa trị tuyến tính, hơn nữa nếu Im(F) ⊂ dom(G) hoặc Im(G∗) ⊂ dom(F∗) thì ta có ‖GF‖ ≤ ‖G‖‖F‖, (GF)∗ = F∗G∗. (2.7) Bây giờ chúng ta xét hệ điều khiển tuyến tínhx˙ = Ax+Bu,x(0) = x0, (2.8) ở đây A ∈ Kn×n, B ∈ Kn×m và u ∈ Km là điều khiển, với K bằng R hoặc C. Giả sử hệ là điều khiển được và các ma trận A và B được cho nhiễu cấu trúc dưới dạng [A,B] [A,B] +D∆E, (2.9) với D ∈ Kn×r, E ∈ Kl×(n+m) là các ma trận tham số và ∆ ∈ Kr×l là nhiễu. Định nghĩa 2.2.1. Bán kính điều khiển được của hệ (2.8) dưới nhiễu cấu trúc dạng (2.9) được định nghĩa bởi rD,EK (A,B) = inf{‖∆‖ : ∆ ∈ Kr×l t.m. [A˜, B˜] = [A,B]+D∆E không đ. k. đ.}, với ‖ · ‖ là chuẩn phổ của các ma trận. Định lý 2.2.1. Bán kính điều khiển được của hệ (2.8) dưới nhiễu cấu trúc dạng (2.9) được cho bởi công thức rD,EC (A,B) = 1 supλ∈C ‖EW−1λ D‖ , (2.10) 61 ở đây Wλ được kí hiệu là ma trận [A− λI,B]. Chứng minh. Bởi điều kiện Hautus, cặp (A,B) tương ứng với hệ (2.8) là điều khiển được, đó là rankWλ = rank[A− λI,B] = n với mọi λ ∈ C. Điều này tương đương với W ∗λ là đơn ánh với mọi λ ∈ C. Giả sử cặp (A˜, B˜) xác định bởi [A˜, B˜] = [A,B] +D∆E là không điều khiển được với ∆ nào đó thuộc Cr×l. Điều này dẫn tới tồn tại một λ0 ∈ C sao cho Wλ0 + D∆E không là toàn ánh. Do đó tồn tại x0 ∈ Cn để W ∗λx0 + E∗∆∗D∗x0 = 0. Vì W ∗−1λ0 là đơn trị nên x0 = −W ∗−1λ0 E∗∆∗D∗x0 và D∗x0 6= 0. Từ đó tác động D∗ vào cả hai vế ta thu được D∗x0 = −D∗W ∗−1λ0 E∗∆∗D∗x0. Do đó, bởi (2.7), ta có ‖D∗x0‖ ≤ ‖D∗W ∗−1λ0 E∗‖ ‖∆∗‖ ‖D∗x0‖. Sử dụng (2.6) ta được ‖∆‖ = ‖∆∗‖ ≥ 1‖D∗W ∗−1λ0 E∗‖ = 1 ‖EW−1λ0 D‖ ≥ 1 supλ∈C ‖EW−1λ D‖ . Bất đẳng thức này đúng cho bất kì ma trận ∆ ∈ Cr×l nào phá vỡ tính điều khiển được, bởi vậy từ Định nghĩa 2.2.1 ta thu được rD,EC (A,B) ≥ 1 supλ∈C ‖EW−1λ D‖ . 62 Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trường hợp supλ∈C ‖EW−1λ D‖ = 0 thì hiển nhiên đúng, xét supλ∈C ‖EW−1λ D‖ > 0 và dãy {λn} thỏa mãn 1 ‖EW−1λn D‖ ≤ 1 supλ∈C ‖EW−1λ D‖ + 1 n . Do đó ‖D∗W ∗−1λn E∗‖ = ‖EW−1λn D‖ > 0. Suy ra có tồn tại xn ∈ dom(D∗W ∗−1λn E∗) thỏa mãn ‖xn‖ = 1 và |D∗W ∗−1λn E∗xn‖ = ‖D∗W ∗−1λn E∗‖ = ‖EW−1λn D‖. Đặt yn = −W ∗−1λn E∗xn 6= 0, xây dựng ∆∗nu = 〈u,D∗yn〉 ‖D∗yn‖2 xn, ‖∆n‖ := (∆ ∗ n) ∗. Khi đó ta được ‖∆n‖ = 1‖EW−1λn D‖ và W ∗λnyn = −E∗∆∗nD∗yn. Do đó hệ (A˜n, B˜n) được xác định bởi [A˜n, B˜n] = [A,B] +Dn∆nEn là không điều khiển được. Bởi vậy rD,EC (A,B) ≤ ‖∆n‖ = 1 ‖EW−1λn D‖ ≤ 1 supλ∈C ‖EW−1λ D‖ + 1 n . Cho n → ∞ ta thu được bất đẳng thức ngược lại. Chứng minh hoàn thành. Chú ý rằng nếu xét về mặt tính toán thì chuẩn của toán tử đa trị EW−1λ D trong công thức (2.10) không có một biểu diễn hiển. Vì vậy các hệ quả sau được đưa ra để việc tính toán được thực hiện tốt hơn trong những trường hợp cụ thể. 63 Hệ quả 2.2.1. Giả sử D ∈ Cn×n và E ∈ C(n+m)×(n+m) là các ma trận không suy biến. Khi đó bán kính điều khiển được của hệ (A,B) dưới nhiễu cấu trúc dạng (2.9) được cho bởi công thức rD,EC (A,B) = inf λ∈C σmin[D −1WλE−1], với Wλ được kí hiệu là ma trận [A− λI,B]. Chứng minh. Đặt Gλ = D −1WλE−1. Suy ra rankGλ = n và G−1λ = EW−1λ D. Ta có 1 ‖G−1λ ‖ = 1 ‖G∗−1λ ‖ = inf x 6=0,x∈dom(G∗−1λ ) ‖x‖ ‖G∗−1λ x‖ = inf y 6=0 ‖G∗λy‖ ‖y‖ = inf‖y=1‖ ‖G ∗ λy‖ = inf ‖y‖=1 √ 〈y,GλG∗λy〉 = √ σmin[GλG∗λ] = σmin[Gλ]. Do vậy, từ Định lý 2.2.1 rD,EC (A,B) = 1 supλ∈C ‖G−1λ ‖ = inf λ∈C σmin[Gλ] = inf λ∈C σmin[D −1WλE−1]. Hệ quả trên là mở rộng của công thức Eising, rC(A,B) = inf λ∈C σmin[A − λI,B], xem [26]. Hệ quả 2.2.2. Giả sử E∗E(kerWλ) ⊂ kerWλ với mọi λ ∈ C. Khi đó bán kính điều khiển được của hệ (A,B) dưới nhiễu cấu trúc dạng (2.9) được cho bởi công thức rD,EC (A,B) = 1 supλ∈C ‖EW †λD‖ , ở đây W †λ = W ∗ λ(WλW ∗ λ) −1 được kí hiệu là giả ngược Moore-Penrose của ma trận Wλ. 64 Chứng minh. Ta có WλW † λDx = WλW ∗ λ(WλW ∗ λ) −1Dx = Dx. Suy ra W †λDx ∈ W−1λ Dx và W−1λ Dx = W †λDx+ kerWλ. Do đó EW−1λ Dx = EW † λDx+ E kerWλ, với mọi x ∈ Cr. Vì E∗E(kerWλ) ⊂ kerWλ nên với mọi u ∈ kerWλ thì 〈EW †λDx,Eu〉 = 〈W †λDx,E∗Eu〉 = 〈(WλW ∗λ)−1Dx,WλE∗Eu〉 = 0. Điều này dẫn tới d(0, EW−1λ Dx) = ‖EW †λDx‖ với mọi x ∈ Cr. Do vậy ‖EW−1λ D‖ = ‖EW †λD‖, với mọi λ ∈ C. Từ Định lý 2.2.1 suy ra rD,EC (A,B) = 1 supλ∈C ‖EW−1λ D‖ = 1 supλ∈C ‖EW †λD‖ . Tiếp theo chúng ta xét hệ (A,B) dưới nhiễu cấu trúc hạn chế chỉ trên A hoặc chỉ trên B dạng A A+D∆E, (2.11) hoặc B B +D∆E. (2.12) Hệ quả 2.2.3. Bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính (A,B) dưới nhiễu dạng (2.11) được cho bởi công thức rD,EC (A) = 1 supλ∈C ‖E(A− λI)−1FB(D)‖ , và dưới nhiễu dạng (2.12) được cho bởi công thức rD,EC (B) = 1 supλ∈C ‖EB−1FA−λI(D)‖ , ở đây FG(H) được định nghĩa bởi FG(H)(x) = H(x) + Im(G). 65 Chứng minh. Ta có [A+D∆E,B] = [A,B]+D∆[E, 0]. Do vậy bởi Định lý 2.2.1 ta có rD,EC (A) = r D,[E,0] C (A,B) = 1 supλ∈C ‖[E, 0]W−1λ D‖ . Mặt khác, [E, 0]W−1λ Dx = { [E, 0] ( u v ) : Wλ ( u v ) = Dx } = { Eu : (A− λI)u ∈ Dx+ Im(B)} = E(A− λI)−1FB(D)(x) với mọi x. Do vậy rD,EC (A) = 1 supλ∈C ‖E(A− λI)−1FB(D)‖ . Tương tự ta cũng thu được rD,EC (B) = 1 supλ∈C ‖EB−1FA−λI(D)‖ . Để minh họa kết quả công thức bán kính điều khiển được (2.10) trong Định lý 2.2.1 chúng ta có ví dụ sau. Ví dụ 2.2.1. Xét hệ điều khiển tuyến tính x˙(t) = Ax(t) +Bu(t) với A = 0 1 1 0  , B = 1 0  . Vì rank[A|B] = rank 1 0 0 1  = 2 nên bởi điều kiện hạng Kalman suy ra hệ này là điều khiển được. Giả sử ma trận [A,B] được cho nhiễu cấu trúc dưới dạng 0 1 1 1 0 0   δ1 1 + δ1 δ2 1 + δ1 δ1 1 + δ2  . 66 Nhiễu ở trên có thể viết lại trong dạng [A,B] [A,B] +D∆E với D = 1 1  , E = 1 1 0 0 0 1  . Khi đó E([A− λI,B]−1D(x) = {( x+ (λ+ 1)q (λ+ 1)x+ (λ2 − 1)q ) : q ∈ C } . Do vậy ‖E[A− λI,B]−1D‖ =  2√|λ− 1|2 + 1 nếu λ 6= −1, 1 nếu λ = −1. Bởi Định lý 2.2.1, chúng ta thu được rD,EC (A,B) = 1 2 . 67 Chương 3 Kết luận Trong luận văn này tôi đã trình bày: • Tính điều khiển của các hệ tuyến tính hữu hạn chiều, vô hạn chiều, hệ có ràng buộc điều khiển được lấy trong các tài liệu [1,10,12,14]. • Kết quả về bán kính điều khiển được của hệ có ràng buộc với miền tham số điều khiển chịu nhiễu đã được đăng trong VJM [15]. • Kết quả về bán kính điều khiển được của hệ điều khiển tuyến tính chịu nhiễu cấu trúc đã được đăng trong VJM [16]. Các hướng phát triển tiếp theo: • Mở rộng kết quả bán kính điều khiển được của hệ có ràng buộc với miền tham số điều khiển chịu nhiễu sang không gian vô hạn chiều. • Liên hệ với công thức bán kính điều khiển được của Karow và Kress- ner và xét tổng quát cho trường hợp đa nhiễu cấu trúc. • Nghiên cứu đa nhiễu cấu trúc sang các hệ có ràng buộc, hệ có chậm, hệ suy biến, các quá trình lồi. 68 Các công trình và báo cáo liên quan đến luận văn Các công trình: 1. Nguyen Khoa Son and Do Duc Thuan, Controllability radius of linear systems with perturbed control sets, Vietnam Journal of Mathemat- ics, 36:2(2008) 239-251. 2. Nguyen Khoa Son and Do Duc Thuan, Controllability radius of linear systems under structured perturbations, Vietnam Journal of Mathe- matics, 36:4(2008) 473-479. Các báo cáo: 1. Do Duc Thuan and Nguyen Khoa Son, Distance to uncontrollability for linear systems with restrained controls, Đại Hội Toán Học Toàn Quốc Lần Thứ 7, Quy Nhơn 4-8/8/2008. 2. Nguyen Khoa Son and Do Duc Thuan, Controllability radius of lin- ear systems under structured perturbations, International Workshop 69 on Differential and Difference Equations: Theory, Numerics and Ap- plications, Hanoi and Halong 29-31/10/2009. 70 Tài liệu tham khảo [1] Jerzy Zabczyk, Mathematical control theory: An introduction, Birkha¨user, Boston·Basel·Berlin, 1992. [2] E. Lee and P. Marcus, Foundations of the optimal control theory, Nauka, 1972. [3] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2001. [4] Phạm Kỳ Anh, Các phương pháp giải số bài toán điều khiển tối ưu, Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2001. [5] N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operator, Part I, Inter- science, New York, 1963. [6] Ronald Cross, Multi-valued Linear Operators, Marcel Dekker, New York, 1998. [7] W.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Sp- inger - Verlag, New York, 1978. [8] R.E. Kalman, Mathematical description of linear dynamical sys- tems, SIAM J. Control Optim., 1(1963) 152-192. 71 [9] M.L.J. Hautus, Controllability and observability conditions of lin- ear autonomous systems, Nederl. Acad. Wetensch. Proc. Ser. A72, 31(1969) 443-448. [10] Roberto Triggiani, Controllability and observability in Banach space with bounded operators, SIAM J. Control Optim., 13(1975) 462- 491. [11] Roberto Triggiani, Extensions of rank conditions for control- lability and observability to Banach space and unbounded operators, SIAM J. Control Optim., 14(1976) 313-338. [12] N.K. Son, Local controllability of linear systems with restrained controls in Banach space, Acta Math. Vietnamica, 5(1980) 78-87. [13] N.K. Son, Global controllability of linear autonomus systems: A geometric consideration, Systems & Control Letters, 6(1985) 207-212. [14] N.K. Son, A unified approach to constrained approximate control- lability for the heat equations and the retarded equations, Journal of mathematical analysis and applications, 150(1990) 1-19. [15] N.K. Son and D.D. Thuan, Controllability radius of linear sys- tems with perturbed control sets, Vietnam Journal of Mathematics, 36:2(2008) 239-251. [16] N.K. Son and D.D. Thuan, Controllability radius of linear sys- tems under structured perturbations, Vietnam Journal of Mathemat- ics, 36:4(2008) 473-479. 72 [17] N.K. Son and D.D. Thuan, The structured distance to uncon- trollability under multi-perturbations: An approach using multivalued operators, submitted to Systems & Control Letters (2009). [18] M. Karow and D. Kressner, On the structured distance to uncontrollability, Systems & Control Letters, 58(2009) 128-132. [19] D. Hinrichsen and A.J. Pritchard, Stability radii of linear systems, Systems & Control Letters, 7(1986) 1-10. [20] D. Hinrichsen and A.J. Pritchard, Real and complex stability radii: A survey, Progr. systems control theory, Birkha¨user, Boston, 6(1990) 119-162. [21] P.H.A. Ngoc, N.K. Son, Stability radii of positive linear func- tional differential equations under multi-perturbations, SIAM J. Con- trol Optim., 43(2005) 2278-2295. [22] P.H.A. Ngoc, Stability radii of positive linear Volterra-Stieltjes equations, J. Differential Equations, 243(2007) 101-122. [23] N.H. Du and V.H. Linh, Stability radii for linear time-varying differential–algebraic equations with respect to dynamic perturbations, J. Differential Equations, 230(2006) 579-599. [24] N.H. Du, Stability radii of differential algebraic equations with structured perturbations, Systems & Control Letters, 57(2008) 546- 553. [25] S. Robinson, Stability theory for systems of inequalities, II. Differ- entiable nonlinear systems, SIAM J. Numer. Anal., 13(1976) 479-513. 73 [26] R. Eising, Between controllable and uncontrollable, Systems & Con- trol Letters, 5(1984) 263-264. [27] A. Lewis, R. Henrion, and A. Seeger, Distance to uncontrol- lability for convex processes, SIAM J. Control Optim., 45(2006), pp. 26-50. [28] E. Mengi, On the estimation of the distance to uncontrollability for higher order systems, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 30(2006) 154-172. [29] M.Gu, New methods for estimating the distance to uncontrollability, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 21(2000) 392-415. [30] M. Gu, E. Mengi, M.L. Overton, J. Xia, and J. Zhu, Fast methods for estimating the distance to uncontrollability, SIAM J. Ma- trix Anal. Appl., 28(2006) 477-502. [31] R.A. Decarlo and M. Wicks, Computing the distance to an uncontrollable system, IEEE Trans. Automat. Control, 36(1991) 39- 49. [32] G. Hu and E.J. Davison, Real controllability/stabilizability radius of LTI systems, IEEE Trans. Automat. Control, 49(2004) 254-157. [33] M.G. Krein and M.A. Rutman, Linear operators leaving invari- ant a cone in Banach space, Uspehi Mat. Nauk, 3(1948) 3-95. [34] A. Bacciotti, Linear systems with piecewise constant controls, Boll. Un. Mat. Ital., 18(1981) 102-105. [35] V.I. Korobov and R. Rabah, Exact controllability in Banach spaces, Differentsial’nye Uravneniya, 15(1979) 2142-2150. 74 [36] B. Shklyar, Hautus type controllability conditions by control con- straints for distributed systems, Nonlinear analysis, Theory, Method & Applications, 30(1997) 2653-2663. 75