Luận văn Tính ổn định của Hệ phương trình vi phân đại số

lide được sử dụng. Ta gọi dK là bán kính ổn định có cấu trúc của bộ bốn ma trận {A , B, E , F} Nếu K ta gọi d là bán kính ổn định phức, còn nếu K ta gọi d là bán kính ổn định thực. Tương tự như phương trình vi phân thường, ta đặt 1 G s F sA B E và ta sẽ chứng minh rằng 1 sup s d G s  Trước hết, ta chứng minh 1 sup s d G s  www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Lấy V bất kỳ, khi đó xảy ra hai trường hợp : (i) Cặp ,A B E F là chính quy. Ta lấy tuỳ ý một giá trị ,s A B E F , sao cho Res ≥ 0. Giả sử rằng x 0 là một vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng s, tức là sA B E F x 0. Điều này tương đương với 1 x sA B E Fx , từ đó ta suy ra 1 .Fx F sA B E Fx G s Fx Vì vậy, 1 1 sup , s G s G s   V Do đó, 1 sup s d G s  (ii) Cặp ,A B E F là không chính quy, khi đó s  ta có det sA B E F 0, tức là đa thức det sA B E F 0, s , do đó với mọi s  luôn tồn tại vectơ x 0 sao cho sAx B E F x 0. Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh được 1 sup s d G s  . Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại 1 sup s d G s  Với mỗi >0, ta tìm giá trị 0s  sao cho 11 0 sup s G s G s  www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Khi đó tồn tại pu  : 1u và 0 0G s u G s . Theo một hệ quả của định lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính *y xác định trên *: 1q y và * 0 0 0 .y G s u G s u G s Đặt 1 * 0 . p qG s uy  Rõ ràng, 1 1 * 0 0 0 0 0.G s u G s uy G s u G s u G s u Vì vậy, 1 0G s . Mặt khác, từ 1 * 0G s uy ta có 1 0G s u . Kết hợp hai bất đẳng thức ta có 1 0 .G s Hơn nữa, từ 0G s u u ta nhận được 0E G s u Eu 0. Đặt 1 0x s A B Eu , khi đó 0s A B x Eu . Vậy 0E Fx s A B x , hay là 0s A B E F x 0. Điều đó có nghĩa là, 0 ,s A B E F , hoặc cặp ,A B E F không chính quy. Do đó, hệ '( ) - ( )Ax t B E F x t 0 không ổn định tiệm cận hoặc không chính quy. Nghĩa là, .V Mặt khác, ta có, 11 0 sup s d G s G s  . Vì là bé tuý ý, nên 1 sup s d G s  . Do đó, 1 sup s d G s  . Để ý rằng, hàm G s là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng  . Do đó theo nguyên lý cực đại, G s đạt cực đại tại s hoặc trên biên i . www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Vậy, 1 sup s i d G s  . Sau đây, ta sẽ thấy rằng, nếu 0s  sao cho 0 sup s G s G s  thì 11 0 max ,s d G s G s  và ma trận 1 1 * 0 ,F s A B E uy sẽ là ma trận “xấu” với d . Trường hợp hàm G s không đạt được giá trị lớn nhất tại một điểm hữu hạn s thì lập luận trên không cho phép ta tìm được ma trận “xấu” sao cho d như trong bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân thường (ngay cả khi chúng ta lấy giới hạn khi s ). Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng, nếu G s không đạt được giá trị lớn nhất trên  thì không có một ma trận nào thoả mãn điều kiện d và hệ '( ) - ( )Ax t B E F x t 0 là không ổn định tiệm cận. Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận như thế. Lấy 0 ,s A B E F  và x là vectơ riêng của nó, nghĩa là, 0s Ax B E F x 0. Lập luận như trên ta thấy 1 1 0 0sup s G s G s d  . Điều này là mâu thuẫn. Hơn nữa, giả sử ns  sao cho ns và lim sup .n s i G s G s  Giả sử n tương ứng với ns được xây dựng như trên, khi đó hệ 0'-Ax B E F x = 0 là ổn định. (Để ý rằng, chúng ta luôn có thể giả sử tồn www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 tại 0lim n n , vì nếu không, ta sẽ lấy một dãy con kn của dãy bị chặn n sao cho 0lim .k k nn ) Vì tập hợp các ma trận sao cho cặp ,A B E F có chỉ số 1 là mở nên ta suy ra chỉ số của 0,A B E F phải lớn hơn 1. Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, trong đó mE F I (nhiễu không cấu trúc). Như đã thấy, bán kính ổn định với nhiễu không cấu trúc là 1 sup s i d G s  , trong đó 1 .G s sA B Ta chứng minh rằng, nếu , 1ind A B k , thì ma trận hàm G(s) là không bị chặn trên i . Thật vậy, 1 1 1 -1 00 W 00 r m r BsI sA B T IsU G s 1 1 -1 1 0 W 0 r m r sI B T sU I 1 1 -1 1 0 0 W 0 r k i i sI B T sU khi s Tính không bị chặn của G s kéo theo d = 0. Nghĩa là với những nhiễu dù rất nhỏ, thì phương trình vi phân đại số với chỉ số lớn hơn hay bằng 2 có thể không còn ổn định tiệm cận được nữa. Nếu , 1ind A B , dễ dàng chứng minh được rằng , G s là bị chặn trên  , nghĩa là d > 0 nhưng có thể không tồn tại một ma trận “xấu” nào, sao cho d . Ta có định lý sau đây www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Định lý 2.1.2. i) Bán kính ổn định phức của (2.1.1) được cho bởi công thức 1 sup s i d G s  , trong đó 1 .G s F sA B E ii) Tồn tại ma trận “xấu” : d khi và chỉ khi G s đạt được giá trị lớn nhất trên i . iii) Trong trường hợp , mE F I d 0 khi và chỉ khi ,ind A B 1. Một câu hỏi đặt ra ở đây, khi nào thì hàm G s đạt được giá trị lớn nhất tại một giá trị hữu hạn 0s ? Chú ý đầu tiên là, câu trả lời phụ thuộc vào việc chọn chuẩn của m vì G s có thể đạt được giá trị lớn nhất trong chuẩn này nhưng không đạt giá trị lớn nhất trong một chuẩn khác. Chúng ta có thể trả lời câu hỏi bằng cách khảo sát hàm số, nhưng ta không thực hiện ở đây. Các ví dụ Trong các ví dụ sau đây, để đơn giản trong tính toán, chúng ta sử dụng chuẩn maximum của vectơ và chuẩn ma trận tương thích. Ví dụ 2.1.3. Tính bán kính ổn định của hệ phương trình với nhiễu cấu trúc '( ) - ( )Ax t B E F x t 0 trong đó là nhiễu và 1 0 1 0 1 1 , 0 0 0 A 2 1 0 1 1 0 , 1 0 1 B 1 1 1 1 1 1 , 0 0 0 E 1 0 0 0 1 0 . 0 0 1 F www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Ta thấy ,ind A B 2, 1 , 3 A B . Do đó {A,B} là ổn định tiệm cận. Tính toán trực tiếp, ta nhận được 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 . 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 s s s s s s s s s G s F sA B E s s s s s s s s s Vậy, 3 1 1 3max , 3 1 s s s G s s đạt được max tại 0s = 0 và 0G 3. Vì vậy, 1 . 3 d Chọn 1 1 1 u thì 0 0G u G3. Giả sử * 0 1 0y và ta có: 1 * 1 0 0 3 1 0 0 0 . 3 1 0 0 3 G uy Hơn nữa, det 2sA B E F s 0 khi s 0. Ví dụ 2.1.4. Xét phương trình '( ) - ( )Ax t Bx t 0, trong đó 1 2 2 4 A và 1 2 . 2 0 B Rõ ràng ,ind A B 1 ,A B -1 và 1 1 1 2 1 1 2 4 s sG s sA B www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 vì vậy, 3 1 ax , 4 2 1 s G s m s không đạt được giá trị lớn nhất trên  . Hơn nữa, 3 lim 2s G s nên ta suy ra 2 3 d . Chọn 2 1 1 s i u s rõ ràng u 1 và G s u G s khi phần thực của s đủ lớn. Với * 1 0 ,y ta có 1 *G s uy hội tụ về 2 0 3 2 0 3 khi s . Dễ thấy, 8 det , 3 sA B s nghĩa là ,A B và phương trình '( ) - ( )Ax t B x t 0. Tức là hệ ' ' 1 2 1 2 ' ' 1 2 1 5 2 2 0, 3 4 2 4 0, 3 x x x x x x x có duy nhất nghiệm 1 2 0 0 x x vẫn ổn định tiệm cận, nghĩa là nhiễu ta vừa chọn không “xấu”. 2.2. Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số Trong mục này, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt, khi d d  . Đối với phương trình vi phân đại số, đây là một bài toán không đơn giản, vì dưới ảnh hưởng của cặp ma trận {A,B}, nón dương n có thể không còn bất biến www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 đối với quỹ đạo của hệ, ngay cả khi A, B đều dương. Trong luận văn này, chúng tôi chỉ có thể giải bài toán với những giả thiết rất chặt. Giả sử rằng , , .m m mA B E F I Định nghĩa 2.2.1. i) Ma trận ij m mH  được gọi là dương, ký hiệu H > 0, nếu ij 0, , .i j ii) Ma trận ij m mH  được gọi là không âm, ký hiệu H 0, nếu ij 0, , .i j iii) Giá trị tuyệt đối của ma trận ij ,M m ký hiệu M , là ma trận ij ,m tức là M = ij ,m với 1 2, ,..., .mx x x x Trong m m ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau. Định nghĩa 2.2.2. i) Ma trận M được gọi là lớn hơn hoặc bằng ma trận N, ký hiệu là ,M N nếu M N 0. ii) Số , ax Re : ,A B m A B được gọi là hoành độ phổ của cặp ma trận {A,B} Chúng ta xét phương trình '( ) - ( )Ax t Bx t 0, (2.2.1) trong đó A, B là các ma trận hằng cấp m m , cặp {A,B} là chính quy. Nếu ,ind A B 1, thì d d  0, vì ta có thể lấy nhiễu thực nhỏ tuỳ ý và “xấu” V , sao cho bé tuỳ ý .Vì vậy ta chỉ xét trường hợp ,ind A B 1. Ta đưa ra các giả thiết sau i) A 0. ii) 1 , 0, : 0, .n n n nt t t t A B n (2.2.2) www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 iii) Hệ (2.2.1) ổn định tiệm cận. Chú ý rằng, nếu det A 0 thì các điều kiện trên đảm bảo cho (2.2.1) là hệ dương. Để bài toán đơn giản, ta sẽ chọn một chuẩn đơn điệu trong m , tức là nếu các vectơ x và y thoả mãn ,x y thì .x y (Ví dụ 1 1 , 1 m pp ip i x x p là chuẩn đơn điệu.) Bổ đề 2.2.3. Giả sử hệ (2.2.1) thoả mãn các điều kiện (2.2.2), khi đó với mọi sao cho Re ,A B ta có 1 1 .Re ,A B x A B x với mỗi mx  . Chứng minh Lấy ,nt t i sao cho , .nt t A B Theo giả thiết ,t A B , chúng ta phải chứng minh rằng 1 1 t i A B x tA B x mx  . Bằng tính toán đơn giản, ta có 11 11 . .n m n nt i A B t A B I t t i A t A B Đặt 1 n nG t t A B , ta nhận được 11 .n m n nt i A B G t I t t i AG t = 0 . n n n n n n G t t t i AG t (2.2.3) Chuỗi trên hội tụ tuyệt đối, nếu chúng ta chứng minh được rằng 1n nt t i r AG t , ở đây r M là bán kính phổ của M. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Trước tiên, ta thấy lim .n n nt t t t i t Do đó, với , 0t A B chúng ta có ,n nt t t i t A B , với nt đủ lớn, nghĩa là , .n nt A B t t i Mặt khác, nhờ giả thiết i) và ii) ta có nAG t là ma trận không âm, theo định lý Perron–Frobenius ta có n n nr AG t AG t AG t (với nAG t dương). Tức là, det 0n nr AG t I AG t . Nhân cả hai vế với 1 1 .n n G t r AG t ta được 1 det 0n n t A B r AG t Điều đó, chỉ xảy ra khi 1 ,n n t A B r AG t . Do đó, 1 , .n n t A B r AG t Thay ,n nt A B t t i và nhân lên ta được 1n nt t i r AG t . Để ý rằng nếu nr AG t = 0 bất đẳng thức trên vẫn đúng. Nghĩa là 1n nt t i r AG t luôn đúng với nAG t là ma trận không âm. Như vậy ta đã chứng minh được chuỗi (2.2.3) hội tụ tuyệt đối. Từ (2.2.3) ta có 1 0 nn n n n n t i A B x G t t t i AG t x www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 = 1 n m n nG t I t t i AG t x = 1 n nt t t i A B x Cho nt , ta nhận được 1 1 t i A B x tA B x  Bổ đề 2.2.4. 1 0, , .G t tA B t A B Hơn nữa G t đơn điệu giảm trên , ,A B . Chứng minh Giả sử 0 ,t A B . Sử dụng bổ đề 2.2.3, ta thấy rằng 0 0 0ReG t G t G t , do đó 0 0G t . Sự đơn điệu giảm của G t trên , ,A B , được suy ra từ chứng minh trên và từ ,s t A B ta có 0G s G t t s G s AG t .  Vì hàm G s là giải tích trên  , nên G s chỉ có thể đạt được giá trị lớn nhất tại s hoặc s i . Hơn nữa, với chuẩn đơn điệu được chọn như trong Bổ đề 2.2.3, G s đạt được giá trị lớn nhất trên 0, ) . Mặt khác, nhờ Bổ đề 2.2.4, G s đạt được giá trị lớn nhất tại 0s , tức là 10 ax G :Re 0 .G m B Từ định lý Perron - Frobenius, 0, 1: 0 0 ,u u G u G nhờ sử dụng định lý Hahn - Banach ta suy ra tồn tại một phiếm hàm tuyến tính *y sao cho * 0 0 0y G u G u G , và * 1y . www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 Giả sử 1 *0G uy , bằng con đường như trong mục 2.1, chúng ta có thể chỉ ra rằng V (tức là là ma trận thực, "xấu") và d . Ta đã chứng minh được định lý dưới đây. Định lý 2.2.5. Giả sử hệ (2.2.1) thỏa mãn các giả thiết i), ii), iii) và chuẩn đơn điệu trong m đã được chọn, khi đó bán kính ổn định phức và bán kính ổn định thực là bằng nhau, nghĩa là d d  . Như đã nói ở trên, giả thiết dương của nG t đối với một dãy nt là mạnh và rất khó kiểm chứng. Ta cần đưa ra một điều kiện đủ, để đảm bảo các giả thiết trên. Định nghĩa 2.2.6. Giả sử hệ (2.2.1) tồn tại nghiệm x t thỏa mãn điều kiện 0 0x t x . Hệ (2.2.1) được gọi là hệ dương nếu với mỗi 0 mx  , ,..., : 0, 1,2,..., 1 2 y y y y y i m m i , nghiệm 0, 0.x t t Giả sử Q là một phép chiếu bất kỳ lên Ker A. Đặt   1 ; mQ Q A BQ B P I Q và   1B P A BQ B . Khi đó, hệ (2.2.1) tương đương với hệ    ' 0, 0, Px BPx Qx Ta biết rằng, ở đây, khi  0Qx thì     + , ' + ' '.Px Qx x Px Qx x Do đó hệ (2.2.1) tương đương với hệ   ' - 0, 0, x Bx Qx (2.2.4) Để ý rằng, 1G BQ Q do đó   BP PB B, ngoài ra  Q không phụ thuộc và việc chọn phép chiếu Q và    1 1 P A BQ P A BQ , do đó B không phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu Q (xem [9], [17]). www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Định nghĩa 2.2.7. Ma trận B được gọi là ma trận P - metzler nếu các phần tử  ijb của B là không âm, có thể trừ các phần tử  ijb ứng với i,j sao cho  ij 0p . Định lý 2.2.8. Hệ (2.2.1) là dương khi và chỉ khi   ij 0P p và B là ma trận P - metzler. Chứng minh Ta thấy hệ (2.2.1) dương khi và chỉ khi hệ (2.2.4) dương. Từ hệ (2.2.4) suy ra nghiệm tổng quát của hệ (2.2.1) là   0 t Bx t e Px . Vậy điều kiện hệ (2.2.1) dương, kéo theo  0P (với t = 0). Mặt khác, với t đủ nhỏ ta có:     0 0 ! n t B n tB e P P n     0 ! n n tB P P tB o t n khi 0t Suy ra, nếu  ij 0p thì  ij 0b . Ngược lại, nếu B là ma trận P - metzler và chú ý rằng   BP PB B, nên với mỗi sao cho   0P B , chúng ta có:       tP t B P tBe P e P =    . t B P tPe e P =      0 ! n t B P n tP Pe P n =     0 ! n t B P n t Pe P n =   . 0Bt Pte e P www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Định lý 2.2.9. Giả sử rằng hệ (2.2.1) là dương, thêm vào đó   1 0P A BQ và   1 0Q A BQ . Khi đó, 1 0, 0G t tA B t . Chứng minh Chú ý rằng:    1 1 A BQ tA B tP A BQ B =   tP Q B =         mm Q P tI B t Q P tI P tQ B t . Vậy   1 1 1 G t A BQ tA B A BQ =     1 1 m Q P tI B A BQ t =       1 11 1 m mtI B P A BQ t tI B Q A BQ =      1 11 mtI B P A BQ Q A BQ . (2.2.5) Vì B là P - metzler nên có một giá trị 0t sao cho 0t t ta có     1 1 1 m m B tI B P I P t t =   0 11 ! n n B P t t n www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 =   1 11 1 ! n n B P t t t n =  1 1 0 B P o t t t , khi t đủ lớn. Vậy với giả thiết   1 0P A BQ và   1 0Q A BQ , hệ thức (2.2.5) nói lên rằng 00,G t t t . Lặp lại chứng minh của Bổ đề 2.2.4. ta suy ra 00,G t t  Ngoài ra, dễ dàng đưa ra một ví dụ, trong đó một hệ dương, nhưng giải thức 1 tA B lại không dương. Tới lúc này, ta vẫn không biết nếu các điều kiện hệ dương được đảm bảo thì d d  hay là không? Câu trả lời vẫn còn là bài toán mở. Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, đặc trưng cho sự khác nhau giữa hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân đại số. Định lý 2.2.10. Nếu max s i G s  không đạt được tại một giá trị hữu hạn s thì d d  . Chứng minh Từ (2.2.5) chúng ta thấy:   1 ,, lim lim t ts s G s G t Q A BQ  ax , s m G s  trong đó Q , B được cho như trong (2.2.4). Giả sử nt là một dãy trong 0, sao cho lim nn t . Với mỗi n ta chọn m nu  và * n y với * T m ny  sao cho www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 *1; 1,n n n n nu y G t u G t và * n n n ny G t G t u như trong mục 2.1.2. Giả sử * 1 n nn nG t u y . Rõ ràng nt là một giá trị riêng của cặp , nA B với vectơ riêng tương ứng 1 n n nx t A B u . Nghĩa là n V . Dễ thấy rằng 1 lim limn nn n G t d , tức là d d  . Ví dụ 2.2.11. Tính bán kính ổn định của hệ '- 0Ax Bx với 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A , 2 1 0 1 1 1 0 0 1 B Dễ thấy, , 1,ind A B 3 5 3 5 , ; 2 2 2 2 A B và  1 0 0 0 1 0 0 0 0 P ,  2 1 0 1 1 0 0 0 1 B Do vậy B là P - metzler. Hơn nữa,   1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Q A BQ ,   1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 P A BQ . Khi đó, 0G s với mỗi 0t và nó đạt được giá trị lớn nhất tại 0 0s với 1 1 1 0 1 2 2 0 0 1 G và 0G 5. Từ đó 1 5 d d  , trong đó 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 5 . www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 CHƢƠNG III BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHIỄU ĐỘNG Chương này xét bài toán tìm bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng ' , 0A t x t B t x t t (3.1) trong đó . 0, ;loc n nA L K , . 0, ;loc n nB L K , ,K R . Bài toán này đã được các tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh đề xuất và giải quyết trên tạp chí phương trình vi phân số 230 (năm2006) trang 579 – 599. Đây là sự phát triển của công trình [12] của Jacob. Ta giả sử A t là suy biến với mọi 0t và .KerA là liên tục tuyệt đối. Bên cạnh đó ta cũng giả sử rằng (3.1) sinh ra một toán tử ổn định mũ , 0 , t s t s , nghĩa là tồn tại hai hằng số dương M và sao cho , n n t s t s Me K , 0t s (3.2) Ta xét hệ (3.1) phụ thuộc vào sự nhiễu về cấu trúc có dạng ' . .A t x t B t x t E t F x t , 0t (3.3) trong đó . 0, ; n mE L K và . 0, ; q n F L K là những ma trận cho trước, xác định cấu trúc nhiễu và 0, ; 0, ;p p qmL LK K là toán tử nhiễu chưa biết, được giả sử là tuyến tính, có tính động và là nhân quả. Thành công lớn nhất của Jacob là việc tìm ra công thức bán kính ổn định đăng trong [12]. Trong công trình đó tác giả đã nghiên cứu về hệ hiện, đó là trường hợp đặc biệt của (3.1) với A = I và cũng đã thành công trong việc chứng minh bán kính ổn định bằng www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 0 0 0 0 1 0, ; , 0, ;0 sup : : , m q p p t t t L Lt t L L u t F t t s E s u s ds K KL (3.4) 3.1 Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên Ta xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính: ' , 0A t x t B t x t q t t (3.1.1) trong đó A, B đã cho như trên, 0, ;loc nq L K . Cho N t = KerA t , t. Khi đó với những giả thiết về .KerA nói trên, tồn tại Q t liên tục tuyệt đối trên N t , nghĩa là 0, ; n nQ C K , Q là khả vi hầu khắp nơi, 2Q Q , và Im , 0Q t N t t . Ta giả sử ' 0, ;loc n nQ L K . P = I - Q, trong đó P t được chiếu dọc theo N t . Hệ (3.1.1) được viết lại như sau 'A t Px t B t x t q t (3.1.2) trong đó : ' 0, ;loc n nB B AP L K . Ta định nghĩa G A BQ . Định nghĩa 3.1.1 (Xem [9, phần 1.2]) Phương trình vi phân đại số (3.1.1) được gọi là có chỉ số 1 nếu G t khả nghịch với hầu hết 0,t và 1 0, ;loc n nG L K . Giả sử hệ (3.1.1) có chỉ số 1. Chú ý rằng tính chất chỉ số 1 không phụ thuộc vào phép chiếu P Q (xem [9], [16]). Ta xét tính thuần nhất trong trường hợp 0q t và xây dựng toán tử Cauchy sinh bởi (3.1.1). Lấy: 1G A P , 1 1G B Q G BP và nhân cả hai vế của (3.1.2) với 1PG , 1QG , ta có 1 1 ' ' ,Px P PG B Px Qx QG BPx www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Như vậy hệ được chia làm hai phần: phần vi phân và phần đại số. Do đó ta cần phải chỉ ra được giá trị đầu của phần vi phân. Đặt u P x thì phần vi phân trở thành 1' 'u P PG B u (3.1.3) Phương trình này được gọi là phương trình vi phân thường (INHODE) của (3.1.1). Nhân cả hai vế của (3.1.2) với Q ta có ' 'Qu Q Qu Do đó INHODE (3.1.3) có các nghiệm không đổi thuộc 0Im P t và các nghiệm còn lại thuộc Im ,P t t . Giả sử 0 ,t s là toán tử Cauchy sinh bởi INHODE (3.1.3), nghĩa là 1 0 0 0 , ' , , , d dt t s P PG B t s s s I Khi đó, toán tử Cauchy sinh bởi hệ (3.1.1) được xác định bởi , , , , 0 d dt A t s B t s P s s s I và có thể cho bởi dạng 1 0, ,t s I QG B t t s P s Bằng các lý luận ở [9, phần 1.2], [16], nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu (IVP) của (3.1.1) với điều kiện đầu 0 0 0 00, 0P t x t x t (3.1.4) được cho bởi công thức biến thiên hằng số 0 1 1 0 0 0, , t t x t t t P t x t PG q d QG q t www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Chú ý 3.1.2 Tổng quát ta có, đẳng thức 0 0x t x với mỗi 0 nx K cho trước không thể xác định như bài toán giá trị ban đầu của ODEs. Tuy nhiên, với mỗi giá trị ban đầu liên hệ tới (3.1.1), (3.1.4) ta có 1 1 0 0 0 0 0x t I QG B t P t x QG q t 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định Từ giờ ta coi các giả thiết sau là đúng Giả thiết A1. Hệ (3.1) có chỉ số 1 và tồn tại 0, 0M sao cho 0 , , 0 t s t s P s Me t s Giả thiết A2. 1PG , 1QG và 1:sQ QG B căn bản bị chặn trong 0, Chú ý 3.2.1 Với những giả thiết trên ta có ngay một đánh giá sau 0 0 , , 1 esssup t s s s t t s I Q t t s P s Q t Me có nghĩa là (3.2) cố định với hầu hết các giá trị 0t s trong đó 0 : 1 esssup s t M Q t M Ngoài ra, nhờ tính bất biến của nghiệm của INHODE (3.1.3), ta có 0 0, , ,P t t s P t t s P s t s P s Ta cũng cần chú ý rằng các số hạng 1QG , sQ không phụ thuộc vào phép chiếu Q (xem [6], [16]) sau này chúng ta sẽ thấy rằng sự hạn chế tính bị chặn của 1PG , 1QG sẽ bị yếu đi một mức độ nào đó. Đầu tiên, khái niệm chỉ số được mở rộng cho hệ nhiễu (3.3) với toán tử nhiễu 0, ; , 0, ;p p q mL LK KL được cho là nhân quả. Giả sử toán tử tuyến tính  0, ; , 0, ;loc locp p n nG L LK KL www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 được xác định như sau  . . , 0Gu t A BQ u t E FQ u t t viết một cách hình thức ta có  11G E FQG G (3.2.1) Định nghĩa 3.2.2 Hệ phương trình vi phân đại số (3.3) có chỉ số 1 (nghĩa tổng quát) nếu với mỗi T > 0, toán tử G giới hạn trong 0, ;p nL T K là khả nghịch và toán tử nghịch đảo  1G bị chặn. Định nghĩa 3.2.3 Ta nói rằng IVP của hệ nhiễu (3.3) với (3.1) có nghiệm yếu nếu tồn tại 0 , ; loc p nx L t K thỏa mãn 00 0 1 1 0 0 0 ., , . t tt t x t P PG E Fx d QG E Fxt t t x t t (3.2.2) với 0t t , khi đó 0 0 0 0, 0, . , ,t t t Fx F t x t t t Định nghĩa 3.2.4 Cho X, Y là hai không gian Banach và : X YM là toán tử tuyến tính bị chặn. Ta nói rằng M là ổn định nếu nó khả nghịch và bị chặn, nghĩa là M khả nghịch và nghịch đảo của nó bị chặn. Bổ đề 3.2.5 Giả sử cho bộ ba toán tử tuyến tính bị chặn : X YM , :Y ZP , : Z XN , trong đó X, Y, Z là các không gian Banach. Khi đó toán tử I MPN là khả nghịch nếu và chỉ nếu I PNM khả nghịch. Ngoài ra nếu 1 P NM thì hai toán tử I MPN và I PNM là ổn định. Chứng minh: Trước hết ta giả sử I MPN khả nghịch, bằng tính toán trực tiếp ta dễ dàng có www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 1 1 I I IPNM PN MPN M nghĩa là I PNM cũng khả nghịch. Ngoài ra nếu 1 I MPN bị chặn thì 1 I PNM cũng bị chặn. Để chứng minh ngược lại ta làm tương tự. Mệnh đề thứ hai này là một hệ quả đơn giản của định lý nổi tiếng về giải tích hàm (xem [13, pp, 231 - 232]).  Áp dụng bổ đề trên với EM , P , 1FQGN . Ta có G là khả nghịch nếu và chỉ nếu 1I FQG E và 1I FQG E là khả nghịch. Định lý 3.2.6 Xét IVP (3.3), (3.1.4). Nếu (3.3) có chỉ số 1 thì nó có nghiệm yếu duy nhất 0 , ; loc nx L t K trong đó Px liên tục tuyệt đối với mọi 0 00, nt x K . Bên cạnh đó, với mỗi T > 0 bất kỳ, tồn tại một hằng số M1 sao cho 1 0 0 0, ,P t x t M P t x t t T Chứng minh: Chọn 0T t bất kỳ và xét hệ nhiễu (3.3) trên 0,t T . Khi đó hệ được viết lại như sau 1 1 1 1 ' ' ,Px P PG B Px PG E Fx Qx QG BPx QG E Fx Ta đặt : , :u Px v Qx . Nhân phương trình đại số với F, ta có 1 1I FQG E Fv FQG Bu E Fu Theo giả thiết phương trình có chỉ số 1 và theo bể đề 3.2.5, rõ ràng toán tử 1I FQG E là khả nghịch và bị chặn. Ta xác định 1 1 1:u I FQG E FQG Bu E FuV www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Ta thấy V là tuyến tính, bị chặn và nhân quả. Thế Fv uV vào phần vi phân, khi đó INHODE trở thành 1 1' 'u P PG B u PG E F uV Bằng các dẫn chứng [12, định đề 3.2] thì INHODE có một nghiệm yếu duy nhất và nghiệm này được cho bởi công thức biến thiên hằng số. Bằng cách đặt x Px Qx u v , ta có nghiệm yếu duy nhất từ (3.3). Dễ thấy nghiệm duy nhất được tìm bởi công thức biến thiên hắng số (3.2.2) và phần vi phân Px là liên tục tuyệt đối. Để xác định phần còn lại, ta xác định toán tử 0 0: , ; , ;p p n nL t T L t TW K K 1 1: 'u P PG B u PG E F uW V Dễ thấy W là tuyến tính, bị chặn và là nhân quả. INHODE tương đương với phương trình tích phân 0 0 t u t u t u t dW Lấy chuẩn trong 0 , ;p nL t T K , ta có 0 0 0 0, ; , ; . n p n p t uL t t t L t t u u d K K W 0 0 1 0 p pt s u t t u d dsW (bất đẳng thức Minkowski) 0 0 1 0 t s p p u t t u d dsW www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 0 0 0 , ; . n p t L t s t u u ds K W Theo bất đẳng thức Gronwall – Bellman ta có 0 0 0 0, ; . n p T t T L t t u u e u e W W K với mọi 00 t T . Lấy chuẩn vectơ cho cả hai vế của phương trình tích phân cho u và áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có: 0 1 1 0 0 t p p q t u t u t t u dW 0 1 0 , ; . n p q L t t u t u K W 1 0 0 Tqu T u e W W ở đây q là một số thoả mãn 1 1 1 p q . Bằng cách đặt 1 1 01 TqM T u e W W việc chứng minh hoàn tất.  Chú ý 3.2.7 Chúng ta cần phải chú ý tới một sự thật là DAEs (3.3), với những điều kiện yếu của hệ số, chỉ có thành phần vi phân của nghiệm là phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu. Nghiệm yếu duy nhất của IVP (3.3) với điều kiện đầu (3.1.4) xác định bởi 0 0 0 0 0; , ; ,x t t x x t t P t x . Dễ thấy là với t > T ta có sự biểu diễn sau 0 0 0 0; , , ; ,x t t x t T P T x T t x + 0 1 0 0, ; , t T t T t PG E Fx t x d + 0 1 0 0; ,T t QG E Fx t x t www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 + 1 0 0, ; , t T T t PG E Fx t x d + 1 0 0; , T QG E Fx t x t (3.2.3) Ta xác định các toán tử sau 0 0 1 1, , t t t u t F t t PG E u d FQG E t u tL  0 0 1, , t t t u t F t t PG E u dL  0 1 ,t u t FQG E t u tL 0 0 1 1, , t t t u t t PG E u d QG E t u tM  0 0 1, t t t u t P t t PG E u dM (3.2.4) với mọi 0 0t t , 0, ;p mu L K . Toán tử đầu tiên được gọi là toán tử vào – ra liên kết với (3.3). Ta dễ dàng xác định các kết quả bổ trợ dưới đây: Bổ đề 3.2.8 Giả sử các giả thiết A1-A2 đúng. Khi đó: (a)   0 0 0 0 0 , ; , ;, , , t tt p p qm t tL LK KL L L L ,  0 0 0 0 , ; , ;, , tt p p m n t tL LK KM M L (b) , 0t s t sL L (c)  0 0 0 1supt t t t ess FQG E tL L Tồn tại hai hằng số 2 3, 0M M sao cho www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 (d)  2 , ; , 0, , ; ,m p m s pL s t u t M u t s u L s t K M K (e) 0 0 0 3 0 0 0 0, ; , , 0, . q pL t nF s P t x M P t x t x K K Chú ý 3.2.9 Chú ý rằng các giả thiết bị chặn của 1PG , 1QG chỉ là điều kiện đủ cho các tính chất (a) – (c). Vì vậy, vẫn còn khả năng nới lỏng giả thiết này. Định nghĩa 3.2.10 Giả sử các giả thiết A1, A2 đúng. Nghiệm tầm thường của (3.3) được gọi là pL ổn định toàn cục nếu tồn tại các hằng số 4 5, 0M M thoả mãn 0 0 4 0 0; , ,n nP t x t t x M P t xK K 0 0 0 5 0 0, ; ; , n n pL t x t x M P t x K K . (3.2.5) với mọi 0 0, . nt t x K Với mệnh đề sau ta sẽ thấy tính pL ổn định toàn cục không phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu P Q . Mệnh đề 3.2.11 Giả sử các giả thiết A1, A2 đúng. Hai mệnh đề dưới đây là tương đương: (a) Nghiệm tầm thường của (3.3) là pL ổn định toàn cục. (b) Nghiệm tầm thường của (3.3) là ổn định ra, nghĩa là tồn tại một hằng số 6 0M sao cho với mọi 0 00, nt x K , ta có 0 0 0 6 0 0, ; ; , n n pL t F x t x M P t x K K (3.2.6) Chứng minh: (a) (b) hiển nhiên. (b) (a). Do tính ổn định mũ, đánh giá (3.2) đúng. Với mọi 0 00, nt t x K ta có www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44  0 0 0 0 0 0 0 0 0; , , ; ,t t Px t t x P t t t P t x F x t x tM 0 0 0 0 0 2 0 , ; ; , m p t t t L t t Me P t x M F x t x K 0 0 2 6 0 0 4 0 0M P t x M M P t x M P t x trong đó 4 2 6:M M M M . Ngoài ra ta cũng có 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, ; , ; ; , , ; , n p n p tL t t L t x t x t P t x F x t x K K M 0 0 0 1 0 6 0 0 p pp t tp t t M e Px dt M P t xM 5 0 0 ,M P t x trong đó 0 1 5 6: p tM M p MM  3.3. Công thức bán kính ổn định Đầu tiên khái niệm bán kính ổn định được giới thiệu trong [11], [12], [18] đã được mở rộng đối với hệ phương trình vi phân đại số có chứa tham số thời gian (3.1) Định nghĩa 3.3.1 Cho các giả thiết A1, A2 đúng. Bán kính ổn định có cấu trúc phức (thực) của (3.1) phụ thuộc vào nhiễu tuyến tính, động của (3.3) được xác định bởi , ; ,d A B E FK = inf , sao cho nghiệm tầm thường của (3.3) không pL ổn định toàn cục hoặc (3.3) không có chỉ số 1 Khi K C ta có bán kính ổn định phức của (3.1). Khi K R ta có bán kính ổn định thực của (3.1). www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Chú ý 3.3.2 Chú ý nói rằng nếu hệ nhiễu không có chỉ số 1, khi đó, vấn đề giá trị ban đầu không thể được đặt ra. Vì vậy, khá tự nhiên khi cần có chỉ số 1 cho hệ nhiễu (3.3). Mệnh đề 3.3.3 Cho các giả thiết A1, A2 đúng. Nếu 0, ; , 0, ;p p q mL LK KL là nhân quả và thoả mãn  0 0 11 0 0 min sup ,t t L L Khi đó hệ (3.3) có chỉ số 1 và nghiệm tầm thường của nó là pL ổn định toàn cục. Chứng minh: Từ giả thiết, ta có  1 1 1 0 0 esssup t FQG E tL Dựa vào bổ đề 3.2.5 và định nghĩa 3.2.2, dễ thấy hệ (3.3) có chỉ số 1. Do vậy nó có nghiệm yếu duy nhất 0 0 0 0; , 0, nx t t x t x K . Ta sẽ chứng minh tính ổn định ra. Cho 0T t bất kỳ. Nhờ các chứng minh ở định lý 3.2.6, tồn tại 7 0M sao cho 00 0 0 7 0 0, ;, ; ; , qq pp L t TL t T FPx t x Fu M P t x KK . và cũng bằng các dẫn chứng khi chứng minh định lý 3.2.6, ta có 0 0; ,FQx t t x Fv t u tV . Vì vậy 0 0 0 7 0 0, ; ; , q pL t T FQx t x M P t x K V . Đặt 8 71M M V , ta nhận được 0 0 0 8 0 0, ; ; , q pL t T Fx t x M P t x K (3.3.1) www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 Cố định 0T t sao cho 1TL . Do những giả thiết trên , nên tồn tại T. Từ (3.2.3) ta có 0 0 0 0 0; , , ; , T T tF t x t t x F t t T P T x T t x Fx tL + T T Fx tL , t T . Vì vậy 0 0 , ; ; , q pL T Fx t x K 0 0 0 , ; , ; , ; , q p q p T T tL T L T F T P T x T t x Fx K K L + , ; qp T T L T Fx K L 0 0 3 0 0 , ; ; , q p T T t L t T M P T x T t x Fx K L , ; qp T T L T Fx K L hay tương đương với 0 0 , ; 1 ; , q p T L T Fx t x K L 0 0 3 1 0 0 , ; qp T T t L t T M M P t x Fx K L Kéo theo 1 0 0 3 1 8 0 0, ; ; , 1 q p T TL T Fx t x M M M P t x K L L (3.3.2) Từ (3.3.1) và (3.3.2) và đặt 1 6 8 3 1 8: 1 T TM M M M ML L , ta có 0 0 0 6 0 0, ; ; , q pL t Fx t x M P t x K .  Chứng minh xong. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 Chú ý 3.3.4 Nếu A t I , thì hệ (3.1) là hệ phương trình vi phân thường. Khi đó mệnh đề (3.3.3) được rút ra (xem [12], Định lý 4.3). Đồng thời, nhờ bất đẳng thức Gronwall – Bellman và đánh giá ở định lý 3.2.6, chúng ta có cách chứng minh ngắn gọn hơn nhiều so với việc dùng quy nạp trong [12]. Vậy, theo mệnh đề (3.3.3) bất đẳng thức  0 0 11 0 0 , ; , min sup ,t t d A B E FK L L là đúng. Tiếp theo, chúng ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại. Định nghĩa 3.3.5 Ta nói rằng toán tử nhân quả 0, ; , 0, ;m qp pL LQ K KL có bộ nhớ hữu hạn nếu tồn tại một hàm : 0, 0, sao cho t t và 0 t I tQ , 0t . Hàm được gọi là hàm có bộ nhớ hữu hạn liên quan tới Q . Khi   0 00L L L , thì bổ đề sau đơn giản chỉ là kết quả của [12, bổ đề 4.6]. Bổ đề 3.3.6 Tồn tại một dãy các toán tử nhân quả 0, ; , 0, ;m qn p pL LQ K KL với bộ nhớ hữu hạn sao cho 0lim 0n n L Q Bổ đề 3.3.7 [12, bổ đề 4.7] Giả sử 1 0, ; q pf L K , 2 0, ; m pf L K với 1 1 2supp ,f T T , 2 3 4supp ,f T T với 1 2 3 40 T T T T . Khi đó tồn tại toán tử nhân quả 0, ; , 0, ;q mp pL LP K KL thoả mãn (a) 1 2 ,f fP www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 (b) 3 4supp ,f T TP 0, ; qpf L K , (c) nếu 0, ; qpf L K với 1 2supp ,f T T thì 0fP , (d) 2 1f fP . Bổ đề 3.3.8 [12, bổ đề 4.8] Giả sử 0, ; , 0, ;m qp pL LQ K KL là nhân quả và có bộ nhớ hữu hạn. Cho 1 0 sup t t SQ . Khi đó tồn tại một toán tử 0, ; , 0, ;q mp pL LP K KL , các hàm , 0, ;loc mpf g L K và một số tự nhiên 0N sao cho (a) P , P là nhân quả và P có bộ nhớ hữu hạn. (b) 0, ; \ 0, ;loc m mp pf L LK K và 0, ; \ 0, ;loc q qpf LQ K , (c) 0supp 0,g N và 0supp 0,g NQ , (d) 0y tP 00,t N , 0, ; mpy L K , (e) I f gPQ . Bổ đề 3.3.9 Cho giả thiết A1 đúng, 0, ; , 0, ;q mp pL LK KL là nhân quả, t > 0 và 0 0, ; n px L K . Khi đó hàm 0: ; ,u P t x t x , 0,t , thoả mãn 0, ; npu L t K . Chứng minh. Theo chứng minh của Định lý 3.2.6, 0; ,P t x t x thoả mãn INHODE. Từ [12, bổ đề 4.9] ta có 0: ; , 0, ; n pu P t x t x L K  www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 Mệnh đề 3.3.10 Nếu  0 0 11 0 0 sup t t L L thì với mọi ,  0 0 11 0 0 sup t t L L , luôn tồn tại một toán tử nhân quả 0, ; , 0, ;L q mp pL LK K với sao cho nghiệm tầm thường của (3.3) là không pL ổn định toàn cục. Chứng minh. Chứng minh tương tự như [12, Định lí 4.10], đầu tiên ta chọn một số sao cho 1 0 0 sup t t SL . Theo bổ đề 3.3.6, tồn tại một dãy 0, ; , 0, ;m qn p pn L LQ K KL , khi đó mỗi nQ là một nhân quả và có bộ nhớ hữu hạn, sao cho 0lim 0.n n L Q Do đó, tồn tại một số 1N sao cho 1 0 sup n s s SQ và 0 1 nQ L với mọi 1n N . Theo bổ đề 3.3.8 luôn tồn tại các toán tử 0, ; , 0, ;L q mn p pL LK K , và các hàm , 0, ;loc mn n pf g L K và các số tự nhiên 0,nN , 1n N sao cho các tính chất (a) - (e) của bổ đề 3.3.8 là đúng. Khi đó 1 0 0 0 0, ; , 0, ;L k q m n n n n p p k I L LQ L Q L K K với 1n N . Hơn nữa, còn tồn tại 1N N sao cho 1 0: 0, ; , 0, ; q m N N N p pI L LQ L K KL (3.3.3) thoả mãn . Dễ thấy là nhân quả và có bộ nhớ hữu hạn. Hơn nữa 0u t với 0,0, Nt N và 0, ; mpu L K . www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 Ta đặt  0: N N N Ny I fQ L Q . Ta thấy 0, ; \ 0, ;loc q qN N p pf L LQ K K và 0N NI Q L là khả nghịch trong 0, ; qpL KL ta có  0, ; \ 0, ;loc q qp py L LK K và từ tính chất (e) của Bổ đề 3.3.8 ta mở rộng  0 N N N N N NI y I f gL Q Q Q . Đặt  0,0, : NN f y và  0, , : NN y y với 00 0,N t N N ta có   0 N Ny t y t y t g tL Q   0 00N N y t y tL L 0 0N N f t y tL L . Đặt 0 0 :y N Nx t f t y tM M , 0t N (3.3.4) Rõ ràng 0 0 0, ; \ 0, ;loc q qy N N p pF x f y y L LL L K K . Giả thiết 0, ; q nF L K dẫn tới 0, ; \ 0, ;loc n ny p px L LK K . Ngoài ra ta cũng thấy yx là một nghiệm yếu (duy nhất) của hệ 1 1 1 1 1 1 ' 'y y y y y y Px P PG B Px PG E Fx PG E f Qx QG BPx QG E Fx QG E f (3.3.5) với điều kiện đầu 0 0 0yP N x N . Nhờ giả thiết  1 0L thì hệ các phương trình vi phân đại số có chỉ số 1 và toán tử 1I FQG E là khả nghịch với nghịch đảo bị chặn. Vì vậy www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 1 1 1 1 1 y y yFQx I FQG E FQG BPx FQG E FPx FQG E f Thế vào phương trình trên ta có 1 1' 'y y yPx P PG B Px PG E FPx 1 1 1 1 1 y yPG E I FQG E FQG BPx FQG E FPx h , (3.3.6) trong đó 1 1 1 1 1h t PG E I FQG E FQG E f t PG E f t , 0t N (3.3.7) Từ đó cũng như 1 1 1 0 k k I FQG E FQG E là các toán tử nhớ hữu hạn và f là tựa compact, dễ thấy h cũng là tựa compact. Bằng một số làm rõ ta có 0 ; , . t y N Px t P t x t h d Thật vậy, cho zx xác định bởi 0 1 1 1 ; , . t z N z z z Px t P t x t h d Qx QG BPx QG E Fx QG E f (3.3.8) Rõ ràng là zx xác định và 0 , ; loc n z px L N K . Ngoài ra, với 0t N ta có thể kiểm tra lại bằng tính toán 0 ; , t N P t x t h d www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 0 1, , , , t t N P t t h P t t PG E F x h d d 0 0 1, , , , t t t N N P t t h d P t t PG E F x h d d 0 0 0 1, , , , t t N N N P t t h d P t t PG E F x h d d 0 , t N P t t h d 0 0 1, , , t N N P t t PG E F P x h d d 0 0 1, , , t N N P t t PG E F Q x h d d 0 0 0 1 , , , t t t z N N N P t t h d P t t PG E F d P t tx 1 1 1 1 1 z zPG E I FQG E FQG Bx FQG E F x d Như vậy zPx cũng là một nghiệm yếu của (3.3.6). Vì tính duy nhất của nghiệm, đẳng thức y zPx Px đúng. Theo định nghĩa ta có y zx x . Bây giờ, ta giả sử nghiệm tầm thường của (3.3) là pL ổn định toàn cục. Điều này chứng tỏ 0, ; ny pPx L K . Cuối cùng ta sử dụng các đánh giá sau www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 0 0 0 1 , ; ; , q p p pt y L N N N Px P t x t h d dt K 0 0 1 ; , p pt N N P t x t h d dt 0 1 ; , p p N P t x t h dt d (theo bđt Minkowski) 0 4 N M h d (vì h là tựa compact). Kết quả là, cả yFPx và yFQx đều thuộc vào 0, ; qpL K , mâu thuẫn với 0, ; \ 0, ;loc q qy p pFx L LK K . Vì vậy nghiệm tầm thường của (3.3) không pL ổn định toàn cục. Chứng minh xong.  Mệnh đề 3.3.11 Với 0 bé tuỳ ý luôn tồn tại T > 0 và toán tử nhân quả 0, ; , 0, ;q mp pL T L TK KL sao cho  1 0L và toán tử 1I FQG E là không ổn định. Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề trên, đầu tiên ta chọn T > 0 sao cho  1 1 1 1 1 0 0 0 esssup esssup /3 /3 t T t FQG E FQG E L (3.3.9) sau đó ta xây dựng dãy đơn điệu ngặt 0 0,n nT T sao cho  1 1 1 1 0 , esssup 2 /3 n nt T T FQG E L www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 với n = 0, 1, … Theo định nghĩa của cận trên đúng, luôn tồn tại một tập 0,X T dương đo được sao cho  11 1 0 2 /3 ,FQG E t t XL . Cho 0X là độ đo của X và cho inf t,t Xa , sup t,t Xb . Rõ ràng là 0 a b T . Đặt 0T a . Với n = 0, 1, … chọn 1nT T sao cho độ đo của 1,n nT T X bằng 1/ 2nX . Dễ thấy dãy 0n n T thoả mãn các điều kiện trên. Và ta cũng dễ thấy luôn tồn tại một dãy của 0, ; mn pf L T K , với 1supp , ,n n nf T T f và  11 1 0nFQG Ef L . Thay đổi điều kiện của bổ đề 3.3.7 yếu một chút, luôn tồn tại toán tử nhân quả 0, ; , 0, ;q mn p pL T L TK KL , n = 0, 1, … sao cho 1 1,n n nFQG f f  1 0 ,n L 1 2supp Δ , , 0, ; , q n n n ph T T h L T K nếu 0, ; qph L T K với 1supp ,n nh T T thì 0nh . Ta đặt 0 : ,n n f f 0 : n n h h với 0, ; qph L T K và 0:g f . Dễ thấy rằng 0, ; , 0, ;q mp pL T L TK KL là nhân quả,  1 0L và 1 0I FQG E f f g . www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 Xuất phát từ 0, ; mpf L T K , 0, ; mpg L T K mà toán tử 1I FQG E có nghịch đảo không bị chặn trong 0, ; , 0, ;m mp pL T L TK KL .  Từ mệnh đề 3.3.3 – 3.3.11 ta sẽ xây dựng công thức cho bán kính ổn định. Định lý 3.3.12 Cho các giả thiết A1, A2 đúng. Khi đó  0 0 11 0 0 , ; , min sup ,t t d A B E FK L L Hệ quả 3.3.13 Cho A, B, E, F là thực và các giả thiết A1, A2 đúng. Khi đó , ; , , ; ,d A B E F d A B E FC R . Chú ý 3.3.14 Ta chú ý rằng tính đơn điệu của tL được coi như một hàm của t (xem bổ đề 3.2.8 (b)), ta có 0 0 0 0 1 1 0 sup limt t tt L L . So sánh với (3.4), ta thấy số hạng đặc biệt  1 0L là độ đo duy trì tính vững của chỉ số 1. Đó cũng chính là sự khác biệt giữa DAEs và ODEs. 3.4. Các trƣờng hợp đặc biệt 3.4.1 Các hệ nửa hiển Hệ (3.1) được gọi là nửa hiển, nghĩa là 1 0 0 0 nI A , 11 12 21 22 B t B t B t B t B t (3.4.1) trong đó 1n I là ma trận đơn vị, ij 1 i,j 2B là các ma trận con có số chiều tương ứng. Giả thiết chỉ số 1 có nghĩa rằng 22B t là khả nghịch hầu khắp nơi trong 0, . Trong nhiều ứng dụng, hệ các DAEs xuất hiện dưới dạng nửa hiển. Cho tập hợp 2 0, nQ diag I và dễ dàng có www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 1 12 220 nI B G B , 1 22 21 0 0 sQ B B I Ngoài ra, ta có 1 22 21 , , , t s t s B B t s trong đó ,t s là toán tử sinh bởi sự khai triển phương trình vi phân thường 1 11 12 22 21' ,y B B B B y (3.4.2) nó được coi là ổn định mũ. Giả thiết A2 tương đương với các giả thiết về tính bị chặn thực sự của 1 22B , 1 22 21B B và 1 12 22B B . Ta xây dựng hai ma trận E,F được viết lại dưới dạng suy biến như sau 1 2 E E E , 1 2 F F F trong đó các ma trận con có số chiều tương ứng. Bằng một vài tính toán với ma trận ta có 0t u tL 0 1 1 1 1 2 22 21 1 12 22 2 2 22 2 , t t F F B B t E B B E u d F B E u t ,  0 1 2 22 2( )t u t F B E u tL , 0t t (3.4.3) Theo định lý 3.3.12, ta có 0 0 1 1 1 2 22 2 0 , ; , min lim , esssupt t t d A B E F F B E tK L . 3.4.2 Hệ chính quy ẩn và hệ thuần đại số Trước hết, ta xem xét hệ (3.1) với số hạng đầu A không suy biến hầu khắp nơi. Và ta giả sử 1A là bị chặn hầu khắp nơi trong 0, . Nhân cả hai www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 vế của hệ (3.1) với 1A ta được hệ hiển hoàn toàn đã được nghiên cứu trong [12]. Áp dụng định lý 3.3.12 với việc chọn , 0P I Q là tầm thường và duy nhất, công thức bán kính ổn định có được ở đây giống như trong [12]. Trường hợp A = 0, khi đó hệ (3.1) thật sự trở thành một hệ thuần đại số. 0 , 0B t x t t . Ta đặt , 0Q I P . Điều này tương đương với B là khả nghịch hầu khắp nơi trong 0, và nghịch đảo của nó là thực sự bị chặn. Dễ thấy hệ thuần nhất có nghiệm tầm thường duy nhất. Hệ đại số ổn định đối với tất cả các hàm 0, ; npq L K . Hệ không thuần nhất B t x t q t có nghiệm duy nhất 0, ; npx L K và hệ này phụ thuộc vào tính liên tục của vế phải (Theo chuẩn của pL ). Theo ý nghĩa của các kết quả trong mục 3.3, mỗi toán tử nhiễu với  1 1 1 0 0 esssup , t FB E tL (3.4.4) hệ nhiễu còn lại là ổn định và (3.4.4) cho cận tốt nhất, nghĩa là với mỗi 0 luôn tồn tại nhân quả với  1 0L làm mất tính ổn định của hệ đại số. 3.4.3 Hệ bất biến theo thời gian Ta giả sử tất cả các ma trận A, B, E,F đều bất biến theo thời gian. Dễ thấy giả thiết A2 là không cần thiết. Bằng phép biến đổi của Fourier – Plancherel như trong [11], phát biểu sau, mà thực chất là sự mở rộng của định lý 2.1 trong [11] đối với hệ phương trình vi phân đại số có chỉ số 1, có thể được chứng minh. Mệnh đề 3.4.3.1 Cho A, B, E,F là bất biến theo thời gian, hệ (3.1) có chỉ số 1 và ổn định mũ. Nếu chọn p = 2 (xét tính ổn định của L2) thì www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 0 1 0 supt i F A B E R L L . Hàm 1 F A B E được gọi là hàm truyền nhân tạo liên kết tới (3.1). Ta chú ý rằng sự ổn định mũ của hệ bất biến theo thời gian (3.1) có nghĩa chính xác là tất cả các giá trị riêng của cặp ma trận (A, B) có phần thực âm. Như vậy hàm truyền được xác định trên trục ảo iR của mặt phẳng phức. Kết quả là, định lý 3.3.12 có thể được viết lại như sau Định lý 3.4.3.2 Cho A, B, E, F là bất biến theo thời gian, hệ (3.1) có chỉ số 1 và ổn định mũ. Nếu chọn p = 2 thì 11 1 0, ; , sup i d A B E F F A B EC R L Chứng minh. Ta cần chỉ ra  0 0L L . Theo bổ đề 3.2.8 (c), ta dễ dàng xác định được giới hạn 1 1lim F A B E FQG E bằng cách biến đổi cặp ma trận hệ số (A, B) theo chuẩn Weierstrass – Kronecker (xem [5], [9]) hoặc theo hệ nửa hiển (3.4.1) và làm rõ ra ta có: 1 1 0sup i F A B E FQG E R L . Từ định lý 3.4.3.2, việc tính bán kính ổn định đối với các hệ bất biến theo thời gian đã được giải quyết một cách tối ưu và có thể giải bằng số, ví dụ xem [4], [18]. Cuối cùng chúng tôi lưu ý là các đẳng thức trong định lý 3.4.3.2 mang nghĩa chính xác là bán kính ổn định phức đối với sự nhiễu động được nghiên cứu ở đây trùng với bán kính ổn định phức đối với sự nhiễu tĩnh (nghĩa là là một ma trận bất biến theo thời gian) được xét trong [6], [7], [18]. Vì vậy định lý 3.4.3.2 đã tổng quát được các kết quả trước đây của hệ tuyến tính ODEs trong [10]. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 KẾT LUẬN Bản luận văn này được trình bày trên cơ sở luận án [2] và bài báo [8] về bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động và đã thu được một số kết quả như sau: Đưa ra được công thức cho bài toán tìm bán kính ổn định phức của các hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng, chỉ ra được rằng bán kính ổn định phức và bán kính ổn định thực của hệ phương trình vi phân đại số là bằng nhau. Một định nghĩa về xây dựng bán kính ổn định cho phương trình vi phân đại số tuyến tính có hệ số phụ thuộc tham số thời gian được đưa ra. Ở mục cuối cùng, một vài trường hợp đặc biệt cũng được xem xét, phân tích. Những kết quả thu được còn khiêm tốn, các điều kiện đưa ra còn tương đối ngặt song đây là những kết quả bước đầu mà chúng tôi thu được mang ý nghĩa nhất định. Những kết quả đó đã mở ra một số vấn đề để có thể tiếp tục nghiên cứu: 1. Bán kính ổn định thực của hệ phương trình vi phân đại số. 2. Nếu các điều kiện hệ dương được đảm bảo thì d d R hay là không. 3. Nới lỏng giả thiết A1, A2. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt. [1] Lê Thị Lan (2000), Một số tính chất của hệ phương trình vi phân tuyến tính đại số 1, chỉ số 2, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội. [2] Đào Thị Liên (2004), Về sự ổn định của hệ phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân đại số, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội. [3] Phạm Văn Việt (2005), Về sự ổn định của nghiệm của một số phương trình vi phân đại số, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội. Tiếng Anh. [4] Bracke M. (2000), On stability radii of parametrized linear diffirential – algebraic systems, PhD thesis, University of Kaiserslautern. [5] Brenan K.E., Campbell S.L., Petzold L.R. (1996), Numerical Solution of Initial Value Problems in Diffirential - Algebraic Equations, SIAM, Philadelphia, PA. [6] Nguyễn Hữu Dư (1999), “Stability radii for diffirential - algebraic equations”, Vietnam J. Math. (27), 379-382. [7] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh (2006), “Robust stability of implicit linear systems containing a small parameter in ther leading tern”, IMA J. math. Control Inform, (23), 67-84. [8] Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh (2006) , “Stability radii for linear time- varying diffirential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations”, Journal of Differential Equations, (230), 579-599. [9] Griepentrog E., März R. (1986), Diffirential - Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Teubner - Texte Math., Teubner, Leipzig. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 [10] Hinrichsen D., Pritchard A.J. (1992), “Destabilization by output feedback, Differential Integral Equations” 5 (2), 357-386. [11] Hinrichsen D., Pritchard A.J. (1986), “Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation”, Systems Control Lett. (8), 105-113. [12] Jacob B. (1998), “A formula for the stability radius of time-varying systems”, J. Diffirential Equations. (142), 167-187. [13] Kolmogorov A.N., Fomin S.V. (1970), Introductory Real Analysis, revised English ed., Dover, New York. [14] Lamour R., März R., Mattheij R.M.M. (1992), On the stability behavious of systems obtained by index - reduction, Fachbereich Mathematic, O - 1086 Berlin, PF1297, BRD, Berlin. [15] März R. (1991), On quasilinear index 2 diffirential algebraic equations, Fachbereich Mathematic, O - 1086 Berlin, PF1297, BRD, Berlin. [16] März R. (1992), Numerical methods for diffirential - algebraic equations, in: Acta Numer., Cambridge Univ. Press, Cambridge, pp. 141-198. [17] März R. (1997), Extra-ordinary Diffirential Equation. Attempts to an analysis of Algebraic System, Preprint N0 97-8, Humboldt Universitatzu Berlin. [18] Qiu L., Davision E.J. (1992), “The stability robustness of generalized eigenvalues”, IEEE trans Automat Control, (37), 886-891. www.VNMATH.com