Một số đề kiểm tra môn Giải tích 2

Giải tích 2 – Đề số 12 Câu 1: Tính ' (1,1)xf của hàm 2 2( , ) 2 4f x y x y    và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến Bài giải: (1,1) 2 2xf   1 ' (1,1) 2 xf   Mặt phẳng y=1 cắt ( , )f x y tạo thành đồ thị C1 Tiếp tuyến của C1 tại điểm M(1,1, 2 2 ) có hệ số góc là: 1 ' (1,1) 2 xf   Câu 2: Tìm gtln, gtnn của 3 3( , ) 3f x y x y xy   trên miền 0 2, 1 2x y     Bài giải: 2' ( , ) 3 3xf x y x y  =0 2' ( , ) 3 3yf x y y x  =0  x=y=1 khi x=0 => 3( ) , [ 1, 2] ax 8,min 1f y y y m       ; khi x=2 => 3( ) 6 8, [ 1, 2] max 13, min 4f y y y y        khi y=-1 => 3( ) 1 3f x x x   ; 2'( ) 3 3f x x  vô nghiệm khi y=2 => 3( ) 8 6 , (0, 2)f x x x x    ; 2'( ) 3 6f x x  =>  2 2,2 8 4 2x f    Max f=13 đạt tại (2,-1), min f =-1 đạt tại (0,-1) Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: 1 ( 1) 1 n n n n      Bài giải: lim | | 1 0n n u    => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần. Câu 4: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 31 (2 1)( 3) 3 ln n n n x n n n        Bài giải: lim 3n n n u x    Để chuỗi hội tụ => 3 1x   => 2 4x  x=2 => 1/2 33 3 ( 1) (2 1) ( 1) 2 3 ln3 .ln n n n n u n nn n n      hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz x=4 => 1/2 33 3 (2 1) 2 3 ln3 .ln n n u n nn n n    phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân vậy 2 4x  Câu 5:Tính tích phân kép  max , D I x y dxdy  trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 0 4,0 4x y    . Bài giải: Trên miền D1 max(x,y)=y, trên miền D2 max(x,y)=x Do đó  max , D I x y dxdy    1 2D D xdxdyydxdy     4 0 0 4 0 4 3 128 x x xdydxydydx Câu 6: Tính tích phân bội ba V I xdxdydz  , trong đó V là vật thể được giới hạn bởi 2 2 2 2 20, 2x y z x y z      . Bài giải: Đổi sang toạ độ trụ 2 2 cos 0 2 sin 0 1 2 y r z r V r x x r z r                     2 2 2 1 0 0 2 7 12 r r I d dr rxdx            Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3 S I x dydz y dxdz z dxdy   với S là mặt phía ngoài của vật thể giới hạn bởi 2 2 2 ,0 1x z y y    . Bài giải: Áp dụng công thức O-G: 3 3 3 2 2 23 ( ) S V I x dydz y dxdz z dxdy x y z dxdydz       Đổi sang toạ độ trụ: cos 0 2 sin 0 1 1 z r x r V r y y r y                     2 1 1 2 1 2 2 2 3 0 0 0 0 4 1 9 3 ( ) 3 ( ) 3 3 10 r d rdr r y d y d r r rdr               Giải tích 2 – Đề số 13 Câu 1: . Tính ' (0,1)yf của hàm 2 2( , ) 3 2f x y x y   và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến. Tương tự câu 1 đề 12. Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( ) xyz x y e  trên miền 2 1x y    . Bài giải Đặt 2 12 2 u v x u u v v R y            2 2 2 2 4 4 4. u v u v z ue ue e     Xét       2 [-2,1] 4 1 4 [-2,1] min f 2 2 ax f 1 u f e f u ue m f e             Vậy max z =2e đạt tại (u,v)=(1,0) hay (x,y)=(1/2,1/2) max z =-4e4 đạt tại (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-1,-1) Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 ( 1) ( 1) n n n n       Bài giải 1: Có em giải như sau: ( 1) ( 1) ( 1) n n nn n     ( 1)n nu n   hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Các em nhận xét xem đúng hay sai? Bài giải 2: Có:            1 11 1 1 1 1 11 n nn n n n n n u n n nn             Vì   2 1 1 n n n n      hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz và 2 1 1n n     phân kỳ do đó chuỗi phân kỳ. Câu 4: Tìm chuỗi Taylor của 2 2 3 ( ) 5 6 x f x x x     , tại 0 1x  và tìm miền hội tụ của chuỗi này. Bài giải 2 2 3 9 7 ( ) 5 6 3 2 x f x x x x x         Đăt u=x-1     0 0 0 0 1 0 9 7 9 7 9 7 ( ) 2 1 1 12( 1) 2( 1) 2 2 9 9 1 7 7 1 2 2 2 2 9 7 1 2 n n nn n n n n n n n f x u uu u u u u x u x x                                                         Câu 5: Tính tích phân kép D I xy dxdy  , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 21 4.x y   Bài giải Vì hàm trong dấu tích phân là hàm chẵn theo x,y và miền D đối xứng qua 2 trục ox,oy nên ta chỉ cần tính tích phân trên góc phần 4 thứ I rồi gấp 4 lần lên. 22 3 0 1 15 4 os sin 2 D I xy dxdy d r c dr         Câu 6: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi   2 2 2 2 , , 0 ( 0) x y xy z x y z x      . Bài giải r(t)=sqrt (sin(2*t)) -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 x y Đổi sang toạ độ trụ: cos sin x r y r z z        Các mặt được viết lại là:   sin os sin r z r c          Vì x>0 và   2 2 2 2x y xy  nên y>0 do đó 0, 2         Miền được viết lại trong toạ độ trụ là: V   0 2 0 sin 2 0 sin os r z r c                     sin 2 sin os 32 2 0 0 1 sin sin os 3 r c o o V d rdr dz c d                   Đặt 2sin os sin 2 1 (sin os ) 0 1 1 2 t c t dt c d t t                          1 32 1 1 1 3 V t dt    Đặt: sint u 42 2 1 os 3 8 V c udu       Câu 7: Tính tích phân mặt loại một 2 S I xds  với S là phần mặt phẳng 2x y z   nằm trong hình cầu 2 2 2 4x y z   . Bài giải Vì có tính đối xứng nên 2 2 2 S S S I xds yds zds     = 2 ( ) 3 S x y z ds  2 2 3 S ds  = 4 3 S Hình cầu có tâm I(0,0,0) ( , ) 0 0 0 2 2 3 3 Id       2 22 8(2 ( ) ) 33 S     Vậy 32 9 I  Giải tích 2 – Đề số 11 Câu 1: Vẽ khối  giới hạn bởi 2 2 2 2x y z y   , 2 2y x z  . Câu 2: Trên mặt phẳng 2 0x y z   tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó điểm hai mặt phẳng 3 6 0x z   và 3 2 0y z   là nhỏ nhất. Xét hệ:         023 063 02 zy zx yx  (x,y,z)=(3,-1,1) Điểm (3,-1,1) thuộc 3 mặt phẳng nên tổng khoảng cách từ điểm đó tới hai mặt 3 6 0x z   và 3 2 0y z   bằng 0 và là khoảng cách nhỏ nhất. Câu 3: : Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 3 3 3 2 1 (3 1)! 1 2 5n n n        Bài giải: 27 )1( )23)(13(3 3 1     n nnn a a n n khi n  , chuỗi phân kỳ Câu 4: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2 1 ( 5) ( 2) 3 (2 1) 2 n n n n x n n        Bài giải: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2 1 ( 5) ( 2) 3 (2 1) 2 n n n n x n n        = 1 n n     2 25( 2) 5( 2) lim | | lim 3 3 n n n n x x        Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 25( 2) 3 x  <1  3 3 2 2 5 5 x      x= 3 2 5   => ( 1) (2 1) 2 n n n n      hội tụ tuyệt đối vậy miền hội tụ: 3 3 2 2 5 5 x      Câu 5: Tính tích phân kép 2 D I y x dxdy  , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 1 1,0 2x y     . Bài giải: f(x)=0 f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x^2 f(x)=1 -1 -0.5 0.5 1 0.5 1 1.5 2 x y Chia D thành 2 phần: D1 là phần 2y x (phía trên Pparrabol) D2 là phần 2y x (phía dưới Parabol) 1 2 2 2 D D I y x dxdy x ydxdy     2 2 1 2 1 2 2 1 1 0 5 3 2 x x dx y x dy dx x ydy             Ta có thể làm giảm nhẹ bài toán bằng cách nhận xét D đối xứng qua oy và hàm f(x,y) chẵn theo biến x nên I bằng 2 lần tích phân trên nửa bên phải của miền D rồi làm tương tự. Câu 6: Tính tích phân bội ba   V I y z dxdydz  , trong đó V là vật thể được giới hạn bởi 2 2 2 2 2 2, 4, 2z x y x y z x y       . Bài giải:: 2 2: 4D x y  Đổi sang toạ độ trụ: 2 2 cos 0 2 sin 0 2 2 x r y r V r z z r z r                     2 2 2 2 2 0 0 ( sin ) 24 r r I d dr r r z dz            Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai (2 ) S I x y dydz  , với S là phần mặt 2 2z x y  bị cắt bởi mặt 4z  , phía trên theo hướng trục Oz Bài giải: Cách 1:  24 2 2 2 : 4 z Oyz z y y D y z          Chia S làm 2 phần: S1: phía trước mp(0yz) 2x z y  và pháp vecto tạo với ox góc tù S2: phía trước mp(0yz) 2x z y   và pháp vecto tạo với ox góc nhọn. Do đó ta có:    2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 (2 )dyd ( 2 )dyd 2 2 16 D D y y I z y y z z y y z dy z y y dz dy z y y dz                            Các em có thể làm đơn giản bài toán ngay từ đầu bằng cách: Nhận xét S đối xứng qua oyz và hàm x(y,z)=y chẵn theo x và x(y,z)=2x lẻ theo x nên ta có: 1 0 2 2 2 S S S ydydz xdydz xdydz      với S1 là nửa mặt S phía trước. Khi đó: 22 2 dyd 16 D I z y z      Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị đưa về tích phân đường loại 1 Cách 3: Thêm vào phần mặt z=4 rồi dùng công thức O-G Giải tích 2 – Đề số 20 Câu 1: Tìm vi phân cấp hai của hàm ( , )z z x y là hàm ẩn xác định từ phương trình zx y z e   . Bài giải Cách 1: ' ' 0 1 1 1 1 1 1 z z x z z y z x y z e x y z e z e e z e                                ' ' 2 3 2'' 2 3 3 ' 3 . 1 1 1 1 1 z z x xx z z z z yy z z z y z e z e z e e e e z d z dx dy e e e z e                             Cách 2:     22 22 2 2 2 3 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 z z z z z z z z z z z z dx dy dx dy dz e dz dz e d dx dy dz d e dz e dz e dx dy e d z e dz e d z d z dx dy e e e e                            Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý giữa hàm và biến mới làm được cách 2. Câu 2: . Tìm cực trị của hàm ( , , ) 2 3f x y z x y z   với hai điều kiện 1x y z   và 2 2 1x y  . Bài giải Xét:      2 2, , 2 3L x y z x y z x y z x y         ' ' ' 1 2 2 2 1 2 0 3 3 2 2 0 1/ 2 1/ 2 3 0 2 2 5 51 7 729 x y z L x L y L P x P x y yx y z z zx y                                                                2 2 2, , 2d L x y z dx dy  Lấy vi phân 2 vế phương trình 2 2 1 0x y xdx ydy     Suy ra tai P1,2: 2 5 dy dx thế vào trên ta được:    2 2 2 258, , 2 25 d L x y z dx dy dx        2 1 2 2 0 0 d L P d L P     Vậy f đạt cức đai tại P2 và cực tiểu tại P1. Câu 3: Tính tổng   221 2 1 1n n n n      Bài giải     2 2 221 1 2 1 1 1 1 1 1n n n nn n n                Câu 4: . Tìm Miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa   1 2 1 1 ( 2) 1 n n n x n n         Bài giải Đặt X=(x+2)2.   1 1 1 1 | | 1 1 n n n n n n n n X S u X n n u R                 Tại X=1   1 1 1 n n S n n         hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz. Vậy miền hội tụ: M(x)=[-3,1] Câu 5: Tính tích phân kép ( ) D I x y dxdy  , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi đường astroid 3 3cos , sin ,0 / 2x a t y a t t     , và các trục tọa độ Bài giải Đổi biến: 3 3 2 3 23 2 2 2 2 2 cos cos 3 cos sin sin 3 sin cossin 3 3 sin cos sin 2 4 x ar a a J a ay ar a a                       12 2 2 3 3 0 0 2 3 2 3 3 0 3 sin 2 cos sin 4 1 sin 2 cos sin 0 2 I d ra ar ar dr a d                 Câu 6: Tính tích phân đường loại một ( ) C I x y dl  , C là cung bên phải của đường Lemniscate có phương trình trong tọa độ cực 2 2 cos 2 , 0 r a a  . Bài giải r(t)=2sqrt(cos(2t)) -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 x y   4 2 '2 4 os sinI r c r r d          Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai S I yzdydz zxdxdz xydxdy   , với S là biên của vật thể giới hạn bởi 1, 0, 0, 0x y z x y z      , định hướng phía trong. Bài giải Mặt S kín nên ta dùng O-G suy ra tích phân bằng không. Giải tích 2 – Đề số 12 Câu 1: Tính ' (1,1)xf của hàm 2 2( , ) 2 4f x y x y    và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến Bài giải: (1,1) 2 2xf   1 ' (1,1) 2 xf   Mặt phẳng y=1 cắt ( , )f x y tạo thành đồ thị C1 Tiếp tuyến của C1 tại điểm M(1,1, 2 2 ) có hệ số góc là: 1 ' (1,1) 2 xf   Câu 2: Tìm gtln, gtnn của 3 3( , ) 3f x y x y xy   trên miền 0 2, 1 2x y     Bài giải: 2' ( , ) 3 3xf x y x y  =0 2' ( , ) 3 3yf x y y x  =0  x=y=1 khi x=0 => 3( ) , [ 1, 2] ax 8,min 1f y y y m       ; khi x=2 => 3( ) 6 8, [ 1, 2] max 13, min 4f y y y y        khi y=-1 => 3( ) 1 3f x x x   ; 2'( ) 3 3f x x  vô nghiệm khi y=2 => 3( ) 8 6 , (0, 2)f x x x x    ; 2'( ) 3 6f x x  =>  2 2,2 8 4 2x f    Max f=13 đạt tại (2,-1), min f =-1 đạt tại (0,-1) Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: 1 ( 1) 1 n n n n      Bài giải: lim | | 1 0n n u    => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần. Câu 4: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 31 (2 1)( 3) 3 ln n n n x n n n        Bài giải: lim 3n n n u x    Để chuỗi hội tụ => 3 1x   => 2 4x  x=2 => 1/2 33 3 ( 1) (2 1) ( 1) 2 3 ln3 .ln n n n n u n nn n n      hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz x=4 => 1/2 33 3 (2 1) 2 3 ln3 .ln n n u n nn n n    phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân vậy 2 4x  Câu 5:Tính tích phân kép  max , D I x y dxdy  trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 0 4,0 4x y    . Bài giải: Trên miền D1 max(x,y)=y, trên miền D2 max(x,y)=x Do đó  max , D I x y dxdy    1 2D D xdxdyydxdy     4 0 0 4 0 4 3 128 x x xdydxydydx Câu 6: Tính tích phân bội ba V I xdxdydz  , trong đó V là vật thể được giới hạn bởi 2 2 2 2 20, 2x y z x y z      . Bài giải: Đổi sang toạ độ trụ 2 2 cos 0 2 sin 0 1 2 y r z r V r x x r z r                     2 2 2 1 0 0 2 7 12 r r I d dr rxdx            Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3 S I x dydz y dxdz z dxdy   với S là mặt phía ngoài của vật thể giới hạn bởi 2 2 2 ,0 1x z y y    . Bài giải: Áp dụng công thức O-G: 3 3 3 2 2 23 ( ) S V I x dydz y dxdz z dxdy x y z dxdydz       Đổi sang toạ độ trụ: cos 0 2 sin 0 1 1 z r x r V r y y r y                     2 1 1 2 1 2 2 2 3 0 0 0 0 4 1 9 3 ( ) 3 ( ) 3 3 10 r d rdr r y d y d r r rdr               Giải tích 2 – Đề số 18 Câu 1: Cho 2 2 2 2 , ( , ) (0,0) ( , ) 0, ( , ) (0,0) x y xy x y f x y x y x y        . Tìm 2 2 2 2 2 2 (0,0), (0,0), (0,0), (0,0) f f f f y x x yx y          . Bài giải   2 2 2 3 ' 2 2 2 2 2 0 ( ) 4 ( ,0) (0,0) ' , 0,0 lim 0 ( ) x x x y x y x y f x f f f xx y x y         2 2 0 2 0 ' ( ,0) ' ( ,0) (0,0) lim 0 ' (0, ) ' (0,0) (0,0) lim 1 x x x x x y f x f xf xx f y ff y x y                 2 2 2 3 ' 2 2 2 2 2 0 ( ) 4 (0, ) (0,0) ' , 0,0 lim 0 ( ) y y y x x y y x f y f f f yx y x y           '2 2 0 2 0 ' (0, ) 0,0 (0,0) lim 0 ' ( ,0) ' (0,0) (0,0) lim 1 y y y y y x f y ff yy f x ff x y x             Câu 2: . Tìm cực trị của hàm ( , ) 4 6f x y x y  với điều kiện 2 2 13x y  . Bài giải Xét: 2 2( , ) 4 6 ( 13)h x y x y x y     1 2 2 2 ' 4 2 0 1 1 ' 6 2 0 2 2 3 313 x y h x h y P x P x y yx y                                 '' 2 , '' 2 , '' 0x y xyh h h        2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 d h P dx dy d h P dx dy        Vậy f đạt cực đại P2 và cực tiểu tại P1. Câu 3: . Tính tổng 1 ( 2) 3 1 3 5 (2 1) n n n S n          Câu này không giải được. Em nào can đảm thì cứ việc. Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính 1 0 1 ln 1 dx x   Bài giải Ta có: 1 1 ln ln(1 ) 1 n n x x x n         1 1 1 10 0 1 1 ln 1 1 ( 1) n n n x dx dx x n n n            Câu 5: Tìm diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 23 1, 0,x y y y x    . Bài giải x(t)=cos(t) , y(t)=1/sqrt(3)*sin(t) f(x)=x f(x)=0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 x y Trên là diện tích cần tìm: Đổi sang toạ độ cực mở rộng: cos 31 sin 0 13 x r y r r                 (Để tìm cận dưới của , ta cho x=y suy ra tan = 3 . r trong toạ độ cực mở rộng của Elip luôn đi từ 0 đến 1). 1 0 3 3 3 3D r S dxdy d dr         Câu 6: Tính tích phân    3 2xy xy C I x ye dx y xe dy    , trong đó C là phần elip 2 2 1 16 9 x y   từ Bài giải Ta có:  1 xy P Q xy e y x        do đó tích phân không phụ thuộc vào đường đi: 0 3 3 2 4 0 64 9 73 C AO OB I x dx y dy                Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 3( 1) 3 5 S I x dydz ydzdx zdxdy    , với S là mặt ngoài của nửa dưới mặt cầu 2 2 2 , 02x y z x z    . Bài giải Gọi S’ là mặt trên của hình tròn 2 2x y x 2 trong mp Oxy ' 'S S S S I       Trên S’(z=0): dz=0 ' 0 S  Áp Dụng O-G trên khối V gh bởi S và S’:   2 ' 3 1 8 S S S V I x dxdydz            2[3( 1) 3 5)] V I x dxdydz    với V là nữa dưới mặt cầu 2 2 2 , 02x y z x z      2 1 2 2 2 2 0 0 2 2 3 2 0 2 sin 3 sin os 8 8 3 86 sin sin os 3 5 15 d d c d d c d                                   Giải tích 2 – Đề số 19 Câu 1: Vẽ khối  giới hạn bởi 2 2 24 , 2 , 2z x x y y x y z       . Các em tự vẽ. Câu 2: Tìm cực trị của hàm ( , , ) 2 6 10f x y z x y z   với điều kiện 2 2 2 35x y z   . Bài giải Xét    2 2 2, , 2 6 10L x y z x y z x y z      ' ' 1 2' 2 2 2 2 2 0 1 1 6 2 0 1 1 3 310 2 0 5 535 x y z L x L y x x P P y yL z z zx y z                                            2 2 2 22d L dx dy dz       2 1 2 2 0 0 d L P d L P   Vậy hàm f đạt cực đại tại P2(1,3,5) và cực tiểu tại P1(-1,-3,-5). Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 ( 1)nn n n      Bài giải Ta có: 1 1 ( 1)n nn n  Suy ra chuỗi phân kỳ. Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint của 0 ln(1 3 ) ( ) x t f x dt t    và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này. Bài giải Ta có: 1 1 0 0 1 1 2 0 (3 ) ( 1) ln(1 3 ) 31 ( 1) 1 3 ( ) ( 1) ( 1) n n n n nn n n n n n t t n x t t n f x x n                 R=1/3 theo tiêu chuẩn Cauchy 2 0 1 1 ( ) ( 1) 3 ( 1) n n f n       hội tụ tuyệt đối Vậy bán kính hội tụ là 1 1 3 3 x    Câu 5: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 22 6 , 3, 0x x y x y x y x      . Bài giải x(t)=1+cos(t) , y(t)=sin(t) x(t)=3+3cos(t) , y(t)=3sin(t) f(x)=-x f(x)=x*sqrt(3) 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 1 2 3 x y D Đổi sang toạ độ cực: cos 4 3 sin 2cos 6cos x r D y r r                      6cos3 2cos 4 28 2 3 4 3 S D d rdr              Câu 6: Tính tích phân đường 2 C I y dl  , C là cung Cycloid ( sin ), (1 cos ),0 2x a t t y a t t       . Bài giải x(t )=(t -sin(t)) , y(t )=(1-cos(t )) 1 2 3 4 5 6 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y Ta có: '2 '2 2 sin 2 t t t x y a  2 2 2 2 0 3 (1 ost) 2 sin 2 256 15 C t I y dl a c a dt a       Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 2 S I z dxdy  , S là mặt trong của nửa mặt cầu    2 2 21 2 4, 0x y z z      . Bài giải Gọi D:    2 21 2 4x y    là hình chiếu của S lên mp Oxy     2 22 4 1 2 S D I z dxdy x y dxdy        (Pháp vec tơ tạo với Oz góc tù)   2 2 2 0 0 4 8I d r rdr         Giải tích 2 – Đề số 17 Câu 1: Cho  23( , ) ln 3f x y y x y   . Tìm (0,0), (0,0)f fx y     . Bài giải         0 0 0 0 ,0 0,0 ln 3 ln 3 lim lim 0 (0,0) 0 0, 0,0 ln 3 ln 3 lim lim 1 (0,0) 1 x x y y f x f f x x x f y f y f y y y                      Câu 2: Tìm cực trị có điều kiện: 3 3( , ) ; 16xyf x y e x y   . Bài giải Xét:    3 3 ' 2 4 ' 2 3 3 , 3 0 3 0 2( ) 6 16 xy xy x xy x L x y e x y L ye x e L xe y x y x y                        Vậy có một điểm dừng là: P(2,2)   '' 2 4 '' 2 4 '' 6 2 6 5 1 xy xx xy yy xy xy L y e x A C e L x e y B e L xy e                     2 2 2 42 2 10d L P dx dy dxdy e   Lấy vi phân 2 vế tại P của phương trình 3 3 16x y  : 12 12 0dx dy dy dx     Thế vào trên ta được:  2 26 0d L P dx   Vậy P là điểm cực đại. Câu 3: . Tính tổng 1 ( 1) 2 4 6 (2 )n n n        Bài giải Ta có:   1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 2 1 ( 1) ( 1) 1 2 4 6 (2 ) 2 . ! 2 . ! 2 . ! 1 1 1 1 12 2 2 ! 22 . ! 2 . 1 ! 1 1 2 . ! 1 1 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n S n n n n n e nn n e n S e                                              Câu 4: Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính 0 1 x xdx e    Bài giải Câu này đạo hàm được nhưng rất khó và sau khi lấy tích phân vẫn không tính tổng lai được. Có phương pháp sau không phải là khai triển maclaurint, ý tương hay nhưng vẫn không giải quyết bài này được, các em tham khảo nhé:               1 0 0 1 2 0 00 0 1 1 1 1 1 1 1 1 x n n n xx nx x x n n n n n x x n n x xe xe e xe e e xdx xe dx e n                                 Tới đây ta lại gặp vấn đề về tính tổng. Bài này Thầy nghĩ không tính được. Câu 5: Tính tích phân  2 2 0 2sign x y dxdy  với D 0 3,0 3x y    . Bài giải f(x)=0 f(x)=3 x(t)=0 , y(t)=t x(t)=3 , y(t)=t f(x)=sqrt(x^2+2) Series 1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y D1 D2 A Trên 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 : 2 0 ( 2) 1 : 2 0 ( 2) 1 D x y sign x y D x y sign x y                    1 2 1 2 21 1 ( ) ( ) 2 ( ) D D D dxdy dxdy dt D dt D dt D dt D          Với D=9 Và     2 2 7 3 2 0 2 3 7 1 ( ) ln 3 7 ln 2 2 2 9 3 7 2ln 3 7 ln 2 D x dt D dxdy dx dy y                 Câu 6: Tính tích phân đường      2 2 2 C I y z dx z x dy x y dz      , với C là giao của mặt nón 22y z x  và mặt cầu 2 2 42x y z   ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Ox. Bài giải Nhận xét : mặt nón và mặt cầu cắt nhau theo một đường tròn nằm trong mp x=4 Gọi S là mặt trước của hình tròn có biên là C 2 2 2 4 : 2 x y z S x       Áp dụng công thức Stoke      2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) C S S I y z dx z x dy x y dz z dydz x dxdz y dydx z dydz                (vì trên S (x=4): dx=0) 2 2 0 0 (1 2 sin ) 2d r rdr        Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3 S I x dydz y dzdx z dxdy   , với S là mặt trong của vật thể giới hạn bởi 2 2 2 2 21 4,x y z y x z      . Bài giải Dùng O-G:  2 2 23 V I x y z dxdydz    Đổi sang toạ độ cầu mở rộng: 0 sin cos 4 sin sin 0 2 os 1 2 z x y c                               2 24 2 2 0 0 1 93 3. . .sin 2 2 5 I d d d                Giải tích 2 – Đề số 16 Câu 1: Cho 3 2( , ) arctan , ( , ) 2 , ( , ) 2 u f f u v u u x y x y v v x y x y v         . Tính 2 f x y    . Bài giải 2 2 2 2 2 (6 ) f v u x x u v u v       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f uv u v v u uv x y y x y u v u v u v u v                        Câu 2: Cho một hình hộp chữ nhật ở góc phần tám thứ nhất trong hệ trục Oxyz, có 3 mặt nằm trên 3 mặt phẳng tọa độ và một đỉnh nằm trên mặt phẳng 2 3 6x y z   . Tìm thể tích lớn nhất. Bài giải Gọi M(a,b,c) thuộc mặt phẳng 2 3 6 2 3 6x y z a b c       2 2 2 2 6 2 3 , , 0 ' 6 4 3 0 ' 6 2 6 0 b c V abc bc b c bc b c V c bc c V b b bc              2 1, 3 b c   điểm dừng: P(1,2/3)         2 8 '' '' 4 3 8 '' 6 '' 6 6 2 0 3 '' 6 4 6 '' 2 bb bb cc cc bc bc V P V c V b V P V b c V P                              Suy ra d2f(P) xác định âm nên P là điểm cực đại duy nhất do đó V lớn nhất đạt tại P: MaxV=V(P)=4/3 Bài này dùng bất đẳng thức cosi nhanh hơn nhưng không liên quan đến bài học. Câu 3: . Tính tổng 1 1 ( 2) ( 2) 7 n n n n n        Bài giải  1 21 1 1 ( 2) 1 1 1 ( 2) 14 ( 2) 7 14 2 7 n n n n n n S S n n n n                    Xét:           ' 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 n n n n x f x f x x n x f x x c x                    (vì f(0)=0) Ta lại có:               1 1 2 2 1 3 1 2 1 2 22 7 ln 7 7 9 2 2 22 2 2 12 7 7 7 49 7 49 2 7 212 4 12 4 49 49 2 7 49 49 1 7 49ln 12 4 9 n n n n n n n n n n n m n n m f S n f n n n S n S                                                           Vậy  1 2 45 7 14 14 ln 3 4 9 S S S           Câu 4: Tìm chuỗi lũy thừa của hàm  2( ) ln 1f x x x   và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này Bài giải 2 12 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 (2 1)!! '( ) 1 2 !1 (2 1)!! ( ) 2 12 ! (2 1)!! 2 12 ! n n n n n n n n n n f x x nx n x f x x C nn n x x nn                           (C=0 vì f(0)=0). Dùng D’Alembert dể dàng suy ra R=1. Câu 5: Tính tích phân kép 2 2 16 9D x y I dxdy         , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi  0, 0, 4sin , 3cos , 0, / 2x y x t y t t      . Bài giải : Dùng toạ độ cực mở rộng: 2 2 12 3 0 0 3 12 16 9 2D x y I dxdy dt r dr             Câu 6: . Tính tích phân đường 3 2 C I zdx xdy ydz   , với C là giao của mặt phẳng 2x z  và mặt cầu 2 2 4x y z  2 theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz. Bài giải Gọi S là mặt trên của phần mặt phẳng x+z=2 nằm trong mặt cầu 2 2 4x y z  2 Áp dụng O-G: 3 2 3 2 C S I zdx xdy ydz dydz dxdz dxdy        Pháp véc tơ đơn vị của S: 1 1 ( ,0, ) 2 2 n    3 3 3 ( ) 4 2 3 2 2 2 2S I dS dt S           Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai 3 3 S I x dydz y dzdx  , với S là mặt ngoài của nửa trên ellipsoid   2 2 2 1, 0 16 9 x z y z    Bài giải Gọi S là mặt dưới của E: 2 2 1 16 x y  trong mặt phẳng Oxy S S E E I       Trên E (z=0): dz=0 0 E   Áp dụng O-G:  2 23 S S E V I x y dxdydz        Dùng toạ độ cầu mở rộng: 0 4 sin cos 2 1 sin sin 0 2 3 cos 0 1 x y V z                                 2 12 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 3 16 sin cos sin sin 12 sin 3 16 sin cos sin sin 12 sin 408 5 V I d d d dxdydz                                Giải tích 2 – Đề số 14 Câu 1: Vẽ khối  giới hạn bởi 2 24 , 1 , 0, 2y x y x z z x      . Các em tự vẽ. Câu 2: Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 212m bìa carton. Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này Bài giải Gọi x là chiều rộng, y là chiều dài, z là chiều cao (m). Ta có: 2xz+2yz+xy=12 V=xyz , , 0x y z  Ta cần tìm MaxV: Cách 1: Xét hàm               ' ' ' , , 2 2 2 0 2 1/ 2 2 0 2 2 2 2 0 12 2 12 2 2 12 x y x L x y z xyz xz yz xy L yz z y x z L xz z x y z x y L xy x y zxz yz xy xz yz xy                                              Hàm có 1 Điểm dừng P(2,2,1). Tính các đạo hàm riêng cấp 2 tại P ta có:  2 2 2d L P dxdy dxdz dydz    Lấy vi phân 2 vế của 2xz+2yz+xy=12 tại P suy ra: dx+dy+2dz=0  2 2 2d L P dx dy dxdy     xác định âm Vậy P là điểm cực đại Và vì V liên tục trong góc phần tám thứ nhất và có duy nhất 1 điểm cực đại (P) nên đạt giá trị lớn nhất tại P: MaxV=V(P)=4 Cách 2: Thế   12 2 xy z x y    vào biểu thức của V:     12 , , 2 xy xy V x y R x y      21 2 12 2 2 xy V xy xy x y     Áp dụng côsi cho 2 số (x,y) và 3 sô (2xy,(12-xy), (12-xy)) ta được:   3 21 1 2 2(12 ) 2 12 4 32 2 2 2 2 xy xy xy xy V xy xy x y xy         Dấu “=” xảy ra khi 2 1 2 12 x y x y z xy xy         Vậy Max V =4 đạt tại (2,2,1) Nhận xét: Không nghi ngờ gì nữa cách 2 hay hơn và gọn hơn cách 1. Nhưng các em nên nhớ đang học GT2 về cực trị và max-min. Yêu cầu phải biết vận dụng kiến thức đã học vào những bài toán thực tế. Bài này điển hình cho bài tìm max-min cho hàm 3 biến và miền không bị chặn rất hay. Câu 3: Tính tổng 1 1 ( 1)( 2)n S n n n       Bài giải 1 1 1 2 1 ( 1)( 2) 2 1 2n n n n n n            Vậy 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 1)( 2) 2 1 2 4n S n n n          Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint của 40 ( ) 1 x dt f x t    và tìm miền hội tụ của chuỗi này Bài giải Ta có :   1 4 4 12 4 0 1 4 1 4 4 1 1 0 0 1 1 1 1 ( )( 1)( 2).....( ) 1 2 2 2 21 1 ( ) ( 1)!1 ( 1) (2 1)!! (2 1)!! 1 ( ) 1 2 ( 1)! 2 ( 1)! n n n n n n n n n n t t nt n n t t n n                                       Vậy:           4 5 4 5 1 14 0 00 0 4 5 1 0 1 (2 1)!! (2 1)!! ( ) [ ] 2 ( 1)! 4 5 2 ( 1)! 4 51 (2 1)!! 2 ( 1)! 4 5 2 3 4 5 lim lim 1 2 2 4 9 1 1 xx n n n n n n n n n n n n n dt n t n x f x t x n n n nt n x f x x x n n n na a n n R                                             Tại x=±1   1 0 0 (2 1)!! 1 (2 1)!! 1 1 1 1 2 ( 1)! 4 5 (2 2)!! 4 5nn n n n f n n n n                     Dùng quy nạp ta Chứng minh được: (2 1)!! 1 (2 2)!! n n n    (dể thôi đừng lo) Lúc này: * 3 2 (2 1)!! 1 1 1 , (2 2)!! 4 5 4 5 1 1 1 4 5 4 n n N n n nn nn n         Do đó chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh Vậy: miền hội tụ là: [-1,1] Câu 5: Tính tích phân D y dxdy với D là miền     2 2 2 21, 1. 16 9 x y E C x y    Bài giải Ta có: | | | | | | D E C I y dxdy y dxdy y dxdy     Vì E và C đối xứng qua Ox,Oy và hàm dưới dấu tích chẵn theo 2 biến x,y nên:    ( , 0) , 0 ( , 0) , 0 1 1 12 2 2 0 0 0 0 0 0 4 | | | | 4 4 3 sin .12 sin . 4.35 sin . 1 140 140.1. 3 3 E x y C x y E x y C x y I y dxdy y dxdy ydxdy ydxdy d r rdr d r rdr d r rdr                                                        Câu 6: Tìm diện tích phần mặt cầu 2 2 2 18x y z   nằm trong hình nón 2 2 2x y z  . Bài giải Tìm diện tích phần mặt cầu 2 2 2 18x y z   nằm trong hình nón 2 2 2x y z  . 2 2: 9D x y  2 3 2 2 2 0 0 18 18 2 2 2 (18 3 18) 18 18 D S dxdy d rdr x y r            Chú ý S gồm hai miền riêng biệt, đề này nên thêm điều kiện z>0 và kết quả: (18 3 18)  Câu 7: Tính tích phân mặt loại một S I yds  , với S là phần mặt trụ 2 2 4x y  nằm giữa hai mặt phẳng 0, 3z z  Bài giải Chia S làm 2 miền: phía trước(S1) và sau mặt(S2) phẳng Oxz. Miền D là hình chữ nhật: 2 2 0 3 y z       3 2 1 20 2 0 4 y I dz dy y      Tương tự I2=0. Vậy I=0 Thật ra bài này bằng không ngay từ đầu bằng cách nhận xét: S đối xứng qua Oxz và hàm dưới dấu tích phân lẻ theo biến y. Giải tích 2 – Đề số 15 Câu 1: Cho 2(3 , )xyf f x y e  . Tính 2 , f f x x y      . Bài giải Đặt 23 xy u x y v e      2(3 , ) ( , )xyf f x y e f u v   .         2 '' ' '' '' ' 2 '' 2 '' 3 ' ' 6 '' 3 . 1 . 2 1 6 '' 3 2 . xy u v xy xy xy xy uu uv v uv vv xy xy xy v uu uv vv f f ye f x f yf xe f xy e f ye yf xe f x y xy e f yf x y e f xye f                     Câu 2: Tìm điểm M trên hình nón 2 2 2z x y  , sao cho MA là nhỏ nhất, với A(4,2,0). Bài giải Cách 1: Gọi M(a,b,c) MA= 2 2 2 2 2 2 2( 4) ( 2) ( 4) ( 2)a b c a b a b          2 2 2 2 2 2 2( 4) ( 2) 2( ) 8 4 20MA a b a b a b a b           ( , )f a b ' 4 8 0 ' 4 4 0 a b f a f b        a=2,b=1 '' 4, '' 0 '' 4 a ab b f f f    => f đạt cực tiểu tại (2,1) do đó đạt min tại (2,1) Vậy  2,1, 5M  Cách 2: Gọi M(x,y,z) Pháp véc tơ mặt ngoài S: n=(x,y,-z) (vì A nằm phía ngoài mặt nón) MA ngắn nhất khi ,MA n  cùng hướng: 24 2 5 1 xx y z z yx y z            Làm như thế đúng hay sai? Suy nghĩ tí nhé. Câu 3 Tính tổng 1 2 3 5nn n    Bài giải Ta có   5 2 3 2 1 , 1,1 1 n n x x x x          Lấy đạo hàm 2 vế:         4 6 2 2 22 1 2 4 2 22 1 5 3 2 3 1 5 3 2 3 1 n n n n x x n x x x x n x x                 Thế 3 1 1 1125 16 85 25 x S      Câu 4: Tìm chuỗi Maclaurint của hàm 3 ( ) arctan 3 x f x x    và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này. Bài giải               2 22 0 2 1 2 1 1 2 1 0 0 3 1 1 1 ' 1 9 3 3 9 1 9 1 1 1 3 9 2 1 3 2 1 n n n n n n n n n n n n x f x xx x x f x C C n n                                Vì:    0 arctan 1 4 4 f C          Vậy:       2 1 1 2 1 0 1 4 3 2 1 n n n n x f x n            Dùng tiêu chuẩn D’Alembert dể thấy R=3. Câu 5: Tính tích phân  max sin ,sin D x y dxdy với D là miền 0 ,0 .x y     Bài giải: Chia D làm 4 miền bởi 2 đường thẳng y=x và x+y=Pi f(x)=0 f(x)=x f(x)=Pi x(t)=0 , y(t)=t x(t)=Pi , y(t)=t f(x)=Pi-x -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x y D1 D2 D3 D4 Pi Pi Xét sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y     1 sin 0 2: sin sin cos 0 2 x y y x D x y x y x y              Em xét tương tự trên các miền còn lại: 2 4 1 3 , : s inx sin , : sin sin D D y D D x y   1 3 2 4 sin sin sin sin 8 D D D D D I ydxdy ydxdy xdxdy ydxdy          Câu 6: Tính tích phân đường      2 2 22 2 2 C I y z dx z x dy x y dz      , với C là giao của mặt phẳng 1x y z   và mặt cầu 2 2 42x y z   ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz. Bài giải Chọn S là mặt trên của phần mp 1x y z   nằm trong mặt cầu 2 2 42x y z   Áp dụng công thức Stoke:      2 2 22 2 2 (2 2)dyd (2 2) (2 2) C S I y z dx z x dy x y dz y z z dxdz x dxdy             Pháp véc tơ đơn vị của S: 1 1 1 ( , , ) 3 3 3 n  2 2 4 ( 3) (1 3) 3 3 3S S S I x y z dS dS dS           2 2 2 ( , ) 1 11 ( ) (4 ) 3 3 IS r R d         44 3 3 I    Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai S I zdxdy  với S là nửa mặt cầu 2 2 92x y z   , phần 0y  , phía ngoài (phía trên theo hướng trục Oy). Bài giải Cách 1: 2 2 0 : 9 y D x y     2 29 S D I zdxdy x y dxdy      2 29 D x y dxdy    (chú ý pháp vecto mặt ngoài nhé) 3 2 2 2 0 0 2 9 2 9 18 D x y dxdy d r rdr           Cách 2: gọi S1 là mặt bên trái hình tròn x 2+z2<9 trong mặt phẳng (Oxz) 1 1S S S S I ydxdy ydxdy ydxdy       Trên S1 (y=0) : 1 0 S dy ydxdy   Trên S+S1: dùng O-G: 1 31 4( ) .3 18 2 3 S S V I zdxdy dxdydz tt V          Cách 3: Dùng pháp véc tơ đơn vị của S để đưa về tích phân mặt loại 1. Các em tự tính nhe.