Khởi tạo: S = {s0}, L(s0) =0, L(v)= vV\S
Với vV\S:
Với sS:
Trong đó m(s,v) là độ dài đường đi từ s với v
• Vì chỉ có L(s*) với s* là đỉnh vừa duyệt xong ở bước
trước là có thay đổi về giá trị nên việc tính lại L(v) chỉ
có ý nghĩa với các đỉnh kề với s*
Với vV\S kề với s*:
2/2/2017 37
L(v) = min(L(v),L(s)+m(s,v))
L(v) = min(L(v),L(s*)+m(s*,v))
21 trang |
Chia sẻ: huyhoang44 | Lượt xem: 703 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Phân tích và thiết kế thuật toán - Lecture 6, 7: The greedy algorithms, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
2/2/2017
1
Lecture 6,7
The Greedy algorithms
Lecturer: Ha Dai Duong
duonghd@mta.edu.vn
Analysis and Design of Algorithms
2/2/2017 1
Nội dung
1. Lược đồ chung
2. Bài toán cái túi
3. Bài toán người du lịch
4. Đường đi ngắn nhất
5. Cây bao trùm nhỏ nhất
6. Bài toán tô màu
7. Bài toán các khoảng không giao nhau
2/2/2017 2
Nội dung
1. Lược đồ chung
2. Bài toán cái túi
3. Bài toán người du lịch
4. Đường đi ngắn nhất
5. Cây bao trùm nhỏ nhất
6. Bài toán tô màu
7. Bài toán các khoảng không giao nhau
2/2/2017 3
2/2/2017
2
Bài toán tối ưu
• PP Tham lam thường dùng cho các bài
toán tối ưu tổ hợp (tối ưu rời rạc)
• Bài toán tối ưu tổ hợp có dạng chung
min{f(x):xD}
Trong đó D tập hữu hạn các điểm rời rạc
nào đó thuộc không gian Rn
2/2/2017 4
Ví dụ
Máy ATM có 4 (m) loại tiền: 100.000, 50.000, 20.000,
10.000; một người muốn rút số tiền là n (n chia hết cho
10.000). Hãy tìm phương án trả tiền sao cho số tờ tiền
phải trả là ít nhất.
Gọi x=(x1,x2,x3,x4) là một phương án trả tiền; x1, x2,
x3, x4 là số tờ tiền phải trả tương ứng với các mệnh giá
100.000, 50.000, 20.000,10.000.
Theo bài ra ta cần giải:
min(f=x1+x2+x3+x4)
Với: điều kiện
- 100.000x1+50.000x2+20.000x3+10.000x4 = n
- xi>=0 (i=1..4)
2/2/2017 5
Giải quyết
• Với bài toán tối ưu tổ hợp
min{f(x):xD}
• Để tìm phương án tối ưu của bài toán trên
người ta có thể so sánh lần lượt giá trị của
f tại tất cả các phương án thuộc D; cách
này gọi là “duyệt vét cạn”.
• Khi số phần tử của D lớn (dù là hữu hạn)
thì việc duyệt vét cạn vẫn gặp nhiều khó
khăn.
2/2/2017 6
2/2/2017
3
PP Tham lam
• PP tham lam đưa ra quyết định dựa ngay vào
thông tin đang có, và trong tương lai sẽ
không xem xét lại tác động của các quyết
định trong quá khứ.
• Chính vì thế các thuật toán dạng này rất dễ
đề xuất, và thông thường chúng không đòi
hỏi nhiều thời gian tính.
• Tuy nhiên, các thuật toán dạng này thường
không cho kết quả tối ưu.
2/2/2017 7
Ý tưởng
• Xuất phát từ lời giải rỗng, thuật toán xây dựng
lời giải của bài toán theo từng bước, ở mỗi
bước sẽ chọn một phần tử từ tập ứng cử viên
và bổ sung vào lời giải hiện có.
• Hàm Solution(S) nhận biết tính chấp nhận được
của lời giải S.
• Hàm Select(C) chọn từ tập C ứng cử viên có
triển vọng nhất để bổ sung vào lời giải hiện có.
• Hàm Feasible(S+x) kiểm tra tính chấp nhận
được của lời giải bộ phận S+x.
2/2/2017 8
Lược đồ chung
2/2/2017 9
2/2/2017
4
Tính đúng đắn của kết quả
• Để chỉ ra thuật toán không đúng đắn chỉ
cần đưa ra một phản ví dụ (một bộ dữ liệu
mà đối với nó thuật toán không cho lời giải
đúng)
• Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán
khó hơn nhiều
2/2/2017 10
Nội dung
1. Lược đồ chung
2. Bài toán cái túi
3. Bài toán người du lịch
4. Đường đi ngắn nhất
5. Cây bao trùm nhỏ nhất
6. Bài toán tô màu
7. Bài toán các khoảng không giao nhau
2/2/2017 11
Bài toán
(Knapsack Problem)
• Có n đồ vật, đồ vật i có trọng lượng wi và
giá trị ci, i = 1, 2, ..., n.
• Tìm cách chất các đồ vật này vào cái túi
có trọng lượng là b sao cho tổng trọng
lượng của các đồ vật được chất vào túi là
không quá b, đồng thời tổng giá trị của
chúng là lớn nhất.
2/2/2017 12
2/2/2017
5
Khái quát
• Ký hiệu C = {1, 2, ..., n} tập chỉ số các đồ
vật.
• Bài toán đặt ra là Tìm I
⊂ C sao cho
với
2/2/2017 13
V =
Tham lam 1 (Greedy1)
• Ý tưởng (tham lam): Đồ vật có giá trị lớn
(nhất) còn lại được lấy trước (nếu có thể).
• Chi tiết:
– Sắp xếp các đồ vật theo thứ tự không tăng
của giá trị.
– Chọn đồ vật từ đầu đến cuối (từ có giá trị cao
đến có giá trị thấp hơn) nếu dung lượng còn
lại của túi đủ chứa nó.
2/2/2017 14
Ví dụ 1
• Số lượng đồ vật n = 3
• Trọng lượng và giá trị các đồ vật là:
• Trọng lượng cái túi b = 19
2/2/2017 15
Greedy1
I={1}
V = 20
Tối ưu
I*={2,3}
V* = 24
2/2/2017
6
Tham lam 2 (Greedy2)
• Ý tưởng (tham lam): Đồ vật có trọng
lượng nhỏ (nhất) còn lại được lấy trước
(nếu có thể).
• Chi tiết:
– Sắp xếp các đồ vật theo thứ tự không giảm
của trọng lượng.
– Chọn đồ vật từ đầu đến cuối (từ có trọng
lượng cao đến có trọng lượng thấp hơn) nếu
dung lượng còn lại của túi đủ chứa nó.
2/2/2017 16
• Số lượng đồ vật n = 3
• Trọng lượng và giá trị các đồ vật là:
• Trọng lượng cái túi b = 11
Ví dụ 2
2/2/2017 17
Greedy2
I={1,2}
V = 26
Tối ưu
I*={3}
V* = 28
Tham lam 3 (Greedy3)
• Ý tưởng (ít tham lam): Đồ vật có đơn giá
lớn (nhất) còn lại được lấy trước (nếu có
thể).
• Chi tiết:
– Sắp xếp các đồ vật theo thứ tự không tăng của
giá trị một đơn vị trọng lượng (cI/wI), nghĩa là.
– Chọn đồ vật từ đầu đến cuối ...
2/2/2017 18
2/2/2017
7
Ví dụ 3
• Trường hợp 1 (b=19) (V=24)
• Trường hợp 2 (b=11) (V=28)
2/2/2017 19
Nội dung
1. Lược đồ chung
2. Bài toán cái túi
3. Bài toán người du lịch
4. Đường đi ngắn nhất
5. Cây bao trùm nhỏ nhất
6. Bài toán tô màu
7. Bài toán các khoảng không giao nhau
2/2/2017 20
Bài toán
2/2/2017 21
2/2/2017
8
• Ý tưởng (tham lam): Chọn thành phố gần nhất
tình từ thành phố hiện thời.
• Tổ chức dữ liệu: Đồ thị G = (V,E), V – tập đỉnh
( T), E – Tập các cạnh (C). Mô tả đồ thị dạng
ma trận kề
Ý tưởng
2/2/2017 22
Minh họa
• TOUR: Danh sách cạnh của hành trình
• COST: Chi phí theo hành trình TOUR
• u: Đỉnh hiện tại
• w: Kề với u có chi phí thấp nhất
2/2/2017 23
Xuất phát từ 1
Với bài toán
Minh họa
2/2/2017 24
2
3
45
1
TOUR={}
COST=0
2/2/2017
9
Minh họa
2/2/2017 25
2
3
45
1
TOUR={(1,2)}
COST=1
Minh họa
2/2/2017 26
2
3
45
1
TOUR={(1,2), (2,5)}
COST=1+3
Minh họa
2/2/2017 27
2
3
45
1
TOUR={(1,2), (2,5), (5,3)}
COST=1+3+2
2/2/2017
10
Minh họa
2/2/2017 28
2
3
45
1
TOUR={(1,2), (2,5), (5,3), (3,4)}
COST=1+3+2+1
Minh họa
2/2/2017 29
2
3
45
1
TOUR={(1,2), (2,5), (5,3), (3,4)}
COST=1+3+2+1=7
Minh họa
• Trở về đỉnh đầu
2/2/2017 30
2
3
45
1
TOUR={(1,2), (2,5), (5,3), (3,4), (4,1)}
COST=1+3+2+1=7+7
2/2/2017
11
2/2/2017 31
2/2/2017 32
Độ phức tạp
2/2/2017 33
T(n) = O(n2)
2/2/2017
12
Nội dung
1. Lược đồ chung
2. Bài toán cái túi
3. Bài toán người du lịch
4. Đường đi ngắn nhất
5. Cây bao trùm nhỏ nhất
6. Bài toán tô màu
7. Bài toán các khoảng không giao nhau
2/2/2017 34
Bài toán
• Đồ thị G=(V,E)
– Đơn đồ thị liên thông (vô
hướng hoặc có hướng)
– Có trọng số.
– V: Tập đỉnh
– E: Tập cạnh
• Tìm đường đi ngắn nhất
từ s0V đến tất cả các
đỉnh còn lại.
2/2/2017 35
Thuật toán Dijkstra
• Ý tưởng (tham lam): Có đồ thị G=(V,E), s0.
– L(v): độ dài đường đi ngắn nhất từ s0 đến đỉnh v
(gọi là nhãn của v).
– Gọi S là tập đỉnh đã xét.
– Khởi tạo: S = {s0}, L(s0) =0, L(v)= vV\S
– Tại mỗi bước lặp:
• Cập nhập lại nhãn các đỉnh thuộc V\S (tập V trừ tập S)
• Tìm đỉnh thuộc tập V\S có nhãn nhỏ nhất (tham lam)
kề với S để đưa vào S.
2/2/2017 36
2/2/2017
13
Cập nhật nhãn L(v)
• Khởi tạo: S = {s0}, L(s0) =0, L(v)= vV\S
Với vV\S:
Với sS:
Trong đó m(s,v) là độ dài đường đi từ s với v
• Vì chỉ có L(s*) với s* là đỉnh vừa duyệt xong ở bước
trước là có thay đổi về giá trị nên việc tính lại L(v) chỉ
có ý nghĩa với các đỉnh kề với s*
Với vV\S kề với s*:
2/2/2017 37
L(v) = min(L(v),L(s)+m(s,v))
L(v) = min(L(v),L(s*)+m(s*,v))
Tìm đỉnh có nhãn nhỏ nhất s*
• Đỉnh có nhãn nhỏ nhất s*:
– Kề với 1 trong các đỉnh S
Và
– L(s*) = min(L(v): vV\S)
2/2/2017 38
Minh họa
2/2/2017 39
s0=1
V={1,2,3,4,5,6}
2/2/2017
14
Khởi tạo
2/2/2017 40
s0=1
S={1}
L(1)=0
L(2)=
L(3)=
L(4)=
L(5)=
L(6)=
s*=1
V\S={2,3,4,5,6}
0
Cập nhật nhãn
2/2/2017 41
s0=1
S={1}
L(1)=0
L(2)=
L(3)=
L(4)=
L(5)=
L(6)=
s*=1
V\S={2,3,4,5,6}
0
L(v) = min(L(v),L(s*)+m(s*,v))
Cập nhật nhãn
2/2/2017 42
s0=1
S={1}
L(1)=0
L(2)=20
L(3)=
L(4)=
L(5)=
L(6)=
s*=1
V\S={2,3,4,5,6}
0
20
L(v) = min(L(v),L(s*)+m(s*,v))
2/2/2017
15
Cập nhật nhãn
2/2/2017 43
s0=1
S={1}
L(1)=0
L(2)=20
L(3)=15
L(4)=
L(5)=
L(6)=
s*=1
V\S={2,3,4,5,6}
0
20
15
L(v) = min(L(v),L(s*)+m(s*,v))
Cập nhật nhãn
2/2/2017 44
s0=1
S={1}
L(1)=0
L(2)=20
L(3)=15
L(4)=
L(5)=80
L(6)=
s*=1
V\S={2,3,4,5,6}
0
20
15
80
L(v) = min(L(v),L(s*)+m(s*,v))
Đỉnh có nhãn nhỏ nhất s*
2/2/2017 45
s0=1
S={1}
L(1)=0
L(2)=20
L(3)=15
L(4)=
L(5)=80
L(6)=
s*=1
V\S={2,3,4,5,6}
0
20
15
80
L(s*) = min(L(v): vV\S)
2/2/2017
16
Đỉnh có nhãn nhỏ nhất s*
2/2/2017 46
s0=1
S={1}
L(1)=0
L(2)=20
L(3)=15
L(4)=
L(5)=80
L(6)=
s*=1
V\S={2,3,4,5,6}
0
20
15
80
L(s*) = min(L(v): vV\S)
Tiếp
2/2/2017 47
s0=1
S={1,3}
L(1)=0
L(2)=20
L(3)=15
L(4)=
L(5)=80
L(6)=
s*=3
V\S={2,4,5,6}
0
20
15
80
Cập nhật nhãn
2/2/2017 48
s0=1
S={1,3}
L(1)=0
L(2)=20
L(3)=15
L(4)=
L(5)=80
L(6)=
s*=3
V\S={2,4,5,6}
0
20
15
80
L(v) = min(L(v),L(s*)+m(s*,v))
2/2/2017
17
Cập nhật nhãn
2/2/2017 49
s0=1
S={1,3}
L(1)=0
L(2)=20
L(3)=15
L(4)=
L(5)=80
L(6)=
s*=3
V\S={2,4,5,6}
0
19
15
80
L(v) = min(L(v),L(s*)+m(s*,v))
Cập nhật nhãn
2/2/2017 50
s0=1
S={1,3}
L(1)=0
L(2)=20
L(3)=15
L(4)=
L(5)=80
L(6)=
s*=3
V\S={2,4,5,6}
0
19
15
80
25
L(v) = min(L(v),L(s*)+m(s*,v))
Tiếp tục
2/2/2017 51
s0=1
S={1,3}
L(1)=0
L(2)=20
L(3)=15
L(4)=
L(5)=80
L(6)=
s*=3
V\S={2,4,5,6}
0
19
15
80
25
2/2/2017
18
Kết thúc
2/2/2017 52
s0=1
S={1,3,2,6,4,5}
L(1)=0
L(2)=19
L(3)=15
L(4)=29
L(5)=29
L(6)=25
V\S={}
0
19
15
29
29
25
Kết quả
2/2/2017 53
Cài đặt
• Biểu diễn G qua ma trận trọng số cạnh
• Mảng L[i] nhãn đỉnh I
• Mảng Daxet[i]: 0 i chưa xét, 1 i đã xét
• Mảng Ddnn[i]: Giá trị của nó là đỉnh trước
trong đường đi ngắn nhất đến i
2/2/2017 54
2/2/2017
19
Cài đặt
2/2/2017 55
2/2/2017 56
Cài đặt
2/2/2017 57
2/2/2017
20
Kết quả thuật toán
• Thuật toán Dijkstra cho kết quả tối ưu
• T(n) = O(n2)
2/2/2017 58
Bài tập
1. Thực hiện từng bước bài toán người du lịch
theo giải thuật tham lam với các dữ liệu sau:
Bắt đầu từ đỉnh 1, ma trân chi phí được mô
tả như sau:
2/2/2017 59
Bài tập
2. Thực hiện từng bước thuật toán Dijstra bắt
đầu từ đỉnh 2, 3, 4 trên đồ thị sau
2/2/2017 60
2/2/2017
21
Bài tập
3. Đề xuất giải thuật tham lam giải bài toán trả
tiền máy ATM?
4. Cài đặt thuật toán người du lịch. Đánh giá độ
phức tạp bằng thực nghiệm và so sánh với lý
thuyết
5. Cài đặt thuật toán Dijkstra. Đánh giá độ phức
tạp bằng thực nghiệm và so sánh với lý
thuyết
2/2/2017 61
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- pttkgt_lec_06_greedy_method_part_1_2283.pdf