Tổng hợp đề thi cuối kì Đại số

TÀI LIỆU SINH VIÊN BÁCH KHOA SINHVIENDOC.COM ————- TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG ——oOo——- ĐỀ 01 Tổng hợp tài liệu được sưu tầm và soạn lại bởi HNT - Sinhviendoc.Com Câu 1. (2 điểm) Trong R - không gian vectơ R3 cho hệ vectơ. e1 = (1, 2, 1); e2 = (2, 1, 1); e3 = (3,−2, 0). (a). Chứng minh rằng hệ {e1, e2, e3} là một cơ sở của R3 (b). Tìm tọa độ của vectơ x = (0, 3, 11) đối với cơ sở {e1, e2, e3} Câu 2. (2 điểm) Trong không gian vectơ thực R3 cho tập con. W = { x = (α1, α2, α3) ∈ R3/α1 + 3α2 − α3 = 0 } Chứng minhW là một không gian vectơ con của R3, và tìm số chiều củaW. Câu 3. (2 điểm) Cho R3 [x] là R - không gian vectơ gồm các đa thức một ẩn x với hệ số thực, có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3. Cho ánh xạ f = R3 [x]→ R3 [x] xác định bởi f (p(x)) = 2p(x)− (x+ 1)p′(x) với mọi p(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ R3 [x]. (a) Chứng minh rằng f là một phép biến đổi tuyến tính. (b) Tìm Im( f ),Ker( f ). Câu 4. (2 điểm) Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3) = (6x1 − 2x2 + 2x3;−2x1 + 5x2; 2x1 + 7x3), ∀(x1, x2, x3) ∈ R3. (a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc của R3. (b) Tìm một cơ sở của R3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo. Câu 5. (2 điểm) Dùng phường pháp Lagrange để đưa ra dạng toàn phương sau về dạng chính tắc ω(x) = x21 + 2x 2 2 − 2x23 + 4x1x2 + 2x2x3 + 4x2x3 và tìm cơ sở tương ứng với dạng chính tắc đó. SINHVIENDOC.COM Tài liệu sinh viên Bách khoa ĐỀ 02 Học học nữa, học mãi, học mệt nghỉ Câu 6. (2 điểm) Trong không gian vectơ thực P2 [x] gồm các đa thức một ẩn x với hệ số thực, có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2, cho hệ vectơ {u0(x), u1(x), u2(x)}, trong đó u0(x) = 1, u1(x) = 1+ x, u2(x) = x+ x2 (a) Chứng minh hệ vectơ {u0(x), u1(x), u2(x)} là một cơ sở của P2 [x] (b) Tìm tọa độ của vectơ f (x) = 1+ 2x+ 3x2 đối với cơ sở {u0(x), u1(x), u2(x)} Câu 7. (2 điểm) Trong R - không gian vectơ R3, cho hai hệ cơ sở {e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 1), e3 = (1, 0, 0)} và { f1 = (2, 0, 2), f2 = (0, 2, 2), f3 = (3, 3, 0)} Tìm ma trận chuyển cơ sở từ {e1, e2, e3} sang cơ sở { f1, f2, f3} Câu 8. (2 điểm) Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, 2x1 + x2 + x3, 3x1 + 3x2) (a) Chứng minh f là một phép biến đổi tuyến tính và tìm hạt nhân của f . (b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của R3. Câu 9. (2 điểm) Cho phép biến đổi tuyến tính f trên R3 có ma trận theo cơ sở chính tắc của R3 là A =  7 3 310 6 4 8 4 6 . Tìm một cơ sở gồm các vectơ riieeng của f sao cho ma trận của f đối với cơ sở đó là ma trận chéo. Câu 10. (2 điểm) Trong R - không gian vectơ R4, cho dạng toàn phương ω(x) = α21+ 2α1α2+ 4α2α3 − 2α2α4. Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc và tìm cơ sở tương ứng với dạng chính tắc đó. SINHVIENDOC.COM Tài liệu sinh viên Bách khoa 2 ĐỀ 03 Học để kiếm học bống, lấy tiền học lại!!! Câu 11. (2 điểm) Trong R - không gian R3 cho hai hệ cơ sở {u1, u2, u3} và {v1, v2, v3}, với u1 = (1;−1; 2), u2 = (3; 2; 0), u3 = (1; 4; 1); v1 = (12; 8; 5), v2 = (−1; 2; 3), v3 = (8;−3; 5). Tìm ma trận chuyển từ hệ cơ sở {u1, u2, u3} sang hệ cơ sở {v1, v2, v3} Câu 12. (2 điểm) Trong R - không gian vecto R4, cho hệ vecto {u1, u2, u3, u4} với u1 = (0; 1; 1; 1), u2 = (1; 2; 3; 4), u3 = (−3; 1; 1; 2), u4 = (2; 4; 3; 1). Tìm hạng của vecto {u1, u2, u3, u4} Câu 13. (2 điểm)Gọi M2 là một không gian vecto các ma trận vuông cấp 2 trên trường số thực R và ánh xạ f được xác định như sau: f : M2 → M2( a b c d ) 7→ ( a+ 2b −b+ c a+ b+ c d ) , ∀ ( a b c d ) ∈ M2 (a) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính (b) Tìm Im f ,Ker f . Câu 14. (2 điểm) Cho phép biến đổi tuyến tính f trên R3 có ma trận theo cơ sở chính tắc của R3 là A =  2 4 11 1 −1 −2 4 5 . Tìm một cơ sở gồm các vecto riêng của f sao cho ma trận của f đối với cơ sở đó là ma trận ché. Câu 15. (2 điểm) Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc ω(x) = 9x21 + 6x 2 2 + 6x 2 3− 6x1x2+ 12x2x3− 6x1x3 và tìm cơ sở tương ứng với dạng chính tắc đó. SINHVIENDOC.COM Tài liệu sinh viên Bách khoa 3 ĐỀ 04 Nhớ mang tài liệu, điện thoại vào phòng thi, nhà trường sẽ đuổi học bạn! Câu 16. (2 điểm) Trong R - không gian R3 cho hai hệ cơ sở {u1, u2, u3} và {v1, v2, v3}, với u1 = (1; 3; 4), u2 = (1; 2; 3), u3 = (1; 5; 1); v1 = (2;−3; 1), v2 = 1;−1; 2), v3 = (3;−4; 1). Tìm ma trận chuyển từ hệ cơ sở {u1, u2, u3} sang hệ cơ sở {v1, v2, v3} Câu 17. (2 điểm) Trong không gian vectơ thực R3 cho tập con. W = { x = (α1, α2, α3) ∈ R3/α1 + 3α2 − α3 = 0 } Chứng minhW là một không gian vectơ con của R3, và tìm số chiều củaW. Câu 18. (2 điểm) Cho ánh xạ f : R4 → R4 xác định bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 + 2x2 + x3 − x4, 2x1 + x2 + x3 + x4, x1 − x2 + x3 + x4, 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4) (a) Chứng minh f là một phép biến đổi tuyến tính. (b) Tìm Im f ,Ker f . Câu 19. (2 điểm) Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3) = (6x1 − 2x2 + 2x3;−2x1 + 5x2; 2x1 + 7x3), ∀(x1, x2, x3) ∈ R3 (a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc R3. (b) Tìm một cơ sở của R3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo. Câu 20. (2 điểm) Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương sau trên không gian vecto R4 về dạng chính tắc ω(x) = α21 + 2α1α2 − 4α1α3 + 2α2α4 và tìm cơ sở tương ứng với dạng chính tắc đó. SINHVIENDOC.COM Tài liệu sinh viên Bách khoa 4