Tần số dao động riêng mờ của kết cấu khung thép phẳng với độ cứng liên kết và khối lượng có dạng số mờ tam giác

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 33 TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG MỜ CỦA KẾT CẤU KHUNG THÉP PHẲNG VỚI ĐỘ CỨNG LIÊN KẾT VÀ KHỐI LƯỢNG CÓ DẠNG SỐ MỜ TAM GIÁC ThS. TRẦN THANH VIỆT Trường Đại học Duy tân PGS. TS. VŨ QUỐC ANH Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội GS. TS. LÊ XUÂN HUỲNH Trường Đại học Xây dựng Tóm tắt: Bài báo giới thiệu các thuật toán xác định tần số dao động riêng mờ khung thép phẳng, độ cứng liên kết dầm - cột, cột - móng và khối lượng được cho dưới dạng số mờ tam giác. Phương pháp phần tử hữu hạn – liên kết đàn hồi tiền định, kết hợp phương pháp mặt phản ứng (RSM) trong lý thuyết thống kê toán học được áp dụng cho bài toán với số mờ tam giác cân. Phương pháp tối ưu mức α với thuật toán tiến hóa vi phân (DE) trên mô hình phần tử hữu hạn được áp dụng cho bài toán với số mờ tam giác bất kỳ. Các ví dụ số thể hiện được ưu điểm của các thuật toán ứng dụng cho khung thép phẳng mười ba tầng, ba nhịp. Từ khóa: khung thép, tần số dao động riêng, liên kết mờ, phương pháp mặt phản ứng, phương pháp phần tử hữu hạn mờ, thuật toán tiến hóa vi phân. 1. Đặt vấn đề Khi phân tích dao động kết cấu, việc xác định tần số dao động riêng là một bước quan trọng. Đối với kết cấu khung thép liên kết nửa cứng, độ cứng của các liên kết ảnh hưởng nhiều đến tần số dao động riêng. Tuy nhiên, việc xác định độ cứng của liên kết, trong thực tế, dựa vào cấu tạo cụ thể, chi tiết, đặc trưng vật liệu của mỗi liên kết, rất khó xác định một cách tuyệt đối chính xác. Vì vậy có thể xem độ cứng của các liên kết này là những đại lượng không chắc chắn và việc biểu diễn mức cứng của các liên kết bằng số mờ là hợp lý [1,3]. Ngoài ra, các yếu tố đầu vào, đặc biệt là khối lượng kết cấu cũng ảnh hưởng nhiều đến tần số dao động riêng và thể hiện sự không chắc chắn nên có thể mô tả bởi các số mờ. Trong những năm gần đây, một số tác giả khác đã thực hiện phân tích tĩnh kết cấu với liên kết mờ [1,3]. Tuy nhiên, việc xác định tần số dao động riêng mờ của khung thép liên kết nửa cứng chưa thấy công bố. Đối với khung liên kết cứng, bài báo [4] đã phân tích phần tử hữu hạn mờ dao động tự do dựa trên phương pháp mặt phản ứng (RSM) cải tiến với hàm thay thế là đa thức bậc hai đầy đủ, khối lượng kết cấu, các đặc trưng hình học, đặc trưng cơ học có dạng số mờ tam giác cân. Việc sử dụng RSM cho thấy tính hiệu quả đối với các bài toán kết cấu phức tạp có biến mờ lớn, tuy nhiên cho đến hiện nay RSM chỉ thực hiện được với bài toán có số mờ tam giác cân. Đối với bài toán có số mờ tam giác bất kỳ, việc phân tích mờ kết cấu sẽ tiến hành theo một hướng tiếp cận khác. Trong [5,6,7], tác giả đã đề xuất thuật toán tiến hóa vi phân (DE) – một thuật toán tìm kiếm hiệu quả và đơn giản cho việc tối ưu toàn cục trên không gian liên tục, từ đó vận dụng vào việc phân tích kết cấu mờ bằng phương pháp tối ưu mức α. Trong [2], tác giả đã xác định tần số dao động riêng khung thép phẳng KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 34 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 có liên kết đàn hồi ở hai đầu dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn và khảo sát sự thay đổi tần số dao động riêng theo sự thay đổi của độ cứng liên kết. Trong bài báo này, tác giả tiến hành tính toán tần số dao động riêng mờ khung thép phẳng có độ cứng liên kết mờ và khối lượng mờ bằng hai cách tiếp cận. Cách thứ nhất dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn tiền định, kết hợp phương pháp mặt phản ứng để xử lý đầu vào độ cứng liên kết mờ và khối lượng mờ để thu được kết quả tần số dao động riêng mờ. Cách giải này được thực hiện tương tự như cách trong [4], nhưng phần tử hữu hạn được mở rộng với liên kết nửa cứng tuyến tính trong [2]. Cách thứ hai dựa trên mô hình phần tử hữu hạn, kết hợp tối ưu mức α với thuật toán tiến hóa vi phân là thuật toán tối ưu theo quần thể tương tự thuật toán di truyền (GA) nhưng đơn giản và hiệu quả hơn. Hai cách tiếp cận nêu trên có cách giải khác nhau. Trong cách giải thứ nhất liên kết mờ dạng tam giác không cân chưa được xét đến, đây là lợi thế của thuật toán tiến hóa vi phân DE kết hợp tối ưu mức α ở phương pháp thứ hai. Việc so sánh hai cách tiếp cận được thực hiện thông qua ví dụ bằng số, xác định tần số dao động riêng mờ kết cấu khung thép phẳng mười ba tầng – ba nhịp với đầu vào có dạng số mờ tam giác cân. Kết quả nhận được có mức độ sai lệch không đáng kể. Qua đó, phương pháp tối ưu mức α với thuật toán tiến hóa vi phân DE được sử dụng với đầu vào mờ, trong đó xét liên kết mờ ở hai mức đầu và cuối có dạng số mờ tam giác không cân. Kết quả theo cách giải này cũng được so sánh với lời giải tiền định ở SAP 2000 khi xét khung có liên kết khớp và ngàm lý tưởng. 2. Mô hình phần tử hữu hạn với liên kết đàn hồi Khảo sát kết cấu khung thép phẳng, có liên kết dầm – cột và chân cột – móng là liên kết nửa cứng với quan hệ mô men và góc xoay đàn hồi tuyến tính (còn gọi là liên kết đàn hồi), độ cứng của các liên kết là ki, các tần số dao động riêng ωi được xác định từ hệ phương trình tần số như sau: [ ] [ ]( )ω− =2det 0K M (1) trong đó [K], [M] - ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của khung. Xét phần tử khung hai đầu liên kết đàn hồi, có độ cứng liên kết ở hai đầu là k1 và k2, mô đun đàn hồi vật liệu E, diện tích tiết diện A, mô men quán tính I, mật độ khối lượng m phân bố trên phần tử như hình 1. 1 L k2 E, A, I, m1 k 2 Hình 1. Phần tử khung hai đầu liên kết đàn hồi Theo [2], ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử thanh hai đầu liên kết đàn hồi trong mô hình này được xác định như sau: [ ] [ ][ ]=el eK K T (1a) [ ] [ ] [ ][ ]= Tel eM T M T (1b) với [Ke], [Me] - ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của phần tử thanh hai đầu liên kết cứng, [T] - ma trận chuyển được lấy ở [2]. Tiến hành triển khai (1a) và (1b) ta được ma trận độ cứng và ma trận khối lượng phần tử như sau:            =   −          22 32 33 52 53 55 62 63 65 66 0 0 0 0 0 0 0 0 el EA L k symmetric k k K EA EA L L k k k k k k k (2) trong đó: ( ) ( ) + + = = − 1 2 1 2 22 55 3 1 2 12 4 s s s sEIk k L s s (2a) ( ) ( ) + = − 1 2 32 2 1 2 26 4 s sEIk L s s (2b) KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 35 ( )= = − 1 33 63 1 2 122 4 sEIk k L s s (2c) ( ) ( ) + + = − − 1 2 1 2 52 3 1 2 12 4 s s s sEIk L s s (2d) ( ) ( ) + = − − 1 2 53 2 1 2 26 4 s sEIk L s s (2e) ( ) ( ) + = − = − 2 1 62 65 2 1 2 26 4 s sEIk k L s s (2f) ( )= − 2 66 1 2 12 4 sEIk L s s (2g)         =            2 22 32 33 2 2 2 52 53 55 62 63 65 66 140 0 0 420 70 0 0 140 0 0 0 0 el d m symmetric m mmALM d d d m m m m m m m (3) Trong đó: = − 1 24d s s (3a) ( )= + + − − − + + +2 2 2 2 2 222 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 24 60 224 32 196 328 55 32 50 32m s s s s s s s s s s s s (3b) ( )= + − − + +2 2 2 2 232 1 1 1 2 1 2 1 2 1 22 224 64 160 86 32 25m L s s s s s s s s s s (3c) ( )= − − − − + − + +2 2 2 2 2 253 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 22 560 28 64 28 184 5 64 5 41m s s s s s s s s s s s s (3d) ( )= − − − − − +2 2 2 2 263 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2392 100 64 128 38 55m L s s s s s s s s s s (3e) ( )= − +2 2 2 2 233 1 1 2 1 24 32 31 8m L s s s s s (3f) ( )= − − − − +2 2 2 2 253 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2392 100 64 128 38 55m L s s s s s s s s s s (3g) ( )= − − +2 2 2 2 263 1 1 2 1 2 1 2124 64 64 31m L s s s s s s s (3h) ( )= + + − − − + + +2 2 2 2 2 255 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 14 60 224 32 196 328 55 32 50 32m s s s s s s s s s s s s (3i) ( )= − + − − + +2 2 2 2 265 2 2 1 2 2 1 2 1 1 22 224 64 160 86 32 25m L s s s s s s s s s s (3j) ( )= − +2 2 2 2 266 2 2 1 1 24 32 31 8m L s s s s s (3k) Với si = Lki /(3EI+Lki) - được gọi là hệ số độ cứng của liên kết tại đầu i (i = 1,2). Hệ số si này thay đổi từ 0 (khớp lý tưởng) đến 1 (ngàm lý tưởng) tương ứng với độ cứng của liên kết ki thay đổi từ 0 đến vô cùng. Trong hệ phương trình (1), khi các đại lượng khối lượng đặt vào kết cấu và độ cứng của liên kết là các số mờ, do đó kết quả đầu ra tần số dao động riêng cũng là các số mờ. Các liên kết mờ đã được thể hiện trong một số nghiên cứu trước đây [1,3]. Hình 2 minh họa hàm thuộc hệ số độ cứng mờ của liên kết với mười một mức cứng được đánh số từ 0 đến 10, trong đó mức cứng 0 tương ứng với liên kết khớp (si = 0), mức cứng 10 tương ứng với liên kết ngàm (si = 1), các mức cứng từ 1 đến 9 tương ứng với liên kết đàn hồi. Hình 2. Hàm thuộc tập mờ hệ số độ cứng của liên kết với mười một mức cứng (s ) 1 µ 0.3 3 6 0.65 0.7 9 0 0.6 1 52 8 0.150.1 0.5 0.9 41 0.350.2 0.4 0.8 0.85 0 107 i 0.25 0.75 si KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 36 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 Theo [3], các mức cứng thể hiện sự mô tả về mặt ngôn ngữ tương ứng với các kiểu liên kết nửa cứng theo tiêu chuẩn AISC (Mỹ). Trong đó 0- khớp lý tưởng (khớp tuyệt đối), 1- rất khớp (kiểu liên kết: single web angle), 2- hầu hết khớp (kiểu liên kết: single web plate), 3- khá khớp (kiểu liên kết: double web angle), 4- ít nhiều khớp (kiểu liên kết: header plate), 5- nửa cứng nửa khớp (kiểu liên kết: top and seat angle), 6- ít nhiều cứng (kiểu liên kết: top plate & seat angle), 7- khá cứng (kiểu liên kết: top & seat plate), 8 -hầu hết cứng (kiểu liên kết: end plate), 9- rất cứng (kiểu liên kết: t-stub & web angle), 10- cứng lý tưởng (cứng tuyệt đối). Các mức cứng này được xem như số mờ tam giác với sự lan tỏa 20% ở chân của hệ số độ cứng (tương ứng với 0.2). Việc chuyển từ độ cứng của các liên kết ki (thay đổi từ 0 đến vô cùng) về hệ số độ cứng si (thay đổi từ 0 đến 1) giúp việc tính toán được thực hiện một cách dễ dàng (trường hợp xuất hiện k tiến đến vô cùng ở mức cứng 9 hoặc 10 dẫn đến việc tính toán bằng số rất khó khăn trong mô hình phần tử hữu hạn). 3. Phương pháp mặt phản ứng (RSM) Phương pháp mặt phản ứng là phương pháp sử dụng hiệu quả trong lý thuyết thống kê được dùng để xây dựng hàm phản ứng đầu ra của phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), thông qua việc giải bài toán hồi quy theo một mô hình thay thế định trước. Mặt phản ứng chính là biểu diễn hình học nhận được khi biến phản ứng được quan niệm là hàm của các hệ số hồi quy. Đặc điểm của RSM là dựa trên cơ sở một số kết quả của phương pháp PTHH tất định để xây dựng hàm xấp xỉ thay thế đáp ứng thực của kết cấu, sau đó đáp ứng thực của kết cấu được xác định thông qua hàm xấp xỉ thay thế này [8], hoặc xác định trên cơ sở kết quả của phương pháp PTHH tất định đối với các điểm đạt cực trị của các hàm xấp xỉ thay thế tại các lát cắt α. 3.1 Hàm thay thế với các biến mờ chuẩn Một số mô hình thay thế thường được sử dụng trong lý thuyết thống kê là: mô hình hồi quy đa thức, mô hình Kringing, hàm cơ sở hướng tâm [9]. Trong các mô hình này, mô hình hồi quy đa thức thường được sử dụng để xây dựng hàm mặt phản ứng do sự tính toán đơn giản của nó. Trong bài báo này, đối với việc xác định tần số dao động riêng từ hệ phương trình (1) là đơn giản, mô hình hồi quy đa thức bậc hai với các biến mờ chuẩn không tương quan được sử dụng làm hàm mô hình thay thế như sau: ( ) = = = + +∑ ∑ 20 1 1 n n i i ii i i i y X a a X a X (4) với Xi là các biến mờ chuẩn, a0 = y(X = 0), ai là các hệ số được xác định bởi phương pháp bình phương tối thiểu, y(X) thể hiện hàm thay thế cho chuyển vị nút và nội lực phần tử của khung. Trong bài toán khảo sát, ta giả thiết các đại lượng không chắc chắn của khung là các số mờ tam giác cân, xi = (a,l,l)LR. Theo lý thuyết thống kê và quy tắc chuyển đổi từ đại lượng mờ sang đại lượng ngẫu nhiên [10], các biến mờ chuẩn được xác định theo công thức ( ) − = / 3 i i x aX l (5) Với phép biến đổi trên, từ biến mờ gốc ban đầu xi = (a,l,l)LR ta chuyển sang biến mờ chuẩn % iX = (0,3,3)LR. Ở đây, có thể xem biến mờ chuẩn là kết quả một phép biến đổi hình học từ biến mờ gốc ban đầu, được vận dụng tương tự như biến chuẩn trong lý thuyết thống kê toán học. Bài toán được thực hiện trong không gian các biến mờ chuẩn, do đó không gây ra sai lệch chuyển đổi trong quá trình thay thế. 3.2 Thiết kế mẫu thử, ước lượng sai lệch và lựa chọn phương án Để hoàn thành hàm đa thức bậc hai thay thế của phương trình (4), tất các hệ số ai, aii sẽ được xác định bởi việc cực tiểu hóa sự sai lệch giữa các dữ liệu đầu ra của hàm thay thế với các dữ liệu đầu ra mô hình phần tử hữu hạn tiền định. Thông thường, một số mẫu thử với dữ liệu đầu vào xác định được thực hiện và hàm thay thế tốt nhất nhận được từ việc cực tiểu hóa tổng bình phương sai lệch từ các dữ liệu đầu ra. Trong RSM, có ba thiết kế mẫu thử thường được sử dụng [8]: mẫu siêu lập phương latinh, mẫu mặt trung tâm lập phương và mẫu Box- Behnken. Trong ba mẫu trên, mẫu Box-Behnken được đề xuất sử dụng [8] do số lượng mẫu thử không quá nhiều, số lượng điểm phản ứng ít hơn và trong thực tế các phản ứng max, min thường xảy ra trên bề mặt khối lập phương. Trong thiết kế mẫu Box-Behnken, các điểm thiết kế nằm tại tâm lập phương hoặc tại trung điểm của các cạnh KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 37 lập phương. Hình 3 thể hiện thiết kế mẫu Box- Behnken với ba biến số đầu vào. -1 -1 0-1 0 0 1 1 1 Hình 3. Thiết kế mẫu Box-Behnken với ba biến số Để đánh giá chất lượng của mô hình thay thế và lựa chọn phương án phù hợp giữa các phương án tính toán ta sử dụng ước lượng sai lệch. Có ba phương pháp ước lượng sai lệch thường được sử dụng đó là: phương pháp mẫu đơn (split sample – SS), phương pháp kiểm tra chéo (cross – validation – CV) và phương pháp mồi (bootstramping). Trong bài báo này, phương pháp kiểm tra chéo rời bỏ một tập được sử dụng [11], trong đó mỗi điểm phản ứng được kiểm tra một lần và thử k – 2 lần (do mẫu trung tâm đã sử dụng để xác định a0). Ước lượng sai lệch của phương án thứ j được xác định theo công thức: ( )−= − →2( )ˆ minjj j jGSE y y (6) trong đó GSEj – ước lượng sai của phương án thứ j; yj – giá trị đầu ra tại X(j) (được xác định theo phương pháp PTHH); −( )ˆ jjy – giá trị ước lượng tại X(j) theo phương án thứ j. 4. Tối ưu mức α với thuật toán tiến hóa vi phân (DE) Phương pháp tối ứu mức α được xem như là một cách tiếp cận tổng quát cho việc phân tích kết cấu mờ. Trong đó, tất cả các biến đầu vào mờ được rời rạc hóa thành các khoảng theo các mức α tương ứng. Ứng với mỗi lát cắt α, ta có khoảng của các biến đầu vào và tìm khoảng các giá trị đầu ra bằng các thuật toán tối ưu (tìm max, min) khác nhau. Quá trình tối ưu với mỗi mức α được chạy trực tiếp trên mô hình phần tử hữu hạn và đánh giá giá trị hàm mục tiêu đầu ra nhiều lần để đạt đến một lời giải chấp nhận được, làm tăng thời gian tính toán. Thuật toán tối ưu tiến hóa vi phân (DE), được đề xuất đầu tiên bởi Storn và Price (1995), là thuật toán tối ưu dựa trên quần thể. DE là một thuật toán đơn giản, dễ sử dụng, hội tụ toàn cục tốt hơn và mạnh hơn thuật toán di truyền (GA), do đó thích hợp cho các bài toán tối ưu khác nhau [6,7]. Các bước thực hiện cơ bản của DE như sau: Với hàm mục tiêu f(x), ta cần tìm kiếm tối ưu toàn cục trên không gian liên tục các biến: x = {xi}, xi ∈ [xi,min , xi,max], i = 1,2,n. Với mỗi thế hệ G, quần thể ban đầu được xây dựng ngẫu nhiên trong miền cho phép của các biến độc lập theo công thức: xk,i(0) = xi,min + rand[0,1].(xi,max - xi,min), i = 1,2,n (7) trong đó rand[0,1] – số thực ngẫu nhiên phân bố đều trong khoảng [0,1]. Quá trình tiến hóa lặp sẽ được thực hiện như sau: Bước 1 – Đột biến: Vectơ đột biến y được tạo ra từ quần thể xk(G), k = 1,2,NP như sau: y = xr1(G) + F.[xr2(G) - xr3(G)] (8) với NP – số cá thể; r1 , r2 , r3 – các số tự nhiên được chọn ngẫu nhiên, và 1≤ r1 ≠ r2 ≠ r3 ≠ k ≤ NP; F – hằng số tỉ lệ đột biến được chọn trong khoảng [0,1]. Bước 2 – Lai ghép: Quần thể mới z được tạo ra từ phép lai ghép hai quần thể x và y như sau: ( ) ( ) ( ) ( )  ≤ = =  > ≠ , if [0,1] if [0,1] j i k i y rand Cr or r i z x rand Cr or r i (9) ở đây, r – số nguyên được chọn ngẫu nhiên trong khoảng [1,n], Cr – xác xuất lai ghép được chọn trong khoảng [0,1]. Bước 3 – Chọn lọc: Trên cơ sở so sánh hai quần thể x và z, tiến hành chọn lọc các cá thể có giá trị hàm nhỏ hơn, ta được quần thể u như sau: < =   , , if ( ) ( ) if j j k i j k i z f z f x u x ortherwise (10) Bước 4 – Tái sinh: Thự hiện phép gán xk(G+1) = uk(G) ta được thế hệ mới. Quá trình tiến hóa lặp lại từ bước 1 đến bước 4 tùy theo số vòng lặp cho đến khi ta được giá trị chấp nhận được. 5. Ví dụ minh họa Khảo sát khung thép phẳng liên kết đàn hồi mười ba tầng – ba nhịp như hình 4. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 38 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 3. 6 x 13 7.0 x 3 TÇng 13 TÇng 2 TÇng 1 TÇng 12 Hình 4. Khung thép mười ba tầng – ba nhịp Các số liệu như sau: mô đun đàn hồi E = 210E+06kN/m2; diện tích mặt cắt ngang và mô men quán tính của cột từ tầng một đến tầng bốn: Ac1 = 6.52E-02m2, Ic1 = 2.044E-03m4, từ tầng năm đến tầng tám: Ac2 = 5.01E-02m2, Ic2 = 1.469E-03m4, từ tầng chín đến tầng mười ba: Ac3 = 4.01E-02m2, Ic3 = 1.111E-03m4; diện tích mặt cắt ngang và mô men quán tính của dầm: Ad = 1,83E-02m2, Id = 8.741E-04m4; nhịp dầm Ld = 7.0m; chiều cao cột Lc = 3.6m; mật độ khối lượng phân bố trên cột là m1(T/m3) và dầm là m2(T/m3) (kể cả tải trọng từ sàn truyền vào); hệ số độ cứng liên kết chân cột là s1 và hai đầu dầm là s2. Với khung thép phẳng như trên, trong bài báo này, ba tần số dao động riêng mờ đầu tiên ω1, ω2, ω3 được xác định tương ứng các trường hợp khác nhau như sau: - Trường hợp 1 (TH1): Xét các đại lượng có dạng số mờ tam giác cân, bao gồm: ( )=% 1 7.85,0.785,0.785m , ( )=% 2 50,5,5m ; hệ số độ cứng liên kết chân cột được lấy ở hình 2: ( )=%1 0.8,0.1,0.1s ứng với mức cứng 8, ở hai đầu dầm: ( )=%2 0.75,0.1,0.1s ứng với mức cứng 7. - Trường hợp 2a (TH2a): Xét đại lượng có dạng số mờ tam giác không cân là hệ số độ cứng liên kết ở hai đầu dầm 2s% ứng với mức cứng 1 (rất mềm). Các đại lượng khác lấy giá trị tiền định, bao gồm: hệ số độ cứng liên kết chân cột s1 = 1 (ngàm lý tưởng), mật độ khối lượng m1 = 7.85 và m2 = 50. - Trường hợp 2b (TH2b): Các hệ số độ cứng được lấy ở trường hợp 2a. Xét thêm hai tham số mờ có dạng tam giác cân là ( )=% 1 7.85,0.785,0.785m và ( )=% 2 50,5,5m . - Trường hợp 3a (TH3a): Xét các đại lượng có dạng số mờ tam giác không cân là hệ số độ cứng liên kết ở chân cột 1s% và hai đầu dầm 2s% có cùng mức cứng 9 (rất cứng). Các đại lượng khác lấy giá trị tiền định là mật độ khối lượng m1 = 7.85 và m2 = 50. - Trường hợp 3b (TH3b): Các hệ số độ cứng được lấy ở trường hợp 3a. Xét thêm hai tham số mờ có dạng tam giác cân là ( )=% 1 7.85,0.785,0.785m và ( )=% 2 50,5,5m . Trường hợp 1 được giải theo hai cách: RSM (do các biến mờ đầu vào có dạng tam giác cân) và DE, có sự so sánh giữa hai cách giải. Các trường hợp còn lại được giải theo DE (do biến mờ đầu vào có dạng tam giác không cân). Kết quả giới hạn nhận được ứng với mức α = 1 có sự so sánh với lời giải tiền định theo SAP2000 như sau: với trường hợp 2a (s1 = 1, s2 = 0, m1 = 7.85 và m2 = 50); với trường hợp 3a (s1 = 1, s2 = 1, m1 = 7.85 và m2 = 50). 5.1 Giải theo RSM Trong trường hợp 1, số biến mờ là bốn (bốn biến thiết kế). Theo thiết kế mẫu Box – Behnken sẽ có tổng cộng 25 phương án thiết kế. Giá trị tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 của các phương án thiết kế được xác định bằng phương pháp PTHH tất định được lập trình trên Matlab phiên bản 2015b. Kết quả tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 được xác định ở bảng 1. Kết quả các hệ số của hàm thay thế cho tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 được thể hiện ở bảng 2 và kết quả khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 theo RSM ở bảng 3. KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 39 Bảng 1. Các phương án thiết kế mẫu theo Box-Behnken và tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 tương ứng STT x1=s1 X1 x2=s2 X2 x3=m1 X3 x4=m2 X4 ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) 0 0.90 0 0.75 0 7.850 0 50.00 0 4.993 15.092 26.742 1 1.00 3 0.85 3 7.850 0 50.00 0 5.417 16.265 28.626 2 0.80 -3 0.85 3 7.850 0 50.00 0 5.409 16.239 28.577 3 1.00 3 0.65 -3 7.850 0 50.00 0 4.580 13.951 24.931 4 0.80 -3 0.65 -3 7.850 0 50.00 0 4.574 13.929 24.888 5 1.00 3 0.75 0 8.635 3 50.00 0 4.950 14.948 26.488 6 0.80 -3 0.75 0 8.635 3 50.00 0 4.943 14.924 26.443 7 1.00 3 0.75 0 7.065 -3 50.00 0 5.045 15.265 27.050 8 0.80 -3 0.75 0 7.065 -3 50.00 0 5.037 15.241 27.005 9 1.00 3 0.75 0 7.850 0 55.00 3 4.806 14.540 25.767 10 0.80 -3 0.75 0 7.850 0 55.00 3 4.799 14.517 25.723 11 1.00 3 0.75 0 7.850 0 45.00 -3 5.213 15.739 27.889 12 0.80 -3 0.75 0 7.850 0 45.00 -3 5.205 15.713 27.842 13 0.90 0 0.85 3 8.635 3 50.00 0 5.363 16.084 28.305 14 0.90 0 0.65 -3 8.635 3 50.00 0 4.534 13.797 24.653 15 0.90 0 0.85 3 7.065 -3 50.00 0 5.465 16.426 28.908 16 0.90 0 0.65 -3 7.065 -3 50.00 0 4.621 14.088 25.174 17 0.90 0 0.85 3 7.850 0 55.00 3 5.206 15.646 27.536 18 0.90 0 0.65 -3 7.850 0 55.00 3 4.402 13.420 23.979 19 0.90 0 0.85 3 7.850 0 45.00 -3 5.647 16.935 29.802 20 0.90 0 0.65 -3 7.850 0 45.00 -3 4.775 14.526 25.957 21 0.90 0 0.75 0 8.635 3 55.00 3 4.761 14.390 25.498 22 0.90 0 0.75 0 7.065 -3 55.00 3 4.845 14.672 25.999 23 0.90 0 0.75 0 8.635 3 45.00 -3 5.156 15.550 27.554 24 0.90 0 0.75 0 7.065 -3 45.00 -3 5.263 15.908 28.189 Bảng 2. Các hệ số của hàm thay thế cho tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 Các hệ số ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) a0 4.993 15.092 26.742 a1 0.00121622 0.00405573 0.00762552 a2 0.13947233 0.38570816 0.61582726 a3 -0.01578056 -0.05298056 -0.09401944 a4 -0.06781167 -0.19963333 -0.35363333 a11 -0.00000608 -0.00002633 -0.00004103 a22 0.00022142 0.00046672 0.00145480 a33 0.00007443 0.00028053 0.00050038 a44 0.00137582 0.00394858 0.00699899 Bảng 3. Khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3, ứng với từng lát cắt α – trường hợp 1 Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) α = 1 4.993 15.092 26.742 α = 0.8 [4.859; 5.128] [14.708; 15.479] [26.103; 27.388] α = 0.6 [4.726; 5.265] [14.328; 15.870] [25.470; 28.041] α = 0.4 [4.595; 5.402] [13.951; 16.264] [24.843; 28.699] α = 0.2 [4.464; 5.541] [13.577; 16.661] [24.223; 29.364] α = 0 [4.335; 5.681] [13.207; 17.061] [23.609; 30.040] 5.2 Giải theo DE Tiến hành chạy bài toán xác định khoảng giá trị đầu ra với năm mức α theo thuật toán tối ưu tiến hóa vi phân (DE), trong đó số biến tương ứng với các trường hợp như sau: 4 biến (trường hợp 1 và 3b), 3 biến (trường hợp 2b), 2 biến (trường hợp 3a) và 1 biến (trường hợp 2a), kích thước quần thể là 50, hệ số đột biến là 0.5, xác xuất lai ghép là 0.9. Kết quả giá trị tối ưu đạt được sau 30 lần lặp. Bài toán được KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 40 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 lập trình trên Matlab phiên bản 2015b. Kết quả khoảng giá trị của tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 của khung ứng với các lát cắt α được thể hiện ở các bảng từ bảng 4 đến bảng 8 tương ứng với từng trường hợp. Các trường hợp 2a, 2b (rất mềm) có tần số dao động riêng nhỏ hơn các trường hợp 3a, 3b (rất cứng) là đúng quy luật dao động. Bảng 4. Khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 - trường hợp 1 Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) α = 1 4.993 15.092 26.742 α = 0.8 [4.861; 5.129] [14.713; 15.481] [26.110; 27.391] α = 0.6 [4.731; 5.268] [14.342; 15.880] [25.493; 28.058] α = 0.4 [4.605; 5.411] [13.980; 16.290] [24.892; 28.743] α = 0.2 [4.482; 5.559] [13.627; 16.712] [24.304; 29.448] α = 0 [4.361; 5.710] [13.281; 17.145] [23.730; 30.174] Bảng 5. Kết quả khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 - trường hợp 2a Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) SAP2000 0.74152 4.09152 11.3722 α = 1 0.73347 4.0724 11.0457 α = 0.8 [0.73347; 1.1413] [4.0724; 4.7400] [11.0457; 11.6681] α = 0.6 [0.73347; 1.3980] [4.0724; 5.3026] [11.0457; 12.2612] α = 0.4 [0.73347; 1.5988] [4.0724; 5.7939] [11.0457; 12.8277] α = 0.2 [0.73347; 1.7699] [4.0724; 6.2347] [11.0457; 13.3704] α = 0 [0.73347; 1.9225] [4.0724; 6.6379] [11.0457; 13.8917] Bảng 6. Kết quả khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 - trường hợp 2b Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) α = 1 0.73347 4.0724 11.0457 α = 0.8 [0.72624; 1.1529] [4.0323; 4.7881] [10.9368; 11.7865] α = 0.6 [0.71923; 1.4268] [3.9933; 5.419] [10.8312; 12.5141] α = 0.4 [0.71241; 1.6490] [3.9555; 5.9760] [10.7258; 13.2308] α = 0.2 [0.70578; 1.8453] [3.9187; 6.5001] [10.6287; 13.9396] α = 0 [0.69934; 2.0265] [3.8829; 6.9970] [10.5316; 14.6431] Bảng 7. Kết quả khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 - trường hợp 3a Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) SAP2000 6.4418 18.5142 32.1314 α = 1 6.0658 18.0507 31.5079 α = 0.8 [5.5937; 6.0658] [17.7956; 18.0507] [31.0918; 31.5079] α = 0.6 [5.8822; 6.0658] [17.5420; 18.0507] [30.6787; 31.5079] α = 0.4 [5.7913; 6.0658] [17.2900; 18.0507] [30.2683; 31.5079] α = 0.2 [5.7010; 6.0658] [17.0393; 18.0507] [29.8650; 31.5079] α = 0 [5.6112; 6.0658] [16.7898; 18.0507] [29.4552; 31.5079] Bảng 8. Kết quả khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3, - trường hợp 3b Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) α = 1 6.0658 18.0507 31.5079 α = 0.8 [5.9148; 6.1274] [17.6203; 18.2339] [30.7855; 31.8378] α = 0.6 [5.7680; 6.1909] [17.2014; 18.4229] [30.0829; 32.1576] α = 0.4 [5.6251; 6.2560] [16.7953; 18.6179] [29.3982; 32.4979] α = 0.2 [5.4858; 6.3240] [16.3960; 18.8191] [28.7333; 32.8492] α = 0 [5.3500; 6.3939] [16.0084; 19.0271] [28.0844; 33.2122] Hàm thuộc tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 của khung ứng với trường hợp 1 bằng hai cách tiếp cận được thể hiện trên hình 5 và hình 6. Qua đó cho thấy mức độ sai lệch giữa hai cách tiếp KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 41 cận là không đáng kể. Các trường hợp TH2a, TH2b, TH3a, TH3b được thực hiện theo DE, hàm thuộc tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 được thể hiện trên các hình 7 đến hình 10, kết quả nhận được các số mờ có dạng bất kỳ tương ứng với số mờ đầu vào có dạng tam giác không cân. Hình 5. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω1, ω2 ở trường hợp 1 theo phương pháp mặt phản ứng (RSM) và thuật toán tiến hóa vi phân (DE) Hình 6. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω3 ở trường hợp 1 theo phương pháp mặt phản ứng (RSM) và thuật toán tiến hóa vi phân (DE) Hình 9. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω1, ω2 theo thuật toán tiến hóa vi phân (DE) - trường hợp 3a,3b (TH3a, TH3b) Hình 7. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω1, ω2 theo thuật toán tiến hóa vi phân (DE) – trường hợp 2a, 2b (TH2a, TH2b) Hình 8. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω3 theo thuật toán tiến hóa vi phân (DE) – trường hợp 2a, 2b (TH2a, TH2b) KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 42 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 6. Kết luận Bài báo đã đề xuất hai cách giải xác định tần số dao động riêng mờ khung thép phẳng có liên kết mờ, trong đó độ cứng liên kết dầm – cột, chân cột – móng và khối lượng có dạng số mờ tam giác cân và không cân. Từ các kết quả của ví dụ minh họa, ta có một số nhận xét như sau: a. Việc phân tích phần tử hữu hạn mờ dựa trên phương pháp mặt phản ứng (RSM), kết quả thể hiện tần số dao động riêng mờ của kết cấu bằng cách áp dụng phương pháp chuyển đổi với mô hình thay thế là đa thức bậc hai. Cách giải này phù hợp với các biến mờ đầu vào có dạng tam giác cân. Qua khảo sát một khung thép phẳng mười ba tầng – ba nhịp với số lượng phần tử khá lớn và số biến mờ nhiều cho thấy hiệu quả của việc áp dụng phương pháp này. Bài toán này cũng được thực hiện bởi cách giải khác bằng việc sử dụng phương pháp tối ưu mức α với thuật toán tiến hóa vi phân (DE), kết quả so sánh tần số dao động riêng mờ theo hai cách giải chênh lệch nhau không đáng kể. b. Trên cơ sở kết quả chính xác khi giải theo DE ở trường hợp 1, bài báo đã mở rộng cho các trường hợp khác với các biến mờ đầu vào có dạng tam giác bất kỳ, trong đó có biến mờ được mô tả dưới dạng số mờ tam giác không cân. Kết quả ví dụ cho thấy lợi thế của thuật toán tối ưu mức α kết hợp DE so với RSM kết hợp GA khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn liên kết đàn hồi với hệ nhiều bậc tự do và biến mờ tam giác không cân. Các trường hợp giới hạn theo DE cũng đã được so sánh với lời giải tiền định theo SAP2000 khẳng định hơn nữa độ chính xác và lợi thế của cách giải này. c. Việc sử dụng mô hình liên kết đàn hồi tuyến tính đơn giản, phù hợp với giả thiết hệ có chuyển vị nhỏ. Trường hợp xét chuyển vị lớn, quan hệ mô men – góc xoay (M - θ) dạng phi tuyến, cần được tiếp tục nghiên cứu. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Lê Xuân Huỳnh, Lê Công Duy (2006). “Phương pháp đánh giá độ tin cậy mờ của kết cấu khung”, Tạp chí xây dựng. [2]. Vũ Quốc Anh (2012). “Tính toán và thiết kế khung thép liên kết đàn hồi”, 52 – 79, Nhà xuất bản xây dựng, Hà Nội. [3]. Ali Keyhani, Seyed Mohammad Reza Shahabi (2012). “Fuzzy connections in structural analy- sis”. ISSN 1392 – 1207, MECHANIKA, Volume 18(4): 380-386. [4]. Nguyen Hung Tuan, Le Xuan Huynh, Pham Hoang Anh (2015). “A fuzzy finite element ai- gorithm based on response surface method for free vibration analysis of structure”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 37, No. 1: 17 – 27. [5]. Storn, R. and Price, K. (1995). “Differential Evolution – A Simple and Efficient Adaptive Sheme for Global Optimization over Conti- nuous Spaces”, International Computer Science Institute, Berkeley. [6]. Storn, R. and Price, K. (1997). “Differential Evolution – A Simple and Efficient Heuristic for Global Optimization over Continuous Spaces”, Journal of Global Optimization 11, Nether- lands: 341–359. [7]. Anh Hoang Pham, Thanh Xuan Nguyen and Hung Van Nguyen (2014). “Fuzzy Structural Analysis Using Improved Differential Evolution Optimization”, International Conference on Engineering Mechanic and Automation (ICEMA 3) Hanoi, October 15-16: 492 – 498. [8]. M. De Munck, D. Moens,W. Desmet, and D. Vandepitte (2008). “A response surface based optimisation algorithm for the calculation of fuzzy envelope FRFs of models with uncertain properties”, Computers & Structures, 86, (10): 1080–1092. [9]. R. L. Mason, R. F. Gunst, and J. L. Hess (2003). “Statistical design and analysis of ex- periments: With applications to engineering and science”, JohnWiley & Sons, Vol. 474. [10]. Du Bois D., Foulloy L., Mauris G. and Prade H. (2004). “Probability – Possibility Transfor- mations, Triangular Fuzzy Sets, and Probabil- istic Inequalities”. Reliable Computers 10, Kluwer Academic Publishers, Printer Nether- lands: 273 – 297 [11]. Hanss M. (2005). “Applied fuzzy arithmetic - An introduction with engineering appplica- tions”. Berlin Springer. Ngày nhận bài:03/6/2016. Ngày nhận bài sửa lần cuối:30/6/2016. Hình 10. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω3 theo thuật toán tiến hóa vi phân (DE) - trường hợp 3a,3b (TH3a, TH3b)