Toán học - Chuyên đề II: Phương trình bậc hai một ẩn

CHUYÊN ĐỀ II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Dạng 1: Giải phương trình bậc hai. Bài 1: Giải các phương trình 1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) x2 – 2( - 1)x - 2 = 0. Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: 1) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 2) ( + 1)x2 + 2x + - 1 = 0 ; Bài tập: Giải các pt sau: 1) x2 – 4x + 2 = 0 ; 2) x2 + 2x + 4 = 3(x + ) ; Dạng 2: Giải phương trình bậc hai có chứa tham số . Phương pháp : Xét các trường hợp của hệ số a : - Nếu a = 0 thì tìm nghiệm phương trình bậc nhất . - Nếu a 0 thì tiến hành các bước sau: + Tính biệt số . + Xét các trường hợp của ( Nếu chứa tham số ). + Tìm nghiệm của phương trình theo tham số. Giải phương trình (m là tham số) : (m - 1)x2 - 2mx + m + 2 = 0 HDẫn : * m =1 : x = * m 1 : = 2 - m + m > 2 : Vô nghiệm. + m = 2 : x = 2 (nghiệm kép ) Bài tập: + m < 2 : ; Giải phương trình (m là tham số) : 1) (m - 1)x2 + 3mx + 2m + 1 = 0 2) x2 - 2(m + 1)x + 2(m + 5) = 0 Dạng 3: Tìm giá trị của tham số để phương trình có n kép,có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm,vô nghiệm Phương pháp: Điều kiện để phương trình bậc 2 có : - Nghiệm kép - Hai nghiệm phân biệt - Có nghiệm :+Xét a= 0 (Nếu a chứa tham số ) +Xét - Vô nghiệm : + Xét a= 0 + Xét Bài 1 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt : a) 2x2 - 4x + m = 0 (m < 2) Bài 2 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm kép : a) 3x2 - 2mx + 1 = 0 (m = ) Bài 3 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau vô nghiệm : a) 3x2 + 2mx + 4 = 0 (-2<m< 2) Bài tập: Bài 1: a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x). Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm. Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt. *Bài 2: Cho phương trình: . Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm. Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm. Dạng 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Chứng minh phương trình bậc 2 có nghiệm . Phương pháp : - Cách 1 : Chứng minh - Cách 2 : Chứng minh ac < 0 ( Chú ý : Cả 2 cách đều phải xét các trường hợp a = 0 và a 0 nếu a chứa tham số ) Bài 1 : CMR các phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m : a) x2 + (m + 1)x + m = 0 d) x2 + 4x - m2 + 4m - 9 = 0 Bài 2 : CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ) có nghiệm, biết rằng 5a + 2c = b . HDẫn : = b2 - 4ac = (5a + 2c)2 - 4ac = ( 4a + 2c)2 + 9a2 Bài 3 : Cho phương trình mx2 - (2m - 1)x + m = 0 (1) .Gọi là 2 nghiệm của phương trình (1) . Chứng minh rằng nếu thì phương trình (1) có nghiệm kép. HDẫn :+ + kết luận ? Bài tập: Bài 1 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm : a) mx2 - 2(m + 1)x + m + 3 = 0 b) (m2 - m)x2 + 2mx + 1 = 0 Bài 2 : CMR phương trình sau có nghiệm với mọi a, b, c : a) x.(x - a) + x.(x - b) + (x - a).(x - b) = 0 b) (x - a).(x - b) + (x - b).(x - c) + (x - c).(x - a) = 0 c) a.(x - b).(x - c) + b.(x - c).(x - a) + c.(x- a).(x - b) = 0 (Với a + b + c 0) HDẫn : a/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab = 0 =(a -)2+ b/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 c/ (a + b + c)x2 - 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0 = a2b2 + b2c2 + c2a2 - a2bc - ab2c - abc2 Bài 3: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. 1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 Bài 4: a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân biết: c) Chứng minh rằng phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. d) Chứng minh rằng phương trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm . Phương pháp : - Tính các biệt số . - Chứng minh hoặc để suy ra một biệt số không âm (Chú ý kết hợp giả thiết nếu có) Bài tập: Cho hai phương trình : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) và x2 + x - 2m - 10 = 0 (2) CMR : Với mọi m, ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm . HDẫn : 26 > 0 có 1 biệt số không âm . Bài tập: Bài 1 : Cho hai phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (1) và ax2 + bx - c = 0 (2) CMR với mọi a, b, c ít nhất 1 phương trình có nghiệm . HDẫn : 2 có 1 biệt số không âm . có 1 biệt số không âm . Bài 2: a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3) b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1) x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2) x2 - 4ax + b2 = 0 (3) x2 + 4bx + a2 = 0 (4) Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm. c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau): với a, b, c là các số dương cho trước. Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm. Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để pt có nghiệm x = a Tìm giá trị của tham số để phương trình bậc 2 nhận một số k (k R) cho trước làm nghiệm . Phương pháp : - Thay giá trị x = k vào phương trình tìm tham số. - Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào hoặc để tìm nghiệm còn lại (nếu cần). Bài 1 : Xác định giá trị của tham số m để phương trình : a) (3m + 4)x2 - (5m - 1)x + m - 3 = 0 nhận 3 làm nghiệm. ( m = - Bài 2 : Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 1.Tìm nghiệm còn lại : a) 2x2 - 3x + m = 0 ( m = 1 , ) Bài 3 : Cho phương trình (2m - 1)x2 - 4mx + 4 = 0 (1) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm bằng m. HDẫn :+ ta có : ; Phương trình có nghiệm bằng m thì + m = phương trình (1) có nghiệm x = 2 không thoả mãn. Bài 4 : Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên. HDẫn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 * m : m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 ; Bài 5 : Cho phương trình x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . Xác định m và n để phương trình có 2 nghiÖm lµ 3 vµ -2. HDÉn : Bµi 6 : T×m m, n ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt lµ : mx2 + (mn + 1)x + n = 0 HDÉn : Bài tâp. : a) Phương trình . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai. b) Phương trình có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai. c) Cho phương trình : , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình. d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Tìm giá trị của tham số để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung. Phương pháp : * Cách 1 : - Giả sử là nghiệm chung, lập hệ 2 phương trình ( ẩn x và tham số ) - Giải hệ phương trình tìm , tìm tham số . - Thử lại : Thay các giá trị của tham số vào từng phương trình, giải các phương trình, tìm nghiệm chung. Rút kết luận . * Cách 2 : - Rút tham số từ 1 phương trình đã cho - Thế giá trị của tham số vào phương trình còn lại tìm x . - Thay giá trị của x tìm m . - Rút kết luận . Ví dụ : Với giá trị nào của k thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung : x2 - (k + 4)x + k + 5 = 0 x2 - (k + 2)x + k +1 = 0 HDẫn : x= 2 ; k = 1 Bài 2: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bài 3: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó: 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0; Bài tâp. : Bài 1 : Tìm giá trị của m để hai phương trình sau đây có ít nhất 1 nghiệm chung. 2x2 + (3m - 5)x - 9 = 0 (1) 6x2 + (7m - 15)x - 19 = 0 (2) HDẫn : * Cách 1 : m x= 4 : + m = 0 : hai phương trình không có nghiệm chung. + m 0 : x= ; m = 4 hoặc m = * Cách 2 : (1) m = (x thay vào (2) : 4x2 - 10x + 6 = 0 ta có x= 1 ; x= . x= 1 m = 4 ( nghiệm chung là 1) . x= m = ( nghiệm chung là ) Bài 2 : Tìm giá trị của m để 2 phương trình : x2 + x + m - 2 = 0 (1) x2 + (m - 2)x + 8 = 0 (2) có nghiệm chung. HDẫn : (2) m = (x thay vào (1) : x3 - 8 = 0 x = 2 m = - 4 (nghiệm chung là 2) Bài 3: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó: a) 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0. b) 2x2 + mx – 1 = 0 c) x2 – mx + 2m + 1 = 0; Định giá trị của tham số để phương trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phương trình kia: Xét hai phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1) a’x2 + b’x + c’ = 0 (2) trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m. Định m để sao cho phương trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phương trình (1), ta có thể làm như sau: Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (1) thì kx0 là một nghiệm của phương trình (2), suy ra hệ phương trình: Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m. Thay các giá trị m vừa tìm được vào hai phương trình (1) và (2) để kiểm tra lại. Bài tập: Cho các phương trình: x2 – 5x + k = 0 (1) x2 – 7x + 2k = 0 (2) Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của phương trình (1). BTVN: Cho hai phương trình: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) x2 – mx + 10m = 0 (2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phương trình (1). Định giá trị của tham số m để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau. Xét hai phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4) Hai phương trình (3) và (4) tương đương với nhau khi và chỉ khi hai phương trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng). Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với nhau ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp cả hai phương trinhg cuùng vô nghiệm, tức là: Giải hệ trên ta tịm được giá trị của tham số. Trường hợp cả hai phương trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau: Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phương trình (*) có thể đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn như sau: Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm như sau: Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m. Tìm m thoả mãn y = x2. Kiểm tra lại kết quả. Bài tập : Cho hai phương trình: x2 + x + a = 0 x2 + ax + 1 = 0 Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung. Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương. BTVN: Cho hai phương trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2) Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung. Định m để hai phương trình tương đương. Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt