Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5, Phần 1: Dạng song tuyến tính, tích vô hướng và không gian Euclide - Nguyễn Hải Sơn

1CHƯƠNG V 7/13/2014 ThS. NGUYỄN HẢI SƠN §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ THỰC  §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa. Đ/n. Cho V là một R-kgvt, ánh xạ φ: VxV→R gọi là một dạng song tuyến tính trên V nếu nó thỏa mãn các t/c sau: (i) (ii) (iii) (iv) 1 2 1 2( ; ) ( ; ) ( ; )x x y x y x y      ( ; ) ( ; )x y x y    1 2 1 2( ; ) ( ; ) ( ; )x y y x y x y      ( ; ) ( ; )x y x y    với 1 2 1 2, , , , , ,x x x y y y V    §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Chú ý: Nếu cố định một biến thì dạng song tuyến tính trở thành dạng tuyến tính theo biến còn lại. VD1. Ánh xạ φ: RxR → R xác định bởi φ(x,y)=x.y là một dạng song tuyến tính. VD2. Ánh xạ φ : R2x R2 → R xác định bởi φ(u,v)=x1.x2+y1 y2 là một dạng song tuyến tính với u=(x1 , y1), v=(x2 , y2).  §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Chú ý. Ánh xạ tuyến tính f : V → R với V là một R- kgvt gọi là dạng tuyến tính trên V. VD3. Nếu V là kgvt và f, g là hai dạng tuyến tính trên V thì ánh xạ φ : VxV → R xác định bởi φ(u,v)=f(u).g(v) là một dạng song tuyến tính.  §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VD4. Ánh xạ φ : R2x R2 → R xác định bởi là một dạng song tuyến tính.   11 2 2 1 3( , ) 2 4 yx y x x y             Đ/n. Dạng song tuyến tính φ : Vx V → R gọi là đối xứng nếu φ(x;y)= φ(y;x) với mọi x,y thuộc V. VD5. Các dạng song tuyến tính ở VD1, VD2 là các dạng song tuyến tính đối xứng.  §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 1.2 Ma trận của dạng song tuyến tính. a.Đ/n. Cho φ: VxV → R là dạng song tuyến tính trên V. Gọi B={e1, e2,, en} là một cơ sở của V. Đặt φ(ei,ej)=aij với i,j=1,,n. Khi đó, ma trận A=[aij] gọi là ma trận của φ đối với cơ sở B. VD. Cho dạng song tuyến tính φ : R2x R2 → R xđ bởi φ(u,v)=x1.x2+y1y2 với u=(x1 , y1), v=(x2 , y2). Viết ma trận của đối với cơ sở chính tắc của R2 và B={v1=(1;1),v2=(1;2)}.  §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH b. Biểu thức tọa độ. Cho x=x1e1+x2e2++xnen và y=y1e1+y2e2++ynen. Khi đó. ij , 1 , 1 ( , ) ( , ) [x] [ ] n n t i j i j i j B B i j i j x y x y e e a x y A y         ( , ) [x] [ ]tB Bx y A y   §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH c. Công thức đổi tọa độ G/s B’={v1, v2,, vn} là cơ sở khác của V và T là mtr chuyển cơ sở từ B sang B’. Gọi A’ là ma trận của φ đối với cơ sở B’. Ta có B ' B ' ' ' [x] [x] , [y] [y] ( , ) [x] '[y] B B t B B T T x y A     Suy ra    ' ' ' ' ( , ) [x] [y] [x] [y] [x] ( )[y] tt B B B B t t B B x y A T A T T AT      §1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH Do đó ' ' ' '[x] ( )[y] [x] '[y]t t tB B B BT AT A ' tA T AT  ĐL. Hạng của ma trận của dạng song tuyến tính trên kgvt V không phụ thuộc vào cơ sở được chọn. Đn. Hạng của dạng song tuyến tính trên kgvt Vlà hạng của ma trận của dạng song tuyến tính đó đối với một cơ sở bất kì. §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.1 Định nghĩa a. Đ/n. Cho dạng song tuyến tính đối xứng φ trên R- kgvt V. Khi đó ω(x) = φ(x,x) gọi là dạng toàn phương sinh bởi dạng song tuyến tính φ đã cho. - Ma trận của dạng toàn phương này theo một cơ sở B nào đó là mtr của dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra nó theo một cơ sở B. Chú ý: Ma trận của dạng toàn phương là mtr đối xứng.  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG b. Dạng toàn phương xác định dương, xác định âm. Cho dạng toàn phương ω(x) =φ(x,x). + φ(x,x) gọi là xác định dương nếu + φ(x,x) gọi là xác định âm nếu - Nếu φ(x,x) không xác định dương, không xác định âm thì nó gọi là không xác định dấu. ( ; ) 0,x x x     ( ; ) 0,x x x     - Ma trận tương ứng của dạng toàn phương cũng được gọi là xác định dương, xác định âm và không xác định dấu.  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG c. Dạng chính tắc của dạng toàn phương. Cho dạng toàn phương ω(x) = φ(x,x) của ma trận A đối với cơ sở B của V. Ta có     , 1 ( , ) nt ij i jB B i j x x x A x a x x     Trong trường hợp A là mtr chéo thì dạng toàn phương φ(x,x) gọi là có dạng chính tắc 2 2 2 11 1 22 2( , ) ... nn nx x a x a x a x      §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2 2 2 11 1 22 2( , ) ... nn nx x a x a x a x     NX: φ(x,x) xác định dương khi và chỉ khi φ(x,x) xác định âm khi và chỉ khi 0,iia i  0,iia i   §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG → Bài toán: “Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc” hay “Tìm một cơ sở của V để ma trận của dạng toàn phương có dạng chéo”  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.2. Rút gọn dạng toàn phương Có 3 phương pháp ◆ Phương pháp Lagrange (SV tự đọc) ◆ Phương pháp Jacobi ◆ Phương pháp chéo hóa trực giao  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.2.1 Phương pháp Lagrange (SV tự đọc) VD. Dùng phương pháp Lagrange, đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. a) b) 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3( ) 2 3 4x x x x x x x x      1 2 2 3 3 1( )x x x x x x x     §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2.2.2 Phương pháp Jacobi Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A=[aij ] đối với một cơ sở {e1, e2,, en } nào đó của V. 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a aA a a a                     §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG Nếu A có các định thức con chính 0, 1,k k n   11 12 1 21 22 2 1 2 k k k k k kk a a a a a a a a a          thì tồn tại một cơ sở B của V sao cho theo cơ sở đó dạng toàn phương có dạng chính tắc. 2 2 211 1 2 1 2 1( ) ... n n n x y y y         §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG •Tiêu chuẩn Sylvester Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A theo một cơ sở nào đó của V. + ω(x) xác định dương khi và chỉ khi Δk>0 với mọi k =1,2,,n. + ω(x) xác định âm khi và chỉ khi (-1)kΔk>0 với mọi k =1,2,,n.  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG VD 1. Xác định dấu của dạng toàn phương 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 5 4 8 4x x x x x x x x x x       2 2 2 1 1 2 2 3( ) 2 3 4x x x x x x      a) b) VD 2. Xác định a để các dạng toàn phương sau xác định dương 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3( ) 5 4 2x x x ax x x x x      2 2 1 2 1 2 2 3( ) 2 2 2x x ax x x x x     a) b)  §2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG •Định luật quán tính Với một dạng toàn phương cho trước, số các số hạng mang dấu dương và số các số hạng mang dấu âm của các dạng chính tắc của nó không thay đổi, không phụ thuộc vào phép biến đổi không suy biến, hay nói cách khác không phụ thuộc vào sự lựa chọn cơ sở. §3:KHÔNG GIAN EUCLIDE  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.1 Tích vô hướng và không gian Euclide. Đ/n: Cho V là R-không gian vectơ, ánh xạ (i) (ii) (iii) (iv) .,. : ( , ) , V V R x y x y    gọi là một tích vô hướng nếu thỏa mãn , 0, .x x x V   , , , ,x y y x x y V   , , , , ,x y x y x y V      1 2 1 2 1 2, , , , , ,x x y x y x y x x y V     Dấu “=” chỉ xảy ra khi x=θ.  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE -Không gian vectơ thực V hữu hạn chiều trên đó xác định một tích vô hướng gọi là không gian Euclide. NX. Tích vô hướng trong kgvt V thực chất là một dạng song tuyến tính đối xứng φ(x,y)= trên V sao cho φ(x,x) là một dạng toàn phương xác định dương. VD1. Không gian các vectơ trong cùng một mặt phẳng, hoặc trong không gian với tích vô hướng đã học là một không gian Euclide.  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD2. Trong Rn, ta có các dạng sau là tích vô hướng. NX. Trên một không gian có thể có nhiều tích vô hướng khác nhau và ứng với mỗi tích vô hướng đó ta có một kiểu không gian Euclide. (i) (ii) (iii) Với x=(x1,x2,,xn) và y=(y1,y2 ,,yn)∈Rn. 1 1 2 2, ... n nx y x y x y x y    1 1 2 2, 2 ... n nx y x y x y nx y    1 1 1 2 2 2, ... n n nx y a x y a x y a x y    trong đó, các 0, 1,ia i n   (TVH thông thường)  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD3. Trong kg Pn[x], chứng minh dạng sau là một tích vô hướng. 1 1 , ( ) ( )p q p x q x dx    với mọi . , P [ ]np q x  VD4. Trong kg C[a;b], chứng minh dạng sau là một tích vô hướng. , ( ) ( ) b a f g f x g x dx với mọi , [ ; ]f g C a b   §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.2 Độ dài của vectơ. a.Đ/n. G/s E là một R-kgvt đã được trang bị tích vô hướng . Khi đó với mỗi x∈E, thì ||x|| được xác định bởi gọi là độ dài (hay gọi là chuẩn) của vectơ x. 1 2, ,x x x x x     VD: Trong Rn với tích vô hướng thông thường ta có 2 2 2 1 2 ... nx x x x     §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE b. Bất đẳng thức Cauchy-Schawarz. Cho E là một R-kgvt đã được trang bị TVH . Khi đó, với mọi x,y E ta có , .x y x y   VD: Trong Rn với tích vô hướng thông thường, ta có bđt sau 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ... ) ( ... )( ... ) n n n n x y x y x y x x x y y y            (bđt Bunhiacopxki)  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.3 Góc giữa hai vectơ và hệ vecto trực giao. a.Đ/n. Cho hai vectơ x và y trong kgvt E với tích vô hướng . - Nếu x, y khác vecto không thì góc giữa hai vectơ x và y được xác định bởi  ,( , ) arccos . x yx y x y    - Nếu một trong hai vectơ x, y là vectơ không thì góc giữa hai vectơ x và y là tùy ý.  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE b. Hệ vectơ trực giao - Hai vectơ x, y trong kgvt E với tích vô hướng gọi là trực giao nếu =0. Kí hiệu x⊥y. VD1. Trong R3 với tích vô hướng thông thường, xét các vectơ x=(1;-1;2), y=(1;1;0), z=(0;0;2). Xét tính trực giao của các vectơ trên  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD2. Trong P2[x] với tích vô hướng 1 1 , ( ) ( )p q p x q x dx    Khi đó, u=1+x2 và v = x là trực giao  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE Đ/n - Hệ vectơ {v1,v2,,vn} gọi là hệ trực giao nếu , 0, i jv v i j    -Hệ vectơ {v1,v2,,vn} gọi là hệ trực chuẩn nếu 0 khi , 1 khi i j i jv v i j       §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD1. Trong không gian Rn, với tích vô hướng thông thường, cơ sở chính tắc E là một hệ trực chuẩn. VD2. Trong P2[x] với tích vô hướng 1 1 , ( ) ( )p q p x q x dx    Tìm một hệ gồm 3 véctơ trực chuẩn đối với tích vô hướng trên.  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE b. Hai không gian con trực giao Trong kgvt E với tích vô hướng , cho vectơ x và hai kg con W, V. (i) x gọi là trực giao với W, kí hiệu: x ⊥ W nếu y, Wx y   (ii) V gọi là trực giao với W, kí hiệu: V ⊥ W nếu y, , Wx x V y    (iii) V gọi là phần bù trực giao với W, kí hiệu: W⊥ nếu { | , }TV W x E x y y W       §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.4 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. a.ĐL. Trong kgvt E với tích vô hướng , mọi hệ vectơ trực giao là hệ độc lập tuyến tính. c/m: b.Đ/n. Trong kgvt E với tích vô hướng , cơ sở B gọi là cơ sở trực giao (tương ứng cơ sở trực chuẩn) nếu nó là hệ trực giao (hệ trực chuẩn) VD. Trong kg Euclide Rn với tích vô hướng thông thường thì cơ sở chính tắc chính là cơ sở trực chuẩn  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE Bài toán đặt ra: Cho kg Euclide E. Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của E. TRỰC CHUẨN HÓA MỘT HỆ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.4 Thuật toán trực chuẩn hóa Gram-Smith. G/s {v1, v2,, vn} là một hệ vectơ độc lập tuyến tính của kgvt E với tích vô hướng . Quá trình trực chuẩn hóa hệ véctơ trên gồm 2 bước: Bước 1. Trực giao hóa. Bước 2. Trực chuẩn hóa.  3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith Bước 1. Trực giao hóa. Đặt 1 1u v 1 2 1 2 2 2 1 ,u v uu v u     1 2 1 ,k i k k k i i i u vu v u u       1 2 1 ,n i n n n i i i u vu v u u        3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith ĐL. Hệ {u1, u2,, un} có tính chất (i) Là một hệ trực giao. (ii) span(u1, u2,, uk )= span(v1, v2,, vk), với k=1,,n C/m:...  3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith Bước 2. Trực chuẩn hóa. Đặt , 1,ii i ue i nu  Khi đó, ta được hệ {e1,e2,,en} là một hệ trực chuẩn. T/v: , 0 khi , , 1 khi . j i ji i j i j i j u u u i jue e i ju u u u           3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith VD1. Trong không gian R3, với tích vô hướng thông thường, hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn {e1,e2,e3} từ cơ sở B={v1=(1;1;1),v2=(1;1;2);v3=(1;2;3)} VD2. Câu hỏi như VD1 với B={v1=(1;1;1),v2=(1;1;0);v3=(1;0;0)} VD3. Câu hỏi như VD1 với tích vô hướng. 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ),( , , ) 2 3x x x y y y x y x y x y     3.4. Trực chuẩn hóa Gram-Smith VD4. Trong không gian P2[x], với tích vô hướng hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn {e1,e2,e3} từ cơ sở E={1; x; x2} 1 1 , ( ) ( )p q p x q x dx     §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.5.Công thức tọa độ đối với cơ sở trực chuẩn Trong kg Euclide (E, ), cho cơ sở trực chuẩn B={e1, e2,, en }. Khi đó, với mọi vectơ x và y thuộc E, ta có 1 1 2 2( ) , , ... , n ni x x e e x e e x e e         tức là 1 2( ) ( , , , ,..., , )B nx x e x e x e       1 ( ) < , [x] .[y]= n t B i i i ii x y x y    1 2 1 2( ) ( , ,..., ),( ) ( , ,..., )B n B nx x x x y y y y ở đó  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE Ví dụ. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông thường, có một cơ sở trực chuẩn là 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2; ; , ; ;0 ; ; ; 3 3 3 2 2 6 6 6 B e e e                     Cho v=(1;2;-3). Tìm tọa độ của v đối với cơ sở B.  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.6. Hình chiếu của một vectơ lên một kg vecto Đ/n. Trong kg Euclide (E, ), cho không gian con W và vectơ v. Hình chiếu của v lên W là một vec tơ của W, kí hiệu là chW(v), được xác định bởi ĐL. Trong kg Euclide (E, ), cho kg con W và vectơ x. G/s B={e1, e2,, em} là cơ sở trực chuẩn của W. Khi đó, hình chiếu của vecto v lên kg W là  W ( ) Wv ch v  W 1 1 2 2( ) , , ... , m mch v v e e v e e v e e          §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD1. Xét không R3 với tích vô hướng thông thường. Giả sử H là không gian các nghiệm của phương trình x1+x2-x3=0. Tìm một cơ sở trực chuẩn của H. Tìm tọa độ của vectơ u=(1;2;3) thuộc H đối với cơ sở vừa tìm được ở trên. VD2. Xét không R3 với tích vô hướng thông thường. Giả sử H là không gian các nghiệm của phương trình x1 -x2-x3=0. Tìm một cơ sở trực chuẩn của H. Tìm tọa độ của vectơ u=(4;1;3) thuộc H đối với cơ sở vừa tìm được ở trên. (Đề II-K56) ( Đề I-K56)  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD3. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông thường. Cho các vecto u1=(1;2;3), u2=(-4;5;1), u3=(-2;9;7), u =(4;-1;-3). Đặt H=span{u1,u2,u3}. Tìm hình chiếu vuông góc của vectơ u lên không gian con H. VD4. Xét không R3 với tích vô hướng Euclide thông thường. Cho các vecto v1=(1;-2;3), v2=(3;-7;10), v3=(-1;3;-4), v =(1;3;1). Đặt H=span{v1,v2,v3}. Tìm hình chiếu vuông góc của vectơ v lên không gian con H. ( Đề IV-K55) ( Đề III-K55)  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD5. Trong không gian R3 với tích vô hướng cho A là không gian nghiệm của phương trình 2x1+2x2-x3=0 và vecto v =(2;2;1). 1) Tìm một cơ sở trực chuẩn của A. 2) Tìm vectơ w∈A sao cho w v và (Đề III-K55) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ; ; ),( ; ; ) 2  x x x y y y x y x y x y w 45 1 2w (2;1;6),w ( 2; 1; 6)    Đ/s:  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD6. Trong không gian R3 với tích vô hướng cho B là không gian nghiệm của phương trình 2x1+x2-2x3=0 và vecto v =(2;2;1). 1) Tìm một cơ sở trực chuẩn của B. 2) Tìm vectơ w∈B sao cho wv và (Đề IV-K55) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ; ; ),( ; ; ) 2x x x y y y x y x y x y   w 3 3 Đ/s:  §3: KHÔNG GIAN EUCLIDE VD7. Trong không gian R3 với tích vô hướng cho hệ và Tìm hình chiếu của vecto x lên không gian con W=span(B) và phân tích x=u+v với u∈W, v trực giao với u. (Đề I-K53) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ; ; ),( ; ; ) 2  x x x y y y x y x y x y Đ/s: 1 2{e =(1;-1;1),e =(1;1;1)}B (2;1; 1) x 1 1 3 3;1; , ;0; 2 2 2 2              u v