Luận văn Vài nét về dạy học khái niệm hàm số ở trường phổ thông

để giải quyết. ¾ Với bài toán 6 và bài toán 8: Ở hai bài toán này, học sinh phải giải quyết các yêu cầu liên quan tới hàm số được cho dưới dạng “đường hình học”. Do học sinh luôn quan niệm hàm số gắn với biểu thức giải tích nên ở đây học sinh áp dụng phương án đưa hàm số từ dạng đồ thị sang dạng công thức để giải quyết. Tuy nhiên, ở bài 6, hàm số có đồ thị là một dạng rất lạ đối với học sinh và học sinh sẽ không thể chuyển về dạng công thức được. Thế nhưng vẫn có một học sinh cho rằng đó là đồ thị của hàm số y = ax + b nên đã giải bài toán như sau: Bài 6: b) Giá trị của x để f(x) = 0 ⇔ x = - b/a. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 59 c) f(x) ≤ 2 ⇒ ax + b ≤ 2. Đối với bài toán 8, khi đồ thị là một đường thẳng thì việc chuyển hàm số từ dạng đồ thị sang dạng công thức sẽ dễ dàng hơn đối với học sinh. Do đó có tới 31 học sinh (26.27%) áp dụng phương án 8a tức là viết phương trình đường thẳng sau đó tính các giá trị dựa vào biểu thức tương ứng của hàm số đó. Có 67 học sinh (56.78%) áp dụng phương án 8c tức là tính gần đúng các giá trị dựa vào đồ thị. Nhưng trong đó cũng có những học sinh do gặp khó khăn với việc chuyển hàm số từ dạng đồ thị sang dạng công thức nên khi làm theo phương án 8a không được mới chuyển sang phương án 8c. Và có 16 học sinh (13.56%) áp dụng phương án 8b tức là chỉ tính các giá trị nguyên f(2) và f(-2). Điều đó có thể do học sinh chưa thành thạo việc đọc đồ thị nhưng lại gặp khó khăn khi chuyển hàm số từ đồ thị sang công thức vì thông thường học sinh chỉ quen thực hiện bước chuyển hàm số từ công thức sang đồ thị. ¾ Với bài toán 7: Quan niệm đồng nhất hàm số với công thức của học sinh còn thể hiện ở lời giải bài toán 7. Vẫn có một học sinh cho câu trả lời 71111 tức là cho rằng cả 4 công thức đều xác định hàm số. Ở đây, học sinh này đã hoàn toàn đồng nhất hàm số với biểu thức giải tích mà không quan tâm đến điều kiện tương ứng. Có thể học sinh cho rằng bất kì một công thức nào cũng xác định một hàm số. Như đã dự đoán, do học sinh nhìn thấy ngay công thức (a) biểu diễn hàm số bậc nhất y = ax + b do đó đa số học sinh cho câu trả lời 71000, có tới 88 học sinh (74.58%) cho câu trả lời này. Và tổng số học sinh chấp nhận công thức (a) xác định hàm số là 114 học sinh (96.6%) còn 4 học sinh không cho câu trả lời. Có 18 học sinh (15.25%) cho câu trả lời 71100 và tổng cộng có 20 học sinh chấp nhận công thức (b) xác định hàm số. Tuy nhiên, học sinh chấp nhận hai công thức này xác định hàm số chủ yếu là do đây là các công thức biểu thị các hàm số bậc nhất, bậc hai quen thuộc mà học sinh đã biết. Chỉ có một vài học sinh giải thích cho lựa chọn này dựa vào quy tắc tương ứng trong định nghĩa hàm số. Chỉ có 7 học sinh chấp nhận công thức (c) xác định hàm số. Việc học sinh không chấp nhận công thức (c) là hàm số do học sinh đã quen với cách kí hiệu hàm số phải là y = f(x) nên công thức (c) không xác định y là hàm số của x. Nhưng ở đây công thức (c) xác định x là một hàm số của y. Điều đáng ghi nhận từ bài toán này là: mặc dù học sinh làm việc ngay trong các tình huống quen thuộc là hàm số xuất hiện dưới dạng biểu thức giải tích nhưng chỉ có một học sinh cho câu trả lời đúng (71110). Như vậy, hầu như học sinh chưa phân biệt được một hàm số với một biểu thức giải tích, chưa nắm được điều kiện để một công thức xác định một hàm số. Một số câu trả lời của học sinh: - Công thức (a) xác định một hàm số vì có tập xác định và có biến x.(H118). - Công thức (a) và (c) xác định hàm số vì mỗi x chỉ cho ra một y (H111). - Công thức (a) xác định một hàm số vì nó có dạng y = ax + b (H76). - Cả 4 công thức đã cho đều xác định hàm số vì hệ số a ≠ 0 (H25). - Công thức (a) và (b) xác định hàm số vì có hệ số a ≠ 0, các công thức còn lại có y2 nên không xác định hàm số (H27). Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 60 Kết luận: Những kết quả phân tích ở trên cho phép khẳng định: Trong các phương tiện biểu diễn hàm số thì biểu thức giải tích đóng vai trò ưu thế gần như tuyệt đối trong nhận thức của học sinh. Điều này kéo theo những khó khăn mà học sinh có thể gặp phải sẽ được làm rõ dưới đây. 4.2.2. Những khó khăn học sinh gặp phải khi làm việc với những quy tắc tương ứng được cho bằng bảng số Do quan niệm một hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích nên khi gặp các tình huống “bảng”, học sinh còn gặp nhiều khó khăn và sai lầm. Những khó khăn mà học sinh gặp phải sẽ được làm rõ qua việc phân tích các lời giải và các phương án mà học sinh áp dụng cho các bài toán 2, 3, 5 dưới đây: ¾ Với bài toán 2: Theo kết quả ở trên, không có học sinh nào cho ví dụ về hàm số dưới dạng bảng. Kết quả này chứng tỏ rõ ràng cách cho hàm số bằng bảng số không phải luôn luôn hiện diện trong nhận thức của học sinh. Mặc dù học sinh có thể dễ dàng chuyển một hàm số từ dạng biểu thức giải tích sang dạng bảng số nhưng qua kết quả thu được từ bài này thì có thể khẳng định rằng trong quan niệm của học sinh, bảng số chỉ là một yếu tố cấu thành hàm số, nó cho phép vẽ đồ thị hay nghiên cứu chiều biến thiên chứ không thể đồng nhất nó với hàm số. Vì vậy, việc thể hiện một hàm số được biểu diễn hoàn toàn bằng bảng số là tương đối xa lạ đối với học sinh. ¾ Với bài toán 3: Tuy có 31 học sinh (26.27%) cho câu trả lời 3b tức là cho rằng cả hai bảng đều biểu thị hàm số nhưng trong đó có tới 15 học sinh đưa ra lời giải thích rằng do 2 bảng đều thỏa quy tắc cho tương ứng một giá trị x với một giá trị y. Chỉ có 2 học sinh cho lời giải thích đúng đó là do cả 2 bảng đều thể hiện một giá trị x tương ứng với một và chỉ một giá trị y. Có 3 học sinh thì cho lời giải thích không rõ ràng. Có một học sinh không cho lời giải thích (H77). Có 5 học sinh giải thích cả 2 bảng đều là hàm số vì đều là các dạng của hàm số y = ax + b hoặc y = ax2 + bx + c. Chẳng hạn: (H15): Cả 2 bảng là hàm số vì bảng 1 là hàm số có dạng y = ax2 + bx +c, bảng 2 là hàm số dạng y = ax + b. Kết quả này chứng tỏ học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi nhận dạng những hàm số với quy tắc tương ứng cho bằng bảng. Và như vậy, học sinh chưa nắm được những điều kiện để một bảng xác định một hàm số. Theo sự phân tích ở phần trước ta thấy, học sinh chỉ chấp nhận một bảng như là một hàm số trong trường hợp có thể tìm thấy một biểu thức tương ứng với bảng số đó. Học sinh gặp phải những khó khăn này là do họ chưa nắm vững thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số, do học sinh quan niệm hàm số là một biểu thức giải tích. ¾ Với bài toán 5: - Chỉ có 2 học sinh (1.7%) cho câu trả lời đúng là 5a3 tức là D={-3; -2; -1,5; -1; 0; 1; 2; 3; 4}. - Chỉ có 4 học sinh (3.39%) cho câu trả lời 5b5 tức là vẽ đồ thị là các điểm rời rạc trên hệ trục tọa độ. - Có 31 học sinh (26.27%) cho câu trả lời 5c2 tức là bảng đã cho không xác định x như là hàm số của biến y. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 61 Như vậy, khi đối diện trực tiếp với một hàm số được biểu diễn bằng bảng số mà không có công thức tương ứng với nó thì học sinh tỏ ra lúng túng và mắc sai lầm. Như ở bài toán 3, có tới 82 học sinh (69.49%) cho rằng một bảng số mà không có công thức tương ứng thì không thể xác định một hàm số. Vì vậy, ở bài toán 5, việc tìm miền xác định và vẽ đồ thị của một hàm số cho dưới dạng bảng như thế đã thực sự gây khó khăn cho học sinh. Tỉ lệ học sinh không trả lời cho bài toán này là tương đối cao so với các bài toán còn lại, đó là 25.42% với bài 5a, 55.09% với bài 5c. Đặc biệt, có một học sinh vẫn tìm tập xác định và vẽ đồ thị nhưng câu c) lại cho câu trả lời 5c2 với lí do bảng trên không xác định được hàm số. Qua kết quả các câu trả lời của học sinh cho thấy họ không nắm được một bảng xác định một hàm số mà không có công thức tương ứng thì tập xác định của nó chỉ gồm các giá trị của biến có trong bảng và đồ thị của nó là tập hợp hữu hạn những điểm trên hệ trục tọa độ với tọa độ là các cặp giá trị (x; y) tương ứng trong bảng. Vì có 2 học sinh cho câu trả lời đúng bài 5a nhưng với bài 5b, 2 học sinh này lại làm sai. Họ vẽ đồ thị là một hoặc hai đường thẳng nối 2 điểm thuộc đồ thị hàm số. Còn trong số 4 học sinh cho lời giải đúng cho bài 5b (5b5) lại không có học sinh nào cho câu trả lời đúng đối với bài 5a. Điều đó chứng tỏ chắc chắn rằng những học sinh này hiểu chưa đúng về đồ thị của hàm số trong bài toán này. Việc họ vẽ đồ thị hàm số là các điểm rời rạc trên hệ trục tọa độ có thể do họ chưa biết nên nối liền các điểm thành đường cong hay đường gấp khúc,… Trong số 31 học sinh cho câu trả lời 5c2 chỉ có 5 học sinh cho lời giải thích đúng: sai vì có một giá trị của y ứng với hai giá trị của x. Có 2 học sinh giải thích: sai vì không xác định được hàm số ((H8) và (H15)). Có 6 học sinh cho lời giải thích không rõ ràng và có 10 học sinh không cho lời giải thích. Có 8 học sinh cho lời giải thích: sai vì x không thể là hàm số của y được hoặc sai vì ta chỉ có y = f(x). Có thể giải thích lí do tỉ lệ học sinh không trả lời câu hỏi ở bài 5c rất cao (65 học sinh) là do ở đây học sinh gặp phải hai khó khăn lớn: - Khó khăn khi nhận dạng hàm số với quy tắc tương ứng cho bằng bảng. - Khó khăn khi xem x là hàm số còn y là biến số vì học sinh có thói quen kí hiệu hàm số là y và biến số là x. Chẳng hạn: - (H5) và (H71) : Hùng sai vì ta chỉ có y = f(x). - (H31): Sai vì x mới là biến của y. - (H16) và (H3): Sai vì trong hệ trục tọa độ Oxy ta thấy rằng từng giá trị của x chiếu lên hệ trục tọa độ nhận được một giá trị của y nên không thể đảo lại biến số y mà hàm số x. - (H4) và (H13): Sai vì x không bao giờ được xác định như là hàm số của biến số y. Kết luận: Có thể tổng kết lại những khó khăn, sai lầm của học sinh khi làm việc với các hàm số xuất hiện dưới dạng bảng số như sau: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 62 - Khó khăn trong việc nhận dạng và thể hiện hàm số với quy tắc tương ứng cho bằng bảng số. - Khó khăn trong việc tìm tập xác định và vẽ đồ thị của hàm số cho bởi bảng mà không có công thức tương ứng. - Khó khăn khi xem x là hàm số còn y là biến số. - Khó khăn trong việc chấp nhận một bảng số mà không có công thức tương ứng có thể xác định một hàm số. Những khó khăn này phần lớn là do học sinh chưa nắm vững thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số, do quan niệm hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích và thói quen kí hiệu hàm số là y = f(x). Từ đó dẫn đến những sai lầm thường gặp ở học sinh như sau: - Học sinh cho rằng một bảng số chỉ xác định một hàm số khi nó có biểu thức tương ứng. - Một bảng số mà có hai giá trị x cùng ứng với một giá trị y thì không xác định một hàm số. - Học sinh chuyển hàm số từ dạng bảng sang dạng công thức để giải quyết mặc dù bảng đó không có công thức tương ứng. - Học sinh cho rằng tập xác định của hàm số cho bởi bảng mà không có công thức tương ứng vẫn là một khoảng hay một đoạn nào đó chứa các giá trị của biến trong bảng và học sinh vẽ đồ thị của hàm số đó là một đường nối liền các điểm có tọa độ là các cặp giá trị (x; y) tương ứng trong bảng. - Học sinh sai lầm khi cho rằng x không bao giờ là hàm số của y được. 4.2.3. Những khó khăn học sinh gặp phải khi làm việc với những quy tắc tương ứng được cho bằng đường cong hình học. Những khó khăn này của học sinh thể hiện qua các câu trả lời và phương án mà họ áp dụng đối với các bài toán 2, 4, 6 và 8 sẽ được làm rõ dưới đây: ¾ Với bài toán 2: Không có học sinh nào cho ví dụ về một hàm số được biểu diễn bằng đồ thị. Điều này chứng tỏ trong quan niệm của học sinh, đồ thị cũng chỉ là một yếu tố cấu thành hàm số chứ không thể đồng nhất đồ thị với hàm số. Đối với học sinh việc thể hiện một hàm số biểu diễn bằng đồ thị cũng còn khá xa lạ, chưa có học sinh nào đề cập nó. ¾ Với bài toán 4: Kết quả về nhận dạng hàm số với quy tắc tương ứng cho bằng đường cong hình học trong bài toán này cho thấy học sinh gặp nhiều khó khăn. - Chỉ có 11 học sinh (9.32%) cho câu trả lời chính xác (41010) nhưng trong đó chỉ có 2 học sinh cho lời giải thích đúng. - Có 2 học sinh (1.7%) cho câu trả lời 40110 trong đó có một học sinh đưa ra lời giải thích: Vì (C2) và (C3) có phương trình biểu diễn.(H8). - Tổng cộng chỉ có 19 học sinh chấp nhận (C1) xác định một hàm số trong khi (C1) thỏa điều kiện của quy tắc tương ứng trong định nghĩa hàm số. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 63 - Có tới 90 học sinh (76.26%) cho câu trả lời 40010 tức là chỉ chấp nhận (C3) xác định hàm số với lời giải thích chủ yếu là do (C3) là đồ thị của hàm số bậc hai. Như vậy, đa số học sinh chưa nắm được điều kiện để một đường cong xác định một hàm số, chưa phân biệt được sự khác nhau giữa đường cong không xác định hàm số với đường cong xác định hàm số (đồ thị của hàm số). ¾ Với bài toán 6 và bài toán 8: Khi đối diện với một hàm số cho bằng một đường cong mà không có công thức tương ứng ở bài toán 6, kết quả thu được là: - Có 1 học sinh (0.85%) cho rằng đó là đồ thị hàm số bậc nhất nên đã thế công thức y = ax + b vào để tính. - Có 7 học sinh (5.93%) không trả lời tức là không có khả năng đọc đồ thị. - Trong số 110 học sinh (93.22%) áp dụng phương án 6a chỉ có 1 học sinh cho lời giải chính xác cả 4 câu a), b), c) và d). Có tới 10 học sinh tuy áp dụng phương án 6a nhưng không làm đúng câu nào do đọc đồ thị không chính xác. Điều này chứng tỏ khả năng đọc đồ thị của học sinh còn yếu. Có tới 30 học sinh chỉ cho kết quả đúng đối với một câu a) hoặc b). Các bài giải của các học sinh còn lại vẫn còn nhiều sai sót hoặc thiếu một số giá trị. Kết quả này chứng tỏ học sinh rất xa lạ với việc cho hàm số bằng đồ thị và đọc đồ thị. Đặc biệt khi đọc đồ thị học sinh còn gặp nhiều khó khăn. Tương tự như vậy, ở bài toán 8, trong số 31 học sinh (26.27%) vận dụng phương án 8a chỉ có 15 học sinh viết đúng phương trình đường thẳng đã cho. Có 7 học sinh viết sai phương trình đường thẳng do đọc sai các giá trị trên đồ thị hoặc do tính toán sai. Có 5 học sinh tính các giá trị theo a, b tức là thế giá trị của x vào phương trình đường thẳng y = ax + b do không đọc các giá trị trên đồ thị. Đặc biệt, có một học sinh vận dụng phương án 8a nhưng không tìm được phương trình đường thẳng nên kết luận là không thể tính được các giá trị của f (H17). Như vậy, với đồ thị là một đường thẳng quen thuộc nhưng nhiều học sinh vẫn lúng túng khi đọc đồ thị và còn gặp nhiều khó khăn trong việc chuyển hàm số từ dạng đồ thị sang dạng công thức. Có 2 học sinh không cho câu trả lời bài toán này và 2 học sinh trả lời không tính được các giá trị của f. Kết luận: Tóm lại, những khó khăn và sai lầm thường gặp ở học sinh khi họ làm việc với hàm số xuất hiện dưới dạng đồ thị là: ¾ Khó khăn: - Khó khăn trong việc nhận dạng và thể hiện hàm số với quy tắc tương ứng cho bằng đường cong hình học. - Khó khăn trong việc chấp nhận một đường cong mà không có công thức tương ứng có thể xác định một hàm số. - Khó khăn khi thực hiện bước chuyển một hàm số từ dạng đồ thị sang dạng công thức. - Khó khăn trong việc đọc đồ thị. ¾ Sai lầm: - Học sinh cho rằng một đường cong hình học xác định một hàm số thì nó phải có công thức biểu diễn tương ứng. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 64 - Mặc dù đồ thị của hàm số không có công thức biểu diễn tương ứng nhưng một số học sinh lại gắn cho nó một biểu thức để giải quyết bài toán. 4.2.4 Một vài nhận xét khác từ thực nghiệm ¾ Sự đồng nhất giá trị của hàm số với điểm thuộc đồ thị Kết luận này được ghi nhận ở rất nhiều học sinh khi tôi phân tích các câu trả lời của họ ở bài toán 6 và bài toán 8. Có đến 26 học sinh viết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thành các cặp điểm khi giải bài toán 6a và có 2 học sinh viết các giá trị f(x) cần tính thành các điểm (x; f(x)). Chẳng hạn: - (H11): Giá trị lớn nhất của f là: (-1; 3), giá trị nhỏ nhất của f là: (3; -2). - (H44): f(0) = (0; 0,5), f(1) = (1; 1,25), f(2) = (2; 2), f(-2) =(-2; -1), .. Kết quả này cho thấy học sinh biết đọc đồ thị và nhận ra các điểm tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Tuy nhiên, học sinh chưa phân biệt được khái niệm giá trị của hàm số với điểm thuộc đồ thị mà hàm số đạt giá trị đó. Câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải đưa ra câu trả lời chính xác và rõ ràng: Giá trị lớn nhất của hàm số là 3 khi x = -1, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2 khi x = 3. ¾ Một số nguyên nhân dẫn đến những sai lầm của học sinh trong bài toán 5 Theo phân tích ở trên, trong bài toán 5, học sinh phải làm việc với hàm số xuất hiện dưới dạng bảng. Đó là một khó khăn đối với học sinh vì họ chỉ quen làm việc với hàm số cho bởi biểu thức giải tích. Xuất phát từ quan niệm đồng nhất hàm số với biểu thức giải tích, học sinh luôn cố gắng chuyển hàm số đã cho về dạng công thức. Hàm số đưa ra ở bài toán này không thể đưa về dạng biểu thức liên hệ giữa x và y. Đối với bài 5b, có tới 8 học sinh vẽ đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm tương ứng với hai cặp giá trị (x; y) có trong bảng và bỏ qua các điểm còn lại. Có 4 học sinh vẽ đồ thị hàm số là đường Parabol. Nguyên nhân dẫn đến việc học sinh làm như vậy có thể do: Ở học kì I, học sinh đã được học về khái niệm hàm số và các vấn đề cơ bản về hàm số nhưng chủ yếu học sinh chỉ được làm việc với hai loại hàm số y = ax + b và y = ax2 + bx + c. Và hầu như các hàm số đều được cho dưới dạng biểu thức giải tích. Vì vậy nhiều học sinh quan niệm hàm số chỉ có thể là hàm số bậc nhất hoặc hàm số bậc hai nên đồ thị của hàm số chỉ có thể là đường thẳng hoặc đường cong Parabol. Chẳng hạn: - (H3): Hàm số là có dạng y = ax + b, trong đó a, b là những số cho trước, 0a ≠ . - (H13): (C3) xác định một hàm số vì nếu là một hàm số thì nó sẽ có dạng một đường thẳng hoặc một đường cong, nếu là đường cong thì chỉ có thể có dạng Parabol. Vì vậy, khi gặp một hàm số xuất hiện dưới dạng bảng số thì học sinh liền quy ngay về hàm số bậc nhất hoặc bậc hai đã học. 5. Kết luận Việc phân tích các câu trả lời và các phương án học sinh áp dụng đối với các bài toán thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết khoa học đặt ra lúc đầu. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 65 Cụ thể, kết quả thực nghiệm cho thấy học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết các tình huống đặt ra trong các bài toán. - Qua phân tích ở trên cho thấy, mặc dù đặc trưng trội nhất của khái niệm hàm số hiện diện trong quan niệm của học sinh là đặc trưng tương ứng nhưng thực sự học sinh chưa nắm vững thuộc tính bản chất của khái niệm này. Đặc trưng phụ thuộc không hiện diện một cách tường minh nhưng nó lại luôn thể hiện trong quan niệm của học sinh là hàm số luôn gắn liền với biểu thức liên hệ giữa x và y. Sự phụ thuộc của hàm số và biến số theo quan niệm của học sinh là một biểu thức thể hiện sự tương quan giữa chúng. Đặc trưng biến thiên tuy không gắn liền với khái niệm hàm số nhưng là một trong những phương tiện để học sinh nhận dạng hàm số với quy tắc tương ứng cho bằng bảng số. - Cách biểu diễn hàm số bằng biểu thức giải tích có ảnh hưởng mạnh mẽ đến nhận thức của học sinh. Do đó, đa số học sinh quan niệm hàm số luôn gắn liền với một công thức. Theo đó, một bảng số hay một đường cong cho trước thường chỉ được học sinh chấp nhận là một hàm số trong trường hợp có biểu thức tương ứng với bảng số hay đường cong đó. Rất ít học sinh chú ý đến việc xét một bảng số hay một đường cong có xác định một hàm số hay không dựa vào quy tắc tương ứng trong định nghĩa hàm số. - Khi làm việc với những hàm số xuất hiện dưới dạng bảng số hay đồ thị, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn. Họ luôn cố gắng chuyển hàm số sang dạng biểu thức giải tích để giải quyết vấn đề. Vì vậy, khi làm việc với những hàm số cho bằng bảng hay đồ thị mà không có công thức tương ứng thì học sinh còn mắc phải nhiều sai lầm. Cụ thể, những khó khăn và sai lầm chủ yếu ở học sinh được ghi nhận là: - Khó khăn trong việc nhận dạng và thể hiện hàm số với quy tắc tương ứng cho bằng bảng số hay đường cong hình học thậm chí cả khi quy tắc tương ứng cho bằng biểu thức giải tích. - Khó khăn trong việc chấp nhận một bảng số hay một đường cong hình học mà không có công thức tương ứng có thể xác định một hàm số. - Khó khăn trong việc tìm tập xác định và vẽ đồ thị của hàm số cho bởi bảng mà không có công thức tương ứng. - Khó khăn trong việc đọc đồ thị. - Sai lầm chủ yếu nhất ở học sinh là sai lầm khi quan niệm hàm số luôn gắn liền với biểu thức giải tích. Từ sai lầm đó sẽ làm cho học sinh mắc phải những sai lầm khác khi làm việc với một hàm số mà không có biểu thức giải tích tương ứng. Chẳng hạn, học sinh sai lầm khi cho rằng một bảng số hay một đường cong hình học chỉ xác định một hàm số khi nó có biểu thức giải tích tương ứng. Vì vậy, khi gặp một số trường hợp trong đó hàm số được cho bằng bảng số hay đồ thị mà không có biểu thức giải tích tương ứng nhưng một số học sinh vẫn quy ngay về dạng biểu thức giải tích tương ứng xác định hàm số bậc nhất hoặc bậc hai đã học. Một số biện pháp dạy học khái niệm hàm số và các vấn đề liên quan tới hàm số nhằm giúp học sinh nắm vững thuộc tính bản chất của khái niệm này. Từ đó giúp học sinh khắc phục được những khó khăn và sai lầm đã nêu ở trên. ™ Làm cho học sinh hiểu được quy tắc tương ứng. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 66 - Các định nghĩa hàm số ở lớp 7, lớp 10 đều dựa vào quy tắc tương ứng. Ở đây SGK không tìm cách định nghĩa quy tắc tương ứng (xem đây là khái niệm cơ bản) mà chỉ mô tả quy tắc tương ứng thỏa điều kiện: mỗi giá trị của x ứng với một và chỉ một giá trị y là một hàm số. - Không nên để học sinh hiểu nhầm rằng: quy tắc tương ứng đó bắt buộc phải biểu thị bằng một công thức vì có hàm số biểu thị bằng công thức nhưng cũng có hàm số biểu thị bằng bảng, đồ thị,… - Có thể làm cho học sinh hiểu “quy tắc tương ứng” dựa vào biểu tượng về một tập hợp những cặp phần tử Ví dụ: f : X →Y ™ Làm cho học sinh nắm được các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số. ¾ Muốn có một hàm số ta phải có hai điều kiện: - Cho trước hai tập hợp X và Y, trong đó X là tập xác định. (1) - Giữa các phần tử của X và Y có quy tắc tương ứng sao cho: mỗi x∈X phải ứng với một và chỉ một y∈Y. (2) ¾ Lưu ý: - Điều kiện (1) trong chương trình toán phổ thông đã quy ước X⊆R, Y⊆R. - Điều kiện (2) là bắt buộc và là một thuộc tính rất quan trọng của hàm số để xem xét một quy tắc tương ứng f nào đó có phải là tương ứng hàm hay không. Điều này thể hiện ở hai yêu cầu sau: • Bất kì phần tử nào của X buộc phải ứng với một y∈Y tức là nếu tồn tại chỉ một phần tử x∈X mà không ứng với một y∈Y nào cả thì f không phải là hàm số. Ví dụ: f : R → R 1x x a . Không là hàm số vì với x = 0∈R ta không xác định được f(0). Muốn tương ứng trên là hàm số thì tập xác định phải là R \ {0}. • Phần tử y∈Y nói ở trên phải là duy nhất. ¾ Trong định nghĩa hàm số còn chứa đựng hai điều kiện không bắt buộc: X x1 x2 x3 x4 Y y1 y1 y2 y3 y4 x3● x1● ●y1 x2● x4● ●y4 ●y3 ●y2 X Y Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 67 - Nhiều phần tử x∈X có thể cùng chung một phần tử y∈Y. Ví dụ: y = x2. - Có thể có y∈Y mà không có x∈X để y = f(x). Ví dụ: y = x2, với y < 0 thì không có một giá trị x∈X nào để y = x2 < 0. Do đó, cần đưa ra các ví dụ và phản ví dụ để học sinh nhận dạng, qua đó nắm vững bản chất của khái niệm hàm số. ™ Khi xây dựng khái niệm hàm số, Đại số 10 nâng cao có đưa ra ba kí hiệu: f, f(x), y (y = f(x)). Cần làm cho học sinh phân biệt các kí hiệu này, nắm được nội dung bên trong để tránh nhầm lẫn. • f là kí hiệu hàm số: f : D → R. • f(x) là giá trị của hàm số tại mọi x∈D. • y = f(x) là quy tắc tìm giá trị của f(x). ™ Cần cho học sinh thấy được thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số thể hiện ở đồ thị là: một đường cong trong mặt phẳng tọa độ là đồ thị của một hàm số khi mỗi đường thẳng song song với trục tung chỉ cắt đường cong nhiều nhất tại một điểm. ™ Việc chuyển hàm số từ dạng công thức sang dạng bảng hoặc đồ thị được thực hiện thường xuyên và khá dễ dàng. Nhưng ngược lại thì khó khăn hơn nhiều và có thể không thực hiện được vì có trường hợp bảng hoặc đồ thị đó không có công thức tương ứng. Tuy nhiên trong một số trường hợp đơn giản nên tập cho học sinh kĩ năng này để rèn luyện các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa,… ™ Việc xét các tính chất và vẽ đồ thị của hàm số là yêu cầu rất quan trọng, cần rèn luyện cho học sinh từ thấp đến cao và ngày càng chính xác dần. Việc dạy học khảo sát hàm số gồm ba nội dung: - Tìm tập xác định và khi cần phải tìm tập giá trị của hàm số. - Xét các tính chất như đơn điệu, chẵn, lẻ, tuần hoàn, cực trị,… - Vẽ đồ thị và đọc đồ thị. Cần rèn luyện cho học sinh ba nhóm kĩ năng, kĩ xảo sau: • Thứ nhất: Tính toán phục vụ khảo sát hàm số: Học sinh sử dụng các phép biến đổi đồng nhất; giải phương trình, bất phương trình; xét dấu nhị thức, tam thức; tìm giới hạn; tính đạo hàm;…để xác định các tính chất có thể có của lớp hàm số đang xét. Tính toán đúng là điều kiện cần để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đúng. • Thứ hai : Vẽ đồ thị: o Tập cho học sinh biết cách dựng một điểm theo tọa độ, đặc biệt khi tọa độ là các số vô tỉ phải biết cách tính gần đúng. o Tìm tọa độ các điểm đặc biệt và các điểm cần thiết đủ để vẽ được đồ thị sao cho không sai lệch dáng điệu của nó. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 68 o Phải thuộc các tính chất của lớp hàm số đã học, đã biết (qua bài tập) và dạng đồ thị có thể có, để định hướng trước khi khảo sát, giảm bớt sự lúng túng dẫn dến sai lệch. o Luyện cho học sinh thành thạo các phép biến đổi đồ thị như đối xứng tâm, đối xứng trục,… và biết vận dụng để từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị của các hàm số khác như y = |f(x)|, y = f(|x|),… o Yêu cầu học sinh vẽ đúng và đẹp, đặc biệt ở các điểm cực trị, các nhánh vô tận với đường tiệm cận. • Thứ ba: Đọc và sử dụng đồ thị: Tập cho học sinh biết cách nhìn vào đồ thị để nhận ra và kiểm chứng các tính chất của hàm số, thấy được lợi ích của đồ thị trong một số trường hợp như: dựa vào đồ thị để giải phương trình, chứng minh phương trình có nghiệm,… ™ Phát triển tư duy hàm cho học sinh: - Phát hiện “sự tương ứng” tức là từ hiện tượng thực tế, từ các ví dụ cụ thể… nhận ra và khái quát hóa để phát hiện mối liên hệ, sự tương ứng giữa mỗi phần tử của tập hợp này với một phần tử của tập hợp kia. - Xét đặc trưng của mối quan hệ vừa phát hiện và so sánh với mối quan hệ khác. - Hình thành cho học sinh những biểu tượng tiến tới những tri thức về sự tương ứng đơn trị mà các hàm số trong chương trình phổ thông đã thể hiện. ¾ Chú ý: Trong phát triển tư duy hàm thì tương ứng đơn trị là không nhất thiết, không bắt buộc. Học sinh đã biết những tương ứng không đơn trị: - Cặp số ứng với vô số bội chung, chỉ có một bội chung nhỏ nhất. - Mỗi hình chữ nhật có một chu vi p, nhưng với một số p có vô số hình chữ nhật nhận p làm chu vi, chỉ có một hình vuông có chu vi p. Vì vậy, khi dạy cần có những câu hỏi hay gợi ý cho học sinh phát triển tư duy. Chẳng hạn: • Đại lượng nào phụ thuộc đại lượng nào? • Một cách biến thiên của những phần tử trong tập hợp này gây nên sự thay đổi ở những phần tử của tập hợp kia như thế nào? Ví dụ: Xét hàm số 2y x x 1= + + có tập xác định R thì: o Khi x →+∞ thì đồ thị của hàm số có một tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x. Tức là nhánh vô tận (dương) của đồ thị hàm số luôn “tựa trên” đường thẳng y = 2x. o Nhưng khi x →−∞ thì nhánh vô tận (âm) của đồ thị lại tựa trên đường thẳng y = 0. o Còn khi x biến thiên từ −∞ đến +∞ thì hàm số luôn luôn đồng biến và y > 0. o Nếu khi x 0→ thì y 1→ . • Hãy xét một trường hợp đặc biệt, một trường hợp suy biến. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 69 Ví dụ: Hàm số 2mx 2mx 1y x 1 − += − khi m = 1 thì suy biến thành đường thẳng y = x – 1 trừ điểm (1; 0). • Cái gì không thay đổi (bất biến) trong mọi cách biến thiên của những phần tử trong một tập hợp nào đó? Ví dụ: Hàm số xy 3= khi x biến thiên từ −∞ đến +∞ thì hàm số vẫn giữ nguyên giá trị dương và đồng biến. (Theo Giáo trình phương pháp dạy học môn toán_Nguyễn Thiết). Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 70 PHẦN KẾT LUẬN CHUNG Như vậy, việc thực hiện các nhiệm vụ đã đề ra trong luận văn này chứng tỏ rằng: Mục đích nghiên cứu mà tôi đặt ra trong phần mở đầu đã đạt được. ¾ Về mặt khoa học luận, sự phân tích trong phần I đã làm rõ một phần quan trọng là các đặc trưng của khái niệm hàm số trong quá trình nảy sinh và phát triển cũng như tiến triển của chúng qua các thời kì khác nhau của lịch sử. Kết quả nghiên cứu khoa học luận cũng đã dẫn tới các giả thuyết sư phạm về dạy học toán nói chung và dạy học khái niệm hàm số nói riêng đã nêu trong phần nhận xét ở cuối phần I. ¾ Quá trình phân tích khoa học luận đã định hướng cho việc tiếp cận đối tượng hàm số về phương diện sư phạm trong phần II. Từ đó cho phép tôi làm rõ tiến trình và cách tổ chức đưa khái niệm hàm số vào chương trình và sách giáo khoa toán phổ thông. Đặc biệt là sự hiện diện của các đặc trưng khoa học luận của khái niệm này cũng như tiến triển và tầm quan trọng của chúng qua các cấp độ lớp khác nhau đã được nêu trong phần kết luận của phần II. Điều cần nhấn mạnh là hình thức và cách tổ chức dạy học khái niệm hàm số trong chương trình và sách giáo khoa đã phản ánh một phần khá quan trọng đặc trưng khoa học luận của khái niệm này. Cụ thể, một số yếu tố cấu thành đối tượng hàm và tư duy hàm đã xuất hiện rất sớm từ cấp tiểu học, hàm số xuất hiện trước hết trong vai trò công cụ ngầm ẩn trước khi được định nghĩa và nghiên cứu một cách tường minh. Tuy nhiên, sự khác biệt giữa đặc trưng khoa học luận và đặc trưng sư phạm cũng đáng được quan tâm: - Nếu như trong lịch sử, khái niệm hàm số dần dần xuất hiện theo ba giai đoạn khác nhau: Ngầm ẩn → bán tường minh → tường minh, thì ở SGK phổ thông, nó chỉ được đưa vào theo hai giai đoạn: Ngầm ẩn→ tường minh. - Ở chương trình và sách giáo khoa phổ thông, chính trong giai đoạn mà đối tượng hàm số được quan tâm nghiên cứu nhiều nhất (cấp độ Trung học phổ thông), đối tượng này lại được đề cập khá phiến diện. Hầu như nó chỉ xuất hiện dưới một hình thức biểu diễn duy nhất là biểu thức giải tích. - Mặc dù sách giáo khoa phổ thông hiện hành đã ưu tiên nhấn mạnh đặc trưng “tương ứng” của khái niệm hàm số (thể hiện trước hết bằng sự ưu tiên trong các định nghĩa: hàm số là quy tắc tương ứng mỗi giá trị x với một và chỉ một y) nhưng đặc trưng “tương ứng” này dường như bị lấn át bởi sự “độc quyền” của nghiên cứu hàm số được thực hiện dựa vào nghiên cứu các “biểu thức giải tích”. Kết quả phân tích so sánh về hai phương diện khoa học luận và sư phạm đã dẫn tới các câu hỏi và một giả thuyết khoa học như đã nêu trong phần mở đầu của luận văn: - Việc lựa chọn và trình bày khái niệm hàm số trong chương trình và SGK phổ thông hiện hành ở Việt Nam có tác động như thế nào đối với nhận thức của học sinh về đối tượng này? Cụ thể, học sinh quan niệm như thế nào về khái niệm hàm số, những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm hàm số hiện diện ở học sinh? Khi giải quyết các vấn đề liên quan tới khái niệm hàm số, học sinh gặp phải những khó khăn gì? Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 71 - Giả thuyết khoa học: “Đối với học sinh, hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải thích. Vì vậy, học sinh gặp nhiều khó khăn khi gặp các tình huống trong đó hàm số xuất hiện dưới dạng bảng hay đồ thị”. ¾ Câu trả lời cho những câu hỏi và giả thuyết khoa học trên đã có được từ nghiên cứu thực nghiệm mà tôi đã triển khai trên đối tượng học sinh. Tính đúng đắn của giả thuyết khoa học đã hoàn toàn được xác nhận. Những kết quả chính rút ra từ nghiên cứu thực nghiệm: ™ Cách cho hàm số “độc quyền” bằng biểu thức giải tích có ảnh hưởng mạnh mẽ đến nhận thức của học sinh. Hầu hết học sinh quan niệm hàm số được đồng nhất với biểu thức giải tích. Trong trường hợp hàm số xuất hiện dưới dạng bảng hay đồ thị thì học sinh cho rằng luôn có một biểu thức giải tích tương ứng với bảng hay đồ thị đó. Ví thế học sinh luôn tìm cách chuyển hàm số từ dạng bảng hay đồ thị về dạng biểu thức giải tích để giải quyết vấn đề từ biểu thức này. Nếu bước chuyển đó không thực hiện được thì học sinh gặp nhiều khó khăn và sai lầm thậm chí có khi họ kết luận đó không phải là hàm số. Hơn nữa, bất chấp cấu trúc bảng hay dạng đồ thị như thế nào, những biểu thức giải tích mà đa số học sinh nghĩ tới trước tiên là các biểu thức xác định hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai (những hàm số quen thuộc mà học sinh đã học). ™ Dù đặc trưng “tương ứng” đã được ưu tiên nhấn mạnh trong định nghĩa hàm số (ở lớp 7, lớp10) nhưng hầu như học sinh không nắm vững bản chất của quy tắc tương ứng này. Trong trường hợp các quy tắc tương ứng cho bằng biểu thức giải tích, một số học sinh thường quan niệm rằng nó xác định một hàm số vì có sự hiện diện của x và y hay có thể tính y theo x mà không quan tâm tới điều kiện của quy tắc tương ứng. ™ Khi làm việc với những hàm số cho bằng bảng số hay đồ thị, học sinh thường gặp khó khăn và mắc phải một số sai lầm chủ yếu như sau: - Khó khăn trong việc nhận dạng và thể hiện hàm số với quy tắc tương ứng cho bằng bảng số hay đường cong hình học. - Khó khăn trong việc chấp nhận một bảng số hay một đường cong hình học mà không có công thức tương ứng có thể xác định một hàm số. - Khó khăn trong việc tìm tập xác định và vẽ đồ thị của hàm số cho bởi bảng mà không có công thức tương ứng. - Khó khăn trong việc đọc đồ thị. - Sai lầm chủ yếu nhất ở học sinh là sai lầm khi quan niệm hàm số luôn gắn liền với biểu thức giải tích. Từ sai lầm đó sẽ làm cho học sinh mắc phải những sai lầm khác khi làm việc với một hàm số mà không có biểu thức giải tích tương ứng. Chẳng hạn, học sinh sai lầm khi cho rằng một bảng số hay một đường cong hình học chỉ xác định một hàm số khi nó có biểu thức giải tích tương ứng. Vì vậy, khi gặp một số trường hợp trong đó hàm số được cho bằng bảng số hay đồ thị mà không có biểu thức giải tích tương ứng nhưng một số học sinh vẫn quy ngay về dạng biểu thức giải tích tương ứng xác định hàm số bậc nhất hoặc bậc hai đã học. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.s Nguyễn Văn Vĩnh Đào Thị Mừng Trang 72 Hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn này: Các nghiên cứu trong các phần I và phần II đã làm rõ sự tương đồng cũng như sự khác biệt về các đặc trưng của sự hình thành và tiến triển của khái niệm hàm số trong lịch sử và trong chương trình và sách giáo khoa toán phổ thông hiện hành. Sự khác biệt này làm nảy sinh một số vấn đề sau: ™ Liệu có thể tổ chức dạy học khái niệm hàm số thỏa mãn hơn yêu cầu khoa học luận và sư phạm bằng cách: - Tuân thủ đúng tiến trình xuất hiện của khái niệm này như trong lịch sử (giai đoạn ngầm ẩn → giai đoạn bán tường minh → giai đoạn tường minh). Nói cách khác , sau giai đoạn “công cụ ngầm ẩn” nhưng trước khi đưa ra định nghĩa và nghiên cứu tường minh đối tượng này, có nên đưa vào chương trình và sách giáo khoa một giai đoạn trong đó hàm số xuất hiện dưới hình thức bán tường minh (có tên nhưng chưa có định nghĩa)? Làm thế nào để xây dựng các tình huống cho phép hàm số xuất hiện dưới hình thức đó? - Đảm bảo tính đa dạng trong sự xuất hiện của hàm số, đặc biệt là trong các giai đoạn “đối tượng nghiên cứu” và “công cụ tường minh”. Tránh sự “độc quyền” cho hàm số dưới dạng biểu thức giải tích. Đảm bảo có sự chuyển đổi qua lại thường xuyên và thích hợp giữa các hình thức biểu diễn hàm số. ™ Ngoài các kết quả đã được trình bày trong phần II, việc phân tích nội dung sách giáo khoa cũng cho thấy việc tổ chức dạy học các kiến thức gắn liền với đối tượng hàm số thường được tiến hành theo tiến trình “suy diễn”_một tiến trình làm hạn chế mặt tích cực của “hoạt động giải các bài toán” của chính chủ thể (học sinh) trong học tập. Nên chăng và làm thế nào để xây dựng những tình huống dạy học khái niệm hàm số tập trung vào hoạt động của người học nhằm phát huy tính tích cực của người học, những tình huống trong đó học sinh tự mình xây dựng lấy kiến thức? BẢNG THỐNG KÊ CHI TIẾT CÁC CÂU TRẢ LỜI CỦA HỌC SINH Bài toán 5 Học sinh Bài toán 1 Bài toán 2 Bài toán 3 Bài toán 4 5a 5b 5c Bài toán 6 Bài toán 7 Bài toán 8 Ghi chú H1 1c 2a 3a 40010 5a1 5b3 5c2 6a 71000 8a 5c) Hùng sai vì x không thể coi là hàm số của biến y được. H2 1a 2a 3a 40010 5a2 5b1 6a 71000 8a 4) (C3) xác định một hàm số vì nó là đường Parabol. H3 1a 2a 3a 40010 5a2 5b2 5c2 6a 71110 8a 1) Hàm số là có dạng y = ax + b, trong đó: a,b là những số cho trước, 0a ≠ . H4 1c 2a 3b 41011 5b1 5c2 6a 71100 8a 5c) Hùng sai vì x không bao giờ được xác định như hàm số của biến y. H5 1d 2a 3b 41110 5a1 5b2 5c1 6a 71100 8a 4) (C1), (C2), (C3) xác định hàm số vì 1 giá trị x ta xác định được 1 giá trị y. H6 1d 2a 3a 40100 5a1 5b2 5c1 6a 71100 8a 7) (a), (b) là hàm số vì mỗi giá trị x ta đều nhận được 1 giá trị y tương ứng. H7 1a 2a 3a 41011 5a2 5b1 6a 71000 8a 2) y = - 3x + 5; y = 3x2 + 2x + 3; y = 5x + 7 H8 1a 2a 3a 40110 5a2 5b2 5c2 6a 71000 8a 3) vì bảng 1 thoả mãn các điều kiện cần có của hàm số y = ax + b. H9 1c 2a 3a 40010 5a1 5b2 5c2 6a 71000 8a 7) (a) xác định 1 hàm số vì nó có dạng đặc biệt y = ax + b. H10 1c 2a 3a 40010 5a1 5b2 5c2 6a 71000 8a 3) Vì bảng 1: mỗi giá trị x tương ứng với 1 giá trị y.Bảng 2: có giá trị x không tương ứng với giá trị y. H11 1c 2a 3a 40010 5a1 5b2 5c2 6a 71000 8a 4) (C3) xác định một hàm số vì nếu ta thay các giá trị x, y vào thì chúng sẽ tương ứng với nhau.Các trường hợp còn lại không phù hợp. H12 1a 2a 3a 40010 5a2 5b2 5c2 6a 71000 8a 7) (b), (c), (d) không thoả mãn vì có dạng y = ax2 + bx + c không là hàm số. H13 1c 2a 3b 40010 5a1 5b2 5c2 6a 71000 8a 4) (C3) xác định 1 hàm số vì nếu là 1 hàm số thì nó sẽ có dạng 1 đường thẳng hoặc đường cong, nếu là đường cong thì chỉ có thể có dạng Parabol, chỉ có 1 đỉnh. H14 1d 2a 3a 40010 5a1 5b1 5c2 6a 71000 8a 3) Bảng 2 không biểu thị hàm số vì với mỗi giá trị x không tương ứng với mỗi giá trị y. H15 1a 2a 3b 40010 5a1 5b2 5c2 6a 71000 8a 3) Cả 2 bảng đều là hàm số vì bảng 1 là hàm số y = ax2 + b, bảng 2 là hàm số y = ax + b. H16 1a 2a 3a 40010 5a2 5b1 5c2 6a 71000 8a 3) Vì trong 2 bảng thì bảng 2 thoả mãn yêu cầu của 1 hàm số. H17 1a 2a 3b 40010 5b2 5c1 6a 71000 8a 5) Hùng đúng vì hàm số nếu biết được 1 biến thì ta sẽ có thể tìm được biến còn lại. H18 1c 2a 3a 40010 5a1 5b3 5c1 6a 71000 8b 3) Bảng 2 không xác định hàm số vì ở bảng 2 toạ độ x không theo thứ tự của trục. H19 1c 2a 3c 40010 5a1 5b2 6a 71000 8c 7) (a) xác định 1 hàm số vì nó là hàm số có dạng y = ax + b. H20 1c 2a 3a 40010 5a1 5b3 5c1 6a 71100 8b 3) Bảng 1 là hàm số vì nó là hàm số y = - 3x. H21 1a 2a 3a 40010 5b4 6a 71000 8c 1) Hàm số có dạng f(x) = ax + by + c trong đó a, b không đồng thời bằng 0. H22 1a 2a 3a 40100 5a2 5b4 6a 71000 8a 4) (C2) biểu diễn hàm số vì khi cho 1 điểm x bất kì thuộc đồ thị thì ta tìm được 1 giá trị y tương ứng với điểm x đã cho. H23 1a 2a 3a 40010 5a2 5b1 6a 71000 8c 2) f(x) = 2x + 1; f(x) = 2x2 - 3x + 1; f(x) = 6x + 2 H24 1a 2a 3a 40010 5b5 6a 71000 8c 2) f(x) = 4x + 2y = 5; g(x) = 8 + 3x = 0; h(x) = 9x + y = 10 H25 1a 2a 3b 40010 5a2 5b2 5c1 6a 71111 8c 7) Cả 4 công thức đều xác định hàm số vì có hệ số 0a ≠ . H26 1c 2a 3b 40010 5a1 5b2 5c1 6a 71010 8c 3) Bảng 1 thoả mãn với mỗi x sẽ có 1 y tương ứng. Bảng 2 là sai vì với x = - 2 và x = 7 nhưng chỉ có một y = 5 H27 1d 2a 3b 40010 5b2 6a 71100 8c 7) (a), (b) là hàm số vì có hệ số 0a ≠ , các công thức còn lại có y2 nên không xác định hàm số. H28 2a 3a 40010 5a2 5b1 5c1 6a 71100 8a 3) Bảng 1 là hàm số có dạng y = - 3x. Bảng 2 không là hàm số vì với mỗi giá trị của x không xác định 1 giá trị của y tương ứng. H29 1c 2a 3a 40010 5a1 5b2 5c2 6a 71100 8c 3) Bảng 1 là hàm số dạng y = - 3x; Bảng 2 không xác định được. H30 1d 2a 3b 40010 5a2 5b2 5c1 6a 71100 8c 4) (C3) là hàm số vì nó có toạ độ tâm I. H31 1c 2a 3a 40010 5a1 5b2 5c2 6a 71000 8c 5c) Hùng sai vì x mới là biến số của y. H32 1a 2a 3a 40010 5b2 6a 71000 8c 3) Vì các giá trị ở bảng 1 tỉ lệ nhau còn bảng 2 thi không. H33 1a 2a 3a 40010 5b2 5c2 6a 71000 8c 4) (C3) là hàm số vì hàm số chỉ có 2 dạng bậc I và bậc II mà đồ thị là đường thẳng hoặc Parabol mà trong 4 đường trên chỉ có (C3) là Parabol. H34 1a 2a 3a 40010 5a2 5b2 5c2 6a 71000 8c 3) Bảng 1 là hàm số vì các giá trị x, y đối xứng (tỉ lệ) x tăng thì y tăng còn bảng 2 các giá trị x, y không đối xứng (tỉ lệ). H35 1d 2a 3b 40010 5b1 5c2 6a 71000 8c 4) (C3) là hàm số vì là Parabol là hàm số bậc hai. H36 1d 2a 3b 41110 5a1 5b2 5c1 6a 71000 8a 7) (a) là hàm số vì với giá trị x ta được giá trị y, hàm số là 1 đường thẳng H37 1d 2a 3a 41010 5b2 6a 71000 8c 7) (a) là hàm số vì nó có dạng y = ax + b. H38 1d 2a 3a 41010 5b2 6a 71000 8c 6a) GTLN của f là 5. 6b) không có giá trị nào của x để f(x) = 0. H39 1c 2a 3a 41010 5a1 5b2 5c2 6a 71000 8c 6a) GTLN của f là 5. 6b) nếu x = 0 thì f(x) = 0. H40 1a 2a 3b 40010 6b 71000 8a 6c) ( ) 2 2f x ax b≤ ⇒ + ≤ H41 1c 2a 3b 40010 5a2 5b2 71000 8c 3) Vì cả 2 bảng đều là các toạ độ. H42 1a 2a 3a 40010 5b1 6a 71000 8c 3) Chỉ có bảng 1 là hàm số vì giá trị trong bảng 2 không đối xứng khi vẽ sẽ không cho ta 1 Parabol. H43 1a 2a 3a 40010 5a2 5b1 6a 71000 8c 4) (C3) xác định 1 hàm số vì hàm số là biểu thức bậc hai nên có dạng đường cong Parabol. H44 1c 2a 3a 5b1 6a 8c 8) f(0) = (0; 0,5); f(1) = (1; 1,25) H45 1c 2a 3a 40010 5b2 5c1 6a 71001 8c 5) Đúng vì nếu ta thế y vào hàm số để xác định x thì ta cũng tìm ra được số tương ứng như bảng trên. H46 1c 2a 3c 41010 5b1 6a 71100 8c 7) (a), (b) xác định hàm số vì có dạng y = ax + b; (c) và (d) có y bậc 2 nên không là hàm số. H47 3b 41010 5a2 5b2 5c1 6a 71100 8c 3) Hai bảng là hàm số vì đều thể hiện 1 giá trị x ứng với 1 và chỉ 1 giá trị y. H48 1b 2a 3a 41001 5a2 5b2 6a 71000 8c 3) Chỉ có bảng 1 biểu thị hàm số vì tương ứng với giá trị x hoặc y thì sẽ có 1 giá trị của y hoặc x. H49 1c 2a 3c 40010 5b2 5c1 6a 71000 8c 2) y = x + 1; y = 5x + 3; 2 2 5 3 3 xy x += + H50 1a 2a 3c 40010 5a2 5b2 5c1 6a 71000 8c 5c) Hùng đúng vì mỗi giá trị của y cũng cho ra 1 giá trị của x tương ứng. H51 1c 2a 3a 40010 5b2 5c2 6a 71000 8c 5c) Hùng sai vì ta chỉ có y = f(x). H52 1c 2a 3a 40010 5a2 5b2 6a 71000 8c 2) y = 2x + 3; y = x 2 + 2x + 3; 2 5y x= − H53 1c 2a 3a 40010 5b2 6a 71000 8c 6a) GTLN của f: (-1; 3); GTNN của f: (3; -2) H54 1c 2a 3a 40010 5b1 6a 71000 8c 8) f(0) = (0; 0,5); f(1) = (1; 1,5); f(2) = (2; 2); f(-2) = (-2; -1)… H55 1c 2a 3a 40010 5b2 5c2 6a 71000 8c 4) (C3) là hàm số vì có dạng Parabol. H56 1c 2a 3a 40010 5b2 6a 71000 8c 6b) f(0) = 0 thì x = 0 H57 1c 2a 3a 40010 5a2 5b2 5c1 6a 71000 8c 7) (a) là hàm số vì nó tập hợp tất cả các số thực x tức là y = f(x). H58 1c 2a 3a 40010 5a2 5b1 5c2 6a 71000 8c 5c) Hùng sai vì với mỗi giá trị x chỉ có 1 giá trị y tương ứng. H59 1c 2a 3a 40010 5a2 5b1 6a 71000 8c 8) f(0) = (0; 0,5); f(1) = (1; 1,2); f(2) = (2; 2)… H60 1c 2a 3a 40010 5a2 5b1 6a 71000 8c 7) (a) là hàm số vì có giá trị x tương ứng ta được y. H61 1c 2a 3a 40010 5a1 5b1 5c2 6a 71000 8c 4) (C3) là hàm số vì nó có dạng đường cong Parabol có đỉnh và điểm đối xứng. H62 1c 2a 3a 40010 5b1 5c2 6a 71000 8c 6b) Khi x = 0 thì f(x) = 0 H63 1c 2a 3a 40010 5b1 6a 71000 8c 3) Trong 2 bảng chỉ có bảng 1 là hàm số vì x, y tăng, giảm theo tỉ lệ còn bảng 2 không là hàm số vì x, y không theo tỉ lệ. H64 1c 2a 3a 40010 5a1 5b2 6a 71000 8b 4) (C3) là hàm số vì nó thể hiện đồ thị hàm số có dạng Parabol. H65 1c 2a 3a 40110 5a1 5b2 5c1 6a 71000 8c 5c) Đúng vì tương ứng mỗi giá trị của x có 1 giá trị của y. H66 2a 3a 5a1 5b2 71000 8b 7) (a) là hàm số vì có dạng y = ax + b H67 1c 2a 3a 40010 5a1 5b2 71000 8a 3) Bảng 2 không là hàm số vì nhiều giá trị x cho ra 1 giá trị y. H68 1c 2a 3a 41001 5a1 5b2 6a 71000 8a 4) (C1) và (C4) là hàm số vì không có dạng bậc hai. H69 1c 3a 41001 5a1 5b2 6a 71000 8a 8) f(0) = b; f(1) = a + b; f(2) = 2a + b;… H70 1c 2a 3a 40010 5a1 5b1 6a 71000 8a 3) Vì bảng 1 có điểm đối xứng và khi x tăng y cũng tăng theo còn bảng 2 không đối xứng và không theo tỉ lệ nào. H71 1c 2a 3a 40010 5a1 5b2 5c2 6a 71100 8a 3) bảng 1 là hàm số vì có dạng y = - 3x, bảng 2 không biểu thị hàm số vì không có dạng y = f(x) H72 1c 2a 3a 40010 5a1 5b1 6a 71100 8a 3) Bảng 2 không là hàm số vì x có 2 giá trị -2 và 7 cùng ứng với y = 5. H73 1c 2a 3a 5a1 5b1 71000 1) Hàm số(f) xác định trên D là 1 quy tắc đặt tương ứng mỗi số Dx∈ một và chỉ một, kí hiệu f(x) đó là giá trị của hàm số tại x. H74 1d 2a 3a 41010 5a1 5b1 6a 71000 8c 4) (C3) và (C1) là hàm số vì khi cho 1 giá trị x ta xác định được 1 giá trị y. H75 1d 2a 3a 40010 5b1 6a 71000 8b 3) Vì ở bảng 1, các giá trị x tương ứng nên bảng 1 là hàm số; ở bảng 2, các giá trị x không tương ứng nên không là hàm số. H76 1b 2a 3a 40010 5a2 5b4 6a 71000 8b 1) Hàm số là một quy tắc tương ứng mỗi Dx∈ với 1 và chỉ 1 số f(x), hàm số có dạng y = ax + b. H77 3b 40100 5a2 5b1 5c2 6a 71010 8b 4) (C2) là hàm số vì nó đối xứng qua gốc toạ độ. H78 1c 3a 40010 5a2 5b5 6a 71000 8a 8) f(0) = b; f(1) = a + b; f(2) = 2a + b;… H79 1c 2a 3a 40010 5a2 5b2 6a 71000 8a 8) f(x) = ax + b; f(0) = b; f(1) = a + b; f(2) = 2a + b;… H80 1c 2a 3a 40010 5a2 5b2 6a 71000 8a 8) f(x) = ax + by, f(x) = - 0,7x + 0,6; f(0) = 0,6; f(1) = - 0,1; … H81 1b 2a 3b 40010 5a1 5b2 6a 71000 8c 3) Thư sai vì 1 giá trị x tương ứng với 1 giá trị y mà cả 2 bảng trên đều giống nhau. H82 1c 2a 3a 41010 5a1 6a 71000 8c 1) Hàm số theo biến x là với mỗi giá trị x xác định được 1 giá trị duy nhất tương ứng nào đó. H83 1c 2a 3a 40010 5a1 5b1 6a 71000 8c 4) (C3) là hàm số vì nó là đường Parabol nên ta có thể xác định được toạ độ (x,y) H84 1c 2a 3a 40010 5a1 5b1 6a 71000 8c 4) (C3) là hàm số vì hàm số là đồ thị có dạng đường cong Parabol. H85 1d 2a 3a 41010 5a1 6a 71000 8c 6a) GTLN của f: (-1; 3); GTNN của f: (-2; 3). H86 1c 2a 3a 40010 5a1 5b2 6a 71000 8c 3) Bảng 2 không là hàm số vì từ 1 giá trị y cho ra 2 giá trị x. H87 1c 2a 3a 40010 5a1 5b2 6a 71000 8c 3) Bảng 1 có x, y tương ứng với nhau, bảng 2 thì x, y không tương ứng. H88 1a 2a 3a 40010 5a1 5b1 6a 71000 8c 1) Hàm số là 1 biểu thức có dạng y = f(x) khi đó giá trị x bất kì thuộc TXĐ của nó. H89 1a 2a 3b 40010 5a1 5b2 6a 71000 8c 3) Bảng 1 là hàm số của đồ thị Parabol, bảng 2 là 1 đường thẳng. H90 1a 2a 3b 40010 5a1 5b5 6a 71100 8c 3) Hai bảng đều là hàm số vì 2 bảng đều cho một x thì có một y tương ứng. H91 1c 2a 3a 5a1 5b2 6a 71010 8c 2) y = 2x + 3; y = 3x2 + 2x +8; y = 3x2 + 2 H92 1c 2a 3a 41010 5a1 5b5 6a 8c 4) (C1) là hàm số vì với 1 giá trị x ta nhận được 1 giá trị y tương ứng. H93 1c 2a 3b 40010 5a1 8c 4) (C3) là hàm số vì ở đường cong, với mỗi giá trị x có 1 giá trị tương ứng của y. H94 1c 2a 3b 40010 5a1 5b2 8c 3) Bảng 1 và 2 cùng là hàm số vì cùng 1 giá trị x chỉ có duy nhất 1 giá trị của y. H95 1a 2a 3b 40010 5a1 5b4 6a 71000 8b 3) Hai bảng đều là hàm số vì hàm số là 1 dạng f(x): ax + by + c H96 1a 2a 3a 40010 5a1 5b2 6a 71000 8c 6) GTLN:(-1; 3), GTNN: (3; -2) H97 1e 2a 3a 40010 5a1 5b4 71000 8b 1) Hàm số như là có độ biến thiên tăng giảm, là đường cong Parabol. H98 1a 2a 3b 40010 5a1 6a 71000 8b 3) Vì bảng 1 là hàm số tăng, bảng 2 không tăng không giảm. H99 2a 3a 40010 5a1 5b3 6a 71100 8b 8) Chỉ tính được f(2) = 2; f(-2) = -1 H100 1a 2a 3b 40010 5a1 5b2 6a 71000 7) (a) xác định hàm số vì với mỗi giá trị của x ta có 1 giá trị tương ứng y. H101 1d 2a 3b 41111 5a1 5b2 6a 71000 8) Không có các giá trị trên. H102 1d 2a 3b 40010 5b1 5c1 6a 71000 8c 4) (C3) là hàm số vì 1 giá trị x thì thể hiện 1 giá trị y. H103 1d 2a 3b 40010 5b1 5c1 6a 71000 8c 5c) Đúng vì ta xác định x nó cũng là hàm số biến y. H104 1b 2a 3b 40010 5b1 5c1 6a 71000 8c 3) Thư sai vì 1 giá trị x tương ứng với 1 giá trị y mà 2 bảng trên đều giống nhau. H105 1d 2a 3b 40010 5b1 5c1 6a 71000 8c 6) GTLN x = 3; GTNN x = -2 H106 1c 2a 3a 40010 5a2 5b1 6a 71000 8c 6) GTLN khi x = 3; GTNN khi x = 1 H107 1c 2a 3a 40010 5a2 5b2 5c1 6a 71000 8c 4) (C3) là hàm số vì nó có điểm H108 1b 2a 3b 40010 5a1 5b1 5c2 6a 71100 8c 3) Vì ở 2 bảng mỗi giá trị x đều có giá trị y tương ứng. H109 1e 2a 3a 40010 5a1 5c2 6a 71100 8c 1) Hàm số là sự gắn kết của 1 giá trị này sẽ nhận được giá trị kia tương ứng. H110 1a 2a 3b 40010 5a1 5b2 5c2 6a 71010 8c 5c) Sai vì với 1 giá trị y = 1 cho ra 2 giá trị x = -2 và x = 2 H111 1a 2a 3a 41010 5a1 5b2 6a 71010 8c 7) (a),(c) xác định hàm số vì mỗi x chỉ cho ra 1 y. H112 1a 2a 3a 40010 5a3 5b4 5c2 6a 71000 8b 3) Bảng 1, x tăng thì y giảm theo quy luật nên là hàm số. Bảng 2 không tăng theo quy luật tăng giảm nên không là hàm số. H113 3a 40010 5a1 5b1 6a 71100 8b 6) GTLN: (-1; 3); GTNN: (3; -2) H114 1a 2a 3a 40010 5b2 6a 71000 8b 1) Hàm số là 1 biểu thức có dạng nào đó, bao gồm các hàm bậc I, hàm bậc II H115 1a 2a 3c 40010 5b4 5c2 6a 71000 8b 7) (a) là hàm số vì khi cho giá trị x sẽ tìm được giá trị y và cho ta 1 điểm. H116 1e 2a 3b 41010 5a1 5b2 5c2 6a 71100 8b 1) Hàm số là sự biến thiên 1 giá trị sẽ nhận 1 giá trị tương ứng. H117 1d 2a 3a 40010 5a3 5b4 5c2 6a 71000 4) (C3) là hàm số vì khi có 1 giá trị x cho ta 1 giá trị y xác định. H118 1c 2a 3a 40010 5a2 5b2 6a 71000 8a 7) (a) xác định 1 hàm số vì có tập xác định và có biến số x.