Phương pháp giải toán tích phân

dx; 1 2- - +ò b/ 2 2 2 x cosx dx; 4 sin x p p - + -ò c/ 3 0 x.sin x.dx; p ò d/ 2 x sin xdx; 3 1 p -p +ò e/ 2 2 2 x 2 x | sin x | dx; 1 2 p p - +ò f/ 41 21 x sin xdx; x 1- + +ò g/ 21 x 2 2 1 (e .sin x e .x )dx; - +ò h/ 1 3 2 1 ln (x x 1) dx; - + +ò i/ 1 x 21 dx ; (e 1)(x 1)- + +ò k/ 7 2 7 70 sin x dx. sin x cos x p +ò ÑS: a/ ; 4 p b/ 1 ln9; 2 c/ 3 ; 4 p d/ ; 2 p e/ 2;p + f/ 4 ; 2 3 p - g/ 22 e ; 3 h/ 0; i/ ; 4 p k/ . 4 p Baøi 15. Cho lieân tuïc treân R vaø thoaû maõn: f(x) f( x) 2 2 cos2x , x R+ - = - " Î Tính tích phaân 3 2 3 2 I f(x)dx. p p - = ò ÑS: 6. Baøi 16. Chöùng minh raèng: tg cot g 1 12 2 e e x.dx dx 1, (tg 0) x 1 x(x 1) a a + = a > + +ò ò . Baøi 17. Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn 1[0; ) thoûa maõn f(t) f , t æ ö+ ¥ = ç ÷ è ø vôùi t 0" > vaø haøm soá. f(tgx) ,neáu 0 x 2g(x) f(0) , neáu x 2 pì £ £ïï= í pï = ïî Chöùng minh raèng: a/ g(x) lieân tuïc treân 0; ; 2 pé ù ê úë û b/ 24 0 4 g(x).dx g(x).dx. pp p=ò ò Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 114 Vaán ñeà 7: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SOÁ HÖÕU TÆ (xem laïi vaán ñeà 7 cuûa baøi hoïc 1) BAØI TAÄP Baøi 18. Tính caùc tích phaân sau: a/ 43 20 x 1dx; x 9 - +ò b/ 1 21 x.dx ; (x 2)- +ò c/ 25 2 21 (2x 18)dx ; (x 6x 13) + - +ò d/ 95 2 5 30 x .dx ; (x 1)+ò e/ 154 2 0 8 24 x .dx ; (x 1)+ ò f/ 1 n 0 (1 x) dx;+ò g/ 1 2 n 0 x(1 x ) dx;-ò ÑS: a/ 20 18; 3 p - b/ 4ln3 ; 3 - c/ 11 7 ; 8 4 p + d/ 2 ; 45 e/ 535 25. 125 ; 192 192 + f/ n 12 1; n 1 + - + g/ 1 . 2(n 1)+ Baøi 19. Tính caùc tích phaân sau: a/ 32 81 x .dx; x 1+ò b/ 1 3 2 20 x .dx ; x 3x 2- +ò c/ 2 40 dx ; x(x 1)+ò d/ tga cot ga 1 12 2 e e x.dx dx , (tga 0) 1 x x(1 x ) + > + +ò ò e/ 2b 2 20 (a x )dx , (a,b 0); (a x ) - > +ò f/ 2 6 2 2 41 x 1dx; x 1 + + +ò g/ 1 5 2 2 4 21 (x 1)dx . x x 1 + + - +ò ÑS: a/ ; 16 p b/ 1 21 3 7ln ln ; 4 2 4 2 + c/ 1 32ln ; 4 17 d/1; e/ 2 b ; a b+ f/ ; 8 p g/ . 4 p Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 115 Vaán ñeà 8: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM LÖÔÏNG GIAÙC (xem laïi vaán ñeà 8 cuûa baøi hoïc 1) BAØI TAÄP Baøi 20. Tính caùc tích phaân sau: a/ 8 0 cos2x.dx ; sin 2x cos2x p +ò b/ 3 4 40 4sin x.dx ; 1 cos x p +ò c/ 4 2 20 dx ; sin x 2sinxcosx 8cos x p + -ò d/ 4 6 60 sin x.dx ; sin x cos x p +ò e/ 6 6 4 x 4 sin x cos xdx; 6 1 p p - + +ò f/ 4 30 cos2x.dx ; (sin x cosx 2) p + +ò g/ 2 0 sin x 7cosx 6 dx; 4sin x 3cosx 5 p + + + +ò h/ 2 0 2 2 2 2 sin x.cosx dx dx (a, b 0) a .cos x b .sin x p ¹ + ò ÑS: a/ 1 ln 2; 16 8 p + b/ 3 2 22 ln ; 2 + c/ 1 2ln ; 6 5 d/ 2 ln 4; 3 e/ 5 ; 32 p f/ 2 8 5 8 2 ; 27 (2 2) + - + g/ 9 1ln ; 2 8 6 p + + h/ 1 . | b | | a |+ Baøi 21. Tính caùc tích phaân sau: a/ 3 2 6 cis x.dx; sin x p pò b/ 40 cos x sin x dx; 2 sin 2x p - +ò c/ 3 3 2 3 3 cot g. sin x sinx.dx; sin x p p - ò d/ 3 0 x.sin x.cos x.dx; p ò e/ 3 2 3 x.sin x.dx; cos x p p -ò f/ 4 3 0 x cos x.sin x.dx. p -ò ÑS: a/ ln( 2 1);+ b/ 3 2ln ; 2 1 æ ö+ ç ÷ +è ø c/ 3 9 ; 24 - d/ ; 3 p e/ 4 2 ln(2 3); 3 p - + f/ 4 . 35 p Baøi 22. Tìm hai soá A, B ñeå haøm soá 2 sin 2xf(x) (2 sin x) = + coù theå bieåu dieãn döôùi daïng: 2 A.cosx B.cosxf(x) . 2 sin x(2 sin) = + ++ Töø ñoù tính: 0 2 f(x).dx.p -ò ÑS: A = –4; B = 2; ln4 – 2. Baøi 23. Tính caùc tích phaân sau: a/ 22 0 x .cosx.dx; p ò b/ 2 2 2 4 cos ( x).dx; p pò c/ 3 2 4 x.dx ; sin x p pò Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 116 d/ 24 0 x.tg x.dx; p ò e/ 3 38 0 sin x.dx; p ò f/ 2x 2 0 xx .sin .dx; 2ò ÑS: a/ 2 2; 4 p - b/ 23 1 ; 8 2 p + c/ (9 4 3) ; 36 p - d/ 21 ln 2 ; 4 2 32 p p - - e/ 3 6;p - f/ 28( 4).- p + Baøi 24. Tính caùc tích phaân sau: a/ n 1 0 sin x.cos(n 1).dx, (n N, n 1); p - + Î ³ò b/ n 10 cos x.sin(n 1)x.dx; p - -ò c/ n2 0 cos x.sin(n 1)x.dx; p +ò d/ n20 cos x.sin(n 2)x.dx. p +ò ÑS: a/ 0; b/ 0; c/ 0; d/ 1 . n 1+ Baøi 25. Tính caùc tích phaân sau: a/ 2 0 I ( cos x sin x)dx; p = -ò b/ n 2 n n0 cos x.dxI ; cos x sin x p = +ò c/ 2 30 5cosx 4sinxI ; (cosx sinx) p - = +ò d/ 2 2 20 3sin x 4 cos xI dx. 3sin x 4 cos x p + = +ò ÑS: a/ 0; b/ ; 4 p c/ 1 ; 2 d/ ln3. 2 3 p + Baøi 26. Ñaët: 2 2 6 6 0 0 sin x.dx cos x.dxI vaø J . sin x 3 cosx sin x 3.cos x p p = = + +ò ò a/ Tính: I – 3J vaø I + J. b/ Töø caùc keát quaû treân haõy tính caùc giaù trò cuûa I, J vaø K : 5 3 3 2 cos2x.dxK . cosx 3 sin x p p= -ò ÑS: a/ 1I 3J 1 3; I J ln3; 4 - = - + = b/ 1 3 1K ln3 . 8 2 - = - Baøi 27.a/ Chöùng minh raèng: 6 52 2 0 0 cos x.cos6x.dx cos x.sin xsi n6x.dx p p =ò ò b/ Tính: 5 72 0 J cos x.cos x.dx. p = ò ÑS: b/ J = 0. Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 117 Vaán ñeà 9: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SOÁ VO TÆ (xem laïi vaán ñeà 9 cuûa baøi hoïc 1) BAØI TAÄP Baøi 28. Tính caùc tích phaân sau: a/ 3 3 22 x 1 dx. ; x 1 (x 1) -æ ö ç ÷ +è ø -ò b/ 6 4 x 4 dx. ; x 2 x 2 - + +ò c/ 1 0 x .(x 2).dx; 4 x - -ò d/ 2 2 0 1 x .dx; 1 x + -ò e/ 1 * 0 mm m dx ,m N . (1 x ). 1 x Î + + ò ÑS: a/ 333 ( 3 2); 2 - b/ ln3 1;- c/ 4;p - d/ 1 ( 4 2 2); 4 p + - e/ m 1 1. 2 - Baøi 29. Tính caùc tích phaân sau: a/ 4 2 2 dx ; x 16 x- ò b/ 6 2 3 2 dx ; x x 9- ò c/ 1 3 2 0 x . 1 x dx;+ò d/ 2 2 2 1 x 4 x .dx; - -ò e/ 2 2 3 0 x (x 4) .dx;+ò f/ 3 2 2 32 0 x . (3 x ) .-ò ÑS: a/ 1 ln tg ; 4 12 pæ ö- ç ÷ è ø b/ ; 18 p c/ 2 ( 2 1); 15 - d/ 5 3 ; 6 4 p - e/ 32 (4 2 1); 5 - f/ 9 (4 9 3). 64 p + Baøi 30. Tính caùc tích phaân sau: a/ 24 4 3 3 x 4dx; x - ò b/ 21 2 2 2 1 x .dx; x - ò c/ 1 2 1 2 4 dx ; x x- ò d/ 21 0 2 x .dx ; 2x x- ò e/ a 2 2 2 0 x x x .dx;-ò f/ 2a 2 0 x 2ax x .dx;-ò g/ n a n 1 2 0 2 2n x .dx (a 0; n 2). a x - > ³ - ò ÑS: a/ 1 (4 3 ); 3 - p b/ 1 (4 ); 4 - p c/ ; 6 p d/ 1 (3 8); 4 p - e/ 4a ; 16 p f/ 3a ; 2 p g/ . 6n p Baøi 31. Tính caùc tích phaân sau: a/ 2 0 dx ; x 3 x 1 p + + +ò b/ 1 1 2 dx ; 1 x 1 x- + + + ò Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 118 c/ 2 1 2 2 dx ; x ( x 1 x)+ + ò d/ 8 4 2 (2x 1)dx ; x 4x x 2 + - + + ò ÑS: a/ 19 3 2; 6 - - b/ 1; c/ (2 5)( 2 1) 2 2 5ln ; 2 2 + - - + d/ 18 3 2 ln(3 2 2). 2 - - + Baøi 32. Cho na 0 3 3 x .dxI ; (a 0,n N) x a = > Î + ò a/ Vôùi giaù trò naøo cuûa n thì I khoâng phuï thuoäc vaøo a. b/ Tính I vôùi n tìm ñöôïc. ÑS: a/ 1n ; 2 = b/ 2 ln(1 2). 3 + Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 119 Vaán ñeà 10: TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SIEÂU VIEÄT (xem laïi vaán ñeà 10 cuûa baøi hoïc 1) BAØI TAÄP Baøi 33. Tính caùc tích phaân sau: a/ ln2 2x 0 1 e .dx;-ò b/ x xln 5 x0 e . e 1dx; e 3 - +ò c/ e 1 2 dx ; x 1 ln x- ò d/ e 21 dx ; x(1 ln x+ò e/ 2e 1 1 ln x dx; x + ò f/ 3 2e 1 ln x 1 ln x . x + ò ÑS: a/ 1 2 33 ln ; 2 2 3 æ ö- +ç ÷ +è ø b/ 4 ;- p c/ ; 6 p d/ ; 4 p e/ 2 1 ln(1 2); 2 2 + + f/ 33 ( 16 1). 8 - Baøi 34. Tính caùc tích phaân sau: a/ 2 20 ln xdx; xò b/ 2e 2e 1 1 dx; ln xln x æ ö-ç ÷ è øò c/ 3 2 e e ln(lnx).dx ; xò d/ 1 0 ln(x 1).dx ; x 1 + +ò e/ e 21 ln x.dx ; (x 1)+ò f/ 3 2 6 ln(sin x).dx . cos x p pò ÑS: a/ 1 (1 2 ln 2); 2 - b/ 21 (2e e ); 2 - c/ 27ln ; 4e d/ 2 ln 4 4 2 4;- + e/ 0; f/ 3 3 3ln . 3 2 6 p - Baøi 35. Tính caùc tích phaân sau: a/ 2 20 log (1 tgx).dx; p +ò b/ 40 ln(1 tgx)dx; p +ò c/ 1 cosx 2 0 (1 sin x) ln dx; 1 cosx p ++ +ò d/ x1 x 30 x.e dx ; (1 e )+ò ÑS: a/ ; 8 p b/ ln 2; 8 p c/ 2 ln2 1;- d/ 2 2 e 4e 1 1 e 1ln . 2 24(e 1) + + +æ ö- ç ÷ è ø+ Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 120 Vaán ñeà 11: PHÖÔNG TRÌNH BAÁT PHÖÔNG TRÌNH TÍCH PHAÂN Ñeå giaûi phöông trình, baát phöông trình tích phaân thoâng thöôøng tröôùc tieân ta caàn ñi xaùc ñònh tích phaân trong phöông trình, baát phöông trình ñoù, sau ñoù seõ thu ñöôïc moät phöông trình, baát phöông trình ñaïi soá quen thuoäc. BAØI TAÄP Baøi 36. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình sau vôùi aån x: x 0 2 (mt m 2)dt 3 m- + = -ò ÑS: · m > 4 : voâ nghieäm · m = 4 : 1 2 1x x 2 = = · m = 0 : 3x 4 = · 1, 2 m 2 4 m0 m 4 : x m - ± - ¹ < = Baøi 37. Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: x 1 1 1(t )dt m t 2 - = -ò ÑS: · 1m 2 < : voâ nghieäm · 1m 2 = : x = 1 · 1m 2 > : 2 nghieäm Baøi 38. Cho x 2t 2t 0 I(x) (e e )dt.-= +ò a/ Tính I(x) khi x = ln2 b/ Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: I(x) = m. ÑS: a/ 15 ; 8 b/ 2x ln m 1 m , m= + + " Baøi 39. Giaûi caùc phöông trình sau vôùi aån x (x > 0) : a/ x 1 e 1 ln t dt 18; t + =ò b/ x 2 2 dt ; 2t t 1 p = - ò c/ x t 0 e 1.dt 2 ; 2 p - = -ò d/ 2 x t 1 x x 0 1(2 .ln 2 2t 2)dt 2 . 2 - -- + = +ò e/ x t 1 7 0 7 .ln 7dt 6 log (6x 5), vôùi x 1.- = - ³ò Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 121 f/ x 2 2 23 2 tdt 6 2x(1 2 1 x ) 1 t . 1 1 t = - + - - + - ò ÑS: a/ 5 7x e ;x e ;-= = b/ x 2;= c/ x = ln2; d/ x = 1; e/ x = 1; x = 2; f/ 1x . 2 = Baøi 40. Tìm m ñeå phöông trình: x 3 2 1 x [3t 4(6m 1)t 3(2m 1)]dt 1+ + - - - =ò coù 3 nghieäm phaân bieät coù toång bình phöông baèng 27. ÑS: m = 1. Baøi 41. Giaûi caùc phöông trình sau: a/ x 4 0 3(4sin t )dt 0; 2 - =ò b/ x 2 0 cos(t x )dt sin x;- =ò c/ x 2 3 0 dt tgx vôùi x [0; 1). (1 t ) = Î - ò ÑS: a/ x K , K Z; 2 p = Î b/ x K x l2 l 0, 1, 2,... 1 1 m8x , m 0, 1, 2... 2 = pé ê = ± p =ê ê ± + pê = = ë c/ x = 0. Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 122 Vaán ñeà 12: THIEÁT LAÄP COÂNG THÖÙC TRUY HOÀI 1. Nhaän xeùt: Trong nhöõng tröôøng hôïp haøm döôùi daáu tích phaân phuï thuoäc vaøo tham soá n (n Î N), khi ñoù ngöôøi ta thöôøng kyù hieäu In ñeå chæ tích phaân phaûi tính. 1. Hoaëc laø ñoøi hoûi thieát laäp moät coâng thöùc truy hoài, töùc laø coâng thöùc bieåu dieãn In theo caùc In+K, ôû ñaây 1 £ K £ n. 2. Hoaëc laø chöùng minh moät coâng thöùc truy hoài cho tröôùc. 3. Hoaëc sau khi coù coâng thöùc truy hoài ñoøi hoûi tính moät giaù trò 0n I cuï theå naøo ñoù. 2. Moät soá daïng thöôøng gaëp: Daïng 1: / 2 n n 0 I sin x.dx (n N) p = Îò · Ñaët: n 1 n 2u sin x du (n 1)).sin x.dx- -= Þ = - dv sin x.dx v cosx.= Þ = - - p -éÞ = - + - -ë n 1 / 2 n 0 1 2 nI sin x.cosx] (n 1).(I I ) Daïng 2: / 2 n n 0 I cos x.dx (n N) p = Îò · Ñaët: n 1 n 2u cos x du (n 1).cos x.dx- -= Þ = - - dv cosx.dx v sin x.= Þ = n 1 / 2n 0 n 2 nI cos x.sin x] (n 1).(I I ) - p -éÞ = + - -ë Daïng 3: / 4 n n 0 I tg x.dx. p = ò · Phaân tích: + æ ö= = - = + -ç ÷ è ø n 2 n 2 n n 2 2 1tg x tg x.tg x tg x. 1 tg x(1 tg x 1) cos x Suy ra: n 2 n 1I I n 1+ + = + (khoâng duøng tích phaân töøng phaàn) Daïng 4: / 2 / 2 n n n n 0 0 I x .cosx.dx vaø J x .sin x.dx. p p = =ò ò · Ñaët: n n 1u x du n.x .dx.-= Þ = dv cosx.dx v sin x= Þ = 2 n nI nJ 1 (1)2 pæ öÞ = - -ç ÷ è ø · Töông töï: n n 1J 0 nI (2)-= + · Töø (1) vaø (2) n n n 2I n(n 1)I .2- pæ öÞ + - = ç ÷ è ø Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 123 Daïng 5: 1 n x n 0 I x .e .dx= ò · Ñaët: n n 1u x du nx .dx-= Þ = x xdv e .dx v e .= Þ = n x 1n 0 n 1I [x .e ] nI -= - Daïng 6: 1 1n n x n nx 0 0 xI dx hay I x .e .dx e -= =ò ò · Ñaët: n n 1u x du nx .dx-= Þ = x xdv e .dx v e .- -= Þ = - x x 1n 0 n 1I [ x .e ] nI - -Þ = - + Daïng 7: e n * n 1 I ln x.dx (n Z )= Îò · Ñaët: n n 1 1u ln x du n.ln x, dx x -= Þ = dv dx v x.= Þ = n en 1 n 1 n n 1I [x.ln x] n.I I e nI .- -Þ = - Û = - BAØI TAÄP Baøi 42. Cho nnI sin x.dx= ò vaø nnJ cos x.dx= ò , vôùi n N, n 2.Î ³ Chöùng minh caùc coâng thöùc truy hoài sau: n 1n n 2 1 n 1I sin x.cosx I . n n - - - = - + n 1n n 2 1 n 1J sin x.cos x J . n n - - - = + AÙp duïng ta tính I3 vaø J4. ÑS: · 23 1 2I sin x.cosx cosx C. 3 3 = - - + · 34 1 3 3J sin x.cos x x sin 2x C. 4 8 16 = + + + Baøi 43. Cho nnI x .sin x.dx= ò vaø nnJ x .cosx.dx= ò , vôùi n N, n 2.Î ³ Chöùng minh raèng: n n 1n n 2.I x .cosx nx .sin x n(n 1).I - -= - = - - n n 1n n 2J x .sin x n.x .cosx n(n 1).J . - -= + - - AÙp duïng ta tính I2 vaø J2. ÑS: · 22I x cos x 2x.sin x 2 cosx C.= - - + + + · 24J x sin x 2x cosx 2sin x C.= + - + Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 124 Baøi 44. Cho n xnI x .e .dx, n N, n 1.= Î ³ò Chöùng minh raèng: n xn n 1I x .e n.I .-= - AÙp duïng tính I5. ÑS: x 5 4 3 25I e (x 5x 20x 60x 120x 120) C.= - + - + - + Baøi 45. Cho / 2 n n 0 I sin x.dx, (n N) p = Îò a/ Thieát laäp coâng thöùc lieân heä giöõa In vaø In+2. b/ Tính In. c/ Chöùng minh raèng haøm soá f: N R® vôùi n n 1f(n) (n 1)I .I .+= + d/ Suy ra / 4 n n 0 J cos x.dx. p = ò ÑS: b/ (n 1)(n 3)(n 5)...1. , n chaün n(n 2)(n 4)...2 2 I(n) (n 1)(n 3)(n 5)...2 , n leû n(n 2)(n 4)...3 - - - pì ï - -ï= í - - -ï ï - -î c/ 0 1f(n) f(0) I .I .2 p = = = d/ n nJ I .= Baøi 46. Ñaët; / 4 n n 0 I tg x.dx, (n N) p = Îò Tìm heä thöùc lieân heä giöõa In vaø In+2. ÑS: n n 2 1I I . n 1+ + = + Baøi 47. Cho 1 n * n 0 xI dx, (n N ) 1 x = Î -ò Chöùng minh raèng: n n 1(2n 1)I 2n.I 2 2.-+ + = Baøi 48. Cho 1 nx * n x 0 eI dx, (n N ) 1 e - -= Î-ò a/ Tính I1. b/ Tìm heä thöùc giöõa In vaø In–1. ÑS: a/ 1 2eI ln ; 1 e = + b/ n 1 1 n) n I 1I (e 1) 1 n- - + = -- Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 125 Vaán ñeà 13: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN · Cho hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [a ; b] Daïng 1: Neáu f(x) 0, x [a; b]³ " Î thì : b a f(x) 0³ò daáu “=” xaûy ra khi f(x) 0, x [a; b]= " Î Daïng 2: Ñeå chöùng minh: b b a a f(x).dx g(x).dx£ò ò . § ta caàn chöùng minh: f(x) g(x), x [a; b]£ " Î § daáu “=” xaûy ra khi f(x) g(x), x [a;b]= " Î § roài laáy tích phaân 2 veá. Daïng 3: Ñeå chöùng minh: b a f(x).dx B£ò (B laø haèng soá). § ta tìm moät haøm soá g(x) thoûa caùc ñieàu kieän: b a f(x) g(x), x [a; b] g(x).dx B £ " Îì ï í =ï î ò Daïng 4: Ñeå chöùng minh: b a A f(x).dx B£ £ò . § ta tìm 2 haøm soá h(x) vaø g(x) thoûa ñieàu kieän: b b a a h(x) f(x) g(x), x [a; b] h(x).dx A, g(x).dx B £ £ " Îì ï í = =ï î ò ò § Hoaëc ta chöùng minh: m f(x) M,£ £ vôùi m min f(x), M max f(x)= = sao cho: b b a a m.dx m(b a) A, M.dx M(b a) B.= - = = - =ò ò Daïng 5: b b a a f(x).dx | f(x) | dx£ò ò . daáu “=” xaûy ra khi f(x) 0, x [a;b]³ " Î § BÑT (5) ñöôïc suy ra töø BÑT daïng 2 vôùi nhaän xeùt sau: x [a; b]" Î , ta luoân coù: | f(x) | f(x) | f(x) |- £ £ b b b a a a | f(x) | dx f(x).d(x) | f(x) | dxÛ - £ £ò ò ò (laáy tích phaân 2 veá) b b a a f(x).dx | f(x) | .dx.Û £ò ò Ghi chuù: Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 126 1. Thöïc chaát chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân chính laø chöùng minh: f(x) g(x), x [a; b].£ " Î Neáu daáu “=” xaûy ra trong baát ñaúng thöùc f(x) g(x)£ chæ taïi moät soá höõu haïn ñieåm x [a; b]Î thì ta coù theå boû daáu “=” trong baát ñaúng thöùc tích phaân. 2. Do BÑT laø moät daïng toaùn phöùc taïp, neân moãi daïng treân coù nhieàu kyõ thuaät giaûi, vì vaäy trong phaàn baøi taäp naøy, khoâng ñi theo töøng daïng treân maø ñi theo töøng kyõ thuaät giaûi. Kyõ thuaät 1: Duøng phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc chaën treân, chaën döôùi BAØI TAÄP Baøi 49. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: a/ 1 19 3 3 6 0 1 x .dx 1 2020 2 1 x < < + ò b/ 1 2 3 0 dx 2 . 6 84 x x p p < < - - ò c/ 1/ 2 2 2 0 1 dx 1 . 50 (3 2 cosx) 2(3 3) < < + +ò d/ 200 100 cosx.dx 1 x 200 p p < pò Baøi 50. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: a/ 2 / 2 sin x 0 e.e .dx 2 2 pp p < <ò b/ 2 1 x 0 11 e .dx 1. e -- £ £ò c/ 3 x 2 1 e .sin x0 dx x 1 12e - p < < +ò Baøi 51. Cho t 4 0 tg xI(t) dx, cos2x = ò vôùi 0 t .4 p < < Chöùng minh raèng: 32(tg t 3tgt) 3tg(t ) e 4 +p + > Baøi 52. Ñaët: 2t 1 ln xJ(t) dx, x æ ö= ç ÷ è øò vôùi t > 1. Tính J(t) theo t, töø ñoù suy ra: J(t) Kyõ thuaät 2: Duøng baát ñaúng thöùc Coâsi hay Bu Nhia Coáp Ski BAØI TAÄP Baøi 53. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: a/ / 2 0 27sin x(2 3 sin x)(7 4 sin x)dx 2 p p + - <ò b/ / 3 / 4 2cos x(5 7 cos x 6 cosx)dx . 3 p p p + - <ò c/ e 1 ln x(9 3 ln x 2 ln x)dx 8(e 1)- - £ -ò Baøi 54. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: a/ / 3 2 2 2 2 0 ( 8cos x sin x 8sin x cos x)dx 2 p + + + £ pò Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 127 b/ e 2 2 1 ( 3 2 ln x 5 2 ln x)dx 4(e 1)+ + - £ -ò Baøi 55. Söû duïng baát ñaúng thöùc daïng 5 chöùng minh: a/ 1 2 0 sin x x.dx ; 1 x 4 p < +ò b/ 2 3cosx 4sin x 5 . x 1 4 - p £ +ò Kyõ thuaät 3: Söû duïng GTLN – GTNN cuûa haøm soá treân mieàn laáy tích phaân baèng baûng bieán thieân. BAØI TAÄP Baøi 56. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: a/ 2 2 1 2 x.dx 1 ; 5 2x 1 < < +ò b/ 1 2 0 40 x(1 x) .dx ; 27 < - <ò c/ 11 7 54 2 ( x 7 11 x).dx 108; - £ + + - £ò d/ 2 2 1/ 4 x x 2 0 2.e e .dx 2e ;- -£ £ò e/ 2 0 3 dx 2 3 3 3cos x cosx 1 pp p < < + + ò . Kyõ thuaät 4: Söû duïng tính chaát ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá baèng caùch tính ñaïo haøm BAØI TAÄP Baøi 57. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: a/ / 3 / 4 3 sin x.dx 1 ; 4 x 2 p p < <ò b/ 2 0 2 7 (2 sin x)(6 sin x).dx 2 15. p p £ + - £ pò c/ 2 11 x 1 x 0 4e 1 x, x 0. Suy ra : e dx 4 + p +> + " ¹ >ò d/ 2 200 x x 100 e x, x. Suy ra : e .dx 0,01.-³ " £ò e/ 4 3 3 x dx1 ln x , vôùi x e. Suy ra : 0,92 1. e ln x < <ò Kyõ thuaät 5: Söû duïng baát ñaúng thöùc Bu Nhia Coáp Ski trong tích phaân baøi taäp 9.16 BAØI TAÄP Baøi 58. Chöùng minh raèng neáu f(x), g(x) laø hai haøm soá lieân tuïc treân [a ; b] thì ta coù: Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 128 2b b b 2 2 a a a f(x).g(x).dx f (x).dx. g (x).dx. æ ö £ç ÷ è ø ò ò ò (BÑT treân goïi laø BÑT Bua Nhia Coâp Ski trong tích phaân) Baøi 59. Chöùng minh raèng: 21 1 1 0 0 0 f(x).g(x).dx f(x).dx. g(x).dx æ ö £ç ÷ è ø ò ò ò Baøi 60. Cho f(x) laø haøm soá xaùc ñònh lieân tuïc treân [0 ; 1] vaø f(x) 1, x [0; 1]£ " Î . Chöùng minh raèng: 21 1 2 0 0 1 f (x).dx 1 f(x).dx . æ ö - £ - ç ÷ è ø ò ò Baøi 61. Bieát 1 0 dx 2ln 2 . Chöùng min h : Ln2 . x 1 3 = > +ò Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 129 Vaán ñeà 14: TÍNH GIÔÙI HAÏN CUÛA TÍCH PHAÂN · Trong baøi toaùn tìm giôùi haïn cuûa tích phaân thöôøng coù 2 daïng sau: Daïng 1: Tìm t t a lim f(x).dx, (t a) ®¥ >ò Ta tính tích phaân t a f(x).dxò phuï thuoäc vaøo t, sau ñoù duøng ñònh lyù veà giôùi haïn ñeå tìm keát quaû. Daïng 2: Tìm b n a lim f(x, n).dx , (n N) ®¥ Îò Ÿ Duøng BÑT tích phaân ñem tích phaân veà daïng: b a A f(x, n).d(x) B£ £ò b n n n a lim A lim f(x,n).dx lim B ®¥ ®¥ ®¥ Þ £ £ò Ÿ Sau ñoù, neáu: b n n n a lim A lim B l thì lim f(x, n).dx l ®¥ ®¥ ®¥ = = =ò * Nhaéc laïi ñònh lyù haøm keïp: “Cho ba daõy soá n n na , b , c cuøng thoaû maõn caùc ñieàu kieän sau: * n n n n nn n n N , a b C lim a lim C l ®¥ ®¥ ì" Î £ £ï í = =ïî . Khi ñoù: nnlim b l®¥ = ” BAØI TAÄP Baøi 62. a/ Tính x 1 dtI(x) , (x 1) t(t 1) = > +ò b/ Tìm xlim I(x)®+¥ ÑS: a/ 2xln ; x 1+ b/ ln 2. Baøi 63. a/ Tính ln10 x 3 x b e .dxI(b) ; e 2 = - ò b/ Tìm b ln 2lim I(b)® ÑS: a/ b 2 / 33 16 (e 2) 2 2 é ù- -ê úë û b/ 6. Baøi 64. Cho 1 nx * n x 0 e .dxI (n N ) 1 e - -= Î+ò Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 130 Tính n n 1 nxI I , töø ñoù tìm lim I .- ®+¥+ ÑS: a/ 2 2 t 1ln 4 ln (t 2) + + + b/ ln4. Baøi 65. a/ Tính x 2 t x 0 I(x) (t 2t).e .dt. Tìm lim I(x) ®-¥ = +ò b/ Tính x 2 2 x 1 2t.ln t.dtI(x) , (x 1). Tìm lim I(x). (1 t ) ®+¥ = > +ò ÑS: a/ 0; b/ ln 2. Baøi 66. a/ Tính theo m vaø x > 0 tích phaân: me m x I (x) t.(m ln t).dt.= -ò b/ Tìm m x 0 lim I (x). -® Tìm m ñeå giôùi haïn naøy baèng 1. ÑS: a/ 2m 2 21 e 2x ln x (2m 1)x 4 é ù+ - +ë û b/ 2m1 e ; m ln 2. 4 = Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 131 ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN Vaán ñeà 1: DIEÄN TÍCH HÌNH THANG CONG 1. Dieän tích hình thang cong giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: (c) : y f(x) y 0 (truïc hoaønh Ox) x a x b (a b) =ì ï =ï í =ï ï = <î ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: b a S f(x) dx= ò (1) 2. Phöông phaùp giaûi toaùn: * Ta caàn phaûi tìm ñaày ñuû 4 ñöôøng nhö treân * vaø vì caàn phaûi boû daáu giaù trò tuyeät ñoái neân ta coù 2 caùch giaûi sau: ì í î Caùch 1. Phöông phaùp ñoà thò: * Veõ ñoà thò (C) : y = f(x) vôùi x Î [a ; b] a/ Tröôøng hôïp 1: Neáu ñoà thò (C) naèm hoaøn toaøn treân truïc hoaønh Ox (hình a) thì: b a (1) S f(x).dxÛ = ò b/ Tröôøng hôïp 2: Neáu ñoà thò (C) naèm hoaøn toaøn döôùi truïc hoaønh Ox (hình b) thì: b a (1) S f(x).dxÛ = -ò c/ Tröôøng hôïp 3: Neáu ñoà thò (C) caét truïc hoaønh Ox taïi moät ñieåm coù hoaønh ñoä x = x0 (nhö hình c) thì: 0x b a a (1) S f(x).dx f(x) .dxÛ = + -ò ò * Ghi chuù: Neáu f(x) khoâng ñoåi daáu treân ñoaïn [a ; b] thì ta duøng coâng thöùc sau: b a S f(x)dx= ò y x (C): y = f(x) S a b 0 (Hình a) y x S a b 0 (Hình a) (C): y = f(x) a y S S a 0 b x S = S1 + S2 (Hình c) §Baøi 1: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 132 Caùch 2. Phöông phaùp ñaïi soá: Ÿ Giaûi phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : f(x) = 0 (*) Ÿ Giaûi (*) ñeå tìm nghieäm x treân ñoaïn [a ; b]. Ÿ Neáu (*) voâ nghieäm treân khoaûng (a ; b) thì ta xeùt daáu f(x) treân ñoaïn [a ; b] ñeå boû daáu giaù trò tuyeät ñoái hoaëc ta söû duïng tröïc tieáp coâng thöùc sau: b a S f(x)dx= ò Ÿ Neáu (*) coù nghieäm x = x0 vaø f(x) coù baûng xeùt daáu nhö hình beân thì: 0 0 x b a x S f(x)dx f(x)dx.= -ò ò Ghi chuù: (1) Dieän tích S luoân laø moät giaù trò döông (khoâng coù giaù trò S £ 0). (2) Vôùi caâu hoûi: “Tính dieän tích giôùi haïn bôûi (C): y = f(x) vaø truïc hoaønh” thì ta phaûi tìm theâm hai ñöôøng x = a, x = b ñeå laøm caän tích phaân, hai ñöôøng naøy chính laø giao ñieåm cuûa (C) vaø truïc Ox, laø 2 nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0 (theo phöông phaùp ñaïi soá). Vôùi caâu hoûi ñôn giaûn hôn nhö: “Tính dieän tích giôùi haïn bôûi ñöôøng (C) : y = f(x) thì ta phaûi hieåu ñoù laø söï giôùi haïn bôûi (C) vaø truïc hoaønh. (3) Moät soá haøm coù tính ñoái xöùng nhö: parabol, ñöôøng troøn, elip, haøm giaù trò tuyeät ñoái, moät soá haøm caên thöùc; lôïi duïng tính ñoái xöùng ta tính moät phaàn S roài ñem nhaân hai, nhaân ba, ... (cuõng coù theå söû duïng toång hoaëc hieäu dieän tích). (4) Phaàn lôùn daïng toaùn loaïi naøy ta neân duøng phöông phaùp ñoà thò hieäu quaû hôn; moät soá ít phaûi duøng phöông phaùp ñaïi soá nhö haøm löôïng giaùc vì veõ ñoà thò khoù. x a x0 b f(x) + 0 – Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 133 Vaán ñeà 2: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG GIÔÙI HAÏN BÔÛI HAI ÑÖÔØNG (C1), (C2) 1. Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (C1), (C2) 1 2 (C ): y f(x) (C ):y g(x) x a x b (a b) =ì ï =ï í =ï ï = <î ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: b a S f(x) g(x) dx= -ò 2. Phöông phaùp giaûi toaùn: Caùch 1. Phöông phaùp ñoà thò: * Treân cuøng maët phaúng toaï ñoä ta veõ 2 ñoà thò: 1 2(C ) :y f(x) vaø (C ) : y g(x)= = . a/ Tröôøng hôïp 1: (C1) khoâng caét (C2) § Xaùc ñònh vò trí: Treân ñoaïn [a ; b] thì (C1) naèm treân (C2) hay (C2) naèm treân (C1) baèng caùch veõ moät ñöôøng thaúng song song vôùi truïc tung Oy caét hai ñoà thò taïi M vaø N. Khi ñoù neáu M ôû treân N thì ñoà thò chöùa M seõ naèm treân ñoà thò chöùa N. § Neáu (C1) naèm treân (C2) thì: b a S [f(x) g(x)]dx.= -ò (h.2a) § Neáu (C2) naèm treân (C1) thì: b a S [g(x) f(x)]dx.= -ò (h.2b) § Trong tröôøng hôïp 1, ta coù theå duøng tröïc tieáp coâng thöùc sau: b a S [f(x) g(x)]dx .= -ò b/ Tröôøng hôïp 2: (C1) caét (C2) taïi ñieåm I coù hoaønh ñoä x0. 0 0 x b a x S g(x) f(x) dx f(x) g(x) dx= - + -ò ò Hoaëc duøng coâng thöùc sau: 0 0 x b a x S [f(x) g(x)]dx [f(x) g(x)]dx= - + -ò ò Caùch 2. Phöông phaùp ñaïi soá: § Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm: f(x) = g(x) (*) § Neáu (*) voâ nghieäm treân khoaûng (a ; b) thì ta xeùt hieäu f(x) – g(x) ñeå boû daáu “| |”. § Neáu (*) coù moät nghieäm x0 thuoäc khoaûng (a ; b) thì: y x 0 M N a b (C2) (C1) S (hình 2a) y x 0 M N a b (C1) (C2) S (hình 2b) x y 0 a x0 b S2 S1 I (C2): y = g(x) (C1): y = f(x) Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 134 0x b a a S f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx= - + -ò ò roài xeùt laïi töø ñaàu treân caùc ñoaïn 0 0[a; x ] vaø [x ;b]. Ghi chuù: (1) Trong thöïc haønh ta neân duøng phöông phaùp ñoà thò. (2) Khi giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) khoâng chaéc chaén nhö soá höõu tæ hoaëc soá voâ tæ, ta neân thöïc hieän theâm vieäc giaûi phöông trình hoaønh ñoä f(x) = g(x) cho chính xaùc. (3) Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) laø caùc caän cuûa tích phaân. (4) Treân ñaây khi tính dieän tích ta ñaõ coi x laø bieán, y laø haøm. Tuy nhieân trong moät soá tröôøng hôïp ta coi y laø bieán cuûa haøm x (nghóa laø x = f(y)), khi ñoù vieäc tính dieän tích seõ ñôn giaûn hôn. Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 135 Vaán ñeà 3: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG GIÔÙI HAÏN BÔÛI NHIEÀU ÑÖÔØNG § Xeùt ñaïi dieän 4 ñöôøng 1 2 3 4(C ), (C ), (C ), (C ) . § Ta duøng phöông phaùp ñoà thò (duy nhaát) § Veõ 4 ñöôøng treân cuøng moät maët phaúng vaø xaùc ñònh hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa chuùng (x1, x2, x3, x4) § Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 1 2 3S S S S= + + 31 4 1 2 3 xx x 1 3 4 3 4 2 x x x S [(C ) (C )]dx [(C ) (C )]dx [(C ) (C )]dx.Û = - + - + -ò ò ò x y x4 x3 x2 x1 0 A B (C3) (C4) (C1) (C2) C S3 S2 S1 D Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 136 Vaán ñeà 4: DIEÄN TÍCH LÔÙN NHAÁT VAØ DIEÄN TÍCH NHOÛ NHAÁT Tìm dieän tích lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa hình phaúng S. Phöông phaùp: § Thieát laäp coâng thöùc tính S theo moät hoaëc nhieàu tham soá cuûa giaû thieát (giaû söû laø m), töùc laø, ta coù: S = g(m). § Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa g(m) baèng moät trong caùc phöông phaùp: + Tam thöùc baäc hai + Baát ñaúng thöùc Coâsi hoaëc Bu Nhia Coâp Ski. + Söû duïng ñaïo haøm Chuù yù: Caùc caän a, b thöôøng laáy töø nghieäm x1, x2 laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d). Ví duï 1: (Vaán ñeà 1): Tính dieän tích cuûa mieàn kín giôùi haïn bôûi ñöôøng cong 2y x 1 x= + , truïc Ox vaø ñöôøng thaúng x = 1. Giaûi: * Ñöôøng cong (C) : 2y x 1 x= + caét truïc hoaønh Ox khi: 2x 1 x 0 x 0.+ = Û = * Ta coù: 2x 1 x 0, vôùi moïi x [0; 1]+ ³ Î . Do ñoù dieän tích S caàn tìm laø: 1 2 0 S x 1 x .dx.= +ò * Ñaët: 2 2 2u 1 x u 1 x 2u.du 2xdx u.du xdx.+ Þ = + Þ = Þ = * Ñoåi caän: x = 0 Þ u = 1; x = 1 Þ u 2.= * Ta coù: 22 3 2 00 u 1S u du (2 2 1) 3 3 æ ö = = = -ç ÷ è øò (ñvdt) Ví duï 2: (vaán ñeà 1): Tính dieän hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng 1 ln xy ; x 1, x e. x + = = = Giaûi: * Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: e 1 1 ln xS dx x + = ò * Ñaët: 2 1u 1 ln x u 1 ln x 2u.du dx. x = + Þ = + Þ = * Ñoåi caän: x = 1 Þ u = 1; x = e Þ u 2.= * Ta coù: 22 2 3 11 2 2 2S 2u .du u (2 2 1 (2 2 1) 3 3 3 æ ö= = = - = -ç ÷ è øò (ñvdt) Ví duï 3 (vaán ñeà 2): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 2 2y x 2x vaø y x 4x.= - = - + Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 137 Giaûi: * Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng: 2 2x 2x x 4x- = - + 22x 6x 0 x 0 hay x 3.Û - = Û = = * Ñoà thò (P1): 2 22y x 2x vaø (P ) :y x 4x= - = - + nhö treân hình veõ. Hai ñoà thò caét nhau taïi 2 ñieåm O(0 ; 0) vaø A(3 ; 3). * Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 33 3 3 2 2 2 2 0 0 2xS x 4x) (x 2x) dx ( 2x 6x)dx 3x 9 (ñvdt) 3 æ ö é ù= - + - - = - + = - + =ç ÷ë û è øò ò Ví duï 4 (vaán ñeà 2): Parabol y2 = 2x chia hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn 2 2x y 8+ = thaønh hai phaàn. tính dieän tích moãi phaàn ñoù Giaûi: * Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P): 2 2 2y 2x vaø (C):x y 8;= + = 2x 2x 8 (vôùi x 0)+ = ³ 2 x 2 y 2 x 2x 8 0 x 4 (loaïi) = Þ = ±é Û + - = Û ê = -ë Toïa ñoä giao ñieåm B(2 ; 2), C(2 ; –2). * Ta tính dieän tích tam giaùc cong OAB; Ñaët: 2 2 2 2 1 OAB 0 2 S S 2x.dx 8 x .dx= = + -ò ò vôùi: 22 3 00 2 82x.dx 2. x . 3 3 æ ö= =ç ÷ è øò Tính: 2 2 2 2 8 x .dx I.- =ò Ñaët: x 2 2.sin t dt 2 2.cos t.dt.= Þ = Ñoåi caän: x 2 t / 4= Þ = p ; x 2 2 t / 2= Þ = p / 2 / 2 / 2 2 / 4 / 4 / 4 / 2 / 4 1 cos2tI 2 2.cos t.2 2.cos t.dt 8 cos t.dt 8 dt 2 sin 2t4 t 2. 2 p p p p p p p p + Þ = = = æ ö= + = p -ç ÷ è ø ò ò ò * Do ñoù: 1 8 2S 2 . 3 3 = + p - = p + * Do tính ñoái xöùng neân: OBAC OAB 4S 2.S 2 . 3 = = p + y x 4 3 2 1 0 – 1 – 1 3 4 (P1) A (P2) (P) x A 2 2 S1 B C o –2 2 2 y Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 138 * Goïi S laø dieän tích hình troøn (C) 2S .R 8Þ = p = p * Goïi S2 laø phaàn dieän tích hình troøn coøn laïi 2 OBAC 4S S S 8 2 3 æ öÞ = - = p - p +ç ÷ è ø 2 4S 6 . 3 Û = p - Ví duï 5 (vaán ñeà 4): Chöùng minh raèng khi m thay ñoåi thì Parabol (P): y = x2 + 1 luoân caét ñöôøng thaúng (d): y = mx + 2 taïi hai ñieåm phaân bieät. Haõy xaùc ñònh m sao cho phaàn dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng thaúng vaø parabol laø nhoû nhaát. Giaûi: * Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d): 2x 1 mx 2+ = + 2x mx 1 0 (1)Û - - = 2m 4 0, mD = + > " * Vaäy (d): luoân caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B coù hoaønh ñoä x1, x2 laø nghieäm cuûa (1). * Dieän tích hình phaúng S laø: 22 11 xx 3 2 2 xx x mxS (mx 2 x 1)dx x 3 2 æ ö = + - - = - + +ç ÷ è øò 3 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 3 1 m(x x ) (x x ) (x x ) 3 2 1 (x x ). 2(x x x x ) 3m(x x ) 6 6 1 1 4m 4. 2(m 1) 3m 6 (m 4) . 6 6 3 = - - + - + - é ù= - - + + - + -ë û é ù= - + + - - = + ³ë û Vaäy: 4min S khi m 0. 3 = = Ví duï 6 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 2 2 x 27y x , y , y . 8 x = = = Giaûi: * Ñoà thò 2 2 1 2 x 27(P ) : y x , (P ) : y , (H) : y 8 x = = = nhö treân hình veõ. * Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P1) vaø (H): 2 27x x = 3x 27 x 3 toaï ñoä A(3, 9).Û = Û = Þ * Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P2) vaø (H): y x A x1 0 x2 B 2 (d) (P) y x S2 S1 (P1) (P2) B A (H) 9/2 3 9 0 3 6 9 Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 139 2x 27 9x 6 toaï ñoä B 6, . 8 x 2 æ ö= Û = Þ ç ÷ è ø * Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 3 62 2 2 1 2 0 3 x 27 xS S S (x )dx dx ... 27 ln 2 (ñvdt) 8 x 8 æ ö = + = - + - = =ç ÷ è øò ò . Ví duï 7 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: parabol (P): 2y 4x x= - vaø caùc ñöôøng tieáp tuyeán vôùi parabol naøy, bieát raèng caùc tieáp tuyeán ñoù ñi qua M(5/2, 6). Giaûi: * Phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M heä soá goùc K: 5y K x 6 2 æ ö= - +ç ÷ è ø * (d) tieáp xuùc (P) khi heä sau coù nghieäm: 2 54x x K x 6 (1) 2 4 2x K (2) ì æ ö- = - +ï ç ÷ è øí ï - =î * Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc: 2 54x x (4 2x)(x ) 6 2 - = - - + 2 x 1 K 1 x 5x 4 0 x 4 K 4 = Þ =é Û - + = Û ê = Þ = -ë * Vaäy coù 2 phöông trình tieáp tuyeán laø: 1 2(d ) :y 2x 1; (d ) : y 4x 16= + = - + * Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 5 / 2 4 2 2 1 2 1 5/ 2 9S S S (2x 1 4x x )dx ( 4x 16 4x x )dx ... 4 = + = + - + + - + - + = =ò ò (ñvdt). Ví duï 8 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 2y x 4x 3 vaø y 3.= - + = Giaûi: * Veõ ñoà thò (C): 2y f(x) x 4x 3= = - + * Xeùt ñoà thò (C’) : y f(x)= f(x), f(x) 0 f(x), f(x) 0 ³ì = í- <î * Töø ñoà thò (C) ta suy ra ñoà thò (C’) nhö sau: + Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm treân Ox + Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò (C) naèm döôùi Ox qua truïc hoaønh ì í î * Ñoà thò (C’) laø hôïp cuûa 2 phaàn treân y (d2) (d1) M S1 S2 (P) B x 4 5/2 1 2 0 3 4 6 A x 4 3 2 1 0 –1 3 (C) y Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 140 * Ñöôøng thaúng y = 3 caét (C’) taïi A(0 ; 3), B(4 ; 3). * Goïi S laø dieän tích hình phaúng caàn tìm. * Do tính ñoái xöùng neân ta coù: 1 2S 2(S S )= + 2 1 2 2 2 2 0 0 1 2. (3 x 4x 3 )dx 2 [3 (x 4x 3)]dx [3 ( x 4x 3)]dx ............... 8 (ñvdt) é ù = - - + = - - + + - - + -ê ú ë û = ò ò ò Baûng xeùt daáu: x 0 1 2 3 x2–4x+3 + 0 – 0 + Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 141 BAØI TAÄP Baøi 1. Cho Parabol (P): 2y x 4x 3= - + vaø ñöôøng thaúng (d) : y = x – 1. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi: a/ (P) vaø truïc Ox; b/ (P), truïc Ox vaø truïc Oy; c/ (P), truïc Ox, x = 2 vaø x = 4; d/ (P) vaø (d); e/ (P), (d), x = 0 vaø x = 2. ÑS: a/ 4 ; 3 b/ 4 ; 3 c/ 2; d/ 9 ; 2 e/ 3. Baøi 2. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ 2 1(C) : y x , 2x = + tieäm caän xieân cuûa (C), x = 1 vaø x = 3; b/ 5y x(x 1) ,= + truïc Ox, truïc Oy vaø x = 1; c/ 2 22(y 1) x vaø (y 1) x 1- = - = - ; d/ 2 2 2y x 2x 2, y x 4x 5 y x 4x 3 vaø y 1;= - + = + + = - + = e/ 2x 1 8y , y , y (vôùi x 0). 8 x x = = = > ÑS: a/ 1 ; 3 b/ 418; 35 c/ 4 ; 3 d/ 9 ; 4 e/ 7ln2. Baøi 3. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi: a/ 2(C) : y x 2x= - vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi O(0 ; 0) vaø A(3 ; 3) treân (C). b/ (C) 3 2: y x 2x 4x 3, y 0= - + - = vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi tieáp ñieåm coù hoaønh ñoä x = 2. ÑS: a/ 9 ; 4 b/ 5 . 48 Baøi 4. Cho Parabol (P): 2y x= vaø ñöôøng troøn (C) : 2 2 9x y 4x 0 4 + - + = . a/ Chöùng toû (P) vaø (C) tieáp xuùc nhau taïi A vaø B. b/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø caùc tieáp tuyeán chung taïi A vaø B. ÑS: a/ 3 6 6 6 3 6 6 6A ; ; y x ; B ; ; y x . 2 2 6 4 2 2 6 4 æ ö æ ö = + - = - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø b/ 6 . 2 Baøi 5. Ñöôøng thaúng (d): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C): 2 2x y 5+ = thaønh hai phaàn, tính dieän tích moãi phaàn. ÑS: 1 2 5 5 15 5S ; S . 4 2 4 2 p p = - = + Baøi 6. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng a/ 2y x , y x.= = b/ 3x y 1 0; x y 1 0.- + = + - = c/ 2 2 2x y 8; y 2x.+ = = d/ 2 3 2y 2 x ; y x .= - = Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 142 e/ 4 x 1y ; x 0; x . 21 x = = = - ÑS: a/ 1 ; 3 b/ 5 ; 4 c/ 42 ; 3 p + d/ 32 ; 15 e/ . 12 p Baøi 7. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ xy x.e ; y 0; x 1; x 2.= = = - = b/ 2y x.ln x; y 0; x 1; x e.= = = = c/ x xy e ; y e ; x 1.-= = = d/ x 2y 5 ; y 0; x 0; y 3 x.-= = = = - e/ 5 xy (x 1) ; y e ; x 1.= + = = ÑS: a/ 2 2e 2; 3 - + b/ 21 (e 1); 4 - c/ 1e 2; 2 + - d/ 24 1 ; 25ln5 2 + e/ 23 e. 2 - Baøi 8. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ 2xy 2x vaø y x 4; 2 = + = + b/ 2y x 2 x 3 vaø 3x 5y 9 0;= - + + + - = c/ xy vaø y 0; x 1; x 2; x 1 = = = = + d/ 1y ln x ; y 0; x vaø x e. e = = = = ÑS: a/ 26 ; 3 b/ 55 ; 6 c/ 21 ln ; 3 - d/ 22 . e - Baøi 9. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ 2y sin x cos x,= + caùc truïc toaï ñoä vaø x = p; b/ 2y sin x sin x 1,= + + caùc truïc toaï ñoä vaø x . 2 p = c/ y x sin x; y x; x 0; x 2 .= + = = = p d/ 2y x sin x; y ;x 0; x .= + = p = = p ÑS: a/ 2 ; 2 p + b/ 31 ; 2 p + c/ 4; d/ . 2 p Baøi 10. Dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng thaúng x = –1; x = 2; y = 0 vaø Parabol (P) baèng 15. Tìm phöông trình cuûa (P), bieát (P) coù ñænh laø I(1 ; 2). ÑS: 2y 3x 6x 5.= - + Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): 2x 2x 3y , x 2 + - = + tieän caän xieân x = 0 vaø x = m > 0. Tìm giôùi haïn cuûa dieän tích naøy khi m .®+ ¥ ÑS: m m 2S 3ln ; lim S . 2 ®+¥ +æ ö= = +¥ç ÷ è ø Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 143 Baøi 12. Cho (H): 2xy . x 1 = - a/ Chöùng minh raèng hình phaúng ñöôïc giôùi haïn bôûi (H), tieäm caän ngang vaø caùc ñöôøng thaúng x = a + 1; x = 2a + 1 coù dieän tích khoâng phuï thuoäc vaøo tham soá a döông. b/ Laäp phöông trình tieáp tuyeán (d) cuûa (H) taïi goác toaï ñoä. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (H), (d) vaø ñöôøng thaúng x = 2. ÑS: a/ 2ln2; b/ 2ln3. Baøi 13. Cho Parabol (P) : y = x2. Hai ñieåm A vaø B di ñoäng treân (P) sao cho AB = 2. a/ Tìm taäp hôïp trung ñieåm I cuûa AB b/ Xaùc ñònh vò trí cuûa A, B sao cho dieän tích cuûa phaàn maët phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø caùt tuyeán AB ñaït giaù trò lôùn nhaát. ÑS: a/ 2 2 1y x ; 1 4x = + + b/ max S 1; A( 1; 1);B(1; 1).= - Baøi 14. Ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm 1M ; 1 2 æ ö ç ÷ è ø vaø caùc baùn kính truïc döông Ox, Oy laäp thaønh moät tam giaùc. Xaùc ñònh (D) ñeå dieän tích tam giaùc coù giaù trò nhoû nhaát vaø tính giaù trò ñoù. ÑS: (D) : y 2x 2.= - + Baøi 15. Cho Parabol (P): y = x2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua I(1 ; 3) sao cho dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (d) vaø (P) ñaït giaù trò nhoû nhaát. ÑS: y 2x 1.= + Baøi 16. Treân Parabol (P) : 2y x= laáy hai ñieåm A(–1 ; 1) vaø B(3 ; 3). Tìm ñieåm M treân cung »AB cuûa (P) sao cho tam giaùc MAB coù dieän tích lôùn nhaát. ÑS: 1 1M ; 3 9 æ ö ç ÷ è ø Baøi 17. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): 2y x 1= + vaø caùc ñöôøng thaúng y = 0; x = 0; x = 1. Tieáp tuyeán taïi ñieåm naøo cuûa (C) seõ caét töø (H) ra moät hình thang coù dieän tích lôùn nhaát. ÑS: 5 1 5max S ; M ; . 4 2 4 æ ö= ç ÷ è ø Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 144 Chuù yù: Khi tìm theå tích cuûa vaät theå troøn xoay ta caàn xaùc ñònh: * Mieàn hình phaúng (H) sinh ra. ((H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: x =..., x = ..., y = ..., y = ...) * (H) quay quanh truïc Ox hoaëc truïc Oy ñeå ta duøng coâng thöùc thích hôïp. Neáu (H) quay quanh truïc Ox thì haøm döôùi daáu tích phaân laø y = f(x), bieán x vaø hai caän laø x. Neáu (H) quay quanh truïc Oy thì haøm döôùi daáu tích phaân laø x = f(y), bieán y vaø hai caän laø y. Vaán ñeà 1: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: (C) :y f(x); y 0; x a;x b (a b)= = = = < sinh ra khi quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: b b 2 2 a a V y .dx [d(x)] .dx= p = pò ò Dieän tích: b a S f(x) .dx= ò Theå tích: b 2 a V [f(x)] .dx= pò Vaán ñeà 2: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: (C) :x f(y), x 0, y a, y b (a b)= = = = < sinh ra khi quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: b b 2 2 a a V x .dy [f(y)] .dy= p = pò ò Dieän tích: b a S f(y) dy.= ò Theå tích: b 2 a V [f(y)] .dy= pò y x b a (H) (C) y x (H) (C) a b y x b a (H) (C) 0 y x (C) a b 0 §Baøi 2: THEÅ TÍCH VAÄT TROØN XOAY Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 145 Vaán ñeà 3: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: 1 2(C ) : y f(x), (C ) : y g(x), x a, x b (a b)= = = = < vôùi f(x) vaø g(x) cuøng daáu) sinh ra khi quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi: b 2 2 a V f (x) g (x) .dx= p -ò (3) * f(x) vaø g(x) cuøng daáu coù nghóa laø hai phaàn ñoà thò cuøng naèm moät phía ñoái vôùi truïc Ox, vôùi moïi x Î ñoaïn [a; b]. * Ñeå boû daáu “| |” trong coâng thöùc (3) ta chuù yù caùc tröôøng hôïp sau: TH1: 1 2(C ) (C ) vaø f(x) g(x) 0, x [a; b]:Ç = Æ > ³ " Î b 2 2 a (3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò TH2: 1 2(C ) (C ) vaø f(x) g(x) 0, x [a; b]:Ç = Æ < £ " Î b 2 2 a (3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò TH3: 1 2(C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä x = a, x = b vaø d(x) > g(x) ³ 0, x [a; b]:" Î b 2 2 a (3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò TH4: 1 2(C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä x = a vaø f(x) < g(x) £ 0, x [a; b]:" Î b 2 2 a (3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò y x 0 (H) a b (C2) (C1) y y x 0 (H) a b (C1) (C2) y y x (H) A B a b 0 (C2) (C1) y x (H) A B a b 0 (C2) (C1) Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 146 TH5: 1 2(C ) caét (C ) taïi 3 ñieåm A, B, C, trong ñoù xA = a xB = b, xC = c vôùi a < c < b nhö hình beân: 1 2(3) V V VÛ = + c b 2 2 2 2 a c [f (x) g (x)]dx [g (x) f (x)]dx.= p - + p -ò ò Vaán ñeà 4: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: 1 2(C ) : x f(y), (C ) : x g(y), y a, y b (a b)= = = = < vôùi f(y) vaø g(y) cuøng daáu) sinh ra khi quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi: b 2 2 a V f (y) g (x) .dy= p -ò (4) TH1: 1 2 1 2(C ) (C ) vaø x f(y) x g(y) 0,Ç =Æ = > = ³ vôùi moïi y [a; b].Î b 2 2 a (4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ò TH3: 1 2(C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù tung ñoä A By a y b= = ³ vôùi moïi y [a; b].Î b 2 2 a (4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ò * Caùc TH2, TH4 vaø TH5 thöïc hieän töông töï nhö vaán ñeà 3. Ví duï 1: Xeùt hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) : y2 = 8x vaø ñöôøng thaúng x = 2. Tính theå tích khoái troøn xoay khi quay hình phaúng noùi treân: a/ quanh truïc hoaønh b/ quanh truïc tung. Giaûi: a/ 2(P): y 8x (P) : y 8x (x 0)= Û = ± ³ Theå tích V khoái troøn xoay sinh ra khi quay hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø x = 2 quanh truïc Ox laø: y x C (C1) (C2) V2 V1 A a c b B y x2 (H) C2 C1 b a A B x1 x (H) x1 x2 y x 0 C2 C1 a b Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 147 2 2 2 0 0 V y .dx 8x.dx 16= p = p = pò ò (ñvtt). b/ 2 21(P) : y 8x x y 8 = Û = Theå tích V khoái ... quanh truïc tung laø: 24 4 2 2 2 4 1 4 1 1 899V 2 y du 2 y dy ... 8 64 32- - pæ ö æ ö= p - = p - = =ç ÷ ç ÷ è ø è øò ò (ñvtt). Ví duï 2: Goïi (H) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi truïc hoaønh vaø parabol (p) : 2y 2x x= - . Tính theå tích cuûa khoái troøn xoay khi cho (H) a/ quay quanh truïc hoaønh b/ quay quanh truïc tung. Giaûi: a/ Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc hoaønh laø: 2 2 2 2 2 0 0 16V y .dx (2x x ) dx ... 15 p = p = p - = =ò ò (ñvtt). b/ 2 2(P) : y 2x x x 2x y 0 (1)= - Û - + = 1 1 2 2 ' 1 y 0 0 y 1 x 1 1 y, (0 x 1) (1) x 1 1 y, (1 x 2) D = - ³ Û £ £ é = - - £ £ Û ê ê = + - £ £ë Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc tung laø: 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 0 0 8V (x x )dy (x x )(x x )dy 2(2 1 y)dy ... . 3 p = p - = p + - = p - = =ò ò ò Ví duï 3: Cho hình giôùi haïn elip: 2 2x y 1 4 + = quay quanh truïc hoaønh. Tính theå tích cuûa khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân. Giaûi: 2 2 2 2 2x x 1(E) : y 1 y 1 y 4 x , (| x | 2) 4 4 2 + = Û = - Û = ± - £ Theå tích V khoái troøn xoay caàn tìm laø: 2 2 2 2 2 2 8V y .dx (4 x ).dx ... 4 3- - p p = p = - = =ò ò (ñvtt). Ví duï 4: Goïi (D) laø mieàn kín giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y x, y 2 x= = - vaø y = 0. Tính theå tích vaät theå troøn xoay khi quay (D) quanh truïc Oy. Giaûi: y x 0 –1 2 –2 1 y x 2 1 0 (H) 1 (P) x2 x1 x y 4 0 – x = 2 2 (P) Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 148 · 1y x x x 2= Û = = · 2y 2 x x x 2 y.= - Û = = - · Theå tích vaät theå troøn xoay khi quay (D) quanh truïc Oy laø: 1 1 2 2 2 2 2 2 1 0 0 V (x x )dy [(2 y) (y ) ]= p - = p - -ò ò 32 15 p = (ñvtt). BAØI TAÄP Baøi 18. Tính vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi pheùp quay quanh truïc Ox cuûa mieàn (D) giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/ 2x y 5 0; x y 3 0.+ - = + - = c/ 2y x ; y x.= = d/ 2 2y x 4x 6; y x 2x 6.= - + = - - + e/ 2y x(x 1) .= - f/ xy x.e ; x 1; y 0 (0 x 1)= = = £ £ g/ x x 2y e ; y ; x 0; x 2.- += = = = h/ 3y x ln(1 x ); x 1.= + = i/ 2(P) : y x (x 0), y 3x 10; y 1= > = - + = (mieàn (D)) naèm ngoaøi (P)). k/ 4 4y cos x sin x; y 0; x ; x . 2 p = + = = = p ÑS: a/ 22 (ln 2 1) ;p - b/ 153 ; 5 p c/ 3 ; 10 p d/ 3p e/ . 105 p f/ 2(e 1) ; 4 p - g/ 2 2(e 1) ;p - h/ (2 ln 2 1). 3 p - i/ 56 . 5 p k/ 23 . 8 p Baøi 19. Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo thaønh do quay xung quanh truïc oy hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ 2y x ; y 1; y 2.= = = . b/ 2 2y x ; x y .= = c/ Ñöôøng troøn taâm I(3 ; 0), baùn kính R = 2. ÑS: a/ 3 ; 2 p b/ 3 ; 10 p c/ 224 .p Baøi 20. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong 1y ; x = truïc Ox; x = 1 vaø x = t a/ Tính dieän tích S(t) cuûa (H) vaø theå tích V(t) sinh bôûi (H) khi quay quanh Ox. b/ Tính: t lim S(t) ®+¥ vaø t lim V(t). ®+¥ y x 4 2 1 0 1 2 y x= y 2 x= - A Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 149 ÑS: a/ S(t) ln t; V(t) ; t p = = p - b/ t t lim S(t) ; lim V(t) ®+¥ ®+¥ = +¥ = p Baøi 21. Cho mieàn (D) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): 2 2x y 8+ = vaø parabol (p): 2y 2x.= a/ Tính dieän tích S cuûa (D). b/ Tính theå tích V sinh bôûi (D) khi quay quanh Ox. ÑS: a/ 4 2 . 3 - p b/ 4 (8 2 7). 3 p - Baøi 22. Tính theå tích vaät theå giôùi haïn bôûi caùc maët taïo neân khi quay caùc ñöôøng: a/ 2 / 3xy b (0 x a) a æ ö= £ £ç ÷ è ø quanh truïc Ox. b/ y sin x; y 0 (0 x )= = £ £ p a/ quanh truïc Ox b/ quanh truïc Oy. c/ 2x xy b ; y b a a æ ö= =ç ÷ è ø a/ quanh truïc Ox. b/ Quanh truïc Oy. d/ xy e ; y 0 (0 x )-= = £ < +¥ quanh truïc Ox vaø Oy. ÑS: a/ 23 ab ; 7 p b/ 2 x/ V ;2 p a = 2y/ V 2 .b = p c/ 2x 4/ V ab ; 15 a = p 2 y ab/ V . 6 p b = d/ x/ V ;2 p a = y/ V 2 .b = p Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 150 Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: a/ 2 2 2 x .dx; - +ò b/ 1 2 2 0 x dx ; 4 x- ò c/ 2 2 1 x 1 dx; x - ò d/ 1 2 3 0 dx ; (1 x )+ ò e/ 1 2 2 2 0 x dx ; (x 1)+ò f/ / 4 2 0 x dx; cos x p ò g/ / 2 x 0 e .cos xdx; p ò h/ / 4 4 4 x / 4 sin x cos xdx; 3 1 p -p + +ò i/ 0 cos2x.dx ; sin x cosx 2 p + +ò k/ 5 /12 2 /12 dx ; sin 2x 2 3 cos x 2 3 p p + + - ò ÑS: a/ 8 (4 2); 3 - b/ 3 ; 3 2 p - c/ 3 ; 3 p - d/ 2 ; 2 e/ 1 1 ln 2; 4 4 - + f/ 2ln ; 4 2 p + g/ / 21 (e 1); 2 p - h/ 3 ; 16 p i/ 2ln3 – 2; k/ 3 . 4 Baøi 2. Bieát 2 2)x 1), x 0 f(x) K(1 x ), x 0 - + £ì = í - >î . Tìm giaù trò K ñeå 1 1 f(x).dx 1. - =ò ÑS: K = 3. Baøi 3. a/ Cho haøm soá 2x x e e f(x) t.ln t.dt.= ò Tìm hoaønh ñoä ñieåm cöïc ñaïi x. b/ Tìm giaù trò 3x 0; 2 pæ öÎç ÷ è ø ñeå haøm soá 2x x sin tf(x) dt t = ò ñaït cöïc ñaïi. ÑS: a/ x ln 2.= - b/ x . 3 p = Baøi 4. Cho haøm soá x 2 0 2t 1f(x) dt, 1 x 1. t 2t 2 + = - £ £ - +ò Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f. ÑS: a/ 1min f f ; 2 æ ö= -ç ÷ è ø b/ max f f(1).= Baøi 5. Cho haøm soá x 2 0 f(x) (t 1)(t 2) dt.= - -ò Tìm ñieåm cöïc trò vaø ñieåm uoán cuûa ñoà thò f. OÂN TAÄP TÍCH PHAÂN Traàn Só Tuøng Tích phaân Trang 151 ÑS: 17 4 4 112CT : 1; ; Ñ.Uoán : 2; ; ; 12 3 3 81 æ ö æ ö æ ö- -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø Baøi 6. Ñöôøng thaúng (D): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C) : 2 2x y 5+ = thaønh 2 phaàn, tính dieän tích cuûa moãi phaàn. ÑS: 1 2 5 5 15 5S ; S . 4 2 4 2 p p = - = + Baøi 7. Xeùt hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): 1y ; y 0 x = = ; x = 1; x = 2. Tìm toaï ñoä ñieåm M treân (C) maø tieáp tuyeán taïi M seõ caét töø (H) ra moät hình thang coù dieän tích lôùn nhaát. ÑS: 3 2M ; . 2 3 æ ö ç ÷ è ø Baøi 8. Cho ñieåm A thuoäc (P): y = x2, (A khaùc goác O); (D) laø phaùp tuyeán taïi A cuûa (P) ((D) vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi A vôùi (P)). Ñònh vò trí cuûa A ñeå dieän tích giôùi haïn ñænh bôûi (P) vaø (D) laø nhoû nhaát. ÑS: 4 1 1 1 1min S ; A ; hay A ; . 3 2 4 2 4 æ ö æ ö= -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Baøi 9. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: 2 2x y 1 16 4 x 4 2 ì - =ï í ï =î . Tính theå tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy. ÑS: 128 . 3 p Baøi 10. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: 2y ax , a 0 y bx, b 0 ì = > í = - >î . Quay hình (H) ôû goùc phaàn tö thöù hai cuûa heä toaï ñoä quanh truïc Ox. Tìm heä thöùc giöõa a vaø b ñeå theå tích khoái troøn xoay sinh ra laø haèng soá, khoâng phuï thuoäc vaøo a vaø b. ÑS: b5 = K.a3, vôùi K laø haèng soá döông baát kyø. Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 2y x 4x 3 , y x 3.= - + = + (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT–khoái A_2002) ÑS: 109 6 (ñvdt). Baøi 12. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 2 2x xy 4 vaø y . 4 4 2 = - = (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT – khoái B _ 2002) Tích phaân Traàn Só Tuøng Trang 152 ÑS: 42 3 p + (ñvdt). Baøi 13. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): 3x 1y x 1 - - = - vaø hai truïc toaï ñoä. (Ñeà thi.......................................... khoái D_2002) ÑS: 41 4 ln 3 + (ñvdt). Baøi 14. Tính tích phaân 2 3 2 5 dxI . x x 4 = + ò (Ñeà thi.......................................... khoái A_2003) ÑS: 1 5ln . 4 3 Baøi 15. Tính tích phaân / 2 2 0 1 2sin xI dx. 1 sin2x p - = +ò (Ñeà thi.......................................... khoái B_2003) ÑS: 1 ln2. 2 Baøi 16. Tính tích phaân 2 2 0 I x x dx.= -ò (Ñeà thi.......................................... khoái D_2003) ÑS: 1. Baøi 17. Tính tích phaân 2 1 xI dx. 1 x 1 = + +ò (Ñeà thi.......................................... khoái A_2004) ÑS: 11 4 ln 2. 3 - Baøi 18. Tính tích phaân e 1 1 3ln x.ln xI dx x + = ò (Ñeà thi.......................................... khoái B_2004) ÑS: 116 . 135 Baøi 19. Tính tích phaân 3 2 2 I ln(x x)dx.= -ò (Ñeà thi.......................................... khoái D_2004) ÑS: 3ln3 – 2.