Toán học - Bài tập lý thuyết tô pô

BÀI TẬP LÝ THUYẾT TÔ PÔ Bài 1. Cho . Chứng minh rằng 1) 2) Lời giải. 1) Ta chứng minh (1) Ta có nên suy ra , do đó Ta chứng minh (2) Lấy bất kì thuộc và là một lân cận bất kì của , ta có: Mà nên ta có hoặc hoặc Hay là hoặc hoặc . Từ đó suy ra , suy ra Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 2) Ta có nên ta có . Từ đó suy ra Chú ý: Chiều ngược lại của bao hàm thức ở trên không đúng. Chẳng hạn trên đường thẳng thực ta xét hai tập . Bài 2. Cho không gian tô pô X; . Chứng minh rằng : 1) mở là lân cận của mọi điểm thuộc 2) mở 3) Lời giải. 1) Nếu là tập mở thì hiển nhiên là lân cận mở của mọi điểm thuộc nó Giả sử là lân cận của mọi điểm thuộc nó, ta chứng minh A mở. Thật vậy: Lấy bất kì thuộc , khi đó luôn có một tập mở của sao cho . Suy ra Mặt khác với bất kì thuộc thì nên suy ra Do đó ta có , mà là tập mở nên A là tập mở. 2) Giả sử là tập mở, ta chứng minh Hiển nhiên ta có: Vì mở và nên ta có Từ đó suy ra Giả sử Vì mở nên ta suy ra là tập mở hay là tập mở. 3) Ta có nên suy ra . Mà và là những tập mở nên ta có . Từ đó suy ra Bài 3. Cho là một song ánh liên tục. Chứng minh rằng các phát biểu sau là tương đương 1) là phép đồng phôi; 2) là ánh xạ đóng; 3) là ánh xạ mở. Lời giải. Ta chứng minh Giả sử là phép đồng phôi, khi đó ánh xạ là ánh xạ liên tục Lấy là một tập đóng bất kì trong , ta cần chứng minh đóng trong Đặt , ta có mở trong , mà là hàm liên tục nên là tập mở trong Mặt khác nên ta có là tập mở trong Suy ra là tập đóng trong , hay là ánh xạ đóng. Giả sử là ánh xạ đóng, ta chứng minh là ánh xạ mở Lấy là tập mở bất kí trong , đặt ta có là tập đóng trong Mà là ánh xạ đóng nên là tập đóng trong Do đó mở trong hay là ánh xạ mở Giả sử là ánh xạ mở, ta chứng minh ánh xạ là ánh xạ liên tục. Lấy là một tập mở bất kì trong , ta có . Mà là ánh xạ mở nên là tập mở trong Hay là hàm số liên tục. Vậy là phép đồng phôi. Bài 4. (Bài 1.1 tài liệu [1]) Cho tập và một họ tô pô trên . Chứng minh rằng là một tô pô trên . Lời giải. Vì nên Lấy hai tập bất kì , khi đó nên Suy ra . Giả sử họ , suy ra , do đó Suy ra . Vậy là một tô pô. Bài 5. (Bài 1.6 trong tài liệu [1]) Cho là một tập trù mật trong . Chứng minh rằng nếu là tập mở thì Lời giải. Xem lời giải bài 6 Bài 6. (Bài 1.6 trong tài liệu [1]) Cho là tập mở trong . Chứng minh rằng Lời giải. Ta có nên ta suy ra (1) Lấy bất kì thuộc , là một lân cận mở bất kì của . Ta có Do đó tồn tại suy ra và Mà là những tập mở nên là lân cận mở của , lại có nên ta suy ra được , tức là . Từ đó dẫn tới Do đó (2) Từ (1) và (2) ta suy ra . Bài 7. (Bài 1.9 trong tài liệu [1]) Chứng minh rằng nếu là các ánh xạ liên tục từ không gian topo vào không gian , thì tập là tập đóng. Lời giải. Để chứng minh đóng, ta chứng minh là tập mở Lấy ta có . Do là không gian nên tồn tại hai lân cận mở của và của sao cho . Đặt . Vì là các ánh xạ liên tục nên là tập mở Và . Tiếp theo ta chứng minh hay là Giả sử có , suy ra và Vì nên , nên , suy ra vô lí Vậy ta có là lân cận mở của và nên ta có được là tập mở hay là tập đóng. Bài 8. (Bài 1.16 trong tài liệu [1]) Cho là một tập vô hạn và . Chứng minh rằng a) là một topo b) là không gian c) Nếu A, B là hai tập mở khác rỗng thì d) Nếu A là tập vô hạn thì bao đóng của A là X e) Nếu là một topo trên X sao cho là không gian thì . Lời giải. a) Trước hết ta có và hữu hạn nên Lấy là một họ các tập bất kì thuộc . Khi đó ta có các trường hợp sau , khi đó nên Tồn tại chỉ số sao cho . Khi đó: hữu hạn Nên suy ra hữu hạn hay là Lấy hai tập bất kì thuộc , ta có các trường hợp sau Có ít nhất một trong hai tập là rỗng, khi đó nên , khi đó hữu hạn nên là tập hữu hạn Do đó . Vậy là một tô pô trên . b) Để chứng minh là không gian, ta chứng minh tập là tập đóng Lấy bất kì thuộc , đặt , khi đó là tập hữu hạn nên suy ra hay là tập mở. Suy ra là tập đóng. Vậy là không gian. c) Với là hai tập mở bất kì của , ta có là các tập hữu hạn nên là tập hữu hạn (1). Giả sử , ta có là tập vô hạn. Điều này mâu thuẫn với (1) Vậy . d) Hiển nhiên ta có Giả sử là tập con thực sự của (Tức là ). Khi đó tập là tập mở Suy ra là tập hữu hạn phần tử. Vô lí vì và là tạp vô hạn nên cũng là tập vô hạn. Vậy . e) Giả sử là một tập thuộc , ta cần chứng minh cũng là tập . , hiển nhiên , khi đó . Mà là không gia nên tập là tập đóng Do đó là tập đóng trong , tức là là tập đóng trong nên . Bài 9. (Bài 1.17 trong [1]) Giả sử là hai tập mở trong không gian tô pô với . Chứng minh rằng . Lời giải. Giả sử , khi đó tồn tại hay là và Vì nên có một tập mở thỏa nên có một tập mở thỏa Mặt khác và là lân cân của nên . Do đó tồn tại Vì mở nên là một lân cận của , lại có nên ta có trái với giả thiết Vậy . Bài 10. (Bài 2.1 trong [1])Cho là không gian com păc, là dãy các tập đóng thỏa và . Chứng minh rằng có tồn tại số tự nhiên để . Lời giải. Vì X com pắc và nên dãy các tập đóng là dãy không có tâm, do đó tồn tại các chỉ số sao cho . Đặt ta có Nên suy ra . Bài 11. (Bài 2.2 trong [1])Cho là không gian com păc, là dãy các tập đóng thỏa . Chứng minh rằng nếu mỗi tập thì . Lời giải. Giả sử , khi đó theo bài toán trên ta suy ra được tồn tại để . Điều này trái với giả thiết của bài toán. Bài 12. (Bài 3.2 trong [1])Cho là không gian com pắc, là không gian Hausdorff, liên tục, . Chứng minh rằng : . Lời giải. Vì là không gian com pắc, là không gian Hausdorff, liên tục nên là ánh xạ đóng, suy ra . Vì Hiển nhiên ta có . Từ đó ta có điều phải chứng minh. Bài 13. (Bài 2.6 trong [1]) Chứng minh rằng không gian tô pô X là liên thông khi và chỉ khi nếu , trong đó thì một trong hai tập là tập rỗng. Lời giải. Giả sử là liên thông và Ta có . Mà nên ta có là tập mở Tương tự là tập mở và hiển nhiên là . Vậy có hai tập mở A,B không giao nhau để , điều này tría với giả thiết X liên thông Do đó trong hai tập A và B có một tập là tập rỗng. Giả sử nếu , trong đó thì một trong hai tập là tập rỗng Nếu không liên thông, khi đó tồn tại hai tập mở khác rỗng, rời nhau sao cho Ta có nên , do đó theo giả thiết thì một trong hai tập hoặc phải là tập rỗng, điều này dẫn tới vô lí. Vậy liên thông. Bài 14. (Bài 2.12 trong [1]) Giả sử là hai tập liên thông trong không gian tô pô , với . Chứng minh rằng là tập liên thông. Lời giải. Đặt Ta có , mà là tập liên thông nên ta có là tập liên thông. Mặt khác : nên là tập liên thông.