Bài giảng Cơ sở lí thuyết thông tin - Chương 2: Mã hóa. Mã thống kê tối ưu - Phạm Hải Đăng

Mã hóa – Mã thống kê tối ưu  Khái niệm mã hóa, các thông số của mã hóa  Mã thống kê  Entropy  Mã Shannon-Fano  Mã Huffman 13/02/2014 Slice 1 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội Mã thống kê – Khái niệm về Entropy  Entropy trong lí thuyết thông tin là phép đo định lượng về “thông tin” của nguồn tin.  Nguồn tin có Entropy lớn  nội dung ngẫu nhiên  Nguồn tin có Entropy nhỏ  nội dung có có cấu trúc, lặp lại.  Entropy được sử dụng trong việc mã hóa – nén thông tin. Nếu phân bố xác suất PDF của nguồn tin được biết trước, giá trị Entropy cho biết số bit trung bình cần thiết để mã hóa nguồn tin. 13/02/2014 Slice 2 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội Mã thống kê – Tính giá trị Entropy  H(X) – Entropy của nguồn tin  X – Nguồn tin với các kí tự x  b=2 - bit thông tin Ví dụ: H(X)=2.04 13/02/2014 Slice 3 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội    Xx b xpxpXH )(log).()( symbol Tần suất p(x) -p(x).log2p(x) a 5 0.45 0.52 b 2 0.18 0.45 r 2 0.18 0.45 c 1 0.09 0.31 d 1 0.09 0.31 11 2.04 Mã thống kê – Tính chất của Entropy Ví dụ: Nguồn tin “abracadabra” H(X)=2.04 Nguồn tin “abracadabra” có thể mã hóa với mã có độ dài trung bình 2.04bit/kí tự. Bản tin mã hóa theo cách này được gọi là mã tối ưu hay mã hóa Entropy. 13/02/2014 Slice 4 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội    Xx b xpxpXH )(log).()( symbol Tần suất p(x) -p(x).log2p(x) a 5 0.45 0.52 b 2 0.18 0.45 r 2 0.18 0.45 c 1 0.09 0.31 d 1 0.09 0.31 11 2.04 Mã thống kê – Entropy của nguồn tin nhị phân Bản tin binary gồm 2 kí tự A,B P(A)=1-P(B) Nhận xét: - Giá trị Entropy cực đại H=1 khi A và B có xác suất như nhau (0.5). Khi đó độ dài mã trung bình là 1 bit – tối ưu. - Trong các trường hợp còn lại, H<1, cần lựa chọn mã khác để đạt hiệu quả tốt hơn (code efficiency) 13/02/2014 Slice 5 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội Mã thống kê – Định nghĩa và phân loại  Entropy cung cấp thông tin về độ dài từ mã cần thiết cho việc mã hóa nguồn tin.  Điều kiện tiên quyết của mã thống kê là cần biết trước xác suất xuất hiện của các kí tự (symbol) trong nguồn tin.  Bộ mã hóa thống kê sẽ gán các từ mã (code word) có độ dài ngắn vào các kí tự có xác suất lớn, và ngược lại, gán từ mã có độ dài lớn cho các kí tự có xác suất nhỏ => Giảm kích thước của nguồn tin.  Các thuật toán của mã hóa thống kê  Mã Shannon-Fano  Mã Huffman 13/02/2014 Slice 6 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội Mã Shannon-Fano  Do Shannon và Fano độc lập xây dựng dựa trên lí thuyết Entropy.  Mã Shannon-Fanon được xây dựng nhằm tối ưu hóa độ dài của từng từ mã (code word) tiệm cận với giá trị -logp(x). Ví dụ: H(X)=2.1858 13/02/2014 Slice 7 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội symbol Tần suất p(x) Lượng tin riêng -log2p(x) A 15 0.38 1.38 B 7 0.18 2.48 C 6 0.15 2.70 D 6 0.15 2.70 E 5 0.13 2.96 0 1 0 1 0 1 0 1 15+7=22 symbol Code word A 00 B 01 C 10 D 110 E 111 6+6+5=17 Mã Huffman  Mã Huffman được xây dựng dựa trên lí thuyết Entropy  Mã Huffman xây dựng cây nhị phân và gán giá trị bit từ dưới lên (bottom-up) nhằm tối ưu hóa kích thước của toàn bộ bản tin. Ví dụ: H(X)=2.1858 13/02/2014 Slice 8 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội symbol Tần suất p(x) Lượng tin riêng -log2p(x) A 15 0.38 1.38 B 7 0.18 2.48 C 6 0.15 2.70 D 6 0.15 2.70 E 5 0.13 2.96 0 symbol Code word A 0 B 100 C 101 D 110 E 111 1 0 1 1 1 0 0 So sánh giữa mã Shannon-Fano và Huffman 13/02/2014 Slice 9 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội  Mã Shannon-Fano: các từ mã có kích thước gần với lượng tin riêng của kí tự (sai số ±1)  Mã Huffman đảm bảo kích thước của bản tin mã hóa nhỏ nhất  Kích thước bản tin H(X)=2.1858 symbol Shannon-Fano Code word Huffman Code word Tần suất Lượng tin riêng -log2p(x) A 00 0 15 1.38 B 01 100 7 2.48 C 10 101 6 2.7 D 110 110 6 2.7 E 111 111 5 2.96 bitbitbitL bitbitbitL Huffman Shannon 87)5667(3151 89)56(3)6715(2   symbolbitbitR symbolbitbitR Huffman Shannon /23.239/87 /28.239/89   Vi du 13/02/2014 Slice 10 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội