Giáo trình Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian vector

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ TÀI LIỆU MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LÝ THUYẾT CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VECTOR 3.1. Khái niệm không gian vector 3.1.1. Khái niệm cơ bản về không gian vector Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K, hay một K-không gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng), ký hiệu (+) và một phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thỏa mãn các điều kiện sau: 1) Tính giao hoán của phép cộng: 2( , ) ,x y V x y y x  + = + ; 2) Tính kết hợp của phép cộng: 3( , , ) , ( ) ( )x y z V x y z x y z  + + = + + ; 3) Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0 thỏa mãn: , 0 ;x V x x  + = 4) ,x V  tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là x− thỏa mãn: ( ) 0;x x+ − = 5) 2( , ) , , ( ) ;x y V K x y x y       + = + 6) ( ) 2, , , ( ) ;x V K x x x         + = + 7) ( ) 2, , , ( ) ( );x V K x x        = 8) ,1 .x V x x  = Ví dụ: - Trường K là một không gian vectơ trên chính nó, tức là mỗi phần tử của K vừa đóng vai trò là một vectơ, vừa đóng vai trò là một vô hướng. - Cho 1 2{( , ,..., ) | } n n ix x x x=  với các phép toán 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , ,..., ), ( , ,..., ) ( , ,..., ); ( , ,..., ). n n n n n n x x x x y y y y x y x y x y x y x x x x     = =  + = + + + = - Tập hợp những vectơ tự do trong mặt phẳng với những phép toán cộng vectơ và phép nhân vectơ với một số thực mà chúng ta đã biết trong chương trình toán phổ thông là một không gian vectơ trên trường số thực . - Tập hợp M(m, n, K) với các phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với một số tạo thành một không gian vectơ trên K. - Tập hợp K[x] các đa thức một biến với hệ số trên trường K cùng với phép toán cộng đa thức và nhân đa thức với một số K tạo thành một không gian vectơ trên trường K. - Gọi tập hợp [ ]n x là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n, trong đó n là số nguyên dương. Ký hiệu [ ] { [ ] | deg }nK x f K t f n=   , với deg f là bậc của f. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 1 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Nếu  và 0 1 ... m mf a a t a t= + + + với m n . Trong [ ]nK t với phép toán cộng và phép nhân vô hướng được định nghĩa như sau: , [ ]f g K t giả sử 0 1 ... m mf a a t a t= + + + và 0 1 ... r rg a a t a t= + + + với ,m r n Không mất tính tổng quát giả sử m < r. 1 0 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ... ( ) ... ... r r m r r r m m m f g a b a b t a b t a t a t f a a t a t    ++ = + + + + + + + + + = + + + Kiểm tra được [ ]nK t cùng với hai phép toán được định nghĩa là không gian vector trên trường số thực - Gọi [ , ]C a b là tập hợp tất cả các hàm số ( )f t liên tục trên đoạn [a, b]. Định nghĩa các phép toán trong [ , ]C a b như sau: - Nếu , [ , ],f g C a b   thì ( )( ) ( ) ( ), [ , ];f g t f t g t t a b+ = +   ( )( ) ( ), [ , ].f t f t t a b =   3.1.2. Tính chất của không gian vector i) ,0 0x V x  = , trong đó 0 ở vế phải là vectơ 0, còn 0 ở vế trái là phần tử 0 của trường K; ii) , ( 1) ;x V x x  − = − iii) , , ( ) ( ) ( );x V K x x x       − = − = − iv) .0 0. = v) Nếu 0x = thì hoặc 0 = hoặc 0;x = vi) , 0 ; , 0 .x x x x y x y      =   = =   = 3.2. Không gian vector con 3.2.1. Khái niệm và tiêu chuẩn nhận biết 3.2.1.1. Định nghĩa Cho V là một K-không gian vectơ và W là một tập con khác rỗng của V. Khi đó W được gọi là một không gian vectơ con của V nếu W là một K-không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W. 3.2.1.2. Tiêu chuẩn nhận biết a. Định lý 1: Tập con W của không gian vectơ V là một không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa: i) 2, , ;x y W x y W  +  ii) , , .K x W x W      Nhận xét: Hai điều kiện i) và ii) ở trên có thể được thay thế bằng điều kiện sau: 2, ( , ) , .x y W x y W     +  Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 2 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Để chứng minh một tập hợp khác rỗng là không gian vector thì có hai cách hoặc chứng minh tập hợp này với hai phép toán cộng và nhân vô hướng thỏa các tiên đề của không gian vector; hoặc chứng minh rằng tập hợp đó là không gian vector con của một không vector khác. Ví dụ: 1. Cho V là một không gian vectơ trên K thì V cũng là không gian vectơ con của V. 2. Tập   cũng là một không gian vectơ con của V, được gọi là không gian không (hoặc không gian con tầm thường). 3. Với 2V = và 1 1{ ( ,0) | }W x x x= =  thì W là không gian vectơ con của V, thật vậy: 1 2 3u au bu cu= + + 1 1( ,0), ( ,0) ,x x y y W  = =    ta có: 1 1( ,0)x y x y W + = +  . b. Định lý: Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V là một không gian con của V. Ví dụ: Trong 3 ta xét hai tập hợp sau: 1 {( , ,0) | , }W x y x y=  và 2 {( ,0, ) | , }W x z x z=  Khi đó ta có thể kiểm tra được 1 2,W W là các không gian con của 3 . Đồng thời 1 2 {( ,0,0) | }W W x x =  là không gian con của 3 . Tuy nhiên 1 2 {( , , ) | 0W W x y z y = = hay z = 0}, không phải là không gian con của 3 . 3.2.2. Không gian con sinh bởi hệ vector 3.2.2.1. Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường K và 1 2, ,..., nv v v là các phần tử của V. Ta nói vectơ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 2, ,..., nv v v nếu tồn tại các vô hướng 1 2, ,..., n   K sao cho 1 1 2 2 ... n nv v v v  = + + + . 3.2.2.2. Ví dụ: i) Trong 3 cho 3 vectơ 1 2 3(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)u u u= = = . Khi đó vectơ u có dạng 3( , , )u a b c=  có dạng: 1 2 3u au bu cu= + + . Vậy, vectơ u là tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 2 3, ,u u u , hoặc ta có thể nói u biểu thị tuyến tính được qua các vectơ 1 2 3, ,u u u . ii) Cho 3V K= , 1 2 3(4,0,3); (1,0,1); (2,1,0); (0,1,1).v v v v= = = = Khi đó, vectơ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 2 3, ,v v v vì 1 2 32v v v v= + − . Mặt khác, vectơ (4, 2, 2)u = không là tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 (1,2,0)u = ; 2 (3,1,0)u = vì nếu ngược lại thì thành phần thứ 3 của vectơ u phải bằng 0, vô lý. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 3 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3.2.2.3. Nhận xét: i) Nếu v là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 2, ,..., nv v v thì v cũng là tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 2 1, ,..., ,n nv v v v + . Thật vậy, nếu 1 1 2 2 ... n nv a v a v a v= + + + thì 1 1 2 2 1... 0n n nv a v a v a v v += + + + + ii) Vectơ 0 luôn là tổ hợp tuyến tính của một họ vectơ bất kỳ. 3.3. Cơ sở và tọa độ trong không gian vector hữu hạn chiều 3.3.1. Hệ độc lập tuyến tính - Hệ phụ thuộc tuyến tính 3.3.1.1. Định nghĩa Họ các vectơ 1 2, ,..., nv v v của không gian vectơ V trên trường K được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng 1 2, ,..., n    K không phải tất cả đều bằng 0 sao cho: 1 1 2 2 ... 0n nv v v  + + + = . Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là hệ độc lập tuyến tính. 3.3.1.2. Nhận xét: - Họ các vectơ 1 2, ,..., nv v v phụ thuộc tuyến tính 1 1 2 2 ... 0n nv v v  + + + = thì tồn tại ít nhất 1 hệ số 0 . Giả sử đó là 0n  . Khi đó, 11 2 1 2 1... n n n n n n v v v v      − −= − − − − . Suy ra, nếu các vectơ 1 2, ,..., nv v v phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. - Các vectơ 1 2, ,..., nv v v độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu 1 2 1 ( , ,..., ) , 0 0, 1,..., . n n n i i i i K v i n     =   =  =  = Nói cách khác, hệ phương trình vectơ 1 1 2 2 ... 0n nx x x  + + + = có nghiệm duy nhất là (0, 0, ,0). 3.3.1.3. Ví dụ: Trong 4 cho hệ vectơ 1 2 3(1,0,1,1); (0,1,2,3); (1,2,3,4)  = = = . Hệ trên độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải: Xét hệ phương trình vectơ: 1 3 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 0 2 0 0 2 3 0 3 3 0 x x x x x x x x x x x x x    + =  + = + + =   + + =  + + = . Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 4 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ta có ma trận các hệ số của hệ trên là 1 0 1 0 1 2 1 2 3 1 3 4 A      =       và rankA = 3, nên hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (0, 0, 0). Do đó, hệ các vectơ trên độc lập tuyến tính. Nhận xét: i) Từ ví dụ trên để xét hệ m các vectơ 1 2, ,..., mv v v là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong n , ta lập ma trận A với các cột là các vectơ 1 2, ,..., mv v v , rồi tìm rankA. Nếu rankA = m (bằng số vectơ của hệ) thì hệ độc lập tuyến tính, ngược lại nếu rankA <m thì hệ phụ thuộc tuyến tính. Do rank rank TA A= nên nếu lập ma trận A có các dòng là các vector 1 2, ,..., mv v v và thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang¸khi đó hệ vector là độc lập tuyến nếu rankA = m (bằng số vectơ của hệ), ngược lại nếu rankA <m thì hệ phụ thuộc tuyến tính. ii) Vectơ u V gọi là biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ 1 2, ,..., mv v v , nếu tồn tại các số 1 2, ,..., m K    , sao cho 1 1 2 2 ... m mu v v v  = + + + (hay phương trình vectơ 1 1 2 2 ... m mu x v x v x v= + + + có nghiệm) Ví dụ 2: Trong 3 cho 3 vector sau: 1 2 3(1,2,3); (0,1,2); (1,3,5)u u u= = = . Khi đó ta có 1 2 3 0u u u+ − = khi đó hệ ba vector trên là phụ thuộc tuyến tính. Sinh viên có thể nhận xét do vector 3u là tổ hợp tuyến tính của hai vector 1 2;u u nên hệ 3 vector này phụ thuộc tuyến tính. 3.3.1.4. Định lý và hệ quả a. Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ các vectơ 1 2, ,..., nu u u V phụ thuộc tuyến tính là một trong các vectơ đó là tổ hợp của các vectơ còn lại. Sinh viên tự chứng minh định lý như bài tập nhỏ. b. Hệ quả: Trong các vectơ 1 2, ,..., nu u u V nếu có vectơ 0 thì hệ các vectơ này phụ thuộc tuyến tính. ✓ Nếu một phần của họ các vectơ 1 2, ,..., nu u u V phụ thuộc tuyến tính thì tất cả các vectơ của hệ đó đều phụ thuộc tuyến tính. ✓ v V  thì {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi 0v  . ✓ Hệ gồm hai vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hai vectơ đó tỷ lệ. Sau đây, ta sẽ mở rộng định nghĩa độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cho một họ bất kỳ những vectơ của không gian vectơ V. c. Định nghĩa: Một họ khác rỗng những vectơ của không gian vectơ V gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một họ con hữu hạn khác rỗng phụ thuộc tuyến tính của V. Ngược lại, một họ khác rỗng bất kỳ những vectơ của V gọi là độc lập tuyến tính, nếu mọi họ con hữu hạn khác rỗng của nó đều độc lập tuyến tính. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 5 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3.3.2. Hệ sinh 3.3.2.1. Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S). S được gọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh. Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không gian hữu hạn chiều. Do đó, nếu cho 1 2{ , ,..., } ,nS u u u V=  S là hệ sinh của V khi và chỉ khi: 1 2 1 1 2 2, ( , ,..., ) : ... n n n nu V u u u u         = + + + . Nếu S là hệ sinh của V thì ta ký hiệu 1 2{ , ,..., }nV S u u u= = . 3.3.2.2. Ví dụ: 1. Nếu { }S =  thì ( ) { }E S =  . 2. Đối với không gian vectơ n , hệ vectơ gồm các vectơ 1 2(1,0,...,0); (0,1,0,...,0);...; (0,0,....,1)ne e e= = = là một cơ sở của không gian vectơ n . 3. Tập các đơn thức { | 0}nt n  là một hệ sinh của không gian các đa thức K[t]. 4. Nếu S là hệ sinh của V, thì mọi tập chứa nó đều là hệ sinh của V. Nói riêng V là hệ sinh của V. 3.3.2.3. Nhận xét: Để chứng minh S là một hệ sinh của V ta chứng minh mọi tập con hữu hạn 1 2, ,.., nv v v là hệ sinh của V. Khi đó, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: Phương pháp 1: Chứng minh với mọi vector v thuộc V thì có các số 1 2, ,..., n   thuộc trường K sao cho 1 1 2 2 ... n nv v v v  = + + + . Trong không gian vector mK với n m điều này tương đương với hệ phương trình: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ... ... n n n n m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + =  + + + =    + + + = luôn có nghiệm với 1 2( , ,..., ) m mv b b b K=  trong đó 1i 2i( , ,..., ), 1,..,i miv a a a i n=  = . Phương pháp 2: Nếu biết trước 1 hệ sinh 1 2, ,..., mu u u của V thì cần chứng tỏ mỗi vector iu biểu diễn được qua các vector 1 2, ,..., mv v v với i = 1, , m. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 6 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ví dụ: Chứng minh rằng hệ 4 vector (1, 2,3); (0, 2,1); (0,0, 4); (2;4;5)u v w z= = = = là hệ sinh của không gian vector 3 . Giải: Xét hệ phương trình 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1. 0. 0 2 2. 2. 0 4 3. 1. 4. 5 x x x x b x x x x b x x x x b + + + =  + + + =  + + + = Hệ này có nghiệm vì hạng của ma trận hệ số bằng với hạng của ma trận hệ số mở rộng và nghiệm của hệ phương trình là: 1 1 2 2 1 3 3 1 4 2 ( 3 ) / 4 0 x b b x b x b b x =   = −   = −  = 3.2.2.4. Định lý 1: E(S) là không gian con của V và là không gian con nhỏ nhất của V chứa tập S. 3.2.2.5. Định lý 2: S là hệ sinh tối tiểu của E(S) khi và chỉ khi S là hệ độc lập tuyến tính. 3.3.3. Cơ sở và số chiều của không gian vector 3.3.3.1. Định nghĩa: Ta gọi hệ vectơ S V là cơ sở của V nếu S là hệ sinh tối tiểu của V. Nói cách khác S là cơ sở của V nếu và chỉ nếu S là hệ sinh của V và S là hệ vectơ độc lập tuyến tính. Nếu tập được sắp thứ tự { | }iS u i I=  là cơ sở của V và u V thì bộ các số ( )i i I  được gọi là tọa độ của u theo S nếu i i i I u u  = . Ví dụ: Trong 4 xét cơ sở chính tắc gồm 4 vector sau đây: 1 2 3 4(1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (0,0,0,1)u u u u= = = = khi đó vector 4(1,2,3,4)u =  được biểu thị tuyến tính qua các vector 1 2 3 4, , ,u u u u như sau: 1 2 3 42 3 4u u u u u= + + + . Suy ra tọa độ của vector u đối với cơ sở trên là u = (1, 2, 3, 4). Mặt khác, trong 4 xét cơ sở gồm các vector sau: 1 2 3 4(1,0,0,1); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (1,1,0,0)v v v v= = = = thì khi đó vector 4(1,2,3,4)u =  được biểu thị tuyến tính qua các vector trên như sau: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 7 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1 2 3 42 3 3u v v v v= − − + + . Khi đó, tọa độ của u đối với cơ sở này là u = (-2, -1, 3, 3). 3.3.3.2. Định lý 1: Nếu V là không gian hữu hạn sinh thì số vectơ trong mọi cơ sở của V là như nhau. Số này gọi là số chiều của V. Ký hiệu là dimV. Ví dụ: - Các vectơ 1 2(1,0,0,...,0); (0,1,0,...,0);...; (0,0,....,1)ne e e= = = lập thành một cơ sở của không gian vectơ n . Ta gọi đây là cơ sở chính tắc (cơ sở tự nhiên) của n , vậy dim n n= . Một vectơ 1 2( , ,..., )nx x x x= có tọa độ với hệ 1 2{ , ,..., }ne e e là 1 2( , ,..., )nx x x . Tuy nhiên, tọa độ của x theo hệ 2 1{ , ,..., }ne e e lại là 2 1( , ,..., )nx x x - Các ma trận 1 2 3 4 1 0 0 1 0 0 0 0 ; ; ; 0 0 0 0 1 0 0 1 I I I I         = = = =                lập thành một cơ sở của không gian các ma trận M(2;K). Một ma trận a b A c d   =     sẽ có tọa độ đối với hệ cơ sở này là (a, b, c, d). - Trong không gian vectơ các ma trận ( ; )M m n , ta có thể lập một hệ cơ sở bao gồm các ma trận ijE trong đó các phần tử tương ứng ở dòng i và cột j với 1 ;1i m j n    bằng 1 còn các phần tử còn lại của ma trận ijE này đều bằng 0. Khi đó, dim ( ; )M m n K mn = . - ( )n x là tập hợp các đa thức hệ số thực bậc nhỏ hơn hay bằng n với các phép toán thông thường là một không gian vectơ. Trong đó, hệ 21, , ,..., nx x x là một cơ sở của không gian vectơ này. Do đó, dim ( ) 1n x n= + . 3.3.3.3. Định lý 2: Cho S là một hệ vectơ của không gian vectơ V. Khi đó, các điều kiện sau tương đương: i) S là cơ sở của V; ii) Mỗi vectơ của V có thể biểu diễn duy nhất qua các vectơ của hệ S; iii) S là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V. Khi ta có dimV = n thì các điều kiện trên tương đương với: iv) S là một hệ sinh có đúng n phần tử; v) S là một hệ độc lập tuyến tính có n phần tử; vi) S có đúng n phần tử và ma trận các cột (dòng) là các vectơ tọa độ của các phần tử của S theo một cơ sở đã biết có định thức khác không. 3.3.3.4. Nhận xét: Đối với không gian hữu hạn chiều (giả sử dim V = n ) thì để chứng minh một hệ vector gồm n vector là cơ sở của không gian V ta chỉ cần chứng minh hệ vector này là độc lập tuyến tính. 3.3.3.5. Hệ quả 1: i) Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V. ii) Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào cũng có thể bổ sung các vectơ để trở thành cơ sở. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 8 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3.3.3.6 Hệ quả 2: i) Không gian con của không gian hữu hạn chiều là không gian có số chiều hữu hạn. ii) Không gian chứa một không gian vô hạn chiều là vô hạn chiều. 3.3.4. Định lý về bổ sung một hệ độc lập tuyến tính trong không gian vector hữu hạn chiều để xác định cơ sở Từ một hệ độc lập tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều, ta luôn có thể bổ sung các vector để được một cơ sở. Chứng minh. Giả sử S là một hệ độc lập tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều V. Nếu S không phải là một cơ sở của V, tức là ( ) Vspan S  . Khi đó, lấy v V\ span(S) ta sẽ có  S' SU v= là một hệ độc lập tuyến tính. Làm tương tự cho hệ S’. Vì V hữu hạn chiều nên quá trình trên là hữu hạn 3.3.5. Hạng của vector và phương pháp xác định hạng khi biết tọa độ 3.3.5.1. Hạng của vector Cho một hệ hữu hạn vectơ  i i Ix  trong không gian vectơ V. Số phần tử của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của  i i Ix  là một hằng số (không phụ thuộc vào cách chọn hệ con, chỉ phụ thuộc vào bản chất của hệ { }ix ). Hằng số này được gọi là hạng của hệ vectơ  i i Ix  . Ta ký hiệu hạng của hệ  i i Ix  là ( )i i Irank x  . Định lý: Gọi A là ma trận có các dòng (cột) là các tọa độ của các vectơ ix khi đó ta có: ( ) ( )i i Irank A rank x = . Nhận xét: Từ định lý trên muốn tìm hạng của một hệ vectơ ta có thể lập ma trận gồm có các dòng là tọa độ của các vectơ và tìm hạng của ma trận đó. Chú ý: Trong phạm vi của tài liệu này ta chỉ đề cập đến không gian vectơ hữu hạn chiều, tức là dimV n=  . Ví dụ: Xét hệ vector 1 2 3 4(1,0,0,1); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (1,1,0,0)u u u u= = = = . Khi đó, 1,4 ( )i irank u rankA= = = 4 với A là ma trận có các dòng là tọa độ của các vector iu trong cơ sở chính tắc của 4 . 4 4 1 4 4 2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 d d d d d d A → − → −                  = ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→             − −      3.3.5.2. Phương pháp xác định hạng khi biết tọa độ Định lý: Gọi A là ma trận có các dòng (cột) là các tọa độ của các vectơ ix khi đó ta có: ( ) ( )i i Irank A rank x = . Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 9 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Nhận xét: Từ định lý trên muốn tìm hạng của một hệ vectơ ta có thể lập ma trận gồm có các dòng là tọa độ của các vectơ và tìm hạng của ma trận đó. Chú ý: Trong phạm vi của tài liệu này ta chỉ đề cập đến không gian vectơ hữu hạn chiều, tức là dimV n=  . Ví dụ: Xét hệ vector 1 2 3 4(1,0,0,1); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (1,1,0,0)u u u u= = = = . Khi đó, 1,4 ( )i irank u rankA= = = 4 với A là ma trận có các dòng là tọa độ của các vector iu trong cơ sở chính tắc của 4 . 4 4 1 4 4 2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 d d d d d d A → − → −                  = ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→             − −      3.3.6. Chiều của không gian con sinh bởi hệ vector 3.3.6.1. Định lý 1: Cho V là một K - không gian vectơ n chiều, W là một không gian vectơ con của V. Khi đó ta có 1) dim W < n. 2) Nếu dim W = n thì W = V. 3.3.6.2. Định lý 2: Cho U và W là hai không gian con của không gian vectơ hữu hạn chiều V. Khi đó dim( W) dim dim dim( W)U U W U+ = + −  Ví dụ: Trong không gian vector 4 , xét các không gian vector con U sinh bởi: 1 2 3(1,0,0,2), (0,2,1, 1), ( 1,1,0,1)  = = − = − và W sinh bởi 4 5(3,2,0,1), (1,2,1,1) = = . Hãy tìm số chiều của U, W, U+W, WU  . Từ 1 1 2 2 3 3 0x x x  + + = ta được ( )1 2 31,0,0,2 (0,2, 1,1) ( 1,1,0,1) 0x x x+ − + − = Hay 1 3 2 3 2 1 2 3( ,2 , ,2 ) (0,0,0,0)x x x x x x x x− + − + = và ta có hệ 1 3 2 3 2 1 2 3 0 2 0 0 2 0 x x x x x x x x − =  + =  =  − + = Suy ra 1 2 3 0x x x= = = Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 10 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Vậy hệ  1 2 3, ,   độc lập tuyến tính do đó dimU = 3. Tương tự ta cũng có hệ  4 5,  và hệ  1 2 3 4, , ,    độc lập tuyến tính. Do đó dimW = 2 và dim( W) 4U +  . Lại có U+W là không gian vector con của 4 nên 4dim(U W) dim 4+  = Từ đó dim(U+V) = 4. Áp dụng định lý về số chiều của giao và tổng các không gian con ta có dim( W)=dimU+dimW-dim(U+W) 3 2 4 1U  = + − = Bài tập 1. Chứng minh rằng tập hợp nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn trên trường K lập thành một không gian vectơ trên trường K. 2. Chứng minh rằng tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất n ẩn trên trường K không lập thành không gian vectơ trên trường K. 3. Xét xem tập hợp nào sau đây với phép cộng và phép nhân với một số thông thường lập thành một không gian vectơ a) Tập các ma trận thuộc M(m, n, K). b) Tập các ma trận vuông cấp n đối xứng trên trường K. c) Tập các ma trận chéo cấp n trên trường K. d) Tập các ma trận vuông cấp n trên K có định thức bằng 0. 4. Cho K là một trường và V K K=  với các phép toán xác định như sau: (a, b) + (c, d) = (a+c, b + d) và k(a,b) = (ka, 0). Chứng minh V là không gian vectơ trên trường K. 5. Cho U là không gian vectơ con của V. Chứng tỏ rằng hiệu tập hợp V\U không phải là không gian vectơ con của V. 6. Cho V là tập các hàm thực, dương và liên tục trên đoạn [-a, a]. Trên V ta định nghĩa các phép toán cộng và nhân như sau: ( )( ) ( ). ( ) ( )( ) ( ( )) f g x f x g x f x f x  + = = a) Chứng minh rằng V là một không gian vectơ trên . b) Tập hợp tất cả các hàm số chẵn trong V có là không gian con của V không? c) Tập hợp tất cả các hàm số lẻ trong V có phải là không gian vectơ con của V không? 7. Cho V là tập hợp tất cả các hàm số :f → với các phép toán cộng và nhân thông thường, nghĩa là: Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 11 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) f g x f x g x f x f x  + = + = Hãy kiểm tra xem V có phải là một không gian vectơ trên không? 8. Trong các tập hợp con W của n sau đây, tập hợp nào là không gian con của n . 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) {( , ,..., ) | 0}; ) {( , ,..., ) | 2 3 }; ) {( , ,..., ) | 3 1}; ) {( , ,..., ) | }; ) {( , ,..., ) | 0}; ) {( , ,..., ) | ... }; ) {( , ,... n i n n n n n n a W x x x x b W x x x x x x c W x x x x x d W x x x x x e W x x x x x f W x x x x x x g W x x =  = + = = + = = = = = = = = = = 1 2 1 2 1 , ) | ... }; ) {( , ,..., ) | }. n n n x x x x n h W x x x x + + + = =  9. Trong các tập con W sau đây của n với các phép toán cộng và phép toán nhân được định nghĩa như sau: 1 2 1 2( , ,..., ); ( , ,..., ) , n n nx x x x y y y y  = =    thì 1 1 2 2 1 2 ( , ,..., ) ( , ,..., ) n n n x y x y x y x y x x x x    + = + + + = Trong các tập hợp sau đây, tập hợp nào là không gian con của n 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ) {( , ,..., ) | 0}; ) {( , ,..., ) | 2 3 }; ) {( , ,..., ) | 3 1}; ) {( , ,..., ) | }; ) {( , ,..., ) | 0}; ) {( , ,..., ) | ... }; ) {( , ,... n n n n n n n n a W x x x x b W x x x x x x c W x x x x x d W x x x x x e W x x x x x f W x x x x x x g W x x =  = + = = + = = = = = = = = = = 1 2 1 2 1 , ) | ... }; ) {( , ,..., ) | }. n n n x x x x n h W x x x x + + + = =  10. Cho iV là một họ các không gian vectơ con của V. Ký hiệu iV là tập hợp gồm các phần tử có dạng 1 2 ... ji i i x x x+ + + với , 1,2,..., j ji i x V j n = . Chứng minh tập này là không gian vectơ con của V. 11. Trong 3 cho hai vectơ 1 2(1, 2,3); (0,1, 3)u u= − = − . a) Vectơ u = (2, -3, 3) có biểu thị tuyến tính được qua 1 2( , )u u không? b) Tìm m để v = (1, m, -3) biểu thị tuyến tính được qua 1 2( , )u u . 12. Trong 4 cho các vectơ 1 2 3 4(1,1,1); (2,3, 1,0); ( 1, 1,1,1); (1,2,1, 1)u u u u= = − = − − = − . Tìm điều kiện để vectơ 1 2 3 4( , , , )v x x x x= là tổ hợp tuyến tính của Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 12 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ a) 1 2 3( , , )u u u ; b) 1 2 3 4( , , , ).u u u u 13. Xét xem các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 ) { (1,0,1); (1,2,3); (10,11,12); (4,5,6)}; ) { (1,0,1); (1,2,3); (2,2,4)}; ) { (1,0,1); (1,2,3); (2,2,5)}; ) { (1,0,1); (1,2,3)}. ){ (1, 2,3, 4); (3,3, 5,1); (3,0,3, 10 a u u u u b u u u c u u u d u u e u u u = = = = = = = = = = = = = − − = − = − )}; Trong 3[ ]x (không gian các đa thức hệ số thực bậc không quá 3), xét các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2 3 3 2 3 2 1 2 3 3 2 2 1 2 3 4 5 ) { 2 3; 1}; ) { 2 3; 1; 2 4 10}; ) { 2 3; 2 1; 2}; ) { ; 2 ; 3 ; 2 3 ; 1}. a u x x u x b u x x u x u x x x c u x x u x x u x x d u x u x u x u x x u = − + = + = − + = + = + − + = − + = + − = + + = = = = + = 15. Trong không gian vectơ V cho 3 vectơ x, y, z. Chứng minh rằng {x+y, y+z, z+x} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi {x, y, z} độc lập tuyến tính. 16. Trong không gian (2; )M chứng minh rằng hệ sau độc lập tuyến tính 1 1 1 0 0 1 , , 2 0 0 2 2 5  − −              −       17. Tìm hạng của hệ vectơ sau trong 3 , sau đó tìm hệ con độc lập tuyến tính tối đại của nó. 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 ) { (1,1,1); (1,2,1)}; ) { (1,0, 1); (0,1, 1); (1, 1,0)}; ) { (2,1,0); (0, 2,1); (2, 1,2)}; ) { (1, 1,0); (2, 1, 1); (0,1, 1); (2,0, 2)}. a u u b u u u c u u u d u u u u = = = − = − = − = = − − = − = − − − = − 18. Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của 3 ? 1 2 3 4 ) {(1,2,3);(0,2,3)}; ) {(1,2,3);(0,2,3);(0,0,5)}; ) {(1,1,2);(1,2,5);(5,3,4)}; ) {( 1,0,0);( 1,1,0);(1, 1,1);(2,0,5)}. a B b B c B d B = = = = − − − 19. Trong 3 chứng minh 1 2 3( , , )B u u u= là cơ sở và tìm tọa độ của u đối với B trong các trường hợp sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ) (1,1,1); (1,1,2); (1,2,3); (6,9,14); ) (2,1, 3); (3,2, 5); (1, 1,1); (6,2, 7); ) (1, 1,0); (1,0, 1); (2,0,0); ( 3,1, 2); a u u u u b u u u u c u u u u = = = = = − = − = − = − = − = − = = − − Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 13 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 20. Trong 3 cho hai hệ vectơ {(1,1,1);(1,1,2);(1,2,3)}B = và B’ = {(2,1,-1); (3,2,-5); (1,-1,m)}. a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của 3 . b) Tìm m để B’ là một cơ sở của 3 . c) Trong trường hợp B’ là cơ sở của 3 hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ và tìm tọa độ của vectơ u = (1, 0, 0) trong hai cơ sở đó. 21. Trong 3 cho hai hệ vectơ {(1,1, 1);(1,0,1);(0,1,1)}B = − và B’ = {(0,0,1); (1, -1, 0);(1,1,1)}. a) Chứng minh rằng B và B’ là các cơ sở của 3 .Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ và từ B’ sang B. b) Tìm tọa độ của vectơ x = (1, -1, 1) trong hai cơ sở đó. 22. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W của 4 sinh bởi hệ vectơ sau: a) {(1, 4, -1, 3); (2,1, -3, -1); (0,2, 1, -5)}; b) {(1, -4, -2, 1); (1, -3, -1, 2); (3, -8, -2, 7)}. 23. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W của (2; )M sinh bởi hệ vectơ sau: 1 5 1 1 2 4 1 7 ; ; ; 4 2 1 5 5 7 5 1  − − −                 − − − −         24. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con V của n trong các trường hợp sau: a) V là tập gồm các vectơ 1 2( , ,..., )nx x x thỏa 1 2 ... 0nx x x+ + + = b) V là tập gồm các vectơ 1 2( , ,..., )nx x x thỏa 1 22 ... 0nx x nx+ + + = . 25. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian sau: a) Tập hợp các ma trận vuông cấp n. b) Tập hợp các ma trận vuông đối xứng cấp n. c) Tập hợp các ma trận vuông phản xứng cấp n. 26. Trong 3 chứng minh rằng không gian sinh bởi các vectơ (1,2,3); (-1, -1, 2) và (-1, 1, 12) trùng với không gian con sinh bởi các vectơ (0, 1, 5) và (1, 3, 8). 27. Trong 4 cho các vectơ 1 2 3 4(1,1,2,4); (2, 1, 5,2); (1, 1,4,0); (2,1,1,6)u u u u= = − − = − = . Chứng tỏ các vectơ trên phụ thuộc tuyến tính. Tìm một cơ sở cho không gian con của 4 sinh bởi các vectơ này. 28. Tìm tọa độ của vectơ 2 3 4 7    −  trong cơ sở 1 1 0 1 1 1 1 0 ; ; ; 1 1 1 0 0 0 0 0  − −                           Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 14 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 29. Trong không gian 5 cho hai không gian con 1 (1,3, 2,2,3);(1,4,3, 4,2);(2,3, 1, 2,9)W = − − − − và 2 (1,3,0,2,1);(1,5,6, 6,3);(2,5,3,2,1)W = − a) Tìm một cơ sở và số chiều của 1 2W W . b) Tìm một cơ sở và số chiều của W1 + W2. 30. Trong không gian 4 cho hai không gian con sau đây 1 (1,2,1,1);(3,6,5,7);(4,8,6,8);(8,16,12,20)W = và 2 (2,7,2,2);(1,3,1,1);(3,10,4,3);(6,21,7,6)W = 31. Tìm một cơ sở và số chiều của 1 2 1 2 1 2, , ,W W W W W W + . Trong không gian 4 cho hai không gian con sau đây 1 {( , , , ) | 2 0}W a b c d b c d= − + = và 2 {( , , , ) | , 2 }W a b c d a d b c= = = Tìm cơ sở, số chiều của 1 2 1 2, ,W W W W . 32. Trong không gian 4 cho các vectơ sau đây 1 2 3 4 5 6 7 (1,2,0,1); (2,1,3,1); (7,8,9,5); (1,2,1,0); (2, 1,0,1); ( 1,1,1,1); (1,1,1,1) u u u u u u u = = = = = − = − = Đặt 1 2 3 4 5 6 7, , ; , , ,U u u u W u u u u= = . Hãy tìm cơ sở cho mỗi không gian con ; ; ;U W U W U W+  . Từ đó suy ra dim ;dim ;dim( );dim( )U W U W U W+  . 33. Trong không gian 4 cho các vectơ sau đây u = (1, 1, 0, -1); v = (1, 0, 0, -1); w = (1, 0, -1, 0). Đặt , ,U u v w= và 1 2 3 4 1 2 3 4{( , , , ) | 2 0}W x x x x x x x x= + − + = . Hãy tìm cơ sở cho mỗi không gian con ; ; ;U W U W U W+  . Từ đó suy ra dim ;dim ;dim( );dim( )U W U W U W+  . 34. Trong 3 , cho các vectơ 1 2 3 1 2 3(2,1, 1); (2, 1,2); (3,0,1); ( 3,1,2); (1, 2,5); (2,4,1)u u u v v v= − = − = = − = − = a) Chứng minh rằng 1 2 3 1 2 3( , , ); ' ( , , )B u u u B v v v= = là các cơ sở của 3 . b) Tìm '[ ] ; ; [ ]B Bu v w nếu biết u = (1, 2, 3), 4 [ ] 5 6 Bv    =      và ' 7 [ ] 8 9 Bw    =      Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 15 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 35. Trong 4 cho các vectơ 1 2 3 1 2 3(1,1, 1,0); ( 2,3,4,1); ( 1,4,3,2); (1,1, 1, 1); (2,7,0,3); (2,7,0,2)u u u v v v= − = − = − = − − = = Đặt 1 2 3{ ; ; }W u u u= a) Kiểm tra 1 2 3{ , , }B u u u= là cơ sở của W. b) Cho 4( , , , )u a b c d=  . Tìm điều kiện để u W và với điều kiện đó hãy tìm   B u . c) Kiểm tra 1 2 3' { , , }B v v v= là một cơ sở của W. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’. d) Tìm '[ ] , ,[ ]B Bu v w nếu biết ' 1 ( , , , ) ,[ ] 2 3 Bu a b c d W v    =  =      và   5 1 4 B w    =      36. Trong không gian vectơ n , cho tập V có dạng: 1 1 2{ ( ,..., ) / 0} n n nV x x x x x x= =  + + + = (a) Chứng minh rằng V là một không gian con của n . (b) Tìm một cơ sở và số chiều của V. 37. Trong không gian 2 ( )M , cho tập con / , a b F A a b b a b    = =    +   38. Chứng minh rằng nếu hệ vectơ 1 2{ , ,..., }nu u u là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không có vectơ nào biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ. Tìm m để vectơ (7, 2, )u m= − biểu thị tuyến tính qua các vectơ 1 2 3(2,3,5); (3,7,8); (1, 6,1)u u u= = = − (a) Chứng tỏ F là một không gian con của 2 ( )M . (b) Tìm một cơ sở và số chiều của F. Tài liệu môn Đại số tuyến tính https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 16