Luận văn Tối ưu hóa điều khiển bó dạng mờ

Toái öu hoùa ñieàu khieån boù daïng môø Luaän vaên thaïc só – Ngaønh toaùn toái öu vaø heä thoáng 25 Chöông III: ÑIEÀU KHIEÅN TOÁI ÖU BOÙ DAÏNG MÔØ §3.1 BAØI TOAÙN ÑIEÀU KHIEÅN TOÁI ÖU BOÙ 3.1.1 Ñaët baøi toaùn Giaûi baøi toaùn ñieàu khieån heä vi phaân n p dx f (t, x(t),u(t)), x(t) R ,u(t) R dt = ∈ ∈ (3.1.1) Vôùi haøm vectô f (t,x(t),u(t)) maø n px(t) R ,u(t) R∈ ∈ cuøng lieân tuïc vôùi caùc ñaïo haøm rieâng 2 k k j i j f (t,x,u) f (t, x,u) , x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ treân [0,T] Q U× × . T laø giaù trò coá ñònh, Q laø taäp môû trong nR , coøn U laø taäp ñoùng giôùi noäi trong pR , haøm u(t) xaùc ñònh treân D [0,T]= coù giaù trò trong U. 3.1.1.1 Boù nghieäm: Giaû söû 0H laø moät taäp ñoùng bò chaën chöùa trong taäp Q, trong ñoù 0 0x(0) x H= ∈ . Nhö vaäy öùng vôùi moãi haøm ñieàu khieån u(t) taïo ra moät hoï nghieäm 0x(t) x(t,x ,u)= - ñoù laø moät hoï nghieäm xuaát phaùt töø 0H maø chuùng ta seõ goïi laø boù nghieäm töông öùng vôùi ñieàu khieån u(t). 3.1.1.2 Thieát dieän caét ngang boù nghieäm: Giaû söû { }t ,u t 0 0 0H x x(t,x ,u) |x H= = ∈ (3.1.2) laø aûnh cuûa taäp hôïp 0H thoâng qua heä vi phaân (3.1.1) vôùi ñieàu khieån u(t) taïi thôøi ñieåm t ñöôïc goïi laø thieát dieän caét ngang boù nghieäm. Coù theå nhaän thaáy raèng taäp (3.1.2) laø compact. Chuùng ta coù theå ñöa ra khaùi nieäm ñoä ño cuûa taäp naøy nhö sau: t ,u 0 0 t,u t 0M M 0 x(t,x ,u) mesH dx | det | dx x  ∂ = =  ∂ ∫ ∫ , Toái öu hoùa ñieàu khieån boù daïng môø Luaän vaên thaïc só – Ngaønh toaùn toái öu vaø heä thoáng 26 ÔÛ ñaây 0 0 x(t,x ,u)det x  ∂  ∂  laø jacobian cuûa ma traän chuyeån ñoåi, noù coù daïng Liuville sau: t 0 0 0 0 0 x(t,x ,u) f ( ,x( ,x ,u),u( )det exp sp x x    ∂ ∂ =   ∂ ∂   ∫ τ τ τ , trong ñoù sp laø veát cuûa ma traän Jacobi f x ∂ ∂ . 3.1.1.3 Baøi toaùn toái öu hoùa ñieàu khieån boù nghieäm: Giaû söû hai haøm soá (t, x),g(x)ϕ laàn löôït xaùc ñònh vaø lieân tuïc cuøng caùc ñaïo haøm cuûa chuùng treân caùc taäp D× Q vaø Q khaû tích treân thieát dieän caét ngang boù nghieäm { }t ,u t 0 0 0H x x(t,x ,u) |x H= = ∈ . Treân caùc taäp boù nghieäm chuùng ta laäp moät phieám haøm: t ,u t ,u T t t T TH H 0 I(u) (t,x )dx dt g(x )dx= +∫ ∫ ∫ϕ (3.1.3) Baøi toaùn toái öu hoùa ñieàu khieån boù nghieäm laø toái thieåu hoùa haøm I(u) theo ñieàu khieån u(t) xaùc ñònh treân D vaø nhaän giaù trò trong U. Ñieàu khieån u u (t)∗ ∗= ñeå I(u ) min I(u(t))∗ = ñöôïc goïi laø ñieàu khieån toái öu. Trong tröôøng hôïp (t, x) 0=ϕ baøi toaùn toái öu chæ xaûy ra treân thieát dieän ñaàu ra cuûa boù nghieäm, chuùng ta goïi ñoù laø ñieàu khieån khu vöïc (Terminal) boù nghieäm. Quaù trình toái öu chính laø boù nghieäm toái öu cuûa baøi toaùn treân. Ñieàu khieån chaáp nhaän ñöôïc laø ñieàu khieån xaùc ñònh treân D nhaän giaù trò trong U. 3.1.1.4 Söï thay ñoåi boù nghieäm khi coù bieán phaân ñieàu khieån: Chuùng ta seõ goïi u(t)∆ cuûa ñieàu khieån chaáp nhaän ñöôïc u(t) neáu u(t) u(t)∆ + xaùc ñònh treân D coù giaù trò trong U laø bieán phaân cuûa ñieàu khieån. Trong [11] caùc taùc giaû ñaõ ñöa ra moät soá so saùnh boù nghieäm. Ñieàu ñoù khaúng ñònh tính phuï thuoäc lieân tuïc cuûa boù nghieäm vaøo ñieàu khieån trong tröôøng hôïp coù bieán Toái öu hoùa ñieàu khieån boù daïng môø Luaän vaên thaïc só – Ngaønh toaùn toái öu vaø heä thoáng 27 phaân u(t)∆ . Trong [13] cuõng ñöa ra moät keát quaû veà söï phuï thuoäc lieân tuïc naøy( Xem [13], boå ñeà 2.1 trang 14). Ñaët: a. C([0,T]) t [0,T] u(t) max | u(t) | ∈ = hoaëc chæ ñôn giaûn laø u(t) hoaëc Cu(t) b. T L[0,T] 0 u(t) u(t) dt= ∫ hoaëc chæ ñôn giaûn laø Lu(t) c. T L 0 u u(t) dt∆ = ∆∫ d. uf (t, x,u) f (t, x,u u) f (t, x,u)∆ = + ∆ − (3.1.4) Töø ñoù chuùng ta coù: Boå ñeà 3.1.1: Vôùi moïi 0>ε nhoû tuøy yù, coù theå tìm ñöôïc 0>δ sao cho: T L 0 u u(t) dt∆ = ∆ <∫ δ ñeå: i/ C([0,T]) t [0,T] x(t) max | x(t) | ∈ ∆ = ∆ < ε (3.1.5) ii/ t u 0 0 f (s,x(s,x ,u)u(s)) dt , t [0,T]∆ < ∀ ∈∫ ε (3.1.5) iii/ 0 t C x(t,x(t,x ,u)) x ∂∆ < ∂ ε (3.1.5) ñoái vôùi ñieåm 0 0x H∈ baát kyø cho tröôùc. Chöùng minh boå ñeà naøy coù theå xem caùc boå ñeà 2.1 - 2.5 taøi lieäu ñaõ daãn [12 ]. 3.1.2 Ñieàu kieän caàn cuûa baøi toaùn ñieàu khieån toái öu boù nghieäm 3.1.2.1 Baát bieán tích phaân nhö laø ñieàu kieän caàn cuûa baøi toaùn ñieàu khieån toái öu boù nghieäm: Xeùt baøi toaùn ñieàu khieån heä vi phaân n p dx f (t, x(t),u(t)), x(t) R ,u(t) R dt = ∈ ∈ (3.1.6) Toái öu hoùa ñieàu khieån boù daïng môø Luaän vaên thaïc só – Ngaønh toaùn toái öu vaø heä thoáng 28 Vôùi haøm vectô f (t,x(t),u(t)) maø n px(t) R ,u(t) R∈ ∈ cuøng lieân tuïc vôùi caùc ñaïo haøm rieâng 2 k k j i j f (t,x,u) f (t, x,u) , x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ treân [0,T] Q U× × . T laø giaù trò coá ñònh, Q laø taäp môû trong nR , coøn U laø taäp ñoùng giôùi noäi trong pR , haøm u(t) xaùc ñònh treân D [0,T]= coù giaù trò trong U. Treân caùc taäp boù nghieäm chuùng ta laäp moät phieám haøm: t ,u t ,u T t t T TH H 0 I(u) (t,x )dx dt g(x )dx= +∫ ∫ ∫ϕ (3.1.7) Tìm ñieàu kieän caàn cho baøi toaùn ñieàu khieån toái öu boù nghieäm (3.1.6)-(3.1.7). Thieát laäp moät phöông trình ñaïo haøm rieâng cho haøm V(t,x), nhö sau: V V f (t,x,u(t)) Vdivf (t,x,u(t)) (t, x,u(t)) 0 t x ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ϕ (3.1.8) vôùi ñieàu kieän höõu haïn V(T,x) g(x)= (3.1.9) Nhö vaäy haøm V(t,x) trôû thaønh haèng treân vôùi moïi t [0,T]∈ . Giaû söû phöông trình (3.1.8) vôùi ñieàu kieän (3.1.9) coù nghieäm vôùi moãi ñieàu khieån chaáp nhaän ñöôïc u(t). Ngoaøi ra chuùng ta xeùt theâm moät haøm soá: V(t,x) V(t,x)W(t,x,u) f (t, x,u) V(t,x)divf (t,x,u) (t, x,u) t x ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ϕ (3.1.10) ñöôïc xaây döïng döïa treân haøm V(t,x) laáy tích phaân theo boù nghieäm cuûa heä phöông trình (3.1.6) noùi treân, töông öùng vôùi ñieàu khieån chaáp nhaän ñöôïc u(t) vaø xuaát phaùt töø taäp 0H . Chuùng ta nhaän ñöôïc keát quaû: t ,u T t tH 0 W(t,x ,u(t))dx dt 0=∫ ∫ (3.1.11) Maët khaùc, chuùng ta laïi coù: Toái öu hoùa ñieàu khieån boù daïng môø Luaän vaên thaïc só – Ngaønh toaùn toái öu vaø heä thoáng 29 t ,u t ,u t ,u T T T t t t t t tH H H 0 0 0 dW(t,x ,u(t))dx dt V(t,x )dx dt (t,x ,u(t))dx dt dt = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ϕ = = 0 0 0H I(u) V(0,x )dx− ∫ (3.1.12). 3.1.2.2 Ñònh lyù veà ñieàu kieän caàn cuûa baøi toaùn ñieàu khieån toái öu boù nghieäm: Ñònh lyù 3.1.1. Giaû söû u *(t) laø ñieàu khieån toái öu cuûa baøi toaùn ñieàu khieån toái öu boù nghieäm (3.1.6)-(3.1.7). Khi ñoù ñieàu kieän caàn laø coù moät haøm soá V(t,x) xaùc ñònh bôûi baøi toaùn Cauchy (3.1.8)-(3.1.9) sao cho haøm W(t,x,u) töø (3.1.10) thoûa maõn: tW(t,x ,u *(t)) 0= (3.1.13) . Chöùng minh ñònh lyù 3.1.1: Giaû söû u*(t) laø ñieàu khieån toái öu cuûa baøi toaùn ñieàu khieån toái öu boù nghieäm (3.1.6) - (3.1.7). Khi ñoù vôùi moïi t [0,T]∈ chuùng ta coù heä thöùc: t ,u t ,u t t t t t tH Hu U inf W(t,x ,u(t,x ))dx W(t,x ,u *(t,x ))dx ∈ =∫ ∫ (3.1.14) trong ñoù u*(t,x) laø ñieàu khieån chaáp nhaän ñöôïc. Nhöng neáu xeùt moät ñieàu khieån khaùc u(t,x), chuùng ta laïi coù: t ,u T t t tH 0 I(u) I(u*) W(t,x ,u(t,x ))dx dt− = ∫ ∫ (3.1.15). Vôùi ñieàu khieån naøy do (3.1.14) ta coù I(u) I(u*) 0− ≥ , nghóa laø u*(t) laø ñieàu khieån toái öu vaø do ñoù haøm tW(t,x ,u *(t)) 0= . 3.1.3 Ñieàu kieän ñuû cuûa baøi toaùn ñieàu khieån toái öu boù nghieäm Ñònh lyù 3.1.2. Giaû söû u *(t) laø ñieàu khieån chaáp nhaän ñöôïc thoûa maõn baøi toaùn Cauchy (3.1.8)-(3.1.9) . Khi ñoù neáu : i/ Toàn taïi haøm soá V(t,x) xaùc ñònh bôûi baøi toaùn Cauchy (3.1.8)-(3.1.9); ii/ ÖÙng vôùi haøm V*(t,x) luoân coù haøm tW *(t,x ,u(t,x)) 0≥ (3.1.16) Toái öu hoùa ñieàu khieån boù daïng môø Luaän vaên thaïc só – Ngaønh toaùn toái öu vaø heä thoáng 30 thì u *(t) laø ñieàu khieån toái öu cuûa baøi toaùn ñieàu khieån toái öu boù nghieäm (3.1.6)- (3.1.7). Chöùng minh ñònh lyù 3.2.2: Giaû söû u(t)% laø moät ñieàu khieån nöõa cuûa baøi toaùn ñieàu khieån toái öu boù nghieäm (3.1.6)-(3.1.7). Khi ñoù chuùng ta coù: t ,u T t t tH 0 I(u) I(u) W(t,x ,u(t,x ))dx dt− = ∫ ∫% % % % (3.1.17) Maø theo ñònh nghóa thì haøm soá V(t,x) V(t,x)W(t,x,u(t)) f (t,x,u(t)) V(t,x)divf (t, x,u(t)) (t,x,u(t)) t x ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ % % % %ϕ (3.1.18) khaû tích theo boù nghieäm xuaát phaùt töø taäp 0H töông öùng haøm ñieàu khieån u(t)% . Khi ñoù haøm trung gian V(t,x) laø nghieäm cuûa phöông trình vi phaân ñaïo haøm rieâng: V V f (t,x,u(t)) Vdivf (t,x,u(t)) (t, x,u(t)) 0 t x ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ϕ vôùi ñieàu kieän höõu haïn V(T,x) g(x)= . Suy ra (3.1.16) Toái öu hoùa ñieàu khieån boù daïng môø Luaän vaên thaïc só – Ngaønh toaùn toái öu vaø heä thoáng 31 §3.2 VEÀ BAØI TOAÙN MINIMAX CUÛA ÑIEÀU KHIEÅN TOÁI ÖU BOÙ NGHIEÄM 3.2.1 Ñaët baøi toaùn minimax Giaûi baøi toaùn ñieàu khieån heä vi phaân dx f (t,x(t),u(t),v(t)) dt = (3.2.1) Vôùi haøm vectô f (t,x(t),u(t),v(t)) maø 1 2p pn 1 2x(t) Q R ,u(t) D R ,v(t) D R∈ ⊆ ∈ ∈ ∈ ∈ , 1 2U D D= ∪ cuøng lieân tuïc vôùi caùc ñaïo haøm rieâng 2 k k j i j f (t,x,u) f (t, x,u) , x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ treân [0,T] Q U× × . T laø giaù trò coá ñònh, Q laø taäp môû trong nR , coøn U laø taäp ñoùng giôùi noäi trong pR , haøm u(t) , v(t) xaùc ñònh treân [0,T] laø caùc ñieàu khieån. Treân caùc taäp boù nghieäm chuùng ta laäp moät phieám haøm muïc tieâu: t ,u ,v t ,u ,v T t t T TH H 0 I(u,v) (t, x ,u(t(,v(t))dx dt g(x )dx= +∫ ∫ ∫ϕ (3.2.2) Trong ñoù t ,u,vH laø thieát dieän cuûa boù nghieäm taïi thôøi ñieåm t [0,T]∈ ñi ra töø taäp compact n0H R⊂ töông öùng vôùi caùc haøm ñieàu khieån 1 2p p 1 2u(t) D R ,v(t) D R∈ ∈ ∈ ∈ . Chuùng ta laàn löôït xeùt caùc baøi toaùn minimax theo caùc haøm ñieàu khieån khaùc nhau noùi treân vaø theo boù nghieäm döôùi hai daïng baøi toaùn: ñieàu kieän caàn vaø ñieàu kieän ñuû. Toái öu hoùa ñieàu khieån boù daïng môø Luaän vaên thaïc só – Ngaønh toaùn toái öu vaø heä thoáng 32 3.2.1.1 Baøi toaùn minimax theo haøm ñieàu khieån thöù nhaát: Baøi toaùn Minimax theo haøm ñieàu khieån thöù nhaát ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: t ,u ,v t ,u ,v1 12 2 T t t T TH Hu D u Dv D v D 0 min max I(u,v) min max (t,x ,u(t),v(t))dx dt g(x )dxϕ ∈ ∈∈ ∈ = +∫ ∫ ∫ (3.2.3), 3.2.1.2 Baøi toaùn minimax theo haøm ñieàu khieån thöù hai: Baøi toaùn Minimax theo haøm ñieàu khieån thöù hai ñöôïc ñònh nghóa hoaøn toaøn töông töï, ta coù: t ,u ,v t ,u ,v1 12 2 T t t T TH Hu D u Dv D v D 0 max min I(u,v) max min (t,x ,u(t),v(t))dx dt g(x )dxϕ ∈ ∈∈ ∈ = +∫ ∫ ∫ (3.2.4). 3.2.1.3 Baøi toaùn ñieàu khieån toái öu minimax : Neáu chuùng ta coù 1 12 2 0 0 u D u Dv D u D min max I(u,v) max min I(u,v) I(u ,v ) ∈ ∈∈ ∈ = = (3.2.5) thi ñieåm 0 0(u ,v ) U∈ ñöôïc goïi laø ñieåm caân baèng cuûa haøm muïc tieâu, hay noù laø ñieàu khieån toáâi öu cuûa baøi toaùn minimax (3.2.3). 3.2.1.4 Baøi toaùn minimax theo boù nghieäm: Treân caùc taäp boù nghieäm chuùng ta laäp moät phieám haøm muïc tieâu: t ,ut R x H I(u) max max (t,x, (t,x)) ∈ ∈ = ϕ ρ (3.2.6) Vôùi (t, x)ρ thoûa maõn phöông trình sau: d (t,x) divf (t,x,u) dt = − ρ ρ (3.2.7) nhö laø haøm maät ñoä xaùc ñònh bôûi giaù trò treân thieát dieän boù nghieäm vaø giaù trò haøm ñieàu khieån. 3.2.2 Ñieàu kieän caàn cuûa baøi toaùn minimax Theo ñònh nghóa baøi toaùn minimax thì ñieàu kieän caàn cuûa baøi toaùn naøy, chính laø baøi toaùn tìm ñieàu kieän caàn ñeå coù ñieåm caân baèng haøm muïc tieâu. Toái öu hoùa ñieàu khieån boù daïng môø Luaän vaên thaïc só – Ngaønh toaùn toái öu vaø heä thoáng 33 3.2.2.1 Ñieàu kieän caàn ñeå coù ñieåm caân baèng: Ñònh lyù 3.2.1. ( Xem Ñònh lyù 9.1 [ ]21 ) Giaû söû 0 0(u ,v ) laø ñieàu khieån toái öu cuûa baøi toaùn minimax (3.2.3), nghóa laø ñieåm caân baèng cuûa phieám haøm (3.2.2). Khi ñoù vôùi moïi t [0,T]∈ ñieàu kieän caàn ñeå coù ñieåm caân baèng laø: 0 0t ,u ,v t t u U v V H min max M(t,x , (t,x), (t, x),u,v)dx ∈ ∈ λ ψ∫ = 0 0t ,u ,v t t u Uv V H max min M(t,x , (t,x), (t, x),u,v)dx ∈∈ λ ψ∫ = 0 0t ,u ,v 0 0 0 0 0 t t H M (t,x , (t,x), (t, x),u (t), v (t))dx 0λ ψ =∫ (3.2.8) Vôùi (t,x), (t, x)λ ψ laàn löôït laø nghieäm cuûa caùc phöông trình vi phaân sau: d divf 0 dt λ + λ − ϕ = (3.2.9) * *d f divfEdivf 0 dt x x x ψ ∂ ∂ ∂ϕ      + + ψ + λ + =     ∂ ∂ ∂      (3.2.10) 3.2.2.2 Ñieàu kieän caàn cuûa baøi toaùn minimax: Chuùng ta seõ tìm ñieåu kieän caàn cuûa baøi toaùn döï treân söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình vi phaân sau: z z f zdivf 0 t x ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ϕ (3.2.11) Vaø ñaët W(t,x,u,v) = z z f zdivf t x ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ϕ (3.2.12) Ñònh lyù 3.2.2. ( Xem Ñònh lyù 9.2 [ ]21 ) Giaû söû 0 0(u ,v ) laø ñieàu khieån toái öu cuûa baøi toaùn minimax (3.2.3), nghóa laø ñieåm caân baèng cuûa phieám haøm (3.2.2), coøn haøm z(t,x) laø nghieäm cuûa phöông trình (3.2.11) khi 0 0(u ,v ) U∈ laø caùc ñieàu khieån Toái öu hoùa ñieàu khieån boù daïng môø Luaän vaên thaïc só – Ngaønh toaùn toái öu vaø heä thoáng 34 toái öu thoûa maõn ñieàu kieän z(T,x) g(x)= . Khi ñoù vôùi moïi t [0,T]∈ ñieàu kieän caàn cuûa baøi toaùn laø: 0 0t ,u ,v t t u U v V H min max W(t,x ,u,v)dx ∈ ∈ ∫ = 0 0t ,u ,v t t u Uv V H max min W(t,x ,u,v)dx ∈∈ ∫ = 0 0t ,u ,v 0 0 0 t t H W (t,x ,u (t),v (t))dx 0=∫ (3.2.13) 3.2.3 Ñieàu kieän ñuû cuûa baøi toaùn minimax Giaû söû caùc ñieàu khieån u,v laø chaáp nhaän ñöôïc thuoäc hai lôùp ñieàu khieån 1 2K ,K , nghóa laø 1 2u u(t,x) K ,v v(t,x) K= ∈ = ∈ , coøn Ω laø taäp taát caû quyõ ñaïo cuûa heä (3.2.1). Chuùng ta coù ñònh lyù veà ñieàu kieän ñuû cuûa baøi toaùn minimax: Ñònh lyù 3.2.3. ( Xem Ñònh lyù 9.3 [ ]21 ) Giaû söû: i/ Haøm z(t,x) laø nghieäm cuûa phöông trình (3.2.11) khi 0 0 0 01 2u u (t,x) K ,v v (t,x) K= ∈ = ∈ ii/ 0tW(t,x ,u(t, x),v (t,x)) 0≥ (3.2.14) 0tW(t,x ,u (t, x),v(t,x)) 0≥ (3.2.15) vôùi moïi t [0,T]∈ , 1 2x ,u K ,v K∈Ω ∈ ∈ . Khi ñoù 0 0(u ,v ) laø ñieàu khieån toái öu cuûa baøi toaùn minimax (3.2.3), nghóa laø ñieåm caân baèng cuûa phieám haøm (3.2.2). 3.2.4 ÖÙng duïng 3.2.4.1 Ñieàu khieån maät ñoä phaân boá caùc haït cô baûn Giaû söû nR - khoâng gian thöïc Euclide n - chieàu laø khoâng gian pha trong ñoù haøm (t, x)ρ laø phaân boá maät ñoä caùc haït vaät chaát. Chuùng ta xem maët cong S laø bieân cuûa taäp H vôùi tính chaát trôn töøng phaàn. Taïi thôøi ñieåm 0t [0,T]∈ maät ñoä (t, x)ρ coù daïng 0 0(t ,x) (x)=ρ ρ . Toái öu hoùa ñieàu khieån boù daïng môø Luaän vaên thaïc só – Ngaønh toaùn toái öu vaø heä thoáng 35 Phieám haøm 0 0t ,u ,v H I(u) g(x) (T,x)dx= ∫ ρ (3.2.16) seõ ñaëc tröng cho phaân boá maät ñoä caùc haït vaät chaát trong khoâng gian pha chöùa taäp H. Giaûi baøi toaùn ñieàu khieån heä vi phaân n p dx f (t, x(t),u(t)), x(t) R ,u(t) R dt = ∈ ∈ (3.2.17) Vôùi haøm vectô f (t,x(t),u(t)) maø n px(t) R ,u(t) R∈ ∈ cuøng lieân tuïc vôùi caùc ñaïo haøm rieâng 2 k k j i j f (t,x,u) f (t, x,u) , x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ treân [0,T] Q U× × . T laø giaù trò coá ñònh, Q laø taäp môû trong nR , coøn U laø taäp ñoùng giôùi noäi trong pR , haøm u(t) xaùc ñònh treân D [0,T]= coù giaù trò trong U. 3.2.4.2 Baøi toaùn: Giaû söû 0H laø moät taäp ñoùng bò chaën chöùa trong taäp Q, trong ñoù 0 0x(0) x H= ∈ . Nhö vaäy öùng vôùi moãi haøm ñieàu khieån u(t) taïo ra moät hoï nghieäm 0x(t) x(t,x ,u)= - ñoù laø moät hoï nghieäm xuaát phaùt töø 0H maø chuùng ta seõ goïi laø boù nghieäm töông öùng vôùi ñieàu khieån u(t). Coøn H laø moät taäp compact coù ñoä ño döông trong khoâng gian nR vaø S laø maët trôn töøng vuøng bao taäp H. Haøm maät ñoä phaân boá (T,x)ρ , haøm khoái löôïng g(x) caùc haït cô baûn. Baøi toaùn toái öu coù theå laáy min cuûa phieám haøm : H I(u) g(x) (T,x)dx= ∫ ρ (3.2.18)