Tiểu luận Phương pháp Động lực học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THỪA THIÊN HUẾ KHOA VẬT LÝ Chuyên đề: Phương pháp Động lực học @&? Môn học: Cơ học 1 Sinh viên: Huỳnh Thị Tám Lớp: Lý 1B Khóa học: 2011-2015 Giáo viên hướng dẫn: Đoàn Tử Nghĩa Huế, 1/2012 MỤC LỤC ˜µ™ Mở đầu 03 Phần A: Cơ sở lý thuyết I. Các định luật Newton 04 1. Định luật I Newton 04 2. Định luật II Newton 04 3. Định luật II Newton 06 II. Nguyên lý tương đối Galileo 06 1. Phép biến đổi Galileo 06 2. Định lý cộng vận tốc 07 3. Nguyên lý tương đối Galileo 07 III. Phương pháp động lực học 07 1. Phương pháp động lực học-các nguyên tắc cơ bản 08 2. Trình tự giải các bài toán bằng phương pháp động lực học 08 IV. Các bài toán động lực học 09 1. Các bài toán thuận của động lực học 09 2. Các bài toán ngược của động lực học 09 Phần B: Một số bài tập ví dụ Bài 1 10 Bài 2 11 Bài 3 12 Bài 4 13 Bài 5 14 Bài 6 16 Bài 7 17 Bài 8 19 Bài 9 20 Bài 10 22 Kết luận 23 Mở đầu - Cơ học lý thuyết là một môn khoa học nghiên cứu quy luật chung nhất về chuyển động, nghiên cứu chuyển động của vật thể mà không đề cập đến nguyên nhân gây ra chuyển động., sự tương tác của các lực trong không gian theo thời gian. Tất cả các nguyên lý của các ngành cơ học ứng dụng khác đều dựa trên phương pháp và kết quả của cơ học lý thuyết. Trong đó động lực học nói chung và động lực học chất điểm nói riêng là một nhánh quan trọng của cơ học. Chuyên nghiên cứu về chuyển động và nguyên nhân gây ra những chuyển động đó. - Bằng cách sử dụng các phương pháp động lực học, phương pháp năng lượng và ứng dụng một số các nguyên lý, định lý, định luật như: nguyên lý Galileo, các định luật Newton, các định luật bảo toàn năng lượng,…. Chúng ta xác định được các hiện tượng cơ học của chuyển động đó và một số đại lượng có liên quan. - Bản thân là sinh viên Sư phạm,chuyên nghành sư pham Vật Lý nên không chỉ dừng lại ở việc học tập và nghiên cứu chương trình phổ thông mà cần phải đi sâu vào nghiên cứu cá hiện tượng cơ học của chuyển động, đồng thời khám phá ra nội dung quan trọng của phần “động lực học chất điểm”, mở rộng sự hiểu biết và tiếp cận những vấn đề mới. Hiểu rõ được tầm quan trọng cũng như sự cần thiết của phần động lực học chất điểm với sinh viên khoa Vật Lý nên tôi chọn vào việc đi sâu nghiên cứu lý thuyết và phương pháp giải bài tập động lực học chất điểm. Phần A: Cơ sở lý thuyết: Động lực học nghiên cứu mối quan hệ giữa sự biến đổi trạng thái chuyển động của vật và nguyên nhân làm biến đổi trạng thái của chuỵển động đó. Phần này nghiên cứu đến mối quan hệ giữa gia tốc hướng tâm của chất điểm, hệ chất điểm với các lực tác dụng lên nó. Các phương pháp động lực học rút ra chỉ được áp dụng lên nó. Vì thế, khi nói “vật”, ta hiểu vật đó là chất điểm. Cơ sở của động lực học vĩ mô là các định luật Newton và nguyên lí Galileo. I. Các định luật Newtơn: Cơ sở của động lực học là 3 định luật Newtơn của Issac Newtơn-nhà Vật lý người Anh (1642-1727). Trong công trình “Các tiên đề toán học của triết học tự nhiên” công bố năm 1687. ông đã phát biểu những định luật cơ bản của vật lý cổ điển, thiết lập được định luật vạn vật hấp dẫn, nghiên cứu sự tán sắc ánh sáng và khởi thảo những cơ sở của các phép tính vi phân và tích phân 1. Định luật I Newtơn: Định luật: Khi một chất điểm cô lập (không chịu một tác động nào từ bên ngoài) nếu đang đứng yên, nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển động của nó là thẳng đều. - Chất điểm đứng yên: - Chất điểm chuyển động thẳng đều: Cả hai trạng thái trên vận tốc của chất điểm đều không thay đổi. Tổng quát: Ý nghĩa của định luật I Newton: Định luật I Newton cho ta cách tìm, xác định hệ quy chiếu quán tính-đó là hệ quy chiếu mà trong đó định luật I Newton được nghiệm đúng. Rõ ràng cách xác định hệ quy chiếu theo cách này đơn giản hơn là dựa vào các định luật cơ bản về năng lượng. Do đó, định luật I Newton còn được gọi là định luật quán tính. Còn xu hướng bảo toàn vận tốc của vật được gọi là quán tính. 2. Định luật II Newtơn: a) Khái niệm về lực: Trong cuộc sống ta thấy rõ hiện tượng vật này tác dụng và vật kia. Chẳng hạn như: khi nâng một vật lên cao, tay ta đã tác dụng vào vật và vật đã đè lên tay ta; khi ta để nam châm gần dinh sát thì nó sẽ hút đinh sắt;… Để đặc trung cho các tác dụng đó, người ta đưa ra khái niệm về lực. Lực là đại lượng vật lý đặc trung cho tác dụng của vật này vào vật khác, là số đo của tác động cơ học do các đối tượng khác tác động vào vật. Số đo ấy đặc trung cho hướng và độ lớn của lực tác dụng. Lực được kí hiệu là F (Force). Trong hệ SI, lực có đơn vị là Newtơn (N). Lực là một đại lượng vectơ và là một khái niệm cơ bản của động lực học. -Công thức định nghĩa lực: - Phương của lực : cho biết phương tác dụng. -Chiều của lực : cho biết chiều tác dụng. -Độ lớn của : cho biết độ anh yếu (cường độ) tác dụng. -Điểm đặt : cho biết vị trí (điểm) chịu tác dụng. Dưới tác dụng của lực, vật có thế thu gia tốc hoặc bị biến dạng. Phần này không nghiên cứu sự biến dạng của vật, chỉ nghiên cứu quan hệ giữa gia tốc của chất điểm với các lực tác dụng vào nó. Nếu tổng vecto của hai lực đặt vào chất điểm bằng không thì sự có mặt của các tác động đo bởi các lực đó không được phản ánh trong chuyển động của chất điểm. hai lực như vậy gọi hai lực cân bằng. Trong cơ học, ta phân biệt ba loại lực: +Các lực hút tương hỗ giữa các vật gọi là lực hấp dẫn. +Các lực xuất hiện khi các vật tiếp xúc trực tiếp tác dụng lên nhau, các lực này có chung bản chất là lực đàn hồi. +Các lực là kết quả của của sự tương tác giữa hai vật tiếp xúc nhau, chuyển động tương đối với nhau, các lực này gọi là lực ma sát. b) Khái niệm về khối lượng Mọi vật đều có xu hướng bảo toàn trạng thái chuyển động ban đầu của mình. Thuộc tính đó gọi là quán tính của vật. Mức quán tính của vật được đặt trưng bởi một đại lượng vật lý, đó là khối lượng. Ta nói, khối lượng là số đo mức quán tính của vật. Quán tính của vật thể hiện ở gia tốc mà nó thu được khi có ngoại lực tác dụng và được định lượng bởi định luật II Newton: F=ma. Ta thấy, cùng với một lực tác dụng, trạng thái chuyển động biến đổi càng nhỏ (gia tốc cầng nhỏ) khi khối lượng (quán tính) của vật càng lớn, và ngược lại. Khối lượng còn là đại lượng đặc trung cho mức hấp dẫn giữa vật này và vật khác. Theo Newton, lực hấp dẫn giữa Trái Đất và vật là F=mg. Như vậy, đối với cùng một vật, ta có thể viết F=mia và F=mgg. Trường hợp thứ nhất, khối lượng là số đo quán tính của vật, nê gọi là khối lượng quán tính và được ks hiệu là mi. Trường hợp thứ hai, khối lượng là số đo tương tác hấp dẫn của vật với Trái Đất, nên gọi là khối lượng hấp dẫn và được kí hiệu là mg. Tuy nhiên, trong sự rơi tự do mọi vật đều có cùng gia tốc a=g, suy ra khối lượng quán tính và khói lượng hấp dẫn bằng nhau về trị số mi=mg=m. Hệ thức trên là một trong những kết luận vững chắc nhất của vật lý hiện đại. Trên cơ sở đó, ta đi đến khái niệm về khối lượng như sau: Khối lượng là số đo mức quán tính của vật và mức hấp dẫn của vật đối với vật khác. Trong hệ SI, đơn vị đo khối lượng là kilogam (kg) và là một trong 7 đơn vị cơ bản. c)Phát biểu định luật II Newton: Khi vật chịu tác dụng của ngoại lực , nó sẽ thu một gia tốc theo hướng của lực, tỉ lệ thuận với lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật. Nếu vật chịu tác dụng bởi nhiều lực thì chính là hợp lực của tất cả các lực thành phần. Khi đó phương trình trên trở thành: Định luật II Newton được phát biểu ở trên được coi là cơ sở của động lực học chất điểm. Về phương diện logic, định luật II Newton bao quát cả định luật I Newton và coi rằng định luật 1 là một trương hợp riên của định luật 2. Thật vậy, xét trường hợp hợp lực tác dụng lên hạt bằng 0 thì từ phương trình trên suy ra là vecto không hay , nghĩa là hạt đứng yên hay chuyển động thẳng đều. Tuy nhiên, do vai trò quan trọng của định luật I Newton là giúp ta xác định các hệ quy chiếu quán tính nên định luạt I Newton có thể được coi là một dịnh luật riêng biệt. Trong vật lý, người ta coi phương trình định luạt II Newton là phương trình cơ bản của cơ học. Tính cơ bản của nó được thể hiện ở hai điểm sau: +Trước hết, vì nó mô tả mối quan hệ giữa tương tác (lực) và chuyển động (gia tốc). Từ phương trình này ta sẽ xác định được kết quả chuyển động (vị trí hạt, vận tốc, gia tốc,..) nếu tìn được lực tương tác đặt vào hai hạt. Nói cách khác nó cho ta xác định được nhiệm vụ cơ bản của mọi bài toán cơ học là xác định được kết quả của chuyển động trong mối tương quan động lực học. Cho nên người ta gọi phương trình này là phương trình động lực học chất điểm. +Một hệ dù phức tạp đều là tổng hợp của các hạt. Vận dụng phương trình định luật II Newton cho mỗi hạt trong hệ, ta sẽ tìm được quy luật chuyển động của hạt trong hệ từ đó xác định được các đặt tính của hệ. Đo đó, về nguyên tắc chỉ cần vận dụng phương trình đó cho mỗi hạt ta sẽ xác định được trạng thái tương lai của hệ nếu biết được trạng thái ban đầu và các lực đặt vào hệ. Từ đó, trong vật lý xuấ hiện một phương pháp rất cơ bản gọi là phương pháp độn lực học. 3. Định luật III Newtơn: Phát biểu: Lực tương tác lẫn nhau giữa hai vật là một cặp lực trực đối, nghĩa là chúng cùng giá, ngược chiều và bằng nhau về độ lớn. Định luật 3 Newton chỉ ra rằng lực không xuất hiện riêng lẻ mà xuất hiện theo từng cặp động lực-phản lực (cặp lực trực đối). Nói cách khác, lực chỉ xuất hiện khi có sự tương tác qua lại giữa hai hay nhiều vật với nhau. Trong tương tác giữa hai vật A và B. Nếu A tác dụng một lực lên B, thì B cũng gây ra một lực lên A và Hơn nữa, trong tương tác, A làm thay đổi động lượng của B bao nhiêu thì động lượng của A cũng bị thay đổi bấy nhiêu theo chiều ngược lại. II. Nguyên lý tương đối Galileo 1. Phép biến đổi Galileo O' M x' y' y Cho hai hệ quy chiếu Oxyz và O'x'y'z' với các giả thiết: các trục Ox', Oy', Oz' theo thứ tự song song và cùng chiều với các trục Ox, Oy,Oz khi t=0, O' trùng với O. Hệ O' chuyển động với vận tốc (đối với hệ O đứng yên) theo phương Ox. Với mỗi hệ tọa độ ta gắn vào một đồng hồ để chỉ thời gian. z z' x O Xét một hệ chất điểm M bất kì: tại thời điểm t chỉ bởi đồng hồ của hệ O, M có tọa độ trong hệ O là x, y,z; các tọa độ thời gian và không gian tương ứng của M trong hệ O' là t', x', y', z'. Theo các quan điểm của Newton: *Thời gian có tính tương đối độc lập đối với mọi hệ quy chiếu: t=t' *Vị trí của M trong không gian được xác định tùy theo hệ quy chiếu. Từ hình vẽ, ta có: Hay dưới dạng tọa độ: ; ; và ngược lại: ; ; ; Các công thức trên gọi là các phép biến đổi Galileo, chúng cho ta cách chuyển tọa độ trong không gian, thời gian từ hệ quy chiếu O' sang hệ quy chiếu O và ngược lại. Từ phép biến đổi Galileo, ta suy ra các tính chất sau đây: -Vị trí không gian có tính chất tương đối phụ thuộc hệ quy chiếu, do đó chuyển động có tính tương đối phụ thuộc hệ quy chiếu. -Khoảng cách khong gian có tính tuyệt đối, khong phụ thuộc hệ quy chiếu. -Tính chất tuyệt đối của thời gian: khoảng thời gian mà mội sự kiện xảy ra khong thay đổi không phụ thuộc hệ quy chiếu. 2. Định lý cộng vận tốc Xét chuyển động của một hạt M đối với hai hệ quy chiếu O và O'. Vị trí của M đối với hai hệ quy chiếu O và O' được xác địn tương ứng bằng các vecto và ta có: O' Nếu hệ O' chuyển động tịnh tiến đối với hệ O thì đạo hàm theo thời gian đẳng thức này, với chú ý rằng dt=dt' ta được: M Vậy: Trong đó: là vận tốc của M đối với O. O là vận tốc của M đối với O'. là vận tốc của O' đói với hệ O. Định lý cộng vận tốc biểu thị mối quan hệ của vận tốc đối với hai hệ quy chiếu. 3. Nguyên lý tương đối Galileo Xét chuyển động của một chất điểm trong hai hệ quy chiếu O và O' đã nói ở trên. Giả thiết rằng hệ O là một hệ quán tính. Hệ quy chiếu O' chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu O với vận tốc . Theo trên, trong hệ O' các định luật Newton được thỏa mãn. Vì vậy, ta viết phương trình dịnh luật II Newton trong hệ O: Trong đó: là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O. là tổng hợp lực tác dugj lên chất điểm. Gọi là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O'. Từ định lý cộng vận tốc và từ t=t', ta có: nghĩa là Vậy: Phương trình trên chính là phương trình động lực học của chất điểm trong hệ O'. Như vậy, định luật II Newton cũng thỏa mãn trong hệ O'. Điều đó chứng tỏ hệ O' cũng là hệ quán tính. Từ đó ta có thể phát biểu: Mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều với một hệ quy chiếu quán tính cũng là hệ quy chiếu quán tính. Hay: Các định luật cơ học đều được phát bêu như nhau trong mọi hệ quy chiếu. Đó là những phát biểu khác nhau trong nguyên lý tương đối Galileo. III.Phương pháp động lực học 1.Phương pháp động lực học - các nguyên tắc cơ bản Phương pháp động lực học là phương pháp sử dụng các phương trình động lực học để giải các bài toán chuyển động. Đối với chất điểm, trong hệ quy chiếu quán tính, đó chính là các định luật Newton. Khi sử dụng các phương pháp định luật Newton thì định luật II là phương trình cơ bản (định luật I coi là trường hợp riêng của định luật II), còn định luật III được sử dụng như những phương trình phụ giúp ta loại bỏ các cặp lực tương hỗ để đơn giản hóa cách giải. Nếu hệ gồm nhiều hạt, ta phải viết cho mỗi hạt một phương trình định luật II Newton và giải hệ phương trình đó. Vì phương trình định luật II Newton là phương trình vecto nên để thuận tiện cho tính toán ta phải biến các phương trình đó thành các phương trình vô hướng. Muốn vậy, ta chọn hệ trục tọa độ thích hợp (thông thường chọn hệ tọa độ Dercastes) rồi chiếu các phương trình vecto đó xuống các trục tọa độ. Do đó, thay cho việc giải hệ phương trình vecto, ta chỉ giải hệ phương trình vô hướng. 2. Trình tự giải bài toán bằng phương pháp động lực học Để giải bài toán động lực học ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đọc kỹ bài ra, phân tích hiện tượng cơ học xảy ra trong bài toán để thấy được mối liên hệ giữa các lực, để vẽ đúng chiều các lực (ví dụ nếu không biết được chiều trượt của vật, ta không biết được chiều của lực ma sát trượt) Xác định cá dữ kiện và ẩn số. Vẽ hình và biểu diễn đầy đủ các lực tác dụng lên từng hạt trên hình vẽ. Bước 2: Viết cho mỗi hạt một phương trình động lực học dạng vecto (tức là phương trình định luật 2 Newton). Trong mỗi phương trình phải viết đầy đủ các lực tác dụng lên hạt. Bước 3: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp rồi chiếu các phương trình vecto lên trục tọa độ, ta được hệ phương trình vô hướng. Việc chon hệ trục tọa độ về nguyên tắc là tùy ý, song nên chọn sa cho khi chiếu các phương trình vecto xuống các trục đã chọn có dạng đơn giản nhất. Nếu ẩn số nhiều hơn số phương trình vô hướng thu được thì ta phải tìm thêm các phương trình phụ. Đó là các phương trình liên hệ các lực hoặc các phương trình liên hệ giữa các đặc trưng động học như vận tốc, gia tốc, quãng đường,... giữa các hạt hoặc cùng một hạt. Việc tìm ra các phương trình phụ này sẽ dể dang nếu bước phân tíc các hiện tượng cơ học xảy ra tiến hành kỹ lưỡng. Bước 4: Khi tổng số phương trình vô hướng và các phương trình phụ bằng ẩn số của bài toán thì ta tiến hành giải các phương trình đó để tìm ẩn số. -Nếu biết các lực, ta xác đình được các đại lượng động học (bài toán thuận): Tính gia tốc rồi suy ra vận tốc và vị trí bằng phương pháp tích phân. -Nếu biết chuyển động, ta tính được các lực tác dụng (bài toán nghịch) Bước 5: Kiểm tra và biện luận. IV. Các bài toán động lực học: Trong động lực học, người ta chia làm hai loại bài toán sau đây: Bài toán thuận của động lực học là biết chuyển động của chất điểm, xác định lực gây ra chuyển động. Bài toán ngược của động lực học là biết các lực tác dụng lên chất điểm và những điều kiện ban đầu của chuyển động, xác định chuyển động của chất điểm. 1. Bài toán thuận của động lực học Để giải loại bài toán này, trước tiên cần phải xác định gia tốc của chất điểm, sau đó sẽ áp dụng công thức để tìm lực tác dụng lên chất điểm. 2. Bài toán ngược của động lực học Để giải bài toán ngược cần xác định cụ thể các lực tác động lên từng chất điểm, sau đó áp dụng tìm gia tốc mà chất điểm thu được. Nếu biết vận tốc và vị trí ban đầu của chất điểm thì bằng cách lấy tích phân của gia tốc a ta có thể xác định được vận tốc và tọa độ của chất điểm theo thời gian, nghĩa là có thể biết được phương trình chuyển động cũng như phương trình quĩ đạo của chất điểm. Phần B: Một số bài tập ví dụ: Bài 1 :Hai vật A và B có thể trượt trên mặt bàn nằm ngang và được nối với nhau bằng dây không giãn, khối lượng không đáng kể. Khối lượng 2 vật là mA = 2kg, mB = 1kg, ta tác dụng vào vật A một lực F = 9N theo phương song song với mặt bàn. Hệ số ma sát giữa hai vật với mặt bàn là m= 0,2. Lấy g = 10m/s2. Hãy tính gia tốc chuyển động. Bài giải: Bước 1: Hiện tượng cơ học: Hai vật được nối với nhau bằng dây không giãn và cùng trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Các lực tác dụng lên từng vật: Vật A: Trọng lực , phản lực vuông góc , lực căng dây, lực ma sát , lực tác dụng . Vật B: Trọng lực , phản lực vuông góc , lực căng dây , lực ma sát , lực tác dụng . Vì dây không giãn, nên 2 vật chuyển động cùng gia tốc. Bỏ qua khối lượng dây, nên các lực căng tác dụng lên 2 vật bằng nhau. Chiều chuyển động là chiều mà lực F tác dụng lên vật 1. Do đó, lực ma sát có chiều như hình vẽ. Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto: *Đối với vật A ta có: (1) * Đối với vật B: (2) Bước 3: Chọn hệ trục như hình vẽ: T1 =T2 =T a1 = a2 = a fms =kN = kmg P = mg - Chiếu (1) lên Ox, ta được: F - T1 - F1ms = m1a1 F- T - k1g = m1a (3) - Chiếu (1) lên Oy, ta được: -P1+N1 = 0 -m1g + N1 = 0 (4) - Chiếu (2) lên Ox, ta có: T2 - F2ms = m2a2 T- F2ms = m2a (5) - Chiếu (2) lên Oy, ta được: -P2 + N2 = 0 -m2g + N2 = 0 (6) Bước 4: Cộng (3) và (5) ta được: F - k(m1 + m2)g = (m1+ m2)a Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh. Bài 2 :Hai vật cùng khối lượng m = 1kg được nối với nhau bằng sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể. Một trong 2 vật chịu tác động của lực kéo hợp với phương ngang góc = 300 . Hai vật có thể trượt trên mặt bàn nằm ngang góc = 300 Hệ số ma sát giữa vật và bàn là 0,268. Biết rằng dây chỉ chịu được lực căng lớn nhất là 10 N. Tính lực kéo lớn nhất để dây không đứt. Lấy = 1,732. Bài giải: Bước 1: Hiện tượng cơ học: Hai vật được nối với nhau bằng dây không giãn và có thể cùng trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Các lực tác dụng lên từng vật: Vật 1: Trọng lực , phản lực vuông góc , lực căng dây , lực ma sát , lực tác dụng hợp với phương ngang góc Vật 2: Trọng lực , phản lực vuông góc , lực căng , lực ma sát , lực tác dụng hợp với phương ngang góc Vì dây không giãn, nên 2 vật chuyển động cùng gia tốc. Bỏ qua khối lượng dây, nên các lực căng tác dụng lên 2 vật bằng nhau. Chiều chuyển động là chiều mà lực F tác dụng lên vật. Do đó, lực ma sát có chiều như hình vẽ. Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto: *Đối với vật 1 ta có: (1) *Đối với vật 2 ta có: (2) Bước 3: Ta có: T1 = T2 = T a1 = a2 = a m1 = m2 = m Chiếu (1) lên Oy, ta được: Fsin 300 - P1 + N1 = 0 Chiếu (1) xuống Ox, ta được: F.cos 300 - T1 - F1ms = m1a1 Mà F1ms = k N1 = k(mg - Fsin 300) Þ F.cos 300 -T1=k(mg - Fsin 300) = m1a1 (3) Chiếu (2) lên Oy, ta được: -P2 + N2 = 0 Chiếu (2) xuống Ox, ta được: T - F2ms = m2a2 Mà F2ms = k N2 = km2g Þ T2 - k m2g = m2a2 (4) Bước 4: Từ (3) và (4), suy ra : : Vậy Fmax = 20 N Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh. Bài 3 :Cần tác dụng lên vật m =3kg trên mặt phẳng nghiêng góc a =45o một lực F bằng bao nhiêu để vật nằm yên, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k =0.2, khi biết vật có xu hướng trượt xuống. Lấy g =10m/s2. Bài giải: Bước 1: Hiện tượng cơ học: Vật chuyển động theo mặt phẳng nghiêng. Vật: Trọng lực , phản lực vuông góc , lực ma sát , lực tác dụng . Bước 2: Áp dụng định luật II Newtơn ta có : (1) Bước 3: Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.: Fms = kN = k(mgcoxa + F sina) -Chiếu phương trình (1) lên trục Oy, ta được: N - Pcoxa - Fsina = 0 Þ N = Pcoxa + F sina -Chiếu phương trình (1) lên trục Ox, ta được : Psina - F coxa - Fms = 0 Þ F coxa = Psina - Fms = mg sina - kmg coxa - kF sina (2) Bước 4: Từ (2), suy ra: Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh. Bài 4 :Hai vật A và B có khối lượng lần lượt là mA = 600g, mB = 400g được nối với nhau bằng sợi dây nhẹ không dãn và vắt qua ròng rọc cố định như hình vẽ. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và lực ma sát giữa dây với ròng rọc. Lấy g = 10m/s2. Tính gia tốc chuyển động của mối vật. Bài giải: Bước 1: Hiện tượng cơ học: Hai vật A và B được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ không giãn, và vắt qua ròng rọc cố định. Các lực tác dụng lên từng vật: Vật A: Trọng lực , lực căng . Vật B: Trọng lực , lực căng . Vì dây không giãn nên hai vật chuyển động cùng gia tốc, bỏ qua khối lượng của ròng rọc và lực ma sát giữa dây và ròng rọc nên lực căng tác dụng lên hai vật cũng bằng nhau. Vì mA > mB nên khi thả thì vật A sẽ đi xuống và vật B sẽ đi lên. Các lực có chiều như hình vẽ: Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto: (1) (2) Bước 3: Ta có: TA = TB = T aA = aB = a Chiếu (1) lên trục x, ta được: (3) Chiếu (2) lên trục y, ta được: (4) Bước 4: Từ (3) và (4), suy ra: Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh Bài 5: Cho cơ hệ như hình vẽ. Các vật khối lượng các vật lần lượt là M (nêm), m1, m2. Ban đầu giữu cho hệ thống đứng yên. Khi thả cho cơ hệ chuyển động thì nêm chuyển động với gia tốc A bằng bao nhiêu? Tính gia tốc của vật đối với nêm theo gia tốc A của nêm. Với tỉ số nào của m1, m2 thì nêm đứng yên và các vật trượt trên hai mặt nêm chuyển động. Bỏ qua ma sáy, khối lượng ròng rọc và dây nối. Bài giải Bước 1: Hiện tượng cơ học: Hai vật m1 và m2 nằm trên mặt phẳng nghiêng, chúng được nối với nhau bằng một sợi dây không giãn và vắt qua ròng rọc được đặt ở đỉnh nêm. Các lực tác dụng lên từng vật: Vật m1: Trọng lưc , lực căng , phản lực , lực quán tính . Vật m2: Trọng lưc , lực căng , phản lực , lực quán tính . Vì dây không dãn nên hai vật chuyển động cùng gia tốc. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và lực ma sát giữa dây và ròng rọc, nên lực căng tác dụng lên hai vật cũng bằng nhau.. Giả sử , tức là m1 đi xuống, m2 đi lên. Khi đó tổng hình chiếu của các lực lên phương ngang bằng 0, nên khối tâm của hệ khong thay đổi. Do đó, nêm đi sang phải. Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto: Vật m1: (1) Vật m2: (2) Nêm : (3) Bước 3: Ta có: T1=T2=T a1=a2=a Chiếu (1) lên trục x, ta được: (4) Chiếu (1) lên trục y, ta được: (5) Chiếu (2) lên trục x', ta được: (6) Chiếu (2) lên trục y', ta được: (7) Chiếu (3) xuống trục z, ta được: (8) Bước 4: Từ (4) và (6), suy ra: (9) (10) Thay phương trình (5), (7), (10) vào (8), ta được: Bước 5: Điều kiện để nêm đứng yên là , suy ra .Khi đó thay vào biểu thức (9), ta được a=0. Vì vậy, nêm đứng yên thì các vật cũng không chuyển động, hay nói cách khác không xảy ra trường hợp nêm đứng yên, vật chuyển động, vì khối tâm của hệ không di chuyển theo phương ngang. Bởi vậy, nếu khối tâm cua hai vật dịch chuyển thì khối tâm của vật dịch chuyển theo chiều ngược lại. Bài 6: Một nêm khối lượng M= 4,5kg, có mặt AB nghiêng góc được đặt trên một mặt sàn nhẵn nằm ngang. Trên mặt AB của nêm có đặt hai vật có khối lượng m1= 4kg và m2= 2kg nối với nhau bằng một sợi dây mảnh ko dãn vắt qua một ròng rọc nhỏ, gắn vào đỉnh A của nêm. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc và coi mọi ma sát là không đáng kể. Biết nêm có thể chuyển động trên mặt sàn.Tính gia tốc của hai vật đối với nêm và gia tốc của nêm đối với mặt sàn. Lấy . Bài giải Bước 1: Hiện tượng cơ học: Hai vật m1 và m2 cùng nằm trên một mặt phẳng nghiêng và được nối với nhau bằng một sợi dây mảnh không dãn vắt qua một ròng rọc nhỏ được gắn ở đỉnh nêm. Các lực tác dụng lên từng vật: Vật m1: Trọng lực , phản lực vuông góc ,lực căng dây . Vật m2: Trọng lực , phản lực vuông góc ,lực căng dây . Bỏ qua khối lượng và ma sát của ròng rọc nên lực căng tác dụng lên hai vật bằng nhau. Vì m1>m2 nên khi thả vật, m1 sẽ đi xuống và m2 sẽ đi lên. Các lực có chiều như hình vẽ. Kí hiệu và là vecto gia tốc của vật đối với nêm và của nêm đối với mặt sàn. Bước 2: Áp dụng định luật II cho hai vật và cho nêm, ta có các phương trình động lực học dạng vecto như sau: (1) (2) (3) Bước 3: Ta có : Chiếu (1) lên trục Ox, ta được: (4) Chiếu (1) lên Oy, ta được: (5) Chiếu (2) lên Ox, ta được: (6) Chiếu (2) lên Oy, ta được: (7) Chiếu (3) lên trục Ox, ta được: (8) Bước 4: Giải hệ phương trình (4), (5), (6), (7), (8), ta suy ra: (9) Bước 5: Ta thấy a1<a, vì vậy nêm chuyển động sang phải. Kiểm tra thứ nguyên các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài 7: Vật A có khối lượng m1= 5kg có dạng khối lăng trụ có thiết diện thẳng là một tam giác đều, được chèn sát vào một bức tường đứng thẳng nhờ kê trên vật B khối lượng m2 =5kg có dạng khối lập phương, đặt trên mặt sàn nằm ngang. Coi rằng hệ số ma sát ở tường va ở sàn đều bằng k. Tính k và áp lực tại các chỗ tiếp xúc. Lấy . Bỏ qua ma sát tại chỗ tiếp xúc vật A với vật B. A B Bài giải y Bước 1: Hiện tượng cơ học: Vật A đặt sát tường và kê trên vật B nằm trên mặt sàn nằm ngang. Các lực tác dụng lên từng vật: A Vật A: Trọng lực (đặt tai G1), phản lực vuông góc , lực ma sát của tường ( hướng lên trên), phản lực vuông góc (vì bỏ qua ma sát của vật B) B Vật B: Trọng lực (đặt tai G2), phản lực vuông góc , lực ma sát của sàn ( hướng sang phải), phản lực vuông góc của vật A (Q2=Q1). x Các vật có chiều như hình vẽ. Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto Vật A: (1) Vật B: (2) Bước 3: Ta có: Q1=Q2=Q Chiếu (1) lên Oy, ta được: (3) Chiếu (1) lên Ox, ta được: (4) Chiếu (2) lên Oy, ta được: (5) Chiếu (2) lên Ox, ta được: (6) Bước 4: Từ các phương trình (3), (4), (5), (6), thay số vào ta rút ra: Ta lấy nghiệm dương k = 0,267. Từ đó, suy ra: Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh. Bài 8: Một hệ gồm ba vật khối lượng m1, m2, m3 treo trên hai ròng rọc bằng các sợi dây không co dãn như ở hình bên. Giả sử khối lượng của các ròng rọc và các sợi dây không đáng kể. Bỏ qua ma sát giữa dây và ròng rọc. Hãy xác định gia tốc của mỗi vật và lực căng của các sợi dây. Bài giải Bước 1: Hiện tượng cơ học: Ba vật 1, 2 và 3 treo trên hai ròng rọc bằng các sợi dây không dãn Các lực tác dụng lên từng vật: Vật 1: Trọng lực , lực căng . Vật 2: Trọng lực , lực căng . Vật 3: Trọng lực , lực căng . Các vật có chiều chuyển động như hình vẽ: Chọn chiều dương của trục Ox hướng xuống như hình vẽ. Gốc tọa độ (vị trí O) được chọ là ròng rọc thứ nhất vì vị trí đó khong thay đổi theo thời gian. Vị trí của m1 là x1, của m2 là x2, của m3 là x3, của ròng rọc thứ hai là x0. Bước 2: Các phương trình động lực học dạng vecto: (1) (2) (3) Bước 3: Chiếu lần lượt các phương trình (1), (2), (3) lên Ox, ta được: (4) (5) (6) Do ròng rọc không có khối lượng và dây khong dãn nên dễ dàng suy ra rằng: (7) (8) Ta có 6 ẩn số a1, a2, a3, T1, T2, T3, mà mới có 5 phương trình, vì vậy ta cần tìm thêm mọt phương trình nữa. Ta thấy rằng: do các vật bị nối với nhau qua một sợi dây nên chuyển động của chúng có sự ràng buộc lẫn nhau, hay có thể nói giữa các gia tốc của chúng có mối quan hệ với nhau. Ta sẽ tìm mối quan hệ đó. Gọi r là bán kính của ròng rọc. Do các sợi dây l1 và l2 không giãn nên ta có các phương trình biểu diễn độ dài của các sợi dây như sau: (9) (10) Lấy phương trình (9) nhân 2 rồi cộng với phương trình (10), ta được: Lấy đạo hàm hai lần theo thời gian phương trình trên (với các hằng só r, l1, l2), ta được: hay (11) Bước 4: Lấy (4) trừ (5) và (6), ta được : (12) Lấy (5) trừ (6), ta được: (13) Giải hệ ba phương trình (11), (12), (13), ta tìm được : (14) Thay (14) vào (13) ta tìm được : (15) Thay (15) và (14) vào (11) ta tìm được : (16) Thay (16) vào (4) ta tìm được lực căng : Từ (7) và (8), suy ra: Bước 5: Nếu m1=m2+m3 và m2=m3 thì a1=a2=a3=0 hệ vật sẽ đứng yên. Kiểm tra lại các thứ nguyên, các công thức ta thấy kết quả hoàn toàn phù hợp. Bài 9: Cho hệ vật gồm hai vật 1 và 2 có khối lượng lần lượt là m1 và m2 đặt trên mặt nằm ngang không ma sát như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa hai vật là k. Tác dụng lực F=bt vào vật 1 theo phương ngang. Trong suốt quá trình, vật 1 luôn ở trên vật 2. Tính thời điểm t0 mà từ đó vật 1 bắt đầu trượt trên vật 2. 2 1 Bài giải Kí hiệu lực ma sát tác dụng lên vật 1 và 2 lần lượt là và . Ta không quan tâm đến trọng lực của các vật và phản lực theo phương thẳng đứng, vì chúng vuông góc với phương chuyển động của hệ, nên ta không vẽ lên hình. Bước 1: Trước trước điểm t0, hai vật dính liền nhau cùng chuyển động. Sau thời diểm t0, vật 1 trượt trên vật 2. vì F2 đã cực đại tai t0, nên sau thời điểm t0, F2 không tăng được nữa. Trong khi đó lực tác dụng lên vật 1 là F=bt tiếp tục tăng. Các lực tác dụng lên từng vật: 2 1 Vật 1: Lực ma sát (vật 2 tác dụng lên vật 1). x Vật 2: Lực ma sát (vật 1 tác dụng lên vật 2). Lực F=bt tác dụng lên vật 1, kéo theo vật 2 chuyển động. Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto: Đối với hệ hai vật trong hệ quy chiếu đứng yên: (1) Gắn hệ phi quán tính k' với vật 2: Phương trình động lực học đối với hệ k': (2) Bước 3: Chọn trục tọa độ như hình vẽ. Chiếu (1) lên trục x, ta được: Tại t=t0 thì a=a0: (3) Chiếu (2) lên trục x, ta được: Tại t=t0 thì a=a0. Lại có: (4) Bước 4: Thay (3) vào (4), ta được: Bước 5: Ta thấy k, m1, m2, g và b đều là hằng số. Vậy t0=const. Kiểm tra lại các thứ nguyên, các công thức ta thấy kết quả hoàn toàn phù hợp. Bài 10: Một trục hình trụ đặc, khối lương m1=200kg có thể quay không ma sát xung quanh một rục cố định nằm ngang trụng với trục của hình trụ. Trên hình trụ có quấn một sợi dây không giãn, khối lượng không đáng kể. Đầu tự do của dây có buộc vật nặng m2=40kg. Tìm gia tốc của vật nặng va lực căng dây. Lấy g=10m/s2. Cho biết moomen quán tính của hình trụ đối với trục quay là , với R là bán kính của hình trụ. O m1 m2 Bài giải Bước 1: Hiện tượng cơ học: Do tác dụng của trọng lực P2=m2g, hệ vật nặng và hình trụ chuyển động: hình trụ quay và vật nặng chuyển động tịnh tiến đi xuống. Kí hiệu a là gia tốc dài của vật nặng, là gia tốc góc của hình trụ, ta có:a=R, với R là bán kính của hình trụ. Bước 2: Viết phương trình động lực học dạng vecto: O (1) m1 Bước 3: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Chiếu (1) lên trục x, ta được: (2) Áp dụng phương trình chuyển động quay của hình trụ: , với M=T'R=TR (3) m2 (T' là lực căng dây tác dụng lên hình trụ, T=T') Ta lại có: (4) x Bước 4: Từ (2), (3) và (4), ta suy ra: Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh. Phần kết luận Việc giải các bài toán về “Cơ học lý thuyết” và đặc bệt là phần “Động lực học chất điểm” chủ yếu dựa trên hai phương pháp cơ bản: +Phương pháp năng lượng. +Phương pháp động lực học chất điểm. Tùy theo từng dạng toán cụ thể mà người giải cần lựa chọn phương pháp cho phù hợp: + Phương pháp năng lượng là phương pháp khảo sát hệ theo quan điểm năng lượng, phân tích diễn biến và đặc điểm quá trình trao đổi, chuyển hóa năng lượng; rồi dùng các định luật bảo toàn hay biến đổi năng lượng để giải thích các hiện tượng, quá trình hoặc tính toán để tìm ra kết quả. Cách dùng trao đổi năng lượng là tổng quát hơn, dùng được nhiều lĩnh vực vật lý ngoài cơ học còn ápdụng cho nhiệt, điện,... mà những lĩnh vưc này lại không dùng lực được. + Phương pháp động lực học chất điểm phân tích các hiện tượng cơ học xảy ra trong bài toán để thấy được mối liên hệ giữa chuyển động của các hạt trong hệ, hoặc mối liên hệ giữa các lực, giải thích hiện tượng cơ học xảy ra hay tính toán để tìm ra kết quả. Ngoài ra cách dùng lực thì trực quan hơn vì có thể biểu thị bằng 1 vec tơ. Trong thời gian vừa qua với sự giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi của thầy giáo, Ts.Đoàn Tử Nghĩa cũng như sự đóng góp ý kiến của các bạn sinh viên trong lớp tôi đã hoàn thành bài Tiểu luận này. Các bài tập, ví dụ giúp sáng tỏ hơn cho phần lý thuyết.Các bài tập ở nhà nhằm cũng cố kiến thức giúp người học hiểu sâu, nắm chắt, nắm vững lý thuyết. Qua việc thực hiện Tiểu luận này tôi đã hiểu rõ hơn, rèn luyện được kỹ năng phân loại và giải bài tập đặc biệt là bài tập về cơ lý thuyết, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học. Tuy nhiên do Tiểu luận làm trong thời gian ngắn, quá trình tìm tài liệu còn gặp nhiều khó khăn. Mặc khác do hạn chế về kiến thức bản thân nên việc trình bày không tránh khỏi những sai xót về nội dung và bài tập. Vậy em mong nhận được sự chỉ bảo và hướng dẫn của thầy, cùng sự góp ý của cá bạn trong lớp để em rút ra bài học kinh nghiệm để vận dụng cho sau này.