Toán học - Bài 3: Ánh xạ liên tục

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán Phần 1. Không gian metric §3. Ánh xạ liên tục (Phiên bản đã chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 20 tháng 12 năm 2004 Tóm tắt lý thuyết 1 Định nghĩa Cho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh xạ f : X → Y • Ta nói ánh xạ f liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ X, d(x, x0) < δ =⇒ ρ(f(x), f(x0)) < ε • Ta nói f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X 2 Các tính chất Cho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh xạ f : X → Y . Định lí 1. Các mệnh đề sau tương đương 1. f liên tục tại x0 ∈ X 2. ∀{xn} ⊂ X (limxn = x0) =⇒ lim f(xn) = f(x0) 1 Hệ quả. Nếu ánh xạ f : X → Y liên tục tại x0 và ánh xạ g : Y → Z liên tục tại y0 = f(x0) thì ánh xạ hợp g ◦ f : X → Z liên tục tại x0. Định lí 2. Các mệnh đề sau tương đương 1. f liên tục trên X 2. Với mọi tập mở G ⊂ Y thì tập nghịch ảnh f−1(G) là tập mở trong X. 3. Với mọi tập đóng F ⊂ Y thì tập f−1(F ) là tập mở trong X. 3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ đồng phôi Cho các không gian metric X, Y và ánh xạ f : X → Y . • Ánh xạ f gọi là ánh xạ mở (đóng) nếu với mọi tập mở (đóng) A ⊂ X thì ảnh f(A) là tập mở (đóng). • Ánh xạ f gọi là ánh xạ đồng phôi nếu f là song ánh liên tục và ánh xạ ngược f−1 : Y → X liên tục. 4 Một số các hệ thức về ảnh và ảnh ngược Cho các tập X, Y khác trống và ánh xạ f : X → Y . Với các tập A,Ai ⊂ X và B,Bi ⊂ Y , ta có 1. f( ⋃ i∈I Ai) = ⋃ i∈I f(Ai), f( ⋂ i∈I Ai) ⊂ ⋂ i∈I f(Ai) 2. f−1( ⋃ i∈I Bi) = ⋃ i∈I f−1(Bi), f−1( ⋂ i∈I Bi) = ⋃ i∈I f−1(Bi) f−1(B1 \B2) = f−1(B1) \ f−1(B2) 3. f(f−1(B)) ⊂ B ("=" nếu f là toàn ánh) f−1(f(A)) ⊃ A ("=" nếu f là đơn ánh) Bài tập Bài 1. Trong không gian C[a,b], ta xét metric d(x, y) = sup a≤t≤b |x(t) − y(t)| và trong R ta xét metric thông thường. Chứng minh các ánh xạ sau đây liên tục từ C[a,b] vào R. 2 1. f1(x) = inf a≤t≤b x(t) 2. f2(x) = b∫ a x2(t)dt Giải. 1. Ta sẽ chứng minh |f1(x)− f1(y)| ≤ d(x, y) (*) Thật vậy f1(x) ≤ x(t) = y(t) + (x(t)− y(t)) ≤ y(t) + d(x, y) ∀t ∈ [a, b] =⇒ f1(x)− d(x, y) ≤ y(t), ∀t ∈ [a, b] =⇒ f1(x)− d(x, y) ≤ f1(y) hay f1(x)− f1(y) ≤ d(x, y) Tương tự, ta có f1(y)− f1(x) ≤ d(x, y) nên (*) đúng. Từ đây, ta thấy ∀{xn}, lim n→∞ xn = x =⇒ lim n→∞ f1(xn) = f1(x) 2. Xét tùy ý x ∈ C[a,b], {xn} ⊂ C[a,b] mà limxn = x, ta cần chứng minh lim f2(xn) = f2(x) Ta có |x2n(t)− x2(t)| = |xn(t)− x(t)|.|xn(t)− x(t) + 2x(t)| ≤ d(xn, x).[d(xn, x) +M ] (M = sup a≤t≤b 2|x(t)|) =⇒ |f2(xn)− f2(x)| ≤ b∫ a |x2n(t)− x2(t)|dt ≤ d(xn, x)[d(xn, x) +M ](b− a) Do lim d(xn, x) = 0 nên từ đây ta có lim f2(xn) = f2(x) (đpcm) Ghi chú. Ta có thể dùng các kết quả về ánh xạ liên tục để giải bài tập 3 (§2). Ví dụ, để chứng minh tập M = {x ∈ C[a,b] : x(t) > x0(t), ∀t ∈ [a, b]} (x0 ∈ C[a,b] cho trước ) là tập mở, ta có thể làm như sau. Xét ánh xạ f : C[a,b] → R, f(x) = inf a≤t≤b (x(t)− x0(t)) Ta có: • f liên tục (lý luận như khi chứng minh f1 liên tục) 3 • M = {x ∈ C[a,b] : f(x) > 0} = f−1((0,+∞)), (0,∞) là tập mở trong R Bài 2. Cho các không gian metric X, Y và ánh xạ f : X → Y . Các mệnh đề sau là tương đương 1. f liên tục trên X 2. f−1(B) ⊃ f−1(B) ∀B ⊂ Y 3. f(A) ⊂ f(A) ∀A ⊂ X Giải. 1) ⇒ 2) Ta có{ f−1(B) là tập đóng (do f liên tục và B ⊂ Y là tập đóng) f−1(B) ⊃ f−1(B) =⇒ f−1(B) ⊃ f−1(B) (do tính chất "nhỏ nhất" của bao đóng) 2) ⇒ 3) Đặt B = f(A) trong 2), ta có f−1(f(A) ) ⊃ f−1(f(A)) ⊃ A Do đó f(f−1(f(A) )) ⊃ f(A) =⇒ f(A) ⊃ f(A) 3) ⇒ 1) Xét tùy ý tập đóng F ⊂ Y , ta cần chứng minh f−1(F ) là tập đóng. Đặt A = f−1(F ), ta có f(A) ⊂ f(A) = f(f−1(F )) ⊂ F = F (do F đóng) =⇒ f−1(f(A)) ⊂ f−1(F ) =⇒ A ⊂ A Vậy A = A nên A là tập đóng. Bài 3. Trong C[a,b] ta xét metric d(x, y) = sup{|x(t)− y(t)|, a ≤ t ≤ b}. Cho ϕ : [a, b]×R→ R là hàm liên tục. Chứng minh ánh xạ sau đây liên tục F : C[a,b] → C[a,b], F (x)(t) = ϕ(t, x(t)) Giải. Cố định x0 ∈ C[a,b], ta sẽ chứng minh F liên tục tại x0. Đặt M = 1 + sup a≤t≤b |x0(t)|. Cho ε > 0 tùy ý. Hàm ϕ liên tục trên tập compact D := [a, b] × [−M,M ] nên liên tục đều trên D. Do đó, tồn tại số δ1 > 0 sao cho ∀(t, s), (t′, s′) ∈ D, |t− t′| < δ1, |s− s′| < δ1 =⇒ |ϕ(t, s)− ϕ(t′, s′)| < ε 4 Đặt δ = min(δ1, 1). Với mỗi x ∈ C[a,b], d(x, x0) < δ, ta có |x(t)− x0(t)| < δ ∀t ∈ [a, b] x(t) ∈ [−M,M ] (do |x(t)− x0(t)| < 1, ∀t ∈ [a, b]) Do đó, |ϕ(t, x(t))− ϕ(t, x0(t))| < ε, ∀t ∈ [a, b] =⇒ |F (x)(t)− F (x0)(t)| < ε, ∀t ∈ [a, b] =⇒ d(F (x), F (x0)) < ε Như vậy, ta đã chứng minh ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ C[a,b], d(x, x0) < δ ⇒ d(F (x), F (x0)) < ε hay F liên tục tại x0. Bài 4. Cho các không gian metric X, Y và song ánh f : X → Y . Chứng minh các mệnh đề sau tương đương 1. f−1 : Y → X liên tục 2. f là ánh xạ đóng Giải. Ta có (f−1 : Y → X liên tục) ⇐⇒ (∀A ⊂ X,A đóng ⇒ (f−1)−1(A) đóng trong Y ) ⇐⇒ (∀A ⊂ X,A đóng ⇒ f(A) đóng) ⇐⇒ (f : X → Y là ánh xạ đóng) Bài 5. Cho không gian metric (X, d). Với x ∈ X, ∅ 6= A ⊂ X, ta định nghĩa d(x,A) = inf y∈A d(x, y) Chứng minh các khẳng định sau đây 1. Ánh xạ f : X → R, f(x) = d(x,A) liên tục 2. x ∈ A⇔ d(x,A) = 0 3. Nếu F1, F2 là các tập đóng, khác ∅ và F1∩F2 = ∅ thì tồn tại các tập mở G1, G2 sao cho F1 ⊂ G1, F2 ⊂ G2, G1 ∩G2 = ∅ Giải. 1. Ta sẽ chứng minh |f(x)− f(x′)| ≤ d(x, x′) (*) Thật vậy, ta có d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(x′, y) ∀y ∈ A =⇒ inf y∈A d(x, y) ≤ d(x, x′) + inf y∈A d(x′, y) =⇒ d(x,A)− d(x′, A) ≤ d(x, x′) 5 2. Ta có d(x,A) = 0⇐⇒ (∃{xn} ⊂ A : lim n→∞ d(x, xn) = 0) (do tính chất của inf và d(x,A) ≥ 0) ⇐⇒ (∃{xn} ⊂ A : limxn = x) ⇐⇒ x ∈ A 3. Ta xét ánh xạ g : X → R, g(x) = d(x, F1)− d(x, F2) Ta có g liên tục theo câu 1) Đặt G1 = {x ∈ X : g(x) 0}, ta có • G1 ∩G2 = ∅ • G1, G2 là các tập mở (do G1 = g−1((−∞, 0)), G2 = g−1((0,+∞)), (0,+∞),(−∞, 0) là các tập mở và g liên tục). • F1 ⊂ G1 vì x ∈ F1 ⇒ { d(x, F1) = 0 d(x, F2) > 0 (do x /∈ F2 và kết quả câu 2)) ⇒ g(x) < 0 Tương tự, F2 ⊂ G2 Bài tập tự giải có hướng dẫn Bài 6. Cho các không gian metric X, (Y1, d1), (Y2, d2). Trên Y1 × Y2, ta xét metric d((y1, y2), (y ′ 1, y ′ 2)) = d1(y1, y ′ 1) + d2(y2, y ′ 2) Giả sử rằng f1 : X → Y1, f2 : X → Y2 là các ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng ánh xạ f : X → Y1 × Y2, f(x) = (f1(x), f2(x)) liên tục. Hướng dẫn Sử dụng định lý 1 và điều kiện hội tụ trong không gian metric tích trong bài tập ở §1. Bài 7. Cho các không gian metric X, Y và ánh xạ f : X → Y . Chứng minh các mệnh đề sau tương đương: 1. f liên tục trên X 2. f−1(IntB) ⊂ Int f−1(B) ∀B ⊂ Y 6 Hướng dẫn • 1)⇒ 2) Áp dụng định lý 2 và tính chất "lớn nhất" của phần trong. • 2)⇒ 1) Áp dụng định lý 2 và tính chất G = IntG nếu G mở. Bài 8. Cho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và các ánh xạ liên tục f, g : X → Y . Ta định nghĩa ánh xạ h : X → R, h(x) = ρ(f(x), g(x)), x ∈ X 1. Chứng minh h liên tục 2. Suy ra rằng tập A := {x ∈ X : f(x) = g(x)} là tập đóng. Hướng dẫn 1. Chứng minh rằng nếu dn d−→ x thì h(xn) → h(x) trong R, sử dụng tính chất yn ρ−→ y, zn ρ−→ z thì ρ(yn, zn)→ ρ(y, z) 2. A = h−1({0}), {0} là tập đóng trong R Bài 9. Cho không gian metric (X, d) và A, B là các tập đóng khác ∅, không giao nhau. Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ liên tục f : X → R sao cho 0 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ X, f(x) = 0, ∀x ∈ A, f(x) = 1, ∀x ∈ B Hướng dẫn Chứng minh hàm f(x) = d(x,A) d(x,A) + d(x,B) cần tìm. 7