Luận văn Tính ổn định và bền vững của một số tính chất hệ động lực tuyến tính

Chương 3 Phương trình sai phân Phương trình vi phân phụ thuộc vào dữ liệu quá khứ có rất nhiều ứng dụng trong vật lý, sinh học, kinh tế,...., và cũng đã thu hút được nhiều nhà nghiên cứu như trong các phần giới thiệu và tham khảo của các tài liệu [7, 43, 47, 81]. Một trong các phương trình quan trọng là (3.1) d dt [y(t)− N∑ i=1 A i y(t− r i)]= f (t, yt), t≥ 0, trong đó A i ∈Cn×n , r i là các hệ số thỏa r i > 0 và r :=max{r i, i ∈N := {1,2, ..,N}}, và hàm yt : [−r;0]→Rn được định nghĩa bởi yt(s)= y(t+s), s ∈ [−r;0]. Để nhận được một số tính chất của phương trình (3.1), thì tính ổn định của phương trình sai phân có dạng (3.2) y(t)− N∑ i=1 A i y(t− r i)= 0, t≥0, là cần thiết, xem [43]. Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính ổn định của phương trình sai phân (3.2). Đặc biệt, tính ổn định của phương trình sai phân (3.2) dương - nghĩa là, nghiệm sẽ luôn không âm với mọi giá trị đầu không âm - sẽ được nghiên cứu thông qua một mở rộng của định lý Perron-Frobenius. Để nghiên cứu tính ổn định bền vững của phương trình sai phân (3.2), một cách tổng quát chúng tôi xét đến hệ phương trình sai phân rời rạc phụ thuộc tham số (3.3) x(k+1)= (A0+ z1A1+ ...+ zNAN)x(k), (z1, z2, ..., zN)∈CN, k ∈N, 39 trong đó A0, A1, ..., AN ∈ Cn×n là các ma trận cho trước, và zi, i ∈ N , là các tham số xác định hệ. Tính ổn định của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số (3.3) là gắn liền với tính ổn định không phụ thuộc trễ của phương trình sai phân (3.2), khái niệm này ra đời là do việc thay đổi chút ít trong tham số thời gian trễ sẽ ảnh hưởng rất lớn đến tính ổn định của phương trình sai phân (3.2) - thậm chí làm hệ không còn ổn định nữa - xem [44, 53, 77, 83, 103]. Cần chú ý thêm rằng, tính ổn định của hệ phụ thuộc tham số cũng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học như trong [13, 14, 15, 52, 117, 118, 119, 120]. Các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T8, T9] và gửi đăng trong [T2]. 3.1 Tính ổn định của phương trình sai phân dương Trước hết, chúng ta xem xét đến một số kí hiệu và khái niệm cơ bản sẽ được dùng đến. Cho n, l,q là các số nguyên dương, ma trận P := [p i j] ∈ Rl×q được gọi là không âm (hay dương) - kí hiệu là P ≥ 0 (hay P > 0) nếu tất cả các thành phần p i j là không âm (hay dương). Cho P,Q ∈ Rl×q , bất đẳng thức P >Q (hay P ≥Q) có nghĩa là P −Q > 0 (hay P −Q ≥ 0). Cho K = C hoặc R, với x ∈ Kn và P ∈ Kl×q, ta định nghĩa |x| ∈ Rn+ và |P| ∈ Rl×q+ bởi |x| := (|xi|), |P| := [|p i j|]. Cho ma trận A ∈ Kn×n bán kính phổ và chận trên phổ của ma trận A được định nghĩa lần lượt là r(A) :=max{|λ| : λ ∈σ(A)} và s(A) :=max{ℜλ : λ ∈ σ(A)}, trong đó σ(A) là tập phổ của ma trận A. Chuẩn vectơ trên Kn được gọi là đơn điệu nếu |x| ≤ |y|⇒ ‖x‖≤ ‖y‖ ,∀x, y ∈Kn. Cần chú ý rằng chuẩn là đơn điệu khi và chỉ khi ‖x‖ = ‖|x|‖ với mọi x ∈Kn, xem [64]. Trong chương này, tất cả các chuẩn dùng đến đều được giả sử là đơn điệu. Cho A ∈Kl×q, chuẩn của ma trận A được định nghĩa bởi ‖A‖ :=max{‖Ay‖ : y ∈Kq, ‖y‖= 1}. Sau đây là một số kết quả kinh điển về ma trận không âm. Định lý 3.1.1. [11] (Perron-Frobenius) Cho A ∈ Rn×n+ , ta có 40 (a) r(A) là trị riêng của A và tồn tại vectơ riêng x≥ 0, x 6= 0 sao cho Ax = r(A)x; (b) nếu λ ∈ σ(A) và |λ| = r(A) thì bội đại số của λ sẽ không lớn hơn bội đại số của r(A); (c) cho α> 0, sẽ tồn tại vectơ x≥ 0, x 6= 0 sao cho Ax≥αx khi và chỉ khi r(A)≥α; (d) (tI− A)−1 tồn tại và không âm khi và chỉ khi t> r(A). Định lý 3.1.2. [11, 88] Cho A ∈Kn×n, B ∈Rn×n+ . Nếu |A| ≤B thì r(A)≤ r(|A|)≤ r(B). Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình sai phân (3.2), chúng tôi xét đến tựa đa thức đặc trưng sau (3.4) H(s)= I− N∑ k=1 e−srk Ak. Cho s ∈C, nếu detH(s)= 0 thì s được gọi là trị riêng của tựa đa thức (3.4). Lúc đó, vectơ khác không x ∈Cn thỏa H(s)x=0 được gọi là vectơ riêng của H(·) tương ứng với trị riêng s. Tập phổ và chận trên phổ của tựa đa thức (3.4) được định nghĩa như sau σ(H(·)) := {λ ∈C : detH(λ)= 0}, aH := sup{ℜλ :λ ∈σ(H(·))}. Cần chú ý rằng chúng ta không thể thay sup bởi max trong định nghĩa của chận trên phổ. Bổ đề sau là một kết quả phổ biến đối với tính ổn định của phương trình sai phân (3.2). Định lý 3.1.3. [43] Phương trình sai phân (3.2) là ổn định khi và chỉ khi aH < 0. Như chúng ta đã biết, công cụ chính để nghiên cứu tính ổn định của các hệ dương là định lý Perron−Frobenius, xem [2, 88, 101, 102]. Nên tiếp theo đây, chúng tôi sẽ mở rộng định lý Perron−Frobenius đối với tựa đa thức (3.4). 41 Định nghĩa 3.1.4. Tựa đa thức (3.4) được gọi là dương nếu A i là các ma trận không âm với mọi i ∈N = {1,2, ...,N}. Định lý 3.1.5. Nếu tựa đa thức (3.4) là dương, thì aH ∈σ(H(·)). Chứng minh. Giả sử rằng (λm)m∈N là một dãy số trong σ(H(·)) sao cho limℜλm = aH . Với mọi m ∈N, sẽ tồn tại xm ∈ Rn sao cho xm = N∑ k=1 e−λmrkAkxm Do đó, |xm| ≤ ( N∑ k=1 e−ℜλmrkAk)|xm|. Sử dụng Định lý 3.1.1, (3.5) r( N∑ k=1 e−ℜλmrkAk)≥ 1. Xét hàm số f :R→R được định nghĩa bởi f (t)= r( N∑ k=1 e−trk Ak), t ∈ R. Ta có f (·) là liên tục và giảm ngặt trên R và limt→+∞r(t) = 0. Hơn nữa , từ (3.5) ta có f (ℜλm) ≥ 1. Do đó, từ tính liên tục của f (·), suy ra tồn tại αm ≥ ℜλm thỏa mãn r( ∑N k=1 e −αmrkAk)= 1, nên αm ∈σ(H(·)). Như vậy, ta đã xây dựng một dãy số thực (αm) sao cho: αm ∈σ(H(·)) và αm ≥ℜλm , với mọi m ∈ N. Từ đó suy ra limαm = aH . Mặt khác, σ(H(·)) là tập đóng. Do đó, aH ∈σ(H(·)). Định lý 3.1.6. Cho tựa đa thức (3.4) là dương, ta có (a) aH là trị riêng của H(.) và tồn tại vectơ riêng x≥ 0, x 6= 0 sao cho H(aH)x= 0; (b) Cho α> 0, sẽ tồn tại vectơ x≥ 0, x 6= 0 sao cho (∑Nk=1 e−αrkAk)x≥ x khi và chỉ khi aH ≥α; 42 (c) H(t)−1≥ 0⇐⇒ t> aH , với t ∈R. Chứng minh. (a) Như trong chứng minh của Định lý 3.1.5, chúng ta đã xây dựng đượcmột dãy (αn) thỏa:αn ∈σ(H(·)) , với mọi n ∈N, limαn = aH và r(∑Nk=1 e−αnrkAk)= 1. Do đó, r( ∑N k=1 e −aHrkAk)= 1. Sử dụng Định lý 3.1.1, suy ra tồn tại vectơ riêng không âm x≥ 0,x 6= 0 sao cho (∑Nk=1 e−aHrkAk)x= x, hay [I− (∑Nk=1 e−aHrkAk)]x= 0. (b) Giả sử rằng tồn tại vectơ không âm x ≥ 0 sao cho (∑Nk=1 e−αrkAk)x ≥ x. Suy ra f (α)= r(∑Nk=1 e−αrkAk)≥ 1. Tương tự như trong chứng minh của Định lý 3.1.5, sẽ tồn tại α ≥ α sao cho f (α) = r(∑Nk=1 e−αrkAk) = 1. Do đó, theo định nghĩa của aH , ta có aH ≥ α ≥ α. Ngược lại, nếu aH ≥ α, thì r( ∑N k=1 e −αrkAk) = f (α) ≥ f (aH) = 1. Vì vậy, sử dụng Định lý 3.1.1 đối với ma trận dương ∑N k=1 e −αrkAk , ta suy ra được điều phải chứng minh. (c) Cho t > aH , do hàm f (·) giảm nên f (t)< f (aH)= 1. Sử dụng Định lý 3.1.1 (c), ta có H(t)−1 ≥ 0. Ngược lại, giả sử rằng t ∈ R và H(t)−1 ≥ 0. Sử dụng lần nữa Định lý 3.1.1 (c), suy ra f (aH)= 1> r(∑Nk=1 e−trkAk)= f (t). Do đó, t> aH . Từ 3.1.5 và 3.1.6, chúng ta suy ra các kết quả sau về tính ổn định của phương trình sai phân (3.2) dương. Định lý 3.1.7. Cho tựa đa thức (3.4) là dương, phương trình sai phân (3.2) là ổn định khi và chỉ khi tất cả các trị riêng của H(·) nằm trong nửa mặt phẳng phức trái mở C− = {λ ∈C :ℜλ< 0}. Định lý 3.1.8. Cho tựa đa thức (3.4) là dương, phương trình sai phân (3.2) là ổn định khi và chỉ khi r( N∑ i=1 A i)< 1. Chứng minh. Do aH < 0, sử dụng Định lý 3.1.6, ta có H−1(0)= (I − N∑ i=1 A i)≥ 0. Sử dụng Định lý 3.1.1, suy ra r( N∑ i=1 A i)< 1. Ngược lại, nếu r( N∑ i=1 A i)< 1, ta có H−1(0)= (I − N∑ i=1 A i)≥ 0. Sử dụng Định lý 3.1.6, 43 suy ra aH < 0. Tiếp theo, chúng tôi xem xét mối quan hệ giữa tính ổn định và tính ổn định không phụ thuộc trễ của phương trình sai phân (3.2). Định nghĩa 3.1.9. Phương trình sai phân (3.2) được gọi là ổn định không phụ thuộc trễ nếu phương trình sai phân (3.2) ổn định với mọi (r i)i∈N ∈RN+ . Khái niệm ổn định không phụ thuộc trễ của phương trình sai phân (3.2) đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học như trong giới thiệu và trích dẫn của [28, 43]. Định lý 3.1.10. [43] Các phát biểu sau đây là tương đương: (a) phương trình sai phân (3.2) là ổn định không phụ thuộc trễ; (b) sup{r( N∑ i=1 ziA i) : |zi| = 1, i ∈N}< 1. Đặt C1 = {z ∈ C : |z| < 1}, δC1 = {z ∈ C : |z| = 1}, và hàm g : (δC1)N → R được định nghĩa bởi g(z1, .., zN)= r( N∑ i=1 ziA i). Vì r(.) liên tục trên Cn×n , nên hàm g(.) cũng liên tục. Hơn nữa, do tập (δC1)N là com- pact, suy ra tồn tại z∗= (z∗1 , .., z∗N) sao cho r( N∑ i=1 z∗i A i)= sup{r( N∑ i=1 )ziA i : |zi| = 1, i ∈N}. Do đó, phương trình sai phân (3.2) là ổn định không phụ thuộc trễ khi và chỉ khi r( N∑ i=1 ziA i)< 1,∀z= (z1, ..., zN) ∈ (δC1)N . Định lý 3.1.11. Cho A i là các ma trận không âm với mọi i ∈N. Các phát biểu sau đây là tương đương (a) phương trình sai phân (3.2) là ổn định; 44 (b) phương trình sai phân (3.2) là ổn định không phụ thuộc trễ; (c) r(A1+ ...+ AN)< 1. Chứng minh. Theo Định lý 3.1.8, ta có (a) ⇔ (c). Do đó, ta chỉ cần chứng minh (b) ⇔ (c). Thật vậy, với mọi z= (z1, ..., zN) ∈ (δC1)N . ta có r( N∑ i=1 ziA i)≤ r( N∑ i=1 |ziA i|) ≤ r( N∑ i=1 A i), nên sup{r( N∑ i=1 ziA i) : |zi| = 1, i ∈N}= r(A1+ ..+ AN). 3.2 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số Trong phần còn lại của chương này, chúng tôi luôn giả sử rằng βi ≤ |zi| ≤ αi, i ∈ N , trong đó βi và αi, i ∈N , là các số thực không âm cho trước. Đặt α := (α1,α2, ...,αN), β := (β1,β2, ...,βN) ∈ RN+ , Dβα := { z= (z1, z2, ..., zN) : zi ∈C,βi ≤ |zi| ≤αi, i ∈N } , và A(z) := A0+ z1A1+ ...+ zNAN , z := (z1, z2, ..., zN) ∈CN. Định nghĩa 3.2.1. Hệ phụ thuộc tham số (3.3) được gọi là Dβα-ổn định nếu với mọi z ∈Dβα, hệ x(k+1)= A(z)x(k), k ∈N, là ổn định tiệm cận. Nhắc lại rằng hệ x(t+1)= A(z)x(t) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi r(A(z))< 1, xem [1]. Như vậy hệ phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định khi và chỉ khi r(A(z))< 1, ∀z ∈Dβα, 45 hay det(sIn− A(z)) 6= 0, ∀s ∈D := {s ∈C : |s| ≥ 1}, ∀z ∈Dβα. Có thể nhận thấy rằng điều kiện trên là khó kiểm tra. Tuy nhiên, với giả thiết về tính không âm, chúng ta có thể kiểm tra tính ổn định của hệ phụ thuộc tham số (3.3) một cách đơn giản như trong kết quả sau. Định lý 3.2.2. Giả sử rằng A i ∈ Rn×n+ với mọi i ∈ N0 := {0,1, ...,N}, thì hệ phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định khi và chỉ khi r(A(α)) := r(A0+α1A1+ ...+αNAN)<1. Chứng minh. Giả sử rằng hệ phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định. Theo định nghĩa, hệ x˙(t)= A(α)x(t), t ≥ 0, là ổn định, hay r(A(α))< 1. Ngược lại, nếu r(A(α)) := r(A0+α1A1+ ...+αNAN) < 1, sử dụng Bổ đề 3.1.2, với mọi z ∈Dβα, ta có r(A(z))≤ r(A0+|z1|A1+ ...+|zN|AN)≤ r(A(α)). Hệ quả 3.2.3. Cho α ∈ RN+ . Giả sử rằng A i ∈ Rn×n+ với mọi i ∈ N0, và hệ phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định với một bộ tham số cụ thể β ∈ RN+ sao cho β ≤ α, thì hệ phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định với mọi β ∈ RN+ sao cho β≤α. Hệ quả 3.2.4. Giả sử rằng A i ∈ Rn×n+ với mọi i ∈ N0, và đặt α = (1,1, ...,1). Các phát biểu sau đây là tương đương: (a) phương trình sai phân (3.2) là ổn định không phụ thuộc trễ; (b) hệ phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định đối với hệ số trễ β nào đó cho trước thỏa 0≤β≤α; (c) r(A1+ ...+ AN)< 1. 46 3.3 Bán kính ổn định 3.3.1 Hệ sai phân phụ thuộc tham số Giả sử rằng hệ sai phân phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định và mỗi ma trận A i bị nhiễu dưới dạng (3.6) A i ,→ A i+ K∑ j=1 D i j∆i jE, i ∈N0, trong đó D i j ∈ Cn×l i j , i ∈ N0, j ∈ K := {1,2, ...,K} , E ∈ Cq×n là các ma trận cho trước và ∆i j ∈Kl i j×q, i ∈ N0, j ∈ K (K= R,C) là các ma trận nhiễu chưa biết. Lúc đó, hệ bị nhiễu có dạng (3.7) x(t+1)= A∆(z)x(t), t ∈N, trong đó A∆(z) := ( A0+ K∑ j=1 D0 j∆0 jE ) + N∑ j=1 zi ( A i+ K∑ j=1 D i j∆i jE ) , z := (z1, z2, ..., zN)∈CN. Đặt ∆ := (∆0,∆1, ...,∆N), trong đó ∆i := (∆i1,∆i2, ...,∆iK ) ∈Kl i1×q× ...×Kl iN×q, i ∈ N0, độ lớn của nhiễu ∆ được đo bởi γ(∆) := N∑ i=0 K∑ j=1 ∥∥∆i j∥∥ . Định nghĩa 3.3.1. Cho hệ sai phân phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định. Các bán kính Dβα-ổn định phức, thực và dương của hệ dưới tác động của nhiễu dạng (3.6) được định nghĩa là rC = inf { γ(∆) :∆i j ∈Cl i j×q, i ∈N0, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.7) là không Dβα-ổn định } , rR = inf { γ(∆) :∆i j ∈Rl i j×q, i ∈N0, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.7) là không Dβα-ổn định } , r+ = inf { γ(∆) :∆i j ∈ Rl i j×q+ , i ∈N0, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.7) là không Dβα-ổn định } . 47 Định lý 3.3.2. Cho hệ sai phân phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định, thì rC = { max i∈N0; j∈K;z∈Dβα;|λ|≥1 ∥∥E [λI− A(z)]−1D i j∥∥ |zi| }−1 , trong đó z0 = 1. Chứng minh. Trước hết, cần chú ý rằng bài toán tối ưu cực đại bên vế trái luôn tồn tại nghiệm do ∥∥E [λI− A(z)]−1D i j∥∥→ 0 khi |λ| →+∞. Cho ∆ là nhiễu làm hệ không còn ổn định, thì suy ra tồn tại z ∈Dβα sao cho r(A∆(z))> 1. Từ đó suy ra rằng sẽ tồn tại vectơ không âm x ∈Cn và λ ∈C với |λ| ≥ 1 thỏa mãn N∑ i=0 zi ( A i+ K∑ j=1 D i j∆i jE ) x=λx, hay, x= N∑ i=0 K∑ j=1 zi [λI− A(z)]−1D i j∆i jEx. Nhân phương trình trên với E, ta có Ex = N∑ i=0 K∑ j=1 ziE [λI− A(z)]−1D i j∆i jEx. Từ đó suy ra rằng ‖Ex‖ N∑ i=0 K∑ j=1 max i∈N; j∈K;z∈Dβα;|λ|≥1 ∥∥E [λI− A(z)]−1D i j∥∥ |zi|∥∥∆i j∥∥‖Ex‖ . Vì vậy, { N∑ i=0 K∑ j=1 max i∈N; j∈K;z∈Dβα;|λ|≥1 ∥∥E [λI− A(z)]−1D i j∥∥ |zi| }−1 ≤‖∆‖ . Sử dụng định nghĩa của bán kính ổn định phức, ta suy ra{ N∑ i=0 K∑ j=1 max i∈N; j∈K;z∈Dβα;|λ|≥1 ∥∥E [λI− A(z)]−1D i j∥∥ |zi| }−1 ≤ rC. Việc còn lại là chứng minh rằng rC ≤ { N∑ i=0 K∑ j=1 max i∈N; j∈K ;z∈Dβα;|λ|≥1 ∥∥E [λI− A(z)]−1D i j∥∥ |zi| }−1 . 48 Thật vậy, xét i˜ ∈ N0, j˜ ∈ K , z˜ ∈Dβα, suy ra tồn tại vectơ không âm x ∈Cl i˜ j˜ với ‖x‖ = 1 sao cho ∥∥∥E [λI− A(z˜)]−1D i˜ j˜∥∥∥= ∥∥∥E [λI− A(z˜)]−1D i˜ j˜x∥∥∥ . Sử dụng định lý Hahn-Banach, suy ra tồn tại y∗ ∈ ( C l i˜ j˜ )∗ thỏa mãn ‖y∗‖= 1 và y∗ ( E [λI− A(z˜)]−1D i˜ j˜x ) = ∥∥∥E [λI− A(z˜)]−1D i˜ j˜x∥∥∥. Đặt ∆ i˜ j˜ = {∥∥∥E [λI− A(z˜)]−1D i˜ j˜∥∥∥ z˜ i˜}−1 xy∗ ∈Cl i˜ j˜×q. Ta có ∥∥∥∆ i˜ j˜∥∥∥ = {∥∥∥E [λI− A(z˜)]−1D i˜ j˜∥∥∥∣∣z˜ i˜∣∣}−1. Bây giờ, ta đặt x˜ = [λI− A(z˜)]−1D i˜ j˜x, ∆˜ i˜ := (0, ...,0,∆ i˜ j˜,0, ...,0) và ∆˜ := (0, ...,0,∆ i˜,0, ...,0), thì A∆˜(z˜)x˜=λx˜. Từ đó suy ra rằng ∆˜ là nhiễu làm cho hệ không còn ổn định. Do đó, rC ≤ { N∑ i=0 K∑ j=1 max i∈N; j∈K ;z∈Dβα;|λ|≥1 ∥∥E [λI− A(z)]−1D i j∥∥ |zi| }−1 . Định lý 3.3.2 đã làm giảm việc tính toán của bán kính ổn định phức của hệ phụ thuộc tham số (3.3) thành việc giải bài toán tối ưu một biến phức. Tuy nhiên, nếu tất cả các ma trận hệ số của hệ (3.3) là không âm, chúng ta có thể chỉ ra rằng các bán kính ổn định là trùng nhau và có thể được tính toán thông qua một công thức đơn giản. Trước hết, chúng tôi cần đến kết quả sau. Bổ đề 3.3.3. Cho A i là các ma trận không âm, i ∈ N0, sao cho r(A(α))< 1, và λ ∈ C sao cho |λ| ≥1. Ta có ∣∣[λI− A(z)]−1∣∣≤ [I− A(α)]−1 . Chứng minh. Sử dụng Định lý 3.2.2, từ điều kiện r(A(α))< 1 suy ra rằng r(A(z))< 49 1 với mọi z ∈Dβα. Vì vậy, nếu |λ| ≥ 1, ta có∣∣[λI− A(z)]−1∣∣ = |λ|−1 ∣∣∣∣∣I++∞∑i=1 [ A(z) λ ]i∣∣∣∣∣ ≤ I+ +∞∑ i=1 [ A(α) |λ| ]i ≤ I+ +∞∑ i=1 [A(α)]i = [I− A(α)]−1 . Sử dụng tính đơn điệu của chuẩn, ta có được kết quả sau. Hệ quả 3.3.4. Cho A i là các ma trận không âm, i ∈N0, sao cho r(A(α))< 1, D ∈Rn×l+ , và E ∈Rq×n+ . thì , max z∈Dβα;|λ|≥1 ∥∥E [λI− A(z)]−1D∥∥= ∥∥E [I− A(α)]−1D∥∥. Định lý 3.3.5. Cho hệ sai phân phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định và A i ∈ Rn×n+ với mọi i ∈N0. Giả sử rằng tất cả các ma trận A i , i ∈N0 bị nhiễu bởi dạng (3.6), trong đó D i j ∈Rn×l i j+ với mọi i ∈N0, j ∈K , và E ∈Rq×n+ , thì rC= rR = r+ = [ max i∈N0, j∈K αi ∥∥E [I− A(α)]−1D i j∥∥ ]−1 , với α0 = 1 Chứng minh. Theo Định lý 3.3.2 và Hệ quả 3.3.4, ta có rC= [ max i∈N0, j∈K αi ∥∥E [I− A(α)]−1D i j∥∥ ]−1 . Hơn nữa, theo định nghĩa, rC≤ rR ≤ r+. Vì vậy, việc còn lại là chứng minh r+ ≤ [ max i∈N0, j∈K αi ∥∥E [I− A(α)]−1D i j∥∥ ]−1 . Cho i˜ ∈N0, j˜ ∈K ,λ ∈C sao cho |λ| ≥ 0, bởi vì E [λI− A(α)]−1D i˜ j˜ là không âm, suy ra tồn tại không âm vectơ x ∈ Rl i˜ j˜+ với ‖x‖= 1 sao cho∥∥∥E [λI− A(α)]−1D i˜ j˜∥∥∥= ∥∥∥E [λI− A(α)]−1D i˜ j˜x∥∥∥ . 50 Sử dụng Định lý Krein-Rutman, suy ra tồn tại không âm vectơ y ∈ Rl i˜ j˜+ thỏa mãn ‖y∗‖= 1 và y∗ ( E [λI− A(α)]−1D i˜ j˜x ) = ∥∥∥E [λI− A(α)]−1D i˜ j˜x∥∥∥. Đặt ∆ i˜ j˜ = {∥∥∥E [λI− A(α)]−1D i˜ j˜∥∥∥α i˜}−1 xy∗ ∈ Rl i˜ j˜×q+ . Ta có ∥∥∥∆ i˜ j˜∥∥∥= {∥∥∥E [λI− A(α)]−1D i˜ j˜∥∥∥α i˜}−1. Chọn x˜= [λI− A(α)]−1D i˜ j˜x, ∆˜ i˜ := (0, ...,0,∆ i˜ j˜,0, ...,0) và ∆˜ := (0, ...,0,∆ i˜,0, ...,0), thì A∆˜(α)x˜=λx˜. Từ đó suy ra rằng ∆˜ là không âm và làm hệ không còn ổn định. Vì vậy, ta nhận được chận trên của r+ và từ đó định lý được chứng minh xong. Chú ý 3.3.6. Chúng ta có thể nhận đựơc kết quả tương tự cho bán kính ổn định phức, thực và dương hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số (3.3) dưới tác động của nhiễu có dạng: (3.8) A i ,→ A i+ K∑ j=1 D∆i jE i j, i ∈N0. Tiếp theo, chúng ta chuyển qua nghiên cứu một loại nhiễu khác, và giả sử rằng hệ sai phân phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định và mỗi A i bị nhiễu dưới dạng (3.9) A i ,→ A i+ K∑ j=1 δi jBi j, i ∈N0, trong đó Bi j ∈Cn×n, i ∈N, j ∈K là các ma trận cho trước xác định cấu trúc của nhiễu và δi j ∈K, i ∈N, j ∈K , các nhiễu chưa biết, thì hệ bị nhiễu có dạng (3.10) x(k+1)= Aδ(z)x(k), k ∈N, trong đó Aδ(z) := N∑ i=0 zi ( A i+ K∑ j=1 δi jBi j ) , z := (z1, z2, ..., zN)∈CN, z0 = 1. 51 Đặt δ := (δ01,δ02...,δ0K ,δ11, ...,δNK) ∈K(N+1)K , kích thước của mỗi nhiễu ∆ được đo đạt bởi γ(δ) := max i∈N0; j∈K ∣∣δi j∣∣ . Định nghĩa 3.3.7. Cho hệ sai phân phụ thuộc tham số (3.3)là Dβα-ổn định. Các bán kính Dβα-ổn định phức, thực và dương của hệ dưới tác động của nhiễu dạng (3.9) được định nghĩa là rδC = inf { γ(δ) : δi j ∈C, i ∈N0, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.10) là không Dβα-ổn định } , rδR = inf { γ(δ) : δi j ∈ R, i ∈N0, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.10) là không Dβα-ổn định } , rδ+ = inf { γ(δ) : δi j ∈ R+, i ∈N0, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.10) là không Dβα-ổn định } . Định lý 3.3.8. Cho hệ sai phân phụ thuộc tham số (3.3) là Dβα-ổn định, A i ∈ Rn×n+ với mọi i ∈N0 và Bi j ∈ Rn×n+ , i ∈N0, j ∈K , thì rδC= rδR = rδ+ = [ r ( [I− A(α)]−1 ( N∑ i=0 αi K∑ j=1 Bi j ))]−1 . Chứng minh. Sử dụng định nghĩa, ta có rδ C ≤ rδ R ≤ rδ+. Việc đầu tiên là chứng minh (3.11) rδC ≥ [ r ( [I− A(α)]−1 ( N∑ i=0 αi K∑ j=1 Bi j ))]−1 . Thật vậy, xét δ là nhiễu làm hệ không còn ổn định, suy ra tồn tại z ∈ Dβα sao cho r(Aδ(z))> 1. Suy ra tồn tại vectơ không âm x ∈Cn và λ ∈C với |λ| ≥ 1 thỏa mãn N∑ i=0 zi ( A i+ K∑ j=1 δi jBi j ) x=λx, hay, x= N∑ i=0 K∑ j=1 zi [λI− A(z)]−1δi jBi jx. Sử dụng Bổ đề 3.3.3, suy ra |x| ≤ N∑ i=0 K∑ j=1 αi [I− A(α)]−1 ∣∣δi j∣∣Bi j |x| ≤ γ(δ) ( [I− A(α)]−1 ( N∑ i=0 αi K∑ j=1 Bi j )) |x| . 52 Theo Định lý 3.1.1, ta có γ(δ)≥ [ r ( [I− A(α)]−1 ( N∑ i=0 αi K∑ j=1 Bi j ))]−1 . Do đó, chận dưới của bán kính ổn định phức (3.11). Việc còn lại là chứng minh rằng (3.12) rδ+ ≤ [ r ( [I− A(α)]−1 ( N∑ i=0 αi K∑ j=1 Bi j ))]−1 . Đặt s := r ( [I− A(α)]−1 (∑N i=0αi ∑K j=1Bi j )) > 0. Sử dụng Định lý 3.1.1, suy ra tồn tại vectơ không âm và khác không x ∈ Rn+ sao cho( [I− A(α)]−1 ( N∑ i=0 αi K∑ j=1 Bi j )) x= sx, hay, N∑ i=0 αi ( A i+ K∑ j=1 s−1Bi j ) x= x. Từ đó suy ra rằng δ := (s−1)(m+1)N là không âm và làm hệ không còn ổn định. Vì vậy, ta nhận được (3.12) và định lý được chứng minh xong. 3.3.2 Phương trình sai phân Giả sử rằng phương trình sai phân (3.2) là ổn định không phụ thuộc trễ và mỗi A i bị nhiễu dưới dạng (3.6), thì phương trình bị nhiễu có dạng (3.13) y(t)= ( A1+ K∑ j=1 D1 j∆1 jE ) y(t−r1)+...+ ( AN + K∑ j=1 DN j∆N jE ) y(t−rN), t≥0. Định nghĩa 3.3.9. Cho phương trình sai phân (3.2) là ổn định không phụ thuộc trễ (viết tắt là o.đ.k.p.t.t). Các bán kính ổn định không phụ thuộc trễ phức, thực và dương của hệ dưới tác động của nhiễu (3.6) được định nghĩa là rC = inf { γ(∆) :∆i j ∈Cl i j×q, i ∈N, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.13) là không o.đ.k.p.t.t } , rR = inf { γ(∆) :∆i j ∈ Rl i j×q, i ∈N, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.13) là không o.đ.k.p.t.t } , r+ = inf { γ(∆) :∆i j ∈ Rl i j×q+ , i ∈N, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.13) là không o.đ.k.p.t.t } . 53 Vì phương trình sai phân (3.2) là ổn định không phụ thuộc trễ khi và chỉ khi hệ sai phân phụ thuộc tham số là Dαα-ổn định với α= (1,1, ...,1), kết quả sau được suy ra từ Định lý 3.3.2 và 3.3.5. Định lý 3.3.10. Cho phương trình sai phân (3.2) là ổn định không phụ thuộc trễ, thì rC= { max i∈N; j∈K;|zi |=1;|λ|≥1 ∥∥E [λI− z1A1− ...− zNAN]−1D i j∥∥ }−1 . Mặt khác, nếu phương trình sai phân (3.2) là dương, và D i j ∈Rn×l i j+ với mọi i ∈N, j ∈ K và E ∈Rq×n+ , thì rC = rR = r+ = [ max i∈N, j∈K ∥∥E [I− A1− ...− AN]−1D i j∥∥ ]−1 . Tương tự, giả sử rằng phương trình sai phân (3.2) là ổn định không phụ thuộc trễ và mỗi A i bị nhiễu dưới dạng (3.9), thì phương trình bị nhiễu có dạng (3.14) y(t)= ( A1+ K∑ j=1 δ1 jB1 j ) y(t− r1)+ ...+ ( AN + K∑ j=1 δN jBN j ) y(t− rN). Định nghĩa 3.3.11. Cho phương trình sai phân (3.2) là ổn định không phụ thuộc trễ. Các bán kính ổn định không phụ thuộc trễ phức, thực và dương của hệ dưới tác động của nhiễu (3.6) được định nghĩa là rδC= inf { γ(δ) : δi j ∈C, i ∈N, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.14) là không o.đ.k.p.t.t } , rδR = inf { γ(δ) : δi j ∈R, i ∈N, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.14) là không o.đ.k.p.t.t } , rδ+ = inf { γ(δ) : δi j ∈R+, i ∈N, j ∈K , hệ bị nhiễu (3.14) là không o.đ.k.p.t.t } . Định lý 3.3.12. Cho phương trình sai phân (3.2) là dương và ổn định không phụ thuộc trễ, và Bi j ∈ Rn×n+ , i ∈N, j ∈K , thì rδC= rδR = rδ+ = r [I− A1− ...− AN]−1  ∑ i∈N, j∈K Bi j −1 . 54 3.4 Ví dụ Xét hệ sai phân phụ thuộc tham số (3.15) x(t+1)= (A0+ z1A1+ z2A2)x(t), t ∈N, (z1, z2) ∈Q, trong đó A0 = 02×2, A1 = ( 0.226 0.314 0.179 0.315 ) , A2 = ( 0.121 0.231 0.431 0.386 ) , và Q := {(z1, z2) : 0.2≤ |z1| ≤ 0.9;0.1≤ |z2| ≤ 0.8}. Vì r(0.9A1+0.8A2)= 0.9540< 1, theo Định lý 3.2.2, thì hệ (3.15) là ổn định. Giả sử rằng các ma trận A1, A2 bị nhiễu dưới dạng A1 ,→ A1+D11∆11E+D12∆12E, A2 ,→ A2+D21∆21E+D22∆22E, trong đó D11 = ( 1 1 ) , D12 = ( 1 1 1 0 ) , D21 = ( 0 1 ) , D22 = ( 1 1 1 1 ) , E = I2, ∆11,∆21 ∈K1×2, ∆12,∆22 ∈K2×2, (K=C,R).(3.16) Và xét trường hợp không gian C2 được trang bị bởi chuẩn 2. Sử dụng Định lý 3.3.5, ta có rC= rR = r+ = [ max i, j∈{1,2} ∥∥E (I2−0.9A1−0.8A2)−1D i j∥∥2]−1 = [∥∥E (I2−0.9A1−0.8A2)−1D22∥∥2]−1 = 0.0232. Tiếp theo, giả sử rằng các ma trận A1, A2 bị nhiễu dưới dạng A1 ,→ A1+δ11B11+δ12B12, A2 ,→ A2+δ21B21+δ22B22, trong đó B11 = ( 0 1 1 0 ) , B12 = ( 1 1 1 0 ) , B21 = ( 0 0 1 1 ) , B22 = ( 1 1 1 1 ) , δ11,δ21,δ12,δ22 ∈K, (K=C,R).(3.17) 55 Sử dụng Định lý 3.3.8, ta có rδC = rδR = rδ+ = [ r ( (I2−0.9A1−0.8A2)−1 (0.9B11+0.9B12+0.8B21+0.8B22) )]−1 = 0.0102. 56