Mô phỏng điều chế dmt trong ứng dụng ADSL

CHÖÔNG VI MAÕ XOAÉN CONVOLUTION CODE A.\Maõ xoaén-maõ tích chaäp Maõ xoaén laø maõ ñöôïc hình thaønh baèng caùch ñöa chuoãi bit caàn maõ hoaù ñi qua caùc thanh ghi dòch tuyeán tính coù soá traïng thaùi nhaát ñònh.Caùc loaïi maõ xoaén khoâng phaân bieät phaàn döõ lieäu vaø phaàn döõ lieäu maõ hoaù theâm vaøo nhö ôû maõ khoái.Ngoõ ra cuûa maõ xoaén laø caùc boä coäng modulo-2 cuûa caùc thanh ghi dòch.Phaàn maõ hoaù theâm vaøo ñöôïc phaân phoái ñeàu khaép döõ lieäu ñöôïc maõ hoaù:caùc bit ngoõ ra phuï thuoäc vaøo caùc traïng thaùi cuûa caùc thanh ghi vaø bit ngoõ vaøo töông öùng taïi thôøi ñieåm ñoù.Boä maõ hoaù xoaén ñôn giaûn duøng ñeå giaûi thích ôû ñaây coù daïng: (Hình 6.1) Boä maõ hoaù maõ xoaén ñôn giaûn nhaát Maõ xoaén thöôøng ñöôïc moâ taû bôûi 2 tham soá laø tyû leä maõ hoaù vaø chieàu daøi cöôõng böùc-“constrain length”-.Tyû leä maõ hoaù cuûa maõ xoaén ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: r = vôùi k laø soá bit döõ lieäu ngoõ vaøo taïi moät thôøi ñieåm vaø n soá bit maõ hoaù ôû ngoõ ra ôû moät ñôn vò thôøi gian töông öùng Vôùi chuoãi bit tin L bit ñöa vaøo boä maõ hoaù xoaén 1/n vaø K=m+1 thì töø maõ ngoõ ra coù chieàu daøi laø n(L+m),neân tyû leä maõ hoaù seõ laø : r = bits/symbol Tuy nhieân trong thöïc teá,L >> m neân ta coù : r bits/symbol Chieàu daøi cöôõng böùc cuûa maõ xoaén laø: vôùi m laø kích thöôùc toái ña trong baát kyø thanh ghi dòch naøo duøng ñeå löu tröõ traïng thaùi thoâng tin cuûa boä maõ hoaù xoaén.Chieàu daøi cöôõng böùc coøn ñöôïc hieåu laø soá laàn dòch chuyeån cuûa moät bit ñeå ñi heát caùc thanh dòch.Chieàu daøi cöôõng böùc quan heä phuï thuoäc ñeán soá löôïng bit ngoõ ra. Khi k = 1,töùc laø boä maõ xoaén coù r = 1/n ñöôïc goïi laø maõ xoaén nhò phaân-“binary convolution”.Ngöôïc laïi khi k 2 thì ta goïi ñoù laø maõ xoaén phi nhò phaân-“nonbinary convolution”.Moät moâ hình maõ xoaén phi nhò phaân ñôn giaûn khaùc laø: Flip-flop boä coäng modulo-2 (Hình 6.2) k = 2,n =3,r =2/3,K=2 Convolution encoder Maõ xoaén hình 6.2 treân coù chuoãi ngoõ vaøo taïi moät thôøi ñieåm laø 2 bit vaø chuoãi ngoõ ra töông öùng laø 3. Moät boä maõ hoaù xoaén coù theå ñöôïc mieâu taû baèng nhieàu caùch khaùc nhau nhö duøng haøm sinh,bieåu ñoà caây,bieåu ñoà maùy traïng thaùi vaø bieåu ñoà maét caùo.Haøm ña thöùc sinh bieåu dieãn cuûa maõ xoaén hình 6.1 laø g (1) = (1,1,1) vaø g (2) = (1,0,1) hoaëc coù theå vieát nhö sau g(D) = 1+D+D vaø g(D) = 1+D.Ña thöùc sinh cuûa moät boä maõ hoaù maõ xoaén coù theå xaùc ñònh baèng caùch cho chuoãi bit 10000… ñi vaøo boä maõ hoaù,khi ñoù chuoãi bit ngoõ ra taïi töøng boä coäng modulo-2 laø ña thöùc sinh cuûa maõ xoaén ñoù.Beân caïnh ñoù,ña thöùc sinh cuûa boä maõ hoaù maõ xoaén coù theå xaùc ñònh nhö sau:soá phaàn töû cuûa ña thöùc sinh cuûa moät ngoõ ra baèng chieàu daøi cöôõng böùc vaø giaù trò cuûa phaàn töû thöù i baèng “1” neáu thanh ghi dòch traïng thaùi thöù i noái vôùi boä coäng cuûa ngoõ ra ñoù.Ngöôïc laïi seõ coù giaù trò laø “0”.Döïa vaøo caùc ña thöùc sinh cuûa moät maõ xoaén ta coù theå bieát ñöôïc caáu taïo boä maõ hoaù. Sô ñoà caây moâ taû boä maõ hoaù maõ xoaén hình 6.1 coù daïng nhö sau: 0 1 00 00 00 11 11 11 11 10 10 01 01 00 01 10 Sô ñoà caây moâ taû boä maõ hoaù maõ xoaén hình 6.1 (Hình 6.3) Maõ xoaén coøn ñöôïc goïi laø maõ maét caùo-“Trellis code”- vì caùc maõ xoaén coù theå ñöôïc moâ taû baèng bieåu ñoà maét caùo-“trellis diagram”. B.\Bieåu ñoà trellis - maét caùo Trong caùc caùch treân thì bieåu ñoà maét caùo laø phöông tieän tieän lôïi vaø höõu ích ñeå maõ hoaù vaø giaûi maõ moät maõ xoaén bôûi tính deã hieåu vaø tröïc quan nhaát.Tieáp theo chuùng ta seõ tìm hieåu veà bieåu ñoà naøy.Trong ví duï treân coù 2 boä löu tröõ-“delay”- ñeå taïo ra 4 traïng thaùi.Boä delay beân traùi ñöôïc gaùn troïng soá vaø boä delay beân phaûi ñöôïc gaùn troïng soá .Vôùi moät traïng thaùi cho tröôùc vaø moät bit ngoõ vaøo seõ cho ra 1 traïng thaùi keá tieáp ñöôïc löu tröõ trong caùc boä delay. traïng thaùi hieän taïi traïng thaùi keá,neáu traïng thaùi bit ngoõ ra,neáu input=0 input=1 hieän taïi input=0 input=1 00 00 10 00 00 11 01 00 10 01 11 00 10 01 11 10 10 01 11 01 11 11 01 10 Baûng chuyeån ñoåi traïng thaùi (Hình 6.4) Baûng bit ngoõ ra Bieåu ñoà maét caùo laø söï keá hôïp giöõa 2 baûng chuyeån ñoåi traïng thaùi vaø baûng bit ngoõ ra.Boán traïng thaùi cuûa bieåu ñoà ñöôïc veõ thaønh 4 haøng nuùt naèm ngang.Nhöõng nuùt beân traùi cuûa bieåu ñoà töôïng tröng cho traïng thaùi hieän taïi vaø nhöõng nuùt beân phaûi cuûa bieåu ñoà töôïng tröng cho traïng thaùi keá tieáp.Taïi moãi nuùt ôû traïng thaùi hieän taïi coù 2 nhaùnh ñeán 2 nuùt ôû traïng thaùi keá tieáp,nhaùnh treân laø nhaùnh ñaïi dieän cho bit ngoõ vaøo laø 0,nhaùnh döôùi laø nhaùnh ñaïi dieän cho bit ngoõ vaøo laø 1.Vaø 2bit nhaõn treân moãi nhaùnh laø ñaùp öùng bit ngoõ ra töông öùng cuûa maõ xoaén. (Hình 6.5) Bieåu ñoà maét caùo Ñeå maõ hoaù 1 chuoãi döõ lieäu ta seõ môû roäng bieåu ñoà maét caùo ra nhieàu laàn,soá laàn môû roäng cuûa bieåu ñoà chính baèng soá löôïng bit caàn maõ hoaù.Caùc nuùt cuûa moät coät ñaïi dieän cho caùc traïng thaùi taïi cuøng 1 thôøi ñieåm.Khi baét ñaàu ta luoân baét ñaàu taïi time 0 vaø traïng thaùi 00.Chuùng ta seõ ñi theo ñöôøng phuï thuoäc vaøo bit ngoõ vaøo:neáu bit ngoõ vaøo laø 0 thì ta ñi theo nhaùnh treân vaø neáu bit ngoõ vaøo laø 1 thì ta ñi theo nhaùnh thaáp hôn.Vaø nhaõn cuûa töøng nhaùnh laø chuoãi bit ngoõ ra töông öùng.Giaû söû chuoãi bit ngoõ vaøo laø 1011,ta seõ coù chuoãi bit ñaùp öùng ngoõ ra laø 11 10 00 01. (Hình 6.6) Bieåu ñoà maét caùo maõ hoaù chuoãi bit 1011 C.\Bieåu ñoà traïng thaùi: Döïa vaøo bieåu ñoà trellis ôû hình 6.5 ta coù theå döïng bieåu ñoà traïng thaùi cuûa boä maõ hoaù maõ xoaén ôû hình 6.1.Ñeå thuaän tieän tröôùc tieân ta kyù hieäu caùc traïng thaùi coù theå coù cuûa boä maõ hoaù ñoù nhö sau: Traïng thaùi Traïng thaùi a 00 b 10 c 01 d 11 bit vaøo laø 0 bit vaøo laø 1 (Hình 6.7) Bieåu ñoà traïng thaùi cuûa boä maõ hoaù maõ xoaén hình 6.1 Bieåu ñoà traïng thaùi coøn laø moät coâng cuï höõu ích ñeå tìm tính chaát khoaûng caùch vaø khaûo saùt tyû leä loãi cuûa moät boä maõ hoaù maõ xoaén. D.\Giaûi maõ maõ xoaén-thuaät toaùn Veterbi Thuaät toaùn Viterbi ñöôïc coâng boá vaøo naêm 1967 bôûi Viterbi.Sau ñoù Foney chæ ra raèng ñoù laø thuaät toaùn gaàn nhaát duøng ñeå giaûi maõ cho maõ maét caùo vaøo naêm 1973.Thöïc teá laø boä giaûi maõ seõ choïn chuoãi vôùi soá metric nhoû nhaát so vôùi chuoãi nhaän ñöôïc.Vaø thoâng tin seõ ñöôïc khoâi phuïc döïa vaøo chuoãi maø boä giaûi maõ choïn,coøn goïi laø chuoãi ñaõ söûa hoaëc chuoãi öôùc löôïng. Hình 6.8 döôùi laø moâ hình bieåu ñoà khoái cuûa heä thoáng maõ xoaén.Chuoãi thoâng tin m seõ ñöôïc maõ hoaù thaønh chuoãi maõ xoaén x.Chuoãi maõ xoaén x seõ ñöôïc truyeàn treân keânh truyeàn khoâng nhôù rôøi raïc coù can nhieãu neân seõ cho chuoãi ngoõ ra cuûa keânh truyeàn laø y.Boä giaûi maõ Viterbi seõ tính toaùn ñeå choïn chuoãi öôùc löôïng laø x’,chuoãi x’ ñöôïc öôùc löôïng döïa treân chuoãi r.Thoâng tin döõ lieäu m’seõ ñöôïc khoâi phuïc döïa vaøo chuoãi x’. (Hình 6.8) Khaùi quaùt veà heä thoáng duøng maõ xoaén Cô sôû cuûa vieäc choïn chuoãi öôùc löôïng ñöôïc giaûi thích nhö sau: Vôùi moâ hình treân,ñeå m’ = m khi vaø chæ khi boä giaûi maõ öôùc löôïng x’ = x.Ngöôïc laïi seõ coù giaûi maõ sai taïi boä nhaän.Xaùc suaát öôùc löôïng x’töø chuoãi bit y nhaän ñöôïc ñeå m’ = m laø lôùn nhaát neáu xaùc xuaát loãi cuûa vieäc giaûi maõ sai laø nhoû nhaát .Coù nghóa laø p(x’=x | y) laø lôùn neáu p(x’ x| y) laø nhoû nhaát.Noùi caùch khaùc,neáu ta ñaët p(y|x) laø xaùc suaát nhaän ñöôïc chuoãi y khi chuoãi phaùt laø x thì boä giaûi maõ theo xaùc suaát lôùn nhaát ñoái vôùi keânh truyeàn khoâng nhôù rôøi raïc ñöôïc moâ taû nhö sau:öôùc löôïng chuoãi x’ vôùi ñieàu kieän ln p(y | x) laø lôùn nhaát. Xeùt keânh truyeàn BSC: (Hình 6.9) Keânh truyeàn nhò phaân ñoái xöùng BSC Keânh truyeàn BSC laø keânh truyeàn coù caùc ñaëc ñieåm nhö sau:ngoõ vaøo laø chuoãi nhò phaân,ngoõ ra cuõng laø chuoãi nhò phaân,n bit vaøo thì coù n bit ôû ngoõ ra.Xaùc xuaát truyeàn bit 0(hoaëc 1) maø nhaän ñöôïc bit 1(hoaëc 0) laø p,ñöôïc moâ taû nhö sau: P( 0 | 1 ) = P (1 | 0) = p P(0 | 0) = P (1 | 1) = 1-p Neáu 2 chuoãi x,y laø caùc chuoãi nhò phaân coù cuøng chieàu daøi laø N vaø 2 chuoãi coù nhöõng bit khaùc nhau.Goïi xi ,yi laø vò trí thöù i trong 2 chuoãi treân.Khi ñoù ta coù: p(y | x) = Laáy logarit heä soá e cho 2 veá: ln p(y | x) = Do tính chaát keânh truyeàn BSC ta coù: p(y | x) = p neáu y x vaø p(y | x) =1- p neáu y= x Giaû söû chuoãi y khaùc chuoãi x ôû d vò trí.Soá d ñoù seõ ñöôïc goïi laø khoaûng caùch Hamming giöõa 2 chuoãi laø y vaø x.Vaäy: ln p(y | x) = d ln( p )+(N-d)ln(1-p) = d ln() + N ln(1-p) Thöôøng thì xaùc suaát xuaát hieän moät loãi laø nhoû,ta giaû söû p<1/2.Khi ñoù N ln(1-p) laø haèng soá ñoái vôùi moïi chuoãi x,neân vieäc giaûi maõ theo xaùc xuaát lôùn nhaát ñoái vôùi keânh truyeàn BSC laø:öôùc löôïng chuoãi x’ coù khoaûng caùch Hamming laø nhoû nhaát giöõa 2 chuoãi laø x vaø y. Nhaän ñònh treân chæ daønh cho keânh truyeàn BSC.Ñoái vôùi caùc boä giaûi maõ treân caùc keânh truyeàn khaùc chuoãi y seõ ñöôïc so saùnh vôùi moãi chuoãi x coù theå coù cuûa beân phaùt.Vaø 1 chuoãi “gaàn nhaát” vôùi y seõ ñöôïc choïn,chuoãi maø coù soá bit khaùc vôùi chuoãi y laø nhoû nhaát. Trong thuaät toaùn giaûi maõ Viterbi,chuùng ta söû duïng khoaûng caùch Hamming giöõa chuoãi nhaän ñöôïc vaø chuoãi chuoãi ngoõ ra coù theå cuûa keânh truyeàn ñeå tính d(y,x) ,ñöôïc goïi laø tính metric.Khoaûng caùc Hamming ñöôïc tính baèng caùch ñeám soá bit khaùc nhau giöõa 2 chuoãi.Metric cuûa nhaùnh laø khoaûng caùch Hamming maø ñöôïc tính cho ñöôøng noái giöõa 2 traïng thaùi tröôùc ñoù vaø traïng thaùi hieän taïi. Thuaät toaùn Viterbi quyeát ñònh cöùng coù theå ñöôïc khaùi quaùt nhö sau: 1.Giaû söû boä maõ hoaù cuûa maõ xoaén khôûi ñaàu ôû traïng thaùi 0.Ñaët soá metric baèng 0 vaø t cuõng baèng 0 taïi nuùt khôûi ñaàu. 2.Taïi moãi nuùt t+1,tính toång metric cuûa traïng thaùi tröôùc ñoù taïi nuùt t vaø metric cuûa nhaùnh noái ñeán nuùt ñoù.Taïi moãi traïng thaùi choïn ñoaïn ñöôøng coù toång soá metric nhoû nhaát vaø ghi laïi toång soá metric taïi nuùt ñoù.Tieáp tuïc ñi deán traïng thaùi keá. 3.Neáu chuùng ta ñeán cuoái bieåu ñoà thì ngöøng laïi roài choïn con ñöôøng coù soá metric nhoû nhaát laøm töø maõ ñaõ ñöôïc giaûi maõ.Ngöôïc laïi taêng t theâm 1 roài trôû veà böôùc 2. Ví duï: ta coù chuoãi bit caàn truyeàn laø u = 1 0 1 0 1 0 0,thì chuoãi töø maõ laø v= 11 10 00 10 00 10 11 vì coù nhieãu neân r= 11 11 00 10 00 10 11 xem nhö laø chuoãi nhaän ñöôïc coù bit loãi ñöôïc gaïch döôùi. (Hình 6.10) Bieåu ñoà trellis duøng ñeå giaûi maõ chuoãi bit nhaän ñöôïc Tröôùc heát ñeå aùp duïng thuaät toaùn Viterbi,ta môû roäng bieåu ñoà ra nhö treân.Taïi moãi nuùt ñöôïc gaùn cho 1 caëp soá:soá ñaàu tieân ñaïi dieän cho traïng thaùi tröôùc ñoù vaø soá thöù hai ñaïi dieän cho toång soá metric tích luyõ ñöôïc.Sau khi tính toaùn töø chuoãi bieåu töôïng nhaän ñöôïc ta tìm ñöôïc con ñöôøng 00-10-01-10-01-10-01-00,con ñöôøng ñöôïc toâ ñaäm nhö hình laø coù soá metric nhoû nhaát.Döïa vaøo con ñöôøng tìm ñöôïc thì chuoãi öôùc löôïng v’=11 10 00 10 00 10 11,laø chuoãi ñöôïc taïo ra töø chuoãi bit 1 0 1 0 1 0 0.Töø chuoãi öôùc löôïng,boä giaûi maõ seõ giaûi maõ thaønh chuoãi bit u’=1 0 1 0 1 0 0,truøng khôùp hoaøn toaøn vôùi chuoãi döõ lieäu ñaõ truyeàn.Qua ví duï naøy cho thaáy thuaät toaùn Viterbi duøng ñeå giaûi maõ coù khaû naêng khoâi phuïc ñöôïc chuoãi döõ lieäu goác duø nhaän ñöôïc chuoãi khoâng ñuùng. Thuaän lôïi lôùn nhaát cuûa thuaät toaùn giaûi maõ Viterbi ñoái vôùi moät maõ xoaén r=k/n,chieàu daøi cöôõng böùc K laø soá löôïng thao taùc ñeå giaûi maõ chuoãi L bit laø L2 E.\Haøm truyeàn cuûa maõ xoaén Haøm truyeàn cuûa moät maõ xoaén phaûn aùnh veà tính chaát khoaûng caùch vaø tyû leä loãi cuûa moät maõ xoaén.Ñeå tìm haøm truyeàn cuûa moät maõ xoaén ta söû duïng bieåu ñoà traïng thaùi cuûa chính maõ ñoù.Chuùng ta seõ söû duïng hình 6.7 ñeå tìm haøm truyeàn cho maõ xoaén r=1/2 vaø K=3 ôû hình 6.1.Tröôùc heát chuùng ta seõ thay ñoåi moät chuùt veà maùy traïng thaùi cuûa maõ naùy nhö sau:traïng thaùi toaøn khoâng-“all-zero state” a seõ ñöôïc phaân laøm traïng thaùi khôûi ñaàu laø a vaø traïng thaùi keát thuùc laø e.Vaø voøng laëp taïi ñaây cuõng ñöôïc loaïi boû vì voøng laëp naøy coù khoaûng caùch Hamming laø 0 so vôùi chuoãi maõ toaøn khoâng.Vaø thay ñoåi chuû yeáu taïi hình döôùi ñaây chính laø caùch ñaët nhaõn cho caùc nhaùnh.a b c e d DLI DL DL DLI DL DLI LI Bit vaøo laø 0 Bit vaøo laø 1 (Hình 6.11) Bieåu ñoà traïng thaùi ñöôïc thay ñoåi D=1, D, D, D,… laø caùch khoaûng caùch Hamming(coøn goïi laø caùc troïng soá) cuûa nhaùnh ñoù so vôùi nhaùnh ngoõ ra toaøn khoâng.I laø caùc troïng soá Hamming öùng vôùi bit ngoõ vaøo;neân vôùi ngoõ vaøo laø 0 chuùng ta coù I=1 vaø vôùi ngoõ vaøo laø bit 1 thì I=I.Vaø L laø chieàu daøi cuûa nhaùnh vaø coù giaù trò heä soá muõ luoân baèng 1.Ví duï xeùt ñöôøng abcbdce seõ coù nhaõn laø DLI.Coù nghóa laø troïng soá Hamming cuûa töø maõ ngoõ ra boä maõ hoaù seõ laø 7,chieàu daøi cuûa ñoaïn ñöôøng cuûa töø maõ laø 6 vaø troïng soá Hamming cuûa töø chuoãi bit ngoõ vaøo laø 3.Neáu chuùng ta xem con ñöôøng cô baûn-“fundamental path”- laø con ñöôøng baét ñaàu taïi a vaø keát thuùc taïi e.Xem Td,l,i laø soá ñöôøng cô baûn noái a vôùi e ñöôïc ñaët nhaõn laø DLI thì ta coù haøm truyeàn laø toång caùc con ñöôøng coù theå coù noái giöõa 2 ñieåm a vaø e: T(D,L,I) =Td,l,I . DLI Beân caïnh ñoù ta coù theå tính haøm truyeàn T(D,L,I) nhö sau: T(D,L,I)= Xe/Xa .Vôùi Xi laø bieán taïm taïi nuùt i vaø baèng toång caùc nuùt noái ñeán i vaø nhaõn cuûa caùc nhaùnh laø ñoä lôïi.Neân: Xb = DLI. Xa + LI . Xc Xc = DL .Xb + DL . Xd Xd = DLI .Xb + DLI. Xd Xe = DL .Xc Giaûi phöông trình T(D,L,I)= Xe/Xa ta seõ coù: T(D,L,I) = Trieån khai (1-DLI(1+L)) ta coù: T(D,L,I) = DLI + DLI(1+L)+ DLI(1+L)+… Döïa vaøo haøm truyeàn tìm ñöôïc treân ta thaáy: a.Khoâng coù ñoaïn ñöôøng cô baûn naøo coù khoaûng caùch Hamming laø 0,1,2,3 hay 4 so vôùi con ñöôøng ngoõ ra toaøn khoâng. b.Coù moät ñoaïn ñöôøng duy nhaát noái a vaø e maø coù khoaûng caùch Hamming laø 5,chieàu daøi laø 3 vaø troïng soá ngoõ vaøo 1 bit ñôn laø 1 so vôùi ñoaïn ñöôøng toaøn khoâng. c.Coù 2 ñoaïn ñöôøng coù cuøng khoaûng caùch Hamming laø 6.Moät ñoaïn ñi qua 4 nhaùnh vaø 1 ñoaïn ñi qua 5 nhaùnh,nhöng caû 2 cuøng coù troïng soá ngoõ vaøo 2 so vôùi con ñöôøng toaøn khoâng. d.Coù 4 ñoaïn ñöôøng coù cuøng khoaûng caùch Hamming laø 7.Moät ñoaïn ñöôøng coù chieàu daøi laø 5;2 ñoaïn coù chieàu daøi laø 6 vaø 1 ñoaïn coù chieàu daøi laø 7.Caû 4 coù cuøng troïng soá ngoõ vaøo laø 3. … Vaäy döïa vaøo haøm truyeàn cuûa maõ xoaén ta bieát ñöôïc khoaûng caùch Hamming nhoû nhaát giöõa baát kyø con ñöôøng cô baûn naøo vôùi con ñöôøng toaøn khoâng.Trong tröôøng hôïp tính treân thì khoaûng caùch ñoù laø 5.Khoaûng caùch ñoù goïi laø khoaûng caùch töï do nhoû nhaát vaø kyù hieäu laø dfree hoaëc df .Vôùi maõ xoaén coù soá bit loãi cuûa töø maõ nhaän ñöôïc so vôùi töø maõ ñaõ phaùt beù hôn ½ dfree thì boä giaûi maõ luoân giaûi maõ ñuùng vôùi moïi tröôøng hôïp.ÖÙng vôùi dfree =5 thì soá bit loãi lôùn nhaát cho pheùp ñeå boä giaûi maõ luoân giaûi maõ ñuùng laø 2. F.\Xaùc xuaát loãi cuûa phöông phaùp giaûi maõ quyeát ñònh cöùng Vôùi vieäc söû duïng thuaät toaùn Viterbi cho vieäc giaûi maõ maõ xoaén treân keânh truyeàn BSC.Ñaëc ñieåm cuûa thuaät toaùn naøy laø söû duïng caùc metric(khoaûng caùch Hamming) ñeå öôùc löôïng chuoãi bit ñaõ phaùt vaø taïi moãi noát cuûa cuûa bieåu ñoà maét caùo luoân coù 2 khaû naêng ñeå choïn.Giaû söû chuoãi phaùt laø ñoaïn ñöôøng toaøn khoâng coù chuoãi töø maõ nhaän ñöôïc taïi beân thu,giaû söû chuoãi naøy so saùnh vôùi chuoãi maõ ngoõ ra toaøn khoâng ôû moät vaøi nuùt coù khoaûng caùch Hamming laø d.Neáu d leû vaø soá bit loãi d’cuûa chuoãi nhaän ñöôïc beù hôn 1/2(d+1) thì boä giaûi maõ seõ tìm laïi ñuùng chuoãi ñaõ phaùt laø chuoãi ngoõ vaøo toaøn khoâng.Ngöôïc laïi seõ giaûi maõ sai.Ta coù xaùc suaát giaûi maõ sai laø: P(d)= p(1-p) trong ñoù p laø xaùc suaát loãi bit cuûa keânh truyeàn BSC.Neáu d’=1/2d thì boä giaûi maõ seõ tìm thaáy 2 con ñöôøng coù cuøng soá metric vaø seõ choïn ngaãu nhieân 1 ñöôøng neân xaùc suaát loãi ñöôïc xem laø ½.Khi naøy xaùc suaát loãi seõ laø: P(d)= p(1-p) + ½ p(1-p) Taïi moät nuùt baát kyø,coù raát nhieàu ñoaïn ñöôøng trôû veà traïng thaùi e.Ta coù theå vieát toång quaùt nhö sau: Pe < vôùi ad laø soá con ñöôøng coù cuøng khoaûng caùch laø d.Ñaây laø heä soá coù theå xaùc ñònh töø haøm truyeàn T(D,L,I). Maëc khaùc caän treân cuûa xaùc xuaát giaûi maõ sai theo coâng thöùc nhö sau: P2(d)< [4p(1-p)] => Pe < ad [4p(1-p)] < T(D)| Vì tyû leä loãi BER ñöôïc dònh nghóa döïa treân soá bit loãi khi giaûi maõ töøng bit neân: (BER) Vaäy ñoái vôùi keânh truyeàn BSC: (BER) G.\Ñoä lôïi maõ cuûa maõ xoaén Xeùt keânh truyeàn BSC: Vôùi keânh truyeàn naøy thì tham soá Z ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: Z=2 Vaø xaùc suaát truyeàn-“transition probability”-p ñöôïc ñònh nghóa nhö xaùc suaát loãi cuûa ñieàu cheá tín hieäu PSK: p=erfc() vôùi E laø naêng löôïng cuûa töøng symbol maõ vaø N/2 laø maät ñoä phoå coâng suaát cuûa tín hieäu nhieãu. erfc() exp(-) neân p coù theå laáy xaáp xæ nhö sau: p 0.282 exp(-) (*) neáu khoâng coù söû duïng maõ hoaù thì BER=p ñoái vôùi tín hieäu nhò phaân PSK vaø vì p << 1,E/N laïi lôùn vaäy neân giaù trò Z xaáp xæ laø: Z 1.06 exp (-) Ñoái vôùi maõ xoaén coù tyû leä maõ r,coù nghóa coù r symbol maõ khi moãi bit tin ñöa vaøo.Neân naêng löôïng cuûa symbol maõ lieän heä vôùi naêng löôïng bit laø: E = r.E => Z 1.06 exp (-) Thay theá Z vaøo bieåu thöùc BER AZ coù A=,ta seõ coù bieåu thöùc sau: BER (1.06)Aexp(-) Khai trieån veá phaûi coâng thöùc treân,giaù trò cuûa soá haïng toång phaàn lôn taäp trung ôû soá haïng ñaàu tieân neân: BER (1.06) A exp(-) (**) Vôùi maõ xoaén nhö hình 6.1 moâ taû ta coùk =1, A=1.Khi so saùnh heä soá muõ cuûa (**) vôùi heä soá muõ cuûa coâng thöùc (*) thì heä soá muõ cuûa BER coù söû duïng maõ hoaù lôùn hôn heä soá muõ cuûa BER khoâng coù söû duïng maõ moät löôïng laø d.r/2.Coù nghóa BER cuûa heä thoáng coù maõ hoaù seõ nhoû hôn BER cuûa heä thoáng khoâng maõ hoaù.Neáu E/N laø lôùn vaø xaùc ñònh,ta thaáy giaù trò BER bò chi phoái bôûi heä soá muõ.Toùm laïi khi söû duïng thuaät toaùn Viterbi quyeát ñònh cöùng ñeå giaûi maõ xoaén ta coù theå ñaït ñöôïc ñoä lôïi maõ theo coâng thöùc sau: Ga=10log (dB) (***) Vôùi keânh truyeàn coù nhieãu Gauss-“AWGN channel”- tham soá Z ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: Z = exp Thöïc hieän laïi caùc böôùc nhö ñoái vôùi keânh truyeàn BSC,ta coù xaùc suaát loãi BER laø: BER (1.06) A exp(-) Vaø ñoä lôïi maõ laø: Ga=10log(d.r) (dB) (****) Neáu so saùnh coâng thöùc (****)vôùi coâng thöùc (***) thì ta thaáy ñoä lôi maõ cuûa keânh truyeàn ngoõ vaøo nhò phaân AWGN seõ lôùn hôn ñoä lôïi maõ cuûa keânh truyeàn BSC khoaûng 3db.Coù nghóa raèng maùy phaùt cuûa keânh truyeàn BSC phaûi theâm 3dB vaøo naêng löôïng(coâng suaát) cuûa tín hieäu caàn truyeàn khi so vôùi keânh truyeàn coù ngoõ vaøo nhò phaân AWGN ñeå ñaït cuøng moä xaùc suaát loãi. Nhìn chung ta thaáy xaùc xuaát loãi vaø ñoä lôïi maõ cuûa moät maõ xoaén thì phuï thuoäc vaøo heä soá khoaûng caùch d.Vaø heä soá naøy ñöôïc duøng ñeå ñaùnh giaù moät maõ xoaén: d caøng lôùn thì boä maõ xoaén ñoù caøng öu vieät hôn.Vôùi khoaûng caùch töï do caøng lôùn,ñaõ coù raát nhieàu noã löïc ñeå tìm ra nhöõng boä maõ xoaén toát. Baûng moâ taû moät soá maõ xoaén r=1/2 r=1/3 K Ña thöùc sinh d K Ña thöùc sinh d 3 5 7 5 3 5 7 7 8 4 15 17 6 4 13 15 17 10 5 23 35 8 5 25 33 37 12 6 53 75 8 6 47 53 75 13 7 133 171 10 7 133 145 175 15 8 247 371 11 8 225 331 367 16 9 561 753 12 9 557 663 711 18 10 1.167 1.545 13 10 1.117 1.365 1.633 20 11 2.335 3.661 14 11 2.353 2.671 3.175 22 12 4.335 5.723 15 12 4.767 5.723 6.265 24 13 10.533 17.661 16 13 10.533 10.675 17.661 24 nguoàn:Odenwalder(1970) vaø Larsen(1973)