Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Khảo sát hệ thống điều khiển tự động phi tuyến bằng phương pháp không

Chương 2 KHẢO SÁT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN PHA 2.1. PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN PHA Khái quát chung: Đây là phương pháp đồ họa để nghiên cứu các HTĐKTĐ phi tuyến. Ưu điểm: - cho phép quan sát chuyển động của HTĐKTĐ phi tuyến với các ĐKBĐ khác nhau; - áp dụng với nhiều đối tượng phi tuyến; - dễ dàng phân tích các HTĐKTĐ bậc 2 (PP mặt phẳng pha). Nhược điểm: - chỉ được dùng để nghiên cứu HT có bậc không lớn hơn hai, bởi vì, khi HT có bậc cao hơn, việc dựng đồ thị gặp nhiều khó khăn. Nếu trạng thái của HTĐKTĐ phi tuyến được mô tả bằng bằng hệ n phương trình vi phân: nityyyfy nii ÷== 1;),,...,( 21& (2.1) trong đó tham số t chỉ ra rằng tác động bên ngoài thay đổi theo thời gian, thì nghiệm của nó hoàn toàn được xác định bằng ĐKBĐ yi0. Nghiệm này được gọi là chuyển động “không bị nhiễu loạn”. Sự thay đổi ĐKBĐ đi một giá trị ∆yi0 dẫn đến sự thay đổi nghiệm. Sai lệch của nghiệm đó so với nghiệm không nhiễu loạn gọi là chuyển động nhiễu loạn. Hệ phương trình (2.1) khi tính đến sự thay đổi ĐKBĐ có dạng: . ),,...,( 2211 tyyyyyyfyy nniii ∆∆∆∆ +++=+ && Có thể biến đổi hệ phương trình trên về dạng: . ),,...,( 21 tyyyFy nii ∆∆∆∆ =& (2.2) Hệ phương trình (2.2) được gọi là hệ phương trình đối với các sai lệch. Nếu tức là tác động bên ngoài không đổi, hoặc không có tác động bên ngoài, thì HT được gọi là ôtônôm (tự trị). Trong HT không tự trị tác động bên ngoài thay đổi theo thời gian. Việc nghiên cứu tính ổn định của chuyển động không bị nhiễu loạn được chuyển sang nghiên cứu nghiệm của hệ phương trình (2.2). Nghiệm này mô tả chuyển động của HT về trạng thái cân bằng trong các tọa độ ∆yi. ),...,,(),,...,,( 2121 nini yyyFtyyyF ∆∆∆=∆∆∆ Khái niệm không gian pha: Các giá trị tức thời các tọa độ ∆yi của HTĐKTĐ phi tuyến được biểu diễn dưới dạng các điểm trong không gian Đề Các n chiều gọi là không gian pha. Khái niệm quỹ đạo pha: Vị trí hình học của các điểm phù hợp với sự thay đổi nối tiếp trạng thái của HT trong không gian pha được gọi là quỹ đạo pha (H.2-1). ∆y1 ∆y2 ∆y3 t0 t1 t2 H.2-1 0 Khái niệm ảnh pha: Tập hợp đầy đủ tất cả các quỹ đạo pha tương ứng với tất cả ĐKBĐ có thể có, được gọi là ảnh pha của HT. Nội dung của phương pháp không gian pha là chuyển hệ tọa độ theo thời gian về các hệ tọa độ pha với các biến thời gian được ẩn đi. Trong không gian pha, các biến pha là thành phần nguyên hàm và đạo hàm các cấp (ở đây, để đơn giản cách viết, bỏ đi ký hiệu ∆) )y,...y,y,y(f )n()2()1()0( Mặt phẳng pha: Đối với HT có bậc của phương trình bằng hai thì không gian pha chính là mặt phẳng pha. Thông thường trong mặt phẳng pha, một tọa độ biểu diễn chuyển động của HT, tọa độ kia là tốc độ biến thiên của chuyển động. Trong mặt phẳng pha, động học HTĐKTĐ phi tuyến được mô tả bằng hệ hai phương trình vi phân phi tuyến bậc 1:          = = ),,( ),( 212 2 211 1 yyf dt dy yyf dt dy trong đó y1 là hoành độ, là biến số chính của HT; y2 là tung độ, là tốc độ biến thiên của y1: 21 yy =& .),( 212 / / 2111 2 1 2 ),( yyf yyf dtdy dtdy dy dy == Các điểm đặc biệt: giá trị dy2/dy1 xác định tang góc nghiêng đối với trục hoành (trục y1) của quỹ đạo pha. Trong hàng loạt trường hợp, với những giá trị nhất định của y1, y2 xuất hiện dạng vô định 0/0. Các điểm này được gọi là điểm đặc biệt. Chúng đặc trưng cho trạng thái cân bằng của HT. y1 y2 H.2-2. Thí dụ một dạng quỹ đạo pha Đánh dấu trên quỹ đạo pha bằng các mũi tên chỉ chiều thay đổi trạng thái của HT, có thể xác định tính ổn định của trạng thái cân bằng: nếu tất cả các quỹ đạo pha đều hội tụ tới điểm đặc biệt thì đó là điểm cân bằng bền (H.2-2). Ở nửa trên trục hoành các quỹ đạo hướng sang phải, còn ở nửa dưới quỹ đạo hướng sang trái. 0 H.2-3. Các dạng điểm đặc biệt y1 y2 y1 y2 y2 y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 Các đường đặc biệt trong mặt phẳng pha: Đường đặc biệt là đường quỹ đạo pha khép kín và được gọi là chu trình giới hạn. Nó xác định khả năng có thể xảy ra tự dao động trong HT. Để nghiên cứu quỹ đạo pha gần điểm đặc biệt, ta chuyển gốc tọa độ về điểm đặc biệt đó. Lúc này các biến số y1, y2 được xác định bằng cách phân tích hàm phi tuyến f1(y1,y2), f2(y1,y2) thành chuỗi Macloranh và chỉ giữ lại các thành phần bậc nhất:      +≈ +≈ ;),( ),( 2211212 2211211 ybybyyf yayayyf ;; 0,02 1 2 0,01 1 1 2121 ==== ∂ ∂ ∂ ∂ == yyyy y f ay f a .; 0,02 2 2 0,02 2 1 2121 ==== ∂ ∂ ∂ ∂ == yyyy y f by f b Từ đây nhận được hệ phương trình vi phân tuyến tính hóa          += += .2211 2 2211 1 ybybdt dy yayadt dy Từ phương trình dt dy adt dy a dt dy yayadt dy 2 2 1 12 2 1 2211 1 +=⇒+= .011221 1 212 2 1 )()( =−++−⇒ ybabadt dy ba dt dy Biến đổi tương tự, nhận được: .021221 2 212 2 2 )()( =−++− ybabadt dy ba dt dy Lúc này, các biến y1, y2 là nghiệm của phương trình vi phân dạng: .02 2 =++ Cy dt dy B dt dy Phương trình đặc trưng của nó có dạng: .4;0 22 CBCBss −==++ ∆ Phương trình này có hai nghiệm: 22,1 ∆±− = B s Quỹ đạo pha của HT được xác định trên cơ sở phân bố nghiệm của phương trình đặc trưng trên mặt phẳng nghiệm (H.2-4). H. 2-4. Dạng quỹ đạo pha phụ thuộc vào phân bố nghiệm của phương trình đặc trưng 1 2 3 4 5 B Cy1 y2 y2 y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2 CB 42 = CB 42 < CB 42 < CB 42 > CB 42 > Đặc điểm của phương pháp mặt phẳng pha: - phần tuyến tính của HT có bậc không lớn hơn hai, vì khi bậc cao hơn (không gian pha), tính trực quan của phương pháp bị hạn chế; - phương pháp được áp dụng với HT dừng (tham số không thay đổi theo thời gian); - phương pháp được áp dụng thuận tiện với HT gồm một phần tử phi tuyến và một phần tử tuyến tính. Thí dụ 2.1. Dựng quỹ đạo pha của HTTT có SĐCT trên H.2-5. s 1 ω20 0=u y& 2 s 1y2 yy 1= H.2-5 Hệ phương trình vi phân mô tả HT có dạng:          =−= == . 2 1 2 02 1 21 dt dy yy dt dy yy ω& & Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, nhận được A yy 21=& y1 H. 2-6. . 222 2 12 0 2 2 11 2 02 2 12 0 1 2 Cyydyydyyy y dy dy =+⇒−=⇒−= ωωω Thí dụ, với điều kiện đầu: y2(0)=0, y1(0)=A 2 2 2 0 AC ω=⇒ phương trình trên là phương trình ellip: . 222 2 2 0 2 12 0 2 2 Ayy ωω =+ 0 2.2. THÍ DỤ KHẢO SÁT MỘT SỐ HTĐKTĐ PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP MẶT PHẲNG PHA 2.2.1. HT với khâu rơ le hai vị trí Thí dụ 2.2. Khảo sát HTĐKTĐ phi tuyến trên H.2-7 bằng phương pháp mặt phẳng pha. - Bước 1: Xác định các phương trình HT: H.2-7 0=u B -B s2 1 ye x )(2 efxys ==⇒     =⇒ >< − ).0(0 )0(0 2 2 yekhiB yekhiB dt yd⇒       −= = yue sx y 2 1 + Khi y<0: ;12 , yyydt dy == Bdt dy dt yd ==⇒ 22 2          = = ⇒ .2 1 2 y dt dy Bdt dy          = = − .2 1 2 y dt dy Bdt dy+ Khi y>0: - Bước 2: Xác định phương trình quỹ đạo pha: CyB y B y dy dy 1 2 21 2 2 1 )( 2 1 +=⇒=+ Khi y<0: + Khi y>0: CyB y B y dy dy 2 2 21 2 2 1 )( 2 1 +=⇒= − − - Bước 3: Vẽ quỹ đạo pha HT (2.4) (2.5) y1 y2(2.4) (2.5) H. 2-8. Họ quỹ đạo pha quỹ đạo pha của HT trên gồm hai nửa parabol khép kín H.2-8. Do đó, HT tự dao động. M1 0 Thí dụ 2.3. Khảo sát HT trên H.2-9 với khâu phi tuyến hai vị trí và các khâu tuyến tính được mô tả bằng các HST: s sW 1)(1 = TssW 1)(2 = KsW ph =)( H.2-9. e W1(s) W2(s) Wph(s) x y 1 -1 u=0 z     = < − > ;01 01 ekhi ekhi x ;2 2 x dt yd T =∫−−= t xdtzue 0 ; Từ SĐCT của HT ta có: Suy ra:         >+− <+ = 01 01 2 2 dt dy TKykhi T dt dy TKykhi T dt yd đặt ,/, 21 dtdyyyy == Phân chia mặt phẳng pha thành hai miền điểm bằng đường thẳng: 021 =+ yTyK y1 y2Ky1+Ty2=0 Ky1+Ty2>0Ky1+Ty2<0 H.2-10Tdt yd 1 2 1 2 −= thì miền phía trên đường thẳng này sẽ có còn miền phía dưới sẽ có Tdt yd 1 2 1 2 = (2.8) (2.9) Từ (2.8) nhận được CT t dt dy y 12 1 += −=         ++         +−=++−= − ⇒ 222 2 1 2 2 121 2 1 TCCCT tT CtCT ty KyTy 1221 )(2 +−= Tương tự, từ (2.9) nhận được KyTy 2221 )(2 += (2.10) (2.11) Bây giờ ta đã có thể xây dựng một quỹ đạo pha đi từ điểm đầu tùy ý nhưng cho trước trong mặt phẳng pha. Chẳng hạn đó là điểm A trên H.2-11. A B y2 Ky1+Ty2>0 Ky1+Ty2<0 y1 Ky1+Ty2=0 H.2-11 Nhận thấy rằng, quỹ đạo pha của HT có xu hướng tiến dần về gốc tọa độ và kết thúc tại đó. Từ đó, ta rút ra được những kết luận sau về chất lượng của HT: - có một điểm cân bằng là gốc tọa độ trong mặt phẳng pha ; - không có dao dộng điều hòa; - ổn định tại gốc tọa độ; - có miền ổn định là toàn bộ mặt phẳng pha (ổn định tuyệt đối). Thí dụ 2.4. Khảo sát HT trên H.2-16 với khâu phi tuyến ba vị trí và các khâu tuyến tính được mô tả bằng các HST: s sW 1)(1 = 1 1)(2 += TssW K sW ph =)( H.2-16. e W1(s) W2(s) Wph(s) x yB -B u=0 z a -a x1 ).( 0 y dt dyTKyxdtzue t +−−=−−= ∫ Suy ra          <++ >++− −<++ =+ .)1(0 )1( )1( 2 2 ayK dt dyTkhi ayK dt dyTkhiB ayK dt dyTkhiB dt dy dt ydT (2.16) Sử dụng mặt phẳng pha là mặt phẳng có trục hoành là y1=y trục tung là y2=dy1/dt, sau đó chia nó thành ba miền điểm khác nhau bằng hai đường thẳng ;)1(: 121 ayKyT =++=θ .)1(: 122 ayKyT −=++=θ Lúc này (2.16) có dạng      −=+ ).(0 )( )( 2 2 IItrong IIItrongB ItrongB y dt dy T A y1 y2θ1θ2 I II III H.2-17 Trong miền I: ;22 T yB dt dy − = ;2 1 y dt dy = yB Ty dy dy − =⇒ 2 2 2 1 ;ln 1221 CByTBTyy +−−⇒ −= Trong miền II: ;22 T y dt dy − = . 2 1 Tdy dy −=⇒;2 1 y dt dy = .221 CTyy += −⇒ Trong miền III: ;22 T yB dt dy + −= ;2 1 y dt dy = yB Ty dy dy + −=⇒ 2 2 2 1 .ln 3221 CByTBTyy ++−⇒ +=