Toán cao cấp - Chương 2: Hàm liên tục

21/09/2018 1 LOG O TOÁN CAO CẤP C1 GV. Phan Trung Hiếu 45 tiết LOG O Chương 2: Hàm liên tục GV. Phan Trung Hiếu I. Hàm số liên tục tại một điểm: 3 Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trong một khoảng chứa x0. Ta nói: (i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu (ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu 0 0lim ( ) ( ). x x f x f x   0 0lim ( ) ( ). x x f x f x   4 (iii) f(x) liên tục tại x0 nếu 0 0lim ( ) ( ). x x f x f x   Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điều sau:  f(x) xác định tại x0.  tồn tại.  0 lim ( ) x x f x  0 0lim ( ) ( ). x x f x f x   5 Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là gián đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau:  f(x) không xác định tại x0.  f(x) xác định tại x0, nhưng 0 lim ( ) x x f x  không tồn tại hoặc 0 lim ( ) x x f x  không tồn tại hoặc 0 0 lim ( ) lim ( ). x x x x f x f x      f(x) xác định tại x0, tồn tại, nhưng 0 lim ( ) x x f x  0 0lim ( ) ( ). x x f x f x   6 Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì cũng liên tục tại x0., . , ( 0) f f g f g g g   Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau sin 3 khi 0 ) ( ) 3 khi 0       x x a f x x x tại 0 0.x  2 2 1 khi 1 ) ( ) khi 1 2           x x b f x x x tại 0 1.x   21/09/2018 2 7 Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số 3 2 2 1 khi 0 ( ) ln(1 ) 1 khi 0         xe x f x x m x liên tục tại 0 0.x Ví dụ 1.2: Cho hàm số tan ( ) , 2 ( ). 1 cos     x xf x x k k x Tìm f(0) để hàm số trên liên tục tại 0 0.x 8 Ví dụ 1.4: Tìm m và n để hàm số 2 3 khi 3, ( ) khi 3, khi 3. mx x f x x n x x x         liên tục tại 0 3.x 9 Ví dụ 1.5: Thầy Hiếu bán một loại sản phẩm trang trí với số lượng lớn. Nếu khách hàng mua với số lượng ít hơn hoặc bằng 225kg thì thầy Hiếu bán với giá 57,5 nghìn đồng/kg. Nếu khách hàng mua với số lượng trên 225kg thì thầy Hiếu sẽ giảm giá và bán với giá 46 nghìn đồng/kg. Tuy nhiên, thầy Hiếu nhận thấy điều chưa hợp lý trong cách bán này, chẳng hạn khi khách hàng mua 230kg thì số tiền phải trả ít hơn khi mua 225kg. Vì vậy, thầy Hiếu quyết định thêm vào phụ phí k (nghìn đồng) cho việc giảm giá khi khách hàng mua trên 225kg. Tìm k để cách bán hàng trở nên hợp lý hơn. 10 Ví dụ 1.6: Giả sử một người bán hàng được trả lương cơ bản là 800$/tháng cộng với tiền hoa hồng và tiền thưởng (nếu có) dựa trên doanh thu của người đó. Giả sử rằng tiền hoa hồng là 15% doanh thu, còn tiền thưởng là 1.000$ nếu doanh thu hàng tháng vượt 10.000$ và được cộng thêm 2.500$ nếu doanh thu hàng tháng vượt 15.000$. a) Tìm hàm số thể hiện mối quan hệ giữa doanh thu với thu nhập của người bán hàng này và vẽ đồ thị. b) Hàm số ở câu a gián đoạn các điểm nào? Tìm các giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại các điểm đó. c) Từ các kết quả ở câu b, ta thấy phương pháp tính lương này tạo động lực gì cho người bán hàng để tăng doanh thu hàng tháng? II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn: 11 Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b) khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a,b). Định nghĩa 2.2: f(x) liên tục trên [a,b]      f(x) liên tục trên (a,b) lim ( ) ( ) x a f x f a   lim ( ) ( ) x b f x f b   12 Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồ thị là một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó. Liên tục Không liên tục a b a b 21/09/2018 3 13 Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng. Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. 14 Ví dụ 2.1: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định 2 2 3 khi 0 ( ) 1 khi 0 . 3 khi 0         x x f x x x x 15 Ví dụ 2.2: Tìm m để hàm số 2 3 2 khi 2 ( ) khi 2        mx x x f x x mx x liên tục trên . Ví dụ 2.3: Tìm m và n để hàm số 1 khi 1 1 ( ) khi 1 2 1 1 khi 2              x x f x mx n x x x liên tục trên . Bài tập Toán Cao cấp C1 4 GV. Phan Trung Hiếu BÀI TẬP CHƯƠNG 2 Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x0 cho trước 1) 2arcsin( 2 ) khi 0 ( ) 3 2 / 3 khi 0        x x x f x x x tại 0 0x . 2) 2 2 2 ln(1 4 ) khi 0 ( ) 1 2 khi 0         x x x f x e x tại 0 0x . Bài 2: Cho hàm số ln ln 2 ( ) , 2. 2     x f x x x Tìm f(2) để hàm số liên tục tại 2.x Bài 3: Xác định m để các hàm số sau liên tục tại điểm 0 0x 1) 4 2 ln(2 cos( )) khi 0 ( ) 2 khi 0       mx x f x x x m x . 2) 2 23 tan sin khi 0 ( ) .2 khi 0        x x x f x x m x Bài 4: Tìm m và n để hàm số   sin 2 khi 0, ( ) 2 khi 0, 2 1 1 khi 0            m x x x f x x n x x x liên tục tại điểm 0 0.x Bài 5: Một nhà máy kẹo bán kẹo theo pound. Nếu khách hàng mua kẹo với số lượng ít hơn hoặc bằng 20 pounds thì nhà máy bán với giá 1,5$/pound. Nếu khách hàng mua kẹo với số lượng trên 20 pounds thì nhà máy bán với giá 1,25$/pound (tính cho toàn bộ lượng kẹo) cộng thêm một phụ phí k. Gọi x là số pounds, p(x) hàm đơn giá. a) Viết hàm đơn giá p(x). b) Tìm k sao cho hàm đơn giá p(x) liên tục tại x = 20. c) Giải thích tại sao hàm đơn giá p(x) sẽ phù hợp hơn khi nó liên tục tại x = 20. Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định 1) sin( ) khi 1 ( ) 1 khi 1         x x f x x x . 2) cos khi 1 2( ) 1 khi 1        x x f x x x . Bài 7: Xác định m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định 1) 5 2 cos khi 0 ( ) 4 khi 0         mxe x x f x x m x . 2) 5 5 3 (1 cos( )).( ) khi 0 ( ) 3 1 khi 0          x xmx e e x f x x x m x . Bài 8: Giả sử một người bán hàng được trả lương cơ bản là 500$/tháng cộng với tiền hoa hồng là 10% doanh thu nếu doanh thu hàng tháng không vượt quá 20.000$ nhưng nếu doanh thu hàng tháng trên 20.000$ thì người bán hàng sẽ nhận được tiền hoa hồng là 20% doanh thu. a) Tìm hàm số thể hiện mối quan hệ giữa doanh thu với thu nhập của người bán hàng này và vẽ đồ thị. b) Hàm số trong câu a gián đoạn tại các điểm nào? Tìm các giới hạn trái và giới hạn phải của hàm số tại các điểm đó.