Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2, Phần 2: Ma trận. Định thức, hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Hải Sơn

1BÀI 2 aac d b b d c  2 §2: Định Thức Theo phương pháp Grame ta có công thức nghiệm sau: - Xét hệ phương trình sau: ' ' ' ax by c a x b y c      ; , ( 0) ; ; ' '' ' ' ' ' ' yx x y DDx y D D D a b c b a cD D D ac a ca b c b a c         “Định thức” cấp 2 2.1 Mở đầu 3 §2: Định Thức Ta có thể định nghĩa: Xét hệ phương trình sau: 11 12 13 21 22 2 1 23 31 32 3 33 a x a y a z a x a y a z a b bx a y a z b            11 12 13 21 22 23 31 32 33 ? a a a D a a a a a a  4 §2: Định Thức ; ; , ( 0) yx z DDx y D D Dz D D     12 13 22 23 1 2 3 33 2 3 ?x b a a D a ab a a b  111 12 21 22 31 2 33 2 ?z a a D a a a a b b b  11 131 2 3 21 23 31 33 ?y b b a a D a a a ab  5  Định thức cấp 2: §2: Định Thức 11 12 2 11 22 12 21 21 22 .a aD a a a aa a    Ví dụ: 2 3 2.6 5.3 3.5 6     6  Định thức cấp 3: (Quy tắc hình sao) §2: Định Thức 11 12 13 3 21 22 23 31 32 33 a a a D a a a a a a  11 22 33 31 12 23 13 32 21 13 22 31 33 21 12 11 32 23 ( ) ( ) a a a a a a a a a a a a a a a a a a       7 §2: Định Thức  Ví dụ: Tính 2 1 5 1 4 0 3 6 2   2 1 5 1 4 0 3 6 2   =[2.4.(-2)+1.0.3+5.(-1).6] -[5.4.3 +2.0.6+1.(-1).(-2)] =[-16+0-30]-[60+0+2]=-108 = -108 8 §2: Định Thức 3 1 2 3 4 0 1 2 5     Bài tập: Tính 2 4 1 3 5 6 0 2 3    36 12 24    = -55 9  Ví dụ: Tính §2: Định Thức 1 2 3 2 4 1 3 5 6  (1.4.6+3.2.1+3.2.5) -(3.4.3 +1.1.5)+6.2.2 =(24+6+30)-(36+24+5)=60-65=-5 10 §2: Định Thức  Bài tập: Tính 3 1 4 5 2 0 6 1 7   =[ 3.(-2).7+6.1.0+4.5.(-1) ] -[ 4.(-2).6+7.1.5+3.0.(-1) ] = -62+13= - 49 11 §2: Định Thức 2.2 Định nghĩa 2.2.1 Đ/n1: Cho ma trận A=[aij ] vuông cấp n. Phần phụ đại số của aij, kí hiệu là Aij , được xác định như sau i j ij ij A ( 1) detM   trong đó Mij là ma trận có được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng i, cột j. 12 §2: Định Thức  Ví dụ: Cho ma trận              063 125 341 A 1 1 11 11( 1) det( )A M   6   )det()1( 122112 MA 3 5 1( 1) 3 0  3  1 3 13 13( 1) det( )A M   4 5 2( 1) 3 6  36 13 §2: Định Thức  Bài tập: Với              063 125 341 A  Tính 21 23 33 A A A    14 §2: Định Thức 2.2.2 Đ/n 2. Cho ma trận vuông cấp n Định thức của A là một số được kí hiệu là detA, hay [ ] ij A a 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a   Nếu n=1 thì |[a11 ]| = a11. được xác định quy nạp theo n như sau: 15 §2: Định Thức  Nếu n>1 thì  Nếu n=1 thì |[a11 ]| = a11. 11 12 1 11 11 12 12 1 1* n n n a a aA A a A a A a A            (khai triển theo hàng 1) - Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n. 16 §2: Định Thức  Ví dụ: Tính định thức sau: 1 4 3 5 2 1 3 6 0   11 12 1 11 12 1313 i A Aa a a A     .( 6) .( 3)1 4 ( 3 .36 126 )      1 4 3 5 2 1 3 6 0   17 §2: Định Thức 2.3. TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc (i) detAt = detA. Hq : Một mệnh đề về định thức nếu đã đúng cho hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất sau đây ta chỉ phát biểu cho “hàng”.  VÝ dô: 1 4 7 1 2 3 2 5 8 4 5 6 3 6 9 7 8 9  18 §2: Định Thức  VÝ dô: (ii) Nếu đổi chỗ hai hàng bất kì của định thức thì định thức đổi dấu 1 3 * * * * * * . h h a b c x y z x y z a b c   19 §2: Định Thức Hq. Khi tính định thức ta có thể khai triển theo hàng và cột bất kì. 2 2 1 0 3 1 2 1 0 4 3 0 5 0 4 2    4 14 24 3414 2 44 34 44 4 j a aA A A Aa a      6 8 14 34 2 2 1 2 2 1 . ( 1) 0 4 3 . ( 1) 3 1 2 86 5 0 4 0 0 ( 2) 4 1 3 0          A A 20 §2: Định Thức 4 5 7 2 3 0 1 2 0 ( 1) 1 5 1 ( 1) 4 1 1 2 ( 1) 2 3 6 0 2 3 i          (24 5) 6( 3 26)      Ví dụ: Tính định thức sau: 19 174 193   21 §2: Định Thức  Bµi TËp: TÝnh ®Þnh thøc sau 1 2 3 1 0 2 4 2 1 3 0 4 2 0 1 5     = 102 22 §2: Định Thức (iii) Nếu các phần tử của một hàng nào đó của định thức có dạng tổng của 2 số hạng thì ta có thể viết định thức thành tổng của 2 định thức như sau: 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... a b a b ... a b a a ... a b b ... b ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...      (các phần tử còn lại giữ nguyên) 23 §2: Định Thức  VÝ dô: 2 3 2 3 2 3    a b c d a c b d 24 §2: Định Thức  VÝ dô: 4 10; 22 53 6 84A A              24 10 2.2 2.5 2 5det(2 ) 2 2.2 2 det( ).6 8 6 8 2.3 2.4 2 5 3 4    A A (iv) Nếu nhân một hàng nào đó của định thức với một số λ thì được định thức mới bằng λ lần định thức cũ. Hq: (1) Nếu các phần tử của một hàng có thừa số chung thì ta có thể đưa thừa số đó ra ngoài dấu định thức. 25 §2: Định Thức  VÝ dô: 1 3 1 2 3 1 2 3 5 7 9 5 7 9 1 2 3 1 2 3 h hA B A                      det( ) det( ) det( ) det( ) det( ).A B A A A      26 §2: Định Thức  VÝ dô: 2 ( 4) 1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 0 3 6     h h a b c a b c (v) Nếu thêm vào một hàng của định thức bội λ của hàng khác thì định thức không đổi. 27 §2: Định Thức  Ví dụ: 1 5 0 2.( 3).5.10. 12 ( 3) i    2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1  1 1 111 2 3 0 0 0 5 0 0 0 1 i Aa     (vi) Định thức của ma trận chéo bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. 28 §2: Định Thức  Ví dụ: 1 5 8 2 0 3 6 0 0 0 2 9 0 0 0 5  1.3.2.5 30  - Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. 29 §2: Định Thức (vii) Cho A, B là các ma trận vuông cấp n. Khi đó det(AB) = detA.detB 30 §2: Định Thức  Ví dụ: Cho 2 ma trận 2 3 1 5;1 4 2 7A B              8 31 9 33AB         det( ) 5;det( ) 3A B   det( ) 15 5.( 3) det( ).det( )AB A B     31 §2: Định Thức 2.4 Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp 32 §2: Định Thức  Ví dụ 1: Tính định thức 1 2 1 3 2 3 1 5 1 6 5 2 3 4 2 7 D      2 12h h  1 2 1 3 0 1 3 1 1 6 5 2 3 4 2 7       3 1h h  1 2 1 3 0 1 3 1 0 8 4 1 3 4 2 7     4 13h h 0 2 1 2  1 1 111 j a A   1 3 1 . 8 4 1 2 1 2 1      33 §2: Định Thức  Ví dụ 2: Tính định thức 0 2 3 5 1 0 2 2 2 3 0 6 4 1 7 0 D   1 0 2 2 0 2 3 5 2 3 0 6 4 1 7 0    1 2h h  3 1 4 1 2 4 h h h h    1 0 2 2 0 2 3 5 0 3 4 2 0 1 1 8     2 3 5 1 3 4 2 1 1 8   34 §2: Định Thức  Bài tập: Tính định thức sau 1 1 2 0 3 1 0 4 2 0 5 2 0 3 6 1 D      = 58 35 §2: Định Thức  Ví dụ 3: Tính định thức cấp n sau 1 1 1 ... 1 1 0 1 ... 1 1 1 0 ... 1 ... ... ... ... ... 1 1 1 ... 0 nD  2 1h h  1 1 1 ... 1 0 1 ... 0 1 1 0 ... 1 ... ... ... ... ... 1 1 1 ... 0   Tiếp tục hàng 3 trừ hàng 1, hàng 4 trừ hàng 1, 36 §2: Định Thức  Ta được: 1 1 1 ... 1 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 nD     1( 1)n 