Tuyển tập đề thi cao học môn toán (1998 - 2010)

và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là (d1): 2x - 3y + 12 = 0 và (d2): 2x + 3y = 0 2) Cho hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng (d) có phương trình: (d) : a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) và đường thẳng AB cùng nằm trong một mặt phẳng. b) Tìm điểm I Î (d) sao cho AI + BI nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 104 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với a = 2. 2) Tìm a để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) tiếp xúc parabol y = x2 + 5. 3) Tìm quỹ tích giao điểm của tiệm cận xiên và tiệm cận đứng của (Cm). CÂU 2: (1,75 điểm) Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ phương trình với m = 4. 2) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m. CÂU 3: (1,75 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Chứng minh bất đẳng thức: với "n Î N, n > 2 CÂU 4: (1,5 điểm) 1) Cho n là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng lớn nhất nếu k là số tự nhiên không vượt quá . 2) CMR: CÂU 5: (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho parabol (P): y2 = 8x 1) Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. 2) Qua tiêu điểm kẻ đường thẳng bất kỳ cắt parabol tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng các tiếp tuyến với parabol tại A và B vuông góc với nhau. 3) Tìm quỹ tích các điểm M mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến với parabol, sao cho chúng vuông góc với nhau. ĐỀ SỐ 105 CÂU 1: (2 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (C) 2) Từ (C) suy ra đồ thị y = . Biện luận theo m số nghiệm phương trình: CÂU 2: (2,5 điểm) Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ phương trình với m = 1. 2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. 3) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. CÂU 3: (1,75 điểm) 1) DABC có đặc điểm gì nếu: 2) Giải phương trình: CÂU 4: (1,75 điểm) 1) Giải hệ phương trình: (Ở đây , lần lượt là số chỉnh hợp và tổ hợp chập k của n phần tử) 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các dường có phương trình: y = - và x2 + 3y = 0 CÂU 5: (2 điểm) Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình: (d1): kx - y + k = 0 (d2): (1 - k)x + 2ky - (1 + k) = 0 1) Chứng minh rằng khi k thay đổi (d1) luôn đi qua một điểm cố định. 2) Với mỗi giá trị của k, hãy xác định giao điểm của (d1) và (d2). 3) Tìm quỹ tích của giao điểm đó khi k thay đổi. ĐỀ SỐ 106 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) A là điểm trên đồ thị có hoành độ a. Viết phương trình tiếp tuyến ta của đồ thị tại điểm A. 3) Xác định a để ta đi qua điểm (1; 0). Chứng minh rằng có hai giá trị của a thoả mãn điều kiện của Câu toán, và hai tiếp tuyến tương ứng vuông góc với nhau. CÂU 2: (2 điểm) 1) Cho DABC là một tam giác bất kỳ. CMR với "x ta đều có: 1 + ³ cosA + x(cosB + cosC) 2) Giải và biện luận phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Chứng minh rằng với mọi DABC ta có: S = CÂU 4: (1 điểm) Tính tích phân: I = CÂU 5: (2,5 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho DABC đều cạnh a. Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C lần lượt lấy các điểm D và E nằm về cùng một phía đối với (P) sao cho BD = , CE = a. 1) Tính độ dài các cạnh AD, AE, DE của DADE. 2) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCE. 3) Gọi M là giao điểm của các đường thẳng ED và BC. Chứng minh đường thẳng AM vuông góc với mặt phẳng (ACE). Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (ABC). ĐỀ SỐ 107 CÂU 1: (3 điểm) Cho hàm số: y = 1) Xác định m để hàm số có 2 cực trị trong miền x > 0. 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số khi m = 1. 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C1) // (d): y = -x. 4) Dựa vào đồ thị (C1) biện luận số nghiệm của phương trình: 2x - 1 + . CÂU 2: (1,5 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm với "x: CÂU 3: (2 điểm) Cho phương trình: 2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x = m(sinx + cosx) 1) Giải phương trình khi m = 2. 2) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc . CÂU 4: (1,5 điểm) 1) Tính tích phân: I = 2) Có 6 học sinh nữ xếp theo một hàng dọc để đi vào lớp. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ hai học sinh bất kỳ cho nhau ta được một cách xếp mới). CÂU 5: (2 điểm) 1) Cho DABC biết A(2; -1) và hai đường phân giác của góc B, C có phương trình (dB): x - 2y + 1 = 0 và (dC): x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC. 2) Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(0; 1; 1) vuông góc với đường thẳng: (d1): và cắt đường thẳng (d2): ĐỀ SỐ 108 CÂU 1: (2 điểm) Cho hàm số: y = x4 - (m2 + 10)x2 + 9 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 0. 2) CMR: "m ¹ 0 (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. CMR: trong số các giao điểm đó có 2 điểm Î (-3; 3) và 2 điểm Ï (-3; 3). CÂU 2: (1,75 điểm) Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ phương trình với m = 12. 2) Xác định m để hệ có nghiệm. CÂU 3: (2,25 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác: sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 2) Giải phương trình: 3) Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần. CÂU 4: (1,5 điểm) Tính các tích phân sau: 1) I = 2) CÂU 5: (2,5 điểm) 1) Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. M là trung điểm của BC. Trên mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tia Ax ^ (ABC), My ^ (ABC), lấy tương ứng các điểm N và I (N Î Ax, I Î My) sao cho 2MI = NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng AH vuông góc với NI. 2) Cho hình chóp S.ABC đỉnh S có SA = SB = SC và cạnh đáy đều bằng a, đường cao hình chóp SH = h. a) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (P) qua cạnh đáy BC và vuông góc với cạnh bên SA. b) Nếu tỷ số thì mặt phẳng (P) chia thể tích hình chóp đã cho theo tỷ số nào ĐỀ SỐ 109 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = x4 - ax3 - (2a + 1)x2 + ax + 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0. 2) Tìm điểm A thuộc trục tung sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị ở phần 1. 3) Xác định a sao cho phương trình: x4 - ax3 - (2a + 1)x2 + ax + 1 = 0 có hai nghiệm khác nhau và lớn hơn 1. CÂU 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 1) Với các giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x ³ y. 2) Với các giá trị của m đã tìm được, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y. CÂU 3: (2 điểm) 1) Tìm các nghiệm x Î (0; p) của phương trình: 2) Giải hệ phương trình: CÂU 4: (1,5 điểm) Tính các tích phân sau: 1) I = 2) J = CÂU 5: (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz Cho đường thẳng (d) có phương trình là: và 3 điểm A(2; 0; 0), B(2; -1; 0), C(1; 0; 1) 1) Tìm trên đường thẳng (d) điểm S sao cho: SA + SB + SC đạt giá trị nhỏ nhất. 2) Tính thể tích hình chóp OABC. ĐỀ SỐ 110 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = x2(m - x) - m (1) 1) Chứng minh rằng đường thẳng: y = kx + k + 1 luôn luôn cắt đường cong (1) tại một điểm cố định. 2) Tìm k theo m để đường thẳng cắt đường cong (1) tại ba điểm phân biệt. 3) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng 1 < x < 2. CÂU 2: (2 điểm) 1) Cho hệ phương trình: . Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2) Giải bất phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: sin2x + sin23x - 3cos22x = 0 2) Cho a, b lần lượt là các cạnh đối diện với các góc A, B của DABC. Xác định dạng của DABC nếu có: (a2 + b2)sin(A - B) = (a2 - b2)sin(A + B). CÂU 4: (1,5 điểm) 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol: y = 4x - x2 với các đường tiếp tuyến với parabol này, biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua điểm M. 2) Tìm: L = CÂU 5: (2 điểm) 1) Lập phương trình đường thẳng qua P(2; -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng (d1): 2x - y + 5 = 0 và (d2): 3x + 6y - 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2). 2) Tìm tập hợp các điểm trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 2; 0) C(2; -3; 2). ĐỀ SỐ 111 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Chứng minh rằng (Cm) không có cực trị. 3) Tìm trên Oxy các điểm có đúng 1 đường của họ (Cm) đi qua. CÂU 2: (2 điểm) 1) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2) Giải hệ phương trình: CÂU 3: (1,5 điểm) 1) Giải phương trình: 2cosx - ½sinx½ = 1 2) Chứng minh rằng: CÂU 4: (2 điểm) 1) Tính tích phân: 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thiết lập tất cả bao nhiêu các số có chín chữ số khác nhau? Hỏi trong các số đã thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9 đúng ở vị trí chính giữa? CÂU 5: (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho ba điểm I(0; 1; 2), A(1; 2; 3), B(0; 1; 3). 1) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I qua điểm A. Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua điểm B có vectơ pháp tuyến = (1; 1; 1) 2) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn (C). 3) Tìm tâm và bán kính của (C). ĐỀ SỐ 112 CÂU 1: (2 điểm) Cho hàm số: y = 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho toạ độ của các điểm đó là các số nguyên. 3) Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ M tới trục hoành gấp hai lần khoảng cách từ M tới trục tung. CÂU 2: (2 điểm) 1) Cho hàm số: y = (0 < a ¹ 1) a) Tìm miền xác định của hàm số khi m = 2. b) Tìm m để hàm số xác định với "x ³ 1. 2) Giải bất phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Cho DABC có: Chứng minh rằng DABC vuông 2) Chứng minh đẳng thức: Áp dụng CMR: CÂU 4: (2 điểm) Cho In = với n = 0, 1, 2, ... 1) Tính I0 2) Tính In + In + 1 CÂU 5: (2 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. 1) Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD khi SA = 2a. 2) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) và đặt CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m, và n để các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 450. ĐỀ SỐ 113 CÂU 1: (2,5 điểm) 1) Tìm m để (C): y = có cực trị. 2) Vẽ đồ thị khi m = 1, từ đó suy ra đồ thị y = và biện luận số nghiệm phương trình: = a. 3) Tìm m để hàm số ở phần 1) đồng biến trên (1; +) CÂU 2: (1,75 điểm) 1) Cho phương trình: x2 - (2cosa - 3)x + 7cos2a - 3cosa - = 0 Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm kép 2) Giải phương trình: CÂU 3: (1,75 điểm) 1) Chứng minh rằng với 5 số a, b, c, d, e bất kỳ, bao giờ ta cũng có: a2 + b2 + c2 + e2 ³ a(b + c + d + e) 2) Cho a £ 6, b £ -8, c £ 3. Chứng minh rằng với "x ³ 1 ta đều có: x4 - ax2 - bx ³ c CÂU 4: (2 điểm) 1) Tính giới hạn: 2) Chứng minh rằng: CÂU 5: (2 điểm) Cho họ đường thẳng (da): phụ thuộc vào tham số a là: (da): x.cosa + y.sina + 1 = 0 1) Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ đều tiếp xúc với một đường tròn cố định. 2) Cho điểm I(-2; 1). Dựng IH vuông góc với (da) (H Î (da)) và kéo dài IH một đoạn HN = 2HI. Tính toạ độ của N theo a. ĐỀ SỐ 114 CÂU 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (C) 2) Tìm M Î (C) để khoảng cách từ M đến đường thẳng (D): y + 3x + 6 = 0 nhỏ nhất. CÂU 2: Cho phương trình: x2 - 2kx + 2k2 + (k ¹ 0) 1) Tìm k để phương trình có nghiệm. Khi đó gọi x1, x2 là nghiệm. 2) Đặt E = . Tìm k để biểu thức E a) Đạt giá trị lớn nhất. b) Đạt giá trị nhỏ nhất. CÂU 3: 1) Giải phương trình: 2) Chứng minh rằng DABC đều khi và chỉ khi: sin2A + sin2B + sin2C = CÂU 4: 1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = 2) Cho a > 0. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình: y = và y = CÂU 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, độ dài các cạnh AB = 2a; BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a. 1) Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a. 2) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB và CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho AK = . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a. ĐỀ SỐ 115 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = (1) 1) Xác định tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị hàm số trong trường hợp đó. 2) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu thoả mãn điều kiện: . 3) Giả sử m ¹ 0 và m ¹ 1. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (1) tại giao điểm của nó với trục tung luôn cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ bằng 1. CÂU 2: (1,75 điểm) Cho phương trình: 1) Giải phương trình với m = -3. 2) Tìm m để phương trình có nghiệm. CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Cho a > b > 0; x > y, x Î N, y Î N. Chứng minh rằng: CÂU 4: (1,75 điểm) 1) Tìm họ nguyên hàm: I = 2) Tìm các số âm trong dãy số: x1, x2, ..., xn, ... với: (n = 1, 2, 3, ...) CÂU 5: (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt có phương trình: (d1): (d2): (t Î R) 1) Viết phương trình hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau. 2) Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa d2 và song song với d1. 3) Tính khoảng cách giữa d1 và d2. ĐỀ SỐ 116 CÂU 1: (2 điểm) Cho hàm số: y = với m ¹ 0 1) Xác định giá trị của m để đồ thị của hàm số nhận điểm I(1; 0) làm tâm đối xứng. 2) Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng y = 2 mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số ứng với giá trị của m = 1. CÂU 2: (2 điểm) 1) Tìm m để phương trình: 0 có nghiệm duy nhất. 2) Giải bất phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Cho x, y Î . Chứng minh bất đẳng thức: CÂU 4: (2 điểm) 1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần. 2) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. CÂU 5: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy Cho 2 Elip có phương trình: và 1) Viết phương trình của đường tròn đi qua giao điểm của hai Elip. 2) Viết phương trình của các tiếp tuyến chung của hai Elip. ĐỀ SỐ 117 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. 2) Chứng minh rằng tiếp tuyến từ M bất kỳ thuộc đồ thị ở (C) luôn tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. 3) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua (d): x + 2y + 8 = 0. CÂU 2: (1,75 điểm) 1) Tìm m để bất phương trình: đúng với "x > 0 2) Giải phương trình: CÂU 3: (1,5 điểm) Cho phương trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 1) Giải phương trình với m = . 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x Î . CÂU 4: (2,5 điểm) 1) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 345? 2) Tính tích phân sau: I = 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2, y = và y = CÂU 5: (1,75 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB = a, BC = b, AA' = c. 1) Tính diện tích của tam giác ACD' theo a, b, c. 2) Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích tứ diện DD'MN theo a, b, c. ĐỀ SỐ 118 CÂU 1: (2 điểm) Cho hàm số: y = (a là tham số) 1) Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu. 2) Giả sử hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1, x2. Chứng minh rằng £ 18 "a. CÂU 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ phương trình khi a = 1. 2) Tìm a để hệ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. 3) Gọi (x1; y1), (x2; y2) là các nghiệm của hệ đã cho. Chứng minh rằng: CÂU 3: (1 điểm) Giải phương trình lượng giác: sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx CÂU 4: (2 điểm) 1) Tính tích phân: I = 2) Tính giới hạn: CÂU 5: ( 3 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz xét ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0. 1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC ). 2) Xác định các toạ độ của điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ O lên mặt phẳng (ABC). Tính độ dài OH. 3) Tính diện tích DABC. 4) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng vẫn thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = k2 với k > 0 cho trước. Khi nào thì DABC có diện tích lớn nhất? Chứng minh rằng khi đó đoạn OH cũng có độ dài lớn nhất. ĐỀ SỐ 119 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (0; +). 3) Chứng minh rằng với "m ¹ 1, các đường cong (1) đều tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. CÂU 2: (2 điểm) 1) Tìm m để hệ sau có nghiệm: 2) Giải hệ phương trình: CÂU 3: (1 điểm) Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. CÂU 4: (2 điểm) Cho tích phân: In = n Î N* 1) Tính I3 và I4. 2) Thiết lập hệ thức giữa In và In - 2 với n > 2. Từ đó tính I11 và I12. CÂU 5: (2,5 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. trên AB lấy điểm M, trên CC' lấy điểm N, trên D'A' lấy điểm P sao cho AM = CN = D'P = x (0 £ x £ a). 1) Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều. Tính diện tích DMNP theo a và x. Tìm x để diện tích ấy là nhỏ nhất. 2) Khi x = hãy tính thể tích khối tứ diện B'MNP và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ấy. ĐỀ SỐ 120 CÂU 1: (2,5 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (C) 2) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm M bất kỳ Î (C) đến các tiệm cận là 1 hằng số. 3) Tìm trên mỗi nhánh của (C) một điểm khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất. CÂU 2: (1,75 điểm) Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ phương trình với m = -1. 2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Tam giác ABC có AB = AC = b, BC = a. Biết đường tròn nội tiếp tam giác đi qua trung điểm E của đường cao AH. Chứng minh: 3a = 2b; Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác theo a. CÂU 4: (1,75 điểm) 1) Tính tích phân: I = 2) Chứng minh rằng: CÂU 5: (2 điểm) 1) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh trên ba đường thẳng sau: 5y = x - 2; y = x + 2; y = 8 - x 2) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; -1) cắt đường thẳng: (d): tại hai điểm A, B sao cho AB = 16 ĐỀ SỐ 121 CÂU 1: (2 điểm) Cho hàm số: y = 4x3 + (a + 3)x2 + ax 1) Tuỳ theo các giá trị của a, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số. 2) Xác định a để £ 1 khi £ 1. CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải và biện luận phương trình: x + 2) Giải hệ phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2) Chứng minh bất đẳng thức sau: x4 + y4 + z2 + 1 ³ 2x(xy2 - x + z + 1) CÂU 4: (2 điểm) 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 5 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà số đó nếu có mặt số 1 và số 6 thì hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? 2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = CÂU 5: (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz có các đường thẳng: (D): (D): 1) Với a cho trước, hãy xác định phương trình mặt phẳng (P) đi qua (D) và song song với (D). 2) Xác định a để tồn tại một mặt phẳng (Q) đi qua (D) và vuông góc với (D). Khi đó hãy viết phương trình của mặt phẳng (Q) đó. ĐỀ SỐ 122 CÂU 1: (2 điểm) Cho hàm số: y = 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi a = 1, b = -4, c = 8. 2) Xác định a, b, c biết rằng hàm số có đạt cực trị bằng 1 khi x = 1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = . CÂU 2: (1 điểm) Tìm m để hệ sau có nghiệm: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Giải phương trình: CÂU 4: (2 điểm) Đặt I = và J = 1) Tính I - 3J và I + J. 2) Từ các kết quả trên, hãy tính các giá trị của I, J và K = CÂU 5: (3 điểm) Cho góc tam diện vuông Oxyz. trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C có OA = a, OB = b, OC = c (a, b, c > 0). 1) Chứng minh rằng DABC có ba góc nhọn. 2) Gọi H là trực tâm của DABC. Chứng minh OH ^ (ABC). Hãy tính OH theo a, b, c. 3) Chứng minh rằng bình phương diện tích DABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện OABC. ĐỀ SỐ 123 CÂU 1: (2 điểm) Cho các đường: y = - (P) y = m(x - 3) (T) 1) Tìm m để (T) là tiếp tuyến của (P). 2) Chứng minh rằng họ (T) đi qua một điểm cố định A thuộc (P). 3) Gọi A, B, C là các giao điểm của (P) và (T). Hãy tìm m để OB ^ OC (O là gốc toạ độ). CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải và biện luận phương trình: 2) Biết: a.cosx + b.cos2x + c.cos3x = 0 với "x. Chứng minh rằng: a = b = c = 0. CÂU 3: (1,75 điểm) Cho phương trình: (1 - a)tg2x - 1) Giải phương trình khi a = . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng . CÂU 4: (2 điểm) 1) Cho k và n là các số nguyên thoả mãn: 0 £ k £ n. Chứng minh rằng: . 2) Gọi (D) là miền được giới hạn bởi các đường y = -3x + 10; y = 1; y = x2 (x > 0). Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo nên khi (D) quay xung quanh trục Ox. CÂU 5: (2,25 điểm) Cho Hypebol (H): . Gọi (d) là đường thẳng qua O có hệ số góc k, (d') là đường thẳng qua O và vuông góc với (d). 1) Tìm điều kiện đối với k để (d) và (d') đều cắt (H). 2) Tính theo k diện tích hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (d), (d') và (H). 3) Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 124 CÂU 1: (2 điểm) Cho các đường: y = (H) y = -x + m (T) 1) Xác định m để (T) cắt (H) tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng: y = x + 3. 2) Tìm các giá trị k sao cho trên (H) có hai điểm khác nhau P, Q thoả mãn điều kiện: . Chứng minh rằng khi đó P và Q cùng thuộc một nhánh của (H). CÂU 2: (2 điểm) 1) Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của F = (x - 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 theo a 2) Tìm m để phương trình: có nghiệm duy nhất CÂU 3: (1,5 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác: 2cos2x + sin2x.cosx + cos2x.sinx= 2(sinx + cosx) 2) Chứng minh rằng: CÂU 4: (1,5 điểm) 1) Xác định các số A, B, C sao cho: 2) Tính diện tích S(t) hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số: y = trên đoạn [0; t] (t > 0) và trục hoành. Tìm CÂU 5: (3 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.AA'B'C'D' với A'(0; 0; 0) B'(a; 0; 0), D'(0; b; 0), A(0; 0; c) trong đó a, b, c > 0. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, B'C', C'D', DD'. 1) Viết phương trình tham số của hai đường thẳng PR, QS. 2) Xác định a, b, c để hai đường thẳng PR, QS vuông góc với nhau. 3) Chứng minh rằng hai đường thẳng PR, QS cắt nhau. 4) Tính diện tích tứ giác PQRS. ĐỀ SỐ 125 CÂU 1: (3 điểm) Cho hàm số: y = (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 0. 2) Tìm m để hàm số có cực trị. Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu. 3) Tìm m để tích các tung độ điểm cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. CÂU 2: (1 điểm) Cho hệ phương trình: Gọi (x, y) là nghiệm của hệ. Xác định a để tích xy là nhỏ nhất CÂU 3: (2 điểm) 1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2) Không dùng máy tính chứng minh rằng: log23 > log34 CÂU 4: (2 điểm) 1) Cho hàm số: f(x) = ax + b với a2 + b2 > 0. Chứng minh rằng: 2) Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau. CÂU 5: (2 điểm) Cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến (D). Trên (D) lấy đoạn AB = a (a là độ dài cho trước). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (D) và ở trong (P) lấy điểm M với AM = b (b > 0). Trên nửa đường thẳng Bt vuông góc với (D) và ở trong (Q) lấy điểm N sao cho BN = 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMN) theo a, b. 2) Tính MN theo a, b. Với những giá trị nào của b thì MN có độ dài cực tiểu. Tính độ dài cực tiểu đó. ĐỀ SỐ 126 CÂU 1: (3 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: 3) Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm: - ax + a - 1 = 0 CÂU 2: (2 điểm) 1) Tìm m để hệ sau có nghiệm: 2) Giải hệ phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: sin2x + cos2x + tgx = 2 2) Cho DABC có các cạnh BC = a, CA = b và các góc A, B, C thoả mãn hệ thức: a + b = (atgB + btgA)tg. Chứng minh rằng DABC cân hoặc vuông CÂU 4: (1 điểm) Parabol (P): y2 = 2x chia diện tích hình tròn (C) tâm O bán kính 2 theo tỷ số nào? CÂU 5: (2 điểm) 1) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 + 4x + 3 = 0 và (C2): x2 + y2 - 8x + 12 = 0. Xác định phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên. 2) Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(-4; -5; 3) và cắt hai đường thẳng: (d1): (d2): ĐỀ SỐ 127 CÂU 1: (3 điểm) Cho hàm số: y = với m ¹ -1 1) Với các giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0; 2) 2) Xác định tiệm cận xiên của đồ thị. Chứng minh rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định. 3) Tìm m > 0 để tâm đối xứng nằm trên parabol y = x2 + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với giá trị m tìm được. 4) Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó ta có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số ở phần 3. CÂU 2: (2 điểm) 1) Chứng minh rằng không tồn tại m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: m.4x + (2m + 3)2x - 3m + 5 = 0 2) Giải phương trình: CÂU 3: (2 điểm) Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)2 - 3sin2x + m 1) Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3. 2) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x). Từ đó tìm m sao cho f2(x) £ 36 "x CÂU 4: (1 điểm) Tính tích phân: I = CÂU 5: (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đường thẳng D1, D2 có phương trình: (D1): (D2): (t, t' Î R) 1) Chứng minh rằng hai đường thẳng D1, D2 chéo nhau. 2) Viết phương trình các mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và lần lượt đi qua D1 D2. 3) Tính khoảng cách giữa D1 và D2 . ĐỀ SỐ 128 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên, từ đó suy ra đồ thị của hàm số: y = 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (1) biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng: 3y - x + 6 = 0. 3) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x2 + (3 - a)x + 3 - 2a = 0 (2) và so sánh các nghiệm đó với số -3 và -1. CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + 3 = m CÂU 3: (1,5 điểm) Xét phương trình: sin4x + cos4x = m (m là tham số) 1) Xác định m để phương trình có nghiệm. 2) Giải phương trình đó khi m = . CÂU 4: (2 điểm) 1) Tính tích phân: I = 2) Chứng minh rằng: với n là số tự nhiên, n ³ 2 ta có: CÂU 5: (2 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại các đỉnh A và D. Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a, (a > 0). Cạnh bên SA = 3a vuông góc với đáy. 1) Tính diện tích tam giác SBD theo a. 2) Tính thể tích tứ diện SBCD theo a. ĐỀ SỐ 129 CÂU 1: (2,5 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (C) 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với: x + 4y - 1 = 0 3) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: CÂU 2: (1,5 điểm) Chứng minh rằng với "m hệ sau luôn có nghiệm: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca > (a2 + b2 + c2) CÂU 4: (1,5 điểm) Tính diện tích phần mặt phẳng hữu hạn được giới hạn bởi các đường thẳng: x = 0, x = , trục Ox và đường cong y = CÂU 5: (2,5 điểm) 1) Cho hai đường tròn tâm A(1; 0) bán kính r1 = 4 và tâm B(-1; 0) bán kính r2 = 2 a) Chứng minh rằng hai đường tròn đó tiếp xúc trong với nhau. b) Tìm tập hợp tâm I(x, y) của các đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn trên. Tập hợp đó gồm những đường gì? 2) Cho Elip: 4x2 + 9y2 = 36 điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt Elip tại hai điểm M1, M2 sao cho MM1 = MM2 ĐỀ SỐ 130 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho parabol: y = x2 + (2m + 1)x + m2 - 1 1) Tìm quỹ tích đỉnh của parabol khi m biến thiên. 2) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x với parabol không phụ thuộc vào m. 3) Chứng minh rằng với "m parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. CÂU 2: (1,75 điểm) 1) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 2) Giải bất phương trình: CÂU 3: (1,75 điểm) 1) Giải phương trình: sin2x + sin22x + sin23x = 2 2) Tính số đo các góc của DABC, biết rằng: cosA = sinB + sinC - CÂU 4: (1,5 điểm) 1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345? CÂU 5: (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Biết A'(0; 0; 0), B'(a; 0; 0) D'(0; a; 0), A(0; 0; a) trong đó a > 0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B'C'. 1) Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD'. 2) Tính thể tích tứ diện AMND'. 3) Tính góc và khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BD'. ĐỀ SỐ 131 CÂU 1: (2 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x + 1 + 2) Từ đồ thị trên, hãy suy ra số nghiệm x Î của phương trình: sinx + cosx + tuỳ theo giá trị của tham số m CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải và biện luận phương trình: 2) Giải bất phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Tìm các nghiệm x Î của phương trình: sin 2) Chứng minh rằng với 4 số thực bất kỳ x1, x2, x3, x4 ta luôn có: a) b) CÂU 4: (2 điểm) 1) Tính tích phân sau: I = 2) Cho A là một tập hợp có 20 phần tử. a) Có bao nhiêu tập hợp con của A? b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? CÂU 5: (2 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của BC và DD'. 1) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (A'BD). 2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN theo a. ĐỀ SỐ 132 CÂU 1: (2,5 điểm) 1) Cho hàm số: y = . Chứng minh rằng nếu y'(x0) = 0, thì ta có: 2) Chứng minh rằng nếu hàm số: y = (1) đạt cực đại tại x1 và cực tiểu tại x2 thì ta có: . 3) Kiểm tra lại kết quả trong phần 2) bởi việc khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m = 2. CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2) Tìm a, b để phương trình sau có nghiệm duy nhất: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: cos3x + 2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của DABC và a + b = tg Thì DABC cân. CÂU 4: (1,5 điểm) Tính nguyên hàm: CÂU 5: (2 điểm) 1) Nếu Elip: nhận các đường thẳng 3x - 2y - 20 = 0 và x + 6y - 20 = 0 làm tiếp tuyến, hãy tính a2 và b2. 2) Cho Elip (E). Tìm quan hệ giữa a, b, k, m để (E) tiếp xúc đường thẳng y = kx + m. 3) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: (d1): (d2): ĐỀ SỐ 133 CÂU 1: (3 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2) Tìm tập hợp các điểm N(x, y) thoả mãn: 3) Biện luận theo m số nghiệm x Î [0; p] của phương trình: cos2x + (m - 1)cosx + m + 2 = 0 CÂU 2: (1 điểm) Xác định tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Cho a > 0. Chứng minh rằng: xn + (a - x)n ³ 2 CÂU 4: (2 điểm) 1) Tính tích phân: I = tuỳ theo m. 2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số: y = CÂU 5: (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z = 0 và đường thẳng (d) có phương trình: 1) Xác định giao điểm A của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P). 2) Viết phương trình của đường thẳng (D) đi qua A, vuông góc với đường thẳng (d) và nằm trong mặt phẳng (P). ĐỀ SỐ 134 CÂU 1: (2 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = x3 - 3x2 - 9x + 1 2) Tìm điều kiện đối với a và b sao cho đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị trên tại 3 điểm khác nhau A, B, C với B là điểm giữa của đoạn AC. CÂU 2: (2 điểm) 1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x2 + 2 £ 0 2) Giải bất phương trình: CÂU 3: (2 điểm) Cho phương trình: sin6x + cos6x = asin2x 1) Giải phương trình khi a = 1. 2) Tìm a để phương trình có nghiệm. CÂU 4: (2 điểm) 1) Từ các chữ cái của Câu : "TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT" có bao nhiêu cách xếp một từ (từ không cần có nghĩa hay không) có 6 chữ cái mà trong từ đó chữ "T" có mặt đúng 3 lần, các chữ khác có mặt không quá một lần và trong từ đó không có chữ "Ê". 2) Tính tích phân sau: I = CÂU 5: (2 điểm) Cho các đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và (Cm): x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4my = 5. 1) Chứng minh rằng có hai đường tròn , tiếp xúc với đường tròn (C) ứng với 2 giá trị m1, m2 của m. 2) Xác định phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn và . ĐỀ SỐ 135 CÂU 1: (2 điểm) Cho hàm số: y = 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0. 2) Xác định a để đường tròn có tâm ở gốc toạ độ và tiếp xúc với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có bán kính lớn nhất. CÂU 2: (2 điểm) 1) Tìm điều kiện của y để bất phương trình sau đúng với "x Î R > 0 2) Giải bất phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 3cosx + 4sinx + 2) Chứng minh rằng: "x, y, z ta có: 19x2 + 54y2 + 16z2 + 36xy - 16xz - 24yz ³ 0 CÂU 4: (2 điểm) 1) Chứng minh rằng phương trình: 5x5 + 4x4 + 6x3 - 2x2 + 5x + 4 = 0 có nghiệm. 2) Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng: CÂU 5: (2 điểm) Trong không gian, cho đoạn OO' = h không đổi và hai nửa đường thẳng Od, O'd' cùng vuông góc với OO' và vuông góc với nhau. Điểm M chạy trên Od, điểm N chạy trên O'd' sao cho ta luôn có OM2 + O'N2 = k2, k cho trước. 1) Chứng minh rằng MN có độ dài không đổi. 2) Xác định vị trí của M trên Od, N trên O'd' sao cho tứ diện OO'MN có thể tích lớn nhất. ĐỀ SỐ 136 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = x3 - 3ax2 + 4a3 1) Với a > 0 cố định, hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Xác định a để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị là đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. 3) Xác định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A, B, C với AB = AC. CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2) Giải và biện luận bất phương trình: < x - 2 CÂU 3: (1,5 điểm) Cho phương trình lượng giác: sin4x + cos4x = msin2x - (1) 1) Giải phương trình (1) khi m = 1. 2) Chứng minh rằng với mọi tham số m thoả mãn điều kiện ³ 1 thì phương trình (1) luôn luôn có nghiệm. CÂU 4: (1,5 điểm) Cho một hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 27, diện tích toàn phần bằng 9t và các cạnh lập thành một cấp số nhân. 1) Tính các cạnh của hình hộp đó khi a = 6. 2) Xác định t để tồn tại hình hộp chữ nhật có các tính chất nêu trên. CÂU 5: (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đường thẳng D1, D2 có phương trình: D1: D2: 1) Viết phương trình các mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và lần lượt đi qua D1 và D2. 2) Tính khoảng cách giữa D1 và D2 3) Viết phương trình đường thẳng D song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng D1 và D2 ĐỀ SỐ 137 CÂU 1: (3 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (C). Từ đó suy ra đồ thị hàm số: y = 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 - (m + 1)x + m + 1 = 0 3) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt Î [-3; 0]: CÂU 2: (1 điểm) Giải và biện luận phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 8sinx = 2) Cho a3 > 36 và abc = 1. Chứng minh rằng: CÂU 4: (1,5 điểm) Chứng minh rằng: xn = CÂU 5: (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA= a. Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ACM = a. Hạ SN ^ CM. 1) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo a và a. 2) Hạ AH ^ SC, AK ^ SN. Chứng minh rằng SC ^ (AHK) và tính độ dài đoạn HK. ĐỀ SỐ 138 CÂU 1: (3 điểm) Cho hàm số: y = 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đường thẳng y = x - 1. 3) Dùng đồ thị đã vẽ được ở phần 1), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: z4 - mz3 + (m + 2)z2 - mz + 1 = 0 (m là tham số) CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Giải và biện luận phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác: cos3x - 2cos2x + cosx = 0 2) Cho DABC thoả mãn hệ thức: tgA + tgB = 2cotg. Chứng minh DABC cân. CÂU 4: (1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: CÂU 5: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho Elip: (E) và hai đường thẳng: (D): ax - by = 0; (D'): bx + ay = 0; Với a2 + b2 > 0. Gọi M, N là các giao điểm của (D) với (E); P, Q là các giao điểm của (D') với (E). 1) Tính diện tích tứ giác MPNQ theo a và b. 2) Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích tứ giác MPNQ nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 139 CÂU 1: (2,25 điểm) Cho hàm số: y = x3 - 3mx2 + (m2 + 2m - 3)x + 4 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số với m = 1. 2) Viết phương trình Parabol qua cực đại, cực tiểu của (C1) và tiếp xúc y = -2x + 2. 3) Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của Oy. CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải và biện luận hệ phương trình: 2) Giải bất phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Chứng minh rằng nếu x > 0, "n Î Z+ ta luôn có: ex > 1 + CÂU 4: (1,5 điểm) Chứng minh: Áp dụng tính tích phân: I = CÂU 5: (2,25 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình: d1: d2: 1) Chứng minh rằng đó là hai đường thẳng chéo nhau. 2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 3; 1) và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2. ĐỀ SỐ 140 CÂU 1: (2 điểm) Cho hàm số: y = x4 - 6bx2 + b2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với b = 1. 2) Với b là tham số, tuỳ theo b hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 1] CÂU 2: (2 điểm) 1) Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: ax2 + x + 1 = 0 và x2 + ax + 1 = 0 2) Giải bất phương trình: (a là tham số > 0, ¹ 1) CÂU 3: (2 điểm) Cho phương trình: (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 - 4cos2x (1) 1) Giải phương trình (1) với m = 1. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm thoả mãn điều kiện: 0 £ x £ p. CÂU 4: (1 điểm) Cho In = . Chứng minh rằng: In = In - 1 CÂU 5: (3 điểm0 Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a, SC ^ (ABC), DABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a). 1) Tính độ dài đoạn thẳng MN. 2) Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất. 3) Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. ĐỀ SỐ 141 CÂU 1: ( 3 điểm) Cho hàm số: y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C0) của hàm số ứng với m = 0. 2) Tìm điều kiện đối với a và b để đường thẳng (D): y = ax + b cắt đồ thị (C0) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho B cách đều A và C. Chứng minh rằng khi đó (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định I. 3) Tìm quỹ tích các điểm cực trị của (Cm). Xác định các trong mặt phẳng toạ độ là điểm cực đại ứng với giá trị này của m và là điểm cực tiểu ứng với giá trị khác của m. CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Xác định m để phương trình sau có nghiệm x1, x2 thoả mãn : CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác: tg2x - tg3x - tg5x = tg2x.tg3x.tg5x 2) Chứng minh nếu a, b, c > 0 thì: CÂU 4: (1 điểm) Tính tích phân: I(m) = CÂU 5: (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đường thẳng: D1: D2: 1) Chứng minh rằng đó là hai đường thẳng chéo nhau. 2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó. 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 3; 1) và cắt cả hai đường thẳng D1 và D2. ĐỀ SỐ 142 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = -1. 2) Chứng minh rằng tiệm cận xiên của (1) luôn qua một điểm cố định với "a. 3) Với giá trị nào của a thì đồ thị của (1) tiếp xúc với đường thẳng y = a. CÂU 2: (2 điểm) Cho phương trình: 1) Giải phương trình với m = 2. 2) Giải và biện luận phương trình theo m. CÂU 3: (1 điểm) Giải phương trình lượng giác: sinx + cosx + cos2x - 2sinx.cosx = 0 CÂU 4: (2 điểm) 1) Cho hai phương trình: x2 + 3x + 2m = 0 x2 + 6x + 5m = 0 Tìm tất cả các giá trị của m để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = CÂU 5: (2,5 điểm) 1) Viết phương trình các cạnh của DABC biết đường cao và phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là: (d1): 3x - 4y + 27 = 0 và (d2): x + 2y - 5 = 0 2) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB'. chứng minh rằng MN vuông góc với AC. 3) Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm O sao cho: Chứng minh rằng điểm O đó là duy nhất. ĐỀ SỐ 143 CÂU 1: ( 3 điểm) Cho (C) là đồ thị hàm số: y = x + 1) Xác định các tiệm cận của đồ thị (C). 2) Với những giá trị nào của m thì phương trình: x + = m có nghiệm? 3) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x = 2. 4) Tìm quỹ tích các điểm trên trục tung Oy sao cho từ đó có thể kẻ được ít nhất một đường thẳng tiếp xúc với (C). CÂU 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ phương trình với m = 4. 2) Tìm m để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm. CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2) Chứng minh rằng nếu DABC có ba góc A, B, C thoả mãn điều kiện: sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C Thì DABC đều. CÂU 4: (1 điểm) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số chia hết cho 3 và gồm 5 chữ số khác nhau? CÂU 5: (2 điểm) 1) Gọi đường tròn (T) là giao tuyến của mặt cầu: (x - 3)2 + (y + 2)2 - (z - 1)2 = 100 với mặt phẳng: 2x - 2y - x + 9 = 0. Xác định toạ độ tâm và bán kính của (T). 2) Cho DABC với A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Tính độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B. ĐỀ SỐ 144 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 3. 2) Chứng minh rằng với "m, đồ thị hàm số (Cm) đã cho luôn luôn cắt đồ thịy = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. 3) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt đường y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau. CÂU 2: (2 điểm) Cho phương trình: = m 1) Giải phương trình với m = 3. 2) Tìm m để phương trình có nghiệm. CÂU 3: (2 điểm) 1) Tìm tất cả các nghiệm của pt: sinxcos4x + 2sin22x = 1 - 4 thoả mãn hệ bất phương trình: 2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x) = 5cosx - cos5x trên đoạn . CÂU 4: (1 điểm) Tính: I = CÂU 5: (2,5 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho hai điểm A(-1; 3), B(1; 1) và đường thẳng (d): y = 2x. a) Xác định điểm C trên (d) sao cho DABC là một tam giác đều. b) Xác định điểm C trên (d) sao cho DABC là một tam giác cân. 2) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu: (S): x2 + y2 + z2 - 10 x+ 2y + 26z - 113 = 0 và song song với hai đường thẳng: (d1): và (d2): ĐỀ SỐ 145 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C-1) của hàm số khi m = -1. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số sau: y = 2) Xác định các giá trị của m sao cho qua A(0; 1) không có đường thẳng nào tiếp xúc với (Cm). 3) Xác định các giá trị của m để (Cm) cắt Ox tại hai điểm và hai tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau. CÂU 2: (1,5 điểm) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 1 CÂU 4: (1,5 điểm) Cho hàm số: g(x) = sinxsin2xcos5x 1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x). 2) Tính tích phân: I = CÂU 5: (2,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, với AB = AD = a; DC = 2a. Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a (a là số dương cho trước). Từ trung điểm E của DC dựng EK vuông góc với SC (K Î SC). 1) Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (EBK). 2) Chứng minh rằng 6 điểm S, A, B, E, K, D cùng thuộc một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó theo a. 3) Tính khoảng cách từ trung điểm M của đoạn SA đến mặt phẳng (SBC) theo a. ĐỀ SỐ 146 CÂU 1: (2 điểm) Cho hàm số: y = 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm tuỳ ý thuộc (C). Tiếp tuyến tại (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên theo thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và diện tích DIAB không phụ thuộc vị trí của M trên (C). 3) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2) Xác định các giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với "x thoả mãn điều kiện : CÂU 3: (2 điểm) 1) Chứng minh: 2) Giải phương trình: (1 + tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx CÂU 4: (2 điểm) 1) Tìm 2 số A, B để hàm số: h(x) = có thể biểu diễn được dưới dạng: h(x) = , Từ đó tính tích phân I = 2) Tính tổng: S = (n Î Z, n ³ 2) CÂU 5: (2 điểm) Trên mặt phẳng (P) cho đoạn thẳng AB = a, E là một điểm cố định nằm trên đoạn AB sao cho BE = b (b < a), qua E kẻ đường thẳng Ex Ì (P), Ex ^ AB, C là một điểm bất kỳ trên Ex. Trên đường thẳng d ^ (P) tại A lấy điểm M bất kỳ. 1) Chứng minh rằng CE ^ (MAB). 2) M di động trên d, gọi K là hình chiếu vuông góc của C trên BM. Chứng minh rằng tích BM.bán kính không đổi. ĐỀ SỐ 147 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1. 2) Chứng minh rằng nếu đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại x = x0 thì: y'(x0) = 3) Tìm số a nhỏ nhất để: a được thoả mãn với "x Î [0; 1] CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình: 2) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx - £ m + 1 CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác: sin 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên tập R. f(x) = 2sin2x + 4sinxcosx + CÂU 4: (1 điểm) Tính tích phân: I = CÂU 5: (2,5 điểm) Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Ký hiệu K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN). 1) Chứng minh CE vuông góc với mặt phẳng (OMN). 2) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a. ĐỀ SỐ 148 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: y = 2) Tìm tất cả các giá trị của m để cho phương trình: x2 - (m + 1)x + m + 1 = 0 có nghiệm. 3) Tìm tất cả các giá trị của m để cho phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt nằm trong đoạn [-3; 0]: CÂU 2: (2 điểm) 1) Cho hàm số: y = . Tìm m để hàm số xác định với "x Î R 2) Giải phương trình: CÂU 3: (1,5 điểm) 1) Chứng minh rằng hàm số: y =sin6x + cos6x + 3sin2x cos2x + 2005x có đạo hàm không phụ thuộc vào x. 2) Giải phương trình: 3sinx + 2cosx = 2 + 3tgx CÂU 4: (1,5 điểm) Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý. 2) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn. CÂU 5: (2,5 điểm) 1) Cho hai đường tròn: (C1): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và (C2): x2 + y2 + 2x - 2y - 14 = 0 a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau. b) Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C1) và (C1) và qua điểm M(0;1) 2) Cho hai điểm A(-1; 3; -2), B(-9; 4; 9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 Tìm K Î (P) sao cho AK + BK nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 149 CÂU 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: y = (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm M Î (C) để M có toạ độ nguyên. 3) Tìm M Î (C) để khoảng cách từ M đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M đến Oy. CÂU 2: (2 điểm) 1) Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: 2) Giải phương trình: CÂU 3: (2 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác: sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x 2) Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Hãy chứng minh rằng: và CÂU 4: (1,5 điểm) 1) Cho hàm số f liên tục trên (0; 1). Chứng minh: = 2) Sử dụng kết quả trên để tính: I = và J = CÂU 5: (2 điểm) Cho hai đường thẳng (d) và (D), biết phương trình của chúng như sau: (d): (D): 1) Xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng (d). 2) Chứng minh rằng hai đường thẳng (d) và (D) cùng thuộc một mặt phẳng, viết phương trình mặt phẳng đó. 3) Viết phương trình chính tắc của hình chiếu song song của (d) theo phương (D) lên mặt phẳng: 3x - 2y - 2z - 1 = 0. ĐỀ SỐ 150 CÂU 1: (3,25 điểm) Cho hàm số: y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2) (Cm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 0. 2) Tìm điều kiện của m để đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu. Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu. 3) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 0. 4) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng. CÂU 2: (2 điểm) 1) Giải bất phương trình: 2) Tìm m để < 0 với "x CÂU 3: (2 điểm) 1) Cho hai phương trình: 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x 4cos2x - cos3x = (a - 1)cosx - (1 + cos2x) Tìm a để hai phương trình trên tương đương. 2) Chứng minh rằng với "x > 0, ta đều có: CÂU 4: (0,75 điểm) Tính hệ số của số hạng chứa x25 trong khai triển CÂU 5: (2 điểm) 1) Cho hai điểm P(2; 5) và Q(5; 1). Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới đường thẳng đó bằng 3. 2) Tính chiều dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện có bốn đỉnh là A(2; 3; 1), B(4 ; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8).