Phân tích và thiết kế thuật toán - Bài 5: Chia để trị (tiếp)

2/2/2017 1 Phân tích và Thiết kế THUẬT TOÁN Hà Đại Dương duonghd@mta.edu.vn Web: fit.mta.edu.vn/~duonghd Bài 5 - Chia để trị (tiếp) PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ THUẬ TOÁN NỘI DUNG I. Giới thiệu II. Lược đồ chung III. Bài toán áp dụng IV. Bài tập 2/2/2017 2 III. Bài toán áp dụng 5. Nhân số nguyên (lớn)  Bài toán: Nhân 2 số nguyên (lớn) x, y có n chữ số Quá quen: Đến mức không cần phải thắc mắc về tính tối ưu của nó  Cách thức vẫn làm (quá quen): Độ phức tạp O(n2) 0121 ... xxxxx nn  0121 ... yyyyy nn  012212 ...* zzzzyxz nn  III. Bài toán áp dụng 5. Nhân số nguyên (lớn)  Ý tưởng: Chia để trị Đặt Khi đó Và 2/21 ... nnn xxxa  02)2/(1)2/( ...xxxb nn  2/21 ... nnn yyyc  02)2/(1)2/( ...yyyd nn  bax n  2/10* dcy n  2/10* /2 /2 /2 * ( *10 )( *10 ) ( * )*10 ( * * )*10 ( * ) n n n n z x y a b c d a c a d b c b d         III. Bài toán áp dụng 5. Nhân số nguyên (lớn)  Ý tưởng: Chia để trị x,y: có độ dài bằng nhau và độ dài có dạng 2m, nếu Có 1 chữ số: làm trực tiếp Có n chữ số: Tích của nó có thể biểu diễn qua tích của 4 số nguyên có độ dài n/2 chữ số (và các phép cộng, dịch phải) /2( * )*10 ( * * )*10 ( * )n nz a c a d b c b d    2/2/2017 3 III. Bài toán áp dụng 5. Nhân số nguyên (lớn)  Ý tưởng: Chia để trị Gọi T(n) là thời gian thực hiện phép nhân 2 số nguyên có độ dài n thì T(n)=4T(n/2)+O(n) (O(n) là thời gian thực hiện các phép cộng và dịch phải) Giải công thức truy hồi trên ta được T(n) = O(n2) /2( * )*10 ( * * )*10 ( * )n nz a c a d b c b d    Chưa nhanh hơn nếu không chia để trị III. Bài toán áp dụng 5. Nhân số nguyên (lớn)  Ý tưởng: Năm 1962 nhà toán học người Nga Anatoly Alexeevitch Karatsuba (Karatsuba) đã tối ưu thời gian thực hiện phép nhận 2 số nguyên có n chữ số như sau: Khi đó T(n) = 3T(n/2)+O(n) Giải phương trình đệ qui ta được T(n) = O(nlog23)  O(n1.585) III. Bài toán áp dụng 5. Nhân số nguyên (lớn)  Thuật toán: Karatsuba Karatsuba(x, y, n); { If n == 1 Return x*y Else { a = x[n-1]. . . x[n/2]; b = x[n/2-1] . . . x[0]; c = y[n-1]. . . y[n/2]; d = y[n/2-1] . . . y[0]; U = Karatsuba(a, c, n/2); V = Karasuba(b, d, n/2); W = Karatsuba(a+b, c+d, n/2); Return U*10n + (W-U-V)*10n/2 + V } } 2/2/2017 4 III. Bài toán áp dụng 6. Nhân ma trận III. Bài toán áp dụng 6. Nhân ma trận III. Bài toán áp dụng 6. Nhân ma trận 2/2/2017 5 III. Bài toán áp dụng 6. Nhân ma trận III. Bài toán áp dụng 6. Nhân ma trận III. Bài toán áp dụng 7. Dãy con lớn nhất  Bài toán:  Cho mảng A[1..n].  Mảng A[p..q] được gọi là mảng con của A, trọng lượng mảng bằng tổng giá trị các phần tử.  Tìm mảng con có trọng lượng lớn nhất (1<= p <= q <= n)  Để đơn giản ta chỉ xét bài toán tìm trọng lượng của mảng con lớn nhất còn việc tìm vị trí thì chỉ là thêm vào bước lưu lại vị trí trong thuật toán 2/2/2017 6 III. Bài toán áp dụng 7. Dãy con lớn nhất  Tiếp cận trực tiếp: có thể dễ dàng đưa ra thuật toán tìm kiếm trực tiếp bằng cách duyệt hết các dãy con có thể của mảng A như sau  Độ phức tạp: O(n3)  Tối ưu thuật toán: loại bỏ vòng lặp 3, độ phức tạp O(n2) void BruteForceNaice; { Max1 = -MaxInt; for (i = 1; i<= n; i++) // i là điểm bắt đầu của dãy con for( j =i; j<= n; j++) // j là điểm kết thúc của dãy con { s= 0; for ( k = i; k<= j; k++) // Tính trọng lượng của dãy s = s + A[k] if (s > Max1) Max1 = S } } III. Bài toán áp dụng 7. Dãy con lớn nhất  Chia: Chia mảng A ra thành hai mảng con với chênh lệch độ dài ít nhất, kí hiệu là AL , AR  Trị: Tính mảng con lớn nhất của mỗi nửa mảng A một cách đệ quy. Gọi WL, WR là trọng lượng của mảng con lớn nhất trong AL, AR  Tổng hợp: Max (WL, WR). WM = WML + WMR III. Bài toán áp dụng 7. Dãy con lớn nhất  Cài đặt void MaxSubVector(A, i, j); { If ( i == j) return a[i] Else { m = (i + j)/2; WL = MaxSubVector(a, i, m); WR = MaxSubVector(a, m+1, j); WM = MaxLeftVetor(a, i, m) + MaxRightVector(a, m+1, j); Return Max(WL, WR, WM ) } } 2/2/2017 7 III. Bài toán áp dụng 7. Dãy con lớn nhất  Cài đặt  Hàm MaxLeftVector void MaxSubVector(A, i, j); { If ( i == j) return a[i] Else { m = (i + j)/2; WL = MaxSubVector(a, i, m); WR = MaxSubVector(a, m+1, j); WM = MaxLeftVetor(a, i, m) + MaxRightVector(a, m+1, j); Return Max(WL, WR, WM ) } } void MaxLeftVector(a, i, j); { MaxSum = -Maxint ; Sum = 0; for( k = j;k>= i;k--) { Sum = Sum + A[k]; MaxSum = Max(Sum,MaxSum); } Return MaxSum; } III. Bài toán áp dụng 7. Dãy con lớn nhất  Cài đặt  Hàm MaxLeftVector  Hàm MaxRightVector void MaxSubVector(A, i, j); { If ( i == j) return a[i] Else { m = (i + j)/2; WL = MaxSubVector(a, i, m); WR = MaxSubVector(a, m+1, j); WM = MaxLeftVetor(a, i, m) + MaxRightVector(a, m+1, j); Return Max(WL, WR, WM ) } } void MaxRightVector(a, i, j); { MaxSum = -Maxint ; Sum = 0; for( k = i;k<= j;k++) { Sum = Sum + A[k]; MaxSum = Max(Sum,MaxSum); } Return MaxSum; } III. Bài toán áp dụng 7. Dãy con lớn nhất  Độ phức tạp: O(nlogn) void MaxSubVector(A, i, j); { If ( i == j) return a[i] Else { m = (i + j)/2; WL = MaxSubVector(a, i, m); WR = MaxSubVector(a, m+1, j); WM = MaxLeftVetor(a, i, m) + MaxRightVector(a, m+1, j); Return Max(WL, WR, WM ) } } 2/2/2017 8 III. Bài toán áp dụng 8. Tính lũy thừa  Bài toán: Tính an với a, n là các số nguyên và n không âm.  Tiếp cận trực tiếp:  Thuật toán tính an được thực hiện bằng phương pháp lặp như sau int expose(a,n) { int result = 1; for (int i = 1; i <= n; ++i) result *= a; } III. Bài toán áp dụng 8. Tính lũy thừa  Bài toán: Tính an với a, n là các số nguyên và n không âm.  Tiếp cận trực tiếp:  Thuật toán tính an được thực hiện bằng phương pháp lặp như sau  Độ phức tạp: O(n) int expose(a,n) { int result = 1; for (int i = 0; i <= n; ++i) result *= a; } III. Bài toán áp dụng 8. Tính lũy thừa  Tiếp cận chia để trị /22 /22 1 , 0 ( ) , %2 0 ( ) , %2 0 nn n n a a n a a n             2/2/2017 9 III. Bài toán áp dụng 8. Tính lũy thừa  Tiếp cận chia để trị /22 /22 1 , 0 ( ) , %2 0 ( ) , %2 0 nn n n a a n a a n             • Thí dụ: a32 = ((((a2)2)2)2)2 chỉ bao hàm 5 phép nhân. • a31 = ((((a2)a)2a)2a)2a chỉ bao hàm 8 phép nhân. • Từ phân tích trên đưa ra ý tưởng cho thuật toán sau: (1) int power(int a, int n) (2) { if (n = 0) (3) return 1; (4) else if (n %2 == 0) (5) return power(a*a,n/2) // n chẵn (6) else (7) return a*power(a*a,n/2) //n lẽ (8) } III. Bài toán áp dụng 8. Tính lũy thừa  Tiếp cận chia để trị  Độ phức tạp: O(log n) • Thí dụ: a32 = ((((a2)2)2)2)2 chỉ bao hàm 5 phép nhân. • a31 = ((((a2)a)2a)2a)2a chỉ bao hàm 8 phép nhân. • Từ phân tích trên đưa ra ý tưởng cho thuật toán sau: (1) int power(int a, int n) (2) { if (n = 0) (3) return 1; (4) else if (n %2 == 0) (5) return power(a*a,n/2) // n chẵn (6) else (7) return a*power(a*a,n/2) //n lẽ (8) } III. Bài toán áp dụng 9. Hoán đổi phần tử của mảng  Bài toán:  Cho mảng gồm n phần tử A[1..n].  Hãy chuyển m phần tử đầu của mảng về cuối mảng.  Không dùng mảng phụ 2/2/2017 10 III. Bài toán áp dụng 9. Hoán đổi phần tử của mảng  Ý tưởng: III. Bài toán áp dụng 9. Hoán đổi phần tử của mảng  Ví dụ: n=8, A=  Hoán đổi với m=3, (n-m = 8-3 = 5), vì m = 3 Hoán đổi m(3) pt đầu với cuối Được III. Bài toán áp dụng 9. Hoán đổi phần tử của mảng  Hoán đổi m (=3) của dãy A[1 – (n-m)] = A[1..5] Bài toán trở thành: Hoán đổi m= 3 phần tử của dãy n=5 phần tử.  Vì m = 3 > n-m = 2 nên Không xử lý đến 2/2/2017 11 III. Bài toán áp dụng 9. Hoán đổi phần tử của mảng Dãy kết quả Dãy ban đầu III. Bài toán áp dụng 9. Hoán đổi phần tử của mảng  Thuật toán IV. Bài tập Cho dãy A={-98,54,67, 65,-879,78,65,21,-6,67} 1. Hãy tìm dãy con có trọng số lớn nhất Cho mảng A={3, 5, 8, 9, 4, 2, 7, 5, 3,9,8} 2. Hãy hoán đổi 3 phần tử của dãy về cuối 3. Hãy hoán đổi 4 phần tử của dãy về cuối 4. Hãy hoán đổi 5 phần tử của dãy về cuối 5. Sửa lại thuật toán tìm dãy con lớn nhất để cho phép lưu lại chỉ số đầu, cuối của dãy con lớn nhất. 2/2/2017 12 IV. Bài tập 2. Cài đặt thuật toán nhân 2 số nguyên có n (chẵn) chữ số. Đánh giá độ phức tạp bằng thực nghiệm và so sánh với lý thuyết. 3. Cài đặt thuật toán nhân ma trận theo chiến lược chia để trị của Strassen. Đánh giá độ phức tạp bằng thực nghiệm và so sánh với lý thuyết 4. Cài đặt thuật toán tìm dãy con lớn nhất. Đánh giá độ phức tạp bằng thực nghiệm và so sánh với lý thuyết. 5. Cài đặt thuật toán tính lũy thừa. Đánh giá độ phức tạp bằng thực nghiệm và so sánh với lý thuyết. 6. Cài đặt thuật toán hoán đổi vị trí phần tử mảng. Đánh giá độ phức tạp bằng thực nghiệm và so sánh với lý thuyết. NỘI DUNG BÀI HỌC I. Giới thiệu II. Lược đồ chung III. Bài toán áp dụng IV. Bài tập