Phân loại tín hiệu

Nội dung 1.2. Phân loại tín hiệu 1.2.1. Tín hiệu tất định và tín hiệu ngẫu nhiên 1.2.2. Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn 1.2.3. Tín hiệu tương tự và tín hiệu rời rạc 1.2.4. Tín hiệu công suất và tín hiệu năng lượng 1.2.5. Hàm xung kim đơn vị 1.3. Mật độ phổ 1.3.1 Mật độ phổ năng lượng 1.3.2. Mật độ phổ công suất 1.4. Tự tương quan 1.4.1. Tự tương quan của tín hiệu mang năng lượng 1.4.2. Tự tương quan của tín hiệu tuần hoàn 1.5 Tín hiệu ngẫu nhiên 1.5.1. Biến ngẫu nhiên: Trung bình theo tập hợp 1.5.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.5.2.1 Trung bình thống kê của quá trình ngẫu nhiên 1.5.2.2 Quá trình dừng 1.5.2.3 Tự tương quan của quá trình dừng nghĩa rộng WSS 1.5.3 Trung bình thời gian và quá trình Ergodic 1.5.4 Mật độ phổ công suất và tự tương quan của tín hiệu ngẫu nhiên 1.5.5. Tạp âm trong hệ thống truyền thông 1.5.5.1 Tập âm trắng 1.6 Truyền dẫn tín hiệu qua hệ thống tuyến tính 1.6.1 Đáp ứng xung kim 1.6.2 Hàm truyền đạt tần số: Quá trình ngẫu nhiên và hệ thống tuyến tính 1.6.3 Truyền dẫn không méo tín hiệu 1.6.3.1 Bộ lọc lý tưởng 1.6.3.2 Bộ lọc thực tế 1.6.4 Tín hiệu, mạch điện và phổ tín hiệu 1.7. Độ rộng băng thông của dữ liệu Số 1.7.1. Băng tần cơ sở và băng thông (baseband & bandpass) 1.7.2. Vấn đề về độ rộng băng tần 1.2. Phân loại tín hiệu 1.2.1. Tín hiệu tất định và tín hiệu ngẫu nhiên Tín hiệu được gọi là: (i) tín hiệu tất định khi ta có thể xác định được giá trị của nó tại bất cứ thời điểm nào, nó được mô hình hóa bởi các biểu thức toán rõ ràng như như x(t)=5cos10(t); (ii) tín hiệu ngẫu nhiên khi tồn tại một số mức độ bất định trước khi tín hiệu đó thực sự xảy ra, không thể biểu diễn nó bằng một biểu thức rõ ràng, nhưng khi xét trong một khoảng thời gian dài, dạng sóng ngẫu nhiên được coi là một quá trình ngẫu nhiên, có thể biểu lộ một qui tắc nào đó mà có thể mô tả được ở dạng xác suất và trung bình thống kê. Cách mô tả ở dạng xác suất của quá trình ngẫu nhiên thường rất hữu hiệu để đặc tính hóa các tín hiệu và tạp âm trong hệ thống truyền thông. 1.2.2. Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn Tín hiệu x(t) được gọi là tuần hoàn theo thời gian nếu tồn tại một hằng số T0>0 sao cho x(t) = x(t+T0) với -∞ < t < ∞ (1.2) trong đó t là biến thời gian. Giá trị nhỏ nhất của T0 thảo mãn điều kiện trên được gọi là chu kì của x(t), T0 xác định một khoảng thời gian của một chu kỳ trọn vẹn của x(t). Tín hiệu mà không tồn tại giá trị T0 thoả mãn (1.2) được gọi là tín hiệu không tuần hoàn 1.2.3. Tín hiệu tương tự và tín hiệu rời rạc Tín hiệu tương tự x(t) là một hàm liên tục theo thời gian, tức là x(t) được xác định tại mọi thời điểm t. Tín hiệu điện tương tự do sóng vật lý (như tiếng nói) được chuyển thành tín hiệu điện bởi các bộ chuyển đổi. Tín hiệu rời rạc x(kT) là tín hiệu chỉ tồn tại tại các thời điểm rời rạc, nó được đặc trưng bởi một chuỗi các số và được xác định tại mỗi thời điểm kT trong đó k là một số nguyên và T là một khoảng thời gian cố định. 1.2.4. Tín hiệu công suất và tín hiệu năng lượng Biểu diễn tín hiệu điện điện áp v(t) hoặc dòng điện i(t) với công suất tức thời p(t) trên một điện trở R được xác định là p(t)= (1.3a) hoặc p(t)= i(t).R (1.3b) Trong các hệ thống truyền thông, công suất thường được chuẩn hoá bằng cách cho R=1Ω, mặc dù R có thể có giá trị khác trong mạch điện thực tế. Khi này, (1.3a) và (1.3b) có chung một dạng. Vì vậy, ta không cần quan tâm đến việc tín hiệu là điện áp hay dòng điện, lợi ích của việc chuẩn hóa này là cho phép ta biểu diễn biểu thức công suất tức thời như sau p(t)=x2(t) (1.4) trong đó x(t) là tín hiệu điện áp hoặc dòng điện. Năng lượng tiêu tán bởi một tín hiệu thực có công suất tức thời trong một khoảng thời gian (-T/2, T/2) như phương trình (1.4) là (1.5) và công suất trung bình P= = (1.6) Hiệu năng của hệ thống truyền thông phụ thuộc vào năng lượng tín hiệu thu (tín hiệu có năng lượng cao thì độ tin cậy cao hơn (ít lỗi hơn). Công suất là tỉ lệ giữa năng lượng và khoảng thời gian mà tại đó năng lượng phát ra (P=E/T). Công suất xác định điện áp cần thiết đặt vào máy phát và cường độ trường điện từ trong các hệ thống vô tuyến. Trong phân tích tín hiệu truyền thông, ta thường quan tâm tới năng lượng sóng. Tín hiệu x(t) được gọi là tín hiệu năng lượng, nếu và chỉ nếu năng lượng của nó không âm và hữu hạn (0<Ex<∞) trong mọi thời điểm, trong đó (1.7) Thực tế, ta thường phát tín hiệu có năng lượng hữu hạn (0<Ex<∞). Tuy nhiên, (i) để mô tả tín hiệu tuần hoàn (1.2) tồn tại trong mọi thời điểm thì, nó có năng lượng vô hạn; (ii) để xử lí tín hiệu ngẫu nhiên có năng lượng vô hạn, thì sẽ rất thuận lợi khi ta xác định một lớp tín hiệu được gọi là tín hiệu công suất. Tín hiệu được xác định là tín hiệu công suất nếu và chỉ nếu nó có công suất hữu hạn và khác không (0<Px<∞) trong mọi thời điểm, trong đó (1.8) Việc phân loại tín hiệu năng lượng và công suất là loại trừ tương hỗ nhau. Tín hiệu kiểu năng lượng có năng lượng hữu hạn nhưng công suất trung bình bằng 0, và ngược lại tín hiệu kiểu công suất có công suất trung bình hữu hạn nhưng có năng lượng vô hạn. Dạng sóng trong hệ thống có thể được giới hạn trong các giá trị công suất hoặc năng lượng của nó. Nói chung, các tín hiệu tuần hoàn và ngẫu nhiên thuộc loại tín hiệu công suất; các tín hiệu có cả thuộc tính tất định và không tuần hoàn thuộc loại tín hiệu năng lượng. Công suất và năng lượng tín hiệu là là hai thông số quan trọng trong việc đánh giá hệ thống truyền thông. Việc phân loại tín hiệu thành tín hiệu năng lượng hoặc tín hiệu công suất là mô hình hữu hiệu để dễ dàng xử lý toán học tạp âm và các tín hiệu khác nhau. 1.2.5. Hàm xung kim đơn vị Một hàm rất hữu hiệu trong lý thuyết truyền thông là hàm xung kim đơn vị hay còn gọi là hàm delta Dirac δ(t). Hàm xung kim là một hàm tưởng tượng vì: (i) biên độ xung lớn vô hạn; (ii) đội rộng xung bằng 0; (iii) trọng lượng đơn vị (vùng diện tích của xung); (iv) được tập trung tại điểm đối số bằng 0. Xung kim đơn vị được đặc trưng bởi các mối quan hệ sau (1.9) với t0 (1.10) không bị hạn chế tại t=0 (1.11) (1.12) 1.3. Mật độ phổ Mật độ phổ của tín hiệu đặc trưng cho sự phân bố công suất hoặc năng lượng của tín hiệu trong miền tần số. Khái niệm này đặc biệt quan trọng khi ta xét việc lọc trong các hệ thống truyền thông, khi này ta dùng mật độ phổ năng lượng (Energy Spectral Density ESD) hoặc mật độ phổ công suất (Power Spectral Density PSD) để ước lượng tín hiệu và tạp âm tại đầu ra bộ lọc. 1.3.1 Mật độ phổ năng lượng Năng lượng tổng của tín hiệu giá trị thực x(t) được xác định trong khoảng thời gian (-∞, ∞) được mô tả ở (1.7). Theo định lý Parseval, ta có quan hệ năng lượng của tín hiệu trong miền thời gian và tần số như sau: (1.13) trong đó, X(f) là biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn x(t). Đặt ψx(f) là bình phương của phổ biên độ, được định nghĩa là (1.14) Đại lượng ψx(f) là mật độ phổ năng lượng ESD của tín hiệu x(t). Vì vậy, từ (1.13), ta biểu diễn tổng năng lượng của x(t) bằng cách lấy tích phân mật độ phổ theo tần số (1.15) Phương trình (1.15) cho thấy rằng năng lượng của tín hiệu chính là diện tích tạo bởi ψx(f) theo tần số. Mật độ phổ năng lượng mô tả năng lượng tín hiệu trên một độ rộng băng tần đơn vị [J/Hz]. Năng lượng trong vùng tần số dương và tần số âm là bằng nhau vì, đối với tín hiệu thực, x(t), |X(f)| là hàm chẵn. Vì vậy, mật độ phổ năng lượng đối xứng qua gốc tọa độ, do vậy, tổng năng lượng của tín hiệu x(t) có thể được thể hiện ở dưới (1.16) 1.3.2. Mật độ phổ công suất Công suất trung bình Px của tín hiệu công suất thực x(t) được xác định theo (1.8), nếu x(t) là tín hiệu tuần hoàn có chu kì T0, nó được phân loại thành tín hiệu công suất. Biểu thức thể hiện công suất trung bình cho tín hiệu tuần hoàn có dạng (1.6), trong đó lấy trung bình thời gian được thực hiện trong một chu kì của tín hiệu tuần hoàn T0 như sau: (1.17a) Định lý Parseval cho tín hiệu thực tuần hoàn có dạng (1.17b) trong đó |cn| là các hệ số của chuỗi Fourier phức của tín hiệu tuần hoàn. Để áp dụng (1.17b), ta chỉ cần biết các hệ số |c(n)|. Hàm mật độ phổ công suất (PSD) Gx(f) của tín hiệu tuần hoàn là thực, chẵn, không âm, nó cho biết sự phân bố công suất của x(t) trong miền tần số và được xác định bởi (1.18) Phương trình (1.18) xác định mật độ phổ công suất của tín hiệu tuần hoàn x(t) là một chuỗi các hàm delta được đánh trọng số. Vì vậy, PSD của một tín hiệu tuần hoàn là một hàm rời rạc theo tần số (phổ vạch). Sử dụng PSD được định nghĩa bởi (1.8), ta viết công suất trung bình chuẩn hóa của tín hiệu giá trị thực là (1.19) Phương trình (1.18) chỉ mô tả tín hiệu tuần hoàn (công suất). Nếu x(t) là tín hiệu không tuần hoàn thì ta không biểu diễn ở dạng chuỗi Fourier được, và nếu nó là tín hiệu công suất không tuần hoàn (có năng lượng vô hạn) thì nó không có biến đổi Fourier. Tuy nhiên, ta vẫn có thể biểu diễn mật độ phổ công suất của tín hiệu này trong giới hạn nhất định. Nếu ta cắt tín hiệu công suất không tuần hoàn x(t) bằng cách quan sát trong khoảng thời gian (-T/2, T/2), thì xT(t) có năng lượng hữu hạn và có biến đổi Fourier là XT(f). Khi này, ta có thể biểu diễn mật độ phổ công suất của tín hiệu không tuần hoàn x(t) trong vùng giới hạn theo biểu thức (1.20) Ví dụ 1.1: Công suất trung bình chuẩn hoá Tìm công suất trung bình chuẩn hoá của tín hiệu bằng cách (a) Lấy trung bình theo thời gian. (b) Lấy tổng các hệ số phổ. Giải (a) Từ (1.17a), ta có (b) Từ (1.18) và (1.19), ta có 1.4. Tự tương quan 1.4.1. Tự tương quan của tín hiệu mang năng lượng Tương quan là một quá trình so sánh; tự tương quan được coi là việc so sánh tín hiệu với phiên bản trễ của nó. Hàm tự tương quan của tín hiệu năng lượng giá trị thực x(t) được định nghĩa như sau: ; (1.21) Hàm tự tương quan Rx() cho biết mức độ giống nhau giữa tín hiệu và phiên bản dịch thời của nó. Biến có vai trò quét hoặc tìm thông số. Rx() không phải là hàm của thời điểm t mà nó chỉ là hàm của hiệu số thời gian giữa sóng và bản sao được dịch thời của nó. Các tính chất của hàm tự tương quan của tín hiệu giá trị thực 1. đối xứng qua 2. cực trị tại 3. cặp biến đổi Fourier giữa hàm tự tương quan và mật độ phổ năng lượng ESD 4. giá trị tại gốc bằng năng lượng của tín hiệu Nếu đáp ứng các tính chất 1 đến 3, thì ta nói thoả mãn những tính chất của hàm tự tương quan. Tính chất 4 được suy ra từ tính chất 3. 1.4.2. Tự tương quan của tín hiệu tuần hoàn Hàm tự tương quan của tín hiệu công suất giá trị thực x(t) được định nghĩa là với (1.22) Khi tín hiệu công suất x(t) tuần hoàn với chu kì T0 thì hàm tự tương quan (1.22) được biểu diễn trong một chu kỳ T0 như sau với (1.23) Tính chất của hàm tự tương quan của tín hiệu tuần hoàn giá trị thực giống như của tín hiệu năng lượng. 1. đối xứng qua 2. cực trị tại 3. cặp biến đổi Fourier giữa hàm tự tương quan và mật độ phổ năng lượng PSD 4. giá trị tại gốc bằng công suất trung bình của tín hiệu 1.5 Tín hiệu ngẫu nhiên Mục đích của hệ thống truyền thông là truyền thông tin qua kênh trruyền thông. Tất cả các tín hiệu bản tin hữu hiệu đều xuất hiện ngẫu nhiên, nghĩa là máy thu không biết trước các sóng bản tin phát. Vì vậy, ta mô tả ngắn gọn các tín hiệu ngẫu nhiên 1.5.1. Biến ngẫu nhiên Coi biến ngẫu nhiên X(A) thể hiện mối quan hệ hàm giữa sự kiện ngẫu nhiên A và số thực. Để đơn giản về kí hiệu toán học, ta ký hiệu biến ngẫu nhiên là X, và ẩn sư kiện A. Biến ngẫu nhiên X có thể là rời rạc hoặc liên tục. Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X được cho bởi trong đó P(X≤ x ) là xác suất của sự kiện biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng số thực x. Hàm phân bố có nhũng tính chất sau Hàm mật độ xác xuất (pdf) (1.25a) Như trong trường hợp của hàm phân bố xác suất, hàm mật độ xác suất pdf là hàm của số thực x. Tên gọi “hàm mật độ” xuất phát từ xác suất của sự kiện biến ngẫu nhiên X trong khoảng [ x1, x2] là (1.25b) Từ (1.25b), xác suất biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong một số khoảng rất nhỏ từ x đến x+∆x được tính xấp xỉ là (1.25c) Vì vậy khi ∆x → 0. ta có thể viết (1.25d) Các tính chất của hàm mật độ xác suất 1. 2. Như vậy, hàm mật độ xác suất luôn là hàm không âm có vùng diện tích là 1. Mặc dù ký hiệu PX(x ) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục. Để đơn giản về ký hiệu, ta thường bỏ qua chỉ số dưới X và viết p(x). Ta sẽ dùng ký hiệu P(x =xi ) là hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X, trong đó X chỉ nhận những giá trị rời rạc. Trung bình theo tập hợp Giá trị trung bình mX hay kì vọng của biến ngẫu nhiên X được định nghĩa là (1.26) Môment bậc n của đại lượng ngẫu nhiên X là (1.27) Với mục đích phân tích hệ thống truyền thông. Trong các môment của biến ngẫu nhiên X thì môment bậc 1 (n=1), bậc 2 (n=2) là quan trọng nhất. Khi n=1, phương trình (1.27) cho ta giá trị trung bình mx , với n = 2 ta được giá trị trung bình bình phương (mean-square value) của X là (1.28) Ta định nghĩa các môment trung tâm, là các môment của hiệu số giữa X và mx. Môment trung tâm bậc 2 được gọi là phương sai của X được định nghĩa là (1.29) Phương sai của X được kí hiệu là , và căn bậc hai của nó là được gọi là độ lệch chuẩn của X. Phương sai là phép đo “mức độ ngẫu nhiên” của biến ngẫu nhiên. Từ phương trình (1.29) ta có quan hệ giữa phương sai và giá trị trung bình bình phương như sau Vì vậy, phương sai là sự khác nhau giữa giá trị trung bình bình phương và bình phương của trung bình 1.5.2 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên X(A,t) được xem là hàm của hai biến: biến sự kiện A và biến thời gian. Hình 1.5 minh hoạ cho quá trình ngẫu nhiên, trong đó gồm N hàm mẫu theo thời gian {Xj(t)}. Mỗi hàm mẫu có thể coi là đầu ra của bộ tạo tập âm khác nhau. Với một sự kiện Aj cụ thể, ta có một hàm thời gian X(Aj,t)=Xj(t) (nghĩa là hàm mẫu). Tổng tất cả các hàm mẫu gọi là một tập hợp. Tại một thời điểm tk cụ thể, thì X(A,tk) là một biến ngẫu nhiên, giá trị của X(tk) phụ thuộc vào sự kiện đó. Cuối cùng, tại một thời điểm cụ thể t=tk và sự kiện cụ thể A=Aj, thì X(Aj, tk) là một con số. Để đơn giản về ký hiệu toán, ta ký hiệu quá trình ngẫu nhiên là X(t). Hình 1.5. Quá trình tạp âm ngẫu nhiên 1.5.2.1 Trung bình thống kê của quá trình ngẫu nhiên Do không biết được giá trị của quá trình ngẫu nhiên tại thời điểm trong tương lai (vì nhận biết sự kiện A là không biết), nên các hàm phân bố của quá trình ngẫu nhiên này là liên tục và được mô tả thống kê bằng hàm mật độ xác xuất (pdf). Nhìn chung, dạng hàm mật độ xác suất pdf của quá trình ngẫu nhiên sẽ khác nhau tại các thời điểm khác nhau. Đa số không thể xác định được phân bố xác suất của quá trình ngẫu nhiên. Tuy nhiên, việc mô tả từng phần gồm trung bình và hàm tự tương quan thường thích hợp cho các yêu cầu của các hệ thống truyền thông. Trung bình của quá trình ngẫu nhiên X(t) được định nghĩa là (1.30) trong đó X(tk) là biến ngẫu nhiên nhận được bằng cách quan trắc quá trình ngẫu nhiên tại thời điểm tk ; và là hàm mật độ xác suất pdf của biến ngẫu nhiên X(tk), mật độ trên tập hợp các sự kiện tại thời điểm tk Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên X(t) là hàm 2 biến t1 và t2 được định nghĩa là (1.31) trong đó X(t1);X(t2) là 2 biến ngẫu nhiên nhận được bằng cách quan trắc quá trình ngẫu nhiên X(t) tại thời điểm t1 và t2. Hàm tự tương quan là phép đo đánh giá mức độ tương quan của hai mẫu thời gian của cùng một quá trình ngẫu nhiên. 1.5.2.2 Quá trình dừng Quá trinh ngẫu nhiên X(t) được gọi là quá trình dừng chặt SS nếu tất cả các đặc trưng thống kê của nó không phụ thuộc vào dịch thời gian. Quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng theo nghĩa rộng WSS nếu 2 đặc trưng thống kê của nó là trung bình thống kê và hàm tự tương quan không bị thay đổi bởi sự dịch chuyển của gốc thời gian. Vì vậy, quá trình là WSS nếu thỏa mã (1.32) và (1.33) sau (1.32) (1.33) Quá trình dừng chặt SS là quá trình dừng rộng WSS, nhưng ngược lại là không đúng. Hầu hết các tín hiệu thông tin ngẫu nhiên và tạp âm trong lý thuyết truyền thông được coi là dàng rộng WSS. Từ quan điểm thực tế, không cần thiết phải xét quá trình ngẫu nhiên là quá trình dừng mọi lúc mà chỉ cần xét trong một số khoảng thời gian cần thiết. Với quá trình dừng, thì hàm tự tương quan (1.33) không phụ thuộc và thời điểm mà phụ thuộc vào hiệu số thời gian giữa t1 và t2, nghĩa là tất cả các cặp giá trị của quá trình ngẫu nhiên X(t) tại các thời điểm được phân cách nhau đều có cùng giá trị tương quan. Vì vậy, với các hệ thống dừng ta ký hiệu là 1.5.2.3 Tự tương quan của quá trình dừng nghĩa rộng WSS Thấy rõ, phương sai cho phép đánh giá mức độ ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên, tự tương quan cho phép ta đánh giá mức độ giống nhau của quá trình ngẫu nhiên. Với quá trình ngẫu nhiên dừng nghĩa rộng WSS, Hàm tự tương quan chỉ là hàm của hiệu số thời gian , ngghĩa là với (1.34) Với quá trình WSS trung bình không, cho biết sự phạm vi các giá trị ngẫu nhiên của quá trình được phân tách bởi giây được tương quan thống kê nhau. Nói cách khác cho ta ý tưởng về đáp ứng tần số của quá trình. Nếu thay đổi chậm khi tăng từ 0 đến một số giá trị, thì về mặt trung bình các giá trị mẫu của quá trình ngẫu nhiên X(t) tại t = t1 và t = t1+ là gần như bằng nhau. Vì vậy, thể hiện tính trội trong vùng tần số thấp. Mặt khác, nếu giảm nhanh khi tăng, X(t) thay đổi nhanh theo thời gian và hầu như chứa các tần số cao. Các tính chất của hàm tự tương quan của quá trình dừng nghĩa rộng giá trị thực là đối xứng qua gốc tọa độ với mọi cực trị tại gốc tọa độ cặp biến đổi Fourier giá trị tại gốc tọa độ là công công suất trung bình của tín hiệu. 1.5.3 Trung bình thời gian và quá trình Ergodic Để tính trung bình mx và tự tương quan bằng cách lấy trung bình tập hợp, ta phải lấy trung bình trên tất cả các mẫu của quá trình ngẫu nhiên, đồng thời cũng phải biết hàm mật độ xác xuất liên hợp bậc một và bậc hai, nói chung chúng không có sẵn. Khi quá trình ngẫu nhiên thuộc về một loại cụ thể như quá trình Ergodic, thì lấy trung bình theo thời gian là bằng với lấy trung bình tập hợp, và các tính chất thống kê của quá trình này có thể được xác định bằng cách lấy trung bình theo thời gian trên một hàm mẫu của quá trình. Với quá trình là Ergodic, thì phải là quá trình dừng chặt (ngược lại là không đúng). Tuy nhiên, với các hệ thống truyền thông, trong đó thỏa mã các điều kiện của quá trình WSS, thì ta chỉ cần quan tâm đến trung bình và hàm tự tượng quan. Quá trình ngẫu nhiên là quá trình Ergodic theo trị trung bình nếu (1.35) Và là quá trình Ergodic theo hàm tự tương quan nếu (1.36) Việc kiểm tra Ergodic của quá trình ngẫu nhiên thường rất khó. Thực tế cần phải xem việc chuyển đổi giữa lấy trung bình theo thời gian và lấy trung bình tập hợp có phợp lý không. Giả định hợp lý trong phân tích các tín hiệu truyền thông là dạng sóng được coi là ergodic theo trung bình và hàm tự tương quan. Vì đối với quá trình ergodic, trung bình theo thời gian bằng với lấy trung bình tập hợp, nên các thông số thiết kế cơ bản như: giá trị dc, rms, công suất trung bình liên quan với các mômen của quá trình ergodic. Dưới đây là tổng hợp các quan hệ này. 1. Đại lượng mx =E{x(t)} là mức một chiều dc của tín hiệu. 2. Đại lượng mx2 là công suất dòng chuẩn hóa trong thành phần một chiều dc 3. Môment bậc 2 của X(t) là E{x2(t)} là tổng công suất chuẩn hóa trung bình. 4. Đại lượng là giá trị trung bình bình phương căn nguyên rms của tín hiệu dòng điện hoặc điện áp. 5. Phương sai là công suất chuẩn hóa trung bình trong tín hiệu biến đổi theo thời gian hoặc thành phần xoay chiều của tín hiệu 6. Nếu quá trình có trung bình 0 (nghĩa là, mx=mx2=0), thì và phương sai chính là giá trị trung bình bình phương (căn bậc 2 của trị trung bình), phương sai thể hiện tổng công suất trên tải chuẩn hóa. 7. Độ lệch chuẩn là giá trị rms của thành phần xoay chiều của tín hiệu. 8. Nếu mx=0, thì là giá trị rms của tín hiệu. 1.5.4 Mật độ phổ công suất và tự tương quan của tín hiệu ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên X(t) được phân loại thành tín hiệu công suất có mật độ phổ công suất (PSD) GX(f) theo (1.20). GX(f) đặc biệt hữu dụng trong trong hệ thống viễn thông bởi lẽ nó mô tả sự phân bố công suất của tín hiệu trong miền tần số. Hàm mật độ phổ công suất PSD cho phép ước lượng công suất của tín hiệu khi nó được truyền qua mạng có các đặc tính tần số cho trước. Các đặc trưng cơ bản của hàm mật độ phổ công suất là: 1.GX(f) 0 và luôn là giá trị thực. 2.GX(f) = GX(-f) khi X(t) là thực. 3.GX(f) RX() PSD và hàm tự tương quan là cặp biến đổi Fourier 4.PX = mối quan hệ giữa công suất trung bình chuẩn hoá và PSD Minh họa hàm tự tương quan và mật độ phổ công suất được cho ở hình 1.6. Khái niệm tương quan được hiểu là. Khi ta tìm hiểu về tương quan giữa hai hiện tượng nào đó (hoặc nghiên cứ về mối quan hệ giữa hai hiện tượng nào đó), ta quan tâm và xét mức độ tương đồng giữa chúng. Trong toán học, hàm tự tương quan của tín hiệu (trong miền thời gian) mô tả mức độ phù hợp của tín hiệu với chính nó theo cách: thực hiện một sao chép chính xác của tín hiệu đó và đặt tại âm vô cùng ; sau đó di chuyển bản sao theo các khoảng thời gian theo chiều dương và lần lượt so sánh với tín hiệu gốc tại các thời điểm đó. Sự tương quan giữa chúng là một hàm của thời gian, kí hiệu là là thông số quét. Hình vẽ từ 1.6a đến 1.6d là rõ từng từng bước. Hình 1.6a minh họa dạng sóng tín hiệu mẫu của quá trình ngẫu nhiên X(t) dừng nghĩa rộng WSSS. Dạng sóng là dãy nhị phân ngẫu nhiên có biên độ 1 và đồng xác suất. Độ rộng xung là T, và giá trị một chiều (dc) hoặc trung bình bằng 0. Hình 1.6b là dãy ở hình 1.6a được dịch thời giây, được ký hiệu là X(t-). Nếu coi X(t) là quá trình ergodic, thì khi tìm hàm tự tương quan RX() ta có thể lấy trung bình theo thời gian thay cho trung bình theo tập hợp. Hình 1.6 Tự tương quan và mật độ phổ công suất Tìm giá trị của Rx() bằng cách lấy tích hai chuỗi X(t) và X(t-) và tính giá trị trung bình theo (1.36). Công thức (1.36) chỉ chính xác đối với quá trình ergodic trong một giới hạn nào đó. Tuy nhiên, khi tích phân trong một số chu kỳ sẽ cho ta những ước tính về RX(). Lưu ý rằng, có thể tìm RX() theo cách dịch thời X(t) sang trái hoặc phải. Hình 1.6c minh họa việc tính toán này, trong đó chuỗi tín hiệu mẫu (hình 1.6a) được dịch sang phải giây (hình 1.6b). Vùng diện tích gạch chéo tạo bởi đường bị tích X(t)X(t-) cho phần giá trị dương, và phần diện tích màu sám tạo giá trị âm. Tích phân của X(t)X(t-) trên một số thời điểm xung cho ta một giá trị của vùng diện tích tương ứng với nó là một điểm, điểm RX() trên đường RX(). Khi dịch thời , mỗi lần dịch nhận được một điểm của hàm tự tương quan RX() (hình 1.6d). Hàm tự tương quan đạt cự trị tại RX(0) [đạt cực trị tại =0, và luôn có R() R(0) với mọi ], giảm dần khi tăng (Hình 1.6d) Biểu thức giải tích cho hàm tự tương quan RX() ở hình 1.6d là (1.37) Chú ý rằng hàm tự tương quan cho ta thông tin về tần số, nghĩa là độ rộng băng tần của tín hiệu. Hàm tự tương quan là hàm trong miền thời gian, như được thấy ở phương trình (1.37). Vậy thông tin về độ rộng băng tần của tín hiệu được nhận biết như thế nào? Xét tín hiệu di chuyển rất chậm (độ rộng băng tần nhỏ). Ta dịch bản sao của nó theo trục và theo dõi sự tương quan giữa chúng. Sẽ có thời điểm tương quan rất lớn. Nói cách khác, hàm tự tương quan dạng tam giác hình 1.6d và phương trình (1.37) sẽ dốc dần theo . Nhưng nếu tín hiệu di chuyển rất nhanh (độ rộng băng thông lớn) thì hàm tự tương quan có đồ thị rất dốc. Vì vậy, từ hình dạng đồ thị của hàm tự tương quan cho biết về độ rộng băng tần của tín hiệu. Từ hàm tự tương quan ta tính được mật độ phổ công suất và ngược lại vì chúng là cặp biến đổi Fourier. Trong trường hợp này ta có (1.38) với (1.39) Hình 1.6e minh họa dạng mật độ phổ công suất PSD GX(f). Chú ý rằng vùng diện tích được bao bởi PSD là công suất trung bình của tín hiệu. Ta thường xác định độ rộng băng thông của tín hiệu là độ rộng của búp phổ chính. Hình 1.6e minh họa mối quan hệ mật thiết giữa độ rộng băng tần của tín hiệu với khoảng thời gian ký hiệu hay hoặc độ rộng xung. Hình 1.6f-j tương tự như hình 1.6a-e, nhưng cho trường hợp độ rộng xung hẹp (tốc độ bit cao). Cần chú ý: (i) khi độ rộng xung hẹp thì RX() sẽ hẹp (hình 1.6i) tương ứng với PSD rộng, ngược lại khi độ rộng xung rộng thì RX() rộng (hình 1.6d) tương ứng với PSD hẹp; (ii) tham số quét , khi lớn hơn độ rộng xung thì RX()=0, khi này không có sự tương quan giữa chúng; (iii) độ rộng băng tần của tín hiệu hình 16j lớn hơn so với hình 16e. 1.5.5. Tạp âm trong hệ thống truyền thông Tập âm là tín hiệu điện không mong muốn luôn xuất hiện ở các hệ thống điện. Sự xuất hiện của tạp âm chồng lấn lên tín hiệu xu hướng che khuất tín hiệu, làm hạn chế khả năng quyết định ký hiệu chính xác (lỗi quyết định) cũng như hạn chế tốc độ truyền tin. Hai loại tạp âm là tạp âm do nhân tạo và tạp âm tự nhiên trong đó tạp âm do: (i) con người như đánh tia lửa điện, chuyển mạch, phát xạ tín hiệu điện từ; (ii) tự nhiên như khí quyển, mặt trời, phát xạ ngân hà. Thiết kế hệ thống tốt có thể khử được tạp âm cũng như ảnh hưởng của nó bằng cách lọc, chọn phương pháp điều chế, máy thu tối ưu. Ví dụ, đánh giá ảnh hưởng của vũ trụ được thực hiện tại các vị trí rất ra, con người khó kiểm soát được. Tuy nhiên, tồn tại nguồn tự tạp âm nhiên được gọi là tạp âm nhiệt (tạp âm Johnson) không thể khử được. Tạp âm nhiệt do chuyển động nhiệt trong mọi thành tiêu thụ như điện trở, cáp, ... Ta có thể mô tả tạp âm nhiệt như là quá trình ngẫu nhiên Gaussian trung bình không. Quá trình Gaussian n(t) là một hàm ngẫu nhiên có giá trị n tại thời điểm t được đặc trưng thống kê bởi hàm mật độ xác suất phân bố Gaussian là trong đó là phương sai của n, chuẩn hóa hàm mật độ Gaussian của quá trình trung bình không bằng cách cho phương sai , được minh họa ở hình 1.7 Ta thường biểu diễn tín hiệu ngẫu nhiên gồm tổng của biến ngẫu nhiên tạp âm Gaussian và tín hiệu một chiều dc, nghĩa là Hàm mật độ xác suất pdf của z được là (1.41) trong đó là phương sai của n. Phân bố Gaussian thường dùng để mô hình hóa tập âm hệ thống bởi vì theo định lý giới hạn trung tâm, định lý đó phát biểu như sau: trong điều kiện rất tổng quát thì phân bố xác suất của tổng j biến ngẫu nhiên độc lập thống kê tiến đến phân bố Gaussian khi , các hàm phân bố thành phần có thể là phân bố Gaussian hoặc bất kỳ. Vì vậy, thậm trí các cơ chế tạp âm riêng có thể khác với phân bố Gaussian, nhưng kết hợp chúng lại sẽ có xu hướng tiến đến phân bố Gaussian. Hình 1.7. Hàm mật độ xác suất Gaussian chuẩn hóa () 1.5.5.1 Tập âm trắng Các đặc tính phổ cơ bản của tạp âm nhiệt là mật độ phổ công suất, nó bằng nhau ở mọi thành phần tố được xét trong hầu hết các hệ thống truyền thông, nói cách khác nguồn tạp âm nhiệt phát ra một lượng công suất bằng nhau trên đơn vị độ rộng băng tần tại tất cả các tần số từ một chiều (f=0) đến 1012 Hz . Vì vậy, mô hình đơn giản cho tạp âm nhiệt là coi mật độ phổ công suất Gn(f) là phẳng với mọi tần số như được minh họa ở hình 1.8a và được ký hiệu là w/Hz (1.42) trong đó hệ số để chỉ Gn(f) là mật độ phổ công suất hai phía (tần số dương và tần số âm). Khi công suất tạp âm có mật độ phổ đồng đều, ta coi nó là tạp âm trắng. Tính chất “trắng “ có cùng nghĩa với ánh sáng trắng. Hàm tự tương quan của tạp âm trắng là biến đổi Fourier ngược của mật độ phổ công suất tạp âm, được ký hiệu là (1.43) Vì vậy, hàm tự tương quan của tạp âm trắng là hàm delta được đánh trọng số No/2 và được định vị tại (hình 1.8b). Chú ý rằng hàm Rn() bằng không tại , nghĩa là hai mẫu tạp âm trắng bấy kỳ không tương quan nhau. Công suất trung bình của tạp âm trắng là vô hạn vì, độ rộng băng tần của nó là vô hạn, được rõ bằng cách kết hợp phương trình (1.19) và (1.42) ta có (1.44) Hình 1.8. Mật độ phổ công suất (a) và hàm tự tương quan của tạp âm trắng (b) Mặc dù tạp âm trắng là khái niệm trừu tượng hữu dụng, nhưng thực sự không tồn tại quá trình tạp âm là trắng; nhưng tạp âm gặp phải trong nhiều hệ thống thực được lấy xấp xỉ là trắng. Ta chỉ quan sát tạp âm sau sau khi nó đi qua hệ thống thực tế (hệ thống có độ rộng băng tần hữu hạn). Như vậy, trong một chừng mực nhất định độ rộng băng tần của tạp âm lớn hơn đáng kể so với độ rộng băng tần của hệ thống, ta coi có độ rộng băng tần vô hạn. Hàm delta trong (1.43) thể hiện tín hiệu tạp âm n(t) hoàn toàn không tương quan với phiên bản dịch thời của nó với >0. Phương trình (1.43) cho thấy rằng bất kỳ hai mẫu của quá trình tạp âm trắng nào đều không tương quan nhau và các mẫu tạp âm này cũng độc lập nhau (với quá trình Gaussian, không tương quan thì cũng độc lập). Vì vậy, ảnh hưởng của quá trình tách tín hiệu trong kênh tạp âm Gaussian trắng cộng AWGN có nghĩa là tạp âm tác động lên mỗi ký hiệu phát một cách độc lập, thuộc loại kênh không nhớ. Từ “cộng” nghĩa là tập âm chỉ xếp chồng hay cộng vào tín hiệu (co chế cộng) chứ không phải là nhân. Vì tập âm nhiệt xuất hiện ở mọi hệ thống truyền thông và là nguồn tạp âm nổi trội đối với hầu hết các hệ thống, nên các đặc tính tạp âm nhiệt: toán tử cộng, phổ trắng, phân bố Gaussian thường được dùng để mô hình hóa tạp âm trong các hệ thống truyền thông. Vì tạp âm Gaussian trung bình không được đặc trưng hoàn toàn bởi phương sai của nó, nên mô hình này đặc đặc biệt đơn giản dùng trong tách tín hiệu và thiết kế máy thu tối ưu. 1.6 Truyền dẫn tín hiệu qua hệ thống tuyến tính Xét đặc tính của hệ thống và các ảnh hưởng của nó lên lên tín hiệu và tập âm. Vì có thể đặc tính hóa hệ thống một cách tường minh trong miền thời gian và tần số, nên các kỹ thuật được triển khai là phân tích đáp ứng của hệ thống tuyến tính lên tín hiệu bất kỳ. Xét trong miền thời gian ta tín hiệu vào x(t), đáp ứng ra là y(t), và đáp ứng xung kim h(t). Tương ứng trong miền tần số, đầu vào X(f), đáp ứng ra Y(f), hàm truyền đạt H(f). Giả sử hệ thống là tuyến tính bất biến và không có năng lượng được lưu trữ tại thời điểm đưa tín hiệu vào. Hình 1.9: Hệ thống tuyến tính và các thông số quan trọng 1.6.1 Đáp ứng xung kim Hệ thống tuyến tính bất biến LTIV được minh họa ở hình 1.9, được đặc trưng trong miền thời gian bởi đáp ứng xung kim h(t), là đáp ứng ra khi tín hiệu vào là xung kim đơn vị (1.45) Đặc tính hóa hệ thống tuyến tính ở dạng đáp ứng xung kim của nó là rất dễ hiểu. Tại đầu vào của hệ thống, ta đặt một xung kim đơn vị (một tín hiệu không có thực, có biên độ vô cùng, độ rộng bằng 0, và diện tích đơn vị) được minh họa ở hình 1.10a. Việc đặt xung đơn vị vào hệ thống có thể xem như cho hệ thống một cú “whack”. Khi đó đáp ứng ra h(t) là đáp ứng xung kim của hệ thống. (được mô tả trong hình 1.10b.) Đáp ứng ra của hệ thống với tín hiệu vào bất kì x(t) được tính bởi tích chập (1.46) trong đó * là phép tích chập (Xem phần A.5.). Giả thiết rằng hệ thống là nhân quả, tức là không có đầu ra trước thời điểm t=0, khi đưa tín hiệu đầu. Do đó, cận dưới của tích phân chuyển thành 0. Đầy ra y(t) được viết ở một trong hai dạng sau (1.47a) Hoặc (1.47b) Hình 1.10 (a)Tín hiệu vào x(t) là hàm xung kim đơn vị. (b) Tín hiệu ra y(t) là đáp ứng xung của hệ thống h(t). 1.6.2 Hàm truyền đạt tần số Tín hiệu đầu ra trong miền tần số Y(f) là biến đổi Fourier lên (1.46), ta có (1.48) (1.49) tất nhiên X(f)0 với mọi tần sồ f, H(f)=F{h(f)}, biến đổi Fourier của hàm đáp ứng xung, được gọi là hàm truyền đạt tần số hay đáp ứng tần số của hệ thống. H(f) là một số phức và được viết ở dạng (1.50) trong đó là đáp ứng biên độ. Đáp ứng pha được định nghĩa là (1.51) Hàm truyền đạt tần số của hệ thống tuyến tính bất biến dễ dàng đo được trong phòng thí nghiệm bằng cách dùng bộ tạo tín hiệu sin và dùng máy hiện sóng đo đầu ra. Khi dạng sóng đầu vào x(t) được biểu diễn dưới dạng x(t)=A cos(2f0t) thì đầu ra của hệ thống sẽ là: (1.52) Thay đổi tần số đầu vào f0 và đo biên độ và pha của tín hiệu ra bằng máy hiện sóng. Quá trình ngẫu nhiên và hệ thống tuyến tính Nếu đầu vào của hệ thống tuyến tính bất biến là một quá trình ngẫu nhiên, thì đầu ra cũng là một quá trình ngẫu nhiên, nghĩa là với mỗi hàm mẫu của quá trình đầu vào sinh ra một hàm mẫu của quá trình đầu ra. Quan hệ giữa mật độ phổ công suất đầu vào GX(f ) và mật độ phổ năng công suất GY(f ) như sau (1.53) Chương sau ta xét tách tín hiệu trong tạp âm Gaussian. Khi đó, ta dùng tính chất cơ bản của quá trình Gaussian và sẽ thấy rằng nếu quá trình Gauss X(t) được đưa vào bộ lọc tuyến tính bất biến thì nhận được quá trình ngẫu nhiên Y(t) ở đầu ra của bộ lọc cũng là quá trình Gauss.[6] 1.6.3 Truyền dẫn không méo tín hiệu Những yêu cầu để một hệ thống thực tế gần giống với lý tưởng là gì?. Tín hiệu đầu ra của đường truyền lý tưởng có một độ trễ nhất định so với tín hiệu đầu vào và có thể có biên độ khác đầu vào, tuy nhiên nó không bị méo so với tín hiệu ban đầu, tín hiệu ra phải có dạng giống với tín hiệu đầu vào. Vì vậy, với đường truyền không gây méo lý tưởng, ta có thể biểu diễn đầu ra ở dạng (1.54) với K và to là các hằng số. Biến đổi Fourier cả 2 vế ta được (1.55) Theo (1.49) hàm truyền đạt hệ thống là (1.56) Vì vậy, để đạt được hệ thống truyền dẫn không méo lý tưởng, hệ thống phải có đáp ứng biên độ là hằng số và đáp ứng pha pha là tuyến tính theo tần số (dịch pha của nó phải là tuyến tính theo tần số). Không hản là sự khuếch đại hay suy hao của hệ thống lên các mọi thành phần tần số của tín hiệu là như nhau. Mọi thành phần tần số của tín hiệu đều phải có thời gian trễ như nhau để cộng một cách chính xác. Vì thời gian trế t0 quan hệ với dịch pha và tần số góc theo công thức (1.57a) rõ ràng, dịch pha phải tỉ lệ với tần số để thời gian trế của mọi thành phần tần số là như nhau. Đại lượng được sử dụng để đánh giá méo pha (méo do trễ) của tín hiệu được gọi là trễ nhóm hay trễ đường bao, được định nghĩa như sau: (1.57b) Vì vậy, để truyền dẫn không méo, pha phải tuyến tính theo tần số để đặc tính hóa trễ đường bao là không đổi. Thực tế, thì tín hiệu sẽ bị méo khi qua các phần tử của hệ thống, cần có các bộ cân bằng hoặc hiệu chỉnh để hiệu chỉnh méo, đặc tính vào ra tổng thể của hệ thống xác định hiệu năng của nó. 1.6.3.1 Bộ lọc lý tưởng Không thể xây dựng được bộ lọc lý tưởng được mô tả bởi (1.56) bởi vì. (1.56) kéo theo độ rộng băng tần vô hạn, trong khi độ rộng băng tần của hệ thống được xác định là khoảng tần số dương trên đó độ lớn của hàm truyền đạt của hệ thống không đổi trong một giá trị cụ thể. Phần 1.7, liệt kê các phép đo độ rộng băng tần. Để đạt được một mạng gần như lý tưởng, ta chọn một mạng cắt xét qua đó truyền tín hiệu không bị méo trên khoảng đến, ( là tần số cắt dưới và là tần số cắt trên), được thể hiện ở hình 1.11, được gọi là bộ lọc lý tưởng. Ngoài khoảng tần số đến hay là dải thông này, thì độ lớn của hàm truyền đạt bằng 0. Ta có băng thông của bộ lọc Hz. Bộ lọc thông dải BPF (bandpass filter): khi và (hình 1.11a.) Bộ lọc thông thấp LPF (low-pass filter): Khi và có giá trị hữu hạn (hình 1.11b) Bộ lọc thông cao HPF (high-pass filter): Khi và (hình 11.c) Theo (1.56) và cho K=1, bộ lọc thông thấp lý tưởng có độ rộng băng tần là Hz, (hình 1.11b), hàm truyền đạt được viết là (1.58) trong đó (1.59) (1.60) Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng, được minh hoạ ở hình 1.12 là (1.61) (1.62) Hình 1.11: Hàm truyền đạt của bộ lọc lý tưởng. (a) Lọc thông dải lý tưởng (b) Lọc thông thấp lý tưởng (c) Lọc thông cao lý tưởng Hình 1.12 Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng trong đó hàm được định nghĩa bởi (1.39). Đáp ứng xung kim ở hình 1.12 là không nhân quả, nghĩa nó có đầu đầu ra sẽ khác không trước khi đưa tín hiệu vào tại điểm t = 0. Vì vậy có thể hiểu là bộlọc lí tưởng được miêu tả bởi (1.58) là không khả thực. Ví dụ 1.2: Ảnh hưởng của bộ lọc lý tưởng lên tạp âm trắng (white noise) Cho tập âm trắng có mật độ phổ công suất (hình 1.8a) qua bộ lọc thông thấp lý tưởng (hình 1.11b). Tìm mật độ phổ công suất và hàm tự tương quan của tín hiệu ra. Giải: Hàm tự tương quan là biến đổi Fourier ngược lên hàm mật độ phổ công suất là. So sánh kết quả trên với công thức (1.62), ta thấy rằng hàm tự tương quan có dạng giống với đáp ứng xung kim của bộ lọc thông thấp lý tưởng (hình 1.12). Trong ví dụ này, bộ lọc thông thấp lý tưởng biến đổi hàm hàm tự tương quan của tạp âm trắng (được định nghĩa bởi hàm delta) thành hàm sinc. Sau khi lọc, chúng ta không còn tập âm trắng (phổ hữu hạn). Tạp âm đầu ra sẽ không tương quan với các trễ của nó tại các thời điểm dịch . 1.6.3.2 Bộ lọc thực tế Bộ lọc thông thấp đơn giản nhất là bộ lọc RC hình 1.13a có hàm truyền đạt là (1.63) với Các đặc tính biên độ và pha được cho ở hình 1.13b và 1.13c. Độ rộng băng thông của bộ lọc thông thấp được xác định tại điểm nửa công suất, tại tần số ứng với công suất tín hiệu ra bằng ½ công suất đỉnh của nó, hay là điểm mà tại đó biên độ tín hiệu ra bằng biên độ đỉnh. Điểm nửa công suất thường được biểu diễn theo vị dB là điểm -3 dB. Với đơn vị dB được định nghĩa là tỉ số công suất tại 2 điểm. (1.64a) trong đó V1 và V2 là các điện áp và R1&R2 là các điện trở. Trong phân tích các hệ thống truyền thông, thường dùng công suất chuẩn hoá, khi này R1=R2= 1 , do đó (1.64b) Đáp ứng biên độ của hàm truyền đạt tính theo dB là (1.64c) với V1,V2 là điện áp đầu vào và điện áp đầu ra, và giả sử là điện trở vào và điện trở ra bằng nhau. Từ (1.63), dễ dàng thấy được điểm nửa công suất của bộ lọc thông thấp RC tương ứng với tần số góc là (rad/giây) hay tần số Hz. Do đó độ rộng băng tần Hz. Hệ số định dạng của bộ lọc (shape factor) là đại lượng đo sự lấy xấp xỉ lí tưởng của bộ lọc thực tế, thường được xác định là tỉ số độ rộng băng thông tại các điểm đáp ứng biên độ -60dB và -6dB (giảm 60dB và 6dB). Tồn tại nhiều bộ lọc xấp xỉ hữu dụng có đặc tuyến xấp xỉ đặc tuyến của bộ lọc thông thấp lý tưởng, điển hình là bộ Butterworth, xấp xỉ mạch lọc thông thấp lý tưởng với đáp ứng biên độ là (1.65) với fu là tần số cắt tương ứng với vị trí biên độ giảm 3dB và n là bậc của bộ lọc. Bộ lọc bậc càng cao, độ phức tạp và giá thành càng cao. Hình 1.14 minh họa ảnh hưởng của n lên đáp ứng biên độ một phía của bộ lọc, cho thấy khi n càng lớn, đặc tuyến truyền đạt càng gần với bộ lọc lý tưởng. Hình 1.13. Bộ lọc RC và hàm truyền đạt của nó: (a) Bộ lọc RC; (b) Đặc tính biên độ; (c) Đặc tính pha Ví dụ 1.3: Hiệu quả của bộ lọc RC đối với tạp âm trắng: Cho tín hiệu tạp âm trắng có mật độ phổ công suất (hình 1.8a) qua bộ lọc RC (hình 1.13a). Tìm mật độ phổ công suất và hàm tự tương quan của tín hiệu ra. Giải: Sử dụng bảng A.1, ta tìm được biến đổi Fourier ngược của hàm GY(f) là Đúng như chúng ta đã dự đoán, sau khi lọc không còn là tạp âm trắng. Bộ lọc RC biến đổi hàm tự tương quan của tạp âm trắng đầu vào (được xác định bởi hàm delra) thành hàm mũ. Hình 1.14. Đáp ứng biên độ của bộ lọc Butterworth 1.6.4 Tín hiệu, mạch điện và phổ tín hiệu Tín hiệu được thể hiện dưới dạng phổ của chúng. Tương tự, hệ thống hay các mạch sẽ được biểu diễn ở dạng các đặc tính phổ hay các hàm truyền đạt. Khi cho tín hiệu qua mạch lọc, thì độ rộng băng tần của nó bị ảnh hưởng như thế nào?. Hình 1.15 minh họa 2 khả năng có thể xảy ra. Ở trường hợp 1 (hình 1.15a), tín hiệu đầu vào có mật độ phổ băng hẹp, và hàm truyền đạt của bộ lọc là hàm truyền đạt băng rộng. Từ (1.48), ta thấy phổ của tín hiệu ra đơn thuàn chỉ là là tích của 2 phổ thành phần. Từ hình 1.15a ta có thể kiểm chứng bằng cách nhân 2 hàm phổ thành phần sẽ nhận được phổ ra có độ rộng dải tần xấp xỉ với dải tần nhỏ hơn trong 2 dải tần thành phần (khi một trong hai hàm phổ tiến tới không, kết quả sẽ là 0). Vì vậy, với trường hợp này, phổ của tín hiệu ra bị ràng buộc bởi phổ của tín hiệu đầu vào. Tương tự, ta thấy rằng với trường hợp thứ 2 (hình 1.15b), tín hiệu băng rộng được đưa vào nhưng bộ lọc lại có hàm truyền đạt băng hẹp, khi này, độ rộng băng tần (dải tần) của tín hiệu ra sẽ phụ thuộc vào dải tần của bộ lọc, bộ lọc làm biến dạng tín hiệu vào hiệu vào. Hình 1.15. Phổ của tín hiệu vào và ảnh hưởng của bộ lọc lên nó: (a) độ rộng băng tần đầu ra bị ràng buộc bởi độ rộng băng tần tín hiệu đầu vào; (b) độ rộng băng tần đầu ra bị ràng buộc bởi độ rộng băng tần bộ lọc. Xem xét ảnh hưởng của bộ lọc lên dạng sóng trong miền thời gian. Tín hiệu ra y(t) là kết quả của tích chập tín hiệu xung đầu vào lý tưởng x(t) (có biên độ là Vm và độ rộng xung T) với đáp ứng xung kim của bộ lọc thông thấp RC trong đó ta định nghĩa độ rộng băng tần của xung và độ rộng băng tần bộ lọc RC là (1.68) (1.69) Xung vào lý tưởng x(t) và phổ biên độ của nó |X(f)| được cho ở hình 1.16. Bộ lọc RC và đáp ứng biên độ tần số của nó |H(f)| được cho ở hình 1.13a và 1.13b. Theo các phương trình (1.66) đến (1.69), 3 trường hợp được minh họa trong hình 1.17: (i) trường hợp Wp> Wf, khi này trình bày rằng xung có thể nhận thấy ngay từ y(t). Hình 1.16 (a) Xung lý tưởng (b)Phổ biên độ của xung lý tưởng Hình 1.17 Ba ví dụ lọc một xung lý tưởng. (a) Ví dụ 1: Đầu ra có độ chính xác cao. (b) Ví dụ 2: Đầu ra với sự nhận biết dễ dàng. (c) Ví dụ 3: Đầu ra khó nhận biết. 1.7. Độ rộng băng thông của dữ liệu Số 1.7.1. Băng tần cơ sở và băng thông (baseband & bandpass) Dễ dàng chuyển ảnh phổ của tín hiệu thông thấp hoặc tín hiệu ở băng tần tần cơ sở x(t) lên vùng tần số cao bằng cách nhân tín hiệu băng tần cơ sở với sóng mang (hình 1.18) kết quả là sóng có xc(t), được gọi là tín hiệu điều chế hai băng DSB (double sideband modulated signal). (1.70) trong miền tần số là (1.7.1). Phổ biên độ |X(f)| của tín hiệu băng tần cơ sở (baseband signal) x(t) có độ rộng băng thông fm và phổ biên độ |Xc(f)| của tín hiệu DSB xc(t) có độ rộng băng thông WDSB được thể hiện tương ứng trên hình 1.18 b và 1.18c. Hình 1.18 So sánh phổ của tín hiệu băng tần cơ sở và phổ tín hiệu DSB (a) sơ đồ hay bộ tạo phách; (b) Phổ của tín hiệu băng tần cơ sở; (c) Phổ của tín hiệu điều chế hai băng DSB Khi vẽ phổ của |Xc(f)|, các thành phần phổ tương ứng với tần số băng tần cơ sở dương được thể hiện trên khoảng fc đến (fc + fm), được gọi là băng trên (USB-upper sideband ). Các thành phần phổ tương ứng với tần số băng cơ sở âm được thể hiện trong phạm vi từ (fc - fm) đến fc được gọi là băng dưới (LSB-lower sideband). Ảnh (gương) của phổ USB và LSB xuất hiện ở nửa tần số âm. Sóng mang thường được gọi là tín hiệu dao động nội (LO) tín hiệu trộn hay tín hiệu phách. Nói chung, tần số sóng mang phải lớn hơn rất nhiều độ rộng băng tần của tín hiệu băng tần cơ sở, nghĩa là fc >> fm . Hình 1.18 so sánh độ rộng băng tần cần thiết fm để phát tín hiệu băng tần cơ sở so với độ rộng băng tần cần thiết WDSB để phát tín hiệu điều chế hai băng DSB là WDSB = 2fm. (1.7.2). 1.7.2. Vấn đề về độ rộng băng tần Nhiều định lý về lý thuyết thông tin và truyền thông quan trọng dựa trên giả thiết là kênh được giới hạn băng chặt, nghĩa là ngoài băng tần được phép thì không có công suất. Tuy nhiên, ta phải phó với tình huống là tín hiệu được giới hạn băng chặt, như phổ |X1(f)| được vẽ ở hình 1.19b là không thực hiện được vì trong miền thời gian tín hiệu này kéo dài vô tận (hình 1.19a). Cũng vậy tín hiệu x2(t) được giới hạn chặt trong miền thời gian (hình 1.19c) thì phổ của nó |X2(f)| lại vô hạn. Tóm lại, khi phổ bị giới hạn chặt, thì dạng sóng là không thực hiện được, ngược lại khi dạng sóng thực hiện được ( được giới hạn chặt) thì độ rộng băng tần của nó là vô hạn. Biểu diễn toán học cho tín hiệu thực không cho phép tín hiệu được giới hạn chặt thời gian tồn tại và giới hạn chặt độ rộng băng tần. Do đó mô hình toán học là mô hình trừu tượng nên ta không đưa ra được định nghĩa độ rộng băng thông chung. Hình 1.19 (a) tín hiệu được giới hạn băng tần chặt trong miền thời gian; (b) trong miền tần số (c) tín hiệu được giới hạn chặt về thời gian trong miền thời gian; (d) trong miền tần số Mọi tiêu chuẩn về độ rộng băng tần đều có hướng chung là cố gắng xác đinh phép đo về độ rộng W của mật độ phổ giá trị thực không âm cho mọi tần số . Hình 1.20 minh họa một số định nghĩa phổ biến nhất về độ rộng băng tần. Mật độ phổ công suất một phía của một xung phách xc(t) có dạng (1.73) trong đó: fc là tần số sóng mang; T là độ rộng xung. Mật độ phổ công suất này có dạng như trên hình 1.20, cũng đặc trưng cho chuỗi xung ngẫu nhiên, với giả thiết lấy trung bình thời gian là tương đối dài so với khoảng thời gian của xung. Đồ thị của mật độ phổ công suất gồm có 1 búp phổ chính và nhiều búp phổ phụ đối xứng với nhau qua búp sóng chính. Dạng tổng quát của nó là hợp lệ cho hầu hết các khuôn dạng điều chế số, tuy nhiên một số khuôn dạng không có búp phổ rõ ràng. Các tiêu chuẩn về độ rộng băng thông được mô tả trong hình 1.20 bao gồm: