Một phương pháp thiết kế kết cấu dàn hợp lý theo độ tin cậy cho trước với ràng buộc tiêu chí kinh tế

KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2014 10 MỘT PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ KẾT CẤU DÀN HỢP LÝ THEO ĐỘ TIN CẬY CHO TRƯỚC VỚI RÀNG BUỘC TIÊU CHÍ KINH TẾ ThS. NGUYỄN TRỌNG HÀ Trường Đại học Vinh Tóm tắt: Trong thực tế thiết kế kết cấu theo độ tin cậy cho trước với ràng buộc tiêu chí kinh tế là điều mà người thiết kế quan tâm song vẫn chưa được nghiên cứu nhiều. Bài báo trình bày một phương pháp thiết kế hợp lý theo độ tin cậy dựa vào tiêu chí kinh tế sử dụng thuật toán tối ưu hóa đề xuất. Đối tượng nghiên cứu là kết cấu dàn thép tiết diện chữ L. 1. Mở đầu Trong lịch sử tính toán, thiết kế kết cấu theo độ tin cậy, các kỹ sư, người thiết kế, nhà quản lý xây dựng luôn mong muốn tìm ra một phương án thiết kế kết cấu đạt độ tin cậy cao và giá thành của kết cấu phải thỏa mãn điều kiện hợp lý (thấp nhất có thể). Trong những năm gần đây đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này như [1], [4],... Tuy nhiên, các nghiên cứu này chỉ đề cập đến tối ưu hóa ràng buộc độ tin cậy hàm mục tiêu ở dạng giải tích và sử dụng các thuật toán quy hoạch toán học. Trong bài báo này, tác giả giới thiệu một phương pháp thiết kế hợp lý giá thành nhưng vẫn đảm bảo an toàn về độ tin cậy cho trước và sử dụng thuật toán “Tìm kiếm ngẫu nhiên”, một phương pháp chưa được sử dụng nhiều trong bài toán tối ưu hóa. Trong thiết kế tối ưu có hai dạng hàm mục tiêu mà người thiết kế quan tâm: Dạng 1: Nếu hàm mục tiêu và các điều kiện ràng buộc là những biểu thức giải tích của các biến thiết kế, thì tùy theo dạng toán học của hàm mục tiêu và điều kiện ràng buộc của bài toán mà chọn chúng ta chọn một thuật toán quen thuộc về giải bài toán cực trị có điều kiện (quy hoạch toán học) [1], [2], [3]. Dạng 2: Là loại bài toán mà hàm mục tiêu và các điều kiện ràng buộc không biểu diễn dưới dạng giải tính thì chúng ta không thể dùng được các thuật toán của quy hoạch toán học, mà người ta thường sử dụng các thuật toán “Tìm kiếm ngẫu nhiên”, điển hình là phương pháp Monte Carlo [4], [5], [6]. Bài báo này tác giả thừa kế và phát triển phương pháp “Tìm kiếm ngẫu nhiên” trong [7] để thiết kế hợp lý tiết diện thanh dàn có ràng buộc độ tin cậy cho trước. 2. Xây dựng bài toán an toàn hệ dàn theo quan điểm tần suất an toàn 2.1 Xây dựng bài toán độ tin cậy bằng phương pháp tần suất xuất hiện Do yêu cầu của việc tính toán, thiết kế kết cấu theo tiêu chuẩn của hàm mục tiêu, kết quả đầu ra của việc phân tích có thể là: Chuyển vị, ứng suất, tải trọng giới hạn,... Do đó, khi đã có kết quả đầu ra (với mật độ xác suất đã biết) thì việc tính toán độ tin cậy (xác suất an toàn) theo quan điểm của định nghĩa xác suất theo [2]:  0 ff N P P M N    (1) 1s fP P  (2) trong đó: fN - số lần thực nghiệm mà 0M ; N - tổng lần thử. 2.2 An toàn theo độ tin cậy kết cấu dàn bằng phương pháp tần suất xuất hiện Trong tính toán, thiết kế kết cấu dàn đối với các thanh chịu kéo ta có điều kiện bền theo tính toán tiền định [8]:  i   (3) trong đó: i - ứng suất trong thanh kéo thứ i;   - ứng suất cho phép của vật liệu chế tạo. Ta có khoảng an toàn của phần tử thanh thứ i:           ii i i N M A (4) trong đó: iN - nội lực trong thanh thứ i, iA - diện tích tiết diện thanh thứ i. Do đó xác suất tin cậy của thanh chịu kéo thứ i theo điều kiện bền sẽ là:    0 0         i rob i rob i NP M P A (5) trong đó: iN - nội lực trong thanh thứ i, iA - diện tích tiết diện thanh thứ i. KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2014 11 Đối với các thanh chịu nén bài toán được thiết lập trên cơ sở bài toán tiền định của Euler. Từ điều kiện ổn định của bài toán tiền định: cr i   hay 2 2   i ii i NEI AA l từ đó ta có khoảng an toàn của kết cấu chịu nén theo điều kiện Euler: 2 2           i i i cr i ii i NEIM AA l (6) Xác suất tin cậy theo điều kiện ổn định được xác định:   2 20 0             i i rob cr i rob ii i NEIP P AA l (7) Độ cứng của hệ kết cấu được đặc trưng bởi yếu tố sau: Chuyển vị thẳng tại một điểm j bất kỳ theo phương k nào đó trong hệ ik phải nhỏ hơn giá trị chuyển vị thẳng cho phép theo phương đó  ik . Việc xác định chuyển vị nút j nào đó của hệ dàn được áp dụng theo công thức Maxwell – Mohr [5] và được xác định: 1 . .        n ik im jk i jk i i N N l EA (8) Xác suất tin cậy theo điều kiện độ võng tổng thể: 1 0. .              n ik im s rob jk i i i N NP P l EA (9) trong đó: jk - chuyển vị của nút j theo phương k; ikN- lực dọc đơn vị trong thanh thứ i do lực đơn vị đặt tại j gây ra. , ,i iE A l - lần lượt là mô đun đàn hồi của vật liệu, diện tích mặt cắt ngang thanh thứ i và chiều dài của thanh thứ i. Như vậy điều kiện an toàn của dàn phải thỏa mãn theo đẳng thức:   2 2 1 0 0 0. .                              i ii i i f s rob i n ik im jk i i i NEI AA l N NP P A N N N l EA (10) trong đó: fN - số lần thực nghiệm mà 0M ; N - tổng lần thử. 3. Phương pháp tính toán kỳ vọng giá thành Việc tính toán kỳ vọng giá thành xuất phát từ việc các phương án thiết kế là tập hợp các giá trị rời rạc của các biến thiết kế tất định và ngẫu nhiên. Mỗi một phương án thiết kế được xác định theo nguyên tắc sau đây: Rời rạc hóa các biến thiết kế tất định với khoảng cách đều, tổ hợp các giá trị rời rạc này (gọi là TH1); Rời rạc hóa các biến thiết kế ngẫu nhiên với khoảng cách đều, tổ hợp các giá trị rời rạc này (gọi là TH2). Một phương án thiết kế (PATK) được xác định bằng một phương án trong TH1 và tất cả các phương án của TH2 là:  PATK=TH1+ TH2 . Định mức đơn giá của kết cấu được xây dựng theo nguyên tắc. Định mức đơn giá (ĐG) = Giá vật liệu (GVL) + Giá nhân công (NC) + Máy thi công (MTC) (Định mức dự toán được xác định theo 1776) Để xác định kỳ vọng giá thành cho một phương án thiết kế thì trước hết phải xác định giá thành cho mỗi tổ hợp của giá trị rời rạc. Giá thành này được xây dựng bằng trọng lượng của tổ hợp thiết kế nhân với định mức đơn giá và được xác định theo biểu thức: 1 1. i i TH THC G DG (đồng) (11) trong đó: 1 i THC và 1 i THG - giá thành và khối lượng của kết cấu do TH1 tạo thành, DG - định mức đơn giá. 2 2 . i i TH THC G DG (đồng) (12) trong đó: 2 i THC và 2 i THG - giá thành và khối lượng của kết cấu do TH2 tạo thành, DG - định mức đơn giá. Giá thành cho một phương án thiết kế ( iPAC ) được xác định là giá trị kỳ vọng của giá thành do TH1 và TH2 tạo nên một phương án thiết kế đã được định nghĩa ở trên theo biểu thức sau đây:   1 TH2 1 n i TH i i PA C C C n     (đồng) (13) trong đó: n - số tổ hợp giá trị rời rạc của biến ngẫu nhiên (TH2). 4. Tối ưu dàn thép theo tiêu chí giá thành với độ tin cậy cho trước 4.1 Sơ đồ khối thực hiện phương pháp Từ phương pháp đề xuất ở trên ta lập sơ đồ tính toán của phương pháp như sau: KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2014 12 4.2 Tập hợp các biến thiết kế Tập hợp các biến thiết kế    1 2, , , , , ,ix E f P P a t  là tập hợp các biến ngẫu nhiên và tất định. Gọi F là tập hợp các biến thiết kế ngẫu nhiên:  1 2  , , , ,F E f P P a và độ lệch chuẩn của các biến là   1 2  , , , ,σ σ σ σ σk E f P P aF lần lượt là mô đun đàn hồi, cường độ tính toán, tải trọng tập trung và kích thước của đốt dàn. Gọi dF là tập hợp các biến thiết kế tất định:   ,dF t là biến cấu tạo tiết diện ngang (đây cũng là các biến tối ưu hóa). 5. Ví dụ áp dụng Thiết kế hợp lý tiết diện dàn thép (hình 1) với các tham số đầu vào cho ở bảng 1: P1 P1 P2 a a a a 1 5 2 4 6 3 Yc t t  c a. Sơ đồ kết cấu dàn b. Mặt cắt tiết diện thanh dàn đại diện Hình 1. Kết cấu dàn thép Kết thúc Xác định nội lực và chuyển vị để tìm thanh nén, thanh kéo Tìm nội lực thanh chịu nén Tìm nội lực thanh chịu kéo Tìm chuyển vị tại J Xác định độ tin cậy theo các điều kiện: Bền, ổn định và độ võng Phân tích độ nhạy của độ tin cậy theo các điều kiện: Bền, ổn định và độ võng, lựa chọn tham số thiết kế tối ưu Lựa chọn khoảng biến thiên của biến tối ưu, rời rạc hóa và tổ hợp các phương án khả dĩ Tính toán kỳ vọng giá thành của từng phương án thiết kế Tính độ tin cậy theo tần suất xuất hiện của phương án tổ hợp Hồi quy kỳ vọng giá thành và tần suất độ tin cậy (Ps,Q) Tìm vị trí [P] và đường hồi quy, xác định lại miền biến thiên của biến tối ưu Chuẩn bị số liệu KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2014 13 Bảng 1. Bảng tập hợp số liệu đầu vào của kết cấu dàn STT Tham số thiết kế Ký hiệu Độ lớn Đơn vị Độ lệch chuẩn 1 Mô đun đàn hồi E 2,1.106 daN/cm2 1,05.105 2 Cường độ tính toán f 2100 daN/cm2 105 3 Tải trọng tập trung 1 P1 40.000 daN 8000 4 Tải trọng tập trung 2 P2 5000 daN 1000 5 Kích thước đốt dàn a 200 cm 0,4 6 Bề rộng cánh tiết diện t 20 cm - 7 Chiều dày tiết diện  1,5 cm - Bảng 2. Kết quả phân tích độ nhạy của độ tin cậy các tham số thiết kế  x bs iP x / crs iP x / bus iP x / s iP x  / t 1,30 1,45 1,36 2,05  1,43 2,40 2,12 2,34 E - - - - f - - - - P1 - - - - P2 - - - - a - - - - Tập hợp giá trị biến thiên của khoảng thiết kế  ix  được tập hợp ở bảng 3. Bảng 3. Bảng biến thiên của các tham số thiết kế  x Giá trị tính toán Đơn vị tính Độ lệch chuẩn Cận dưới Cận trên t - cm - 10 20  - cm - 0,50 2,5 E 2.1E6 daN/cm2 1,05E5 1,995E6 2,205E6 f 2100 daN/cm2 105 1995 2205 P1 40.000 daN 8.000 32.000 48.000 P2 5000 daN 1000 4000 6000 a 200 cm 0,4 199,6 200,4 Rời rạc hóa các biến thiết kế tất định với khoảng cách đều. Kết quả được thể hiện trong bảng 4, tổ hợp các giá trị rời rạc này (gọi là TH1) với số điểm rời rạc là 5 ta có: 5x5 = 25 (TH1). Bảng 4. Bảng giá trị rời rạc của các biến tất định STT Tên biến Điểm rời rạc Đơn vị Giá trị các điểm rời rạc 1 t 5 cm 1 2 3 4 5 610 0 12 0 14 0 16 0 18 0 20 0, ; , ; , ; , ; , ; ,t t t t t t      2  5 cm 1 2 3 4 5 50 5 0 9 1 3 1 7 2 1 2 5, ; , ; , ; , ; , ; ,            Rời rạc hóa các biến thiết kế ngẫu nhiên với khoảng cách đều. Kết quả được thể hiện trong bảng 5, tổ hợp các giá trị rời rạc này (gọi là TH2) với số điểm rời rạc như bảng 5, ta có: 5x4x5x5x4 = 2000 (TH2). Bảng 5. Bảng giá trị rời rạc của biến ngẫu nhiên STT Tên biến Điểm rời rạc Đơn vị Giá trị các điểm rời rạc 1 f 5 daN/cm 2 1 2 3 4 5 61995 2037 2079 2121 2163 2205; ; ; ; ;f f f f f f      2 E 4 daN/cm2 1 2 3 4 51 995 6 2 048 6 2 10 6 2 153 6 2 205 6, ; , ; , ; , ; ,E E E E E E E E E E     3 P1 5 daN 1 2 3 4 5 61 1 1 1 1 13 2 4 3 52 4 3 84 4 4 16 4 4 48 4 4 8 4, ; , ; , ; , ; , ; ,P e P e P e P e P e P e      4 P2 5 daN 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2 24000 4400 4800 5200 5600 6000; ; ; ; ;P P P P P P      5 a 4 daN/cm 1 2 3 4 4199 6 199 8 200 200 2 200 4, ; , ; ; , ; ,a a a a a     KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2014 14 Từ yêu cầu của bài toán thiết kế hợp lý chi phí và độ tin cậy phải thỏa mãn sao cho   0 99,sP  . Để chính xác nghiệm của bài toán từ điểm M là giao điểm của đường hồi quy và đường thẳng   0 99,sP  , lấy bán kính 0 003,R ta xác định được tập hợp các điểm nằm trong hình tròn tâm M bán kính R là tập các phương án thiết kế cho ta giá trị tin cậy trong khoảng      s s sP R P P R    . Tập hợp các phương án thiết kế chính là khoảng thu gọn của miền biến thiên các tham số thiết kế tối ưu. Bảng 6. Các phương án thỏa mãn điều kiện tối ưu STT Phương án thiết kế Tần suất độ tin cậy Giá thành phương án (đồng) 8  3 2 2,t TH  0,9900551 11.683.940 19  4 4 2,t TH  0,9942299 11.044.771 23  3 5 2,t TH  0,9911825 9.576.617 Từ kết quả bảng 6, ta thấy phương án thiết kế đã được thu hẹp giá trị của phương án tiến hành chia nhỏ khoảng giá trị vừa tìm được ta sẽ tìm được phương án tối ưu thỏa mãn điều kiện yêu cầu của bài toán. 6. Kết luận Tìm phương án thiết kế hợp lý là mục tiêu quan trọng nhất hướng tới của các kỹ sư, nhà quản lý xây dựng. Trong bài báo này tác giả nêu ra một phương án lựa chọn tiết diện hợp lý thanh dàn có xét đến giá trị độ tin cậy cho phép ban đầu. Trong bài báo này tác giả xét độ tin cậy của các yếu tố theo phương pháp tần suất xuất hiện sự kiện là một phương pháp được xem là tổng quát khi áp dụng bài toán độ tin cậy vào kết cấu công trình. Giá thành kết cấu được tác giả tính toán dựa vào đơn giá xây dựng cơ bản hiện hành cũng là một điểm mới hơn trong các bài toán thiết kế tối ưu trước đây. Lời cám ơn: Tác giả xin chân thành cám ơn GS.TS Nguyễn Văn Phó – Trường Đại học Xây dựng đã có những gợi ý và đóng góp quý báu cho bài viết này. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. LÊ XUÂN HUỲNH. Tính toán kết cấu theo lý thuyết tối ưu. Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2006. 2. NGUYỄN VĂN HẠP, NGUYỄN QUÝ HỶ, NGUYỄN CÔNG THỦY. Cơ sở phương pháp tính. Tập II. NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1970. 3. NGUYỄN VĂN PHÓ, NGUYỄN XUÂN AN. Phương pháp Monte – Carlo cải tiến và tính toán công trình. Tạp chí kết cấu và công nghệ xây dựng, số 12/2013. pp. 29- 38, 2013. 4. NGUYỄN VĂN PHÓ, LÊ NGỌC THẠCH, NGUYỄN TRỌNG HÀ. Một phương pháp lựa chọn phương án thiết kế hợp lý kết cấu tối ưu về kinh phí, có độ tin cậy cho trước. Tuyển tập Hội nghị cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 9, Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11/2013. 5. LỀU THỌ TRÌNH. Cơ học kết cấu 1 và 2. Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2006. 6. IA.M. ERMOLEV. Methods of Stochastic programming. HauKa - Moscow (in Russian), 1976. 7. U.I. ZANVIN. Nonlinear programming. Moscow (in Russian), 1973. 8. ANDZEJ S. NOWALK, KENVINR. Collins. Reliability of Structures. Mc Grow. Hill, 2000. Ngày nhận bài sửa: 3/11/2014.