Thiết kế bộ Điều khiển trượt cho Robot 2 bậc tự do

ợc viết lại là: (1.13) I.4.1.3.Biến đổi Ma trận dùng toạ độ thuần nhất: Bây giờ thiết lập quan hệ giữa 2 hệ toạ độ: hệ toạ độ ojxjyjzj sang hệ toạ độ mới oixiyizi. Chúng không những quay tương đối với nhau mà tịnh tiến cả gốc toạ độ: gốc oj xác định trong hệ xiyizi bằng vector p: p=(a,-b,-c,1)T (1.14) Giả sử vị trí của điểm M trong hệ toạ độ xjyjzj được xác định bằng vector rj: rj = (xjyjzj,1)T (1.15) và trong hệ toạ độ xiyizi điểm M được xác định bằng vector ri: ri = (xiyizi,1)T (1.16) Từ hình (1.8) có thể dễ dàng thiết lập mối quan hệ giữa các toạ độ: (1.17) yj zi xi yi c oi b a zj oj xj Hình 1.8: Các hệ toạ độ Sắp xếp các hệ số ứng với xj,yj,zj và tj thành một ma trận: (1.18) và viết phương trình biến đổi toạ độ như sau: ri = Tij rj (1.19) Ma trận Tij biểu thị bằng ma trận 4x4 như phương trình (1.18) và gọi là ma trận thuần nhất. Nó dùng để biến đổi vector mở rộng từ hệ toạ độ thuần nhất này sang hệ toạ độ thuần nhất kia. I.4.1.4. Ý nghĩa hình học của Ma trận thuần nhất: Từ (3.19) nhận thấy ma trận thuần nhất 4x4 là một ma trận gồm 4 khối : (1.20) Hoặc viết rút gọn là: (1.21) Trong đó: - ma trận quay 3x3 p – ma trận 3x1 biểu thị 3 toạ độ của điểm gốc hệ toạ độ 0j trong hệ toạ độ oi, xi, yi, zi 1x3 – ma trận không 1x1 – ma trận đơn vị Như vậy ma trận thuần nhất 4x4 là ma trận 3x3 mở rộng, thêm ma trận 3x1 biểu thị sự chuyển dịch gốc toạ độ và phần tử a44 biểu thị hệ số tỷ lệ. Dễ dàng nhận thấy ma trận chính là ma trận quay 3x3, nếu suy từ ma trận quay trong (1.12) sang trường hợp hình 1.8 ta có: (1.22) và các góc cosin chỉ phương này đều liên hệ đến góc (hình 1.8). Nếu chú ý về quan hệ giữa 2 cặp trục,ví dụ, cos(xi,yj) = cos(yi, xj) … ở đây dễ dàng nhận được biểu thức: (1.23) Mô tả tổng quát hơn nếu một điểm M nào đó được xác định trong hệ toạ độ thuần nhất UVW bằng vectơ mở rộng ruvw , thì trong hệ toạ độ thuần nhất XYZ điểm đó xác định bằng vector mở rộng rxyz: Rxyz = T.ruvw (1.24) Trong đó T là ma trận thuần nhất 4x4, có thể viết khai triển ở dạng sau: (1.25) hoặc (1.26) Ta tìm hiểu ý nghĩa hình học của ma trận T. Như đã trình bày khi phân tích các khối của ma trận 4x4, ma trận 3x1 tương ứng với toạ độ điểm gốc của hệ toạ độ UVW biểu diễn trong hệ XYZ. Nếu 2 gốc toạ độ trùng nhau thì các thành phần của ma trận 3x1 này đều là 0. Khi đó xét trường hợp: tức là rxyz = iu thì dễ dàng nhận thấy cột thứ nhất hoặc vectơ n của ma trận (1.25) chính là các toạ độ của vectơ chỉ phương trục OU biểu diễn trong hệ toạ độ XYZ. Tương tự khi xét các trường hợp và cũng đi đến nhận xét cột thứ 2 (hoặc vectơ s) ứng với các toạ độ của vectơ chỉ phương trục OV và cột thứ 3 (hoặc vectơ a) ứng với các toạ độ vector chỉ phương trục OW. Như vậy, ma trận thuần nhất T 4x4 hoàn toàn xác định vị trí và định hướng của hệ toạ độ UVW so với hệ toạ độ XYZ. Đó là ý nghĩa hình học của ma trận thuần nhất 4x4. I.4.2.Các phép biến đổi cơ bản: I.4.2.1.Phép biến đổi tịnh tiến: Từ (1.18) hoặc (1.25), biểu thị ma trận thuần nhất khi chỉ có biến đổi tịnh tiến mà không có quay (), ta có: = (1.27) Đó là ma trận biến đổi tịnh tiến (Tranlation) Gọi u là vector biểu diễn một điểm trong không gian cần dịch chuyển tịnh tiến: và p là vector chỉ hướng và độ dài cần dịch chuyển thì v là vector biểu diễn điểm toạ độ trong không gian đã được tịnh tiến tới: (1.28) I.4.2.2. Phép quay quanh các trục toạ độ : Từ ma trận quay 3x3 trong biểu thức (1.12) ta xây dựng ma trận cho trường hợp hệ toạ độ UVW quay quanh trục OX một góc nào đó. Trong trường hợp này : (1.29) Tương ứng cho trường hợp quay quanh trục OY một góc : (1.30) và trường hợp quay quanh trục OZ một góc : (1.31) Cột thứ 4 của các ma trận 4x4 trên có 3 phần tử đều bằng 0 vì ở đây không có sự tịnh tiến. Các ma trận này được gọi là các ma trận quay (rotation) cơ bản. Các ma trận quay khác có thể xây dựng từ các ma trận cơ bản này. CHƯƠNG II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC CỦA ROBOT CÔNG NGHIỆP: II.1. Hệ phương trình động học Robot : II.1.1. Đặt vấn đề : Cơ cấu chấp hành của Robot thường là một cơ cấu hở gồm một chuỗi các khâu (link) nối với nhau bằng các khớp (joints). Các khớp động này là khớp quay (R) hoặc khớp tịnh tiến (T). Để Robot có thể thao tác linh hoạt cơ cấu chấp hành của nó phải có cấu tạo sao cho điểm mút của khâu cuối cùng đảm bảo dễ dàng di chuyển theo một quỹ đạo nào đó, đồng thời khâu này có một hướng nhất định theo yêu cầu. Khâu cuối cùng này thường là bàn kẹp (griper), điểm mút của nó chính là “điểm tác động cuối” E (end-effector). Để xét vị trí và hướng của E trong không gian ta gắn vào nó một hệ toạ độ động thứ n và gắn với mỗi khâu động một hệ toạ độ khác, còn gắn liền với giá đỡ một hệ toạ độ cố định. Đánh số ký hiệu các hệ này từ 0 đến n bắt đầu từ giá cố định. Khi khảo sát chuyển động của Robot cần biết “định vị và định hướng” tại điểm tác động cuối trong mọi thời điểm. Các lời giải của bài toán này được xác định từ những phương trình Động học của Robot. Các phương trình này là mô hình Động học của Robot. Chúng được xây dựng trên cơ sở thiết lập các mối quan hệ giữa các hệ toạ độ động nói trên so với hệ toạ độ cố định. II.1.2. Xác định trạng thái của Robot tai điểm tác động cuối : Trạng thái của Robot tại “điểm tác động cuối” hoàn toàn xác định bằng sự định vị và định hướng tại điểm tác động cuối đó. Như đã đề cập ở phần I.4.1.4 biểu thị sự định vị và định hướng đó bằng ma trận trạng thái cuối TE : (2.1) Trong đó các phần tử của ma trận 3x1 là toạ độ px , py, pz của “điểm tác động cuối” E. Mỗi cột của ma trận quay 3x3 là một vectơ đơn vị chỉ phương một trục của hệ toạ độ động NSA (chính là UVW) biểu diễn trong toạ độ cố định XYZ. Hệ toạ độ gắn liền với bàn kẹp của Robot có các vectơ đơn vị chỉ phương các trục như sau : a - vector có hướng tiếp cận (approach) với đối tác . s - vector có hướng đường trượt (sliding) đóng mở bàn kẹp . n - vector pháp tuyến (normal). II.1.3. Mô hình động học : II.1.3.1. Ma trận quan hệ : Chọn hệ toạ độ cố định gắn liền với giá đỡ và các hệ toạ độ gắn với từng khâu động. Ký hiệu các hệ toạ độ này từ 0 đến n, kể từ giá cố định trở đi. Một điểm bất kì nào đó trong không gian được xác định trong hệ toạ độ thứ i bằng bán kính ri và trong hệ toạ độ cố định x0, y0, z0 được xác định bằng bán kính vector r0 : r0 = A1A2…Airi (2.2) hoặc r0 = Tiri (2.3) với Ti = A1A2…Ai , i= 1, 2, …n (2.4) Trong đó ma trận A1 mô tả vị trí hướng của khâu đầu tiên; ma trận A2 mô tả vị trí và hướng của khâu thứ 2 so với khâu đầu; ma trận Ai mô tả vị trí và hướng của khâu thứ i so với khâu thứ i-1. Như vậy, tích của các ma trận Ai là ma trận Ti mô tả vị trí và hướng của khâu thứ i so với giá trị cố định. Thường kí hiệu ma trận T với 2 chỉ số: trên và dưới. Chỉ số dưới chỉ khâu đang xét còn chỉ số trên để chỉ toạ độ được dùng để đối chiếu. Ví dụ, biểu thức (2.4) có thể viết lại là : (2.5) với (2.6) là ma trận mô tả vị trí và hướng của khâu thứ i so với khâu thứ nhất. Trong kí hiệu thường bỏ qua chỉ số trên nếu chỉ số đó bằng 0. Denavit & Hartenberg đã đề xuất dùng ma trận thuần nhất 4x4 mô tả quan hệ giữa 2 khâu liên tiếp trong cơ cấu không gian . II.1.3.2. Bộ thông số DH : Dưới đây trình bày cách xây dựng các hệ toạ động đối với 2 khâu động liên tiếp i và i+1. Hình dưới đây là trường hợp 2 khớp động liên tiếp là 2 khớp quay. Hình 2.1: Các hệ toạ độ đối với 2 khâu động liên tiếp Trước hết xác định bộ thông số cơ bản giữa 2 trục quay của khớp động i+1 và i : ai là độ dài đường vuông góc chung giữa 2 trục khớp động i+1 và i . ai là góc chéo giữa 2 trục khớp động i+1 và i . di là khoảng cách đo dọc trục khớp động i từ đường vuông góc chung giữa trục khớp động i+1 và trục khớp động i tới đường vuông góc chung giữa khớp động i và trục khớp động i -1. qi là góc giữa 2 đường vuông góc chung nói trên. Bộ thông số này được gọi là bộ thông số Denavit – Hartenberg (DH). Biến khớp (joint variable): Nếu khớp động i là khớp quay thì biến khớp là qi Nếu khớp động i là khớp tịnh tiến thì biến khớp là di Để kí hiệu thêm biến khớp dùng thêm dấu * và trong trường hợp khớp tịnh tiến thì ai được xem là bằng 0. II.1.3.3. Thiết lập hệ toạ độ : Gốc của hệ toạ độ gắn liền với khâu thứ i (gọi là hệ toạ độ thứ i) đặt tại giao điểm giữa đường vuông góc chung (ai) và trục khớp động i+1. Trường hợp 2 trục giao nhau thì gốc hệ toạ độ lấy trùng với giao điểm đó. Nếu 2 trục song song với nhau thì chọn gốc toạ độ là điểm bất kì trên trục khớp động i+1. Trục zi của hệ toạ độ thứ i nằm dọc theo trục khớp động i+1. Trục xi của hệ toạ độ thứ i nằm dọc theo đường vuông góc chung hướng từ khớp động i đến khớp động i+1. Trường hợp 2 trục giao nhau, hướng trục xi trùng với hướng vector tích zi x zi-1, tức là vuông góc với mặt phẳng chứa zi, zi-1. Ví dụ : Xét tay máy có 2 khâu phẳng như hình 2.2. Hình 2.2: Tay máy 2 khâu phẳng (vị trí bất kỳ) Gắn các hệ toạ độ với các khâu như hình vẽ : - Trục z0 , z1 và z2 vuông góc với mặt tờ giấy. - Hệ toạ độ cố định là o0x0y0z0 chiều x0 hướng từ o0 đến o1. - Hệ toạ độ o1x1y1z1 có gốc o1 đặt tại tâm trục khớp động 2. - Hệ toạ độ o2x2y2z2 có gốc o2 đặt tại tâm trục khớp động cuối khâu 2. Bảng thông số DH của tay máy này như sau : Khâu qi ai ai di 1 0 a1 0 2 0 a2 0 II.1.3.4. Mô hình biến đổi : Trên cơ sở đã xây dựng các hệ toạ độ với 2 khâu động liên tiếp như trên đã trình bày. Có thể thiết lập mối quan hệ giữa 2 hệ toạ độ liên tiếp theo 4 phép biến đổi : + Quay quanh trục z1-1 góc qi . + Tịnh tiến dọc trục zi-1 một đoạn di . + Tịnh tiến dọc trục xi-1 (đã trùng với xi) một đoạn ai . + Quay quanh trục xi một góc ai . Bốn phép biến đổi này được biểu thị bằng tích các ma trận thuần nhất sau Ai = R(z,qi).Tp(0,0,di).Tp(ai,0,0).R(x,ai) (2.7) Các ma trận ở vế phải phương trình (2.7) tính theo các công thức (1.27),(1.29),(1.31). Sau khi thực hiện phép nhân các ma trận nói trên, ta có: (2.8) Trong khớp tịnh tiến : a = 0 . II.1.3.5. Phương trình động học : Với Robot có n khâu, ma trận mô tả vị trí và hướng điểm cuối E của tay máy được miêu tả : Tn = A1A2…An (2.9) Mặt khác, hệ toạ độ tại “điểm tác động cuối” này được mô tả bằng ma trận TE. Vì vậy hiển nhiên là: TE = Tn (2.10) Tức là ta có : (2.11) Phương trình (2.11) là phương trình động học cơ bản của Robot. II.2. Tổng hợp chuyển động Robot : II.2.1. Nhiệm vụ : Nhiệm vụ tổng hợp chuyển động bao gồm việc xác định các bộ lời giải qi(t), (i = 1,..., n), với qi là toạ độ suy rộng hoặc là biến khớp. Biết quy luật chuyển động của bàn kẹp, cần xác định quy luật thay đổi các biến khớp tương ứng. Đó là nội dung chính của việc tổng hợp quỹ đạo chuyển động Robot. Có thể xem quỹ đạo chuyển động là tập hợp liên tiếp các vị trí khác nhau của bàn kẹp. Tại mỗi vị trí trên quỹ đạo cần xác định bộ thông số các biến khớp qi. Đó là nội dung của bài toán động học ngược (inverse kinematics problem) của Robot. II.2.2. Bài toán động học ngược : Bài toán động học ngược được đặc biệt quan tâm vì lời giải của nó là cơ sở chủ yếu để xây dựng chương trình điều khiển chuyển động của Robot bám theo quỹ đạo cho trước. Xuất phát từ phương trình động học cơ bản (2.11) ta có : Tn = A1A2…An = (2.12) Các ma trận Ai là hàm của các biến khớp qi. Vector định vị bàn kẹp p = (px,py,pz)T cũng là hàm của qi. Các vector n, s, a là các vector đơn vị chỉ phương các trục của hệ toạ độ gắn liền với bàn kẹp biểu diễn trong hệ toạ độ cố định XYZ. Các vector này vuông góc với nhau từng đôi một nên trong 9 thành phần của chúng chỉ tồn tại độc lập chỉ có 3 thành phần. Hai ma trận ở vế phải và vế trái của phương trình (2.12) đều là các ma trận thuần nhất 4x4. So sánh các phần tử tương ứng của 2 ma trận trên ta có 6 phương trình độc lập với các ẩn qi (i = 1, 2,...,n). II.2.3. Các phương pháp giải bài toán động học ngược : Trường hợp tổng quát ta xét hệ phương trình động học của Robot có n bậc tự do. Vế trái của phương trình (2.12) theo các kí hiệu như (2.4)-(2.6) có thể viết lại như sau: (2.13) Nhân 2 vế của (2.13) với ta có: Ai-1...A2-1A1-1 Tn = (2.14) Kết hợp (2.12) ta có: =Ai-1...A2-1A1-1 (2.15) với i=1,...,n-1 Ứng với mỗi giá trị của i, khi so sánh các phần tử tương ứng của 2 ma trận ở biểu thức (2.15) ta có 6 phương trình tồn tại độc lập để xác định biến khớp qi. II.3. Động lực học Robot: II.3.1.Nhiệm vụ và phương pháp phân tích Động lực học Robot: Nghiên cứu Động lực học Robot là giai đoạn cần thiết trong việc phân tích cũng như tổng hợp quá trình điều khiển chuyển động. Trong nghiên cứu Động lực học Robot thường giải quyết 2 nhiệm vụ sau đây : + Nhiệm vụ thứ nhất là xác định momen và lực động xuất hiện trong quá trình chuyển động. Khi đó quy luật biến đổi của biến khớp qi(t) xem như đã biết. + Nhiệm vụ thứ hai là xác định các sai số động. Lúc này phải khảo sát các phương trình chuyển động của cơ cấu tay máy đồng thời xem xét các đặc tính động lực của động cơ truyền động. Có nhiều phương pháp nghiên cứu Động lực học Robot nhưng thường dùng hơn cả là phương pháp Lagrange bậc 2 vì khi kết hợp với mô hình Động lực học kiểu DH (Denavit-Hartenberg) ta sẽ được các phương trình Động lực học ở dạng vector ma trận, rất gọn nhẹ và thuận tiện cho việc nghiên cứu giải tích và tính toán trên máy tính. Các phương trình Động lực học Robot được thiết lập dựa trên cơ sở phương trình Lagrange bậc 2: ,i=1,...,n (2.16) Trong đó : L- hàm Lagrange L = K - P (2.17) K, P- động năng và thế năng của cơ hệ. FMi - động lực, hình thành trong khớp động thứ i khi thực hiện chuyển động. qi - biến khớp (toạ độ suy rộng) - đạo hàm bậc nhất của biến khớp theo thời gian. Đồng thời khi mô tả vị trí giữa 2 hệ toạ độ thứ i và i-1 dùng ma trận thuần nhất Ai hoặc viết đầy đủ hơn là . Dùng ma trận này có thể mô tả vị trí trạng thái trong hệ toạ độ thứ i-1 của một điểm bất kì thuộc hệ toạ độ thứ i. Các biến khớp qi là bộ các thông số dịch chuyển của các khớp động của Robot. Vị trí trạng thái của điểm tác động cuối của Robot hoàn toàn được xác định bởi bộ biến khớp qi này. II.3.2.Vận tốc và gia tốc: Để xây dựng mô hình Động lực học Robot dùng phương trình Lagrange bậc 2, cần biết vận tốc của điểm bất kì trên tay máy. Điểm M nào đó trong hệ toạ độ i, xác định bằng véc tơ mở rộng : = ( xi , yi , zi , 1 )T , (2.18) Kí hiệu có nghĩa là điểm M cho biết trong hệ toạ độ i và được biểu thị cũng trong hệ toạ độ i. Còn khi dùng kí hiệu thì có nghĩa là điểm M cho biết trong hệ toạ độ i, nhưng được biểu thị trong hệ toạ độ x0, y0, z0, tức là trong hệ toạ độ cơ bản. Như trước đây, dùng ma trận để mô tả vị trí tương đối giữa hệ toạ độ thứ i đối với hệ toạ độ i-1 và ma trận để mô tả quan hệ giữa hệ toạ độ thứ i và hệ toạ độ cơ bản. Vậy quan hệ giữa và có thể biểu thị như sau : = (2.19) với = … (2.20) Ma trận đã có từ biểu thức (2.8): = (2.21) Biểu thức (2.21) là viết cho trường hợp khớp quay i, còn nếu khớp động là khớp tịnh tiến thì ai =0 và từ (2.21) ta có : = (2.22) Đối với khớp quay thì qi là biến khớp và đối với khớp tịnh tiến thì di là biến khớp. Các phần tử khác không của ma trận đều là hàm của qj, dj, aj và aj (j = 1 ,2 ,…, i). Trong đó ai, aj lại là thông số xác định bằng cấu trúc cụ thể của tay máy. Do vậy các phần tử này là hàm của biến khớp qi nói chung (qi º qj đối với khớp quay và qi º di đối với khớp tịnh tiến). Vi phân biểu thức (2.19) với lưu ý rằng các vectơ là không đổi với hệ toạ độ thứ i vì giả thiết rằng các khâu của tay máy là vật rắn tuyệt đối, ta có: º Vi = = = (2.23) Đạo hàm của ma trận đối với biến khớp qi có thể dễ dàng xác định theo công thức sau : (2.24) Trong đó đối với khớp quay : Di = (2.25) và đối với khớp tịnh tiến : Di = (2.26) Trong trường hợp i = 1, 2,…,n ta có : (2.27) Trong các ma trận bên vế phải chỉ có Aj phụ thuộc vào qj, do đó theo (2.24) ta có : (2.28) với Dj tính theo (2.25) hoặc (2.26) : (2.29a) Phương trình (2.29a) mô tả sự thay đổi vị trí các điểm của khâu thứ i gây nên bởi sự dịch chuyển của khớp động thứ j . Kí hiệu vế trái của (2.29a) là Uij và đơn giản hoá cách viết (2.29a) như sau : (2.29b) vậy công thức (2.23) có thể viết lại là: Vi = (2.30) Tiếp theo, từ biểu thức (2.23) xác định gia tốc: (2.31) II.3.3. Động năng tay máy: Kí hiệu Ki là động năng của khâu i ( i =1,2, …, n) và dKi là động năng của một chất điểm khối lượng dm thuộc khâu i: (2.32) Trong đó Tr là vết của ma trận : TrA = Ta có : dKi= = = (2.33) Như đã nói ở trên ma trận Uij biểu thị sự thay đổi vị trí của các điểm thuộc khâu i gây nên bởi sự dịch chuyến của khớp động j. Ma trận này đều như nhau tại mọi thời điểm thuộc khâu i và không phụ thuộc vào sự phân bố khối lượng trên khâu i, tức là không phụ thuộc vào dm. Cũng vậy, đạo hàm của biến khớp qi theo thời gian không phụ thuộc vào dm. Do vậy ta có: (2.34) Phần trong ngoặc đơn là ma trận quán tính Ji của khâu i: Ji = . (2.35) Nếu dùng Tenso quán tính Iij: (2.36) Với các chỉ số i, j, k lấy lần lượt bằng các giá trị xi , yi, zi, đó là các trục của hệ toạ độ i, và dij là kí hiệu Cronecke, thì ma trận Ji có thể biểu thị ở dạng sau: (2.37) Ở đây - bán kính vector biểu diễn trọng tâm của khâu thứ i trong hệ toạ độ i. Công thức (2.37) viết thành : (2.38) Ở đây và j = 1,2,3 ; k = 1, 2, 3 - bán kính véc tơ biểu diễn trọng tâm của khâu thứ i trong hệ toạ độ i . Vậy, động năng của toàn cơ cấu tay máy bằng tổng đại số động năng của các khâu động : (2.39) Lưu ý rằng, các ma trận Ji (i=1,2,3,…n) chỉ phụ thuộc vào sự phân bố khối lượng của khâu i trong hệ toạ độ i mà không phụ thuộc vào vị trí và vận tốc. Vì thế cần tính ma trận Ji chỉ 1 lần. II.3.4 .Thế năng tay máy: Thế năng Pi của khâu i: Pi = - mi.g. = -mi.g. (2.40) i=1,2,…,n Trong đó , - bán kính vec tơ biểu diễn trọng tâm của khâu i trong hệ toạ độ cơ bản . g - vector gia tốc trọng trường, g = ( 0, 0 , -g, 0) ( gia tốc trọng trường g = 9,8062 m/s2 ) Thế năng của toàn cơ cấu n khâu động : . (2.41) II.3.5.Mô hình động lực học tay máy: Để xây dựng mô hình động lực học tay máy dùng phương trình Lagrange bậc 2 (phương trình 2.16): , I = 1,2, …,n Phương trình trên cho biểu thức tính động lực FMi. Đó là lực hoặc mô men tạo nên bởi nguồn động lực ở khớp động i để thực hiện chuyển động khâu i. Thay (2.39), (2.41) vào (2.16), cuối cùng ta có : i=1,2,…,n (2.42) Biểu thức (2.42) có thể viết gọn lại như sau : (2.43) Hoặc là dưới dạng ma trận : (2.44) Trong đó : FM(t) – vector (nx1) lực động, tạo nên ở n khớp động : (2.45) q(t) – vector (nx1) biến khớp : (2.46) - vec tơ (nx1) tốc độ thay đổi biến khớp : (2.47) - vectơ (nx1) gia tốc biến khớp : (2.48) D(q) – Ma trận (nxn) , có các phần tử Dik sau đây : i,k =1,2, …. n (2.49) H(q, ) – vectơ (nx1) lực ly tâm và Coriolit i=1,2,…,n (2.50) i,k,m = 1,2,…,n (2.51) C(q) – vec tơ (nx1) lực trọng trường. (2.52) II.3.6. Động lực học của cơ cấu tay máy 2 khâu: Trong phần này dẫn ra ví dụ minh họa xây dựng mô hình động lực học của cơ cấu tay máy 2 khâu toàn khớp (hình 2.3) . Như đã chỉ trên hình 2.3 các trục Zi đều trùng phương với các trục khớp quay động. Khối lượng của các khâu tương ứng là m1, m2; Bộ thông số DH của tay máy ghi trong bảng sau : Khâu qi ai Ai di Khớp 1 qi* 0 1 0 R 2 qi* 0 1 0 R Hình 2.3: Cơ cấu tay máy 2 khâu Các ma trận ( i =1,2) sẽ là : vẫn như trước đây dùng các kí hiệu sau : Ci = cos ; S i= sin ; Cij = cos(+) ; Sij = sin(+) . Theo (2.30), ta có : Tương tự, đối với U12, và U22 : Theo (2.37) và giả thiết cả các thành phần mômen ly tâm quán tính đều bằng 0 , ta có : , . Trên cơ sở (2.49), ta có : = . . Tính các số hạng trong biểu thức (2.50) đối với i = 1, ta có : Và theo (2.51) tính các hệ số hikm, rồi thay vào phương trình trên, ta được: h1 = -1/2m2S2l2 - m2S2l2 . Tương tự đối với i = 2 Như vậy : . Trên cơ sở (2.52), ta có : ; c2 = Vậy vector trọng trường sẽ là: . Cuối cùng ta có phương trinh động lực học của cơ cấu tay máy 2 khâu ở dạng sau : Fm(t) = + + . CHƯƠNG III : THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO TAY MÁY ROBOT 2 BẬC TỰ DO III.1.Hệ phi tuyến : III.1.1.Hệ phi tuyến là gì ? Để định nghĩa được rõ ràng một đối tượng hay hệ thống như thế nào được gọi là phi tuyến trước tiên ta nên định nghĩa lại hệ tuyến tính. Xét một hệ thống MIMO, viết tắt của nhiều vào / nhiều ra (Multi Inputs – Multi Outputs) với r tín hiệu vào u1(t), u2(t), … , ur(t) và s tín hiệu ra y1(t) , y2(t) , … , ys(t) . Nếu viết chung r tín hiệu đầu vào thành vectơ và s tín hiệu đầu ra thành thì mô hình hệ thống được quan tâm ở đây là mô hình toán học mô tả quan hệ giữa vectơ tín hiệu vào và tín hiệu ra , tức là mô tả ánh xạ T : . Ánh xạ này (Thường còn gọi là toán tử - operator) viết lại như sau : . nếu ánh xạ T thoả mãn : , (3.1) trong đó a1 và a2 Î R, thì hệ đó được nói là tuyến tính. Tính chất (3.1) của hệ tuyến tính, trong điều khiển, còn được gọi là nguyên lý xếp chồng. Ví dụ : Xét 1 hệ gồm 1 lò xo c và 1 vật khối lượng m làm 1 ví dụ. Vật sẽ chuyển động trên trục nằm ngang dưới tác động của lực F (hình 3.1). m F cs s m Hình 3.1: Ví dụ về một đối tượng tuyến tính Nếu F được xem như là tín hiệu vào và quãng đường s mà vật đi được là tín hiệu ra (đáp ứng của hệ) thì theo các tiên đề cơ học của Newton, tác động vào vật và ngược hướng với F có hai lực cân bằng: Lực cản của lò xo F1 =cs trong trường hợp |s| tương đối nhỏ và F2 = mcủa chuyển động. Với nguyên lý cân bằng lực ta có ánh xạ T : mô tả quan hệ vào / ra của hệ : . (3.2a) Giả sử rằng dưới tác động của lực F1 hệ có đáp ứng s1 và của F2 thì từ : có ngay được , trong đó a1 , a2 là những số thực tuỳ ý . Nói cách khác dưới tác động của lực vật sẽ đi được một quãng đường là . Bởi vậy T thoả mãn (3.1) và do đó trong trường hợp |s| tương đối nhỏ và lực cản của lò xo được xác định gần đúng bằng công thức F1 = cs thì hệ thống là xo + vật là một hệ tuyến tính . Ngược lại, nếu lực cản lò xo lại được tính theo F1 = cs + s3, với c và là 2 hằng số, mà trong thực tế người ta vẫn sử dụng, thì quan hệ vào / ra của hệ sẽ là : (3.2b) và khi đó (3.2b) không còn thoả mãn nguyên lý xếp chồng (3.1) Nói cách khác, dưới tác động của lực thì quãng đường của vật đi được không phải là . Vậy ở trường hợp này hệ có tính phi tuyến. III.1.2.Mô hình trạng thái và quỹ đạo trạng thái của Hệ phi tuyến: III.1.2.1.Mô hình trạng thái: Mô hình động của đối tượng, hệ thống phi tuyến được xây dựng từ quan hệ vào – ra qua việc thêm các biến x1(t), x2 (t), … , xn(t) gọi là biến trạng thái, sao cho quan hệ giữa vector tín hiệu ra y(t) với n biến này và tín hiệu vào u(t) chỉ còn lại thuần tuý là một quan hệ đại số. Những biến trạng thái này, về mặt ý nghĩa vật lý, là những đại lượng mà sự thay đổi của nó sẽ quyết định tính chất động học của đối tượng. Ví dụ 1 : Từ mô hình (3.1) của đối tượng lò xo + vật, nếu thêm biến trạng thái x1 = s , x2 = sẽ có: và đấy là một phương trình đại số. Ngoài ra còn có phần các phương trình vi phân bao gồm : Suy ra từ định nghĩa về x1 , x2 và : thu được bằng cách thay trực tiếp x1, x2 vào phương trình (3.1). Viết chung hai phương trình vi phân trên lại với nhau sẽ được : Nói chung, một hệ phi tuyến SISO có quan hệ vào – ra giữa tín hiệu vào u(t) và ra y(t) dạng: Trong đó ký hiệu y(k) chỉ đạo hàm bậc k của y(t), tức là , thì với các biến trạng thái được định nghĩa như sau : hệ sẽ có mô hình hai phần: phần các phương trình vi phân bậc nhất và phương trình đại số : Y=x1 Tổng quát lên thì một hệ phi tuyến, sau khi định nghĩa các biến trạng thái x1(t) , x2(t) , …, xn(t), sẽ mô tả bởi : Mô hình trạng thái tường minh autonom trong đó Mô hình trạng thái tường minh không autonom , hoặc mô hình trạng thái không tường minh III.1.2.2.Quỹ đạo trạng thái : Từ phương trình trạng thái mô tả hệ thống với một tín hiệu đầu vào xác định cho trước và với một điểm trạng thái ban đầu cũng cho trước ta sẽ có được nghiệm mô tả sự thay đổi trạng thái hệ thống theo thời gian dưới tác động của kích thích đã cho. Biểu diễn trong không gian n chiều Rn (còn gọi là không gian trạng thái) như một đồ thị phụ thuộc tham số t có mũi tên chỉ chiều tăng của t ta được một quỹ đạo trạng thái (hình 3.2a). Tập tất cả các quỹ đạo trạng thái ứng với một tín hiệu đầu vào cố định nhưng với những điểm trạng thái ban đầu khác nhau được gọi là họ các quỹ đạo trạng thái (hình 3.2b) . Hình 3.2a. Quỹ đạo trạmg thái của hệ có 3 biến trạng thái Hình 3.2b. Họ các quỹ đạo trạng thái của hệ có 2 biến trạng thái III.1.3. Điểm cân bằng và điểm dừng của hệ thống: III.1.3.1. Điểm cân bằng: Định nghĩa 1: Một điểm trạng thái được gọi là điểm cân bằng (equilibrium point) nếu như khi đang ở điểm trạng thái và không có một tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó. Căn cứ theo định nghĩa như vậy thì điểm cân bằng của hệ thống phải là nghiệm của phương trình: Như vậy điểm cân bằng là điểm mà hệ thống sẽ nằm yên tại đó, tức là trạng thái của nó sẽ không bị thay đổi () khi không có sự tác đng từ bên ngoài (). III.1.3.2.Điểm dừng của hệ : Định nghĩa 2: Một điểm trạng thái được gọi là điểm dừng của hệ thống nếu như hệ đang ở điểm trạng thái và với tác động cố định, không đổi cho trước, thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó. Rõ ràng là điểm dừng theo định nghĩa vừa nêu sẽ là nghiệm của : trong đó là đã cho trước. III.1.3.3 Tính ổn định tại một điểm cân bằng: Định nghĩa 3 : Một hệ thống được gọi là ổn định (tiệm cận) tại điểm cân bằng nếu như có một tác động tức thời (chẳng hạn như nhiễu tức thời) đánh bật hệ ra khỏi và đưa tới điểm thuộc một lân cận nào đó của thì sau đó hệ có khả năng tự quay về được điểm cân bằng ban đầu. Theo định nghĩa trên thì ta có thể nhận biết được hệ có ổn định hay không tại một điểm cân bằng thông qua dạng họ các đường quỹ đạo trạng thái của nó. Nếu hệ ổn định tại một điểm cân bằng nào đó thì mọi đường quỹ đạo trạng thái xuất phát từ một điểm thuộc lân cận của đều phải kết thúc tại a) Miền ổn định O b) Hình 3.3. a) Điểm cân bằng ổn định b) Điểm cân bằng không ổn định Chú ý rằng tính ổn định của hệ phi tuyến chỉ có ý nghĩa khi đi cùng với điểm cân bằng . Có thể hệ sẽ ổn định tại điểm cân bằng này, song lại không ổn định ở điểm cân bằng khác. Điều này cũng khác so với khái niệm ổn định ở hệ tuyến tính. Vì hệ tuyến tính thường chỉ có một điểm cân bằng là gốc toạ độ (=) nên khi hệ ổn định tại , người ta cũng nói thêm luôn một cách ngắn gọn là hệ ổn định . Ngoài ra, do khái niệm ổn định ở hệ phi tuyến bị gắn với lân cận điểm cân bằng nên cũng có thệ mặc dù hệ ổn định tại điểm cân bằng song với một lân cận quá nhỏ thì sẽ không có định nghĩa sử dụng. Nói cách khác, về mặt ứng dụng, nó được xem như không ổn định. Bởi vậy, đối với hệ phi tuyến, việc xác định xem hệ có ổn định tại điểm cân bằng hay không là chưa đủ mà còn phải chỉ ra miền ổn định của nó tại , tức là phải chỉ ra được lân cận O của sao cho hệ có khả năng tự quay về được từ bất kì một điểm nào đó thuộc O (hình 3.3). Miền ổn định O càng lớn thì tính ổn định của hệ tại càng tốt . Nhiệm vụ đầu tiên của bộ điều khiển là phải giữ cho hệ thống ổn định. Nếu như ban đầu đối tượng không ổn định, tức là khi có nhiễu từ bên ngoài tác động đưa nó ra khỏi điểm làm việc và nó không có khả năng tự quay về thì bộ điều khiển phải tạo ra tín hiệu điều khiển dẫn đối tượng quay trở về điểm làm việc ban đầu. III.1.4 Tiêu chuẩn ổn đinh Lyapunov : Một trong những điều kiện, hay tiêu chuẩn chất lượng đầu tiên mà bộ điều khiển cần phải mang đến được cho hệ thống là tính ổn định. Tại sao lại như vậy ? Từ khái niệm về tính ổn định của hệ thống tại một điểm cân bằng đã được nêu trong định nghĩa 3 ta thấy rõ nếu một hệ quá nhạy cảm với tác động nhiễu đến nỗi chỉ một tác động tức thời không mong muốn rất nhỏ đã làm cho hệ bị bật ra khỏi điểm cân bằng (hoặc điểm làm việc) mà sau đó hệ không có khả năng tự tìm về điểm cân bằng ban đầu thì chất lượng của hệ không thể gọi là tốt được. Bởi vậy, kiểm tra tính ổn định của hệ (tại một điểm cân bằng) cũng như miền ổn định O tương ứng phải là công việc đầu tiên ta phải tiến hành khi phân tích hệ thống. Tiêu chuẩn Lyapunov là một công cụ hữu ích giúp ta thực hiên được điều đó. Định nghĩa 4 : Một hệ thống có mô hình không kích thích : (3.3) với một điểm cân bằng là gốc toạ độ , được gọi là : a) Ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng nếu với bất kì bao giờ cũng tồn tại phụ thuộc sao cho nghiệm của (3.3) với thoả mãn : b) Ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng nếu với bất kì bao giờ cũng tồn tại phụ thuộc sao cho nghiệm của (3.3) với thoả mãn : . III.1.4.1.Tiêu chuẩn Lyapunov: Để làm quen và tiếp cận tiêu chuẩn Lyapunov ta hãy bắt đầu từ hệ bậc 2 có mô hình trạng thái autonom khi không bị kích thích : với (3.4) Hệ trên được giả thiết là cân bằng tại gốc toạ độ . Hình 3.4 : Minh họa khái niệm ổn định Lyapunov: Hình 3.4 minh hoạ cho định nghĩa 4 về tính ổn định Lyapunov tại đã gợi ý cho ta một hướng khá đơn giản để xét tính ổn định cho hệ (3.4) tại . Chẳng hạn bằng cách nào đó ta đã có được họ các đường cong khép kín v bao quanh gốc toạ độ . Vậy thì để kiểm tra hệ có ổn định tại hay không ta chỉ cần kiểm tra xem quỹ dạo pha , tức là nghiệm của (3.4) đi từ điểm trạng thái đầu cho trước nhưng tuỳ ý nằm trong miền bao bởi một trong các đường cong khép kín đó, có cắt các đường cong v này theo hướng từ ngoài vào trong hay không ( hình 3.5). - Nếu không cắt bất cứ một đường cong họ v nào theo chiều từ trong ra ngoài thì hệ sẽ ổn định tại . - Nếu cắt mọi đường cong họ v theo chiều từ ngoài vào trong thì hệ sẽ ổn định tiệm cận tại . Hình 3.5: Một gợi ý về việc kiểm tra tính ổn định của hệ tại O Rõ ràng là cần và đủ để quỹ đạo pha của hệ không cắt bất cứ một đường cong khép kín thuộc họ v theo chiều từ trong ra ngoài là tại điểm cắt đó, tiếp tuyến của phải tạo với vector , được định nghĩa là vector vuông góc với đường cong đó theo hướng từ trong ra ngoài, một góc không nhỏ hơn 900. Nói cách khác, hệ sẽ ổn định tại nếu như có được điều kiện: (3.5) tại mọi giao điểm của với các đường cong thuộc họ v. Vấn đề còn lại là làm thế nào có được các đường cong v sao cho việc kiểm tra điều kiện (1.48) được thuận tiện. Câu trả lời là sử dụng hàm xác định dương V()được định nghĩa như sau : Định nghĩa 5 : Một hàm thực nhiều biến, có thể không dừng , được gọi là hàm xác định dương nếu : a) b) Tồn tại hai hàm một biến, dừng và liên tục, đơn điệu tăng với sao cho : với mọi (3.6) Hàm sẽ xác định dương trong toàn bộ không gian trạng thái nếu còn có : => . Định lý 1 : Hệ phi tuyến (có thể không autonom) cân bằng tại gốc toạ độ và khi không bị kích thích thì được mô tả bởi hình : (3.7) sẽ ổn định Lyapunov tại với miền ổn định O nếu : a) Trong O tồn tại một hàm xác định dương . b) Đạo hàm của nó tính theo mô hình (1.51) có giá trị không dương trong O, tức là : với mọi . (3.8) Định lý 2: Hệ phi tuyến (có thể không autonom) cân bằng tại gốc toạ độ và khi không bị kích thích thì được mô tả bởi mô hình. (3.9) sẽ ổn định tiệm cận Lyapunov tại với miền ổn định O nếu : a)Trong O tồn tại một hàm xác định dương . b) Đạo hàm của nó tính theo môt hình (1.51) có giá trị âm trong O với , tức là : với mọi và . (3.10) III.1.4.2.Tiêu chuẩn Lyapunov phục vụ thiết kế bộ điều khiển: Ngoài việc kiểm tra tính ổn định, tiêu chuẩn Lyapunov còn được sử dụng để thiết kế bộ điều khiển ổn định đối tượng phi tuyến. Chẳng hạn đối tượng có mô hình : và được điều khiển bằng bộ điều khiển phản hồi trạng thái Hình 3.6: Ứng dụng tiêu chuẩn Lyapunov để thiết kế bộ điều khiển Vậy hệ kín khi không bị kích thích () sẽ có mô hình : Gọi là hàm xác định dương thích hợp, khi đó để hệ kín ổn định tiệm cận với miền ổn định là O thì bộ điều khiển cần tìm phải thoả mãn : với mọi , (3.11a) Và =0chỉ khi (3.11b) III.2.Bậc tương đối của hệ phi tuyến: Bậc tương đối của hệ SISO: Để dễ tiếp cận tới khái niệm bậc tương đối ta xét trường hợp đặc biệt với đối tượng tuyến tính, mô tả bằng hàm truyền đạt hợp thức chặt (strickly proper): G(s) = (3.12) Khi đó bậc tương đối được hiểu là hiệu r = (n-m) ≥1 Giả sử rằng đối tượng trên, bên cạnh hàm truyền đạt (3.12) còn có mô hình tương đương trong không gian trạng thái : (3.13) Vậy thì do G(s)= cT(sI-A)-1 Ta có : srG(s)= Û sr [] = Û = Hơn nữa = 0 khi k > r-1 nên chuỗi trên trở thành tổng của hữu hạn r phần tử đầu tiên = Từ đây, để vế trái bằng giá trị hữu hạn thì cần và đủ là : = (3.14) Nói cách khác, bậc tương đối r = n-m còn có thể được xác định trực tiếp từ mô hình trạng thái (3.13) của hệ theo công thức (3.14). Chuyển sang hệ phi tuyến và với sự gợi ý của công thức tính (3.14), khái niệm bậc tương đối của hệ ALI có 1 tín hiệu vào, một tín hiệu ra, được định nghĩa như sau : Định nghĩa 6: Cho hệ SISO với cấu trúc ALI : (3.15) Bậc tương đối tại điểm trạng thái của hệ là số tự nhiên r mà trong lân cận thoả mãn : Lh (3.16) Có thể thấy được ngay rằng với f(x)= Ax , H(x)= b , g(x)=cTx , hai công thức (3.14) và (3.16) sẽ đồng nhất, vì : g(x)= cTATxÞLhg(x)=cTAkb Ví dụ : Xét hệ Val der Pol có mô hình trạng thái như sau : khi đó thì do : Lhg(x)= [] = 0 LhLfg(x) = = =1 ≠ 0 Bậc tương đối của hệ bằng 2 ( tại mọi ). Tuy nhiên, cũng cần phải để ý rằng hệ phi tuyến (3.15) có thể có bậc tương đối khác nhau ở những điểm trạng thái khác nhau. Ngoài ra, khác với hệ tuyến tính, không phải ở bất cứ điểm trạng thái x nào trong không gian trạng thái, hệ phi tuyến phẳng có bậc tương đối. Chẳng hạn, hệ sẽ không có bậc tương đối tại điểm trạng thái x0 mà trong lân cận của nó có : Lhg()≠0,LhLfg() ≠0,…,LhLfhg() ≠ 0 ,… III.3.Tính động hoc không: Rất nhiều khái niệm sử dụng trong hệ phi tuyến được chuyển thể từ hệ tuyến tính, chẳng hạn khái niệm bậc tương đối, hệ thụ động, … cũng như vậy là tính động học không (zero dynamic). Do đó, để dễ tiếp cận tới khái niệm này, ta nên bắt đầu từ hệ tuyến tính. Xét hệ phi tuyến SISO có mô hình trạng thái : (3.17) Tính động học không (zero dynamic ) của hệ (3.17) được định nghĩa như sau : Định nghĩa 7 : Nếu hệ (3.17) có ít nhất một điểm trạng thái đầu 0≠ và ứng với nó là tín hiệu điều khiển u0(t) sao cho tín hiệu đầu ra y(t) đồng nhất bằng không thì hệ được gọi là có tính động học không (zero dynamic). Ta có thể thấy được là để hệ có tính động học không thì cần thiết phải có g(x0) = 0. Giả sử rằng hệ (3.17) có bậc tương đối là r, tức là : LhLfk g(x) = (3.18) Khi đó, với phép đổi trục toạ độ vi phôi : với Lhmk = 0 , k=r+1 , … , n hệ (1.18) đã cho sẽ được đưa về dạng chuẩn , y = z1 (3.19) Trong đó A= Lg() , b=Lh Lg() , ci = Lh mr+1() sử dụng kí hiệu : = v ới = , v à thì mô hình (3.19) được viết thành , y = z1 (3.20) Giả sử rằng hệ (3.17) có tính động học không ứng với trạng thái đầu x0 ≠0 và tín hiệu điều khiển u0(t) thích hợp. Vậy thì từ y(t) = z1(t) = 0 ta suy ra được : z1(t) = … = zr(t) =0 và do đó là x = 0. Điều này dẫn đến : a(, ) + b(, )u0 = 0 Û u0 (t) = - (3.21a) (3.21b) Đó cũng là hai phương trình phân tích tính động học không của hệ (3.17) thông qua mô hình tương đương (3.20) của nó. Điều kiện để có phương trình (3.21b) là hệ (3.17) phải có bậc tương đối r nhỏ hơn n (r < n). Từ x=0 cũng như phép biến đổi trục toạ độ (3.18) và 2 phương trình (3.21) ta thấy, ở chế độ động học không, quỹ đạo trạng thái x(t) phải thoả mãn : g() =Lfg()=…=g() = 0 . Nói cách khác x(t) của động học không sẽ chỉ nằm trong đa tạp (hình 3.7) K = {ÎRn|g()=Lfg()= … = g() = 0 } (3.22) Hình 3.7: Quỹ đạo trạng thái của Hệ phi tuyến, khi đang ở chế độ Động học không, luôn nằm trong đa tạp K. Tuy rằng nằm trong đa tạp K, song việc quỹ đạo x(t) ở chế độ động học không (ứng với tín hiệu điều khiển u0(t) thích hợp) có tiến về gốc toạ độ 0 hay không thì chưa được đảm bảo và điều này không được quyết định bởi hệ phi tuyến (3.17) có ổn định hay không. Nó chỉ có thể tiến về n như hệ (3.21b) là ổn định tiệm cận Lyapunov, tức là phải tồn tại 1 hàm xác định dương Q(h) sao cho : III.4.Thiết kế bộ Điều khiển trượt cho tay máy: III.4.1.Điều khiển trượt: Hệ phi tuyến có mô hình (3.23) Trong đó y là tín hiệu đầu ra, u là tín hiệu đầu vào, x = [x1, x2, .., xn]T là vector trạng thái của hệ, f(x) = [f1(x), f2(x), ..., fn(x)]T, g(x) = [g1(x), g2(x), ..., gn(x)]T Hệ phi tuyến có bậc tương đối là p nếu: (3.24) Sơ đồ điều khiển: SMC III.4.1.1.Trường hợp bậc tương đối của hệ bằng bậc của hệ p=n: Để có thể thiết kế được bộ điều khiển thì hệ (3.23) phải tồn tại mặt trượt. Hệ (3.23) có mặt trượt S khi thoả mãn: (3.25) là đa thức Hurwitz để có: (3.26) S(0) = 0 (3.27) Điều kiện để (3.23) trượt về điểm cân bằng là phải thoả mãn điều kiện trượt. Điều kiện trượt được xây dựng trên cơ sở đảm bảo hệ kín ổn định tiệm cận, có nghĩa là cho hệ trong hình trên tồn tại 1 hàm Lyapunov. Giả sử hệ có hàm Lyapunov có dạng sau: (3.28) là hàm xác định dương. Đạo hàm của nó có dạng sau: (3.29) Hệ (3.23) ổn định tiệm cận khi (3.29) là hàm có dấu xác định âm: (3.30) Như vậy phải trái dấu với S, do vậy ta có: (3.31) h(S) cùng dấu với S do vậy để thoả mãn điều kiện trượt ta có thể chọn hàm h(S) có các dạng sau: hàm dấu Sig(S), hàm bão hoà Saturation(S), hàm h(S)=Tan(S) Theo (3.25) ta có: (3.32) Ta có: (3.33) Do vậy: (3.34) Tín hiệu điều khiển tìm được: (3.35) III.4.1.2. Trường hợp bậc tương đối của hệ p<n Hệ (3.23) phải thoả mãn động học không. Xây dựng mặt trượt : (3.36) là đa thức Hurwitz, để có (3.37) , mặt trượt phải đi qua gốc toạ độ và thoả mãn điều kiện trượt. Hoàn toàn tương tự như trong trường hợp trên, ta xây dựng hàm Lyapunov có dạng sau: xác định dương xác định âm Ta có: (3.38) Tín hiệu điều khiển: (3.39) III.4.2. Thiết kế bộ điều khiển trượt cho tay máy n bậc tự do: Mô hình động lực học của tay máy: (3.40) với H(q) là ma trận quán tính xác định dương, đối xứng. Chúng ta giả sử rằng các giá trị ước lượng và quan hệ với giá trị thực và bởi bất đẳng thức sau: (3.41) và (3.42) với và là những hàm đã biết. Viết lại biểu thức động lực học dưới dạng: (3.43) Với (3.44) (3.45) Nhiệm vụ của điều khiển là tìm mô men thích hợp τ sao cho vector vị trí q của tay máy bám theo quỹ đạo mong muốn qd. Chúng ta định nghĩa sai lệch trạng thái e và mặt trượt như sau: (3.46) (3.47) Rõ ràng rằng S=0 thì . Quả thực với S=0 ta có thể viết lại như sau: Như vậy hệ thống ổn định tiệm cận nếu có e = 0 và theo đó điều kiện bám sẽ được đảm bảo. Do vậy vấn đề điều khiển là phải tìm mô men τ thích hợp sao cho vector trạng thái của hệ thống có thể bám được trên mặt trượt. Hay phải tìm τ thỏa mãn điều kiện trượt. Điều kiện trượt có thể xác định theo tiêu chuẩn Lyapunov. Chúng ta định nghĩa hàm Lyapunov như sau: (3.48) Đạo hàm của (3.48) có dạng: (3.49) Như vậy, nếu thì với dẫn tới và Do vậy, điều kiện đủ của điều kiện trượt là: (3.50) Khi đó điều kiện trượt đảm bảo cho hệ kín ổn định toàn cục, tiệm cận và điều kiện bám được thực hiện mặc dù mô hình không chính xác, nhiễu,… Nếu điều kiện trượt có thể thỏa mãn theo đó: (3.51) Tiếp đó, mặt phẳng trượt S=0 sẽ đạt được với thời gian giới hạn nhỏ hơn T0 ở đó: (3.52) Biểu thức trên được chứng minh như sau: Từ (29) ta có: (3.53) Thay và vào (3.53) sau đó tích phân hai vế với t=0→treach , S(q(treach))=0 ta có: (3.54) Bây giờ chúng ta tìm đầu vào bộ điều khiển τ thỏa mãn điều kiện trượt. Lấy đạo hàm biểu thức (3.47) ta có: (3.55) Thay biểu thức (3.39) vào ta có: (3.56) Do đó tín hiệu điều khiển có dạng (3.57) với: (3.58) K>0, K là ma trận khuyếch đại nxn. Ma trận khuyếch đại K phải chọn đủ lớn để điều kiện trượt được thỏa mãn mặc dù có tham số không rõ, nhiễu,… Trong trường hợp ước lượng chính xác thì điều kiện trượt được viết lại như sau: (3.59) Nếu chọn (3.60) và (3.61) thì chế độ trượt xảy ra. Ta nhận thấy rằng, đầu vào điều khiển được gián đoạn qua s(t) như cho ở biểu thức (3.57). Hiện tượng chattering xảy ra. Bởi vì trong thực tế, sự chuyển đổi là không lý tưởng. Trong trường hợp sai số ước lượng là không đủ nhỏ thì việc chọn K là không đơn giản như biểu thức trên. Trong trường hợp đó cho dưới dạng: (3.62) đặt dẫn tới: (3.63) Từ đây, điều kiện trượt là: (3.64) Do vậy, nếu chọn K để: (3.65) thì điều kiện trượt như ở trên được thỏa mãn và điều kiện trượt đạt được. (3.66) Từ biểu thức (3.41) và (3.42) ta có bất đẳng thức: (3.67) (3.68) Từ đây, ta có thể chọn ma trận K thoả mãn điều kiện trượt như sau: (3.69) III.4.3. Ứng dụng Điều khiển trượt cho tay máy Robot 2 bậc tự do: III.4.3.1. Phương trình động lực học tay máy hai bậc tự do toàn khớp quay: Bộ thông số tay máy: m1 = m2 = 1 kg l1 = l2 = 1 m Phương trình động lực học: (3.70) Trong đó F1, F2 là lực được tạo ra ở các khớp động, ma trận H là ma trận xác định dương và đối xứng, ma trận C là ma trận lực ly tâm, G là ma trận lực trọng trường. Giá trị của các ma trận khi thay giá trị được xác định như sau: - Ma trận H: (3.71) - Ma trận C: (3.72) - Ma trận G: (3.73) III.4.3.2. Mô hình động lực học tay máy hai bậc tự do: Chúng ta đặt các biến trạng thái là tín hiệu góc quay và vận tốc của các khớp tay máy: Khớp 1: (3.74) Khớp 2: (3.75) Tín hiệu vào u: (3.76) Từ biểu thức (3.70) ta có: (3.77) trong đó H-1 là ma trận nghịch đảo của ma trận H. Tính H-1 và kết hợp tất cả các phương trình trên và thay vào (3.77) để tính được: Khớp 1 (3.78) Khớp 2: (3.79) III.4.3.3. Thiết kế bộ điều khiển trượt cho tay máy 2 bậc tự do: Xác định bậc tương đối cho khớp 1 và khớp 2: Từ phương trình trạng thái của các khớp (3.78), (3.79) và biểu thức (3.24) ta có được ngay là trong trường hợp này là p=n hay bậc tương đối của từng khớp p=2. Xây dựng mặt trượt cho từng khớp: (3.80) ở đây: (3.81) l1, l2 là những số thực dương. Điều kiện để xảy ra chế độ trượt cho hệ trên: (3.82) Xây dựng bộ điều khiển: Từ (3.78) và (3.79) nếu đặt: (3.83) và: (3.84) Ta có: (3.85) Tương tự ta cũng có: (3.86) Theo (3.77) ta có: (3.87) (3.88) Chú ý: Từ (3.58) ta có được: (3.89) Thay (3.88) vào (3.89) ta có được bộ điều khiển: (3.90) III.4.3.4. Tính toán giá trị đặt qi cho tay máy hai bậc tự do: Để tính toán giá trị đặt cho tay máy hai bậc tự do chúng ta cần giải bài toán động học ngược, từ đó tính toán giá trị đặt cho các khớp: (3.91) theo cách biến đổi toạ độ ta có được: (3.92) Tuy nhiên, trong bài toán này có x2, y2, z2=0 vì ta chỉ quan tâm tới chuyển động của tâm bàn kẹp do vậy từ (3.91) và (3.92) ta có: (3.93) (3.94) Từ (3.93) ta có: (3.95) (3.96) Đặt (3.97) Chọn ta có: (3.98) Như vậy, nếu yêu cầu của bài toán là điều khiển tâm bàn kẹp đi theo một quỹ đạo đã được định trước và được xác định bởi: thì giá trị đặt cho các khớp phải là: (3.99) CHƯƠNG IV: MÔ PHỎNG QUÁ TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA ROBOT DÙNG BỘ ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT TRÊN NỀN MATLAB AND SIMULINK: IV.1. Tổng quan về Matlab-Simulink: Matlab là một bộ chương trình phần mềm lớn của lĩnh vực toán số. Tên của bộ chương trình chính là từ viết tắt của từ Matrix Laboratory, thể hiện định hướng chính của chương trình là các phép tính vectơr và ma trận. Phần cốt lõi của chương trình bao gồm một số hàm toán, các chức năng xuất nhập cũng như các khả năng điều khiển chu trình mà nhờ đó ta có thể dựng nên các Scripts. Thêm vào phần cốt lõi, có thể dùng các bộ công cụ Toolbox với phạm vi chức năng chuyên dụng mà người sử dụng cần. Simulink là một Toolbox có vai trò đặc biệt quan trọng: vai trò của một bộ công cụ mạnh phục vụ mô hình hoá và mô phỏng các hệ thống kĩ thuật - Vật lý, trên cơ sở sơ đồ cấu trúc dạng khối. Giao diện đồ họa trên màn hình của Simulink cho phép thể hiện hệ thống dưới dạng sơ đồ tín hiệu với các khối chức năng quen thuộc. Simulink cung cấp cho người dùng một thư viện rất phong phú, có sẵn với số lượng lớn các khối chức năng cho các hệ tuyến tính, phi tuyến và gián đoạn. Hơn thế người sử dụng có thể tạo nên các khối riêng cho mình. Sau khi đã xây dựng mô hình của hệ thống cần nghiên cứu, bằng cách ghép các khối cần thiết, thành sơ đồ cấu trúc của hệ, ta có thể khởi động quá trình mô phỏng. Trong các quá trình mô phỏng ta có thể trích tín hiệu hiện tại vị trí bất kì của sơ đồ cấu trúc và hiển thị đặc tính của tín hiệu đó trên màn hình. Hơn thế nữa, nếu có nhu cầu ta còn có thể cất giữ các đặc tính đó vào môi trường nhớ. Việc nhập hoặc thay đổi tham số của tất cả các khối cũng có thể thực hiện được rất đơn giản bằng cách nhập trực tiếp hay thông qua matlab. Để khảo sát hệ thống, ta có thể sử dụng thêm các Toolbox như Signal Processing (xử lý tín hiệu), Optimization (tối ưu) hay Control System (hệ thống điều khiển). IV.2. Các thao tác thực hiện mô phỏng: Khớp 1: Khớp 2: Ta có mô hình Simulink của Robot 2 bậc tự do: Khối Subsytem: Ở đây ta sử dụng các khối: + intergrator: khối tích phân với các tham số của khối mặc định cho trước + khối mux: chập tín hiệu đơn thành tín hiệu tổng hợp của nhiều tín hiệu + khối input, ouput: đầu vào và đầu ra của tín hiệu. + khối hàm: biểu diễn 1 hàm toán học khi có tín hiệu đi vào là các biến, tín hiệu ra thu được là hàm cần biểu diễn: =(u[5]+1.5*u[4]*sin(u[3])*(2*u[2]+u[4])-15*(cos(u[1])-cos(u[3]))-(1+1.5*cos(u[3]))*(u[6]-1.5*u[2]*u[2]*sin(u[3])-15*cos(u[1]+u[3])))/(4-2.25*cos(u[3])*cos(u[3])) Và:=(-(1+1.5*cos(u[3]))*(u[5]+1.5*u[4]*sin(u[3])*(2*u[2]+u[4])-15*(cos(u[1])-cos(u[3])))+(5+3*cos(u[3]))*(u[6]-1.5*u[2]*u[2]*sin(u[3])-15*cos(u[1]+u[3])))/(4-2.25*cos(u[3])*cos(u[3])) + Các khối scope (thuộc thư viện con sinks): Hiển thị các tín hiệu của quá trình mô phỏng theo thời gian. Nếu mở cửa sổ Scope sẵn từ trước khi bắt đầu mô phỏng ta có thể theo dõi trực tiếp diễn biến của tín hiệu. Ta sử dụng nguồn tín hiệu u1, u2 là 1(t) Các hàm x’12, và x’22 là : X’12 = (u[5]+1.5*u[4]*sin(u[3])*(2*u[2]+u[4])-15*(cos(u[1])-cos(u[3]))-(1+1.5*cos(u[3]))*(u[6]-1.5*u[2]*u[2]*sin(u[3])-15*cos(u[1]+u[3])))/(4-2.25*cos(u[3])*cos(u[3])). X’22 = (-(1+1.5*cos(u[3]))*(u[5]+1.5*u[4]*sin(u[3])*(2*u[2]+u[4])-15*(cos(u[1])-cos(u[3])))+(5+3*cos(u[3]))*(u[6]-1.5*u[2]*u[2]*sin(u[3])-15*cos(u[1]+u[3])))/(4-2.25*cos(u[3])*cos(u[3])) với u[1], u[2], u[3], u[4], u[5], u[6] tương ứng là các vị trí thứ tự trên khối Mux. u[1] = x11, u[2] = x12, u[3] = x21, u[4] = x22, u[5] = u1, u[6] = u2. Sau khi mô phỏng ta có đồ thị các đường đặc tính của các biến trạng thái x11, x12, x21,x22 là : Mô phỏng dạng hàm điều khiển: Từ các công thức: - Ma trận H: - Ma trận C: - Ma trận G: Ta có: U1=h11+h12+c11x12+c12x22+15cos(x11) -15sos(x11+x21) U2=h21+h22+c21x12+c22x22 +15cos(x11+x21) Chuyển về dạng hàm của sơ đồ Simulink: U1=u[5]*(5+cos(u[3]))+(1+1.5*cos(u[3]))*u[6]-3*u[2]*u[3]*sin(u[3]) -1.5*u[3]*u[4]*sin(u[3])+15*cos(u[1])-15*cos(u[1]+u[3]) U2=(1+1.5*cos(u[3]))*u[5]+u[6]-3*u[1]*u[2]*sin(u[3])+15*cos(u[1]+u[3]) với u[1]=x11, u[2]=x12, u[3]=x21, u[4]=x22. U[5]= U[6]= Theo công thức kinh nghiệm ta chọn: K1=K2=500, ==0,156. Trường hợp này ta dùng hàm H(S1),H(S2) là các hàm giới hạn đầu vào trong khoảng giá trị upper và giá trị lower. từ đó ta có: u[5]= H(S1)+ + ( Khối subsytem) u[6]=H(S2)+ + ( Khối subsytem2) Ta chọn khoảng thời gian mô phỏng là từ 0 ->30 s , tức giá trị stop time = 30 ở trong Congiguration Parameters. Khi chay sơ đồ Simulink ta được các kết quả đường đặc tuyến của 2 hàm điều khiển U1, U2, và sai số , là: Ta có các giá trị đặt xd1 và xd2 là: Từ các công thức: =>xd1= acos(sqrt((cos(u[1]+u[3])+cos(u[1]))^2+(sin(u[1]+u[3])+sin(u[1]))^2)/2)+ acos((cos(u[1]+u[3])+cos(u[1]))/sqrt((cos(u[1]+u[3])+cos(u[1]))^2+(sin(u[1])+sin(u[1]+u[3]))^2)) xd2 = acos(((cos(u[1]+u[3])+cos(u[1]))^2+(sin(u[1]+u[3])+sin(u[1]))^2-2)/2) Kết luận Các vấn đề đã được giải quyết : Các vấn đề còn tồn tại : Tài liệu tham khảo : Nguyễn Thiện Phúc: Robot công nghiệp. NXB KHKT 2004. Nguyễn Thiện Phúc: Người máy công nghiệp và sản xuất tự động linh hoạt. NXB KHKT 1991. Nguyễn Phùng Quang: Điều khiển Robot công nghiệp - Những vấn đề cần biết. Tạp chí Tự động hoá ngày nay - số tháng 4, 5, 6 / 2006. Nguyễn Thiện Phúc: Robot - Thế giới công nghệ cao của bạn. NXB KHKT 2005. Đào Văn Hiệp: Kỹ thuật Robot. NXB KHKT 2002. Đinh Gia Tường, Tạ Khánh Lâm: Nguyên lý máy. NXB GD 2003. Nguyễn Hồng Thái: Xây dựng thuật toán điều khiển và mô phỏng động Robot nhiều bậc tự do. Thư viện ĐHBK HN 2002. Lê Huy Tùng: Điều khiển trượt thích nghi động cho đối tượng phi tuyến có mô hình không tường minh. Thư viện ĐHBK HN 2003. Nguyễn Doãn Phước, Phan Xuân Minh, Hán Thành Trung: Lý thuyết điều khiển phi tuyến. NXB KHKT 2003. Nguyễn Doãn Phước, Phan Xuân Minh: Hệ phi tuyến. NXB KHKT 2000. Nguyễn Thương Ngô: Lý thuyết điều khiển tự động hiện đại. NXB KHKT 2003. Nguyễn Thương Ngô: Lý thuyết điều khiển thông thường và hiện đại. NXB KHKT 2002. Nguyễn Doãn Phước: Lý thuyết điều khiển tuyến tính. NXB KHKT 2002. Nguyễn Phùng Quang: Matlab & Simulink dành cho kỹ sư điều khiển tự động. NXB KHKT 2004. Nguyễn Hoàng Hải: Lập trình Matlab. NXB KHKT 2003. Solomon: Stability of nonlinear control systems. 1965. Applied Asymptotic Methods in Nonlinear Oscillitions. Thư viện ĐHBK HN 1994. Harry: Nonlinear Modulation Theory. 1971. Jakub Mozaryn, Jerzt E.Kurek: Design of the Sliding Mode Control for the Puma 560 Robot. Institute of Automatic Control and Robotics Warsaw university of Technology. Martin Ansbjerg Kjaer: Sliding Mode Control. Sweden February 6th 2004. C.Abdallah, D.Dawson, P.Dorato, and M.Jamshidi: Survey of Robust Control for Rigid Robots . Mark W.Spong: Motion control of Robot Manipulators. The coordinated Science Laboratory, University of Illinois at Urbana-Champaign, 1308 W. Main St, Urbana, III. 61801 USA. . Andre` Jaritz and Mark W. Spong: An Experimental Comparison of Robust control Algorithms on a Direct Drive Manipulator .IEEE Transaction on Control Systems Technology, Vol. 4, No. 6, November 1996. Austin Blaquie`re: Nonlinear system analysis. Academic Press New York and London 1966.