Giáo trình Giải tích 1 - Chương 4: Hàm đa biến

TÀI LIỆU MÔN GIẢI TÍCH 1 LÝ THUYẾT CHƯƠNG 4: HÀM ĐA BIẾN MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách tự nhiên và cần thiết của phép tính vi phân hàm số một biến số. Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T của một chất lỏng biến đổi theo độ sâu z và thời gian t theo công thức T = te z , nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn phụ thuộc vào điện trở của dây, cường độ của dòng và thời gian dẫn điện theo công thức 20,24 ,Q RI t v.v.Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn. Để học tốt chương này, ngoài việc nắm vững các phép tính đạo hàm của hàm một biến số, người học phải có các kiến thức về hình học không gian (xem [2] ).Trong chương này, yêu cầu người học nắm vững các nội dung chính sau: 1. Các khái niệm chung của không gian nR (n chiều). Mô tả được miền xác định và đồ thị của hàm hai biến. 2. Phép tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần. Nắm vững các qui tắc tính đạo hàm riêng trên cơ sở tính đạo hàm của hàm một biến. Công thức tính đạo hàm riêng của hàm số ẩn. Công thức vi phân toàn phần và biết cách áp dụng vào phép tính gần đúng. 3. Nắm vững khái niệm và cách tính đạo hàm theo hướng. Giải thích được đạo hàm riêng theo các biến x, y, z chính là đạo hàm theo hướng các trục Ox, Oy, Oz. 4. Bài toán tìm cực trị. Qui tắc tìm cực trị tự do, phương pháp nhân tử Lagrange. NỘI DUNG 4.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4.1.1. Không gian n chiều * Ta đã biết mỗi điểm trong không gian 3 chiều được đặc trưng hoàn toàn bởi bộ 3 số (x, y, z) là 3 tọa độ Descartes của nó: x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ. Tổng quát như sau: Mỗi bộ có thứ tự n số thực ( 1 2, ,....xnx x ) gọi là một điểm n chiều. Kí hiệu M( 1 2, ,.... nx x x ) có nghĩa là điểm n chiều M có các toạ độ 1 2, ,.... nx x x . Tập các điểm M ( 1 2, ,.... nx x x ) gọi là không gian Euclide n chiều. Kí hiệu tập này là nR * Cho M( 1 2, ,.... nx x x ) 1 2, ( , ,.... ) n nR N y y y nR . Gọi khoảng cách giữa M và N, kí hiệu d(M, N), là số thực tính theo công thức: Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) .... ( ) ( ) n n n i d M N x y x y x y         Tương tự như trong R,R2,R3 ta nhận được bất đẳng thức tam giác trong Rn. Tức là với 3 điểm A, B, C bất kỳ trong Rn ta có: d(A,C)  d(A,B) + d(B,C) * Cho 0 2 00 1 2( , ,.... )nM x x x nR và  >0 . Tập  0 0( ) : ( , )nM M R d M M     gọi là  -lân cận hoặc lân cận bán kính  của 0M hoặc hình cầu mở tâm 0M bán kính  (H.3.1a). * Cho nE R . Điểm ME gọi là điểm trong của E nếu có ( ) E( 0)M     . Điểm nN R gọi là điểm biên của E nếu bất kỳ ( )M đều chứa những điểm thuộc E và điểm không thuộc ( 0)E   .Tập E gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong, gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó. Tập các điểm biên của E kí hiệu E . Bao đóng của E hay tập E đóng ký hiệu E và có E E E  (H.3.1a). * Tập E gọi là bị chặn hay giới nội nếu như tồn tại số N sao cho (0)NE  * Tập E gọi là liên thông nếu mỗi cặp điểm 1 2,M M trong E đều được nối với nhau bởi một đường cong liên tục nào đó nằm trọn trong E. Tập liên thông E gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt kín (một đường cong kín trong R2; một mặt cong kín trong R3) (H.3.1a). Tập liên thông E gọi là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi từ hai mặt kín trở lên rời nhau từng đôi một (H.3.1b). Ví dụ 1: Xét các tập sau trong R2.  2 2( , ) : 4A x y x y   B = {(1,2), (-1,0), (0,0)} và R2 Giải:  2 2( , ) : 4A x y x y    - đường tròn tâm O bán kính 2,  2 2( , ) : 4A x y x y   - hình tròn kể cả biên. A, R 2 là các tập liên thông, B không liên thông (gồm 3 điểm rời rạc). A, B là các tập giới nội, R2 không giới nội (cả mặt phẳng Oxy). 4.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến số Cho nD R . Gọi ánh xạ: :f D R Hay là 1 2 1 2( , ,.... ) ( ) ( , ,... )n nM x x x D u f M f x x x R    là một hàm số của n biến số xác định trên D. D gọi là miền xác định của hàm số 1 2: , ,... nf x x x là các biến số độc lập, còn u gọi là biến số phụ thuộc. Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 2 4.1.3. Miền xác định của hàm nhiều biến số Người ta quy ước: Nếu cho hàm số u = f(M) mà không nói gì về miền xác định D của nó thì phải hiểu rằng miền xác định D của hàm số là tập hợp các điểm M sao cho biểu thức f(M) có nghĩa. Miền xác định của hàm số thường là tập liên thông. Sau đây là một số ví dụ về miền xác định của hàm số 2 biến số, 3 biến số. Ví dụ 2: Tìm miền xác định của các hàm số sau và mô tả hình học các miền đó: a) 2 21z x y   , b) z = ln(x + y), c) 2 2 29 y u x y z     Giải: a. Miền xác định là tập (x, y) 2R sao cho 1 - x2 - y2  0 hay x2 + y2  1. Đó là hình tròn đóng tâm O bán kính bằng 1 (H.3.2a). Hình tròn đóng này có thể mô tả bởi hệ bất phương trình: 2 2 1 1 1 1 x x y x          b. Miền xác định là tập (x, y) 2R thoả mãn x + y > 0 hay y > -x. Đó là nửa mặt phẳng có biên là đường y = -x (H.3.2b). Nửa mặt phẳng này được mô tả bởi hệ bất phương trình: x x y          c. Miền xác định là tập (x, y, z) 3R thoả mãn x2 +y2 +z2 <9. Đó là hình cầu mở tâm O bán kính bằng 3 (H.3.2c). Hình cầu mở này mô tả bởi hệ bất phương trình: 2 2 2 2 2 2 3 3 9 9 9 9 x x y x x y z x y                  Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 3 4.1.4. Ý nghĩa hình học của hàm hai biến số Cho hàm 2 biến z = f(x,y) với (x, y)  D. Tập các điểm (x, y, z) 3R với z = f(x,y) gọi là đồ thị của hàm số đã cho. Như thế đồ thị của hàm 2 biến thường là một mặt cong trong không gian 3 chiều Oxyz. Đồ thị của hàm số mô tả một cách trực quan hàm số thể hiện được ý nghĩa hình học của hàm số. Dưới đây ta xét các mặt cong đặc biệt và đơn giản, thông dụng trong toán học và ứng dụng. A. Mặt phẳng: Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, nói cách khác phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A2 + B2 + C2 > 0. Chẳng hạn 0c  có 1 ( Ax )z D By C     hàm sô này xác định trên 2R B. Ellipsoid Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc của nó có dạng (H.3.3) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    Đây là hàm hai biến cho dưới dạng không tường minh (dạng ẩn). Hàm số là đa trị. Chẳng hạn coi z là biến phụ thuộc vào x và y thì miền xác định là hình ellipse có các bán trục a và b: 2 2 2 2 1 x y a b   Khi a = b = c = R tacó mặt cầu tâm gốc toạ độ và bán kính là R: x2 + y2 + z2 = 2R C. Paraboloid elliptic Phương trình chính tắc của paraboloid elliptic có dạng (H.3.4): 2 2 2 2 x y z a b   Miền xác định của hàm số trên là R2. Khi a = b tức là phương trình có dạng: 2 2 2x y a z  Gọi đó là paraboloid tròn xoay. Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 4 D. Mặt trụ bậc 2 * Mặt trụ elliptic (H.3.5) có phương trình chính tắc : 2 2 2 2 1 x y a b   * Mặt trụ hyperbolic (H.3.6) có phương trình chính tắc: 2 2 2 2 1 x y a b    *Mặt trụ parabolic (H.3.7) có phương trình chính tắc: y 2 =2px E. Mặt nón bậc 2 Phương trình chính tắc của mặt nón có dạng (H.3.8) 2 2 2 2 2 2 0 x y z a b c    4.1.5. Giới hạn của hàm số nhiều biến số Khái niệm giới hạn của hàm số nhiều biến số cũng được đưa về khái niệm giới hạn của hàm một biến số. Ở đây một biến số đóng vai trò là khoảng cách d( 0 ,M M ) giữa hai điểm 0M và M trong không gian R n . Để đơn giản trong cách viết chúng ta xét trong không gian 2 chiều R2. * Nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) dần đến điểm 0 0 0( , )M x y ; kí hiệu 0nM M khi n nếu 0lim ( , ) 0n n d M M   hay 0 0 lim lim n n n n x x y y      * Cho hàm z = f(x,y) xác định ở lân cận 0 0 0( , )M x y , có thể trừ điểm 0M . Ta nói rằng hàm f(M) có giới hạn là l khi M(x,y) dần đến 0 0 0( , )M x y nếu mọi dãy điểm Mn(xn, yn) thuộc lân cận dần đến 0M ta đều có: lim ( , )n n n f x y l   Thường kí hiệu 0 lim ( ) M M f M l   hay 0 0( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y l   Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 5 Sử dụng ngôn ngữ " ,  " có thể định nghĩa như sau: Hàm số f(M) có giới hạn l khi 0M M nếu 00, 0 :0 ( , ) ( )d M M f M l            Chú ý: 1. Tất cả các khái niệm giới hạn vô hạn hoặc các định lí về giới hạn: tổng, tích, thương, giới hạn thứ tự, nguyên lí kẹp đều giống như hàm số một biến số. 2. Từ định nghĩa ta nhận thấy: Giới hạn l của hàm số f(x,y) khi 0M M không phụ thuộc đường đi của M tiến đến 0M , vì thế nếu chỉ ra hai đường đi của M tiến đến 0M mà f (M) tiến đến hai giá trị khác nhau thì hàm số không có giới hạn tại M0. Ví dụ 3: Tìm các giới hạn a. 2 2 2( , ) (0,0) lim x y x y x y  ; b. 2 2( , ) (0,0) lim x y xy x y  ; c. 2 2( , ) (0,0) lim x y xy x y  Giải : a. Ta có: 2 2 2 0 , x y y x y    2 2( , )d M O x y  0,      khi 2 2 2 2 2 0 0 x y x y y y x y               Vậy 2 2 2( , ) (0,0) lim x y x y x y  =0 b. Cho M(x,y)  O(0,0) theo đường y = Cx, C = const (hằng số) thì 2 2 2 2 2(1 ) xy Cx x y C x    2 2 20 lim 1x xy C x y C     chứng tỏ dãy giá trị hàm có giới hạn khác nhau phụ thuộc vào C. Theo chú ý 2, suy ra hàm không có giới hạn. c. 2 2 2 2 0 . . xxy y y x y x y      tương tự ta suy ra 2 2( , ) (0,0) lim x y xy x y  =0 4.1.6. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số  Định nghĩa * Hàm số f(M) xác định trên miền D và 0M D Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại M0 nếu 0 0lim ( ) ( ) M M f M f M   * Hàm số f(M) xác định trên miền D. Nói rằng hàm số liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm M  D. * Hàm số f(M) liên tục trên miền đóng D nếu nó liên tục trên miền D và liên tục tại mọi điểm N D theo nghĩa lim ( ) ( ), M N f M f N M D    * Nếu đặt f (x0, y0) = f (x0 + x,y0 + y) - f(x0,y0) gọi là số gia toàn phần của hàm số tại ( 0 0,x y ) thì hàm số f(x,y) liên tục tại (x0, y0) nếu như Δf (x0,y0)  0 khi Δx  0 và Δy  0.  Tính chất Hoàn toàn tương tự như hàm một biến số ta có tính chất quan trọng sau đây: Định lý 3.1: Nếu f(x,y) liên tục trong miền đóng D giới nội thì nó đạt giá trị lớn nhẩt và giả trị bẻ nhất Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 6 trong miền D tức là: 1 2,M D M D   để có bẩt đẳng thức kép: 1 2( ) ( ) ( ),f M f M f M  M D  4.2.ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 4.2.1. Đạo hàm riêng Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong miền D và M0 (x0, y0)  D. cố định 0y y trong hàm số đã cho sẽ nhận được hàm số một biến số u = f( 0,x y ). Nếu hàm số này có đạo hàm tại 0x thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của f(x, y) đối với x tại M0 (x0, y0) và kí hiệu như sau: ' 0 0( , y )xu x hay 0 0( , ) u x y x   hay ' 0 0( , )xf x y hay 0 0( , ) f x y x   Đặt 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x f x y f x x y f x y    gọi đó là số gia riêng của hàm f(x, y) theo biến x tại ( 0 0,x y ) và ta có: 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x x f x yf x y x x      Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với y tại 0 0 0( , )M x y và ký hiệu: ' ' 0 0 0 0 0 0 0 0( , ), ( , ), ( , ), ( , )y y u f u x y x y f x y x y y y     Chú ý: Có thể chuyển toàn bộ các phép tính đạo hàm của hàm một biến số: cộng, trừ, nhân, chia, ... sang phép tính đạo hàm riêng. Ví dụ 4: Tính đạo hàm riêng sau: a. 3u x y , u'x (1,2), ' (1,1)yu b. u = x y (x>0), u'x(x,y), u'y(x,y). c. u = x 2 zarctg y z , u'x(x,y,z), ' yu (x,y,z), u'z(x,y,z). Giải: a. u’x (x,y) = 3x 2 y  u'x (1,2) = 6, u'y(x,y) = x 3  'yu (1,1) = 1. b. u'x = yx y-1 , u'y = x y lnx c. u'x (x,y,z) = 2xzarctg y z 2 2 ' 2 2 2 2 2 1 1 ( , , ) 1 y x z u x y z x z yz y z z     ' 2 2 2 22 2 2 2 1 ( , , ) ar (ar ) 1 z y y y yz u x y z x ctg x z x ctg yz z z y z z       4.2.2. Vi phân toàn phần A. Định nghĩa * Cho hàm số u = f(x, y) xác định trong miền D chứa ( 0 0,x y ). Nếu số gia toàn phần của hàm số tại ( 0 0,x y ) ứng với số gia ,x y  của các đối số có dạng: 0 0( , ) . . . .f x y A x B y x y          (3.1) trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào ( 0 0,x y ), còn ,  dần đến 0 khi M Mo tức là khi Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 7 0x  , 0y  thì nói rằng hàm số f(x, y) khả vi tại 0M , còn biểu thức . .A x B y   được gọi là vi phân toàn phần của hàm số tại 0M và kí hiệu là 0 0( , )df x y , hay 0 0( , )du x y . Như vậy df(x0, y0) = A. x + B. y * Hàm số u = f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D. B. Điều kiện cần của hàm số khả vi Định lý 3.2: Nếu f(x, y) khả vi tại ( 0 0,x y ) thì liên tục tại đó. Từ (3.1) suy ra 0 0( , ) 0f x y  khi 0, 0x y    Định lý 3.3: Nếu f(x, y) khả vi tại ( 0 0,x y ) thì hàm có các đạo hàm riêng tại ( 0 0,x y ) và ' 0 0( , ),xA f x y ' 0 0( , )yB f x y . Chứng minh: Từ (3.1) suy ra: 0 00 0 ( , )( , ) . yx f x yf x y A B x y          Vậy ' 0 0( , ) ,xf x y A ' 0 0( , )yf x y B chứng tỏ ' ' 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y x f x y y    (3.2) C. Điều kiện đủ của hàm số khả vi Định lý 3.4: Nếu hàm sổ u =f(x, y) có các đạo hàm riêng ' '( , ), ( , )x yf x y f x y liên tục tại 0 0 0( , )M x y thì f(x, y) khả vi tại 0 0 0( , )M x y Chứng minh: Ta có 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x y f x x y y f x y     =    0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x x y y f x y y f x y y f x y       Áp dụng công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrange) cho hàm một biến số 0( , )f x y y tại lân cận 0x và f(x0, y) ở lân cận 0y sẽ nhận được: ' 0 0 0 0 0 1 0( , ) ( , ) ( , )xf x x y y f x y y f x x y y x         ' 0 0 0 0 0 0 2( , ) ( , ) ( , )yf x y y f x y f x y y y      Trong đó 10 1,  20 1  Cũng theo giả thiết '( , y),xf x ' ( , )yf x y liên tục tại ( 0 0,x y ) nên: ' ' 0 1 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x xf x x y y f x y x y        ' ' 0 0 2 0 0( , ) ( , ) ( , )y yf x y y f x y x y       Trong đó 0  , 0  khi 0,x  0y  Từ đó nhận được: ' ' 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y x f x y y x y          Chứng tỏ hàm số khả vi tại ( 0 0,x y ). Nếu xét các hàm số h(x, y) = x và g(x, y) = y trong R2 thì rõ ràng: dh(x, y) = dx = 1.  x dg(x,y) = dy = l.  y Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 8 Vậy vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại ( 0 0,x y ) có thể viết dưới dạng: df(x0, y0) = ' xf (x0, y 0 )dx + f'y (x0, y0 )dy D. Ý nghĩa của vi phân toàn phần Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại ( 0 0,x y ) thì rõ ràng: 0 0 0 0( , ) ( , )f x y df x y x y       Vì rằng 2 2 0 x y x y             khi 0,x  0y  Suy ra df( 0 0,x y ) khác số gia toàn phần 0 0( , )f x y một vô cùng bé có bậc cao hơn vô cùng bé 2 2x y    khi 0x  , 0y  . Vậy với x , y khá bé sẽ nhận được: f df  Từ đó nhận được 0 0 0 0 0 0( , ) ( , y ) ( , )f x x y y f x df x y    (3.3) Công thức (3.3) thường được sử dụng để tính gần đúng giá trị của hàm số. Chú ý: Tính khả vi của tổng, tích, thương hai hàm cũng giống như hàm một biến số. Ví dụ 5: Thực hiện phép tính vi phân các hàm số: a. Cho f(x,y) = xcos xy, tính (1, ) 4 d  với  x = 0,01 ,  y = 0,02. b. Cho f(x,y) = xy 2 , 2 ( )exyx y . Tính df(x,y). Giải: a. '( , )xf x y = cos xy - xy sin xy, ' 2(1, ) (1 ), 4 2 4 xf     ' ( , )yf x y  2 sin x ,x y ' 2 (1, ) 4 2 yf    2 2 2 1, 1 .0,01 .0,02 1 .0,01 4 2 4 2 2 4 df                          b. 2 2' 2( , ) ( ) ,xy xyxf x y e y x y e   2 2' ( , ) 2 ( )xy xyyf x y e xy x y e       2 2( , ) 1 ( ) 2 ( ) 1xydf x y e y x y dx xy x y dy        . Ví dụ 6: a. Tính gần đúng 1,05 ar 0,97 ctg b. Một hình trụ bằng kim loại có chiều cao h = 20 cm và bán kính đáy r = 4 cm. Khi nóng lên h và r nở thêm các đoạn 0,1h r    cm. Hãy tính gần đúng thể tích hình trụ khi nóng lên. Giải: a. Ta viết 1,05 1 0,05 ar ar . 0,97 1 0,03 ctg ctg    Xét hàm số ( , ) ar ( , )f x y ctg x y Rõ ràng  0 0 1,05 ar , 0,97 ctg f x x y y   , trong đó 0 0 1x y  , 0,05x  và 0,03y   Áp dụng công thức xấp xỉ(3.3) ta có : Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 9 f(x0 +  x, y0 +  y) 0 0( , )f x y + df(x0, 0y ) = f(1,1) + ' xf (1,1).0,05 + ' yf (1,1).(-0,03) ' 2 2 2 2 1 1 ( , y) , 1 x y f x xy y x y     ' 22 2 2 2 1 ( , ) 1 y x x f x y xy y x y       0 0 1 1 1 ( , ) ar .0,05 .0,03 0,04 0,785 0,04 0,825. 1 2 2 4 f x x y y ctg            b. Ta có V = 2 ' ' 2, 2 ,r hr h V rh V r    Áp dụng công thức (1.3): V(r +  r,h +  h) 2 2 2 22 .4 .20 2 .4.20.0,1 .4 .0,1 .337,6r h rh r r h               3cm Chứng tỏ sai số tuyệt đối không quá 0,3 3cm và sai số tương đối không quá 0,3 1 . 337 100    4.2.3. Đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm riêng cấp hai của một hàm là đạo hàm riêng các đạo hàm riêng cấp một của nó. Hàm hai biến f(x,y) có 4 đạo hàm riêng cấp hai sau đây: 2 " , x f f x x          " ,xy f f y x          " yx , f f x y          2 " y f f y y          Hay 2 2 , f x   2 , f x y    2 , f y x    2 2 f y   Hoàn toàn tương tự ta cũng có các định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao hơn của hàm nhiều biến hơn. Ví dụ 7: Tính các đạo hàm riêng 2 (3) , x y f (3) yx ,xf (3) xyzf biết 2 4( , , ) .x y zf x y z e   Giải: ' 2 4 ,x y zxf e   2 " 2 4 ,x y z x f e   2 (3) 2 42 x y z x y f e    " 2 42 ,x y zxyf e    (3) 2 4yx 2 , x y z xf e    (3) 2 48 x y zxyzf e    Nhận xét: Trong ví dụ trên có 2 (3) (3) yx .xx yf f . Định lý 3.5(Schwarz): Nếu f(x,y) có các đạo hàm riêng hôn hợp "xyf và " yxf trong lân cận 0( )M và liên tục tại 0 0 0( , )M x y thì các đạo hàm hỗn hợp bằng nhau tại 0M : " " 0 yx 0( ) ( )xyf M f M Chứng minh: Lấy t, s đủ bé. Lập các hàm số sau đây trong lân cận 0M : g(x, y) = f(x +t, y) - f(x, y) h(x, y) = f(x, y + s) - f(x, y) Rõ ràng g(x0, 0y + s) - g(x0, 0y ) = h(x0 +1, 0y ) - h(x0, 0y ) Áp dụng định lý Lagrange cho hàm g( 0 ,x y ) tại 0y nhận được: 0 0( , )g x y s - g(x0, y0 ) = ' 0 0 1. ( , )ys g x y s ' ' 0 0 1 0 0 1( , ) ( , )y ys f x t y s f x y s        Tiếp tục áp dụng định lý Lagrange cho hàm ' 0 1( , )yf x y s tại 0x nhận được: 0 0( , )g x y s - g(x0, y0 ) = " yx 0 2 0 1( , )stf x t y s   Hoàn toàn tưong tự cũng có: h(x0 +t, y0) - h(x0 ,y0) = " 0 1 0 2( , )xystf x t y s   Cho t,s  0, do tính liên tục nhận được " "0 0 yx 0 0( , ) ( , )xyf x y f x y Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 10 Chú ý: Định lý trên cũng mở rộng cho các đạo hàm cấp cao hơn và hàm nhiều biến hơn. 4.2.4. Vi phân cấp cao Ta nhận thấy df (x,y) = ' '( , ) ( , )x yf x y dx f x y dy cũng là một hàm số của x, y nên có thể xét vi phân của nó. Nếu df(x,y) khả vi thì vi phân của nó gọi là vi phân cấp hai của f(x, y), kí hiệu d2f (x,y) = d(df (x,y)) và nói rằng f(x, y) khả vi đến cấp 2 tại (x, y). Tổng quát vi phân cấp n, nếu có sẽ kí hiệu: dn f(x,y) = 1( nd d  f (x,y)) Công thức vi phân cấp 2 như sau: 2 ( , ) ( ( , )) f f f f d f x y d df x y dx dy dx dx dy x x y y x y                           2 2 2 2 2 2 2 2 f f f f dx dxdy dy x x y y x y                  Giả sử các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục, theo định lý Schwarz ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 2 f f f d f x y dx dxdy dy x x y y           Người ta dùng kí hiệu lũy thừa tượng trưng để viết gọn như sau: ( , ) ( , )df x y dx dy f x y x y          Tổng quát có ( , ) ( , ) n nd f x y dx dy f x y x y          4.2.5. Đạo hàm của hàm số hợp Cho nD R và các ánh xạ : nD R  Hay 1 2( , ,..... )mu u y y y với 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , ,....x ) ( , ,.... ) ............................... ( , ,.... ) n n m m n y y x x y y x x x y y x x x        Ánh xạ tích f ° : D R  cụ thể là u = f ( (M)), M  D, ( ) mM R  gọi là hàm số hợp. Để cho đơn giản, sau đây ta xét n = 2, m = 2, khi đó hàm hợp f  xác định trên miền phẳng D Định lý 3.6 : Cho u =f(x,y) với X = x(s, t); y = y(s, t) thoả mãn: Các biến trung gian x(s, t), y(s, t) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b), f(x, y) khả vi tại điểm ( 0 0,x y ) = (x(a, b), y(a, b)). Khi đó hàm hợp u = u(s, t) có đạo hàm riêng cấp 1 tại (a, b) tính theo công thức: u u x u y s x s y s u u x u y t x t y t                         (3.6) Công thức (3.6) có thể viết dưới dạng ma trận: Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 11 x x u u u u s t y ys t x y s t                                x x s t y y s t                 được gọi là ma trận Jacobian của x,y đối với t, s và ký hiệu: ( , y) ( , ) x x D x s t y yD s t s t          (3.7) Ví dụ 8: Tính các đạo hàm riêng ln ,xu e y ,x st 2 2.y s t  Giải: 2 2 2 2 1 2 ln . . .2 ln( ) ,x x st u s e y t e s e t s t s y s t            2 2 2 2 1 2 ln . . .( 2 t) e ln( ) .x x st u t e y s e s s t t y s t             Ví dụ 9: cho 1 ,u r  2 2 2 .r x y z   chứng minh 2 2 2 " " " 0 x y z u u u u     Giải: Nhận xét: hàm số 1 u r  đối xứng với x,y,z. Do đó ta chỉ cần tính 2 " x u , sau đó thay x bởi y và z. 2 ' ' ' 2 3 2 " 3 4 3 5 1 . . , 1 1 1 3 3 . . x x x x x u u r r r r x x u x r r r r r            Suy ra 2 2 2 3 5 3 3 3 3( ) 3 3 0. x y z u r r r r           Chú ý: Nếu u = f(x,y), y = y(x) khi đó u là hàm số hợp của một biến x. Do vậy người ta đưa ra khái niệm đạo hàm toàn phần và công thức tính sẽ là: '. du f f y dx x y       Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 12 4.2.6. Vi phân của hàm hợp Xét hàm hợp u = f(x,y), x = x(s, t), y = y(s, t). Nếu hàm hợp có các đạo hàm riêng , u s   u t   liên tục thì nó khả vi và ta có : u u du ds dt s t       Bây giờ ta biểu diễn du qua biến trung gian x,y theo công thức (3.6) có: u x u y u x u y du ds dt x s y s x t y t                              . u x x u y y ds dt ds dt x s t t s t u u dx dy x y                                Như vậy dạng của công thức vi phân cấp 1 không đổi dù x,y là các biến độc lập hay hàm của các biến s,t. Tính chất này gọi là tính chất biến dạng của vi phân cấp 1. Chú ý: Cũng như hàm một biến số, vi phân cấp cao không có tính bất biến dạng. 4.2.7. Đạo hàm của hàm số ẩn A. Hàm ẩn một biến Cho một hệ thức giữa hai biến, x, y dạng: F(x, y) = 0 (3.8) trong đó F(x, y) là hàm hai biến xác định trong miền mở D chứa ( 0 0,x y ) và F( 0 0,x y ) = 0. Giả sử rằng 0 0( , )x x x     , y(x) sao cho (x, y(x))  D và F(x, y(x)) = 0. Hàm số y = y(x) gọi là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình (3.8). Định lý 3.7: Nếu F(x, y) thoả mãn các điều kiện: F liên tục trong lân cận 0( )M và F( 0M ) = 0. Các đạo hàm riêng , F x   F y   liên tục và 0 0( , ) 0 F x y y    trong lân cận 0( )M thì phương trình (3.8) xác định một hàm ẩn y(x) khả vi liên tục trong khoảng ( 0 0,x x   ) và ta có: ' ' x y Fdy dx F   (3.9) Chú ý: Để nhận được công thức (3.9) chúng ta chỉ việc lấy vi phân 2 vế của (3.8) trong đó có y = y(x) và áp dụng tính bất biến của dạng vi phân cấp 1. Thật vậy dF(x, y) = 0 hay 'xF dx + F'ydy = 0 hay ' xF + F'y.y' = 0. Từ đó suy ra (3.9). Ví dụ 10: Tính y'(l) biết xy - ex siny =  Giải: Lấy đạo hàm toàn phần (hay vi phân) và coi y là hàm của x hai vế của phương trình đã cho có: y + xy'- e x siny - e x cosy.y' = 0 Thay x =1 vào phương trình hàm ẩn, nhận được: y(1) -  = e sin y (1) . Dùng phương pháp đồ thị giải phương trình này, nhận được nghiệm y(l) =  . Vậy ' '(1) esin cos . (1) 0y e y      , '(1) 1 y e     Ví dụ 11: Tính y',y" biết x - y + arctgy = 0 Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 13 Giải: Lấy đạo hàm toàn phần hai vế coi y = y(x) ' 2 ' ' 2 ' 2 2 2 1 1 0 1 1 y y y y y y y y y           Lấy đạo hàm tiếp ta có 2yy ' ' 2 '2 2 " ' " " 5 2 (1 ) 2(1 ) 2 2 y y y yy y y yy y y y y          B. Hàm ẩn hai biến Định lý 3.8: Chophương trình hàm ẩn F(x, y, z) = 0 và F(x, y, z) thoả mãn các điều kiện: F(x, y, z) liên tục trong hình cầu mở 0( )M và F( 0M ) = F( 0 0 0, ,x y z ) = 0; Các đạo hàm riêng ' ,xF ' ,yF ' zF liên tục và ' 0 0 0( , , ) 0zF x y z  trong hình cầu 0( )M Khi đó phương trình hàm ẩn xác định một hàm ẩn z = z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận 0 0( , )x y đồng thời: ' ' ,x z Fz x F     ' ' y z Fz y F     (3.10) Tương tự như định lý 3.7. ta không chứng minh định lý này. Cũng như trong trường hợp hàm ẩn một biến, để tính các đạo hàm riêng cũng như vi phân của hàm ẩn ta lấy vi phân toàn phần hai vế của phương trình hàm ẩn sau đó đi tìm , , z z dz x y     Ví dụ 12: Cho xyz = x + y + z. Coi z là hàm số ẩn, hãy tính ' ', ,x yz z dz Giải: Lấy vi phân toàn phần phương trình hàm ẩn sẽ có: d(xyz) = d(x + y + z) yz dx + zx dy + xy dz = dx + dy + dz (xy - 1) dz = (1- yz) dz + (l-zx) dy     1 1 1 1 dz yz dx zx dy xy        ' 1 , yx 1 x yz z      ' 1 1 y xz z xy     4.2.8. Đạo hàm theo hướng. Građiên (Gradient) A. Định nghĩa: Cho u(x, y, z) xác định trên miền 3D R và 0 0 0 0( , , )M x y z D , một hướng được đặc trưng bởi véc tơ Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 14 l có véc tơ đơn vị  os , os , os , l l c c c l     như vậy:      Ox, , , , , .l Oy l Oz l     Người ta gọi os ,c  os ,c  osc  là các côsin chỉ phương của l . Rõ ràng 2 2 2os os os 1c c c     (H.3.9) Lấy M D sao cho 0 0 ,M M l lập tỉ số 0( ) ( )u M u Mu     Nếu tỉ số trên có giới hạn hữu hạn khi 0  thì giới hạn ấy được gọi là đạo hàm của hàm u(M) theo hướng l tại 0M và kí hiệu là 0( ) u M l   tức là: 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) u M u M u M l      Chú ý: 1. Cũng giống như ý nghĩa của đạo hàm, có thể coi rằng đạo hàm theo hướng l biểu thị tốc độ biến thiên của hàm u(M) theo hướng l . 2. Nếu l có hướng của trục Ox thì 0l (1,0,0). Giả sử M 0 ( 0 0 0, ,x y z ) thì  0 0 0, ,M x y z khi đó:        0 0 0 0 0 00 0 0 0 , , , , lim u x y z u x y zu u M M xl          Chứng tỏ các đạo hàm riêng ' ,xu ' ,yu ' zu là đạo hàm của hàm u theo hướng của các trục Ox, Oy, Oz. B. Công thức tính Định lý 3.9 : Nếu hàm số u(x, y, z) khả vi tại  0 0 0 0, ,M x y z và l bất kỳ có các côsin chỉ phươmg os ,c  os ,c  osc  thì:        0 0 0 0os os os u u u u M M c M c M c x y zl              (3.11) Chứng minh: Theo ý nghĩa của hàm khả vi ta có:            ' ' '0 0 0 0x y zu u M u M u M x u M y u M z o           trong đó  o  là VCB bậc cao hơn  khi 0  . Mặt khác os , y cos , osx c z c           suy ra:        ' ' ' 0 0 0os os os .x y z ou u M c u M c u M c            Chuyển qua giới hạn khi 0  sẽ có (3.11) C. Građien Cho u(x, y, z) có các đạo hàm riêng tại M0(x0,y0,z0) 3D R  Gọi véc tơ       ' ' '0 0 0, ,x y zu M u M u M là građiên của hàm u(x, y, z) tại 0M và kí hiệu là grad u( 0M ). grad u(M0) =       ' ' '0 0 0, ,x y zu M u M u M Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 15 =      ' ' '0 0 0x y zu M i u M j u M k  (3.12) trong đó ,i ,j k là các véc tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz. D. Liên hệ giữa građiên và đạo hàm theo hướng. Định lý 3.10: Nếu u(M) khả vi tại 0M thì tại đó có: l u ch l    0. .gradu l gradu (3.13) Chứng minh: Ta có 0 os . os . os .l c i c j c k     nên (3.11) có thể viết như sau:  0 u M grad l       0 0 0 0. osu M l l gradu M c  trong đó  là góc giữa hai véc tơ l và grad u( 0M ), mà 0 1,l   0 os lgradu M c ch   0gradu M . Vậy nhận được công thức (3.13) Chú ý: Từ (3.13) ta suy ra    0 0ax u m M gradu M l    khi os 1c   , tức là l cùng phương với grad u( 0M ) chứng tỏ grad u( 0M ) cho ta biết phương theo nó tốc độ biến thiên của u tại 0M có giá trị tuyệt đối cực đại. Ví dụ 13: Cho u = x3 + y3 + z3 + 3xyz, 0M (l, 2, -3), l (2, 1, -2). Tính grad u( 0M ) và  0 u M l   Giải: ' xu = 3x 2 + 3yz, u'y = 3y 2 + 3zx, u'z = 3z 2 + 3xy Vậy grad u(l, 2, -3) = (3-18,12-9, 27 + 6) = (-15, 3, 33) = 3(-5, 1, 11)    0 2 1 2 2 1 2 2,1, 2 , , 1,2, 3 3 5. 1. 11. 31 3 3 3 3 3 3 u l l l                        4.3.CỰC TRỊ 4.3.1. Cực trị tự do A. Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị Điểm M0(x0,y0)  R 2 gọi là điểm cực đại (địa phương) của hàm f(M) nếu có lân cận đủ bé của 0M để trong lân cận đó (trừ 0M ) xảy ra bất đẳng thức f(M) < f( 0M ) Tương tự ta có khái niệm điểm cực tiểu (địa phương) của hàm số f(M). Điểm  0 0 0,M x y trong các trường hợp trên gọi chung là điểm cực trị. Tương tự như định lý Fermat đối với hàm một biến số, ta có điều kiện cần của cực trị dưới đây. Định lý 3.11. Nếu f(x, y) đạt cực trị tại 0M và có các đạo hàm riêng tại đó thì các đạo hàm riêng bằng 0. Chứng minh: Giả sử f(x, y) đạt cực trị tại ( 0 0,x y ). Theo định nghĩa suy ra hàm một biến f(x, 0y ) đạt cực trị tại 0x , f( 0x , y) đạt cực trị tại 0y . Theo định lý Fermat ta có:   0 0, 0x x df x y dx   hay  0 0, 0 f x y x    Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 16   0 0 , 0y y df x y dy   hay  0 0, 0 f x y y    Chú ý: Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng không gọi là điểm dừng của hàm số. Như vậy điểm dừng chưa chắc là điểm cực trị. Chẳng hạn u = xy có điểm dừng là (0 0) nhưng trong bất kỳ lân cận nào của gốc toạ độ (0, 0) đều có các điểm  1 1,x y và (x2,y2) để    1 1, 0,0f x y f và f(x2,y2) 0, 1y > 0, x2 0). B. Điều kiện đủ của cực trị Trong thực tế thường gặp hàm hai biến f(x, y) và để tìm cực trị của nó, người ta thường sử dụng định lí sau đây, coi như là điều kiện đủ để hàm đạt cực trị. Ta không chứng minh định lý này. Định lý 3.12. Giả sử f(x, y) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại lân cận điểm dừng( 0 0,x y ) và gọi:   2 0 02 , , f A x y x      2 0 0, , f B x y x y       2 0 02 , f C x y y    và 2B AC   (3.14) Nếu  > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại  0 0, yx Nếu  = 0 thì chưa kết luận gì được về  0 0, yx Nếu 0  thì hàm số đạt cực đại tại  0 0, yx Cụ thể đạt cực đại nếu A 0. Ví dụ 14: Xét cực trị của hàm số 4 4 2 22 .z x y x xy y     Giải: Nhận xét: Hàm số z khả vi mọi cấp trên R2, ta có thể áp dụng định lý 3.12. * Tìm điểm dừng: ' 3 3 3 2' 3 3 4 2 2 0 (x 1) 04 2 2 0 2 0 x y z x x y x yx y xz y y x x x y                        Nhận được ba điểm dừng: 0 , 0 x y    1 , 1 x y    1 1 x y           2 " 2 2 2 2 12 2, 2, 12 2 4 4 6 1 6 1 0,0 0 x A z x B C y x y               Nhận thấy z(0,0) = 0. Với 1 x y n   thì 2 2 1 1 2 1 , 2 0z n n n n                với n > 1 Với 1 ,x n  1 y n   thì 4 1 1 2 , 0z n n n         Như vậy trong bất kì lân cận nào của gốc tọa độ ta luôn tìm được các điểm (tìm được n) để hàm đổi dấu, chứng tỏ hàm không đạt cực trị tại (0,0)    1,1 1, 1 96 0        và    1,1 1, 1 10 0A A     Vậy hàm đạt cực tiểu tại (1,1) và (-1, -1) Giá trị cực tiểu là z (1,1) = z(-l, -1) = -2. Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 17 4.3.2. Cực trị có điều kiện A. Định nghĩa và điều kiện cần Điểm  0 0 0,M x y gọi là điểm cực đại của hàm số f(x, y) với ràng buộc (hoặc có điều kiện)  (x, y) = 0 nếu thoả mãn  (M0) = 0 đồng thời tồn tại lân cận đủ bé của M0 trên đường cong ràng buộc  , 0x y  , trong lân cận đó có bất đẳng thức f(M) < f( 0M ). Tương tự ta có khái niệm điểm cực tiểu của hàm số với ràng buộc  (x, y) = 0 Để đơn giản bài toán tìm cực trị của hàm hai biến với điều kiện  (x, y) = 0 được kí hiệu như sau:     extf , , 0 x y x y    (3-15) Trong đó ext là viết tắt của từ extremum nghĩa là cực trị. Định lý 3.13, Giả sử  0 0 0,M x y là điểm cực trị có điều kiện của hàm số f(x,y) với điều kiện (3.15) và thoả mãn: Các hàm f(x, y) và  ,x y có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong lân cận của  0 0 0,M x y của đường cong ràng buộc (3.15)  0 0 0,M x y không phải là điểm đừng của hàm  ,x y . Khi đó tồn tại sổ thực  thoả mãn hệ phương trình:         ' ' 0 0 0 0 ' ' 0 0 0 0 , , 0 , , 0 x x y y f x y x y f x y x y         Chú ý: Hàm số      , , , ,L x y f x y x y   được gọi là hàm Lagrange và  được gọi là nhân tử Lagrange. Như vậy với điều kiện cho phép ta sẽ đi tìm điểm dừng  0 0 0, ,x y  của hàm Lagrange (do điều kiện tiên quyết    '0 0 0 0 0, , , 0x y F x y   ), tiếp theo xem xét một số các điều kiện của bài toán (3.15) để có kết luận chính xác xem điểm  0 0,x y có phải là điểm cực trị có điều kiện hay không. Ví dụ 15: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 với ràng buộc ax + by + c = 0, 0c  , a 2 + b 2 >0. Giải: về hình học, đây là bài toán tìm cực trị của bình phương khoảng cách từ gốc toạ độ đến các điểm trên đường thẳng (H.3.10). Vậy bài toán có duy nhất cực tiểu đó là chân đường vuông góc hạ từ O tới đường thẳng. Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 18 Lập phương trình Lagrange:  2 2 axL x y by c     Tìm điểm dừng của L: ' ' ' 2 0 2 0 ax 0 x y L x a L y b L by c                Thay , 2 a x    2 b y    vào phương trình cuối nhận được:  2 2 , 2 a b c      2 2 2c a b    2 2 , ac x a b     2 2 bc y a b    Điểm dừng duy nhất 0 2 2 2 2 , ac bc M a b a b         là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu bằng 2 2 2 c a b B..Điều kiện đủ Định lý 3.14. giả sử  ,f x y và  ,x y có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục ở lân cận  0 0,x y và  0 0 0, ,x y  là điểm dừng của hàm Lagrange, khi đó: * Nếu        2 22 " 2 " " 20 0 0 0 0 0 0 0, , , , 2 , , , ,xyx yd L x y L x y dx L x y dxdy L x y dy      Xác định dấu đối với dx,dy trong miền thỏa mãn ràng buộc:      ' '0 0 0 0 0 0, , , 0,x yd x y x y dx x y dy     2 2 0dx dy  Thì  ,f x y đạt cực trị có ràng buộc tại  0 0,x y . Đạt cực đại nếu d 2 L  0 0, ,x y  >0 và đạt cực tiểu nếu  2 0 0, ,d L x y  <0 * Nếu  2 0 0, ,d L x y  không xác định dấu trong miền nói trên thì hàm không đạt cực trị ràng buộc tại  0 0, .x y Ví dụ 16: giải bài toán  ex 1 0, 0, 0 t x y z xyz x y z         Giải: * Hàm Lagrange: L(x,y,z,  ) = x + y + z +  (xyz - 1) * Tìm điểm dừng: ' ' ' ' 1 0 1 0 1 0 1 0 x y z L yz L zx L xy L xyz                    Nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với x và để ý đến phương trình thứ tư sẽ nhận được 1   và x = y = z = 1 * Xét dấu của d2L(l,l,l,-l) với dx, dy, dz thoả mãn   1 0x y zd xyz     và dx 2 + dy 2 + dz 2  0 Ta có 2 2 2 " " "0 , x y z L L L   " ,xyL z  " ,yzL x  " zxL y  Suy ra 2d L (l,l,l,-l) = -2(dxdy + dydz + dzdx) Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 19 Mặt khác        1,1,1 1,1,1, ,d x y z yzdx zxdy xydz   = dx + dy + dz = 0 Suy ra dz = - dx - dy     22 1,1,1, 1 2d L dxdy dx dy     = (dx + dy)2 + dx2 +dy2 > 0khi dx2 + dy2+dz2 > 0 Vậy hàm số đạt cực tiểu có ràng buộc tại (1,1,1) và min (x + y + z) = 3 TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG 4.  Giới hạn :   0 lim M M f M l   hay       0 0, , lim ,n n x y x y f x y l   ,       2 2 0 0 0,d M M x x y y    Nếu  00, 0 : 0 ( , )d M M f M l             Sự liên tục của hàm số: Hàm số f(M) xác định trên miền D và Mo  D. Ta nói rằng hàm số f(M) liên tục tại M0 nếu     0 0lim M M f M f M    Đạo hàm riêng: Đặt      0 0 0 0 0 0, , ,x f x y f x x y f x y    gọi đó là số gia riêng của hàm f(x, y) theo biến x tại  0 0,x y và ta có:    0 0 0 0 0 , , lim , x x f x yf x y x x       ' 0 0,xf x y Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số đối với y tại  0 0 0,M x y và ký hiệu:  ' 0 0, ,yu x y  0 0, y , u x y    ' 0 0, ,yf x y  0 0, f x y y   Có thể chuyển toàn bộ các phép tính đạo hàm của hàm một biến số: cộng, trừ, nhân, chia,... sang phép tính đạo hàm riêng.  Vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại ( 0 0,x y ) và công thức tính gần đúng :      ' '0 0 0 0 0 0, , ,x ydf x y f x y dx f x y dy  f df  hay      0 0 0 0 0 0, , ,f x x y y f x y df x y     Đạo hàm riêng cấp cao 2 " , x f f x x          " ,xy f f y x          " yx , f f x y          2 " y f f y y          Hay 2 2 2 2 2 2 , , , f f f f x x y y x y            Công thức Schwarz :    " "0 yx 0xyf M f M  Vi phân cấp cao   2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 f f f d f x y dx dxdy dy x x y y           Người ta dùng kí hiệu lũy thừa tượng trưng để viết gọn như sau:     " " , ,d f x y dx dy f x y x y           Đạo hàm của hàm số hợp , u u x u y s x s y s             u u x u y t x t y t             Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 20  Đạo hàm của hàm ẩn: ' ' ,x y Fdy dx F   '' ' ' , yx z z FFz z x F y F          Đạo hàm theo hướng. Nếu hàm số  , ,u x y z khả vi tại  0 0 0 0, ,M x y z và l bất kỳ có các côsin chỉ phương os , os , osc c c   thì:        0 0 0 0os os os u u u u M M c M c M c x y zl               Građien: grad         ' ' '0 0 0 0, ,x y zu M u M u M u M      ' ' '0 0 0x y zu M i u M j u M k   trong đó , ,i j k là các véc tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz. l u ch l    gradu  Cực trị: Giải hệ     ' 0 0 ' 0 0 , 0 , 0 x y f x y f x y       2 0 02 , , f A x y x      2 0 0, , f B x y x y       2 0 02 , f C x y y    Gọi 2B AC   Nếu 0  thì hàm số không đạt cực trị tại  0 0,x y Nếu 0  thì chưa kết luận được gì về  0 0,x y Nếu 0  thì hàm số đạt cực trị tại  0 0,x y Cụ thể: đạt cực đại nếu 0A , đạt cực tiểu nếu 0A   Cực trị có điều kiện. Phương pháp nhân tử Lagrange Tìm  0 0, y ,x  thỏa mãn hệ phương trình:           ' ' ' ' , , 0 , , 0 , 0 x x y y f x y x y f x y x y x y            Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 21