20 Bài tập Thể tích khối đa diện

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo . Lời giải: a D A B C I K 2a 600 S D A B C K 2a I H a a Do (SCI)(ABCD) ; (SBI)(ABCD) SI(ABCD) Kẻ IKBCSKBC (định lý ba đường vuông góc). Ta có (1) Mà SI = IK.tg(600) = IK ; BC = BI = a ; IC = a BH2 = BC2 – HC2 = 5a2 – = BH = 2 Vậy SI = (đvtt) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Lời giải: Ta có : BD AC; BD SA BD (SAC) BD SO (đvdt) 600 Bài 3: Cho hình chóp SABC có góc , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp S.ABC Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC. thì SM ^ BC, AM ^ BC Þ Suy ra DSMA đều có cạnh bằng Do đó Ta có Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD. Lời giải: Thể tích của khối tứ diện SACD là: (đvdt). Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, , CD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và . Gọi K là trung điểm của cạnh DC. Chứng minh mặt phẳng (SBK) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích khối chóp SBCK theo a. Lời giải: Gọi H là giao của AC và BK thì và . Từ và (đvdt) Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD (tức SA = SB = SC = SD) và ABCD là hình vuông), cạnh đáy là a, cạnh bên làm với mặt đáy góc (). Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và . Lời giải: S.ABCD là hình chóp tứ giác đều với H là tâm của hình vuông ABCD. Vậy thể tích hình chóp S.ABCD bằng: Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với diện tích Q. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, còn các mặt bên (SBC) và (SCD) tạo với đáy lần lượt là góc . Tính thể tích hình chóp theo Q, Lời giải: Ta có: Từ (định lý ba đường vuông góc) . Tương tự Gọi các cạnh của hình chữ nhật đáy là AB = a; AD = b; h = SA. Ta có: Q = a.b ; Từ (1) và (2) cho ta: Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C). Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích hình chóp B.AMNC (đỉnh B, đáy AMNC) Lời giải: hình chiếu đường xiên Từ Mà (định lý ba đường vuông góc) Do đó h = BI là đường cao hình chóp B.AMNC Diện tích đáy B của hình chóp B.AMNC là hình thang vuông AMNC. B = Thể tích hình chóp B.AMNC là: (ycbt) Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc . Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a, . Lời giải: Gọi M là trung điểm AB và O là tâm hình vuông (đáy của hình chóp A.ABCD). Ta có: SO là đường cao của hình chóp (định lý ba đường vuông góc) Định lý pitago trong , cho ta: , với Thể tích hình chóp: (đvdt). Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a. Lời giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD là đường cao hình chóp. Gọi M là trung điểm AB. Ta có: (định lý ba đường vuông góc). . (đvdt) Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 600. Các mặt bên hợp với đáy góc 600. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Lời giải: Gọi I là chân đường cao kẻ từ S trong Ta có: các mặt bên hợp với đáy góc 600, nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy sẽ cách đều các cạnh đáy. Suy ra: SO là đường cao của hình chóp. SOI vuông (1) AOI vuông (2) Từ (1) và (2): (đường cao tam giác đều). (đvdt) Bài 12: Cho tứ diện ABCD, trong đó AD vuông góc với mặt phẳng ABC, AD = 4a, AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a, a là số dương cho trước. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông, tính thể tích tứ diện đó. Lời giải: Ta có: là tam giác vuông tại A. Thể tích tứ diện: (đvdt). Bài 13: Cho một hình tứ diện SABC với SAB, SBC, SCA vuông góc với nhau từng đôi một và có diện tích tương ứng là 24cm2, 30cm2, 40cm2. Tính thể tích của hình tứ diện đó. Lời giải: Đặt: SA = x, SB = y, SC = z. Ta lại có: Bài 14: Cho tứ diện SABC có cạnh Nhị diện cạnh SB là nhị diện vuông, cho biết: Tính thể tích tứ diện SABC. Với giá trị nào của thì thể tích đó lớn nhất. Lời giải: Ta có : BC = SB = Thể tích tứ diện: (đvdt) Đẳng thức trong (1), xảy ra (nhọn) , tương ứng (ycbt) Bài 15: Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt chọn các điểm A, B, C. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo: OA = a, OB = b, OC = c. Lời giải: Dựng Dựng tại H (do: ) Khi đó ta có: . Xét: (ycbt) Bài 16: Cho tứ diện SABC có cạnh , nhị diện cạnh SB là nhị diện vuông. Cho biết cạnh , góc , góc . Tính thể tích tứ diện SABC. Lời giải: Ta có : Thể tích tứ diện là: (ycbt) Bài 17: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích tứ diện OO’AB. Lời giải: D H O’ O B A A’ Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’ và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D. Do nên Suy ra : Ta có: đều . Vì AOO’ là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên: Vậy thể tích tứ diện OO’AB là: (ycbt) Câu 18: Cho hình chóp SABC có đáy là hình chữ nhật với AB = a, và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Lời giải: Xét và vuông có đồng dạng Từ (1) và (2) Gọi H là trung điểm của AC là đường trung bình của nên NH là đường cao của khối tứ diện ANIB. Do đó: Ta có: (đvdt) Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCMN. Lời giải: Gọi K là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SK. Do Do Xét tam giác vuông SAK: Xét tam giác SAB: Xét tam giác SAC: Suy ra Vậy, thể tích khối chóp A.BCNM là: (đvdt) Bài 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, . Lời giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD thì SO là đường cao của hình chóp S.ABCD. Suy ra góc . Ta có: Thể tích hình chóp S.ABCD là: (đvdt) Bài 21: