Tài liệu ôn thi cao học - Đại số tuyến tính

ại (2), nên tất cả các cột đều là loại (1). Và do đó có đúng 1 định thức dạng (3) là:∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 − x 0 . . . 0 0 a2 − x . . . 0 ... ... . . . ... 0 0 . . . an − x ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (a1 − x) . . . (an − x) Vậy D bằng tổng của tất cả các định thức của 3 dạng trên và bằng: x(a1 − x) . . . (an − x) ( 1 x + 1 a1 − x + . . . + 1 an − x ) 9. Tính ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 + b1 a1 + b2 . . . a1 + bn a2 + b1 a2 + b2 . . . a2 + bn ... ... . . . ... an + b1 an + b3 . . . an + bn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 Giải : 6 Định thức này có thể được tính bằng phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các định thức với cách giải tương tự như bài 8. Chi tiết của cách giải này xin dành cho bạn đọc. Ở đây chúng tôi đưa ra một cách tính nửa dựa vào phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định thức. Với n ≥ 2 ta có: A =  a1 + b1 a1 + b2 . . . a1 + bn a2 + b1 a2 + b2 . . . a2 + bn ... ... . . . ... an + b1 an + b3 . . . an + bn  =  a1 1 0 . . . 0 a2 1 0 . . . 0 a3 1 0 . . . 0 ... ... ... . . . ... an 1 0 . . . 0  ︸ ︷︷ ︸ B  1 1 . . . 1 b1 b2 . . . bn 0 0 . . . 0 ... ... . . . ... 0 0 . . . 0  ︸ ︷︷ ︸ C Bởi vậy, ta có: D = detA = det(BC) = detB.detC = { 0 nếu n > 2 (a1 − a2)(b2 − a1) nếu n = 2 10. Tính ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ cos(α1 − β1) cos(α1 − β2) . . . cos(α1 − βn) cos(α2 − β1) cos(α2 − β2) . . . cos(α2 − βn) ... ... . . . ... cos(αn − β1) cos(αn − β2) . . . cos(αn − βn) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ Để tính định thức này ta dùng phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định thức. Với n ≥ 2 ta có: A =  cos(α1 − β1) cos(α1 − β2) . . . cos(α1 − βn) cos(α2 − β1) cos(α2 − β2) . . . cos(α2 − βn) ... ... . . . ... cos(αn − β1) cos(αn − β2) . . . cos(αn − βn)  =  cosα1 sinα1 0 . . . 0 cosα2 sinα2 0 . . . 0 cosα3 sinα3 0 . . . 0 ... ... ... . . . ... cosαn sinαn 0 . . . 0  ︸ ︷︷ ︸ B  cos β1 cos β2 . . . cos βn sin β1 sin β2 . . . sin βn 0 0 . . . 0 ... ... . . . ... 0 0 . . . 0  ︸ ︷︷ ︸ C Bởi vậy ta có: D = detA = det(BC) = detB.detC = { 0 nếu n > 2 sin(α2 − α1). sin(β2 − α1) nếu n = 2 7 11. Tính định thức cấp 2n D2n = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 b 0 a . . . 0 0 0 0 . . . b 0 ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... ... 0 0 . . . a 0 0 b . . . 0 0 0 0 . . . 0 a b 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 b a 0 . . . 0 0 0 0 . . . b 0 0 a . . . 0 0 ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... ... 0 b . . . 0 0 0 0 . . . a 0 b 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 a ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 2n×2n (1) (2) (n− 1) (n) (n + 1) (n + 2) (2n− 1) (2n) Giải : Xét khi a 6= 0 - Nhân dòng (1) với − b a cộng vào dòng (2n) - Nhân dòng (2) với − b a cộng vào dòng (2n-1) ..................................................................... - Nhân dòng (n) với − b a cộng vào dòng (n+1) Ta có : D2n = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 b 0 a . . . 0 0 0 0 . . . b 0 ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... ... 0 0 . . . a 0 0 b . . . 0 0 0 0 . . . 0 a b 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 a2 − b2 a 0 . . . 0 0 0 0 . . . b 0 0 a2 − b2 a . . . 0 0 ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... ... 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . a2 − b2 a 0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 a2 − b2 a ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (a2−b2)n Khi a 6= 0, do tính liên tục của định thức công thức trên vẫn đúng. Vậy ta có: D2n = (a 2 − b2)n 8 Chú ý : Khai triển định thức theo dòng (1), sau đó khai triển các định thức cấp (2n− 1) vừa nhận được theo dòng (2n− 1). Ta sẽ có công thức truy hồi: D2n = (a 2 − b2)D2(n−1) Do công thức trên đúng với mọi n ≥ 2 nên : D2n = (a 2−b2)D2(n−1) = (a2−b2)2D2(n−2) = . . . = (a2−b2)n−1D2 = (a2−b2)n (Chi tiết của cách làm này xin dành cho bạn đọc). 12. Tính định thức cấp 2n D2n = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 0 . . . 0 ... b1 0 . . . 0 0 a2 . . . 0 ... 0 b2 . . . 0 ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... 0 0 . . . an ... 0 0 . . . bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c1 0 . . . 0 ... d1 0 . . . 0 0 c2 . . . 0 ... 0 d2 . . . 0 ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... 0 0 . . . cn ... 0 0 . . . dn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (1) (2) (n) (n + 1) (n + 2) (2n) Xét khi a1, a2, . . . , an đều khác 0 : - Nhân dòng (1) với − c1 a1 rồi cộng vào dòng (n + 1) - Nhân dòng (2) với − c2 a2 rồi cộng vào dòng (n + 2) ............................................................................. - Nhân dòng (n) với − cn an rồi cộng vào dòng (2n) 9 Ta có : D2n = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 0 . . . 0 ... b1 0 . . . 0 0 a2 . . . 0 ... 0 b2 . . . 0 ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... 0 0 . . . an ... 0 0 . . . bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 ... a1d1 − b1c1 a1 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... 0 a2d2 − b2c2 a2 . . . 0 ... ... . . . ... ... ... ... . . . ... 0 0 . . . 0 ... 0 0 . . . andn − bncn an ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (a1d1 − b1c1) . . . (andn − bncn) = n∏ i=1 (aidi − bici) Khi các a1, a2, . . . , an bằng 0, do tính liên tục của định thức công thức trên vẫn đúng. Vậy ta có : D2n = n∏ i=1 (aidi − bici) Chú ý : Khai triển định thức theo dòng thứ n, sau đó khai triển các định thức cấp 2n− 1 vừa nhận được theo dòng (2n− 1) ta sẽ có công thức truy hồi: D2n = (andn − bncn)D2(n−1) ∀n ≥ 2 Do đó, ta có: D2n = (andn − bncn)D2(n−1) = (andn − bncn)(an−1dn−1 − bn−1cn−1)D2(n−2) = . . . = (andn − bncn) . . . (a2d2 − b2c2)D1 = n∏ i=1 (aidi − bici) (Chi tiết của cách này xin dành cho bạn đọc) 1 1Người đánh máy : Nguyễn Ngọc Quyên 10 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 15 tháng 11 năm 2004 Hạng Của Ma Trận Cùng với định thức, ma trận (đặc biệt là hạng của ma trận) là các công cụ cơ bản để giải quyết các bài toán về hệ phương trình tuyến tính nói riêng và đại số tuyến tính nói chung. Bài viết này sẽ giới thiệu định nghĩa, các tính chất cơ bản của hạng ma trận, và hai phương pháp cơ bản để tính hạng của ma trận. 1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản Trước hết, cần nhớ lại khái niệm định thức con cấp k của một ma trận. Cho A là ma trận cấp m×n; k là số tự nhiên 1 ≤ k ≤ min{m,n}. Chọn ra k dòng, k cột bất kỳ của A. Các phần tử thuộc giao của k dòng, k cột này tạo thành ma trận vuông cấp k, gọi là ma trận con cấp k của ma trận A. Định thức của ma trận con cấp k này gọi là một định thức con cấp k của A. 1.1 Định nghĩa hạng của ma trận Cho A là ma trận cấp m× n khác không. Hạng của ma trận A là số tự nhiên r, 1 ≤ r ≤ min{m,n} thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0. 2. Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0. Nói cách khác, hạng của ma trận A 6= O chính là cấp cao nhất của các định thức con khác không của ma trận A. Hạng của ma trận A ký hiệu là r(A) hoặc rank(A). Qui ước: hạng của ma trận không O là 0. 1.2 Các tính chất cơ bản về hạng của ma trận 1.2.1 Tính chất 1 Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, tức là rankAt = rankA. 1 1.2.2 Tính chất 2 Nếu A là ma trận vuông cấp n thì rankA = n ⇐⇒ detA 6= 0 rankA < n ⇐⇒ detA = 0 Nếu xảy ra trường hợp đầu, ta nói A là ma trận vuông không suy biến. Nếu xảy ra trường hợp thứ hai, ta nói A là ma trận vuông suy biến. 1.2.3 Tính chất 3 Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thì rank(A + B) ≤ rankA + rankB 1.2.4 Tính chất 4 Cho A, B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB. Khi đó 1. rank(AB) ≤ min{rankA, rankB} 2. Nếu A là ma trận vuông không suy biến thì rank(AB) = rankB. 2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức 2.1 Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy ra ngay thuật toán sau đây để tìm hạng của ma trận A cấp m× n (A 6= O) Bước 1 Tìm một định thức con cấp k khác 0 của A. Số k càng lớn càng tốt. Giả sử định thức con cấp k khác không là Dk. Bước 2 Xét tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức Dk. Xảy ra 3 khả năng sau 1. Không có một định thức con cấp k + 1 nào của A. Khả năng này xảy ra khi và chỉ khi k = min{m,n}. Khi đó rankA = k = min{m,n}. Thuật toán kết thúc. 2. Tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức con Dk đều bằng 0. Khi đó rankA = k. Thuật toán kết thúc. 3. Tồn tại một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1 chứa định thức con Dk khác 0. Khi đó lặp lại bước 2 với Dk+1 thay cho Dk. Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi xảy ra trường hợp (1) hoặc (2) thì thuật toán kết thúc. 2 2.2 Ví dụ Tìm hạng của ma trận A =  1 2 2 1 4 −1 1 1 1 3 1 3 3 2 2 2 1 1 0 1  Giải Đầu tiên ta thấy A có định thức con cấp 2, D2 = ∣∣∣∣ 1 2−1 1 ∣∣∣∣ = 3 6= 0 (Định thức này được tạo thành bởi 2 dòng đầu, 2 cột đầu của A) Xét các định thức con cấp 3 của A chứa D2, ta thấy có định thức con cấp 3 khác 0. Đó là định thức D3 = ∣∣∣∣∣∣ 1 2 1 −1 1 1 1 3 2 ∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0 (Định thức này được thành bởi các dòng 1, 2, 3, các cột 1, 2, 4 của A) Tiếp tục, xét các định thức con cấp 4 của A chứa D3. Có tất cả 2 định thức như vậy, đó là D4,1 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 2 1 −1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣ và D4,2 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 1 4 −1 1 1 3 1 3 2 2 2 1 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ Cả 2 định thức này đều bằng 0. Do đó rankA = 3. Chú ý. Có thể nhận xét dòng (4) của ma trận A là tổ hợp tuyến tính của dòng (1) và dòng (2); dòng (4) = dòng (1) - dòng (2), nên dễ dàng thấy được D4,1 = 0, D4,2 = 0. Việc tìm hạng của ma trận bằng định thức như trên phải tính toán khá phức tạp nên trong thực tế người ta ít sử dụng mà người ta thường sử dụng phương pháp tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp sau đây. 3 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) Trước khi giới thiệu phương pháp này, ta cần nhớ lại một số khái niệm sau 3.1 Ma trận bậc thang 3.1.1 Định nghĩa Ma trận A cấp m× n khác không gọi là một ma trận bậc thang nếu tồn tại số tự nhiên r, 1 ≤ r ≤ min{m,n} thỏa các điều kiện sau: 3 1. r dòng đầu của A khác không. Các dòng từ thứ r + 1 trở đi (nếu có) đều bằng 0. 2. Xét dòng thứ k với 1 ≤ k ≤ r. Nếu (A)kik là phần tử đầu tiên bên trái (tính từ trái sang phải) khác 0 của dòng k thì ta phải có i1 < i2 < · · · < ir. Các phần tử (A)kik gọi là các phần tử được đánh dấu của ma trận A. Các cột chứa các phần tử được đánh dấu (các cột i1, i2, . . . , ir) gọi là cột đánh dấu của ma trận A. Như vậy, điều kiện (2) có thể phát biểu lại như sau: Nếu đi từ dòng trên xuống dưới thì các phần tử đánh dấu phải lùi dần về phía phải. Và như vậy, ma trận bậc thang có dạng như sau: i1 i2 ir A =  0 . . . 0 (A)∗1 i1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 0 . . . 0 (A)∗2 i2 . . . . . . . . . . . . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (A)∗r ir · · · 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . . 0 . . . . . . 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . . 0 . . . . . . 0  (1) (2) (r) (r + 1) (m) Ta có nhận xét quan trọng sau: Nếu A là ma trận bậc thang thì số r trong định nghĩa chính là rankA. Thật vậy, có thể chỉ ra một định thức con cấp r của A khác 0 chính là định thức Dr tạo bởi r dòng đầu và r cột đánh dấu i1, i2, . . . , ir. Dr = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (A)1 i1 · · · · · · · · · 0 (A)2 i2 · · · · · · ... ... . . . ... 0 0 · · · (A)r ir ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (A)1 i1(A)2 i2 . . . (A)r ir 6= 0 Ngoài ra, các định thức con cấp r + 1 của A đều tạo bởi r + 1 dòng nào đó nên có ít nhất một dòng bằng không. Do đó, chúng đều bằng 0. 3.1.2 Ví dụ về các ma trận bậc thang A =  0 1∗ 2 0 0 3 4 0 0 0 0 3∗ 4 −1 0 0 0 0 0 0 1∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2∗ 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  B =  1∗ 0 0 0 0 0 0 0 −1∗ 2 0 0 3 4 0 0 0 0 3∗ 0 0 0 0 0 0 0 4∗ 1 0 0 0 0 0 0 5∗  Các ma trận A, B đều là các ma trận bậc thang, và ta có rankA = 4 (bằng số dòng khác không của A), rankB = 5 (bằng số dòng khác không của B). 4 3.2 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ba phép biến đổi sau gọi là phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận: 1. Đổi chỗ 2 dòng cho nhau. 2. Nhân một dòng cho một số khác 0. 3. Nhân một dòng cho một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác. Tương tự, bằng cách thay dòng thành cột, ta có 3 phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận. 3.3 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp Nội dung của phương pháp này dựa trên hai nhận xét khá đơn giản sau 1. Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. 2. Một ma trận khác O bất kỳ đều có thể đưa về dạng bậc thang sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Như vậy, muốn tìm hạng của ma trận A, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa A về dạng bậc thang, do nhận xét (1), hạng của A bằng hạng của ma trận bậc thang, và ta đã biết hạng của ma trận bậc thang chính bằng số dòng khác không của nó. Cần lưu ý bạn đọc rằng: kỹ năng đưa một ma trận về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp là một kỹ năng cơ bản, nó cần thiết không chỉ trong việc tìm hạng của ma trận mà còn cần để giải nhiều bài toán khác của Đại số tuyến tính. Sau đây, chúng tôi xin đưa ra một thuật toán để đưa một ma trận về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp: Xét ma trận A =  a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn  3.3.1 Bước 1 Bằng cách đổi chỗ 2 dòng cho nhau (nếu cần), ta luôn có thể giả sử a11 6= 0. Nhân dòng (1) với −a21 a11 , cộng vào dòng (2), Nhân dòng (1) với −a31 a11 , cộng vào dòng (3), ... Nhân dòng (1) với −an1 a11 , cộng vào dòng (n). Ta nhận được ma trận 5 A1 =  a11 a12 · · · · · · a1n 0 b22 · · · · · · b2n 0 b32 · · · · · · b3n ... ... . . . . . . ... 0 bm2 · · · · · · bmn  Chú ý. Nếu toàn bộ cột 1 bằng 0 (a11 = 0, a21 = 0, . . . , an1 = 0 thì ta có thể bỏ qua cột 1 mà thực hiện bước 1 với cột kế tiếp. 3.3.2 Bước 2 Xét ma trận B =  b22 · · · · · · b2n b32 · · · · · · b3n ... ... . . . ... bm2 · · · · · · bmn  Nếu B = O hoặc B có dạng bậc thang thì A1 là ma trận bậc thang, thuật toán kết thúc. Trong trường hợp ngược lại, tiếp tục lặp lại bước 1 cho ma trận B. Cần chú ý rằng ma trận B có ít hơn ma trận A 1 dòng và 1 cột. Do đó, sau một số hữu hạn bước lặp, B sẽ là ma trận không hoặc ma trận bậc thang. Khi đó, thuận toán sẽ kết thúc. 3.4 Ví dụ 3.4.1 Ví dụ 1 Tìm hạng của ma trận A =  0 1 3 4 6 1 −3 4 5 2 −3 5 −2 −3 −4 −2 3 5 6 4  Giải A d1↔d2−→  1 −3 4 5 2 0 1 3 4 6 −3 5 −2 −3 −4 −2 3 5 6 4  d3→3d1+d3−→d4→2d1+d4  1 −3 4 5 2 0 1 3 4 6 0 −4 10 12 2 0 −3 13 16 8  d3↔4d2+d3−→ d4→3d2+d4  1 −3 4 5 2 0 1 3 4 6 0 0 22 28 26 0 0 22 28 26  d4→−d1+d4−→  1 −3 4 5 2 0 1 3 4 6 0 0 22 28 26 0 0 0 0 0  Vậy rankA = 3 6 3.4.2 Ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận vuông cấp n B =  a 1 1 · · · 1 1 a 1 · · · 1 ... ... ... . . . ... 1 1 1 · · · a  Giải B c1→c1+c2+···+cn−→  a + n− 1 1 1 · · · 1 a + n− 1 a 1 · · · 1 ... ... ... . . . ... a + n− 1 1 a · · · a  d2=d2−d1 d3=d3−d1−→ ······ dn=dn−d1  a + n− 1 1 1 · · · 1 0 a− 1 0 · · · 0 ... ... ... . . . ... 0 0 0 · · · a− 1  = C Xảy ra 3 trường hợp sau: 1. a 6= 1− n, a 6= 1, khi đó ma trận C là ma trận bậc thang và rankB = rankC = n 2. a = 1, khi đó ma trận C là ma trận bậc thang và rankB = rankC = 1 3. a = 1− n, khi đó C =  0 1 1 · · · 1 0 −n 0 · · · 0 ... ... ... . . . ... 0 0 0 · · · −n  Do đó, C không là ma trận bậc thang nhưng có định thức con cấp n− 1 khác không, đó là định thức con tạo bởi n− 1 dòng cuối, n− 1 cột cuối Dn−1 = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −n 0 · · · 0 0 −n · · · 0 ... ... ... . . . ... 0 0 · · · −n ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−n) n−1 6= 0 và detC = 0 Do đó, rankC = n− 1 Bởi vậy, rankB = n− 1. 7 BÀI TẬP Tìm hạng của các ma trận sau 13.  4 3 −5 2 3 8 6 −7 4 2 4 3 −8 2 7 8 6 −1 4 −6  14.  3 −1 3 2 5 5 −3 2 3 4 1 −3 5 0 7 7 −5 1 4 1  15.  2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 5 5 6 7 5 5  16.  2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 2 3 4 1 1 1 1  17.  3 1 1 4 a 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3  18.  −1 2 1 −1 1 a −1 1 −1 −1 1 a 0 1 1 1 2 2 −1 1  Tìm hạng của các ma trận vuông cấp n 19.  1 + a a · · · a a 1 + a · · · a ... ... . . . a a a · · · 1 + a  20.  0 1 1 · · · 1 1 0 x · · · x 1 x 0 · · · x ... ... ... . . . ... 1 x x · · · 0  8 21.  a b · · · b b a · · · b ... ... . . . ... b b · · · a  9 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH GIẢI BÀI TẬP HẠNG CỦA MA TRẬN Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 3 tháng 12 năm 2004 13) Tìm hạng của ma trận: A =  4 3 −5 2 3 8 6 −7 4 2 4 3 −8 2 7 8 6 −1 4 −6  Giải: A d2→(−2)d1+d2−−−−−−−−→ d3→−d1+d3 d4→(−2)d1+d4  4 3 −5 2 3 0 0 3 0 −4 0 0 −3 0 4 0 0 9 0 −12  d3→−d2+d3−−−−−−−→d4→(−3)d2+d4  4 3 −5 2 3 0 0 3 0 −4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  Vậy rank A = 3 . 14) Tìm hạng của ma trận: A =  3 −1 3 2 5 5 −3 2 3 4 1 −3 5 0 7 7 −5 1 4 1  Giải: A đổi dòng−−−−−→  1 −3 5 0 7 3 −1 3 2 5 5 −3 2 3 4 7 −5 1 4 1  d2→ - 3d1 + d2−−−−−−−−−→d3→−5d1+d3 d4→−2d1+d4  1 −3 5 0 7 0 8 −12 2 −16 0 12 −23 3 −31 0 16 −34 4 −48  d3→−3 2 d2 + d3−−−−−−−−−→ d4→−7d1+d4  1 −3 5 0 7 0 8 −12 2 −16 0 0 −5 0 −7 0 0 −10 0 −16  d4→−2d3+d4−−−−−−−→  1 −3 5 0 7 0 8 −12 2 −16 0 0 −5 0 −7 0 16 0 0 −2  Vậy rank A = 4 . 1 15) Tìm hạng của ma trận: A =  2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 5 5 6 7 5 5  Giải A d1↔d2−−−−→  1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 3 4 3 4 3 4 5 5 6 7 5 5  d2→−2d1+d2−−−−−−−→d3→−3d1+d3 d4→−5d1+d4  1 2 1 2 1 2 0 −3 0 −3 0 −3 0 −2 0 −2 0 −2 0 −5 1 −3 0 −5  d2↔− 1 3 d2−−−−−→  1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 −2 0 −2 0 −2 0 −5 1 −3 0 −5  d3→2d2+d3−−−−−−→d4→5d2+d4  1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0  d3↔d4−−−−→  1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0  Vậy rank A = 3 . 16) Tìm hạng của ma trận: A =  2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 2 3 4 1 1 1 1  Giải: A đổi dòng−−−−−→  1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 2 3 4  d2→−2d1+d2 d3→−d1+d4−−−−−−−→ d4→−d1+d4 d5→−d1+d5 d6→−d1+d6  1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 1 2 3  d3→2d2+d3−−−−−−→ d6→d2+d6  1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 0 −2 −2 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 1 2  d3↔d6−−−−→  1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 0 1 2 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 −2 −2  2 d4→−3d3+d4−−−−−−−→ d6→2d3+d6  1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 0 1 2 0 0 0 −6 0 0 0 4 0 0 0 2  d5→ 2 3 d4+d5−−−−−−−→ d6→ 1 3 d4+d6  1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 0 1 2 0 0 0 −6 0 0 0 0 0 0 0 0  Vậy rank A = 4 . 17) Tìm hạng của ma trận : A =  3 1 1 4 a 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 3  Giải: A đổi cột−−−−→  1 1 4 3 4 10 1 a 7 17 3 1 2 4 3 2  d2→−4d1+d2−−−−−−−→d3→−7d1+d3 d4→−2d1+d4  1 1 4 3 0 6 0 a− 12 0 10 −25 −20 0 2 −5 −4  đổi dòng−−−−−→  1 1 4 3 0 2 −5 −4 0 6 0 a− 12 0 10 −15 −20  d3→−3d2+d3−−−−−−−→d4→−5d2+d4  1 1 4 3 0 2 −5 −4 0 0 15 a 0 0 0 0  Vậy rank A = 3. Với mọi a. 18) Tìm hạng của ma trận: A =  −1 2 1 −1 1 a −1 1 −1 −1 1 a 0 1 1 1 2 2 −1 1  Giải: A đổi cột−−−−→  1 −1 1 −1 2 −1 −1 1 a −1 1 1 0 1 a 1 −1 2 1 2  d2→d1+d2d3→−d1+d3−−−−−−−→d4→−d1+d4  1 −1 1 −1 2 0 −2 2 a− 1 1 0 2 −1 2 a− 2 0 0 1 2 0  d3→d2+d3−−−−−−→  1 −1 1 −1 2 0 −2 2 a− 1 1 0 0 1 a + 1 a− 1 0 0 1 2 0  d4→−d3+d4−−−−−−−→  1 −1 1 −1 2 0 −2 2 a− 1 1 0 0 1 a + 1 a− 1 0 0 0 a− 1 1− a  Vậy : nếu a 6= 1 thì rank A = 4 . 3 . nếu a = 1 thì rank A = 3 . 19) Tìm hạng của ma trận: A =  1 + a a . . . a a 1 + a . . . a . . . . . . . . . . . . a a . . . 1 + a  Giải: A c1→c1+c2+...+cn−−−−−−−−−−→  1 + na a . . . a 1 + na 1 + a . . . a . . . . . . . . . . . . 1 + na a . . . 1 + a  d2→−d1+d2−−−−−−−→..................... dn→−d1+dn  1 + na a . . . a 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1  Nếu a 6= − 1 n . Khi đó 1 + na 6= 0 và rank A = n . Nếu a = − 1 n . Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n− 1 vì có định thức con cấp n− 1 gồm n− 1 dòng cuối, cột cuối . Dn−1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 . . . 0 1 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0 Còn định thức cấp n bằng 0 . 20) Tìm hạng của ma trận (n ≥ 2 ) A =  0 1 1 . . . 1 1 0 x . . . x 1 x 0 . . . x . . . . . . . . . . . . . . . 1 x x . . . 0  Giải: Nếu x 6= 0 : A c1→xc1−−−−→ d1→xd1  0 x x . . . x x 0 x . . . x x x 0 . . . x . . . . . . . . . . . . . . . x x x . . . 0  c1→c1+c2+...+cn−−−−−−−−−−→  (n− 1)x x x . . . x (n− 1)x 0 x . . . x (n− 1)x x 0 . . . x . . . . . . . . . . . . . . . (n− 1)x x x . . . 0  d2→−d1+d2−−−−−−−→ d3→−d1+d3 ..................... dn→−d1+dn  (n− 1)x x x . . . x 0 −x 0 . . . 0 0 0 −x . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . −x  Vậy rank A = n 4 Nếu x = 0 A =  0 1 1 . . . 1 1 0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0 . . . 0  d3→−d2+d3−−−−−−−→...................dn→−d2+dn  0 1 1 . . . 1 1 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0  rankA = 2. Vậy rankA = n nếu x 6= 0 rankA = 2 nếu x = 0 21) Tìm hạng của ma trận vuông cấp n: A =  a b b . . . b b a b . . . b b b a . . . b . . . . . . . . . . . . . . . b b b . . . a  Giải: A c1→c1+c2+...+cn−−−−−−−−−−→  a + (n− 1)b b b . . . b a + (n− 1)b a b . . . b . . . . . . . . . . . . . . . a + (n− 1)b b b . . . a  d2→−d1+d2d3→−d1+d3−−−−−−−→..................... dn→−d1+dn  a + (n− 1)b b b . . . b 0 a− b 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0  1. Nếu a 6= (1− n)b, a 6= b thì rankA = n 2. a = b 6= 0 thì rankA = 1 a = b = 0 thì rankA = 0 3. a = (n− 1)b = 0 thì rankA = n− 1 Vì có định thức con cấp n− 1 (bỏ dòng đầu, cột đầu)∣∣∣∣∣∣∣∣ a− b 0 . . . 0 0 a− b . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . a− b ∣∣∣∣∣∣∣∣ = (a− b) n−1 6= 0 Còn định thức cấp n bằng 0. 5 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH MA TRẬN KHẢ NGHỊCH Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 6 tháng 12 năm 2004 1 Ma trận khả nghịch 1.1 Các khái niệm cơ bản Cho A là ma trận vuông cấp n, ma trận A gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB = BA = En (1) (En là ma trận đơn vị cấp n) Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận B thỏa điều kiện (1) là duy nhất, và B gọi là ma trận nghịch đảo (ma trận ngược) của ma trận A, ký hiệu là A−1. Vậy ta luôn có: A.A−1 = A−1.A = En 1.2 Các tính chất 1. A khả nghịch ⇐⇒ A không suy biến (detA 6= 0) 2. Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)−1 = B−1A−1 3. (At)−1 = (A−1)t 1.3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 1.3.1 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức Trước hết, ta nhớ lại phần bù đại số của một phần tử. Cho A là ma trận vuông cấp n, nếu ta bỏ đi dòng i, cột j của A, ta được ma trận con cấp n − 1 của A, ký hiệu Mij. Khi đó Aij = (−1)i+j detMij gọi là phần bù đại số của phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A. Ma trận PA =  A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 ... ... . . . ... A1n A2n · · · Ann  =  A11 A12 · · · A1n A21 A22 · · · A2n ... ... . . . ... An1 An2 · · · Ann  t gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. 1 Ta có công thức sau đây để tìm ma trận nghịch đảo của A. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu detA = 0 thì A không khả nghịch (tức là A không có ma trận nghịch đảo). Nếu detA 6= 0 thì A khả nghịch và A−1 = 1 detA PA Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =  1 2 10 1 1 1 2 3  Giải Ta có detA = ∣∣∣∣∣∣ 1 2 1 0 1 1 1 2 3 ∣∣∣∣∣∣ = 2 6= 0 Vậy A khả nghịch. Tìm ma trận phụ hợp PA của A. Ta có: A11 = (−1)1+1 ∣∣∣∣ 1 12 3 ∣∣∣∣ = 1 A12 = (−1)1+2 ∣∣∣∣ 0 11 3 ∣∣∣∣ = 1 A13 = (−1)1+3 ∣∣∣∣ 0 11 2 ∣∣∣∣ = −1 A21 = (−1)2+1 ∣∣∣∣ 2 12 3 ∣∣∣∣ = −4 A22 = (−1)2+2 ∣∣∣∣ 1 11 3 ∣∣∣∣ = 2 A23 = (−1)2+3 ∣∣∣∣ 1 21 2 ∣∣∣∣ = 0 A31 = (−1)3+1 ∣∣∣∣ 2 11 1 ∣∣∣∣ = 1 A32 = (−1)3+2 ∣∣∣∣ 1 10 1 ∣∣∣∣ = −1 A33 = (−1)3+3 ∣∣∣∣ 1 20 1 ∣∣∣∣ = 1 Vậy PA =  1 −4 11 2 −1 −1 0 1  2 và do đó A−1 = 1 2  1 −4 11 2 −1 −1 0 1  =  12 −2 121 2 1 −1 2−1 2 0 1 2  Nhận xét. Nếu sử dụng định thức để tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông cấp n, ta phải tính một định thức cấp n và n2 định thức cấp n − 1. Việc tính toán như vậy khá phức tạp khi n > 3. Bởi vậy, ta thường áp dụng phương pháp này khi n ≤ 3. Khi n ≥ 3, ta thường sử dụng các phương pháp dưới đây. 1.3.2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dựa vào các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A vuông cấp n, ta lập ma trận cấp n× 2n [A |En] (En là ma trận đơn vị cấp n) [A |En] =  a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · 1  Sau đó, dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận [A |En] về dạng [En |B]. Khi đó, B chính là ma trận nghịch đảo của A, B = A−1. Chú ý. Nếu trong quá trình biến đổi, nếu khối bên trái xuất hiện dòng gồm toàn số 0 thì ma trận A không khả nghịch. Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =  0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0  Giải [A |E4] =  0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  −→d1→d1+d2+d3+d4  3 3 3 3 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  −→ d1→ 13d1  1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 1 3 1 3 1 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  d2→−d1+d2−→d3→−d1+d3 d4→−d1+d4  1 1 1 1 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 1 3 1 3 1 3−1 3 2 3 −1 3 −1 3−1 3 −1 3 2 3 −1 3−1 3 −1 3 −1 3 2 3  3 −→ d1→d1+d2+d3+d4  1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2 3 1 3 1 3 1 3−1 3 2 3 −1 3 −1 3−1 3 −1 3 2 3 −1 3−1 3 −1 3 −1 3 2 3  d2→−d2−→ d4→−d4 d3→−d3  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ −2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 −2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 −2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 −2 3  Vậy A−1 =  −2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 −2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 −2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 −2 3  1.3.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình Cho ma trận vuông cấp n A =  a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann  Để tìm ma trận nghịch đảo A−1, ta lập hệ a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = y2 ... an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = yn (2) trong đó x1, x2, . . . , xn là ẩn, y1, y2, . . . , yn là các tham số. * Nếu với mọi tham số y1, y2, . . . , yn, hệ phương trình tuyến tính (2) luôn có nghiệm duy nhất:  x1 = b11y1 + b12y2 + · · ·+ b1nyn x2 = b21y1 + b22y2 + · · ·+ b2nyn ... xn = bn1y1 + bn2y2 + · · ·+ bnnyn thì A−1 =  b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n ... ... . . . ... bn1 bn2 · · · bnn  * Nếu tồn tại y1, y2, . . . , yn để hệ phương trình tuyến tính (2) vô nghiệm hoặc vô số nghiệm thì ma trận A không khả nghịch. 4 Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =  a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a  Giải Lập hệ  ax1 + x2 + x3 + x4 = y1 (1) x1 + ax2 + x3 + x4 = y2 (2) x1 + x2 + ax3 + x4 = y3 (3) x1 + x2 + x3 + ax4 = y4 (4) Ta giải hệ trên, cộng 2 vế ta có (a + 3)(x1 + x2 + x3 + x4) = y1 + y2 + y3 + y4 (∗) 1. Nếu a = −3, chọn các tham số y1, y2, y3, y4 sao cho y1 + y2 + y3 + y4 6= 0. Khi đó (*) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm, bởi vậy A không khả nghịch. 2. a 6= −3, từ (*) ta có x1 + x2 + x3 + x4 = 1 a + 3 (y1 + y2 + y3 + y4) (∗∗) Lấy (1), (2), (3), (4) trừ cho (**), ta có (a− 1)x1 = 1 a + 3 ((a + 2)y1 − y2 − y3 − y4) (a− 1)x2 = 1 a + 3 (−y1 + (a + 2)y2 − y3 − y4) (a− 1)x3 = 1 a + 3 (−y1 − y2 + (a + 2)y3 − y4) (a− 1)x4 = 1 a + 3 (−y1 − y2 − y3 + (a + 2)y4) (a) Nếu a = 1, ta có thể chọn tham số y1, y2, y3, y4 để (a + 2)y1 − y2 − y3 − y4 khác 0. Khi đó hệ và nghiệm và do đó A không khả nghịch. (b) Nếu a 6= 1, ta có x1 = 1 (a− 1)(a + 3)((a + 2)y1 − y2 − y3 − y4) x2 = 1 (a− 1)(a + 3)(−y1 + (a + 2)y2 − y3 − y4) x3 = 1 (a− 1)(a + 3)(−y1 − y2 + (a + 2)y3 − y4) 5 x4 = 1 (a− 1)(a + 3)(−y1 − y2 − y3 + (a + 2)y4) Do đó A−1 = 1 (a− 1)(a + 3)  a + 2 −1 −1 −1 −1 a + 2 −1 −1 −1 −1 a + 2 −1 −1 −1 −1 a + 2  Tóm lại: Nếu a = −3, a = 1 thì ma trận A không khả nghịch. Nếu a 6= −3, a 6= 1, ma trận nghịch đảo A−1 được xác định bởi công thức trên. 6 BÀI TẬP Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau 22.  1 0 32 1 1 3 2 2  23.  1 3 22 1 3 3 2 1  24.  −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1  25.  0 1 1 1 −1 0 1 1 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 0  Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận vuông cấp n 26.  1 1 1 · · · 1 0 1 1 · · · 1 0 0 1 · · · 1 ... ... ... . . . ... 0 0 0 · · · 1  27.  1 + a 1 1 · · · 1 1 1 + a 1 · · · 1 1 1 1 + a · · · 1 ... ... ... . . . ... 1 1 1 · · · 1 + a  7 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản chưa chỉnh sửa PGS TS. Mỵ Vinh Quang Ngày 19 tháng 12 năm 2004 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 Các khái niệm cơ bản 1.1 Định nghĩa Hệ phương trình dạng:  a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 . . . . . . am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm (1) trong đó x1, x2, . . . , xn là các ẩn, aij, bj ∈ R là các hằng số, gọi là hệ phương trình tuyến tính (m phương trình, n ẩn). Ma trận A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn  gọi là ma trận các hệ số của hệ (1). Ma trận A =  a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn bm  gọi là ma trận các hệ số mở rộng của hệ (1). Một hệ phương trình hoàn toàn xác định khi ta biết ma trận các hệ số mở rộng của nó. Cột  b1 b2 ... bm  1 gọi là cột tự do của hệ (1). Chú ý rằng, hệ phương trình (1) có thể cho dưới dạng ma trận như sau A  x1 x2 ... xn  =  b1 b2 ... bm  trong đó A là ma trận các hệ số của hệ (1). Nhận xét: Nếu ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của một hệ phương trình tuyến tính ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho. 1.2 Một vài hệ phương trình đặc biệt a. Hệ Cramer Hệ phương trình tuyến tính (1) gọi là hệ Cramer nếu m = n (tức là số phương trình bằng số ẩn) và ma trận các hệ số A là không suy biến (detA 6= 0). b. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính (1) gọi là hệ thuần nhất nếu cột tự do của hệ bằng 0, tức là b1 = b2 = · · · = bm = 0. 2 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 2.1 Phương pháp Cramer Nội dung của phương pháp này cũng chính là định lý sau đây: Định lý 1 (Cramer) Cho hệ Cramer a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 . . . . . . an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn (2) trong đó A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann  là ma trận các hệ số. Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất được cho bởi công thức xi = detAi detA 2 trong đó Ai chính là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột i của A bằng cột tự do b1 b2 ... bn  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  ax1 + bx2 = c cx2 + ax3 = b cx1 + bx3 = a trong đó a, b, c là ba số khác 0. Giải: Ta có: detA = ∣∣∣∣∣∣ a b 0 0 c a c 0 b ∣∣∣∣∣∣ = 2abc 6= 0 nên hệ trên là hệ Cramer. Hơn nữa detA1 = ∣∣∣∣∣∣ c b 0 b c a a 0 b ∣∣∣∣∣∣ = (a2 − b2 + c2) b detA2 = ∣∣∣∣∣∣ a c 0 0 b a c a b ∣∣∣∣∣∣ = (−a2 + b2 + c2) a và detA3 = ∣∣∣∣∣∣ a b c 0 c b c 0 a ∣∣∣∣∣∣ = (a2 + b2 − c2) c Do đó, hệ có nghiệm duy nhất: x1 = detA1 detA = a2 − b2 + c2 2ac , x2 = detA2 detA = −a2 + b2 + c2 2bc , x3 = detA3 detA = a2 + b2 − c2 2ab 2.2 Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Nội dung cơ bản của phương pháp này dựa trên định lý quan trong sau về nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính. Định lý 2 (Định lý Cronecker-Capelly) Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát (1), A và A lần lượt là ma trận các hệ số và ma trận các hệ số mở rộng. Khi đó: 1. Nếu rankA < rankA thì hệ (1) vô nghiệm. 2. Nếu rankA = rankA = r thì hệ (1) có nghiệm. Hơn nữa: (a) Nếu r = n thì hệ (1) có nghiệm duy nhất. 3 (b) Nếu r < n thì hệ (1) có vô số nghiệm phụ thuộc vào n− r tham số. Ta có thuật toán sau để giải hệ phương trình tuyến tính: Lập ma trận các hệ số mở rộng A. Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang. Ma trận bậc thang cuối cùng có dạng: A → C =  0 . . . c∗1i1 . . . . . . . . . . . . . . . c1n d1 0 . . . 0 . . . c∗2i2 . . . . . . . . . c2n d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 . . . . . . c∗rir . . . crn dr 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 dr+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 dm  Hệ phương trình tương ứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu. Do đó 1. Nếu tồn tại ít nhất di với r + 1 6 i 6 m khác 0 thì hệ vô nghiệm. 2. Nếu dr+1 = dr+2 = · · · = dm = 0 thì hệ có nghiệm. Khi đó các cột i1, i2, . . . , ir (là các cột được đánh dấu *) giữ lại bên trái và các xi1 , xi2 , . . . , xir là các ẩn còn các cột còn lại chuyển sang bên phải, các ẩn xk ứng với các cột này sẽ trở thành tham số. Vậy ta có n− r tham số và hệ đã cho tương đương với hệ c1i1 c1i2 . . . c1ir d1(xk) 0 c2i2 . . . c2ir d2(xk) . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . crir dr(xk)  (3) trong đó di(xk) là các hàm tuyến tính của xk với k 6= i1, i2, . . . , ir. Hệ phương trình (3) là hệ phương trình dạng tam giác, ta có thể dễ dàng giải được bằng phương pháp thế dần từ dưới lên, tức là tính lần lượt xr, xr−1, . . . , x1. Chú ý : Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện 1 dòng mà bên trái bằng 0 còn bên phải khác 0 thì ta có thể kết luận hệ vô nghiệm mà không cần phải làm tiếp. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: x1 + 2x2 + 2x4 + x5 = 1 2x1 + 4x2 + x3 + 3x4 = 3 3x1 + 6x2 + 2x3 + 3x4 + x5 = m x1 + 2x2 + x3 + x5 = 2m− 8 Giải: A =  1 2 0 2 1 1 2 4 1 3 0 3 3 6 2 3 1 m 1 2 1 0 1 2m− 8  d2→(−2)d1+d2−−−−−−−−→d3→(−3)d1+d3 d4→(−1)d1+d4  1 2 0 2 1 1 0 0 1 −1 −2 1 0 0 2 −3 −2 m− 3 0 0 1 −2 0 2m− 9  d3→(−2)d2+d3−−−−−−−−→ d4→(−1)d2+d4  1 2 0 2 1 1 0 0 1 −1 −2 1 0 0 0 −1 2 m− 5 0 0 0 −1 2 2m− 10  d4→(−1)d3+d4−−−−−−−−→  1 2 0 2 1 1 0 0 1 −1 −2 1 0 0 0 −1 2 m− 5 0 0 0 0 0 m− 5  4 * Nếu m 6= 5 hệ phương trình vô nghiệm. * Nếu m = 5, hệ đã cho tương đương với 1∗ 2 0 2 1 1 0 0 1∗ −1 −2 1 0 0 0 −1∗ 2 0 0 0 0 0 0 0  Trường hợp này hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số là x2 và x5. Chuyển cột 2 và cột 5 sang bên phải, hệ có dạng x1 + 2x4 = 1− 2x2 − 2x5 x3 − x4 = 1 + 2x5 −x4 = −2x5 Giải từ dưới lên ta sẽ có x4 = 2x5 x3 = x4 + 2x5 + 1 = 4x5 + 1 x1 = 1− 2x2 − 2x5 − 2x4 = −2x2 − 5x5 + 1 Tóm lại, trong trường hợp này nghiệm của hệ là x1 = −2a− 5b + 1 x2 = a x3 = 4b + 1 x4 = 2b x5 = b a, b tùy ý. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  x1 + x2 + x3 + mx4 = 1 x1 + x2 + mx3 + x4 = 1 x1 + mx2 + x3 + x4 = 1 mx1 + x2 + x3 + x4 = 1 Giải: A =  1 1 1 m 1 1 1 m 1 1 1 m 1 1 1 m 1 1 1 1  d2→(−1)d1+d2d3→(−1)d1+d3−−−−−−−−−→d4→(−m)d1+d4  1 1 1 m 1 0 0 m− 1 1−m 0 0 m− 1 0 1−m 0 0 1−m 1−m 1−m2 1−m d2↔d3−−−−→  1 1 1 m 1 0 m− 1 0 1−m 0 0 0 m− 1 1−m 0 0 1−m 1−m 1−m2 1−m  d4→d2+d3+d4−−−−−−−−→  1 1 1 m 1 0 m− 1 0 1−m 0 0 0 m− 1 1−m 0 0 0 0 3− 2m−m2 1−m  = C 5 Chú ý rằng 3− 2m−m2 = (1−m)(m + 3). Bởi vậy: 1) m = 1, khi đó C =  1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào 3 tham số x2, x3, x4. Nghiệm là x1 = 1− a− b− c x2 = a x3 = b x4 = c 2) m = −3, khi đó C =  1 1 1 −3 1 0 −4 0 4 0 0 0 −4 4 0 0 0 0 0 4  Hệ vô nghiệm. 3) m 6= 1 và m 6= −3, hệ có nghiệm duy nhất x4 = 1−m 3− 2m−m2 = 1 m + 3 x3 = x4 = 1 m + 3 , x2 = x4 = 1 m + 3 x1 = 1− x2 − x3 −mx4 = 1 m + 3 Vậy: x1 = x2 = x3 = x4 = 1 m+3 . Tóm lại: • m = 1 hệ có vô số nghiệm; • m = −3 hệ vô nghiệm; • m 6= 1,−3, hệ có một nghiệm duy nhất x1 = x2 = x3 = x4 = 1m+3 . Bài tập Giải và biện luận các hệ sau: 27.  2x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2 x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = m 4x1 + 8x2 − 4x3 + 16x4 = m + 1 28.  2x1 − x2 + x3 − 2x4 + 3x5 = 3 x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1 3x1 + x2 + x3 − 3x4 + 4x5 = 6 5x1 + 2x3 − 5x4 + 7x5 = 9−m 6 29.  mx1 + x2 + x3 = 1 x1 + mx2 + x3 = 1 x1 + x2 + mx3 = 1 30.  mx1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + mx2 + x3 + x4 = 1 x1 + x2 + mx3 + x4 = 1 31. Cho aij là các số nguyên. Giải hệ: 1 2 x1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn 1 2 x2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn . . . 1 2 xn = an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn 32. Giải hệ phương trình:  x1 + x2 + · · ·+ xn = 1 x1 + 2x2 + · · ·+ 2n−1xn = 1 x1 + 3x2 + · · ·+ 3n−1xn = 1 . . . x1 + nx2 + · · ·+ nn−1xn = 1 33. Chứng minh rằng hệ phương trình: a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0 · · · an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = 0 trong đó aij = −aji và n lẽ, có nghiệm khác 0. 7 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH §8. Giải bài tập về ma trận nghịch đảo Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 29 tháng 12 năm 2004 Bài 21. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =  1 0 32 1 1 3 2 2  Giải Cách 1. Sử dụng phương pháp định thức Ta có: detA = 2 + 12− 9− 2 = 3 A11 = ∣∣∣∣∣ 1 12 2 ∣∣∣∣∣ = 0 A21 = − ∣∣∣∣∣ 0 32 2 ∣∣∣∣∣ = 6 A31 = ∣∣∣∣∣ 0 31 1 ∣∣∣∣∣ = −3 A12 = − ∣∣∣∣∣ 2 13 2 ∣∣∣∣∣ = −1 A22 = ∣∣∣∣∣ 1 33 2 ∣∣∣∣∣ = −7 A32 = − ∣∣∣∣∣ 1 32 1 ∣∣∣∣∣ = 5 A13 = ∣∣∣∣∣ 2 13 2 ∣∣∣∣∣ = 1 A23 = − ∣∣∣∣∣ 1 03 2 ∣∣∣∣∣ = −2 A33 = ∣∣∣∣∣ 1 02 1 ∣∣∣∣∣ = 1 Vậy A−1 = 1 3  0 6 −3−1 −7 5 1 −2 1  Cách 2. Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp Xét ma trận A =  1 0 32 1 1 3 2 2 ∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1  d2→−2d1+d2−−−−−−−→ d3→−3d1+d3  1 0 30 1 −5 0 2 −7 ∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 −2 1 0 −3 0 1  d3=−2d2+d3−−−−−−−→  1 0 30 1 −5 0 0 3 ∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 −2 1 0 1 −2 1  d3= 13d3−−−−→  1 0 30 1 −5 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 −2 1 0 1 3 −2 3 1 3  1 −→  1 0 00 1 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣ 0 2 −1 −1 3 −7 3 5 3 1 3 −2 3 1 3  Vậy A−1 =  0 2 −1−13 −73 53 1 3 −2 3 1 3  Bài 22. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =  1 3 22 1 3 3 2 1  Giải Ta sử dụng phương pháp định thức. Ta có detA = 1 + 27 + 8− 6− 6− 6 = 18 A11 = ∣∣∣∣∣ 1 32 1 ∣∣∣∣∣ = −5 A21 = − ∣∣∣∣∣ 3 22 1 ∣∣∣∣∣ = 1 A31 = ∣∣∣∣∣ 3 21 3 ∣∣∣∣∣ = 7 A12 = − ∣∣∣∣∣ 2 33 1 ∣∣∣∣∣ = 7 A22 = ∣∣∣∣∣ 1 23 1 ∣∣∣∣∣ = −5 A32 = − ∣∣∣∣∣ 1 22 3 ∣∣∣∣∣ = 1 A13 = ∣∣∣∣∣ 2 13 2 ∣∣∣∣∣ = 1 A23 = − ∣∣∣∣∣ 1 33 2 ∣∣∣∣∣ = 7 A33 = ∣∣∣∣∣ 1 32 1 ∣∣∣∣∣ = −5 Vậy A−1 = 1 18  −5 1 77 −5 1 1 7 −5  (Bạn đọc cũng có thể sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp để giải bài này) Bài 23. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =  −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1  Giải Ta sử dụng phương pháp 3. 2 Xét hệ  −x1 + x2 + x3 + x4 = y1 (1) x1 − x2 + x3 + x4 = y2 (2) x1 + x2 − x3 + x4 = y3 (3) x1 + x2 + x3 − x4 = y4 (4) (1) + (2) + (3) + (4) =⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = 1 2 (y1 + y2 + y3 + y4) (∗) (∗)− (1) =⇒ x1 = 1 4 (−y1 + y2 + y3 + y4) (∗)− (2) =⇒ x2 = 1 4 (y1 − y2 + y3 + y4) (∗)− (3) =⇒ x3 = 1 4 (y1 + y2 − y3 + y4) (∗)− (4) =⇒ x4 = 1 4 (y1 + y2 + y3 − y4) Vậy A−1 = 1 4  −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1  Bài 24. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =  0 1 1 1 −1 0 1 1 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 0  Giải Sử dụng phương pháp 3. Xét hệ  x2 + x3 + x4 = y1 (1) −x1 + x3 + x4 = y2 (2) −x1 − x2 + x4 = y3 (3) −x1 − x2 − x3 = y4 (4) (1) + (2)− (3) + (4) =⇒ −x1 + x2 + x3 + x4 = y1 + y2 − y3 + y4 (∗) (1)− (∗) =⇒ x1 = −y2 + y3 − y4 (∗)− (2) =⇒ x2 = y1 − y3 + y4 (4) =⇒ x3 = −x1 − x2 − y4 = −y1 + y2 − y4 (3) =⇒ x4 = x1 + x2 + y3 = y1 − y2 + y3 3 Vậy A−1 =  0 −1 1 −1 1 0 −1 1 −1 1 0 −1 1 −1 1 0  Bài 25. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 1 1 1 · · · 1 0 1 1 · · · 1 0 0 1 · · · 1 ... ... ... . . . ... 0 0 0 · · · 1  n×n Giải Sử dụng phương pháp 3. Xét hệ  x1 + x2 + · · ·+ xn = y1 (1) x2 + · · ·+ xn = y2 (2) ... xn−1 + xn = yn−1 (n− 1) xn = yn (n) (1)− (2) =⇒ x1 = y1 − y2 (2)− (3) =⇒ x2 = y2 − y3 ... (n− 1)− (n) =⇒ xn−1 = yn−1 − yn (n) =⇒ xn = yn Vậy A−1 =  1 −1 0 0 · · · 0 0 0 1 −1 0 · · · 0 0 ... ... ... ... . . . 0 0 0 0 0 0 · · · 1 −1 0 0 0 0 · · · 0 1  4 Bài 26. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =  1 + a 1 1 · · · 1 1 1 + a 1 · · · 1 1 1 1 + a · · · 1 ... ... ... . . . ... 1 1 1 · · · 1 + a  Giải Sử dụng phương pháp 3. Xét hệ  (1 + a)x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn = y1 (1) x1 + (1 + a)x2 + x3 + · · ·+ xn = y2 (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x1 + x2 + x3 + · · ·+ (1 + a)xn = yn (n) Lấy (1) + (2) + · · ·+ (n), ta có (n + a)(x1 + x2 + · · ·+ xn) = y1 + y2 + · · ·+ yn 1. Nếu a = −n, ta có thể chọn tham số y1, y2, . . . , yn thỏa y1 + · · ·+ yn 6= 0. Khi đó hệ vô nghiệm và do đó ma trận A không khả nghịch. 2. Nếu a 6= −n, khi đó ta có x1 + x2 + · · ·+ xn = 1 n + a (y1 + · · ·+ yn) (∗) (1)− (∗) =⇒ ax1 = 1 n + a ((n + a− 1)y1 − y2 − · · · − yn) (a) Nếu a = 0, ta có thể chọn tham số y1, y2, . . . , yn để phương trình trên vô nghiệm. Do đó hệ vô nghiệm và ma trận A không khả nghịch. (b) Nếu a 6= 0, ta có x1 = 1 a(n + a) ((n + a− 1)y1 − y2 − · · · − yn) (2)− (∗) =⇒ x2 = 1 a(n + a) (y1 − (n + a− 1)y2 − y3 − · · · − yn) ... (n)− (∗) =⇒ xn = 1 a(n + a) (y1 − y2 − y3 − · · · − (n + a− 1)yn) Vậy A−1 = 1 a(n + a)  n + a− 1 −1 −1 · · · −1 −1 n + a− 1 −1 · · · −1 −1 −1 n + a− 1 · · · −1 ... ... ... . . . ... −1 −1 −1 · · · n + a− 1  n×n 5 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 24 tháng 1 năm 2005 §9. Giải Bài Tập Về Hệ Phương Trình Tuyến Tính 27) Giải hệ phương trình tuyến tính 2x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2 x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = m 4x1 + 8x2 − 4x3 + 16x4 = m + 1 Giải: Lập ma trận các hệ số mở rộng A và dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A về dạng bậc thang. Nhận xét rằng hệ ban đầu tương đương với hệ có ma trận các hệ số mở rộng là ma trận bậc thang sau cùng. Cụ thể ta có A =  2 1 1 1 1 1 2 −1 4 2 1 7 −4 11 m 4 8 −4 16 m + 1  d1↔d2−−−−→  1 2 −1 4 2 2 1 1 1 1 1 7 −4 11 m 4 8 −4 16 m + 1  d2→−2d1+d2−−−−−−−→ d3→−d1+d3 d4→−4d1+d4  1 2 −1 4 2 0 −3 3 −7 −3 0 5 −3 7 m− 2 0 0 0 0 m− 7  d2→2d2+d3−−−−−−→d3↔d2 1 2 −1 4 2 0 −1 3 −7 m− 8 0 −3 3 −7 −3 0 0 0 0 m− 7  d3→−3d2+d3−−−−−−−→  1 2 −1 4 2 0 −1 3 −7 m− 8 0 0 −6 14 −3m + 21 0 0 0 0 m− 7  • Nếu m 6= 7 thì hệ vô nghiệm • Nếu m = 7 hệ tương đương với 1∗ 2 −1 4 2 0 −1∗ 3 −7 m− 8 0 0 −6∗ 14 0 0 0 0 0 0  1 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số là x4. Ta có x3 = 7 3 x4, x2 = 3x3 − 7x4 + 1 = 1 x1 = 2− 2x2 + x3 − 4x4 = 7 3 x4 − 4x4 = −5 3 x4 Vậy, trong trường hợp này, nghiệm của hệ là x1 = −5a x2 = 1 x3 = 7a x4 = 3a (a ∈ R) 28) Giải hệ phương trình:  2x1 − x2 + x3 − 2x4 + 3x5 = 3 x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1 3x1 + x2 + x3 − 3x4 + 4x5 = 6 5x1 + 2x3 − 5x4 + 7x5 = 9−m Giải: Lập ma trận các hệ số mở rộng A =  2 −1 1 −2 3 3 1 1 −1 −1 1 1 3 1 1 −3 7 6 5 0 2 −5 4 9−m  d1↔d2−−−−→  1 1 −1 −1 1 1 2 −1 1 −2 3 3 3 1 1 −3 7 6 5 0 2 −5 4 9−m  d2→−2d1+d2−−−−−−−→ d3→−3d1+d3 d4→−5d1+d4  1 1 −1 −1 1 1 0 −3 3 0 1 1 0 −2 4 0 1 2 0 −5 7 0 2 4−m  d2→d2−d3−−−−−−→  1 1 −1 −1 1 1 0 −1 −1 0 0 −1 0 −2 4 0 1 2 0 −5 7 0 2 4−m  d3→−2d2+d3−−−−−−−→ d4=−5d2+d4  1 1 −1 −1 1 1 0 −1 −1 0 0 −1 0 0 6 0 1 0 0 0 12 0 2 9−m  d4→−2d3+d4−−−−−−−→  1 1 −1 −1 1 1 0 −1 −1 0 0 −1 0 0 6 0 1 0 0 0 0 0 0 9−m  • Nếu m 6= 9 thì hệ vô nghiệm. • Nếu m = 9 thì hệ có dạng  1∗ 1 −1 −1 1 1 0 −1∗ −1 0 0 −1 0 0 6∗ 0 1 0 0 0 0 0 0 0  rankA = rankA = 3 nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số là x4, x5, ta có x3 = −1 6 x5 x2 = −x3 + 1 = 1 6 x5 + 1 x1 = −x2 + x3 + x4 − x + 5 + 1 = −1 6 x5 − 1− 1 6 x5 + x4 − x5 + 1 = −4 3 x5 + x4 2 Vậy, trong trường hợp này nghiệm của hệ là x1 = a− 8b x2 = b + 1 x3 = −b x4 = a x5 = 6b a, b ∈ R 29) Giải và biện luận hệ phương trình mx1 + x2 + x3 = 1 x1 + mx2 + x3 = m x1 + x2 + mx3 = m 2 Giải: Lập ma trận các hệ số mở rộng A =  m 1 1 11 m 1 m 1 1 m m2  −→  1 1 m m21 m 1 m m 1 1 1  −→  1 1 m m20 m− 1 1−m m−m2 0 1−m 1−m2 1−m3  −→  1 1 m m20 m− 1 1−m m−m2 0 0 2−m−m2 1 + m−m2 −m3  Chú ý rằng 2−m−m2 = (2 + m)(1−m). Ta có • m = 1, hệ trở thành A =  1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0  rankA = rankA = 1 nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số x1, x2. Nghiệm là x1 = 1− a− b x2 = a x3 = b a, b ∈ R • m = −2, hệ trở thành  1 1 −2 40 −3 3 −6 0 0 0 3  hệ vô nghiệm • m 6= 1,m 6= −2, hệ có nghiệm duy nhất x3 = 1 + m−m2 −m3 (2 + m)(1−m) = m2 + 2m + 1 m + 2 x2 = x3 −m = m 2 + 2m + 1 m + 2 −m = 1 m + 2 x1 = m 2 − x2 −mx3 = m 3 + 2m2 − 1−m(m2 + 2m + 1) m + 2 = −m− 1 m + 2 3 30) Giải và biện luận hệ phương trình mx1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + mx2 + x3 + x4 = 1 x1 + x2 + mx3 + x4 = 1 Giải: Lập ma trận các hệ số mở rộng A =  m 1 1 1 11 m 1 1 1 1 1 m 1 1  d1↔d3−−−−→  1 1 m 1 11 m 1 1 1 m 1 1 1 1  d2→−d1+d2−−−−−−−−→ d3→−md1+d3  1 1 m 1 10 m− 1 1−m 0 0 0 1−m 1−m2 1−m 1−m  d3→d2+d3−−−−−−→  1 1 m 1 10 m− 1 1−m 0 0 0 0 2−m−m2 1−m 1−m  (∗) Chú ý rằng 2−m−m2 = (1−m)(2 + m). Ta có các khả năng sau • m = 1 hệ trở thành  1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0  rankA = rankA = 1, trường hợp này hệ có vô số nghiệm phụ thuộc ba tham số x2, x3, x4. Nghiệm của hệ là  x1 = 1− a− b− c x2 = a x3 = b x4 = c a, b, c ∈ R • m = −2 hệ trở thành  1∗ 1 −2 1 10 3∗ −3 0 0 0 0 0 3∗ 3  Ta có rankA = rankA = 3 nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số là x3. Ta có x4 = 1, 3x2 = 3x3 ⇒ x2 = x3 x1 = −x2 + 2x3 − x4 + 1 = x3 Trong trường hợp này nghiệm của hệ là x1 = a x2 = a x3 = a x4 = 1 a ∈ R • m 6= 1,−2. Khi đó, từ (∗) ta thấy hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x4 và m. Ta có (2−m−m2)x3 = (1−m)− (1−m)x4 ⇒ x3 = (1−m)− (1−m)x4 (2−m−m2) = 1− x4 m + 2 (m− 1)x2 = (m− 1)x3 ⇒ x2 = x3 x1 = 1− x2 −mx3 − x4 = (m + 2)− (1− x4)−m(1− x4)− (m + 2)x4 m + 2 = 1− x4 m + 2 4 Vậy, trong trường hợp này hệ có nghiệm là x1 = 1− a m + 2 x2 = 1− a m + 2 x3 = 1− a m + 2 x4 = a 31) Cho aij là các số nguyên, giải hệ 1 2 x1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn 1 2 x2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn . . . 1 2 xn = an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn Giải: Hệ phương trình đã cho tương đương với (2a11 − 1)x1 + 2a12x2 + · · ·+ 2a1nxn = 0 2a21x1 + (2a22 − 1)x2 + · · ·+ 2a2nxn = 0 . . . 2an1x1 + 2an2x2 + · · ·+ (2ann − 1)xn = 0 Gọi ma trận các hệ số của hệ phương trình trên là An, ta có detAn = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2a11 − 1 2a12 . . . 2a1n 2a21 2a22 − 1 . . . 2a2n . . . . . . . . . . . . 2an1 2an2 . . . 2ann − 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ Chú ý rằng aij là các số nguyên nên các phần bù đại số của (An)ij cũng là các số nguyên, do đó nếu khai triển định thức theo dòng cuối ta sẽ có detAn = 2k + (2ann − 1) ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2a11 − 1 2a12 . . . 2a1,n−1 2a21 2a22 − 1 . . . 2a2,n−1 . . . . . . . . . . . . 2an−1,1 2an−1,2 . . . 2an−1,n−1 − 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2k + (2ann − 1) detAn−1 = 2k + 2ann detAn−1 − detAn−1 = 2l − detAn−1 Do đó, detAn + detAn−1 = 2l là số chẳn, Suy ra detAn và detAn−1 có cùng tính chẳn lẽ với mọi n, mà detA1 = 2a11 − 1 là số lẽ nên detAn là số lẽ và do đó detAn 6= 0 (vì 0 là số chẳn). Vì hệ phương trình có detAn 6= 0 nên hệ trên là hệ Cramer và có nghiệm duy nhất là x1 = x2 = · · · = xn = 0. 5 32) Giải hệ phương trình  x1 + x2 + · · ·+ xn = 1 x1 + 2x2 + · · ·+ 2n−1xn = 1 x1 + 3x2 + · · ·+ 3n−1xn = 1 . . . x1 + nx2 + · · ·+ nn−1xn = 1 Giải: Giả sử x1, x2, . . . , xn là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Xét đa thức f(X) = xnX n−1 + xn−1Xn−2 + · · ·+ x2X + x1 − 1 = 0 Vì x1, x2, . . . , xn là nghiệm của hệ nên X = 1, 2, . . . , n là các nghiệm của đa thức trên. Vì f(X) có bậc 6 n − 1 mà lại có n nghiệm phân biệt nên f(X) ≡ 0 (f(X) là đa thức không), do đó ta có xn = xn−1 = · · · = x2 = 0, x1 = 1. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x1 = 1, x2 = x3 = · · · = xn = 0. 33) Chứng minh hệ phương trình a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0 · · · an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = 0 trong đó aij = −aji và n lẽ, có nghiệm không tầm thường. Giải: Gọi A là ma trận các hệ số, theo giả thiết (A)ij = −(A)ji do đó A = At. Do tính chất định thức detA = detAt nên ta có detA = det(−At) = (−1)n detAt = (−1)n detA = − detA( do n lẽ) Bởi vậy suy ra detA = − detA hay detA = 0, tức là rankA = r < n. Theo Định lý Cronecker- Capelly hệ có vô số nghiệm (phụ thuộc n− r tham số) do đó hệ có nghiệm khác (0, 0, . . . , 0). 6