500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc

ất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 2 3 4 1 1 1 2 1 2 3 2 3 4 1 1 1 2 ... n n n n n n x x x x x x x x x x x x n x x x x x x x x x x x x − − + + + + + + + + ≥ + + + + . 214. [ Nguyễn Duy Liên ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện [ ], , 1,2a b c∈ . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 10a b c a b c  + + + + ≤   . 215. [ Lê Thanh Hải ] Cho , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 4 a b c d a b c d b c d a abcd + + + + + + ≥ . 216. Cho [ ]0,2x∈ . Chứng minh rằng 3 3 44 3 3x x x x− + + ≤ . 217. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng 2 sin 15 10 2 cos 6x x+ − ≤ . 218. [ Trần Văn Hạnh ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1x y z+ + = , 1n≥ . Chứng minh rằng ( )2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 n n n n n nx y z x y z n + + + + ≥ − − − . 219. [ Kiều Phương Chi ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2a b b c c a + + ≤ + + + + + + . 220. [ Vũ ðức Cảnh ] Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 1x y+ = . Chứng minh rằng ( ) ( )1 11 1 1 1 4 3 2x y y x     + + + + + ≥ +       . 221. [ Ngơ Văn Thái ] Cho ( ], , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng ( )( )( )1 1 1 1 1 3 a b c a b c ≥ + − − − + + . 222. [ Nguyễn Văn Thơng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3 4 2 2 1 1 1 x y z x y z + + = + + + . Chứng minh rằng 3 4 2 9 1 8 x y z ≤ . 223. [ Nguyễn Bá Nam ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 b c c a a b a b c a b c a b c    + + +  + + + + ≥ + +        . 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 26 224. Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng ( )4416cos 3 768 2048cosx x+ + ≥ . 225. [ Lê Quốc Hán ] Cho x là một số thực bất kì. Chứng minh rằng ( ) ( ) 8 4 42 1 161 17 8 1 x x x + + ≤ ≤ + . 226. [ Nguyễn Lê Dũng ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3a b b c c a a b c a b b c c a a b c + + + + + + + ≤ + + + + + . 227. [ Trần Xuân ðáng ] Cho , ,a b c là các số thực dương, 2n≥ . Chứng minh rằng 1 1 nn n n a b c n n b c c a a b n + + > − + + + − . 228. [ Trịnh Bằng Giang ] Cho , ,x y z là các số thực khơng âm thỏa điều kiện 1x y z+ + = , 2n≥ . Chứng minh rằng ( ) 11 n n n n n n x y y z z x n ++ + ≤ + . 229. [ Nguyễn Văn Ngọc ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4316 3xyz x y z x y y z z x+ + ≤ + + + . 230. [ Nguyễn Bá ðang ] Cho , , , 6 2 x y z π π    ∈    . Chứng minh rằng 2 sin sin sin sin sin sin 11 sin sin sin 2 x y y z z x z x y  − − − + + ≤ −    . 231. [ Thái Nhật Phượng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1xyz = . Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 3 3 x y z x y y z y z z x z x x y + + ≥ + + + + + + . 232. [ Thái Nhật Phượng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1xyz = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 7 7 2 2 7 7 2 2 7 7 1 x y y z z x x y x y y z y z z x z x + + ≤ + + + + + + . 233. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 3 31 4 a b abc a bc b ca c ab + + ≤ + + + + . 234. [ Nguyễn Minh Phương ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2007x y z+ + = . Chứng minh rằng 20 20 20 9 11 11 11 3.669 x y z y z x + + ≥ . 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 27 235. [ Phạm Thị Thanh Quỳnh ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 2 2 2 5 5 5 3 3 3 b a c b a c a b c ab b bc c ca a − − − + + ≤ + + + + + . 236. [ Lê Quang Nẫm ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện , , 1x y z ≥− và 3 3 3 2 2 2x y z x y z+ + ≥ + + . Chứng minh rằng 5 5 5 2 2 2x y z x y z+ + ≥ + + . 237. [ Nguyễn ðễ ] Cho , , , sin sin sin 2α β γ α β γ∈ + + ≥ℝ . Chứng minh rằng cos cos cos 5α β γ+ + ≤ . 238. [ Huỳnh Tấn Châu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 6a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 21 1 1 3 17 2 a b c b c c a a b + + + + + ≥ + + + . 239. [ ðỗ Thanh Hải ] Cho , , ,x y z t là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1xyzt = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 1 1 1 1 4 3x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx + + + ≥ + + + + + + + + . 240. [ ðỗ Bá Chủ ] Cho 1 2 1 2, , ..., 0, ... ; , 1k ka a a a a a k k n> + + + ≥ ≥ . Chứng minh rằng 1 2 1 1 1 1 2 ... 1 ... n n n k n n n k a a a a a a+ + + + + + ≤ + + + . 241. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc a c b+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 3 10 1 1 1 3a b c − + ≤ + + + . Vietnam, 1999 242. [ ðặng Thanh Hải ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2a b b c c a c a b c a b a b b c a c  + + +  + + ≥ + +   + + +  . 243. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 10 3 9 a b c abc+ + + ≥ . 244. [ Phan Hồng Vinh ] Cho [ ]1 2, , ..., 0,1 , 2na a a n∈ ≥ . Chứng minh rằng 1 2 2 3 1 3 1 2 1 ... 1 ... 1 ... 1 ... 1 n n n n aa a n a a a a a a a a a − + + + ≤ − + + + . 245. [ ðào Mạnh Thắng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c+ + ≥ . Chứng minh rằng 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 28 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 a b b c c a c a b a b c b c a + + ≥ + + + . 246. [ ðỗ Ngọc Ánh ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 6a b c+ + = . Chứng minh rằng 3 3 3 1 1 1 7291 1 1 512a b c        + + + ≥            . 247. [ Trương Hồng Hiếu ] Cho , ,a b c là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 7 1 1 1 2 a b c b c a + + + + + ≤ + + + . 248. [ Trần Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực dương và 2 3 k ≥ . Chứng minh rằng 3 2 k k k k a b c b c c a a b          + + ≥             + + + . 249. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1x y+ = . Chứng minh rằng 3 3 1 1 4 2 3 x y xy + ≥ + + . 250. [ Hồ Quang Vinh ] Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa điều kiện 2 2 4a b c d+ = + = . Chứng minh rằng 4 4 2ac bd cd+ + ≤ + . 251. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho , ,x y z với { }max , ,x x y z= . Chứng minh rằng 331 1 1 2 2x y z y x x + + + + ≥ + + . 252. Cho a là số thực dương và , ,x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện 1xy yz zx+ + = . Chứng minh rằng ( )2 2 2 1 1 82 a a x y z − + ++ + ≥ . 253. [ Triệu Văn Hưng ] Cho , , 1a b c> . Chứng minh rằng log log log 33c a bb c aa b c abc+ + ≥ . 254. [ Phạm Văn Thuận ] Cho ,x y là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện 2 2 1x y+ = . Chứng minh rằng { } 3 3max , 4 xy x y+ ≤ . 255. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 6 3 6 3 3 3 3 3 3 1 18 a b c b c c a a b + + ≥ + + + . 256. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 29 3 2 xy yz zx z xy x yz y zx + + ≤ + + + . 257. [ Trần Tuấn Anh ] Cho x là các số thực khơng âm. Chứng minh rằng 2 2 9. 1 x x x + ≤ + + 258. Cho ,a b là các số thực thỏa mãn điều kiện 0a b> ≥ . Chứng minh rằng ( )( )2 322 5 2 3 a a b b + ≥ − + . 259. Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 4a b+ = . Chứng minh rằng 6 102 3 18a b a b + + + ≥ . 260. Cho , ,a b c là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng 55 5 52 2 2 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ . 261. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )6 2 3432x y z xy z+ + ≥ . 262. Cho [ ]0,1a ∈ . Chứng minh rằng 2 4 2 413. 9. 16a a a a− + + ≤ . 263. Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 3 285612 2 2 2 5 5 5 5 625 a b c d b c d a           + + + + ≥                 . 264. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c d+ + + ≤ . Chứng minh rằng 41 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 9 a b b c c d d a           + + + + + + + + ≥                 . 265. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 16abcd ≥ . Chứng minh rằng 2 1 2 1 2 1 2 1 2401 16 a b c d b c c d d a a b           + + + + + + + + ≥                 . 266. Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b+ ≤ . Chứng minh rằng 3 3 2 2 1 1 1 20 a b a b ab + + ≥ + . 267. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + ≤ . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 81 2a b b c c a ab bc ca + + + + + ≥ + + + . 268. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng ( )( ) ( )( ) ( )( ) 55 5 52 2 2 3 6a b a c a b c b a b c a c b c+ + + + + + + + ≤ . 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 30 269. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( )( ) ( )22 22 1 3 64a a b c c+ + + + = . Chứng minh rằng 3 4 5 1a b c ≤ . 270. [ Trần Hồng Sơn ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3 2 a b c+ + ≤ . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 13 3 3 343 a b b c c a        + + + + + + ≥            . 271. Cho , , , , ,a b c m n p là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 31, 2 a b c m n p+ + ≤ + + ≤ . Chứng minh rằng 32 1 2 1 2 11 1 1 9 a m b n c p       + + + + + + ≥           . 272. [ Phùng Văn Sự ] Cho , ,x y z là các số thực. Chứng minh rằng ( )( )( ) ( )22 2 227 3 3 3 4 3 3 3x y z xy yz zx+ + + ≥ + + . 273. [ Trần Anh ðức ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 a b c a b b c c a abc c ab a bc b ac + + + + + + + + ≥ + + + . 274. [ Lê Thanh Hải ] Cho ,a b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1ab = . Chứng minh rằng 3 3 1 1 1 a b b a + ≥ + + . 275. [ Dương Châu Dinh ] Cho , ,x y z là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện 2x y z+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( )3 3 3 4 4 42 2x y z x y z+ + ≤ + + + . 276. [ Nguyễn Tất Thu ] Cho , ,a b c , α là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 21 1 1 3.2a b c ab bc ca α α α α          + + + + + ≥              . 277. [ Trần Xuân ðáng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng ( )( )( ) ( )2 1a b b c c a a b c+ + + ≥ + + + . 278. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) 1 1 11 6x z yxyz x y z x y z z y x  + + + + + + ≥ + + +    . 279. [ ðàm Văn Nhỉ ] Cho [ ], , , 0,1a b c d ∈ . Chứng minh rằng 3 1 1 1 1 a b c d bcd cda dab abc + + + ≤ + + + + . 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 31 280. [ Cao Xuân Nam ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 8 8 8 2 2 22 2 2 2 2 2 1 12 a b c a b b c c a + + ≥ + + + . 281. [ Trần Hồng Sơn ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3a b c+ + ≤ . Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 1 1 127 84a b c b c a ab bc ca  + + + + + ≥   . 282. [ Dương Châu Dinh ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1 1 1 1 1 16 1 a b c a b c   + + ≤ + + +   . Chứng minh rằng 1 1 1 1 10 10 10 12a b c a b c a b c + + ≤ + + + + + + . 283. [ Lê Văn Quang ] Cho , , , , ,a b c d e f là các số thực thỏa mãn điều kiện 1ab bc cd de ef+ + + + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 2cos 7 a b c d e f π + + + + + ≥ . 284. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 3 2 3 2 3 2 27 1 1 1 31 a b c a a b b c c + + ≤ + + + + + + . 285. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 23 3 x y z xy yz zx x xy y y yz z z zx x + + + + ≥ + + + + + + + + . 286. [ Walther Janous ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 3 3 1 3 13 3. . 4 4 ab ab a b a b + ++ + ≥ + + . 287. [ Trần Thị Thuận ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 1 1 1 1a b b c c a abc + + ≥ + + + + . 288. Cho , ,x y z là các số thực khơng âm. Chứng minh rằng ( ) ( )( )( )23 3 3 2 2 28 9x y z x yz y zx z xy+ + ≥ + + + . 289. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 0x z y x z y y z z x x y − − − + + ≥ + + + . 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 32 290. Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1x y+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của ( )x yx y+ . 291. [ Nguyễn Hữu Bằng ] Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng ( ) ( )( )( ) 31 1 1 9 a b b c c a a b c a b c abc   − − −+ + + + + ≥   . 292. [ Cao Minh Quang ] Cho 10 số thực khơng âm ( ), 1, 2,...,5i ia b i = thỏa mãn điều kiện ( )2 2 1 1, 2,...,5i ia b i+ = = và 2 2 21 2 5... 1a a a+ + + = . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 b b b b b a a a a a + + + + + + + + . 293. Cho , ,x y z là các số thực khơng âm. Chứng minh rằng ( )( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 2x y y z z x xyz x y z y z x z x y + + + ≥ + + + + + +  294. [ Vedula N. Murty ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 231 3 4 a b b c c aa b c abc + + ++ + ≤ . 295. [ Cao Minh Quang ] Cho 1 2 1 2, ,..., 0, ... 2 , 3n nx x x x x x n n> + + + = ≥ . Chứng minh rằng ( ) 3 1 1 2 1 31 n n j j i ii j x n n x= = ≠ − ≥ + ∑∑ . 296. Cho hàm số [ ) ( ) 2002 1 : 1, , 2002 x dtf f x t t +∞ → = +∫ℝ . Chứng minh rằng với các số thực 1 2, ,..., 1nx x x ≥ , ta cĩ ( ) ( ) ( )1 2 1 2... ...lnn n f x f x f x x x x n n + + + + + + ≤ . 297. Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn điều kiện 0 3a b c≤ ≤ ≤ ≤ . Chứng minh rằng ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 29 9 9 36a b a a c b b c c− − + − − + − − ≤ . 298. Cho các số thực 1 2, ,..., na a a . Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 23 1 2 1 2... ...n na a a a a a+ + + ≤ + + + . Nordic, 1990 299. Cho các số thực ( )1 2, ,..., 2nx x x n≥ thỏa mãn các điều kiện 1 2 ... 0nx x x+ + + ≥ và 2 2 2 1 2 ... 1nx x x+ + + = . ðặt { }1 2max , ,..., nM x x x= . Chứng minh rằng ( ) 1 1 M n n ≥ − . Nordic, 1995 300. Cho ( )1 2, ,..., 1na a a n≥ là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... 1 1 1n n n n n a a a a a a a a a           + + + ≥ + + + + + + +          + + +     . ðẳng thức xảy ra khi nào? Nordic, 1999 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 33 301. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với các số thực 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n nx x x y y y , ta luơn cĩ bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n nx x x y y y x y x y x y+ ≤ + + + + + + . Poland, 2002 302. Cho ( )1 2, ,..., 3nx x x n≥ là các số thực dương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng 1 11 2 1 2 , 2 2 n n i i i ii i i i x xn n x x x x= =+ + − − ≥ ≥ + +∑ ∑ . (ở đây ta xem 1 1 2 2 0 1 1, , ,n n n nx x x x x x x x+ + − −= = = = ) Poland, 2002 303. Cho , ,a b c là các số thực. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 3 3 3a b b c c a a b b c c a+ + + + + ≥ + + + + + . Poland, 2004 304. Cho ,a b là các số thực dương và các số thực [ ] ( ), 0,1 , 1,2,..., 1i ix y i n n∈ = ≥ thỏa mãn các điều kiện 1 2 1 2... , ...n nx x x a y y y b+ + + ≤ + + + ≤ . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 2 2 ... n nx y x y x y+ + + . Poland, 2005 305. Cho các số thực dương 1 2, ,..., nx x x và số thực 2c>− . Chứng minh rằng nếu ( )2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 2 3 3 1 1 1 2... 2 ...n n nx cx x x x cx x x x cx x x c x x x+ + + + + + + + + = + + + + thì 2c = hoặc 1 2 ... nx x x= = = . Poland, 2005. 306. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca abc+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 1a b b c c a ab a b bc b c ca c a + + + + + ≥ + + + . Poalnd, 2006 307. Cho 1 , , 1 2 a b c≤ ≤ . Chứng minh rằng 2 3 1 1 1 a b b c c a c a b + + + ≤ + + ≤ + + + . 308. Cho , 0, 4 a b π  ∈    và n∈ℕ . Chứng minh rằng ( ) ( ) sin sin sin 2 sin 2 sin sin sin 2 sin 2 n n n n n n a b a b a b a b + + ≥ + + . 309. Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )a b c a b c a b c a b c a b c a b c abc a b c− + + − + + − + + − + + − − + + ≤ + + . Romania TST, 2002 310. Cho ( )1 2, ,..., 3na a a n≥ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 21 2 ... 1na a a+ + + = . Chứng minh rằng ( )21 2 1 1 2 22 2 2 2 3 1 4 ... ... 1 1 1 5 n n n aa a a a a a a a a a a + + + ≥ + + + + + + . Romania TST, 2002 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 34 311. Cho các số thực ,x y thỏa mãn điều kiện 2 21 2x xy y≤ − + ≤ . Chứng minh rằng a) 4 42 8 9 x y≤ + ≤ , b) 2 2 2 , 3 3 n n n x y n+ ≥ ≥ . 312. Cho ( )1 2 1, ,..., 3nx x x n− ≥ là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện 1 2 1... 2nx x x −+ + + = và ( )1 2 12 ... 1 2 2nx x n x n−+ + + − = − . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 1 1 2 1 , ,..., 2 n n k k F x x x k n k x − = = −∑ . 313. [ V. Senderov ] Cho 0, 2 x π ∈    và ,m n là các số tự nhiên sao cho n m> . Chứng minh rằng 2 sin cos 3 sin cosn n m mx x x x− ≤ − . 314. [ S. Berlov ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1a b c a b c + + ≥ + + − − − + + + . 315. Cho 0, 2 x π ∈    . Chứng minh rằng sin sinx x≤ . 316. [ D. Tereshin ] Cho , ,a b c là các số thực khơng âm. Chứng minh rằng ( ) ( )2 3a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + + . 317. Cho ( )1 2, ,..., 4nx x x n≥ là các số thực dương. Chứng minh rằng 11 2 2 1 3 2 1 1 ... 2n n n n n n x xx x x x x x x x x x − − − + + + + ≥ + + + + . Xác định điều kiện xảy ra đẳng thức khi 4n = . 318. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( ) ( )3 4 8a b c d abc bcd cda dab+ + + + + + + = . Chứng minh rằng 2ab ac bc ad bd cd+ + + + + ≤ . 319. Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 2, ,x y z y z x z x y≤ + ≤ + ≤ + . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Serbia and Montenegro, 2002 320. Cho , ,a b c là các số thực dương và ,n k là các số tự nhiên. Chứng minh rằng n k n k n k k k k n n n a b c a b c b c a + + + + + ≥ + + . 321. [ R. Sanojevic ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 b c a a b c + + ≥ + + + + + + . Serbia and Montenegro, 2004 322. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng ( )2 2 2 2 2 24 5xy yz zx x y y z z x xyz+ + ≥ + + + . Serbia and Montenegro, 2006 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 35 323. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 9 4 x y z y z z x x y + + ≥ + + + . Serbia and Montenegro, 2006 324. Chứng minh rằng ( )44 0 0 0 0 0 0 01tan1 tan 2 ... t an44 t an22 30 ' tan1 tan 2 ... t an4444< < + + + . 325. Cho , , , , ,a b c d e f là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( )a c e b d fab cd ef a b c d e f a b c d e f + + + + + + ≤ + + + + + + + + . Yugolavia, 1985 326. Cho 1, 1a b≥ ≥ . Chứng minh rằng 22 2 2 2 3 8 8 a b ab a b a b  − +  + ≥   +  . Yugolavia, 1991 327. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 4 a b a ba b ab a b ab − −+ ≤ − ≤ + . Yugolavia, 1993 328. Cho các số thực 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x . Hãy xác định giá trị lớn nhất của số thực a để ( )2 2 2 2 21 2 3 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5x x x x x a x x x x x x x x+ + + + ≥ + + + . Yugolavia, 1996 329. [ ð. Dugosija ] Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng ít nhất hai trong ba số 1 1 12 ,2 ,2a b c b c a − − − đều lớn hơn 1. Serbia and Montenegro TST, 2004 330. Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 2a b c d b c c d d a a b + + + ≥ + + + + . Yugolavia TST, 1985 331. Cho 0a b> > . Chứng minh rằng ( ) ( )2 2 8 2 8 a b a ba b ab a b − −+ < − < . Sweden, 1985 332. Cho 1 2 3 4 1 , , , 0, 2 x x x x   ∈   . Chứng minh rằng ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 44 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + ≤ − − − − − + − + − + − . Taiwan, 2002 333. Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 21 2 ... 1nx x x+ + + = . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 1 1 2 ... n i i n i x x x x x= + + + − ∑ . Turkey TST, 1997 334. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 36 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 6 a b b c c a − − + − − + − − ≥ . 335. Cho 0, , 2 x n n π ∈ ∈   ℕ . Chứng minh rằng ( ) 2 s in n+1 xs in2x s in3x cos ... 2 sinx sin2x sinnx sin x x + + + < . Ukraina TST, 1999 336. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2a b c+ + = . Chứng minh rằng 1 1 1 27 1 1 1 13ab bc ca + + ≥ + + + . Swiss TST, 2003 337. Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 2... 1na a a = . Chứng minh rằng 1 2 1 2... ...n na a a a a a+ + + ≤ + + + . 338. Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 14 2 a b c abc+ + + ≤ . Italy, 1990 339. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 9 1 1 1 1 1 12 a b c a b b c c a a b c  ≤ + + ≤ + +  + + + + + . Irish, 1998 340. Cho , ,a b c là các số thực khơng âm. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 232 2 2 2 2 21 3 3 a b b c c a a b c a b c a b b c c a − + − + − ≤ + + − ≤ − + − + −   . Irish, 2005 341. Cho 0 , , 1a b c< < . Chứng minh rằng 3 3 3 1 1 1 1 a b c abc a c c abc + + ≥ − − − − . Irish, 2002 342. Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện 1xyz =− . Chứng minh rằng ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 3 x x y y z zx y z x y z y z x z x y + + + + + ≥ + + + + + . Iran, 2004 343. Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương. Chứng minh rằng 33 3 1 21 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 ... ... 3 n n n n x x x xx x x x x x x x x x x x x x + + + + + + ≥ + + + + + + . Hungary – Israel Competition, 2003 344. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c d+ + + = . Chứng minh rằng ( ) ( )3 3 3 3 2 2 2 2 16 8a b c d a b c d+ + + ≥ + + + + . Hong Kong, 2006 345. Cho ( )1 2 1, ,..., 2na a a n+ ≥ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 1 3 2 1... n na a a a a a+− = − = = − . 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 37 Chứng minh rằng 1 2 1 2 2 2 2 3 1 2 1 1 1 1 1 ... . 2 n n n n n a a a an a a a a a a a + + +− + + + ≤ . Hong Kong, 2004 346. Cho , , 0, 2, , ,x y z k a x ky kz b kx y kz c kx ky z> > = + + = + + = + + . Chứng minh rằng 3 2 1 x y z a b c k + + ≥ + . Greek TST, 1998 347. Cho , ,x y z là các số thực. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 02 1 2 1 2 1 x y y z z x x y z − − − + + ≤ + + + . Greek TST, 2005 348. Cho ,x y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 1x xy y+ + = . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3K x y xy= + . Greek , 2006 349. Cho , ,α β γ là các số thực thỏa mãn điều kiện 210, 0γβγ βγ − ≠ ≥ . Chứng minh rằng ( )2 2 2 310 2 5α β γ βγ αβ αγ+ + − ≥ + . Greek , 2002 350. Cho , , ,x yα β là các số thực thỏa mãn điều kiện 1α β+ = . Chứng minh rằng ( ) 1x y x y α β α β  + + ≥    . ðẳng thức xảy ra khi nào? Greek , 2001 351. Cho ,x y là các số thực dương. Hãy xác định số k lớn nhất để ( )( )2 2 2 2 1 3 xy kx y x y ≤ + + . Greek , 2000 352. Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn điều kiện , 6, 9a b c a b c ab bc ca< < + + = + + = . Chứng minh rằng 0 1 3 4a b c< < < < < < . Britain, 1995 353. Cho 0 , , 1x y z≤ ≤ . Hãy tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 ,S x y y x P x y y z z x x z y x z y= − = + + − − − . Britain, 1995 354. Cho , , , ,a b c d e là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 4 4 a b c d e b c d e a b c d e a a b c d e                  + + + + ≥ + + + +                          . Britain, 1984 355. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 1 3 x yz xy z xyz+ + ≤ . Britain, 2004 356. Cho ( ), , , , , 0,1a b c p q α∈ . 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 38 a) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 , 0,1 1 xxf x x c c αα α α ++ − = + ∀ ∈ − . b) Chứng minh rằng ( ) ( ) 11 1 a ba b p q p q αα α α α α ++ + + + ≥ + . Bulgarian, 1984 357. Cho 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x là các số thực dương. Hãy xác định số C bé nhất để ( ) ( )162005 2005 2005 125 125 1251 2 5 1 2 3 4 5 1 2 5... ...C x x x x x x x x x x x+ + + ≥ + + + . Brasil, 2005 358. Cho , , ,a x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng a z a x a y a y a z a x x y z x y z x y z a x a y a z a z a x a y + + + + + + + + ≤ + + ≤ + + + + + + + + . 359. Cho 2n≥ . Chứng minh rằng 3 42 3 4... 2n n < . Austria, 1990 360. Cho , , ,a b c d là các số thực. Chứng minh rằng 6 6 6 6 2 6a b c d abcd+ + + + ≥ . Austria, 2004 361. Cho , ,a b c là các số thực. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ){ } 2 2 2 2 2 2 min , , 2 a b c a b b c c a + +− − − ≤ . Italy, 1992 362. Cho , ,a b c là các số thực khơng âm thỏa mãn các điều kiện 2 2 2 2 2 2, ,a b c b c a≤ + ≤ + 2 2 2 c a b≤ + . Chứng minh rằng ( )( )( ) ( )2 2 2 3 3 3 6 6 64a b c a b c a b c a b c+ + + + + + ≥ + + . Japan, 2001 363. Cho 2n≥ . Chứng minh rằng 1 1 1 . 4 2 1 n k n n k k − = < − −∑ . Japan, 1992 364. Cho , ,a b c là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh rằng ( )2 2 2 31 1 1 4 a b c a a b b c c b c a + + ≥ + + + + + . Mediteranean, 2002 365. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 1ab bc ca abc+ + + = . Chứng minh rằng ( )2 1 32a b c abc+ + + ≥ . Mediteranean, 2004 366. Cho , ,a b c là các số khác 0; , ,x y z là các số thực dương thỏa điều kiện 3x y z+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 2 1 1 1 x y z a b c a b c + + ≥ + + + + + . Mediteranean, 1999 367. Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương. Chứng minh rằng 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 39 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 1 1 n n n a a a a a a − ≥ + + + + + + + + + . 368. Cho 2n≥ . Chứng minh rằng ( )2 3log 3 log 4 ... log 1 ln 0,9n n n n+ + + + < + − . 369. Cho 3, 1, 2 x y    ∈    . Chứng minh rằng 2 23 2 3 2y x x y x y− + − ≤ + . Moldova, 2001 370. Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng ( )2 2 2 1 4a b c ab bc ca+ + + ≥ + + . Moldova, 2002 371. Cho n là một số tự nhiên và x là một số thực. Chứng minh rằng cos cos 2 cos 4 ... cos 2 2 2 n nx x x x+ + + + ≥ . 372. [ V. Yasinsky ] Cho , , 0, 2 π α β γ  ∈    . Chứng minh rằng sin sin sin sin sin sin β γ α α β γ α β γ α β γ + + ≥ + + . 373. [ V. Yasinsky ] Cho , , 0, 2 π α β γ  ∈    . Chứng minh rằng sin sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin β γ γ α α β α β γ α β γ α β γ + + + + + ≥ + + . 374. [ M. Kurylo ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 abc a b ca b c b c c a a b + + + + ≥ + + + . 375. [ M. Kurylo ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )3 3 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1a b yz b c zx c a xy a b c x y z+ + + + + ≤ + + + + + + . 376. [ V. Brayman ] Cho 10 , , 3 a b c≤ < . Chứng minh rằng 2 1 1 1 1 a b b c c a a b c abc ab bc ca ab bc ca + + + + + − + + ≤ − − − − − − . 377. [ O. Kukush, R. Ushakov ] Cho 1n≥ . Chứng minh rằng 1 3 5 ... 2 1 2n+ + + + − < . 378. [ V. Gavran ] Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 a b c a c b a b c c a b b c a b c a c b a + + ≥ + − + + − + + − . 379. [ R. Ushakov ] Cho 2, 3n p≥ ≥ . Chứng minh rằng 2 11 1 n p k p k p=   − >   +∏ 380. [ Prymak ] Cho 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n nx x x y y y là các số thực dương. Chứng minh rằng 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 40 ( ) ( ) 333 3 1 21 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ... ... ... nn n n x x xxx x y y y y y y + + + + + + ≥ + + + . 381. [ D. Mitin ] Cho , 0, 2 x y π    ∈    . Chứng minh rằng cos cos 4 11 cos cos cos 4 2 cos cos 4 x y x y x y x y  − + ≤ +   + − + −  . 382. [ D. Mitin ] Cho 1 2, ,..., 0nx x x ≠ , 1 2 2 3 1 ... 0nxx x x x x + + + = . Chứng minh rằng ( )( )1 2 2 3 1 1 211... max min ...n k k nk nk nx x x x x x x x x x x≤ ≤≤ ≤+ + + ≤ − + + + . 383. [ V. Yasinskyy ] Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn các điều kiện 2a b c+ + = và 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng { } { } 4max , , min , , 3 a b c a b c− ≤ . 384. [ V. Brayman ] Cho 1 , , , 2a b c d≤ ≤ . Chứng minh rằng 4 2 3 a b c d b cd c da d ab a bc ≤ + + + ≤ + + + + . 385. [ O. Makarchuk ] Cho , , 1a b c> thỏa mãn điều kiện a b c abc+ + = . Chứng minh rằng ( )( )( )2 2 21 1 1 8a b c− − − ≤ . 386. [ V. Yasinskyy ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa điều kiện 1, 1x y z x y z+ + ≤ − + ≤ , 4 2 8, 4 2 8x y z x y z+ + ≤ − + ≤ . Chứng minh rằng 3 7x y z+ + ≤ . 387. [ O. Rybak ] Cho , ,a b c là các số thực khơng âm. Chứng minh rằng 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 3 4 3 2 2 2 2 2 2 b c c a a b a b c a b c b c a c a b+ + + + + + + + ≥ + + + + + . 388. [ Cezar Lupu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2a b c a bc b ca c ab b c c a a b a b a c b a b c c a c b + + + + + ≥ + + + + + + + + + + + . 389. [ Daniel Campos Salas ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 4a b c abc+ + + = . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 13 a b c ab bc ca + + ≥ ≥ + + . 390. [ Bogdan Enescu ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn các điều kiện cos cos cos 0,cos3 cos3 cos3 0x y z x y z+ + = + + = . Chứng minh rằng cos 2 .cos 2 .cos 2 0x y z ≤ . 391. [ Phạm Hữu ðức ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 6.b c c a a b a b c a b c abc + + + + + + + ≥ . 392. [ Vasile Cartoaje ] Cho , , ,a b c d là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 4a b c d+ + + = . Chứng minh rằng 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 41 ( ) ( )( )2 4 2 1 4ab bc cd da a b c d− − − − ≥ + − − − − . 393. [ Hồ Phú Thái ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 22 2 2 a b c a b c ab bc caa bc b ca c ab + + + + ≤ + ++ + + . 394. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2 5, ,...,a a a là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 1 2 2 3 5 11 1 ... 1 2a a a a a a a a a a a= + + + + + + + . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 a a a a a + + + + . 395. Cho 1 2 3 4, , ,x x x x là các số thực thỏa mãn các điều kiện 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 40, 1x x x x x x x x+ + + = + + + = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3 3 1 2 3 4x x x x+ + + . 396. [ Cezar Lupu ] Cho , ,a b c là các số thực khơng âm. Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2a abc b abc c abc a b c b c c a a b + + + + + ≥ + + + + + . 397. [ Titu Andresscu ] Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng 3 3 3 1cos cos cos cos cos cos 2 A B C A B C+ + + ≥ . 398. [ Phạm Hữu ðức ] Cho , ,a b c là các số thực khơng âm nhưng khơng cĩ hai số nào trong ba số đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 9a bc b ca c ab abc b c c a a b a b c + + + + + ≥ + + + + + . 399. [ Titu Andresscu ] Cho , ,a b c là các số thực. Chứng minh rằng ( )( )( )2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 33 a ab b b bc c c ca a a b b c c a− + − + − + ≥ + + . 400. [ Darij Grinberg ] Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng 3 cos cot cos cot cos cot cot cot cot 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A A B B C C A B C + + ≥ + +    . 401. [ Marian Tetiva ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng a) Nếu 1a b c≤ ≤ ≤ thì 1 1 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a a b c + + ≥ + + + + + + + + . b) Nếu 1a b c≤ ≤ ≤ thì 1 1 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a a b c + + ≤ + + + + + + + + . 402. [ Vasile Cartoaje ] Cho , ,x y z là các số thực khơng âm. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )54 4 4 1 12 x y z y z x z x y x y z+ + + + + ≤ + + . 403. [ Zdravko F. Starc ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc= . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 2 0a b b b c c c a a− + − + − ≥ . 404. [ Ivan Borsenco ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( )( )3 2 2 2 2 2 23ab bc ca a b b c c a ab bc ca+ + ≤ + + + + . 405. [ Nikolai Nikolov ] Cho 0 1,0 1y x z< < < < < . Chứng minh rằng 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 42 ( )( )1 1 z z z z x yx y x y xy − − − > − . 406. [ Bogdan Enescu ] Cho ,a b là hai số thực phân biệt thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1a b a b a b− + + = + = − + + . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b+ . 407. [ Iurie Boreico, Marcel Teleucă ] Cho 1 2 1 , ,..., 2n x x x ≥ . Chứng minh rằng ( )( ) ( )( )4 1 2 2 3 1 1 1 2 41 ... 3 3 x nin i n n n i x x x x x x x x x− =      + ≥ + + + +      ∏ . 408. [ Iurie Boreico, Ivan Borsenco ] Cho , ,a b c là các số thực dương phân biệt. Chứng minh rằng ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16a b a c b a b c c a c b abc a b c ab bc ca a b c + + + + + ≥ + + − − − + + . 409. [ Titu Andreescu ] Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn điều kiện ( )3 2 1a b ab+ ≥ + . Chứng minh rằng ( )3 3 3 39 1a b a b+ ≥ + . 410. [ Titu Andreescu ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 23 2a ab b c cd d a c abcd b d− + − + ≥ − + . 411. [ Ivan Borsenco ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng a) ( ) ( )( )23 3 3 4 4 4a b c a b c ab bc ca+ + ≥ + + + + . b) ( ) ( )( )2 34 4 4 5 5 59 a b c a b c a b c+ + ≥ + + + + . 412. [Titu Andreescu ] Cho ,a b là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 29 8 7 6a ab b+ + ≤ . Chứng minh rằng 7 5 12 9a b ab+ + ≤ . 413. [ Phạm Hữu ðức ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )2 2 2 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a ab bc ca a b c   + + ≥ +  + + + + + + + + + . 414. [ Cezar Lupu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 3 3 41 1 1 ab bc ca ab bc ca a b c b c a c a b a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + + + + . 415. [ Bin Zhao ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 14 4 4 4 4 4 a b c a ab b b bc c c ca a + + ≤ + + + + + + . 416. Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn điều kiện 1, 0a a b c≥ + + = . Chứng minh rằng 4 4 4 3a b c abc+ + − . 417. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 8abc≤ . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1a a b b c c + + ≥ − + − + − + . 418. Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1n n i i i i S x x= = = =∑ ∑ . Chứng minh rằng 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 43 1 1 1 1 1 1 n n i ii in x S x= = ≥ − + + −∑ ∑ . 419. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( ) 1 1 1 4x y z x y z  + − + − =    . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( )4 4 4 4 4 4 1 1 1 , ,E x y z x y z x y z  = + + + +     . 420. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 5 2 a b b c c a a b b c c a + + + + + ≥ + + + . 421. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 3 1 1 1 a b b c c a b c a + + + + + ≥ + + + . 422. Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuơng. Hãy tìm giá trị lớn nhất của số thực k để ( )33 3 3a b c k a b c+ + ≥ + + . Iran, 2006 423. Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 1 n i i x = =∑ . Chứng minh rằng 2 1 1 1 1 1 n n i i i i n x x n= =      ≤      + +  ∑ ∑ . China TST, 2006 424. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 2 2 xy yz zx xy yz yz zx zx xy + + ≤ + + + . China TST, 2006 425. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c + + ≥ + + . Romania TST, 2006 426. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 3 2 a b c a b b c c a b c a c a b    + + +  + + ≥ + +        . Junior Balkan TST, 2006 427. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng ( ) 2 2 2 2 2 23a b c a b c b c a + + ≥ + + . Junior Balkan TST, 2006 428. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1xy yz zx+ + = . Chứng minh rằng ( )( )( ) ( ) 227 6 3 4 x y y z z x x y y z z x+ + + ≥ + + + + + ≥ . Turkey TST, 2006 429. Cho ( )1 2, ,..., 3na a a n≥ là các số thực. Giả sử rằng ta cĩ 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 44 ( ) ( )21 2 1 2 2 3 1... 4 ...n na a a a a a a a a+ + + ≥ + + + . a) Tìm tất cả các giá trị của n để bất đẳng thức trên đúng khi 1 2, ,..., na a a là các số thực dương. b) Tìm tất cả các giá trị của n để bất đẳng thức trên đúng khi 1 2, ,..., na a a là các số thực bất kì. Italy, 2006 430. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 32 2 2 3 2 2 2 a b b c c a a c b a c b      + + +    + + ≥             + + + . MOP, 2004 431. Cho k +∈ℤ , 1 2, ,..., na a a là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 2 ... 1na a a+ + + = . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 kn nki k i i a n a= − ≥ −∏ . 432. Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện 1 2 ... 1na a a+ + + = . Chứng minh rằng 1 2 2 3 1 1 ... 4n n a a a a a a−+ + + ≤ . 433. Cho ( )1 2, ,..., 1na a a n> là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 2... 1na a a = . Chứng minh rằng 1 2 1 2 ...1 1 1 ... 1 1 1 4 n n a a a n a a a + + + + + + + ≤ + + + . 434. [ Aaron Pixton ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng ( )( )( )5 1 1 1a b c a b c b c a + + + ≥ + + + . 435. [ Mildorf ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 3 3 3 33 3 3 4 4 44 4 4 4 4 4 a b ca b b c c a a b b c c a + + + + + ≤ + + + + + . 436. [ Po – Ru Loh ] Cho , , 1a b c> thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1a b c + + = − − − . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1a b c + + ≤ + + + . 437. [ Weighao Wu ] Cho x∈ℝ . Chứng minh rằng ( ) ( )sin cossin cosx xx x< . 438. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 21 2 a b c a b b c c a < + + ≤ + + + . 439. [ Gabriel Dospinescu ] Cho ( )1 2, ,..., 1na a a n> là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 2... 1na a a = . Chứng minh rằng 22 2 1 2 1 2 11 1 ... ... 2 2 2 n n aa a a a a ++ + + + + ≤ + + + . 440. [ Vascile Cartoaje ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 45 3 1 1 1 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + + . 441. Cho 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện 1i j i j x x < − =∑ . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 1 i i x = ∑ . 442. Cho [ ]1 2 3 4, , , 1,1x x x x ∈ − . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 4 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 11 i i ii F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x == = − + + + + + + + + + −∑ ∏ . 443. Cho [ ], , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1a b c b c a c a b abc− − + − − + − − ≤ + . 444. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )2 2 22 2 2 3 a b ca b c b c a a b c + + + + ≥ + + . 445. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 2 a b b c c a a b ab b c ca c a ca + + + + + ≥ + + + + + + . 446. [ Cao Minh Quang ] Cho ( )1 2, ,..., 2nx x x n≥ là n số thực dương thỏa điều kiện 1 1 2 n i i i x x= ≤ +∑ . Chứng minh rằng ( ) 1 11 1 1 n i i n n x n= − ≥ + +∑ . 447. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 1 3 2 3 3 2 3 3 2 3 12 ab bc ca a b b c c a + + ≤ + + + + + + . 448. Cho 1 2 2, ,..., nx x x là các số thực thỏa mãn điều kiện 1 1, 1,2,..., 2 1i ix x i n+ − ≤ = − . Chứng minh rằng ( )1 2 2 1 2 2... ... 1n nx x x x x x n n+ + + + + + + ≤ + . Romania TST, 2000 449. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( )33 4a ab abc a b c+ + ≤ + + . 450. [ Rumen Kozarev ] Cho x∈ℝ . Chứng minh rằng 2 2 4 22.3 0 1 x x x x x x  + +  − ≥   + +  . 451. Cho ( )0 1, 1,2,..., 2ix i n n≤ ≤ = ≥ . Chứng minh rằng ( ) ( )1 2 1 2 2 3 1 1... ... 2n n n n n x x x x x x x x x x x−    + + + − + + + + ≤    . Bulgaria, 1995 452. Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 46 ( )4 4 4 4 4 4 4 4 2 2a c a d b c b d ad bc+ + + + + + + ≥ + . Turkey, 2006 453. [ Phan Thị Mùi ] Cho 1 , 2a b≤ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức ( )2 3 3 a b P a b + = + 454. [ Lê Quang Nẫm ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( )( )( )( )4 xy yz zx x y y z z x x y y z z x+ + ≤ + + + + + + + + . 455. Cho , , 1a b c> . Chứng minh rằng 12 1 1 1 a b c b c a + + ≥ − − − . 456. [ Nguyễn ðức Tấn ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3a b c a ac b ba c cb b c a + + ≥ + + . 457. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3 3 3 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + ≥ − − − . 458. Cho , ,a b c là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3S ab bc ca= + + . 459. [ Thái Nhật Phượng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 1xyz xy yz zx+ + + ≤ . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức xyz . 460. [ Minh Trân ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện 1 1 n i i x = =∑ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 2 3 1... n nx x x x x x−+ + + . 461. [ Trần Văn Tỏ ] Cho , , 1a b c≥ . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 12 9 1 1 1 a b c b c a c a b a b c  + + + + + + + + ≥  + + + . 462. [ Tạ Hồng Thơng ] Cho , ,x y z là ba số thực dương thỏa điều kiện 3 3 3 3x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )3P xy yz zx xyz= + + − . 463. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( ) 1 1 1 , 1, 2,..., k k i i i a i i k n = = ≤ + =∑ ∑ . Chứng minh rằng 1 1 1 n i i n a n= ≥ +∑ . 464. [ Tạ Hồng Thơng ] Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa điều kiện 2 2 2 3a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 2 2 2 ab bc caM ab bc ca + + = + + . 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 47 465. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Hãy xác định giá trị lớn nhất của số thực k để ta luơn cĩ bất đẳng thức ( )( )2 2 2 1 1 1 3 1k k a b c a b c + + + ≥ + + + . Vietnam, 2006 466. Cho [ ], , 1, 2x y z ∈ . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 6 x y zx y z x y z y z z x x y      + + + + ≥ + +     + + +    . Vietnam TST, 2006 467. [ ðỗ Văn Ta ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc≥ . Chứng minh rằng 3 2 a b c b ac c ab a bc + + ≥ + + + . 468. Cho 1 , , 1 2 x y z≤ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 x y y z z xP z x y + + + = + + + + + . 469. [ Phạm Hồng Hà ] Cho , ,x y z là ba số thực khơng âm thỏa điều kiện 4x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 3 1 4 1P x y z= + + + + + . 470. [ Trần Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực khơng âm thỏa điều kiện 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( )3 3 3P a b c b c a c a b= − + − + − . 471. [ Tạ ðức Hải ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 14 9a c b c a babc b a ca b c b c a c a b   + + + + + + + + ≥  + + +   . 472. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 3 3 4 1 1 1 4 bc ca ab a b c a bc b ca c ab + + ≤ + + ≤ + + + . 473. [ Trần Tuấn Anh ] Cho 2, 0, 2 x y    ∈     . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 21 1 x yP y x = + + + . 474. Cho [ ]1 2 2007, ,..., 1,1x x x ∈ − thỏa mãn điều kiện 2007 3 1 0i i x = =∑ . Chứng minh rằng 1 2 2007 2007 ... 3 x x x+ + + ≤ . ðẳng thức xảy ra khi nào? 475. [ Phạm Hồng Hà ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 2 2 2006x y y z z x+ + + + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 x y zH y z z x x y = + + + + + . 476. [ Cao Xuân Nam ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 48 4 4 4 4 4 4 8 8 8 0 16 16 16 x y z x y z − − − + + ≥ + + + . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyz . 477. [ Nguyễn Khánh Nguyên ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 a b c b a c b a c + + ≥ + − + − + − . 478. [ Phan Tiến Thành ] Cho ( ), , 0,1x y z ∈ thỏa mãn điều kiện ( )( )( )1 1 1xyz x y z= − − − . Chứng minh rằng 2 2 2 3 4 x y z+ + ≥ . 479. [ Trần Tuấn Anh ] Cho 3, , 1, 4 1a b c a b c≥− + + = − . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3P a b c= + + . 480. [ Bùi Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )3 2 2 2 a b cab bc caP a b c abc + ++ + = + + + . 481. [ Trần Việt Anh ] Cho n∈ℕ . Kí hiệu ( )2 1 !!n+ là tích các số nguyên dương lẻ từ 1 đến 2n +1. Chứng minh rằng ( ) ( )12 1 2 1 !!n nn n π++ ≤ + . 482. [ Ngơ Trung Kiên ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3ab bc ca abc+ + ≤ . Chứng minh rằng 4 4 4 1 2 2 2 a b b c c a a b b c c a + + ≥ + + + . 483. [ Phạm Văn Thuận ] Cho , , ,a b c d là các số thực phân biệt thỏa mãn các điều kiện 4,a b c d ac bd b c d a + + + = = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )2 a b c d abcd c d a b ad cd + + + − + . 484. [ Phạm Kim Hùng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc≥ . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a + + + + + ≥ + + + + + . 485. [ Trần Nam Dũng ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( )2 2 22 8 5xyz x y z x y z+ + + + ≥ + + . ðẳng thức xảy ra khi nào? 486. [ Trần Nam Dũng ] Cho ( )1,2k ∈ − và , ,a b c là ba số thực đơi một khác nhau. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 9 21 1 1 4 k a b c k ab bc ca a b b c c a   −  + + + + + + + ≥     − − −   . ðẳng thức xảy ra khi nào? 500 Bài Tốn Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 49 487. Cho 1 2, ,..., 1nx x x >− thỏa mãn điều kiện 3 3 3 1 2 ... 0nx x x+ + + = . Chứng minh rằng 1 2 ... 3n n x x x+ + + ≤ . 488. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng ( )1 1 1 2ab bc ca a b c c a b + + + + + ≥ + + . 489. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 bc a ca b ab c abc a b c    + + +     ≥           + + + . 490. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 . 1 1 1 yz zx xy x x y z y x y z z x y z x y z x x y z y x y z z x y z + + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + + + 491. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 3 3 3 a b b c c a a b c+ + ≥ + + . 492. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 1 1 1 9 1 1 1 10xy yz zx + + ≥ + + + . 493. Cho 1 , 1x y− ≤ ≤ . Chứng minh rằng 2 2 21 1 2 1 2 x y x y  + − + − ≤ −    . 494. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng n nn n nn n n n n+ + − ≤ . 495. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 3 21 1 1 a b c a b c + + ≤ + + + . 496. Cho , , ,a b x y là các số thực dương, a b< . Chứng minh rằng ( ) ( )b aa a b bx y x y+ ≥ + . 497. Cho 10 , , 2 a b c< ≤ . Chứng minh rằng 31 1 1 31 1 1 1 a b c a b c            − − − ≥ −                 + + . 498. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 1a b c d+ + + = . Chứng minh rằng ( )( )( )( )1 1 1 1a b c d abcd− − − − ≥ . 499. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 1a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + . 500. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2a b c a b ca ab b bc c ca a b c + ++ + + ≥ + + . … sẽ tiếp tục cập nhật